บทเรียนออนไลน์เรื่อง ความน่าจะเป็น

ยนดตอนรบเขาสบทเรยนออนไลน

เรอง ความนาจะเปน

ระดบชนมธยมศกษาปท 4 - 6

Home

หนาหลก

Home

ใชวธการทางสถตและความรเกยวกบความนาจะเปน ในการคาดการณไดอยางสมเหตสมผล

ใชความรเกยวกบสถตและความนาจะเปน ชวยในการตดสนใจและแกปญหา

มาตรฐานการเรยนร ตวชวด

Home

สาระท 5 : การวเคราะหขอมลและความนาจะเปน

มาตรฐาน ค 5.2


มความสามารถในการแกปญหา การใหเหตผล การสอสารการสอความหมายทางคณตศาสตรและการน าเสนอ การเชอมโยงความรตางๆ ทางคณตศาสตร การเชอมโยงคณตศาสตรกบศาสตรอนๆ และมความคดรเรมสรางสรรค


มาตรฐานการเรยนร / ตวชวด

Home

สาระท 6 ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร

ตวชวด

1. อธบายการทดลองสมเหตการณความนาจะเปนของเหตการณสถานการณ

ทก าหนดให (มาตรฐาน ค 5.2 ตวชวดขอท 2) 2. ใชความรเกยวกบความนาจะเปนชวยในการตดสนใจและแกปญหา

(มาตรฐาน ค 5.3 ตวชวดขอท 2) 3. ใชวธการทหลากหลายในการแกปญหา (มาตรฐาน ค 6.1 ตวชวดขอท 1) 4. ใหเหตผลประกอบการตดสนใจ และสรปผลไดอยางเหมาะสม (มาตรฐาน ค 6.1 ตวชวดขอท 3)

มาตรฐานการเรยนร / ตวชวด

Home

ดานความร (K)

ดานทกษะกระบวนการ (P)

ดานคณลกษณะทพงประสงค (A)

Home

จดประสงคการเรยนร

ดานความร (K)

1. นกเรยนสามารถเขยนผลทสามารถเกดขนไดจากเหตการณทก าหนดให โดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบและแผนภาพตนไม

ไดอยางถกตอง 2. นกเรยนสามารถบอกความนาจะเปนของเหตการณทก าหนดให ไดถกตอง 3. สามารถใชความรเกยวกบความนาจะเปนในการคาดการณ ประกอบการตดสนใจ และสามารถน าไปแกปญหาได

Home

ดานทกษะกระบวนการ (P)

1. นกเรยนมความสามารถในการสอสาร 2. นกเรยนมความสามารถในการคด 3. นกเรยนมความสามารถในการแกปญหา 4. นกเรยนมความสามารถในการใชทกษะชวต 5. นกเรยนมความสามารถในการใชเทคโนโลย

Home

ดานคณลกษณะทพงประสงค (A)

Home

สาระการเรยนร

กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ แฟกทอเรยล วธเรยงสบเปลยน วธจดหม ทฤษฏบททวนาม ความนาจะเปน

Home

กอนทผเรยนจะเขาไปศกษาเนอหาจากสาระการเรยนรในบทเรยนออนไลนน ผเรยนจะตองท าแบบทดสอบกอนเรยน จากนนผเรยนจะไดศกษาเกยวกบเรองความนาจะเปนซงมเรองยอยดงตอไปน กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ วธเรยงสบเปลยน วธจดหม ทฤษฎบททวนาม และความนาจะเปน จากนนเพอเปนการตรวจสอบดวาผเรยนมความรความเขาใจในเรองทไดศกษาไปแลวนมากนอยเพยงใด ผเรยนจะตองท าแบบทดสอบหลงเรยนวาจากการทไดศกษาเนอหานน มความรมากขนเพยงใดทงนทงนนผเรยนจะตองซอสตยตอตนเองดวย

Home

ขอตกลงเบองตนในการเรยน

แบบทดสอบกอนเรยน

Home

ขอตกลงเบองตนในการท าแบบทดสอบ

1. แบบทดสอบนมทงหมด 10 ขอ ควรท าใหครบทกขอ 2. กอนท าแบบทดสอบผเรยนจะตองเตรยมกระดาษและดนสอ หรอปากกา

เพอใชส าหรบจดคะแนนทผเรยนไดในการท า แบบทดสอบแตละขอ 3. เมอผเรยนเลอกค าตอบ - ถาถกจะได 1 คะแนน - ถาผดจะได 0 คะแนน 4. ในการท าแบบทดสอบกอนเรยนจะไมมการแสดงเฉลยค าตอบ แตจะมเฉลยค าตอบแสดงในการท าแบบทดสอบหลงเรยน

Home

1. วธสรางจ านวนสามหลก ทมากกวา 300 จากเลขโดด 0,1,2,3,4 และ 5 โดยเลขโดดในแตละหลกไมซ ากน มทงหมดกวธ

ก. 60 วธ ข. 70 วธ

ง. 90 วธ ค. 80 วธ

Home

2. จ านวนวธทจะจดชาย 6 คน และหญง 3 คน ยนเรยงแถวหนากระดานโดยทไมมหญง 2 คนใดยนตดกน เทากบขอใดตอไปน

ก. ข.

ง. ค.

Home

6,6 7,3P P

6,5 7,2P P 7,6 7,3P P

6,3 7,3P P

3. จะสรางจ านวนทมสหลก จากเลขโดด 2 , 4 , 6 , 8 , 9 ไดทงหมดกจ านวน โดยทแตละจ านวนนน ตองไมมเลขโดดในหลกใดซ ากนเลย

ก. 60 วธ ข. 80 วธ

ง. 120 วธ ค. 100 วธ

Home

4. มหลอดไฟสขาว 4 หลอด สแดง 5 หลอด และสน าเงน 6 หลอด ตองการน าหลอดไฟทงหมดไปประดบตามรวในแนวเสนตรง ขอใดคอการหาจ านวนวธทแตกตางกนในการประดบหลอดไฟ เมอหลอดไฟสเดยวกนไมแตกตางกน

ก. ข.

ง. ค.

Home

15!

4!5!6!

11!

4!5!6!

15!

3!4!5!

14!

4!5!6!

5. ถาตองการจดใหเดกชาย 4 คน และเดกหญง 3 คน นงเปนวงกลม โดยไมใหเดกหญงนงตดกน จะจดไดทงหมดกวธ

ก. 100 วธ ข. 110 วธ

ง. 144 วธ ค. 112 วธ

Home

6. ตองการเลอกกรรมการชดหนงประกอบดวยนกเรยนชาย 2 คน นกเรยนหญง 2 คน และคร 1 คน จากนกเรยนชาย 20 คน นกเรยนหญง 25 คน คร 7 คน ขอใดคอการหาจ านวนวธทงหมดในการเลอกกรรมการ

ก. ข.

ง. ค.

Home

20,2 25,2 7,1C C C 20,2 25,2 7,2C C C

30,2 25,2 7,1C C C 20,3 25,2 7,1C C C

7. กลองใบหนงมบตร 5 ใบ ซงมหมายเลข 1,2,3,4 และ 5 ถาหยบบตรจากกลองน 3 ใบพรอมกน จงหาความนาจะเปน ทผลรวมของแตมบนบตรมากกวา 10

ข.

