Ïðîåêòèðîâàíèå è àíàëèç ðàñïèñàíèÿ äâèæåíèÿ

ïîåçäîâ íà îñíîâå ìàêñ-ïëþñ àëãåáðû

(ðåôåðàò)

Êîæàíîâ Å.Ì., ãð.ÂÔÍ12-61

11 ìàÿ 2013 ã.

Ñîäåðæàíèå

1 Ââåäåíèå 1

2 Ñòàáèëüíîñòü ðàñïèñàíèÿ 3

3 Ìàêñ-ïëþñ àëãåáðà 3

4 Ïðèìåð ðàñ÷¼òà êðèòè÷åñêèõ ïóòåé íà ãðàôå 4

5 Ìîäåëèðîâàíèå ñ ïîìîùüþ ìàêñ-ïëþñ àëãåáðû 5

6 Àíàëèç êðèòè÷åñêîé çàêîëüöîâàííîñòè 12

7 Àíàëèç âðåìåíè âîññòàíîâëåíèÿ ñèñòåìû 16

8 Ðàñïðîñòðàíåíèå çàäåðæåê 17

9 Àíàëèç óðîâíÿ ïðîèçâîäèòåëüíîñòè ñèñòåì äèñêðåòíûõ ñîáûòèé 19

10 Cèíõîíèçàöèÿ ðàñïèñàíèé ïàññàæèðñêèõ ïîåçäîâ 20

1 Ââåäåíèå

J =(

∂x∂r

∂y∂r

∂x∂s

∂y∂s

).

Ðåôåðàò ïîñâÿù¼í àíàëèçó ñòàáèëüíîñòè æåëåçíîäîðîæíîãî ðàñïè-ñàíèÿ, èçëîæåííîãî â ðàáîòå [1]. Ðàññìîòðåíû òàêæå äðóãèå òðóäû, êàñà-þùèåñÿ ïðèìåíåíèþ ðàññìîòðåííûõ â ðàáîòå [1] àëãåáðàè÷åñêèõ ìåòîäîâàíàëèçà ñèñòåì, ôóíêöèîíèðóþùèõ ïî ðàñïèñàíèþ.

1

Äâèæåíèå ïîåçäîâ â ðåàëüíûõ óñëîâèÿõ âûçûâàåò íåîáõîäèìîñòü ïðåäó-ñìàòðèâàòü ðàñïèñàíèå ñ ðåçåðâàìè äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðè âîçìîæíûõñáîÿõ äâèæåíèå ïî ðàñïèñàíèþ âîññòàíàâëèâàëîñü â íåîáõîäèìûå ñðî-êè. Ïîä âîññòàíîâëåíèåì äâèæåíèÿ ïîäðàçóìåâàåòñÿ îòñóòñòâèå ðàñïðî-ñòðàíåíèÿ âëèÿíèÿ îäíîãî ñáîÿ íà ðåæèì ôóíêöèîíèðîâàíèÿ âñåé æå-ëåçíîäîðîæíîé ñåòè, à òàêæå îòñóòñòâèÿ ýôôåêòà "äîìèíî"(êîãäà ñáîé âäâèæåíèè âñåõ ïîåçäîâ âîçíèêàåò èç-çà ñáîÿ â ðåæèìå äâèæåíèÿ îäíîãîïîåçäà). Ðàñïèñàíèå êàê â Åâðîïå òàê è â Ðîññèè ñòðîèòñÿ ïî ïðèíöèïóóñòðàíåíèÿ êîíôëèêòîâ â äâèæåíèè ïîåçäîâ åù¼ íà ñòàäèè ïîñòðîåíèÿðàñïèñàíèÿ. Ñ öåëüþ ïîñòðîåíèÿ òàêîãî "îòêàçîóñòîé÷èâîãî"ðàñïèñàíèÿè ïðåäóñìàòðèâàþòñÿ íåîáõîäèìûå ðåçåðâû.

Îñíîâíàÿ ÷åðòà îðãàíèçàöèè äâèæåíèÿ ïîåçäîâ ïî ãðàôèêó - ñèíõðî-íèçàöèÿ ìàðøðóòîâ è âðåì¼í äâèæåíèÿ ïîåçäîâ íà ñòàíöèÿõ, à òàêæåèíòåðâàëîâ ìåæäó ïîåçäàìè, ñëåäóþùèìè ïî êîíôëèêòíûì äðóã äðó-ãó ìàðøðóòàì. Êàê ïðàâèëî, ïîäîáíûå èíòåðâàëû âðåìåíè îïðåäåëÿþò-ñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíî ïóò¼ì èçìåðåíèÿ âðåìåíè íà íåîáõîäèìûå îïåðà-öèè ñ ìîìåíòà îêîí÷àíèÿ îïåðàöèé ñ ïîåçäîì, ìàðøðóò êîòîðîãî ÿâ-ëÿåòñÿ êîíôëèêòíûì ïî îòíîøåíèþ ê ðàññìàòðèâàåìîìó ïîåçäó.  ðå-çóëüòàòå ìû èìååì ñèñòåìó ñ ðàçãðàíè÷åíèåì âðåìåíåì, êîòîðàÿ ìîæåòáûòü ýôôåêòèâíî ñìîäåëèðîâàíà ñ ïîìîùüþ òàê íàçûâàåìîé ìàêñ-ïëþñ((max,+), àíãë. max-plus) àëãåáðû.  ðåçóëüòàòå òàêîãî ìîäåëèðîâàíèÿïàðàìåòðû ðàñïèñàíèÿ çíà÷èòåëüíî óëó÷øàþòñÿ, ñòàáèëüíîñòü ãðàôèêàîïðåäåëÿåòñÿ ïóò¼ì âû÷èñëåíèÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèöû ñîñòîÿ-íèé, êîòîðàÿ îïèñûâàåò ðàñïèñàíèå äâèæåíèÿ â ìàêñ-ïëþñ àëãåáðå. Êðî-ìå òîãî, ïîëó÷åííûé îòâåò ãîâîðèò íå òîëüêî î òîì ñ÷èòàåòñÿ ëè ðàñïè-ñàíèå ñòàáèëüíûì èëè íåò, íî è óêàçûâàåò íà óçêèå ìåñòà òðàíñïîðòíîéñåòè. Âçàèìîâëèÿíèå ðàçëè÷íûõ ÷àñòåé òðàíñïîðòíîé ñåòè, ýôôåêò ïå-ðåðûâîâ äâèæåíèÿ â ðàñïèñàíèè ñòàíîâÿòñÿ âèäíû â ìàêñ-ïëþñ àëãåáðåïóòåì ðàñ÷¼òà êðèòè÷åñêèõ ïóòåé, îïèñûâàåìûõ ñ ïîìîùüþ îãðàíè÷å-íèé ïðèîðèòåòà ïîåçäîâ.

Îòìåòèì, ÷òî â ðàáîòå [2] òàêæå óêàçûâàåòñÿ íà âîçìîæíîñòü àíàëè-çà "ñèñòåì äèñêðåòíûõ ñîáûòèé"(discrete event systems - DES), ê êîòî-ðûì ìîæíî îòíåñòè è ðàññìàòðèâàåìóþ íàìè ñèñòåìó æåëåçíîäîðîæíî-ãî ðàñïèñàíèÿ, ñ ïîìîùüþ ìàêñ-ïëþñ àëãåáðû. Â äàííîé ðàáîòå ïîìè-ìî ðàññìîòðåííûõ â [1] âîïðîñîâ òàêæå ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëèç óðîâíÿïðîèçâîäèòåëüíîñòè DES-ñèñòåìû. Ìû ðàññìîòðèì åãî â ïàðàãðàôå 9.

 ðàáîòå [3] ñòàâèòñÿ çàäà÷à ñèíõîíèçàöèè ðàñïèñàíèé ïàññàæèð-ñêèõ ïîåçäîâ äëÿ îáåñïå÷åíèÿ áåñïðåïÿòñâåííîé ïåðåñàäêè ïàññàæèðîâìåæäó ïîåçäàìè (íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåíà òàêàÿ ñèñòåìà â Ãåðìàíèè,).Êðàòêîå èçëîæåíèå äàííîãî àíàëèçà áóäåò ïðèâåäåíî â ïàðàãðàôå 10.

 äèññåðòàöèè Ìèëîâà Ä.Ñ. [4] ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëèç ñåòåé ñ î÷åðå-äÿìè, ÷òî íåñêîëüêî íå ïîäõîäèò äëÿ àíàëèçà æåëåçíîäîðîæíîãî ðàñïè-ñàíèÿ, åñëè òîëüêî íå ðàññìàòðèâàòü ïîåçäà, ñòîÿùèå ïîä îáãîíîì/ñêðåùåíèåìíà ïðîìåæóòî÷íûõ ñòàíöèÿõ, êàê î÷åðåäü. Îäíàêî äàííàÿ èíòåðïðåòà-

2

öèÿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ äîâîëüíî ñëîæíîé è â äàííîì ðåôåðàòå ðàññìàòðè-âàòüñÿ íå áóäåò.

2 Ñòàáèëüíîñòü ðàñïèñàíèÿ

Ñòàáèëüíîñòü ïîíèìàåòñÿ êàê ñïîñîáíîñòü ê âîññòàíîâëåíèþ íîðìàëü-íîãî ðåæèìà ïîñëå ñáîÿ â ðàñïèñàíèè. Ñòàáèëüíîñòü ðàññìàòðèâàåòñÿ âäâóõ ñìûñëàõ: ñòàáèëüíîñòü îòêðûòûõ ñèñòåì (äëÿ ÷àñòè òðàíñïîðòíîéñåòè) è ñòàáèëüíîñòü çàêðûòûõ ñèñòåì (äëÿ òðàíñïîðòíîé ñåòè â öåëîì).Ïðè ýòîì îòêðûòàÿ ñèñòåìà ñ÷èòàåòñÿ ñòàáèëüíîé, åñëè îòêëîíåíèå îòðàñïèñàíèÿ âûõîäÿùèõ ñ ïîëèãîíà ïîåçäîâ çíà÷èòåëüíî ìåíüøå îòêëî-íåíèé âõîäÿùèõ íà ïîëèãîí ïîåçäîâ. Çàêðûòàÿ ñèñòåìà æå ñ÷èòàåòñÿñòàáèëüíîé â òîì ñëó÷àå, êîãäà îòêëîíåíèå â ðàñïèñàíèè áóäåò óñòðàíå-íî çà îãðàíè÷åííîå âðåìÿ. Ñòàáèëüíîñòü ìîæåò áûòü ïðîàíàëèçèðîâàíàïóòåì èçó÷åíèÿ ñâîéñòâ âíóòðåííèõ çàâèñèìîñòåé â ðàñïèñàíèè. Ñ ïî-ìîùüþ ìàêñ-ïëþñ àëãåáðû îïåðàöèè â ðàñïèñàíèè ìîãóò áûòü ñìîäåëè-ðîâàíû è ïðîàíàëèçèðîâàíû êàê ëèíåéíàÿ ñèñòåìà.

