гипотеза пуанкаре

Знакомство с понятием гомеоморфизма Гипотеза Пуанкаре Эйлерова характеристика Связная сумма поверхностей Классификация замкнутых связных ориентируемых поверхностей Гипотеза Пуанкаре в размерности 2 Трехмерные многообразия, склейка из многогранников Изобретения Гамильтона: Поток Риччи Что поток Риччи делает с метрикой на двумерной поверхности? Что поток Риччи делает с трехмерным многообразием Что же сделал Перельман с потоком Риччи

О гипотезе Пуанкаре

А.Жеглов, Ф.Попеленский

мехмат МГУ


Оглавление

1 Знакомство с понятием гомеоморфизма2 Гипотеза Пуанкаре3 Эйлерова характеристика4 Связная сумма поверхностей5 Классификация замкнутых связных ориентируемых

поверхностей6 Гипотеза Пуанкаре в размерности 27 Трехмерные многообразия, склейка из многогранников8 Изобретения Гамильтона: Поток Риччи9 Что поток Риччи делает с метрикой на двумерной

поверхности?10 Что поток Риччи делает с трехмерным многообразием11 Что же сделал Перельман с потоком Риччи


А. Пуанкаре (1854—1912)


Сегодняшний наш рассказ посвящен идеям, которые быливысказаны разными людьми, чтобы найти ответ на одиночень, казалось бы, простой вопрос:

Как охарактеризовать (трехмерную) сферу?


Для этого нам нужно познакомиться с ключевым понятиемтопологии - с гомеоморфизмом

Одинаковы ли фигуры в каждой из четырех пар,изображенных рисунке?


ОпределениеДве фигуры называются гомеоморфными, если можноустановить такое взаимно-однозначное соответствие междуточками этих фигур, при котором близким точкам однойфигуры соответствуют близкие точки другой фигуры инаоборот.


ЗамечаниеИногда говорят, что две фигуры гомеоморфны, если одну издругой можно получить произвольной деформацией, прикоторой запрещено «портить» поверхности (рвать, сминатьобласти в точку, делать дырки и т.п.) Можно представлятьсебе, что поверхности сделаны из идеальной резины.


Вот так можно

А вот так нельзя


Это представление о гомеоморфизмах не очень точное.Нужно разрешать еще одну операцию: можно сделатьразрез, перекрутить, завязать, развязать и т.п., но потомсклеить разрез как было.


Вот так тоже можно

Этим представлением о гомеоморфизме мы и будемпользоваться


Классификация букв латинского афавита с точностью догомеоморфизма.

Всего 8 букв!


На рисунке изображены гиря, кофейная чашка, бублик,сушка, кренделек.В топологии принято кренделем называть поверхность чутьпроще: она находится в правом нижнем углу рисунка.


ГипотезаПусть M — замкнутое связное многообразие размерности 3.Пусть на нем любая петля может быть стянута в точку.Тогда M гомеоморфно трехмерной сфере.

Здесь слишком много непонятных слов, поэтому мысформулируем гипотезу попроще и, может быть, дажедокажем ее.


ГипотезаПусть M — замкнутая связная поверхность (многообразиеразмерности 2).Пусть на ней любая петля может быть стянута в точку.Тогда поверхность M гомеоморфна двумерной сфере.


Сначала обсудим, что такое замкнутая поверхность

ОпределениеБерем конечный набор многоугольников (выпуклых для тех,кто подвержен сомнению в том, что такое многоугольник),разбиваем все их стороны (ребра) на пары (т.е. всего сторону всех многоугольников должно быть четное число), вкаждой паре выбираем каким из двух возможных способовбудем их склеивать. Склеиваем. То, что получилось, —замкнутая поверхность.


Если при этом мы соединили все многогранники друг сдругом, то получилась связная поверхность. Формальнонужно требовать, чтобы из любой вершины любогомногоугольника после склейки можно было пройти в любуювершину любого многоугольника (со ребрам).


Связную поверхность можно клеить из одногомногоугольника.


Рассмотрим примеры простейших склеек


Сфера


Тор


Бутылка Клейна


Что будет, если брать бесконечное число многоугольников?Ответ: некомпактная поверхность. (Этот ответ для тех, ктознает, чем отрезок отличается от интервала или от прямой)


А что будет, если не все стороны склеить? Ответ:поверхность с краем


ЗамечаниеВажно отметить, что после склейки «шрамы» от склейкиносят чисто «косметический» характер в том смысле, что всеточки поверхности равноправны: у любой точки имеетсяокрестность гомеоморфная диску.