ง. ค. 1

5

ก. 1

2

1

3

1

6

Home

8. ในการออกรางวลแตละงวดของกองสลาก ความนาจะเปน ทรางวลเลขทาย 2 ตว จะออกหมายเลขทมหลกหนวยเปนเลขค และหลกสบมากกวาหลกหนวยเปน 1 เทากบขอใดตอไปน (ขอสอบ o-net ป 2549)

ก. 0.04 ข. 0.05

ง. 0.25 ค. 0.20

Home

9. ความนาจะเปนทรางวลเลขทาย 2 ตว ของสลากกนแบงรฐบาล จะออกทงเลขทงสองหลกเปนเลขเดยวกนเทากบขอใดตอไปน (ขอสอบ o-net ป 2550)

ก. ข.

ง. ค. 1

10

2

10

2

9

1

9

Home

10. ในการโยนลกเตา 2 ลกหนงครง ความนาจะเปน ทจะไดแตมรวมเปน 7 โดยทมลกเตาลกหนงขนแตมไมนอยกวา 4 เทากบขอใดตอไปน (ขอสอบ PAT 1 ครงท 3/2552)

ก. ข.

ง. ค.

Home

0 – 3 คะแนน ตองปรบปรงนะ 4 – 6 คะแนน กพอใชไดนะ 7 – 8 คะแนน ดมากคะ 9 – 10 คะแนน สดยอดไปเลย

Home

ถกตองคะ….

10 3 2 1 4 5 6 7 8 9 ท าขอตอไปไดเลย

ขอ ก

Home

ถกตองคะ….

10 3 2 1 4 5 6 7 8 9 ท าขอตอไปไดเลย

Home

ผดคะ !!!!! คณตองพยายามมากกวานนะคะ

10 3 2 1 4 5 6 7 8 9 ท าขอตอไปไดเลย

Home

กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ แฟกทอเรยล วธเรยงสบเปลยน วธจดหม ทฤษฏบททวนาม ความนาจะเปน

Home

กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

หลกการนบ

หลกการบวก หลกการคณ

การเขยนแจกแจงวธทงหมด

Home

การเขยนแจกแจงวธทงหมด

ในการหาจ านวนวธการท างานตางๆนน วธซงเปนพนฐานทสดนน คอการเขยนแจกแจงจ านวนวธออกมาโดยตรงซงวธทสะดวกทสด ในการเขยนแจกแจงกรณเรามกจะใช แผนภาพตนไม (Tree Diagram)

Home

จากกรงเทพฯ ไปเชยงใหม มวธการเดนทางได 3 วธ คอ ทางรถยนต ทางรถไฟและทางเครองบน และจากเชยงใหม ไปแมฮองสอนมวธการเดนทางได 2 วธ คอ ทางรถยนต และทางเครองบนอยากทราบวาในการเดนทางจากกรงเทพฯ ไปแมฮองสอนโดยหยดแวะทเชยงใหมมวธการเดนทาง ไดทงหมดกวธ

ตวอยางท 1

Home

วธท า ในการหาจ านวนวธการเดนทางทงหมดสามารถแสดงได ดวยแผนภาพตนไม ดงน

จากกรงเทพฯ ไปเชยงใหม จากเชยงใหมไปแมฮองสอน

รถยนต วธท 1 รถยนต

เครองบน

รถไฟ


รถยนต


รถยนต

เครองบน วธท 2

วธท 3

วธท 4

วธท 5

วธท 6

Home

จากแผนภาพตนไม จะไดวาวธการเดนทางจากกรงเทพฯ ไปแมฮองสอน โดยหยดแวะทเชยงใหม มทงหมด 6 วธ คอ….

Home

วธท วธการเดนทาง

กรงเทพฯ ไปเชยงใหม เชยงใหมไปแมฮองสอน

1 รถยนต รถยนต 2 รถยนต เครองบน 3 รถไฟ รถยนต 4 รถไฟ เครองบน 5 เครองบน รถยนต 6 เครองบน เครองบน

Home

จากตวอยาง จะเหนวาการใชแผนภาพตนไมชวยในการหาค าตอบ ท าไดโดยงายเมอจ านวนวธทน ามาเขยนแผนภาพตนไมมจ านวนไมมากนก แตส าหรบปญหาทมจ านวนวธทเกยวของเปนจ านวนมาก การเขยนแผนภาพตนไมอาจท าไดไมสะดวก

ดงนน เพอใหการหาค าตอบท าไดงายและสะดวกรวดเรว จะใชวธการค านวณโดยอาศยหลกการทเกยวกบการนบ

Home


หลกการบวก

หลกการคณ

Home


ถางานอยางหนงมวธการท างาน k แบบ คอ แบบท 1 ถงแบบท k โดยท แบบท 1 มวธการท างานทสนสด n1 วธ แบบท 2 มวธการท างานทสนสด n2 วธ แบบท k มวธการท างานทสนสด nk วธ และวธการท างานทแตกตางกนทงหมด เทากบ n1 + n2 + … + nk วธ

หลกการบวก

Home

นกเรยน 3 คน ตองการเขาและออกหองหองหนงซงมประต 3 บาน โดยนกเรยนคนท 1 เขาและออกโดยใชประตบานเดยวกน นกเรยนคนท 2 เขาและออกโดยไมใชประตบานเดม และนกเรยนคนท 3 เขาและออกโดยใชประตบานใดกได โดยถอวาแตละคนเขาออกประต ไมเกยวของกนจงหาจ านวนวธทนกเรยนทงสามคนนเขาและออกหองน


Home

คนท 1

ประตท 1 ประตท 1



เขา ออก

คนท 2


ประตท 3

ประตท 2

ประตท 3

ประตท 1

ประตท 3

ประตท 1

ประตท 2

3 วธ

6 วธ

Home

คนท 3


ประตท 3

ประตท 2

ประตท 3

ประตท 1

9 วธ ประตท 2

ประตท 3

ประตท 1

ประตท 2

ประตท 3

ประตท 1

เขา ออก

Home

นกเรยนคนท 1 มวธเขาและออกได 3 วธ นกเรยนคนท 2 มวธเขาและออกได 6 วธ นกเรยนคนท 3 มวธเขาและออกได 9 วธ ดงนน วธทนกเรยนทงสามคนเขาและออกหองนมทงหมด 3 + 6 + 9 = 18

วธท า

Home


ในการท างานอยางหนงทจะท าใหงานส าเรจมขนตอนการท างาน k ขนตอน คอ ขนตอนท 1 ถงขนตอนท k ตามล าดบ โดยท การท างานขนตอนท 1 มวธท า n1 วธ การท างานขนตอนท 2 มวธท า n2 วธ การท างานขนตอนท k มวธท า nk วธ และวธการท างานแตละวธแตกตางกน จ านวนวธท างานนเทากบ n1 x n2 x . . . x nk วธ

หลกการคณ

Home

บรษทผลตเสอผาส าเรจรปแหงหนงผลตเสอ 6 แบบ กางเกง 5 แบบ และเนคไท 4 แบบ ถาจะจดแตงตวใหกบหน เพอน าไปโชวหนาราน จะสามารถแตงเปนชดตางๆ ไดกชด