3 Ìàêñ-ïëþñ àëãåáðà

Ìàêñ-ïëþñ àëãåáðà - ÷àñòíûé ñëó÷àé èäåìïîòåíòíîãî ïîëóêîëüöà. Îíàïðåäñòàâëÿåò ñîáîé àëãåáðàè÷åñêóþ ñòðóêòóðó èç äåéñòâèòåëüíûõ ÷è-ñåë, à òàêæå -∞, ñ àääèòèâíîé è ìóëüòèïëèêàòèâíîé îïåðàöèÿìè (îáî-çíà÷àåìûìè ñèìâîëàìè ⊕ è ⊗ ), êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ êàê

a⊕ b = max(a, b)a⊗ b = a+ bÀääèòèâíàÿ îïåðàöèÿ ïðè ýòîì êîììóòàòèâíà, àññîöèàòèâíà, èäåì-

ïîòåíòíà (a⊕a = a), èìååò íóëåâîé ýëåìåíò (ε = −∞); ìóëüòèïëèêàòèâ-íàÿ îïåðàöèÿ àññîöèàòèâíà, èìååò "åäèíèöó"(0), à òàêæå ìóëüòèïëèêà-òèâíàÿ îïåðàöèÿ äèñòðèáóòèâíà ïî àääèòèâíîé îïåðàöèè. Êðîìå òîãî,íóëåâîé ýëåìåíò ÿâëÿåòñÿ ïîãëîùàþùèì (a⊗ ε = ε⊗ a = ε). Ñðàâíèâàÿñ òðàäèöèîííîé àëãåáðîé, ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ îïåðàöèÿ òàêæå ìîæåòáûòü ïðîñòî çàïèñàíà êàê ab âìåñòî a⊗ b.

Ñêàëÿðíûå îïåðàöèè â ìàêñ-ïëþñ àëãåáðå ìîãóò áûòü ðàñøèðåíû íàìàòðèöû êàê è â òðàäèöèîííîé àëãåáðå. Òàê, ïóñòü A = (aij) è B = (bij)- äâå êâàäðàòíûå ìàòðèöû ðàçìåðîì n×n, ñîäåðæàùèå äåéñòâèòåëüíûå÷èñëà è ýëåìåíò ε = −∞, òîãäà

(A⊕B)ij = aij ⊕ bij = max(aij , bij)(A⊗B)ij = ⊕n

k=1(aik ⊗ bkj) = maxk=1,...,n

(aik + bkj)Ìíîæåñòâî êâàäðàòíûõ ìàòðèö ñ îïðåäåë¼ííûìè òàêèì îáðàçîì îïå-

ðàöèÿìè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ òàêæå èäåìïîòåíòíûì ïîëó-êîëüöîì. Íóëåâàÿ ìàòðèöà - ìàòðèöà, â êîòîðîé âñå çàïèñè ýêâèâàëåíò-íû ε, â äàëüíåéøåì áóäåì îáîçíà÷àòü å¼ ïðîñòî ε. Åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà

3

E = (eij) îïðåäåëÿåòñÿ êàê äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñ äèàãîíàëüíûìè ýëå-ìåíòàìè 0, ò.å. eii = 0 è eij = ε äëÿ j 6= i. Ñêàëÿðíîå óìíîæåíèå ìàêñ-ïëþñîâîé ìàòðèöû A ïîêîìïîíåíòíî, ò.å. (c⊗A)ij = c⊗aij = c+aij äëÿâñåõ äåéñòâèòåëüíûõ c è ε.

 ìàêñ-ïëþñ àëãåáðå íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü çàâèñèìîñòü ìåæäó ñòå-ïåíÿìè ìàòðèö ìàêñ-ïëþñ àëãåáðû è "êðèòè÷åñêèõ"(ìàêñèìàëüíûõ) ïó-òåé â îðãðàôàõ (îðèåíòèðîâàííûõ ãðàôàõ). Äëÿ êâàäðàòíîé ìàòðèöûA ñòåïåíü ìàòðèöû A⊗l îïðåäåëÿåòñÿ ðåêóðñèâíî ÷åðåç A⊗0 = E èA⊗l = A⊗l−1 ⊗ A äëÿ âñåõ ïîëîæèòåëüíûõ l. Ñèìâîë ⊗ äîáàâëÿåòñÿ âïîêàçàòåëü ñòåïåíè äëÿ òîãî, ÷òîáû ðàçëè÷àòü ñòåïåíü ìàòðèöû â ïîíè-ìàíèè ìàêñ-ïëþñ àëãåáðû îò "îáû÷íîé"ñòåïåíè ìàòðèöû. Êàæäàÿ êâàä-ðàòíàÿ n× n ìàòðèöà A ñîîòâåòñòâóåò îðèåíòèðîâàííîìó ãðàôó G(A) ñn óçëàìè îò 1 äî n è äóãàìè arc(i, j) ñ âåñàìè aij(aij 6= ε), íàçûâàåìî-ìó òàêæå ãðàôîì ïðèîðèòåòîâ. Ñëåäîâàòåëüíî, A - ìàòðèöà èç ÿ÷ååê,êàæäàÿ èç êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóåò äóãå ãðàôà G(A). Ïóòü - ïîñëåäîâà-òåëüíîñòü äóã â îðèåíòèðîâàííîì ãðàôå, âåñ ïóòè - ñóììà âåñîâ äóã,âõîäÿùèõ â ïóòü. A⊗2 îïðåäåëÿåòñÿ êàê

(A⊗2)ij = ⊕nk=1(aik ⊗ akj) = max

k=1,...,n(aik + akj)

êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíûì ïî âåñó ïóò¼ì ñðåäè âñåõ ïóòåé ãðà-ôà ñ ðîâíî äâóìÿ äóãàìè èç óçëà j ÷åðåç ëþáîé óçåë k â óçåë i. A⊗l ÿâëÿ-åòñÿ ìàòðèöåé ïóòåé ñ ìàêñèìàëüíûì âåñîì è ðîâíî l äóãàìè. Ìàòðèöàêðèòè÷åñêîãî ïóòè - ìàòðèöà âåñîâ êðèòè÷åñêîãî ïóòè, ò.å. ìàêñèìàëü-íûå âåñà ñðåäè âñåõ ïóòåé ëþáîé äëèíû, êîòîðûå ìîãóò áûòü îïðåäåëåíûêàê

A+ = ⊕∞l=1A⊗l = A⊕A⊗2 ⊕ ...

Åñëè ãðàô G(A) èìååò öèêëû îòðèöàòåëüíîãî âåñà, òî ëþáîé êðèòè-÷åñêèé ïóòü â ãðàôå èç n óçëîâ ñîäåðæèò áîëüøå n äóã è òàêèì îáðà-çîì ìàòðèöà êðèòè÷åñêèõ ïóòåé îïèñûâàåòñÿ êîíå÷íîé ñóììîé ïåðâûõn ñòåïåíåé ìàòðèöû: A+ = ⊕n

l=1A⊗l.  àöèêëè÷åñêèõ ãðàôàõ èç n óçëîâ

êðèòè÷åñêèé ïóòü èìååò äëèíó íå áîëåå n− 1, è òîãäà A+ = ⊕n−1l=1 A

⊗l.

4 Ïðèìåð ðàñ÷¼òà êðèòè÷åñêèõ ïóòåé íà ãðàôå

Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîêàçàòü ñâÿçü ìåæäó ñòåïåíÿìè ìàòðèöû è êðèòè÷å-ñêèìè ïóòÿìè â ãðàôå ðàññìîòðèì àöèêëè÷åñêèé ãðàô (ðèñ.1), îïèñû-âàåìûé ìàòðèöåé

A =

ε ε ε ε4 ε 2 ε3 ε ε εε 5 4 ε

4

Ðèñ. 1. Ãðàô äëÿ ïðèìåðà ïîèñêà êðèòè÷åñêèõ ïóòåé.

Ñòåïåíè ìàòðèöû ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû òàê: A⊗2 =

ε ε ε ε5 ε ε εε ε ε ε9 ε 7 ε

,

A⊗3 =

ε ε ε εε ε ε εε ε ε ε10 ε ε ε

, A⊗l =

ε ε ε εε ε ε εε ε ε εε ε ε ε

äëÿ âñåõ l ≥ 4.

Òàêèì îáðàçîì, ñóùåñòâóþò äâà ïóòè èç äâóõ äóã èç óçëà 1 â óçåë 4ñ âåñîì 7 (÷åðåç óçåë 3) è âåñîì 9 (÷åðåç óçåë 2) ñîîòâåòñòâåííî. Ìàê-ñèìàëüíûé âåñ 9 ñîîòâåòñòâóåò A⊕2

41 = g. Èç òð¼õ äóã ñóùåñòâóåò òîëüêîîäèí ïóòü ÷åðåç óçëû 1 − 3 − 2 − 4 ñ âåñîì 10; èç áîëåå ÷åì òð¼õ äóã -íåò ïóòåé. Ìàòðèöà êðèòè÷åñêèõ ïóòåé âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:

A+ = ⊕3l=1A

⊗l =

ε ε ε ε5 ε 2 ε3 ε ε ε10 5 7 ε

.Ìàòðèöà êðèòè÷åñêèõ ïóòåé - âàæíûé ýëåìåíò â òåîðèè ìàêñ-ïëþñ

àëãåáðû ëèíåéíûõ ñèñòåì, à òàêæå â ïðàêòèêå âû÷èñëåíèé ýôôåêòèâ-íîñòè àëãîðèòìîâ íà ãðàôàõ. Âåñà êðèòè÷åñêèõ ïóòåé â àöèêëè÷åñêîìîðãðàôå G(A) ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû çà ëèíåéíîå âðåìÿ O(m) ñ èñïîëü-çîâàíèåì àëãîðèòìà òîïîëîãè÷åñêîé ñîðòèðîâêè (m - êîëè÷åñòâî âåðøèíãðàôà G(A)).

5 Ìîäåëèðîâàíèå ñ ïîìîùüþ ìàêñ-ïëþñ àëãåáðû

Àíàëèç ñòàáèëüíîñòè ðàñïèñàíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ìàêñ-ïëþñ àëãåáðûîñíîâûâàåòñÿ íà ìàêðîìîäåëèðîâàíèè òðàíñïîðòíîé ñèñòåìû, äåéñòâó-þùåé ïî ðàñïèñàíèþ. Èíòåðåñóþùèå íàñ ïåðåìåííûå - âðåìåíà ñîâåðøå-íèÿ ñîáûòèé ñ ïîåçäàìè íà ñòàíöèÿõ, êîòîðûå ñâÿçàíû îãðàíè÷åíèÿìèïðèîðèòåòà ïðîïóñêà ïîåçäîâ.  îñíîâíîì, ñîáûòèÿ ñ ïîåçäàìè âêëþ÷à-þò â ñåáÿ ïðèáûòèå, îòïðàâëåíèå è ñîáûòèå îêîí÷àíèÿ ìàðøðóòà. Âðåìå-íà ñëåäîâàíèÿ ìåæäó ñòàíöèÿìè ñòðîãî îïðåäåëåíû, âðåìåíà ïðèáûòèÿìîãóò áûòü îïåðåäåëåíû ÷åðåç ìîìåíòû îòïðàâëåíèÿ è âðåìåíà ñëåäî-âàíèÿ, ïîýòîìó íàñ áóäóò èíòåðåñîâàòü òîëüêî âðåìåíà îòïðàâëåíèÿ ñîñòàíöèé. Ïîä ïåðèîäè÷íîñòüþ ðàñïèñàíèÿ ïîíèìàåòñÿ ïîâòîðåíèå ìî-

5

ìåíòîâ îòïðàâëåíèÿ ÷åðåç êàæäûå T ìèíóò (îò 60 äî 1440 ìèíóò â çàâè-ñèìîñòè îò òèïà ðàñïèñàíèÿ).  îäíîì ïåðèîäå èñïîëüçóåòñÿ îäèí íàáîðïåðåìåííûõ.