ТеоремаДве поверхности гомеоморфны, если схемы склейки каждойиз них можно так разрезать на схемы склейки из болеемелких многоугольников, что схемы склейки станутодинаковыми.


Разбиение поверхности куба на части, из которых можносложить развертку тетраэдра.


Вообще поверхности всех выпуклых многогранниковгомеоморфны сферам.


ОпределениеПетля — это замкнутая кривая на рассматриваемойповерхности. Две петли называются гомотопными, если однуиз них можно продеформировать в другую без разрывов исклеек, оставаясь на поверхности.


Простейший случай стягивания петли (на плоскости илисфере)


Даже если петля на плоскости (или сфере) имеетсамопересечения, ее можно стянуть


А так можно стянуть любую петлю на плоскости (или насфере)


А вот какие петли бывают на торе:

Хотя мы не умеем доказывать, что показанные петли наторе не гомотопны, можно попросить вас найти еще однупетлю на торе, не гомотопную этим двум — это оченьпростой вопрос. А вот найти четвертую петлю, негомотопную этим трем будет несколько посложнее.


ОпределениеЭйлеровой характеристикой поверхности M назовем числоB−P+Г.Здесь Г — число многоугольников, Р — это число реберпосле склейки (в случае рассматриваемых поверхностей этополовина числа сторон всех многоугольников), B — эточисло вершин, которое получается после склейки послесклейки.


ТеоремаЕсли две схемы склейки задают гомеоморфные поверхности,то у этих схем числа B−P+Г одинаковы, т. е. B−P+Гявляется инвариантом поверхности.


ЗамечаниеЕсли поверхность уже как-то задана, то надо нарисовать наней какой-нибудь граф, чтобы после разрезания по немуповерхность распалась на куски гомеоморфные дискам(например, кольца запрещены). Считаем B−P+Г — это иесть эйлерова характеристика поверхности.


Будут ли гомеоморфны поверхности с одинаковымиэйлеровыми характеристиками, мы узнаем позже. Носовершенно точно можно утверждать, что если эйлеровыхарактеристики у поверхностей разные, то поверхности негомеоморфны.


ЗамечаниеЗнаменитое соотношение B−P+Г=2 для выпуклыхмногоугольников (теорема Эйлера) является частнымслучаем этой теоремы. В данном случае речь идет оконкретной поверхности —- о сфере.

ЗамечаниеОбозначение: Эйлерову характеристику поверхности Mбудем обозначать через χ(M):

χ(M) = B− P + Γ


ТеоремаЕсли поверхность M связна, то χ(M) ≤ 2, причем χ(M) = 2тогда и только тогда, когда M гомеоморфна сфере.


Можно из уже имеющихся поверхностей делать новые: Этооперация связной суммы:M = M1#M2


Связная сумма поверхности M со сферой гомеоморфнаисходной поверхности M


χ(M) = χ(M1) + χ(M2)− 2

Если M1 и M2 не сферы, то

χ(M) < χ(M1) и χ(M) < χ(M2)


А нельзя ли произвольную замкнутую связную поверхность(сколь угодно сложно устроенную) представить в видесвязной суммы чего-нибудь попроще?

Например, можно поискать на поверхности замкнутыенесамопересекающиеся кривые, которые могут быть «швом»склейки двух поверхностей при взятии связной суммы.

И вот что интересно — это совершенно правильная идея.


Берем на поверхности замкнутую кривую безсамопересечений и режем поверхность по ней, заклеиваемполучившиеся дырки двумя дисками. Либо поверхностьраспадется на две, либо нет.

Оказывается, что во втором случае поверхность станетпроще - мы чуть ниже обсудим, что это значит. А в первомслучае может случиться так, что либо обе поверхностистанут проще, либо одна из них сфера, а другаягомеоморфна исходной


Полезная формула 1

Если поверхность M распадается на две: M1 и M2, то

χ(M) = χ(M1) + χ(M2)− 2


Полезная формула 2

Если поверхность M не распадается на две, а получаетсясвязная поверхность Mnew, то

χ(M) = χ(Mnew)− 2


ОпределениеПоверхность называется ориентируемой если выполненоследующее свойство: покрасим многоугольник, из которогосклеивается поверхность с одной стороны в синий цвет, а сдругой — в красный, требуется, чтобы при склейкистыковались одноцветные стороны поверхности.

Есть еще несколько определений, но это достаточнонаглядное.