Home

ในการแตงตวใหกบหน ม 3 ขนตอน คอ ขนตอนท 1 เลอกเสอได 6 วธ ขนตอนท 2 เลอกกางเกงได 5 วธ ขนตอนท 3 เลอกเนคไทได 4 วธ ดงนน วธแตงตวใหกบหนท าไดทงหมด 6 x 5 x 4 = 120 วธ นนคอ จะแตงตวใหกบหนเปนชดตางๆกนได 120 ชด

Home

วธท า

สมาคมแหงหนงมสมาชก 50 คน ถาตองการเลอกคณะกรรมการชดหนง ซงประกอบดวยนายกสมาคม อปนายกสมาคม เลขานการ และเหรญญก ต าแหนงละ 1 คน โดยทกรรมการคนเดยวกนจะท าหนาท 2 ต าแหนงไมได จะมวธเลอกคณะกรรมการไดกวธ


Home

ในการเลอกกรรมการ จะเลอกต าแหนงใดกอนกได ซงแบงไดเปน 4 ขนตอน ดงน ขนท 1 เลอกนายกสมาคมได 50 วธ ขนท 2 เลอกอปนายกสมาคมได 49 วธ (เลอกไปแลว 1 คน เหลอ 49 คน) ขนท 3 เลอกเลขานการได 48 วธ (เลอกไปแลว 2 คน เหลอ 48 คน) ขนท 4 เลอกเหรญญกได 47 วธ (เลอกไปแลว 3 คน เหลอ 47 คน) ดงนน เลอกคณะกรรมการไดทงหมด วธ

วธท า

50 49 48 47 5,527,200

Home

ตองการสรางจ านวนทมสามหลกจากเลขโดด 2,4,6,7,8 โดยแตละหลกใชเลขโดดไมซ ากน จะสรางไดทงหมดกจ านวน


Home

การสรางจ านวนทมสามหลก ท าไดโดยเลอกเลขโดดจากทก าหนดใหวางในหลกหนวย หลกสบ หลกรอย โดยจะวางหลกใดกอนกได หลกรอย หลกสบ หลกหนวย

วธท า

Home

5 วธ 4 วธ 3 วธ

การสรางจะแบงได 3 ขนตอน ขนตอนท 1 เลอกตวเลขโดด 1 ตว วางทหลกหนวย เลอกได 5 วธ ขนตอนท 2 เลอกตวเลขโดด 1 ตวจากทเหลอ วางทหลกสบ เลอกได 4 วธ ขนตอนท 3 เลอกตวเลขโดด 1 ตวจากทเหลอ วางทหลกรอย เลอกได 3 วธ ดงนน จ านวนสามหลกทตองการมทงหมด จ านวน

5 4 3 60

Home

หลกการบวกและหลกการคณแตกตางกนอยางไร ?

ขอสงเกต งานทส าเรจแลว จะใชหลกการบวก งานทยงไมส าเรจ จะใชหลกการคณ

Home

ถา n เปนจ านวนเตมบวก แฟกทอเรยล หมายถง ผลคณของจ านวนเตมบวกตงแต 1 ถง และเขยนแทนดวย

นนคอ หรอ สญลกษณ “ ” อานวา “ แฟกทอเรยลเอน ” หรอ “ เอนแฟกทอเรยล ”

บทนยามท 1

แฟกทอเรยล (Factorial)

n! 1 2 3 ... n 1 n

n! n n 1 ... 3 2 1

n!

n!

n

n

Home

ตวอยาง

1! 1

2! 2 1 2

3! 3 2 1 6

4! 4 3 2 1 24

5! 5 4 3 2 1 120

Home

สมมตให จะได

n! n n 1 ... 3 2 1

n n 1 !

n 1

1! 1 1 1 !

1! 1 0!

1 1 0!

0! 1

นยาม 2 ก าหนด 0! 1

Home

ตวอยางท 6 จงหาคาของ วธท า

4!6! 4 3 2 1 6!

8! 8 7 6!

3

7

4!6!

8!

Home

วธเรยงสบเปลยน (Permutation) เปนการจดเรยงสงของ โดยค านงถงต าแหนงของสงของแตละสงเปนส าคญ

วธเรยงสบเปลยน

Home

มเลขโดด 1,2 และ 3 ถาตองการน ามาจดเรยงเปนจ านวนสองหลก โดยทแตละหลกมเลขโดดไมซ ากน จะไดจ านวนทแตกตางกนทงหมด 6 จ านวน คอ 12 , 21 , 13 , 31 , 23 และ 32 ในกรณน เปนวธเรยงสบเปลยนของเลขโดด 1 , 2 และ 3 โดยจดทละ 2 ตว การหาจ านวนวธเรยงสบเปลยนดงกลาว สามารถใชหลกการคณ มาค านวณไดดงน

เชน

Home

หลกสบ หลกหนวย ขนท 1 หลกสบ เลอกได 3 วธ จากเลขโดด 1 , 2 , 3 ขนท 2 หลกหนวย เลอกได 2 วธจากเลขโดดทเหลอ 2 ตว ดงนน จ านวนวธเรยงสบเปลยนของเลขโดดดงกลาว คอ วธ

วธท า

3 2 6

Home

1 2 3 3 2 3 3

ในหวขอ นตองการค านวณหาจ านวนวธเรยงสบเปลยนของสงของ โดยอาศยหลกการคณและแทนจ านวนทไดอยในรปแฟกทอเรยล โดยทวไป วธเรยงสบเปลยนจะแบงได 2 แบบ คอ วธเรยงสบเปลยนเชงเสน วธเรยงสบเปลยนเชงวงกลม

ในหวขอ นตองการค านวณหาจ านวนวธเรยงสบเปลยนของสงของ โดยอาศยหลกการคณและแทนจ านวนทไดอยในรปแฟกทอเรยล โดยทวไป วธเรยงสบเปลยนจะแบงได 2 แบบ คอ วธเรยงสบเปลยนเชงเสน วธเรยงสบเปลยนเชงวงกลม

Home

วธเรยงสบเปลยน

การเรยงสบเปลยนเชงเสน การเรยงสบเปลยนเชงวงกลม

Home

วธเรยงสบเปลยนเชงเสน เปนการจดเรยงสงของในแนวเสนตรงซงแบงออกเปน 2 แบบ คอ

วธเรยงสบเปลยนเชงเสน(Linear Permutation)

1.วธเรยงสบเปลยนเชงเสนของสงของทแตกตางกนทงหมด

2. วธเรยงสบเปลยนเชงเสนของสงของทไมแตกตางกนทงหมด

Home

1.วธเรยงสบเปลยนเชงเสนของสงของทแตกตางกนทงหมด

ถามสงของ สง ซงแตกตางกนทงหมดและตองการ น ามาจดเรยงในแนวเสนตรงจ านวน สง ( ) ต าแหนงทจะจดเรยงม ต าแหนง ต าแหนงท 1 ต าแหนงท 2 ต าแหนงท r

1 r n

r

n

Home

r

ต าแหนงท 1 มวธน าสงของวางได n วธ ต าแหนงท 2 แตละวธทวางสงของในต าแหนงท 1 มวธ น าสงของวางในต าแหนงท 2 ได n - 1 วธ ต าแหนงท r แตละวธทวางสงของในต าแหนงท 1 ถงต าแหนงท r - 1 มวธน าสงของวางใน ต าแหนงท r ได n - ( r -1) = n – r + 1 วธ

Home

จ านวนวธเรยงสบเปลยนของสงของ n สงทแตกตางกน ทงหมด โดยจดเรยงคราวละสง เทากบ วธ

n!