Ìàêñ-ïëþñ ìîäåëü âûñøåãî ïîðÿäêà

Îáîçíà÷èì çà xi(k) k-îå âðåìÿ îòïðàâëåíèÿ ïîåçäà Li ñî ñòàíöèè Si. Íåäîïóñêàåòñÿ îòïðàâëåíèå ïîåçäà ðàíåå âðåìåíè îòïðàâëåíèÿ ïî ðàñïèñà-íèþ, èç ÷åãî ïîëó÷àåì îãðàíè÷åíèå ïî ðàñïèñàíèþ:

xi(k) ≥ di(k), (1)

ãäå di(k) - âðåìÿ k-îãî îòïðàâëåíèÿ ïî ðàñïèñàíèþ ïîåçäà Li ñî ñòàí-öèè Si.  ðàñïèñàíèè ñ ïåðèîäîì T âðåìÿ îòïðàâëåíèÿ ïî ðàñïèñàíèþìîæåò áûòü ïîëó÷åíî êàê di(k) = di(0) + k ∗ T , ãäå di(0) - íà÷àëüíîåâðåìÿ îòïðàâëåíèÿ ñîáûòèÿ i.

Ïåðåä òåì êàê ïîåçä áóäåò ãîòîâ ê îòïðàâëåíèþ îí äîëæåí ïðîéòèïðîâåðêè ïî îãðàíè÷åíèÿì ïðèîðèòåòà. Ïðåæäå âñåãî, äî ñâîåãî îòïðàâ-ëåíèÿ ñ äàííîé ñòàíöèè ïîåçä äîëæåí ïðèáûòü ñ ïðåäûäóùåé ñòàíöèè, èïàññàæèðû äîëæíû èìåòü âðåìÿ íà ïîñàäêó-âûñàäêó ïàññàæèðîâ (èëèâûïîëíåíèÿ äðóãèõ òåõíîëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé íà ñòàíöèÿõ). Ýòî ïîðîæ-äàåò ñëåäóþùåå îãðàíè÷åíèå:

xi(k) ≥ aij + xj(k − µij), (2)

ãäå aij - ñóììà âðåìåíè õîäà îò ïðåäûäóùåé ñòàíöèåé è ìèíèìàëü-íîãî âðåìåíè ñòîÿíêè (âûïîëíåíèÿ îïåðàöèé) íà ñòàíöèè Si,

xj(k− µij) - âðåìÿ îòïðàâëåíèÿ ñ ïðåäûäóùåé ñòàíöèè, êîòîðîå ðåà-ëèçóåòñÿ â òîì æå ñàìîì ïåðèîäå èëè îäèí èëè áîëåå ïåðèîäîâ íàçàä. µij

- ÷èñëî ïðåäûäóùèõ ïåðèîäîâ. Åñëè ïðåäûäóùåå ñîáûòèå j çàïëàíèðîâà-íî â òîì æå ïåðèîäå k òàêæå êàê è ñîáûòèå i, òî µij = 0, åñëè j - â ïðåäû-äóùåì ïåðèîäå, òî µij = 1 è ò.ä. Òàêæå äàííîå îãðàíè÷åíèå ïîçâîëÿåòó÷åñòü âðåìÿ íà âûñàäêó ïàññàæèðîâ, âðåìÿ íà ñìåíó ëîêîìîòèâíûõáðèãàä, ñìåíó ëîêîìîòèâîâ è ò.ï. Êîíôëèêò ìàðøðóòîâ ïîåçäîâ òàêæåìîæåò áûòü îïèñàí ñ ïîìîùüþ äàííîãî îãðàíè÷åíèÿ.  ýòîì ñëó÷àå j- "íîìåð"îòïðàâëåíèÿ ïðåäûäóùåãî ïîåçäà íà êîíôëèêòíûé ìàðøðóò,aij - ìèíèìàëüíûé ðåçåðâ ïîñëå ïðèáûòèÿ j ïåðåä òåì êàê êîíôëèêòíûéìàðøðóò áóäåò îñâîáîæä¼í äëÿ ïðèáûòèÿ i (ðèñ. 2). Îòìåòèì òàêæå, ÷òîòàêîå "èíôðàñòðóêòóðíîå"îãðàíè÷åíèå (ò.å. îãðàíè÷åíèå, îïðåäåëÿþùååçàíÿòîñòü ïóòåé ïîåçäàìè ñ êîíôëèêòíûìè ìàðøðóòàìè) îïèñûâàåò ïî-ðÿäîê çàíÿòèÿ ïîåçäàìè êîíôëèêòíîãî ìàðøðóòà.

6

Ðèñ. 2. Ïðèìåð ìèíèìàëüíîãî ðåçåðâà îò ñîáûòèÿ j äî ñîáûòèÿ i.

Ïðèíèìàÿ, ÷òî ïîåçä îòïðàâëÿåòñÿ ñðàçó ïîñëå òîãî êàê âñå îãðàíè-÷åíèÿ âûïîëíåíû, ìû ïîëó÷èì

xi(k) = max(maxj

(aij + xj(k − µij)), di(k)), (3)

ãäå j îòñ÷èòûâàåòñÿ îò ïðåäûäóùåãî i (ðèñ. 3).

Ðèñ. 3. Ïðèìåð ðàñ÷¼òà ìèíèìàëüíîãî ðåçåðâà îò ñîáûòèÿ j äî ñîáûòèÿi.

Òàêîå ðåêóðñèâíîå âûðàæåíèå ìîæåò áûòü çàïèñàíî â ìàêñ-ïëþñ àë-ãåáðå êàê

xi(k) = ⊕nj=1(aij ⊗ xj(k − µij))⊕ di(k)), (4)

ãäå n - ñóììàðíîå êîë-âî ñîáûòèé è aij = ε äëÿ ëþáîé ïàðû (i, j),äëÿ êîòîðîé íå îïðåäåëåíî äàííîå îãðàíè÷åíèå. Äëÿ òîãî ÷òîáû çàïèñàòüäàííîå îãðàíè÷åíèå â ìàòðè÷íîé ôîðìå, ñîáåðåì âñå âðåìåíà ñëåäîâà-íèÿ a(i, j), êîòîðûå âõîäÿò â ïåðèîä l, â ìàòðèöó Al, ïðè÷åì (Al)ij = εåñëè äàííîãî îãðàíè÷åíèÿ ïî çàäåðæêå íå ñóùåñòâóåò. Ñ ó÷¼òîì âåêòî-ðîâ x(k) = (x1(k), ..., xn(k))′ è d(k) = (d1(k), ..., dn(k))′ îãðàíè÷åíèå âìàòðè÷íîé ôîðìå çàïèøåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

x(k) = ⊕pl=0(Al ⊗ x(k − l))⊕ d(k), (5)

ãäå ìàêñèìàëüíûé ïåðèîä p íàçûâàåòñÿ ïîðÿäêîì ñèñòåìû. Âåêòîððàñïèñàíèÿ d(k) ìîæåò áûòü çàïèñàí â ìàêñ-ïëþñ àëãåáðå êàê

d(k) = d(0)⊕ T⊗k, (6)

ãäå ñêàëÿðíîå óìíîæåíèå âåêòîðà îïðåäåëÿåòñÿ ïîêîìïîíåíòíî è k-àÿ ñòåïåíü ñêàëÿðà îïðåäåëÿåòñÿ ïîâòîðåíèåì k ðàç, ò.å. T⊗k = k · T .

7

Ïðèìåð ìîäåëèðîâàíèÿ âûñøåãî ïîðÿäêà

Ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðîñòîé îäíîïóòíûé ó÷àñòîê îò ñòàíöèè A äî ñòàíöèèC ñ ïðîìåæóòî÷íîé ñòàíöèåé B, íà êîòîðîé îñóùåñòâëÿåòñÿ ðàçâÿçêàïîåçäîâ âñòðå÷íûõ íàïðàâëåíèé (ðèñ.2). Êàæäûé ÷àñ ïîåçäà ïðîòèâîïî-ëîæíûõ íàïðàâëåíèé îòïðàâëÿþòñÿ ñî ñòàíöèé A è C ñîîòâåòñòâåííî èïðîñëåäóþò ÷åðåç ñòàíöèþ B. Âðåìÿ ñëåäîâàíèÿ ìåæäó ñòàíöèÿì A èB ðàâíî 26 ìèíóòàì, ìåæäó B è C - 25 ìèíóòàì (â îáà íàïðàâëåíèÿ),ìèíèìàëüíîå âðåìÿ ñòîÿíêè íà ñòàíöèè B - îäíà ìèíóòà, íà ãðàíè÷íûõñòàíöèÿõ A è C âðåìÿ íà ñìåíó íàïðàâëåíèÿ ñîñòàâëÿåò ïî 3 ìèíóòû,ïîñëå ÷åãî ïîåçäà ãîòîâû ê îòïðàâëåíèþ â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëå-íèè. Áóäåì îïèñûâàòü ìàêñ-ïëþñ ìîäåëü ñ ÷åòûðåìè ñîáûòèÿìè îòïðàâ-ëåíèÿ: x1 - îòïðàâëåíèå ñî ñòàíöèè A â íàïðàâëåíèè ñòàíöèè B, x2 - èçÑ íà B, x3 - èç B íà A, x4 - èç B íà C.

Ðèñ. 4. Ïðèìåð îäíîïóòíîãî ó÷àñòêà è ðàññìàòðèâàåìûõ íà í¼ìñîáûòèé.