Легко понять, что это условие на то, как именно разрешеносклеивать стороны многоугольника.Что-то типа две склеиваемые стороны должны бытьориентированы противоположным образом.Вот более точная формулировка:

ОпределениеОриентацией многоугольника назовем одно из двухнаправлений обхода его сторон. Ориентация многоугольниказадает ориентацию его сторон — направление обхода этойстороны. Поверхность, склеенная из многоугольников,называется ориентируемой если можно задать ориентациюна всех многоугольниках так, чтобы любые две склеиваемыестороны были ориентированы противоположным образом.

Примеры: тор, бутылка Клейна


ЗамечаниеМожете обдумать следующее утверждение: если наповерхности любая замкнутая кривая стягивается в точку,то поверхность ориентируема. Это верно для любыхмногообразий.


ТеоремаОриентируемая (замкнутая и связная) поверхностьгомеоморфна связной сумме нескольких торов T#T# . . .#T︸︷︷︸

g штукили сфере S2.


Доказательство.

Будем делать двойную индукцию по числу n сторонмногоугольника, из которого клеится поверхность и поэйлеровой характеристике.


Рассмотренные два случая соответствуют разрезаниям,показанным на рисунке. В одно случае мы разрезаем«ручку», в другом — разрезаем поверхности на две болеепростые.


Замечание.

Рассуждая аналогичным образом, можно доказать, чтолюбая неориентируемая поверхность является связнойсуммой проективных плоскостей. Нам это рассуждение ненужно, оставляем этот случай вам для обдумывания.


Что же мы поняли?

Если у нас есть поверхность, на которой все петлистягиваются, то она ориентируема. Значит, она гомеоморфналибо сфере, либо связной сумме торов. Но на связной сумметоров есть петли, которые не стягиваются. Значит, все женаша поверхность гомеоморфна сфере.


ЗамечаниеВот еще одна идея доказательства: представим себе, что мысумели разбить нашу поверхность на связную сумму другихповерхностей, про которые нам из каких-то другихсоображений известно, что они — сферы. Тогда и нашаисходная поверхность — тоже сфера. Именно такая идеяиспользуется для доказательства гипотезы Пуанкаре вразмерности 3.


ОпределениеБерем конечный набор многогранников (выпуклых для тех,кто подвержен сомнению в том, что такое многогранник,можно просто брать тетраэтры), разбиваем все их стороны(грани) на пары (т.е. всего сторон у всех многогранниковдолжно быть четное число), в каждой паре выбираем способсклейки. Склеиваем. То, что получилось, — замкнутоетрехмерное многообразие.


Если при этом мы соединили все многогранники друг сдругом, то получилось связное многообразие. Формальнонужно требовать, чтобы из любой вершины любогомногогранника после склейки можно было пройти в любуювершину любого многогранника (по ребрам).


Двумерная сфера: одна из возможных историй жизниокружности.Трехмерная сфера: одна из возможных историй жизнидвумерной сферы.


Краткая историческая справка попыток доказательств гипотезыПуанкаре

Уайтхеад (1930-е); результат: получены примерыодносвязных некомпактных многообразий размерности 3 негомеоморфных R3.Бинг (1958); результат: доказательство слабой гипотезыПуанкареСмейл (1961) доказал доказал обобщенную гипотезуПуанкаре для многообразий размерности больше 4:гомотопическая n-сфера гомеоморфна n-сфере.Фридман (1982) доказал это в размерности 4.


Терстон (1982) сформулировал знаменитую гипотезу огеометризации, одним из следствий которой была и гипотезаПуанкареГамильтон (1982) предложил и начал изучение потоковРиччи, показал, как с их помощью можно было бы доказатьгипотезу Пуанкаре.Перельман (2002-2003) развил технику Гамильтона идоказал гипотезу геометризации Терстона и гипотезуПуанкаре. Стоит отметить, что техника, связанная сизучением потоков Риччи, сильно отличалась оттопологической техники, применявшейся для доказательствадругих форм гипотезы Пуанкаре. В некотором смысле, этобыл возврат к идеям дифференциальной геометрии.


Метрика

Метрика на многообразии — это способ определить длиныкривых на нем.

ОпределениеРасстояние между двумя точками P,Q на поверхности илимногообразии X — минимум длин кривых |P,Q| на этоммногообразии.Кривая минимальной длины — геодезическая.


Можно показать, что задание метрики в окрестности любойточки многообразия эквивалентно заданию несколькихфункций gij(x), определенных в этой окрестности. Этифункции можно определить, например, так:

Представим себе поверхность, обтянутую марлей (илитрехмерное многообразие, обтянутое трехмерной марлей):


Тогдаgii = (длина i-й стороны ячейки марли)2

gij = (длина i-й стороны ячейки марли)×

(длина j-й стороны ячейки марли)× cosαij


Скалярная кривизна

Пусть X — поверхность. Обозначим через LX,P(R) длинуокружности на X радиуса R с центром в точке P ∈ X.