Home

ทฤษฏท 1

ทฤษฏท 2

จ านวนวธเรยงสบเปลยนของสงของ n สง ซงแตกตางกนทงหมด โดยจดเรยงคราวละ r สง เทากบ วธ เมอ

จ านวนวธเรยงสบเปลยนของสงของ n สง ซงแตกตางกนทงหมด โดยจดเรยงคราวละ r สง เทากบ วธ เมอ

1 r n

n,r

n!P

n r !

n,rP

มหนงสอทแตกตางกน 6 เลม ตองการน าหนงสอมา 4 เลม เพอจดเรยงเปนแถวบนชนจะจดไดกวธ วธท า จากสตร ดงนน จดเรยงหนงสอ 4 เลม ได 360 วธ


n,r

6,4

n!P

n r !

n 6

r 4

6!P

6 4 !

6!

2!

6 5 4 3

360

ในทน

Home

ถาตองการสลบตวอกษรในค าวา “hyperbola”จะสลบไดกวธ เมอตองการให h และ y อยตดกน วธท า ตองการให h และ y อยตดกน กพจารณาวา hy เปนอกษร 1 ตว และ yh กเปนอกษร 1 ตว ในกรณทพจารณาวา hy เปนอกษร 1 ตว จะไดวามอกษรทน ามาสลบ 8 ตว คอ hy,p,e,r,b,o,l,a ซงสลบได วธ ในกรณทพจารณาวา yh เปนอกษร 1 ตว จะไดวามอกษรทน ามาสลบ 8 ตว คอ yh,p,e,r,b,o,l,a ซงสลบได วธ ดงนน จ านวนวธทสลบตวอกษรโดยท h และ y อยตดกน วธ


8,8P 8!

8! 8! 80,640

8,8P 8!

Home

มหนงสอคณตศาสตรตางกน 6 เลม และหนงสอเคม ตางกน 4 เลม จะมกวธทจะจดหนงสอเหลานบนชน โดยท 1) หนงสอวชาเดยวกนอยตดกน 2) หนงสอวชาเดยวกนอยรมทงสองดาน


Home

วธท า 1) กรณหนงสอวชาเดยวกนอยตดกน จดหนงสอวชาเดยวกนมดตดกนโดยคดเปนสงของ 1 สง ดงนน จะมหนงสออย 2 มด จดเรยงได 2! วธ แตละวธใน 2! วธน มดทเปนหนงสอคณตศาสตร 6 เลมนน จดเรยงได 6! วธ มดทเปนหนงสอเคม 4 เลม จดเรยงได 4! วธ จะไดวา จ านวนวธจดเรยงใหหนงสอวชาเดยวกนอยตดกน 2!6!4! = 34560 วธ

Home

คณตศาสตร เคม 2! 6! 4!

วธท า 2) กรณหนงสอวชาเดยวกนอยรมทงสองดาน แบงเปน 2 กรณ กรณท 1 รมทงสองดานเปนหนงสอคณตศาสตร จดหนงสอคณตศาสตรอยรมทงสองดานกอนได วธ จากนนจดหนงสอทเหลอทงหมดไวระหวางหนงสอคณตศาสตร 2 เลม ได 8! วธ ดงนน จ านวนวธจดหนงสอโดยใหรมทงสองดานเปนหนงสอคณตศาสตร เทากบ วธ

6,2P

6,2

6!P 8! 8! 1,209,600

4!

Home

กรณท 2 รมทงสองดานเปนหนงสอเคม จดหนงสอเคมอยรมทงสองดานกอนได วธ จากนนจดหนงสอทเหลอทงหมดไวระหวางหนงสอเคม 2 เลม ได 8! วธ ดงนน จ านวนวธจดหนงสอโดยใหรมทงสองดานเปนหนงสอเคม เทากบ วธ จากทง 2 กรณ ดงนน จ านวนวธการจดหนงสอวชาเดยวกนอยรมทงสองดาน เทากบ 1,209,600 + 483,840 = 1,693,440 วธ

4,2P

4,2

4!P 8! 8! 483,840

2!

Home

2.วธเรยงสบเปลยนเชงเสนของสงของทไมแตกตางกนทงหมด

Home

ถามสงของอย n สง ในจ านวนนม n1 สงทเหมอนกนเปนกลมทหนง ม n2 สงทเหมอนกนเปนกลมทสอง ม nk สงทเหมอนกนเปนกลมท k โดยท n1 +n2 + … + nk = n จ านวนวธเรยงสบเปลยนกลมของสงของ n สง เทากบ วธ

1 2 k

n!

n ! n ! n !

ทฤษฏท 3

จงหาจ านวนวธเรยงสบเปลยนตวอกษรจากค าวา “MATHEMATICS ” ทแตกตางกนโดยไมค านงถงความหมาย จ านวนตวอกษรมทงหมด 11 ตว มตวอกษร M อย 2 ตว มตวอกษร A อย 2 ตว มตวอกษร T อย 2 ตว และมตวอกษร H,E,I,C และ S อยางละ 1 ตว จ านวนวธเรยงสบเปลยนตวอกษรดงกลาวเทากบ = 4,989,600 วธ


11!

2!2!2!1!1!1!1!1!

Home

ทฤษฏท 3

M A T H E M A T I C S

มหนงสออย 10 เลม เปนหนงสอคณตศาสตร (เหมอนกนทกเลม) จ านวน 6 เลม และเปนหนงสอภาษาองกฤษ (เหมอนกนทกเลม) จ านวน 4 เลม จงหาจ านวนวธจดหนงสอทง 10 เลม วางบนชนหนงสอ โดยใหหนงสอทอยหวแถวและทายแถวเหมอนกน วธท า กรณท 1 ใหหนงสอคณตศาสตร อยหวแถวและทายแถวจดได 1 วธ สวนตรงกลางเปนการจดเรยงหนงสอทเหลอจ านวน 8 เลม ซงประกอบดวยหนงสอคณตศาสตร 4 เลม และหนงสอภาษาองกฤษ 4 เลม จะจดได วธ ดงนน จ านวนวธจดเรยงทงหมดเทากบ วธ


8!

4!4!8!

1 704!4!

Home

กรณท 2 ใหหนงสอภาษาองกฤษ อยหวแถวและทายแถวจดได 1 วธ สวนตรงกลางเปนการจดเรยงหนงสอทเหลอจ านวน 8 เลม ซงประกอบดวยหนงสอคณตศาสตร 6 เลม และหนงสอภาษาองกฤษ 2 เลม จะจดได วธ ดงนน จ านวนวธจดเรยงทงหมดเทากบ วธ จากทงสองกรณสรปไดวา จ านวนวธจดเรยงหนงสอดงกลาว โดยใหหนงสอทเหมอนกนอยหวแถวและทายแถวเทากบ 70 + 28 = 98 วธ

8!

6!2!8!

1 286!2!