Îòïðàâëåíèå x1(k) äîëæíî îæèäàòü ïðåäûäóùåãî îòïðàâëåíèÿ x3(k−1) ñî ñòàíöèè B â ïðåäûäóùåì ïåðèîäå ïëþñ åù¼ 26 ìèíóò âðåìåíè õîäàîò B äî A, à òàêæå 3 ìèíóòû íà ñòàíöèè A, ò.å. x1(k) ≥ 3⊗26⊗x3(k−1).Òàêæå ó÷ò¼ì âðåìÿ ïî ðàñïèñàíèþ: d1(k) = 0 + k · 60, ÷òî ïðèâîäèò êñëåäóþùåìó îãðàíè÷åíèþ:

x1(k) = 29⊗ x3(k − 1)⊕ d1(k). (7)

Àíàëîãè÷íî, îòïðàâëåíèå x2(k) ñî ñòàíöèè C æä¼ò ïðåäûäóùåãî îò-ïðàâëåíèÿ x4(k − 1) èç B, ïëþñ åù¼ 25 ìèíóò âðåìåíè õîäà è 3 ìèíóòûíà ñìåíó íàïðàâëåíèÿ ñîñòàâà, à òàêæå ñ ó÷¼òîì âðåìåíè ðàñïèñàíèÿd2(k) = 0 + k · 60, ïîëó÷èì

x2(k) = 28⊗ x4(k − 1)⊕ d2(k) (8)

8

Îòïðàâëåíèå x3(k) èç B èìååò òðè îãðàíè÷åíèÿ: âî-ïåðâûõ, îæèäà-íèå ïðåäûäóùåãî ïðèáûòèÿ x2(k) èç C â òîì æå ïåðèîäå ïëþñ 25 ìèíóòïåðåãîííîãî âðåìåíè õîäà è îäíà ìèíóòà ñòîÿíêè íà ñòàíöèè B äà¼ò îãðà-íè÷åíèå x3(k) ≥ 1 ⊗ 25 ⊗ x2(k); âî-âòîðûõ, ñ B âîçìîæíî îòïðàâëåíèåòîëüêî åñëè ïîåçä ñ A óæå ïðèáûë íà B äà¼ò x3(k) ≥ 26⊗x1(k) (ïðè ýòîìïðîìåæóòîê âðåìåíè ìåæäó ïðèáûòèåì îäíîãî ïîåçäà è îòïðàâëåíèåìïîåçäà ïðîòèâîïîëîæíîãî íàïðàâëåíèÿ ïðèíèìàåòñÿ ðàâíûì íóëþ); â-òðåòüèõ, ïîåçä äîëæåí æäàòü ñâîåãî âðåìåíè îòïðàâëåíèÿ ïî ðàñïèñà-íèþ: d3(k) = 27 + k · 60. Òàêèå òðè îãðàíè÷åíèÿ äàþò ñëåäóþùåå âûðà-æåíèå â ìàêñ-ïëþñ çàïèñè:

x3(k) = 26⊗ x1(k)⊕ 26⊗ x2(k)⊕ d3(k). (9)

Àíàëîãè÷íî, îòïðàâëåíèå x4(k) èç B â íàïðàâëåíèè C òàêæå èìååòòðè îãðàíè÷åíèÿ ñ ñîîòâåòñòâóþùèì ìàêñ-ïëþñ âûðàæåíèåì:

x4(k) ≥ 27⊗ x1(k) (10)

x4(k) ≥ 25⊗ x2(k)

d4(k) = 27 + k · 60

x4(k) = 27⊗ x1(k)⊕ 25⊗ x2(k)⊕ d4(k).

Âñå ýòè îãðàíè÷åíèÿ ìîãóò áûòü çàïèñàíû â ìàòðè÷íîé ôîðìå:

x(k) =

ε ε ε εε ε ε ε26 26 ε ε27 25 ε ε

⊗ x(k)⊕

ε ε 29 εε ε ε 28ε ε ε εε ε ε ε

⊗ x(k − 1)⊕ d(k), (11)

ïðè÷åì d(k) = (0, 0, 27, 27)′ ⊗ 60⊗k. Ýòî - ôîðìà ïîðÿäêà p = 1. Ýòîòïðèìåð áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ â äàëüíåéøåì äëÿ èëëþñòðàöèè òåîðèè.

Ìàêñ-ïëþñ ìîäåëü ïåðâîãî ïîðÿäêà

Ëþáàÿ ìàêñ-ïëþñ ìîäåëü ïåðâîãî ïîðÿäêà ìîæåò áûòü ïðåîáðàçîâàíà âìîäåëü ëèíåéíîé ñèñòåìû ïåðâîãî ïîðÿäêà â ôîðìå:

x(k) = A⊗ x(k − 1)⊕ d(k), (12)

äëÿ íåêîòîðîé ìàòðèöû A è âîçìîæíîãî ðàñøèðåííîãî âåêòîðà ñî-ñòîÿíèé x(k). Ýòî ïðåîáðàçîâàíèå ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåíî â äâà øàãà.Âî-ïåðâûõ, âñå âûðàæåíèÿ âûñîêîãî ïîðÿäêà ôîðìû (2) ñ µij > 1 ìîãóò

9

áûòü ïðåîáðàçîâàíû â îãðàíè÷åíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà ÷åðåç ïîñëåäîâà-òåëüíîñòü íîâûõ ïåðåìåííûõ. Íàïðèìåð, ðàññìîòðèì îãðàíè÷åíèå

x2(k) ≥ a21 ⊗ x1(k − 2).Çàòåì îïðåäåëèì íîâîå òðåòüå ñîáûòèå, è çàïèøåì ðàññìàòðèâàåìîå

îãðàíè÷åíèå ÷åðåç íîâûå äâà: x3(k) ≥ a31⊗x1(k−1) è x2(k) ≥ a23⊗x3(k−1), ãäå a23⊗a31 = a21, a31 = T, a23 = a21−T, d3(0) = a31⊗d1(0). Ïðèìåíÿÿäàííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ê îñòàëüíûì îãðàíè÷åíèÿì, ó êîòîðûõ ïåðèîäçàäåðæêè áîëüøå ÷åì îäèí ïåðèîä, ïîëó÷èì

x(k) = A0 ⊗ x(k)⊕A1 ⊗ x(k − 1)⊕ d(k). (13)

Âòîðîé øàã - óäàëåíèå óñëîâèé íóëåâîãî ïîðÿäêà èç ïðåäûäóùåãîîãðàíè÷åíèÿ. Ýòî ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíî ïóòåì çàìåíû, ïðîäåìîíñòðè-ðîâàííîé íà ñëåäóþùåì ïðèìåðå. Îòìåòèì, ÷òî ñèñòåìà (11) óæå èìååòïåðâûé ïîðÿäîê è çàïèñàíà â ôîðìå (13).

Ïðèìåð

Âûðàæåíèÿ (7) è (8) óæå çàïèñàíû â ôîðìå ïåðâîãî ïîðÿäêà, íî âûðà-æåíèå (9) - â ôîðìå íóëåâîãî ïîðÿäêà. Äëÿ òîãî, ÷òîáû óéòè îò ôîðìûíóëåâîãî ïîðÿäêà, íåîáõîäèìî çàìåíèòü âûðàæåíèÿ (7) è (8) âíóòðè âû-ðàæåíèÿ (9). Ïîëó÷àåì:

x3(k) = 26⊗x1(k)⊕26⊗x2(k)⊕d3(k) = 26⊗29⊗x3(k−1)⊕26⊗d1(k)⊕26⊗28⊗x4(k−1)⊕26⊗d2(k)⊕d3(k) = 55⊗x3(k−1)⊕54⊗x4(k−1)⊕d3(k).

(14)

Îòìåòèì, ÷òî ïðàâèëî ðàñïèñàíèÿ äîìèíèðóåò ÷åðåç âðåìÿ d3(k), òîåñòü 26 ⊗ d1(k) ⊕ 26 ⊗ d2(k) = 26 ⊗ 60⊗k = d3(k) è îòñþäà ìîæåò áûòüóäàëåíî èç ôèíàëüíîãî âûðàæåíèÿ. Ðàñïèñàíèå, óäîâëåòâîðÿþùåå äàí-íîìó îãðàíè÷åíèþ, íàçîâ¼ì ðåàëèçóåìûì. Àíàëîãè÷íî, óñëîâèå íóëåâîãîóðîâíÿ â (10) ìîæåò áûòü ïðåîáðàçîâàíî ÷åðåç çàìåíû (7) è (8):

x4(k) = 27⊗x1(k)⊕25⊗x2(k)⊕d4(k) = 27⊗29⊗x3(k−1)⊕27⊗d1(k)⊕25⊗28⊗x4(k−1)⊕25⊗d2(k)⊕d4(k) = 56⊗x3(k−1)⊕53⊗x4(k−1)⊕d4(k).

(15)

 ìàòðè÷íîé çàïèñè çàïèøåì ôîðìó (12):

x(k) =

ε ε 29 εε ε ε 28ε ε 55 54ε ε 56 53

⊗ x(k − 1)⊕ x(k), (16)

Äàííûé ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî âûðàæåíèå íóëåâîãî ïîðÿäêà ìîæåòáûòü èñêëþ÷åíî çàìåíîé íà âûðàæåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà. Ýòîò ïðîöåññ -

10

àëãåáðàè÷åñêîå ïðåîáðàçîâàíèå, îíî ìîæåò áûòü çàïèñàíî â ìàòðè÷íîéôîðìå. Ïðåîáðàçîâàíèå (13) ýêâèâàëåíòíî ñëåäóþùåìó:

x(k) = A∗0A1 ⊗ x(k − 1)⊕ d(k), (17)

ãäå A∗0 = E ⊕A+0 . Ýòî - ôîðìà (12) ñ

A = A∗0A1 = (E ⊕A0 ⊕A⊗20 ⊕ ...⊕A

⊗n−10 )⊗A1 = (⊕n−1

l=0 A⊗l0 )⊗A1, (18)

ãäå ïðèìåì, ÷òî A0 àöèêëè÷íî, ò.å. íåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îò ñîáû-òèÿ i íàçàä ê ñîáûòèþ i â íóëåâîé ïåðèîä çàäåðæêè. Ýòî ìîæåò äîêà-çàòü, ÷òî ñâîéñòâî àöèêëè÷íîé A0 äîëæíî ïîäõîäèòü ïîä íàøó ìîäåëüðàñïèñàíèÿ. Åñëè îíî íå ïîäõîäèò, òî ñèñòåìà îïðåäåëÿåò áåñêîíå÷íîçàöèêëåííóþ ñèòóàöèþ. Ìàòðèöà A+

0 ñîäåðæèò âåñà êðèòè÷åñêèõ ïóòåéâñåõ ïóòåé îðãðàôà G(A0), îïèñàííûõ óçëàìè 1, ..., n è äóãàìè arc(i, j) ñâåñàìè aij äëÿ âñåõ ïàð (i, j) ñ µij = 0, ïåðåñåêàþùååñÿ ñ îãðàíè÷åíèÿìèñ íóëåâûì ïåðèîäîì îïîçäàíèé.

Ïðèìåð

 ïðèìåðå ñèñòåìû (11), G(A0) ñîäåðæèò òîëüêî ïóòü èç îäíîé äóãè(ðèñ. 5), ïîýòîìó A∗0 âû÷èñëÿåòñÿ êàê

A∗0 = E ⊕A0 =

0 ε ε εε 0 ε εε ε 0 εε ε ε 0

⊕ε ε ε εε ε ε ε26 26 ε ε27 25 ε ε

=

0 ε ε εε 0 ε ε26 26 0 ε27 25 ε 0

. (19)

Ðèñ. 5. Ïðèîðèòåòíûé ãðàô G(A0) ñîáûòèé â íóëåâîé ïåðèîäîïîçäàíèé ðàññìàòðèâàåìîãî ïðèìåðà

Ñëåäîâàòåëüíî, èìååì:

11

A = A∗0A1 =

0 ε ε εε 0 ε ε26 26 0 ε27 25 ε 0

⊗ε ε 29 εε ε ε 28ε ε ε εε ε ε ε

=

ε ε 29 εε ε ε 28ε ε 55 54ε ε 56 53

. (20)

è ïî (17) ïîëó÷àåì ñèñòåìó ïåðâîãî ïîðÿäêà (16).