ОпределениеСкалярная кривизна в т. P ∈ X — это число

k(P) = 6 limR→0

2πR− LX,P(R)

πR3

То есть, кривизна на X — это функция, сопоставляющаяточке P число k(P):

P 7→ k(P).


Теорема Гаусса-Бонне

ТеоремаПусть X — замкнутая компактная ориентируемаяповерхность в R3. Тогда∫

Xk(P)dσ = 4πχ(X).

сфера:∫KdS = 2 > 0,

тор:∫KdS = 0,

g ≥ 2:∫KdS < 0.


Оказывается, существуют поверхности с постояннойкривизной.ПРИМЕРЫ:У сферы радиуса R k = 2

R2 .У плоскости k = 0.Существуют и поверхности с любой постояннойотрицательной кривизной.

k = − 2R2


Секционная кривизна

Пусть теперь X — трехмерное многообразие.

ОпределениеСекционная кривизна Kij(P) в точке Р в направлении ij —это кривизна k(P) поверхности ij.

ЗамечаниеОбратите внимание на то, что секционная кривизна зависитот метрики!


Теорема об униформизации

Что можно сказать о поверхности, если ее кривизнапостоянна? Что можно сказать о многообразии, если егосекционные кривизны постоянны? Мы сформулирем ответтолько в одном интересующем нас случае:

ТеоремаПусть X — замкнутое связное многообразие, на которомлюбую петлю можно стянуть в точку. Пусть на X заданаметрика постоянной секционной кривизны. Тогда Xгомеоморфно сфере.


Поток Риччи

Р.Гамильтон (1943), профессор Колумбийского университета:


Поток Риччи — это семейство метрик, заданных функциямиgij(t, x) на одном и том же многообразии X,удовлетворяющее уравнению

∂gij(t, x)

∂t= −2Rij(x),

где Rij(x) — функции, зависящие от метрики. Например,

Rii(x) =∑i6=j

Kij(x).


Поток Риччи на двумерной поверхности

На двумерной поверхности эти функции выглядят особеннопросто:

Rij(x) =12k(x) · gij(x)


В этом случае можно легко понять, что делаетдифференциальное уравнение, описывающее поток Риччи, сметрикой (тем самым, что происходит с поверхностью).


Более того, верна

ТеоремаНа замкнутой поверхности поток Риччи сходится к метрикепостоянной кривизны.

Тем самым, вспоминая теорему об униформизации,получаем еще одно доказательство гипотезы Пуанкаре вразмерности 2.


Что поток Риччи делает с трехмерным многообразием

R11 = K12 + K13 >> 0

R22 = K12 + K23 >> 0

R33 = K13 + K23 < 0∂g11

∂t<< 0,

∂g22

∂t<< 0,

∂g33

∂t> 0,


Трехмерное многообразие: образование трубки

В результате поток вытягивает многообразие в "шею":


Поток Риччи с перестройками

Как мы видели в рисунках выше, при построении потоковРиччи мы можем столкнуться с появлением особенностей законечное время. Поэтому Гамильтон ввел понятие о потокеРиччи с хирургией.

Он предположил, что незадолго до появления особенностеймногообразие можно перестроить, не сильно изменив еготопологию, и таким образом, чтобы поток Риччи можнобыло продолжить на больший интервал времени.


Он формализовал эту идею и определил поток Риччи схирургией как особое четырехмерное пространство-время сдополнительным набором данных, так что в каждый моментвремени слой этого пространства — трехмерное замкнутоемногообразие с метрикой, но при этом в разные моментывремени многообразия не обязательно гомеоморфны.


Однако, он так и не сумел доказать существование такогопотока с хирургией для бесконечного интервала времени вобщем случае. Для этого понадобились исследованияПерельмана окрестностей особенностей потока Риччи.


Используя несколько новых соображений и развив сложнуютехнику, которые мы опускаем, Перельман доказал важнуютеорему о продолжении потока Риччи с хирургией добесконечности:

Теорема (существование потока Риччи с хирургией)

Пусть (M, g0) — замкнутое трехмерное многообразие, накотором всякая петля стягивается. Тогда существует потокРиччи с хирургией, определенный на интервале [0,∞).Множество точек t ∈ [0,∞), где происходит перестройка, —конечно.При каждой перестройке происходит разложение связнойсуммы на компоненты.После последней перестройки компоненты за конечное времястановятся сферами и исчезают.

гипотеза пуанкаре

Documents