Home

วธเรยงสบเปลยนเชงวงกลม

พจารณาการจดเรยงตวอกษร 3 ตว คอ A , B และ C เปนแถวตรงจะมวธจดเรยงได 3! = 6 วธ คอ ABC BCA CAB ACB BAC CBA วธการจดเรยงตวอกษร ABC , BCA ,CAB , ACB , BAC และ CBA เปนการจดเรยงแถวตรงทแตกตางกน แตถาน าแตละวธมาจดเปนวงกลมจะได

Home

A→B→C B→C→A C→A→B A→C→B B→A→C C→B→A Home

A

A

A B

C

B

B

C C

A

C

B C

B

B

A

A C

A→B→C B→C→A C→A→B จะเหนวา วธการจดเรยงตวอกษร ABC BCA และ CAB ถอวาเปนการจดเรยงเปนวงกลมเพยง 1 วธ ดงตอไปน

A

A

A B

C

B

B

C C

A B

C

Home

A→C→B B→A→C C→B→A ในท านองเดยวกน จะเหนวาวธการจดเรยงตวอกษร ACB BAC และ CBA ถอวาเปนการจดเรยงเปนวงกลมเพยง 1 วธ ดงตอไปน

A C

B

A

C

B C

B

B

A

A C

Home

ดงนน การจดเรยงตวอกษร 3 ตว เปนวงกลม จะจดได 2 วธ คอ

Home

A B

C

A C

B

แนวคดในการหาจ านวนวธเรยงสบเปลยนเชงวงกลม ( Circular Permutation ) ของสงของทแตกตางกน n สง อาจจะเรมโดยใหสงของสงหนงอยคงท ณ ต าแหนงใดต าแหนงหนง แลวจดเรยงสบเปลยนสงของทเหลออย n – 1 สง จะได จ านวนวธเรยงสบเปลยนเชงวงกลมทงหมด เทากบ n 1 n 2 n 3 3 2 1 n 1 !

จ านวนวธเรยงสบเปลยนเชงวงกลมของสงของทแตกตางกน n สง เทากบ (n-1)! วธ

Home

ทฤษฏท 4


จดนกเรยน 10 คน ใหนงรอบโตะกลมซงม 10 ทนงไดทงหมดกวธ วธท า จ านวนวธทจะจดนกเรยน 10 คน นงรอบโตะกลมซงม 10 ทนง (10 – 1)! = 9! = 362,880 วธ

Home

ทฤษฏท 4

มนกเรยนชาย 6 คน และนกเรยนหญง 6 คน ตองการจดนกเรยนทงหมดใหนงรอบโตะกลม ซงม 12 ทนง โดยทนกเรยนชายกบนกเรยนหญงตองนงสลบกนจะมวธจดทงหมดกวธ วธท า จดใหนกเรยนชาย 6 คน นงรอบโตะกลมกอน โดยทนกเรยนชาย 2 คนใดๆ ตองไมนงเกาอตดกน จะได (6-1)! = 5! วธ


ช

ช

ช ช

ช ช

Home

ในแตละวธจดนกเรยนหญงใหนงเกาอทวางซงมทนง 6 ท จะจดได 6! วธ ดงนน จ านวนวธจดใหนกเรยนชายและหญงนงสลบกน เทากบ 5!6! = 86,400 วธ

หมายเหต ในตวอยางน อาจจดใหนกเรยนหญง 6 คน นงโตะกลมกอนกไดซงจะไดค าตอบเทากน

Home

มชาย 5 คน และหญง 4 คนตองการจดคนทง 9 คนยนเปนวงกลม โดยไมมหญง 2 คนใดเลยยนตดกนจะมวธการจดทงหมดกวธ วธท า วธการจดคนทง 9 คน ยนเปนวงกลม โดยไมมหญงสองคนใดเลยยนตดกนกคอการจดใหชายยนเปนวงกลมกอน หลงจากนนใหหญงยนแทรกระหวางชาย ดงรป


ช

ช

ช

ช ช

Home

Home

เนองจากการจดชายยนเปนวงกลมกอนจดได 4! วธ และต าแหนงทจะใหหญงไปยนแทรกมทงหมด 5 ต าแหนง แตมหญงเพยง 4 คน ฉะนน ตองมชายสองคนยนตดกนซงเปนไปได 5 วธ และแตละวธสามารถจดผหญงเขาไปยนได 4! วธ ท าใหจดหญงยนแทรกระหวางชายได 5 × 4! หรอ 5! วธ ดงนน วธจดคนทง 9 คน ยนเปนวงกลม โดยทไมมหญงสองคนใดเลยยนตดกน เทากบ 4!5! = 2,880 วธ

วธเรยงสบเปลยนสงของทแตกตางกนเปนวงกลมในลกษณะ 3 มต

ถามสงของ n สงตางกน น ามาเรยงสบเปลยนเปนวงกลมทงหมด ทมลกษณะ 3 มต (กลาวคอ มองไดทงสองดาน เชน การรอยลกปด พวงกญแจ การรอยพวงมาลยดอกไม) จะไดวาจ านวนวธการเรยงสบเปลยนเทากบ วธ n 1 !

2

Home

มดอกไม 7 ดอก ดอกละส จะมวธน าดอกไมทง 7 ดอก มารอยเปนพวงมาลยวงกลมไดกวธ วธท า วธน าดอกไมทง 7 ดอกมารอยเปนพวงมาลยวงกลม ดงนน มวธน าดอกไมทง 7 ดอกมารอยเปนพวงมาลยวงกลม ไดเทากบ 360 วธ

(7 1)!360

2

Home


วธ

วธจดหม (Combination) เปนการเลอกสงของออกเปนหมหรอชด โดยไมค านงล าดบของสงของเหลานวาจะไดสงของใดออกมากอนหรอหลง

Home

จ านวนวธจดหมของสงของทแตกตางกน n สง โดยเลอกคราวละ r สง เทากบ วธ

ทฤษฏท 5

0 r n

n,r

n n!C

r n r !r!

จงหาวาจ านวนวธเลอกนกเรยน 3 คน จากนกเรยนกลมหนงซงม 10 คน มทงหมดกวธในการเลอก วธท า จ านวนวธเลอกนกเรยน 3 คน จากนกเรยน 10 คน ม วธ เนองจาก ดงนน จ านวนวธเลอกนกเรยน 3 คน จากนกเรยน 10 คน ม 120 วธ


n

r

10 10!

3 7!3!

10 9 8

3 2 1

120

Home

กลองใบหนงมลากหมายเลข 1 ถง 10 สมหยบฉลากมา 4 ใบ พรอมกน ความนาจะเปนทจะหยบไดฉลากแตมนอยกวา 4 สองใบและมากกวา 6 หนงใบ มคาเทากบขอใดตอไปน (ขอสอบแขงขน สมาคมคณตศาสตรแหงประเทศไทย ป 2542) ก. ข. ค. ง.


4

35

6

35

1

21

2

21

มฉลากหมายเลข 1 ถง 10 ในกลอง สมหยบมา 4 ใบ จ านวนวธทจะเกดขนได วธ เหตการณทตองการคอ ใน 4 ใบดงกลาวมแตมนอยกวา 4 สองใบ และมากกวา 6 หนงใบท าไดดงน ดงนน จ านวนวธทจะเกดเหตการณดงกลาวเทากบ วธ ความนาจะเปนทจะเกดเหตการณดงกลาว คอ ตอบ ตวเลอก ข.