6 Àíàëèç êðèòè÷åñêîé çàêîëüöîâàííîñòè

 äàííîì ðàçäåëå îñíîâíîå âíèìàíèå óäåëÿåì ïîâåäåíèþ ëèíåéíûõ ñè-ñòåì ìàêñ-ïëþñ àëãåáðû, êîãäà âñå ñîáûòèÿ íàñòóïàþò íàñòîëüêî ðàíîíàñêîëüêî ýòî âîçìîæíî ïî îòíîøåíèþ êî âñåì ïðåäûäóùèì îãðàíè÷å-íèÿì, íî ñ ó÷¼òîì âåêòîðà ðàñïèñàíèÿ. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó:

x(k) = A⊗ x(k − 1), x(0) = x0, (21)

ãäå x0 - âåêòîð íà÷àëüíûõ óñëîâèé (âðåì¼í ñîáûòèé). Òàê êàê, (12) -ïðîñòîå ðåêóðñèâíîå âûðàæåíèå, ðåøåíèå xk ìîæåò áûòü âû÷èñëåíî äëÿk ≥ 1 êàê ôóíêöèÿ îò ïåðâîíà÷àëüíûõ óñëîâèé ñëåäóþùèì îáðàçîì:ïðè k = 1 x(1) = Ax(0) = Ax0, ïðè k = 2 x(2) = Ax(1) = AAx(0) =A⊗2x0, ÷òî â èòîãå ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó ðåçóëüòàòó: x(k) = A⊗kx0.Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íåçàâèñèìîñòü îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé âûðàæåíèå äëÿx(k) ïîäõîäèò äëÿ ïåðèîäè÷åñêîãî ðåæèìà, ò.å. xi(k+1)−xi(k) = λi äëÿâñåõ i è k ≥ K äëÿ íåêîòîðîãî ïåðèîäà K, ãäå λ ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêèìâðåìåíåì ñîáûòèÿ è óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåìó óñëîâèþ:

limk→∞

(xi(k)/k) = λi. (22)

Åñëè ãðàô ñòðîãî ñâÿçàí, òî åñëè ñóùåñòâóåò ïóòü îò îäíîãî ñîáûòèÿi äî äðóãîãî ñîáûòèÿ j, òî âñå ñîáûòèÿ èìåþò òàêîå æå óíèêàëüíîå âðå-ìÿ öèêëà λ. Åñëè íà ãðàôå ñóùåñòâóþò ñòðîãî ñâÿçíûå êîìïîíåíòû, òîîí ìîæåò áûòü ðàçäåë¼í íà íåñêîëüêî ïîäãðàôîâ, êàæäûé èç êîòîðûõáóäåò èìåòü óíèêàëüíîå âðåìÿ öèêëà. Äëÿ íàëèçà ñòàáèëüíîñòè ïîäãðàôñ ìàêñèìàëüíûì âðåìåíåì öèêëà ÿâëÿåòñÿ êëþ÷åâûì.

Îñíîâíûå âîïðîñû àíàëèçà ñòàáèëüíîñòè:

1. Êàêîâî çíà÷åíèå âðåìåíè öèêëà λ è êàê îíî ìîæåò áûòü îïðåäåëå-íî?

2. Êàêîâà êðèòè÷åñêàÿ íàãðóçêà íà ñåòü, îïðåäåëÿþùàÿ λ?

3. Êàê äàëåêî òî "ìèíèìàëüíîå äîñòèæèìîå âðåìÿ öèêëà"îò âðåìåíèöèêëà T?

12

4. Ñêîëüêî ïðîìåæóòî÷íûõ (íåñòàáèëüíûõ) ïåðèîäîâ èìååò ìåñòî ïå-ðåä òåì êàê ñèñòåìà äîñòèãíåò ïåðèîäè÷åñêîãî ðèæèìà ôóíêöèî-íèðîâàíèÿ?

Çà îòâåòàìè íà ýòè âîïðîñû îáðàòèìñÿ ê ìàêñ-ïëþñ ïðîáëåìå ïîèñ-êà ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ: âðåìÿ öèêëà λ - óíèêàëüíîå ìàêñ-ïëþñ ñîá-ñòâåííîå çíà÷åíèå ìàòðèöû A ñèñòåìû. Ýòî ìîæåò áûòü ïîêàçàíî ñëå-äóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü λ - ìèíèìàëüíîå âðåìÿ öèêëà, â êîòîðîå âñåðåéñû ïîåçäîâ ìîãóò áûòü ðåàëèçîâàíû ñ ñîîáëþäåíèåì âñåõ îãðàíè÷å-íèé è äîïóùåíèåì, ÷òî v - âåêòîð ñàìûõ ðàííèõ âðåì¼í ñîáûòèé, ïðè÷åì0 ≤ vi < λ äëÿ âñåõ ñîáûòèé i. Âñå ñîáûòèÿ ïîâòîðÿþòñÿ çà ìèíèìàëüíîåâðåìÿ öèêëà λ îòêóäà åñëè x(0) = v, òî x(k) = λ⊗k ⊗ v äëÿ ëþáîãî k,ãäå ïðîèçâåäåíèå ïîêîìïîíåíòíî, ò.å. xi(k) = vi + k · λ äëÿ âñåõ i. Êðîìåòîãî, íà÷èíàÿ ñ âåêòîðà v íàèáîëåå ðàííå âîçìîæíîå âðåìÿ ñîáûòèÿ âñëåäóþùåì ïåðèîäå îïðåäåëÿåòñÿ êàê A ⊗ v è åñëè îíî ïåðèîäè÷íî, òîýêâèâàëåíòíî λ⊗v. Îòñþäà, ïðîáëåìà îïðåäåëåíèÿ λ è âåêòîðà àññîöèà-öèé v ìîæåò áûòü çàïèñàíà êàê ìàêñ-ïëþñ ïðîáëåìà ïîèñêà ñîáñòâåííîãîçíà÷åíèÿ:

A⊗ v = λ⊗ v. (23)

 ñêàëÿðíîé ôîðìå ñòàíäàðòíîé àëãåáðû ýòî ìîæåò áûòü çàïèñàíîêàê

maxj

(aij + vj) = λ+ vi ∀1 ≤ i 6= n,

ãäå â âûðàæåíèè ìàêñèìóìà áåðóòñÿ âñå j, ïðåäûäóùèå ïî îòíîøå-íèþ ê i (äëÿ ýòîãî ñèñòåìà è áûëà ïðèâåäåíà ê ïåðâîé íîðìàëüíîé ôîð-ìå). Ïîëó÷åííîå λ íàçûâàþò ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì, à v - ñîáñòâåííûìâåêòîðîì, ñîîòâåòñòâóþùèì λ.

Ôóíäàìåíòàëüíàÿ òåîðåìà â ìàêñ-ïëþñ àëãåáðå óòâåðæäàåò, ÷òî ñîá-ñòâåííîå çíà÷åíèå λ ýêâèâàëåíòíî çíà÷åíèþ ìàêñèìàëüíîãî öèêëà:

λ = maxC

(w(C)/l(C)), (24)

ãäå w(C) = ⊗(j,i)∈Caij - öèêëè÷åñêèé âåñ, l(C) - öèêëè÷åñêàÿ äëèíà(êîëè÷åñòâî äóã â öèêëå C), ìàêñèìóì áåð¼òñÿ ïî âñåì ýëåìåíòàðíûìöèêëàì C ñèëüíî ñâÿçíîãî ãðàôà G(A). Îòìåòèì, ÷òî â ñèñòåìå ïåðâîãîïîðÿäêà (21) l(C) - íîìåð ïåðèîäà, ïîêðûâàåìîãî öèêëîì C. Öèêë C,íà êîòîðîì äîñòèãàåòñÿ ìàêñèìóì (24), íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêèì öèê-ëîì. Îòñþäà, êðèòè÷åñêèé öèêë èìååò ñàìóþ áîëüøóþ ñóììó âðåì¼íäëÿ äàííîãî íîìåðà ïåðèîäà â ñðàâíåíèè ñî âñåìè îñòàëüíûìè öèêëàìè.Ýòî äà¼ò ïðÿìóþ èíòåðïðåòàöèþ êðèòåðèÿ ñòàáèëüíîñòè: λ âûñòóïàåòíèæíåé ãðàíèöåé âðåìåíè öèêëà âñåõ ñîáûòèé.

Òåîðåìà 1. Ëèíåéíàÿ ìàêñ-ïëþñ ñèñòåìà ðàñïèñàíèÿ (12) ñòàáèëüíàïðè λ < T , êðèòè÷íà ïðè λ = T è íåñòàáèëüíà ïðè λ > T .

13

Äàííàÿ òåîðåìà óòâåðæäàåò, ÷òî ñïåöèàëüíîå âðåìÿ öèêëà T ðàñïè-ñàíèÿ äîëæíî ïðåâûøàòü ìèíèìàëüíî âîçìîæíîå, ïîä êîòîðûì èìååòñÿâ âèäó ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå. Îòñþäà ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ñëóæèò ïðî-âåðêîé ñòàáèëüíîñòè: åñëè λ ïðåâûøàåò âðåìÿ öèêëà T ðàñïèñàíèÿ, òîñèñòåìà íåñòàáèëüíà. Íåñòàáèëüíîñòü çäåñü îçíà÷àåò, ÷òî íåò ðåçåðâîâíà êðèòè÷åñêîì öèêëå, êîòîðûå ñëóæàò äëÿ êîìïåíñàöèè ðàñïðîñòðàíå-íèÿ âîçíèêàþùèõ íà ýòîì öèêëå îïîçäàíèé. Äðóãèìè ñëîâàìè, âñå ïîåç-äà íà êðèòè÷åñêîì öèêëå áóäóò çàäåðæàíû, âîçìîæíî ðàñïðîñòðàíåíèåèõ îïîçäàíèé íà äðóãèå ïîåçäà ñåòè. Åñëè λ áëèçêî ê çíà÷åíèþ T > λ,òî ñáîè íà êðèòè÷åñêîì öèêëå áóäóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ èñêëþ÷èòåëüíîìåäëåííî è ñèñòåìà ñòàíåò íåñòàáèëüíîé â ìîìåíò ñâåðøåíèÿ ñóùåñòâåí-íîãî îïîçäàíèÿ íà êðèòè÷åñêîì öèêëå. Íà ïðàêòèêå ðàñïèñàíèå áóäåòñ÷èòàòüñÿ ñòàáèëüíûì òîëüêî åñëè òàêæå áóäåò èìåòü ìåñòî äîñòàòî÷-íîå êîëè÷åñòâî ïåðèîäîâ íåáîëüøîé çàãðóçêè íà êðèòè÷åñêèõ öèêëàõ.Òàêîå òðåáîâàíèå ìîæåò áûòü îïèñàíî ÷åðåç íåêîòîðóþ íîðìó λ < T − δèëè, ÷òî ýêâèâàëåíòíî ïðåäûäóùåé çàïèñè: ρ = λ/T < λcrit = 1 − δ/T .Îäíàêî, òàêàÿ íîðìà ñòàáèëüíîñòè îêàçûâàåòñÿ íåîïðåäåë¼ííîé è ìî-æåò áûòü âåñüìà ðàçëè÷íîé äëÿ ðàçíûõ ñòðàí è äîðîã, âçàâèñèìîñòè îòðåàëüíîãî îòêëîíåíèÿ âðåì¼í õîäà ïîåçäîâ ìåæäó ñòàíöèÿìè.

Ñîáñòâåííûé âåêòîð ìîæåò áûòü ïîëó÷åí âûáîðîì ëþáîãî óçëà íàêðèòè÷åñêîì öèêëå è âû÷èñëåíèåì âåñà êðèòè÷åñêîãî ïóòè èç ýòîãî óç-ëà âî âñå îñòàëüíûå óçëû ïî ìîäóëþ λ. Ñîáñòâåííûé âåêòîð íå ÿâëÿåòñÿóíèêàëüíûì. Íàïðèìåð, åñëè v - ñîáñòâåííûé âåêòîð, òî òàêæå òàêî-âûì ÿâëÿåòñÿ âåêòîð c⊗ v, ãäå c - ëþáàÿ êîíñòàíòà. Îòìåòèì, ÷òî òàêîåïðîèçâåäåíèå ñîîòâåòñòâóåò "ñäâèæêå"ðàñïèñàíèÿ ïî êîíñòàíòå c.

Ðèñ. 6. Ãðàôèê äâèæåíèÿ ñ îòìåòêàìè âðåìåíè.

Ðèñ. 7. Ãðàô ïðèîðèòåòîâ ïðèìåðà ìàêñ-ïëþñ ñèñòåìû.

14

Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó (16). Ãðàô ïðèîðèòåòîâ G(A) ïîêàçàííà ðèñóíêå 7 (íà ðèñ. 6 ïðåäñòàâëåí ñîîòâåòñòâóþùèé ãðàôèê äâèæå-íèÿ ïîåçäîâ). Îí èìååò òðè ýëåìåíòàðíûõ öèêëà è ïî (24) ñîáñòâåííîåçíà÷åíèå ðàâíî

λ = max(55/1, 53/1, (54⊗ 56)/2) = max(55, 53, 55) = 55.Èìååì äâà êðèòè÷åñêèõ ïóòè: 3-4-3 è 3-3. Ïåðâàÿ êîððåñïîíäåíöèÿ

îòíîñèòñÿ ê ïîëíîìó öèêëó ïîåçäà: íà÷èíàåòñÿ öèêë â B, çàòåì ÷åðåç Aíàçàä â B è ÷åðåç C ñíîâà íàçàä â B. Âòîðîé êðèòè÷åñêèé öèêë îòíî-ñèòñÿ ê åäèíñòâåííîìó ïóòè ìåæäó ñòàíöèÿìè A è B è âêëþ÷àåò âðåìÿîò B äî A, âðåìÿ íà ñìåíó íàïðàâëåíèÿ íà A, âðåìÿ îáðàòíî äî B èìèíèìàëüíîå âðåìÿ îæèäàíèÿ ïîåçäà ïðîòèâîïîëîæíîãî íàïðàâëåíèÿíà B. Ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ìîæåò áûòü âû÷èñëåíî ïî âåñàì êðèòè÷å-ñêîãî ïóòè îò êðèòè÷åñêîãî óçëà 4 ïî ìîäóëþ 55 ïîëó÷àÿ (28,28,54,0)'.Äëÿ òîãî ÷òîáû ñðàâíèòü ñîáñòâåííûé âåêòîð ñ àêòóàëüíûì ðàñïèñà-íèåì ìû ìîæåì óìíîæèòü åãî ïî ïîñòîÿííîé ïî ìîäóëþ λ òàê, ÷òîáûïåðâîå ñîáûòèå èìåëî ìåñòî â ðàñïèñàíèè âðåìÿ 0, èç ÷åãî âûòåêàåò27⊗ (28, 28, 54, 0)′mod55 = (0, 0, 26, 27)′.

Ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå - óíèêàëüíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ñîñòîÿíèÿ ìàò-ðèöû A ëèíåéíîé ìàêñ-ïëþñ ñèñòåìû, è ïîýòîìó çàâèñèò îò âñåõ (èëèêðèòè÷åñêèõ) îãðàíè÷åíèé ïðèîðèòåòà, êîòîðûå îïèñûâàþò ñîñòîÿíèåìàòðèöû A. Îòñþäà, ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ñëóæèò èíäèêàòîðîì ïðîèç-âîäèòåëüíîñòè îïðåäåëåííîé ìîäåëè äâèæåíèÿ, êîòîðàÿ çàâèñèò îò ðàñ-ïèñàíèÿ æåëåçíîäîðîæíîé ñåòè, èñïîëüçóåìîãî ïîäâèæíîãî ñîñòàâà, ñè-ñòåì ÑÖÁ è ñâÿçè, èíôðàñòðóêòóðû. Íàèáîëåå ýôôåêòèâíûé àëãîðèòìäëÿ ðåøåíèÿ ìàêñ-ïëþñ ïðîáëåìû ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå - ïðàâèëî èòåðà-öèîííîãî àëãîðèòìà. Äàííûé àëãîðèòì òàêæå òàêæå íàõîäèò âàðèàíòûñèëüíî ñâÿçíûõ êîìïîíåíò, ñîáñòâåííûé âåêòîð, êðèòè÷åñêèå àêòèâíî-ñòè, ïîÿâëÿþùèåñÿ íà êðèòè÷åñêèõ öèêëàõ.

Äî ñèõ ïîð ìû îòâåòèëè íà ïåðâûå òðè âîïðîñà, îáîçíà÷åííûõ â íà-÷àëå ýòîãî ïàðàãðàôà. Óêàçàííûå âîïðîñû îòíîñÿòñÿ ê êîëè÷åñòâó òðå-áóåìûõ ïåðèîäîâ ïåðåä äîñòèæåíèåì ïåðèîäè÷åñêîãî ðåæèìà. Ïî âèäè-ìîìó, åñëè ìû íà÷í¼ì ñ ñîáñòâåííîãî âåêòîðà, òî ìû òîò÷àñ ïîïàäàåìâ ïåðèîäè÷åñêèé ðåæèì. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âðåìÿ äîñòèæåíèÿ ïåðèî-äè÷åñêîãî ðåæèìà ìîæåò áûòü ïðîèçâîëüíî áîëüøûì â çàâèñèìîñòè îòíà÷àëüíûõ óñëîâèé. Îäíàêî, â ñòàáèëüíîé ëèíåéíîé ìàêñ-ïëþñ ñèñòåìåáîëüøèé öèêë ðàñïèñàíèÿ T > λ äàåò äîïîëíèòåëüíîå çíà÷åíèå âðåìåíèðåçåðâà ∆ = T − λ íà êðèòè÷åñêèõ öèêëàõ. Åñëè ýòî ñòàáèëüíîå ðàâíî-ìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå ðåçåðâà íà êðèòè÷åñêèå ìåñòà ãðàôèêà, òî ðàñïè-ñàíèå ìîæåò áûòü ñîêðàùåíî íà ëþáóþ íà÷àëüíóþ "äåëüòó"â êàæäîìïåðèîäå.  îáùåì ñëó÷àå, îäíàêî, âðåìÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ íà÷àëüíîãîîïîçäàíèÿ çàâèñèò îò ðàñïðåäåëåíèÿ âðåì¼í õîäà ìåæäó ñòàíöèÿìè èâðåìåíè ðåçåðâîâ â ðàñïèñàíèè, êîòîðûå áóäóò ðàññìîòðåíû â ñëåäóþ-ùèõ äâóõ ïàðàãðàôàõ.

15

7 Àíàëèç âðåìåíè âîññòàíîâëåíèÿ ñèñòåìû

Ðàñïèñàíèå â îñíîâíîì ñîäåðæèò ðåçåðâû äëÿ ïîãàøåíèÿ ïðåäûäóùèõîïîçäàíèé. Âðåìÿ ðåçåðâà ìîæåò áûòü îáúåäèíåíî ñ ïðîöåññíûìè âðå-ìåíàìè ðàñïèñàíèÿ (âðåìåíàìè õîäà ìåæäó ñòàíöèÿìè) èëè ìåæäó ìî-ìåíòàìè ïåðåìåùåíèé ïîåçäîâ (âðåìåíà ðåçåðâîâ). Äëÿ ëþáîãî ïåðåìå-ùåíèÿ (j, i) âðåìÿ ðåçåðâà íàõîäèòñÿ â ïðîìåæóòêå ìåæäó îêîí÷àíèåìïåðåìåùåíèÿ dj(k − µij) + aij è íà÷àëîì ïåðåìåùåíèÿ di(k).  ïåðèîäè-÷åñêîì ðàñïèñàíèè ýòîò ðåçåðâ ìîæåò áûòü ïîëó÷åí êàê di(0) − dj(0) −aij +µij ·T .  ðåàëüíîì ðàñïèñàíèè âñå ðåçåðâû íåîòðèöàòåëüíû. Îäíàêî,êðèòè÷åñêîå âðåìÿ ðåçåðâà îò j äî i ìîæåò áûòü ìåíüøå âðåìåíè ðåçåðâàïåðåìåùåíèÿ (j, i) åñëè ñóùåñòâóåò äðóãîé ïóòü îò j äî i ñ ìåíüøèì âðå-ìåíåì ðåçåðâà. Êðèòè÷åñêîå âðåìÿ ðåçåðâà ìåæäó äâóìÿ ñîáûòèÿìè j èi áóäåì íàçûâàòü âðåìåíåì íà âîññòàíîâëåíèå ìåæäó íèìè.  îáùåì ñëó-÷àå èíòåðåñíî óçíàòü ñêîëüêî âðåìåíè âîññòàíîâëåíèÿ äîñòóïíî ìåæäóëþáûìè äâóìÿ ïàðàìè ñîáûòèé â ðàñïèñàíèè. Òàêèå âðåìåíà ìîãóò áûòüïðåäñòàâëåíû â ìàòðèöå âîññòàíîâëåíèÿ, îòíîñÿùåéñÿ ê äàííîìó ðàñïè-ñàíèþ. Ìàòðèöà âîññòàíîâëåíèÿ ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà ïî àëãîðèòìóêðèòè÷åñêîãî ïóòè íà îðãðàôå, â êîòîðîì êàæäàÿ äóãà ñîîòâåòñòâóåò ïå-ðåìåùåíèþ (j, i), âåñà äóã ïîêàçûâàþò êàêàÿ âåëè÷èíà çàäåðæêè ìîæåòáûòü ïîãëàùåíà íà ýòàïå äàííîãî ïåðåìåùåíèÿ. Òàêîé ãðàô ÿâëÿåòñÿïðèîðèòåòíûì ãðàôîì G(S) ñ ìàòðèöåé S = (sij), îïðåäåëÿåìîé êàê

sij = dj(0)− di(0) + aij − µij · T ,÷òî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îòðèöàòåëüíîå âðåìÿ ðåçåðâà ïåðåìåùåíèÿ

(j, i). Ìàòðèöà âîññòàíîâëåíèÿ áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ êàê

R = −S+ (25)

Îòìåòèì, ÷òî òàêàÿ ìàòðèöà âîññòàíîâëåíèÿ ñîäåðæèò ìèíèìàëüíûéñóììàðíûé ðåçåðâ äëÿ ëþáîãî ïóòè ìåæäó äâóìÿ ñîáûòèÿìè. Åñëè íåñóùåñòâóåò ïóòè ìåæäó ñîáûòèÿìè j è i, òî sij = ε è rij = ∞, ãäå ìûèñïîëüçóåì ñîãëàøåíèå, ÷òî −ε =∞.