วธท า

10,4C 210

2 3 4 7 6 5 1 10 9 8

นอยกวา 4 มากกวา 6 หยบมา 2 ใบ ได วธ

3,2C 3

หยบมา 1 ใบ ได 3 วธ

หยบมา 1 ใบ ได 4 วธ

3 3 4 36

36 6

210 35

Home

ทฤษฎบททวนาม (Binomial Theorem) ถา x , y เปนจ านวนจรง และ n เปนจ านวนเตมบวกแลว จ านวน ทเปนสมประสทธของแตละพจน ในการกระจาย เรยกวา สมประสทธทวนาม (Binomial coefficient)

n n n 1 n r r n

n n n nx y x x y x y y

0 1 r n

n n n n n, , , , , ,

0 1 2 r n

n

x y

Home

ทฤษฏท 6

การหาพจนทวไป ให หมายถงพจนท r ของการกระจาย จะไดวาพจนท r ของการกระจาย คอ หรอเพอสะดวกในการจ า เราอาจใชสตรการหาพจนท r+1 แทน นนคอ หมายเหต ผลบวกการกระจายตองม n + 1 พจน

rT n

x y

n r 1 r 1

r

nT x y

r 1

n r r

r 1

nT x y

r

จงกระจาย โดยใชทฤษฎบททวนาม วธท า


4

22x 3y

4 24 3 24 4 42 2 22x 3y 2x 2x 3y 2x 3y0 1 2

3 44 42 22x 3y 3y3 4

24 3 22 22x 4 2x 3y 6 2x 3y

3 42 24 2x 3y 3y

4 3 2 2 4 6 816x 96x y 216x y 216xy 81y

Home

จงกระจาย โดยใชทฤษฎบททวนาม วธท า


52x y

5 5 4 3 25 5 52x y 2x 2x y 2x y

0 1 2

5 5 52 3 4 52x y 2x y y

3 4 5

5 4 3 2 2 3 4 532x 80x y 80x y 40x y 10xy y

Home

ตวอยางท 4.13 จงหาสมประสทธของพจนกลางจากการกระจาย วธท า พจนกลางของการกระจาย คอ พจนท 4 เนองจากมการกระจาย 7 พจน จาก สมประสทธของพจนกลาง คอ

62

31

y

n r r

r 1

36 3

2

3 1

32

6

6

6

nx y

r

6 1y

3 3

6! 1y

3! 6 3 ! 27

6.5.4.3! 1y

3.2.1 3! 27

120y

27

20y

27

62

31

y

2720

Home


ความนาจะเปน และ

กฎทส าคญบางประการของความนาจะเปน

การทดลองสม ปรภมตวอยาง เหตการณ ความนาจะเปน กฎทส าคญบางประการของความนาจะเปน

Home

ในการทอดลกเตาลกหนง ผลลพธทนาสนใจคอแตมบนหนาทหงายขน ดงนน ผลลพธทเปนไปได คอ ไดแตม 1 , 2 , 3 , 4 , 5 หรอ 6 แตไมสามารถบอกไดวาเมอทอดลกเตาลกหนงแลวจะไดแตมใด ในการโยนเหรยญหนงอนบนพนราบ ผลลพธทเปนไปได คอ ดานทหงายขนเปนดานหวหรอกอย แตไมสามารถบอกลวงหนาไดวาในการโยนครงนจะไดผลลพธเปนอะไร การกระท าดงกลาว เรยกวา การทดลองสม (Random Experiment)

Home

การทดลองสม (Random Experiment)

การทดลองสม หมายถง การทดลองหรอการกระท าใดๆ ซงทราบวาผลลพธอาจจะเปนอะไรไดบาง แตไมสามารถบอกไดอยางถกตองแนนอน วาในแตละครงททดลองผลทเกดขนจะเปนอะไรในบรรดาผลลพธ ทอาจเปนไปไดเหลาน

Home

การโยนเหรยญ 2 เหรยญ พรอมกน จะเปนการทดลองสม เพราะวาผลลพธทเปนไปไดเขยนแทนไดดวย คอนดบ (หว,หว) , (กอย,หว) , (หว,กอย) และ (กอย,กอย) หรอ ก าหนดให H แทน การออกหว T แทน การออกกอย จะไดคอนดบ (H,H),(H,T),(T,H) และ(T,T)


Home

ปรภมตวอยาง หรอ แซมเปลสเปซ (Sample space) หมายถง เซตของผลลพธทงหมดทเปนไปไดจากการทดลองสม แตละสมาชกของปรภมตวอยางหรอผลการทดลอง เรยกวา จดตวอยาง (Sample point หรอ Outcome)

Home

ปรภมตวอยาง (Sample space)


ในการโยนเหรยญ 1 อน ผลทเกดขนเปนหวหรอกอย ปรภมตวอยางของการโยนเหรยญ 1 เหรยญ คอ S = { หว , กอย } หรอให H แทน การออกหว T แทน การออกกอย จะไดวา S = { H , T } จดตวอยางคอ H และ T

Home

ในการทดลองสมครงหนง อาจจะมปรภมตวอยางไดมากกวาหนงแบบกได ทงนขนอยกบผลลพธทสนใจ ดงตวอยางตอไปน

Home

การโยนเหรยญ 2 เหรยญพรอมกน ถาผลลพธทสนใจ คอ การขนหนาของเหรยญทปรากฏ และให S1 แทนปรภมตวอยางของการทดลองน จะได แตถาสนใจผลลพธทเปนจ านวนเหรยญทขนหวและให S2 แทนปรภมตวอยางของการทดลองน จะได S2 = { 0 , 1 ,2 }

1S H,H , H,T , T,H , T,T


Home ภาพประกอบ

H

T

H

T H

T

(H,H)

(H,T) (T,H)

(T,T)

S1

H

T

H

T H

T

(H,H)

(H,T) (T,H)

(T,T)

S2

2

1 1

0

กลบ


จงเขยนปรภมตวอยางของการทอดลกเตา 2 ลก พรอมกน 1 ครง โดยท 1) สนใจผลลพธทเปนแตมของลกเตาทงสองลก 2) สนใจผลลพธทเปนผลบวกของแตมบนหนาลกเตาทงสองลก

Home

วธท า 1) ให S1 แทนปรภมตวอยางของการทอดลกเตา 2 ลก โดยสนใจผลลพธทเปนแตมของลกเตาทงสองลก จะได S1 = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6), (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6), (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) , (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) }

Home

2) ให S2 แทนปรภมตวอยางของการทอดลกเตา 2 ลก โดยสนใจผลลพธทเปนผลบวกของแตมบนหนาลกเตาทงสองลก จะได S2 = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

S1 = { (1,1) , (1,2) ,(1,3 ), (1,4) , (1,5) , (1,6) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6), (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6), (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) , (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) }

2 3 4 5 7 6

9

12

8

10 11

Home

เหตการณ (Event) คอ สบเซตของปรภมตวอยาง

Home

เหตการณ (Event)

ถาปรภมตวอยางของการทอดลกเตา 2 ลก คอ S = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6), (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6), (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6), (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6), (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6), (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) }

เชน

Home

ให E1 แทนเซตของเหตการณทแตมของลกเตาทงสองเปนจ านวนค จะได E1 = {(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)} ให E2 แทนเซตของเหตการณทผลบวกของแตมบนหนาลกเตาทงสองเปน 5 จะได E2 = {(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)} ให E3 แทนเซตของเหตการณทผลบวกของแตมบนหนาลกเตาทงสองเปน 20 จะได E3 =