Ðàçëè÷íûå ýëåìåíòû ìàòðèöû âîññòàíîâëåíèÿ èìåþò ðàçëè÷íóþ èí-òåðïðåòàöèþ. Òàê, i-ûé ñòîëáåö ìàòðèöû R äà¼ò âðåìåíà âîññòàíîâëåíèÿîò ñîáûòèÿ i êî âñåì áîëåå ïîçäíèì ñîáûòèÿì. Ñëåäîâàòåëüíî, ñòîëáöûìàòðèöû R ìîãóò ïîíèìàòüñÿ êàê âåêòîðà âëèÿíèÿ îïîçäàíèé: åñëè íàñîáûòèè i ñëó÷àåòñÿ îïîçäàíèå, òî âñå ÿ÷åéêè ñòîëáöà i ìåíüøèå îïîç-äàíèÿ íå èìåþò íåîáõîäèìûõ ðåçåðâîâ è ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáûòèÿ jáóäóò çàäåðæàíû. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, i-àÿ ñòðîêà ìàòðèöû R ïðåäñòàâ-ëÿåò ñîáîé ðåçåðâû îò âñåõ áîëåå ðàííèõ ñîáûòèé äî ñîáûòèÿ i. Ïîýòîìóñòðîêè ìîãóò ïîíèìàòüñÿ êàê âåêòîðà ÷óâñòâèòåëüíîñòè ê îïîçæàíèÿì:åñëè íåêîå ñîáûòèå j èìååò îïîçäàíèå, è ñîîòâåòñòâóþùèé ýòîìó ñîáû-òèþ ýëåìåíò âõîäèò â ñòðîêó i, òî ñîáûòèå i áóäåò çàäåðæàíî. Íàêîíåö,äèàãîíàëü ìàòðèöû R ñîîòâåòñòâóåò îòâåòíîé ðåàêöèè âðåìåíè âîññòà-

16

íîâëåíèÿ äëÿ áóäóùèõ ñâåðøåíèé ýòîãî æå ñîáûòèÿ. Ëþáûå îïîçäàíèÿ,âåëè÷èíà êîòîðûõ áîëüøå ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòîâ äèàãîíàëè R ìî-æåò ïðèâåñòè ê íåîæèäàííûì ðåçóëüòàòàì â òîì æå ñàìîì öèêëå ðàñïè-ñàíèÿ. Îòìåòèì, ÷òî ñòîëáöû (ñîîòâåòñòâåííî ñòðîêè) ìàòðèöû âîññòà-íîâëåíèÿ ìîãóò òàêæå áûòü ïîëó÷åíû ïî îäíîìó ïóíêòó îòïðàâëåíèÿ(íàçíà÷åíèÿ) àëãîðèòìó êðèòè÷åñêîãî ïóòè.

Ïðèìåð.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì ñèñòåìó

S =

ε ε −4 εε ε ε −5−1 −1 ε ε0 −2 ε ε

, R = −S+ =

5 5 4 105 7 9 51 1 5 60 2 4 7

.Èç äàííîé ìàòðèöû âîññòàíîâëåíèÿ ìîæåì ñäåëàòü ñëåäóþùèå âû-

âîäû. Íóëåâîå âðåìÿ âîññòàíîâëåíèÿ îçíà÷àåò íóëåâîé ðåçåðâ ìåæäó îò-ïðàâëåíèåì ñî ñòàíöèè A è îòïðàâëåíèþ ñ B â íàïðàâëåíèè ñòàíöèè C.Ïåðâûé ñòîëáåö ìàòðèöû R ïîêàçûâàåò âåêòîð âëèÿíèÿ íà îïîçäàíèÿäëÿ îòïðàâëåíèé ñî ñòàíöèè A: ëþáîå îïîçäàíèå áóäåò ðàñïðîñòðàíÿòü-ñÿ íà ñîáûòèå 4 è çàäåðæèâàòü áîëåå ÷åì íà ìèíóòó ñîáûòèå 3. Ñ äðó-ãîé ñòîðîíû, òàêîå îòïðàâëåíèå íå ÷óâñòâèòåëüíî ê îïîçäàíèÿì äðóãèõñîáûòèé (êàê âèäíî èç ïåðâîé ñòðîêè): ëþáîå îïîçäàíèå äî 4-õ ìèíóòðàñïðîñòðàíÿåòñÿ äî ñîâåðøåíèÿ äàííîãî ñîáûòèÿ. Äèàãîíàëüíûå ýëå-ìåíòû ïîêàçûâàþò, ÷òî ïîåçäà ìåæäó ñòàíöèÿìè A è B (ñîáûòèÿ 1 è 3)èìåþò ìåíüøåå âðåìÿ âîññòàíîâëåíèÿ ÷åì ìåæäó ñòàíöèÿìè B è Ñ (ñî-áûòèÿ 2 è 4), êîòîðûå ñîãëàñóþòñÿ ñ êðèòè÷åñêèì öèêëîì îäíîïóòíîãîó÷àñòêà ìåæäó ñòàíöèÿìè A è B.

8 Ðàñïðîñòðàíåíèå çàäåðæåê

Ìàòðèöà âîññòàíîâëåíèÿ R = (rij) ñîäåðæèò ìàêñèìàëüíûå âåëè÷èíûîïîçäàíèé, êîòîðûå ìîãóò áûòü âîññòàíîâëåíû äëÿ êàæäîé ïàðû ñîáû-òèé òðàíñïîðòíîé ñåòè. Òàê, åñëè íà÷àëüíîå îïîçäàíèå ïîåçäà j ïðåâû-øàåò âðåìÿ âîññòàíîâëåíèÿ rij , òî îïîçäàíèå ðàñïðîñòðàíèòñÿ íà ïîåçäi. Òåì íå ìåíåå, ìàòðèöà âîññòàíîâëåíèÿ íå ãîâîðèò î òîì, êîãäà ýòîò ïî-åçä áóäåò çàäåðæàí è ðàñïðîñòðàíèòñÿ ëè äàííîå îïîçäàíèå öèêëè÷åñêèèëè íà îïîçäàíèÿ âðåì¼í îòïðàâëåíèÿ äðóãèõ ïîåçäîâ. Äèíàìè÷åñêàÿìàêñ-ïëþñ ñèñòåìà (13) ìîæåò, îäíàêî, áûòü èñïîëüçîâàíà äëÿ âû÷èñ-ëåíèÿ äåòàëüíîãî âëèÿíèÿ îïîçäàíèé íåêîòîðîãî íà÷àëüíîãî ñöåíàðèÿîïîçäàíèÿ.

Ïóñòü z0 - âåêòîð íà÷àëüíûõ îïîçäàíèé, êîòîðûé ìîæåò áûòü áåç ïî-òåðè îáùíîñòè îòíåñ¼í ê ïåðèîäó k = 0. Çàòåì ðàñïðîñòðàíåíèå òàêèõíà÷àëüíûõ îïîçäàíèé ìîæåò áûòü âû÷èñëåíî â äâà ýòàïà: íà ïåðâîì ýòà-ïå âû÷èñëÿåòñÿ ðàñïðîñòðàíåíèå îïîçäàíèé ÷åðåç çàäåðæåííûå â ïåðèîä0 ïîåçäà (êîòîðûå äàþò âåêòîð íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ x(0)), à íà âòîðîì- ðàñïðîñòðàíåíèå ÷åðåç ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïåðèîäîâ k ≥ 1 èñïîëüçóÿ

17

(12) äëÿ ïîëó÷åíèÿ íà÷àëüíûõ óñëîâèé x(0). Ïåðåäà÷à îïîçäàíèé ìåæäóñìåæíûìè ïåðèîäàìè ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà èç ìàêñ-ïëþñ ìîäåëè êàêz(k) = x(k) − d(k) äëÿ k ≥ 1, ïåðåäà÷à îïîçäàíèé ðàíåå ñàìîãî ïåðâîãîïåðèîäà kS äà¼ò íàì z(kS) = 0, ÷òî ýêâèâàëåíòíî x(kS) = d(kS).

Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ìîãóò áûòü âû÷èñåíû ñëåäóþùèì îáðàçîì. Îïðå-äåëèì âåêòîð âðåì¼í íà÷àëüíûõ ñîáûòèé êàê x0 = z0 + d(0). Çàòåìx(0) = A∗0x0 = x0 ⊕ A+

0 x0. Ïåðâîå âûðàæåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåê-òîð ñ èçâåñòíûìè íà÷àëüíûìè îïîçäàíèÿìè, âî âòîðîì - âû÷èñëÿþòñÿâîçìîæíûå îïîçäàíèÿ âðåì¼í ñîáûòèé â îñòàëüíûõ ïåðèîäàõ. Îòìåòèì,÷òî (A+

0 )ij - êðèòè÷åñêàÿ ñóììà âðåì¼í âñåõ ïóòåé â íóëåâîì ïåðèîäåîïîçäàíèé îò j äî i. Îòñþäà xi(0) ≥ (A+

0 )ij ⊗ xi(0)∀j.Àëãîðèòì ðàñïðîñòðàíåíèÿ îïîçäàíèé èñïîëüçóÿ (12) ñ A = A∗0 ⊗A1

ìîæíî òàêæå îáîáùèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âû÷èñëèì x0 = z0 + d(0) èx(0) = A∗0 ⊗ x0. Çàòåì èòåðèðóÿ ïî k ≥ 1 ïîëó÷èì

d(k) = T ⊗ d(k − 1)x(k) = A⊗ x(k − 1)⊕ d(k)z(k) = x(k)− d(k)

ïîêà z(k) = 0, â ýòîì ñëó÷àå óñòàíîâèì ks = k.Ôîðìàëüíî, ëèíåéíàÿ ìàêñ-ïëþñ ñèñòåìà ñ ðàñïèñàíèåì (12) ÿâëÿ-

åòñÿ ãëîáàëüíî ñòàáèëüíîé, åñëè äëÿ ëþáîãî x(0) > d(0) ñóùåñòâóåò êî-íå÷íîå K > 0 òàêîå ÷òî x(k) = d(k) äëÿ âñåõ k ≥ K. Íà ïðàêòèêå ýòîîçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî ñîáûòèÿ i îïîçäàíèå zi(k0) = xi(ko) − di(k0) âíåêîòîðîì ïåðèîäå k0 äîëæíî áûòü ÷àñòè÷íî ïîãëîùåíî ïåðåä âîçâðà-ùåíèåì ê ñëåäóþùåé ðåàëèçàöèè äàííîãî ñîáûòèÿ xi(k) ñ k > k0. Òàêèìîáðàçîì, æåëåçíîäîðîæíîå ðàñïèñàíèå ñòàáèëüíî åñëè êàæäûé öèêë âàññîöèèðîâàííîì ïðèîðèòåòíîì ãðàôå ñîäåðæèò íåêîòîðîå âðåìÿ ðåçåð-âà äëÿ êîìïåíñàöèè îïîçäàíèé èëè óìåíüøåíèè âëèÿíèÿ îïîçäàíèé. Ýòîóñëîâèå èäåíòè÷íî ïðîâåðêå λ < T èç Òåîðåìû 1. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëèñèñòåìà ôîðìàëüíî ñòàáèëüíà, ò.å. λ < T , òî ëþáûå íà÷àëüíûå îïîçäà-íèÿ çàòóõàþò ïîñëå êîíå÷íîãî ÷èñëà ïåðèîäîâ kS , è àëãîðèòì ðàñïðî-ñòðàíåíèÿ îïîçäàíèé çàêàí÷èâàåòñÿ.

Àëãîðèòì ðàñïðîñòðàíåíèÿ îïîçäàíèé îïèñûâàåò âûøåóïîìÿíóòûåâû÷èñëåíèÿ êðèòè÷åñêèõ ïóòåé âðåìåííûõ ðåçåðâîâ íåêîòîðûõ ïîñëåäî-âàòåëüíûõ ïåðèîäîâ êàê òðåáóåìûé äëÿ ðàçðåøåíèÿ íà÷àëüíûé âåêòîðîïîçäàíèé. Íàïîìíèì, ÷òî äëÿ àíàëèçà ñòàáèëüíîñòè ðàñïèñàíèÿ îñíîâ-íîé èíòåðåñ - îïðåäåëåíèå ðàñïðîñòðàíåíèÿ çàäåðæåê íà ïðîòÿæåíèèïåðèîäà âîññòàíîâëåíèÿ ðàñïèñàíèÿ äëÿ îöåíêè êàê õîðîøî äàííîå ðàñ-ïèñàíèå ìîæåò ðàçðåøàòü âîçíèêàþùèå îïîçäàíèÿ. Äëÿ áîëüøèõ îïîç-äàíèé íà ïðàêòèêå ìåíÿþò ïîðÿäîê ïîåçäîâ èëè ñîêðàùàþò âðåìÿ íàïîñàäêó-âûñàäêó ïàññàæèðîâ äëÿ áîëåå áûòðîãî ëèêâèäèðîâàíèÿ çàäåð-æåê. Ìàêñ-ïëþñ ìîäåëü ìîæåò áûòü îòðåãóëèðîâàíà òàê, ÷òî äèñïåò-÷åðñêàÿ ñòðàòåãèÿ ìîæåò áûòü ïðèíÿòà âî âíèìàíèå, à òàêæå âñòðîåíà

18

â àëãîðèòì îïòèìèçàöèè äëÿ âû÷èñëåíèÿ îïòèìàëüíîé äèñïåò÷åðñêîéñòðàòåãèè.

Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ïðèìåð ñèñòåìû (11) è ïðèìåì, ÷òî íà÷àëüíîåîòïðàâëåíèå ñî ñòàíöèé A è C èìååò 10-ìèíóòíîå îïîçäàíèå. Òîãäà x0 =(10, 10, 0, 0)′ + (0, 0, 27, 27)′ = (10, 10, 27, 27)′. Îòêóäà:

x(0) = A∗0x0 =

0 ε ε εε 0 ε ε26 26 0 ε27 25 ε 0

⊗

10102727

=

10103637

, z(0) =

10103637

−

002727

=

1010910

.Îòìåòèì, ÷òî â íà÷àëüíûé ïåðèîä ñîáûòèÿ 3 è 4 áûëè òàêæå çà-

äåðæàíû. Òåïåðü îïîçäàíèÿ ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû ïî (16), âêëþ÷àÿìîìåíòû óãàñàíèÿ èõ ðàñïðîñòðàíåíèé:

x(1) =

ε ε 29 εε ε ε 28ε ε 55 54ε ε 56 53

⊗

10103637

⊕

60608787

=

65659192

, z(1) =

65659192

−

60608787

=

5545

,

x(2) =

ε ε 29 εε ε ε 28ε ε 55 54ε ε 56 53

⊗

65659192

⊕

120120147147

=

120120147147

, z(2) =

120120147147

−

120120147147

=

0000

.Ïåðèîä óêàñàíèÿ âëèÿíèÿ îïîçäàíèé kS = 2.

9 Àíàëèç óðîâíÿ ïðîèçâîäèòåëüíîñòè ñèñòåì äèñêðåò-

íûõ ñîáûòèé

Êðàòêî ðàññìîòðèì àíàëèç óðîâíÿ ïðîèçâîäèòåëüíîñòè "ñèñòåì äèñêðåò-íûõ ñîáûòèé"(discrete event systems - DES), èçëîæåííûé â [2].

DES-ñèñòåìà ñ íåîáõîäèìîñòüþ ñèíõðîíèçàöèè è áåç âîçìîæíîñòèïàðàëëåëüíîãî âûïîëíåíèÿ îïåðàöèé ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäåñëåäóþùåé ìàêñ-ïëþñ ìîäåëè:

x(k) = A⊗ x(k − 1)⊕B ⊗ u(k) (26)

y(k) = C ⊗ x(k) (27)

ãäå x(k) - âåêòîð ñîñòîÿíèé, u(k) - âåêòîð âõîäíûõ ïàðàìåòðîâ, y(k)- âåêòîð âûõîäíûõ ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû, A ∈ Rn×n

ε , B ∈ Rn×mε , C ∈ Rl×n

ε ,m - ÷èñëî âõîäîâ, l - ÷èñëî âûõîäîâ ñèñòåìû (ïðèìåð - íà ðèñ.8).

19

Ðèñ. 8. Ïðèìåð âõîäîâ è âûõîäîâ ñèñòåìû.

 äàííîì ïðèìåðå ïîä t ïîíèìàþòñÿ âðåìåíà ïåðåìåùåíèé ïîåçäîâ,à ïîä d - âðåìåíà îáðàáîòêè ïîåçäîâ íà ñòàíöèÿõ. Òàêèì îáðàçîì, ñ ïî-ìîùüþ ìàêñ-ïëþñ àëãåáðû ìîæíî ïî íà÷àëüíîé ïîåçäíîé ñèòóàöèè ìûìîæåì ïîëó÷èòü âðåìåíà ïðèáûòèé ïîåçäîâ íà ñòàíöèÿõ èõ íàçíà÷åíèÿâ êîíöå ïåðèîäà ïëàíèðîâàíèÿ. Ðåøåíèå ïðîáëåìû ïîèñêà ñîáñòâåííîãîçíà÷åíèÿ â ìàêñ-ïëþñ àëãåáðå (A ⊗ v = λ ⊗ v) äà¼ò ñîáñòâåííîå çíà÷å-íèå λ, êîòîðîå îïðåäåëÿåò ñðåäíåå çíà÷åíèå ïåðèîäà ãðàôèêà äâèæåíèÿïîåçäîâ. Ñîîòâåòñòâåííî "ïðîèçâîäèòåëüíîñòü"(ïðîïóñêíàÿ ñïîñîáíîñòüó÷àñòêà) ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà íà îñíîâå äàííîãî ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ(êàê îòíîøåíèå λ ê ÷èñëó ïîåçäîâ â äàííîì ïåðèîäå).

10 Cèíõîíèçàöèÿ ðàñïèñàíèé ïàññàæèðñêèõ ïîåçäîâ

Ðàññìîòðèì ïðèìåíåíèå ìàêñ-ïëþñ àëãåáðû äëÿ ñèíõîíèçàöèè ðàñïèñà-íèé ïàññàæèðñêèõ ïîåçäîâ (äëÿ îáåñïå÷åíèÿ áåñïðåïÿòñâåííîé ïåðåñàä-êè ïàññàæèðîâ ìåæäó ïîåçäàìè) [3]. Ïðèìåð ïðîñòîé æåëåçíîäîðîæíîéñåòè, íà êîòîðîé âîçìîæíî îñóùåñòâëåíèå äâóõ ïåðåñàäîê ïàññàæèðîâ,ïðèâåä¼í íà ðèñ. 9.

Ðèñ. 9. Ïðèìåð ñèíõðîíèçàöèè ðàñïèñàíèé ïàññàæèðñêèõ ïîåçäîâ

Ââîäÿòñÿ ñëåäóþùèå îãðàíè÷åíèÿ: ïîåçä íå ìîæåò ïîêèíóòü ñòàíöèþïîêà íå ïðèáûë ñîñåäíèé ïîåçä, à òàêæå ïîçäà äîëæíû ïðîñòîÿòü "áîêî áîê"äëÿ îáåïå÷åíèÿ ïåðåñàäêè ìåæäó ïîåçäàìè. Äàííûå îãðàíè÷åíèÿìîãóò áûòü çàïèñàíû ñëåäóþùèì îáðàçîì:

xL(k + 1) ≥ max xL(k) + aLL + δ, xR(k) + aRL + δxR(k + 1) ≥ max xR(k) + aRR + δ, xL(k) + aLR + δ,

ãäå aSS′ - âðåìÿ ñëåäîâàíèÿ îò ñòàíöèè S äî ñòàíöèè S′ (â ïðèìåðåðàññìàòðèâàþòñÿ ñòàíöèè R è L), δ - ìèíèìàëüíîå âðåìÿ íà ïåðåñàäêó

20

ïàññàæèðîâ, xS(k) - ìîìåíò îòïðàâëåíèÿ ñî ñòàíöèè S â ïåðèîä k. Âìàòðè÷íîé ôîðìå:

x(k + 1) = A⊗ x(k).

Èç âûðàæåíèÿ äëÿ ïðèìåðà:[5 23 3

]⊗[1− hh

]= 4⊗

[1− hh

]ñëåäóåò, ÷òî 4 ïðè ëþáîì h ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì ìàò-

ðèöû òðàíçèòíîãî âðåìåíè A (v = [1, 0]T - ñîáñòâåííûé âåêòîð). Ñîá-ñòâåííûé âåêòîð âûñòóïàåò â êà÷åñòâå îïòèìàëüíîé ðàçíèöû ìåæäó îò-ïðàâëåíèÿìè ïîåçäîâ ñî ñòàíöèé L è R ñîîòâåòñòâåííî. Ñîîòâåòñòâåííî,ãðàôèê äâèæåíèÿ ïðèãîðîäíûõ ïîåçäîâ äîëæåí ïðîåêòèðîâàòüñÿ ñ ó÷¼-òîì çíà÷åíèÿ ñîáñòâåííîãî âåêòîðà.

Ëèòåðàòóðà

1. Railway Timetable & Tra�c (Analysis. Modelling. Simulation) // Editors:Ingo Arne Hansen, Jorn Pachl. Eurailpress, 2008.

2. B. De Schutter and T. van den Boom. Max-plus algebra and max-plus linear discrete event systems: An introduction // Technical report08-007

3. James Case. Max-Plus Algebra: From Discrete-event Systems to ContinuousOptimal Control Problems // SIAM News, Volume 43, Number 8,October 2010.

4. Ìèëîâ Ä.Ñ. Ìåòîäû èäåìïîòåíòíîé àëãåáðû è àíàëèçà ïðè èñ-ñëåäîâàíèè ñåòåé ñ î÷åðåäÿìè // äèññ. ê.ô-ì.í., Ñàíêò-Ïåòåðáóðã,2000.

5. Bernd Heidergott, Geert Jan Olsder, & Jacob van der Woude. MaxPlus at Work // Princeton University Press, 2005

21