Home

ให E1 แทนเซตของเหตการณทแตมของลกเตาทงสองเปนจ านวนค จะได E1 = {(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)}

S = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6), (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6), (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6), (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6), (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6), (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) }

ให E2 แทนเซตของเหตการณทผลบวกของแตมบนหนาลกเตาทงสองเปน 5 จะได E2 = {(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)}

S1 = { (1,1) , (1,2) ,(1,3 ), (1,4) , (1,5) , (1,6) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6), (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6), (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) , (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) }

5

Home

ให E3 แทนเซตของเหตการณทผลบวกของแตมบนหนาลกเตาทงสองเปน 20 จะได E3 =

Home


การโยนเหรยญหนงเหรยญกบการทอดลกเตาหนงลกพรอมกน จงหา 1) เหตการณทเหรยญออกกอยและลกเตาขนแตมเปนเลขค 2) เหตการณทลกเตาขนแตมเปนจ านวนทหารดวย 3 ลงตว 3) เหตการณทเหรยญออกหว และลกเตาขนแตมเปนจ านวนค

Home

1) ให E1 แทนเหตการณทเหรยญออกกอยและลกเตาขนแตมเปนจ านวนค E1 = {(T,1), (T,3), (T,5)} 2) ให E2 แทนเหตการณทลกเตาขนแตมเปนจ านวนทหารดวย 3 ลงตว E2 = {(H,3), (H,6), (T,3), (T,6)} 3) ให E3 แทนเหตการณทเหรยญออกหว และลกเตาขนแตมเปนจ านวนค E3 = {(H,2), (H,4), (H,6)}

วธท า

Home

อธบาย

อธบาย

อธบาย

T

6 5

2

4 3

1

1

H

6 5

2

4

3

(H,1)

(H,2)

(H,3)

(H,4)

(H,5)

(H,6) (T,1)

(T,2) (T,3)

(T,4) (T,5)

(T,6) กลบ

วธคดขอ 1

H

1

6 5

2

4

3

T

6 5

2

4 3

1

(H,1)

(H,2)

(H,3)

(H,4)

(H,5)

(H,6)

(T,1)

(T,2)

(T,3)

(T,4)

(T,5)

(T,6) กลบ



กลองใบหนงมลกบอลสขาว 3 ลก สแดง 2 ลก หยบลกบอลจากกลองพรอมกน 2 ลก จงหา 1)ปรภมตวอยางเมอสนใจสของลกบอลและเหตการณทจะไดลกบอลสขาว 2) ปรภมตวอยาง เมอสนใจลกบอลทจะหยบและเหตการณทจะได ลกบอลสขาว 1 ลก และสแดง 1 ลก

Home

1) จงหาปรภมตวอยาง เมอสนใจสของลกบอล และเหตการณทจะไดลกบอลสขาว วธท า ให S1 แทนปรภมตวอยาง เมอสนใจสของลกบอล และ E1 แทนเหตการณทจะไดลกบอลสขาว จะได S1 = {ขาวกบขาว , ขาวกบแดง , แดงกบแดง} และ E1 = {ขาวกบขาว , ขาวกบแดง}

วธท า

Home

2) จงหาปรภมตวอยาง เมอสนใจลกบอลทจะหยบและเหตการณทจะไดลกบอลสขาว 1 ลก และสแดง 1 ลก วธท า ให S2 แทนปรภมตวอยาง เมอสนใจลกบอลทหยบ E2 แทนเหตการณทจะไดลกบอลสขาว 1 ลก และสแดง 1 ลก เนองจากการทดลองสมนสนใจลกบอลแตละลกทหยบ ดงนน ให W1 , W2 , W3 เปนลกบอลสขาว 3 ลก และ R1 , R2 เปนลกบอลสแดง 2 ลก จะได S2 = {W1W2 , W1W3 , W1R1 , W1R2 , W2W3 , W2R1 , W2R2 , W3R1 ,W3R2 , R1R2} E2 ={W1R1 , W1R2 , W2R1 , W2R2 , W3R1 , W3R2}

Home

W1

W2

W3

R1

R2

W2

W1

W3

R1

R2

W3

W1

W2

R1

R2

W1W2

W1W3

W1R1

W1R2

W2W1

W2W3

W2R1

W2R2

W3W1

W3W2

W3R1

W3R2

R1 R2 R1R2 Home

ปรภมตวอยางและเหตการณตางกเปนเซตในทนเอกภพสมพทธ คอ ปรภมตวอยางและเหตการณเปนสบเซต การพจารณายเนยนของเหตการณ อนเตอรเซกชนของเหตการณ และคอมพลเมนตของเหตการณ สามารถท าเชนเดยวกบเรองเซต ให S เปนปรภมตวอยาง และให A และ B เปนเหตการณสองเหตการณ เปนเหตการณซงประกอบดวยสมาชกของเหตการณ A หรอ ของเหตการณ B หรอของทงสองเหตการณนนคอ

A B

A B x|x A x B

Home

เปนเหตการณซงประกอบดวยสมาชกทอยท งในเหตการณ A และเหตการณ B นนคอ ถา แลว จะเรยกเหตการณ A และ B วา เหตการณทไมเกดรวมกน ( Mutually exclusive events) เปนเหตการณทประกอบดวยสมาชกทอยในปรภมตวอยาง S แตไมอยในเหตการณ A นนคอ

A B

A B x|x A x B

A B

A

A x | x S x A

Home

ในการทอดลกเตา 2 ลกพรอมกน ถาผลลพธทสนใจคอผลรวมของแตมบนลกเตาทงสองและให A แทนเหตการณทผลรวมของแตมเปนจ านวนค B แทนเหตการณทผลรวมของแตมเปนจ านวนทหารดวย 3 ลงตว C แทนเหตการณทผลรวมของแตมเทากบ 6 D แทนเหตการณทผลรวมของแตมเปนจ านวนทหารดวย 4 ลงตว


Home

จงหา 1) 2) 3) 4) 5) ปรภมตวอยาง

A B B C C D

B C D

S 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

A 3,5,7,9,11

B 3,6,9,12

C 6

D 4,8,12

Home

A แทนเหตการณทผลรวมของแตม เปนจ านวนค B แทนเหตการณทผลรวมของแตม เปนจ านวนทหารดวย 3 ลงตว C แทนเหตการณทผลรวมของแตมเทากบ 6 D แทนเหตการณทผลรวมของแตม เปนจ านวนทหารดวย 4 ลงตว

1) A B 3,5,6,7,9,11,12

2) B C 3,6,9,12

3) C D

4) B C 6

5) D 2,3,5,6,7,9,10,11

Home

S 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

A 3,5,7,9,11

B 3,6,9,12

C 6

D 4,8,12

พจารณาการทดลองสมตอไปน หยบลกบอล 1 ลก จากกลองทมลกบอลสแดง 2 ลก และลกบอลสขาว 5 ลก ปรภมตวอยางประกอบดวยสมาชก 7 ตว และเหตการณทจะหยบลกบอลสแดงประกอบดวยสมาชก 2 ตว โอกาสทจะหยบลกบอลลกใดลกหนงมเทากน ในการค านวณหาโอกาส การเกดเหตการณดงกลาวจะเกดขนมากนอยเพยงใด หาไดจากอตราสวนระหวางจ านวนสมาชกของเหตการณตอจ านวนสมาชกของปรภมตวอยาง อตราสวนทไดจะเรยกวา ความนาจะเปน (Probability) ของเหตการณ

Home

ความนาจะเปน (Probability)

ถา S แทนปรภมตวอยางของการทดลองสมอยางหนง ซงแตละจดตวอยางของการทดลองมโอกาสเกดขนเทาๆกน และ E แทนเหตการณความนาจะเปนของเหตการณ E เขยนแทนดวย P(E) ซง เมอ n(E) แทนจ านวนสมาชกในเหตการณ E n(S) แทนจ านวนสมาชกในปรภมตวอยาง S

บทนยามท 4

Home

n EP E

n S

1. ความนาจะเปนของเหตการณ E ใด ๆ จะมคาตงแต 0 ถง 1 เสมอ นนคอ P(E) = 0 หมายความวา เหตการณ E ไมมโอกาสเกดขนเลย P(E) = 1 หมายความวา เหตการณ E จะเกดขนอยางแนนอน 2. ความนาจะเปนของปรภมตวอยาง S มคาเทากบ 1 นนคอ P(S) = 1 3. ความนาจะเปนของเหตการณทเปนเซตวางมคาเทากบ 0 นนคอ

0 P E 1

P 0

สมบตของความนาจะเปน

Home

ในการทอดลกเตาหนงลก 2 ครง จงหาความนาจะเปนทผลรวมของแตมจากการทอดลกเตา 2 ครง เทากบ 6 วธท า ให S แทนปรภมตวอยาง และ E แทนเหตการณทจะไดผลรวมของแตม จากการทอดลกเตา 2 ครง เทากบ 6


Home

S = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6), (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6), (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6), (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6), (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) } และ E = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} ดงนน

5P(E)

36

Home

6

กฎทส าคญบางประการของความนาจะเปน

ให S เปนปรภมตวอยาง ซงเปนเซตจ ากด และ A, B เปนเหตการณใดๆ กฎขอท 1 กฎขอท 2 ถา แลว กฎขอท 3 กฎขอท 4

P A B P A P B P A B

A B P A B P A P B

P A 1 P A

P A B P A P A B

Home

ในการทอดลกเตา 2 ลกพรอมกน จงหา 1) ความนาจะเปนของเหตการณทลกเตาทงสองลกจะขนหนาเหมอนกน

หรอผลรวมของแตมมากกวา 10 2) ความนาจะเปนของเหตการณทลกเตาทงสองลกจะขนหนาเหมอนกน

หรอผลรวมของแตมเทากบ 7 3) ความนาจะเปนของเหตการณทลกเตาทงสองลกจะขนหนา ไมเหมอนกน 4) ความนาจะเปนของเหตการณทลกเตาทงสองลกจะขนหนาเหมอนกน แตผลรวมของแตมไมมากกวา 10


Home

ให S แทนปรภมตวอยาง A แทนเหตการณทลกเตาทงสองลกจะขนหนาเหมอนกน B แทนเหตการณทผลรวมของแตมเทากบ 7 C แทนเหตการณทผลรวมของแตมมากกวา 10 S = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6) (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6) (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) }

วธท า

Home

A = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) } B = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) } C = {(5,6), (6,5), (6,6) } ดงนน

6 1P A

36 6

6 1

P B36 6

3 1

P C36 12

Home

1. ความนาจะเปนของเหตการณทลกเตาทงสองลกจะขนหนาเหมอนกน หรอผลรวมของแตมมากกวา 10 คอ เนองจาก จงไดวา ดงนน

P A C P A P C P A C

1

A C { 6,6 } P A C36

1 1 1 2

P A C6 12 36 9

Home

วธท า

2. ความนาจะเปนของเหตการณทลกเตาทงสองลกจะขนหนาเหมอนกนหรอผลรวมของแตมเทากบ 7 คอ เนองจาก จงไดวา ดงนน

P A B

A B

1 1 1

P A B P A P B6 6 3

Home

วธท า

3) ความนาจะเปนของเหตการณทลกเตาทงสองลก จะขนหนาไมเหมอนกน คอ และ ดงนน ความนาจะเปนของเหตการณทลกเตาทงสองลก จะขนหนาไมเหมอนกนเทากบ 5

6

A 1 5

P A 1 P A 16 6

Home

วธท า

ขาวสารบรรจถงแลวกองหนงประกอบดวย ขาวหอมมะล 4 ถง ขาวเสาไห 3 ถง ขาวขาวตาแหง 2 ถง และขาวบสมาต 1 ถง ความนาจะเปนทจะไดขาวครบทกชนดเทากบขอใดตอไปน ( ขอสอบ PAT 1 ครงท 1/2552) ก. ข. ค. ง.


Home

3

35

4

35

1

4

2

5

ขาวม 4 ชนด สมหยบ 4 ถง ใหไดครบทกชนด

4 3 2 1

1 1 1 1

4 3 2 1

24

Home

วธท า

วธ

10

4

10!

10 4 !4!

10 9 8 7 6!210

6! 4 3 2 1

จะตองหยบขาวชนดละ 1 ถงได

จ านวนวธสมหยบขาวชนดใดกได 4 ถง

วธ

ดงนน ความนาจะเปนทจะสมหยบขาว 4 ถงไดขาวครบทกชนด 24 4

210 35

แบบทดสอบหลงเรยน

Home

ก. 60 วธ ข. 70 วธ

ง. 90 วธ ค. 80 วธ

Home

1. วธสรางจ านวนสามหลก ทมากกวา 300 จากเลขโดด 0,1,2,3,4 และ 5 โดยเลขโดดในแตละหลกไมซ ากน มทงหมดกวธ

ก. ข.

ง. ค.

Home

6,5 7,2P P 7,6 7,3P P

6,3 7,3P P6,6 7,3P P

2. จ านวนวธทจะจดชาย 6 คน และหญง 3 คน ยนเรยงแถวหนากระดาน โดยทไมมหญง 2 คนใดยนตดกนเทากบขอใดตอไปน

ก. 60 วธ ข. 80 วธ

ง. 120 วธ ค. 100 วธ

Home

3. จะสรางจ านวนทมสหลก จากเลขโดด 2 , 4 , 6 , 8 และ 9 ไดทงหมดกจ านวน โดยทแตละจ านวนนนตองไมมเลขโดด ในหลกใดซ ากนเลย

ข.

ง. ค.

ก.

Home

15!

3!4!5!

15!

4!5!6!

14!

4!5!6!

11!

4!5!6!

4. มหลอดไฟสขาว 4 หลอด สแดง 5 หลอด และสน าเงน 6 หลอด ตองการน าหลอดไฟทงหมดไปประดบตามรวในแนวเสนตรง ขอใดคอการหาจ านวนวธทแตกตางกนในการประดบหลอดไฟ เมอหลอดไฟสเดยวกนไมแตกตางกน

ก. 100 วธ ข. 110 วธ

ง. 144 วธ ค. 112 วธ

Home

5. ถาตองการจดใหเดกชาย 4 คน และเดกหญง 3 คน นงเปนวงกลม โดยไมใหเดกหญงนงตดกน จะจดไดทงหมดกวธ

ก. ข.

ง. ค.

Home

20,2 25,2 7,1C C C 20,2 25,2 7,2C C C

20,3 25,2 7,1C C C 30,2 25,2 7,1C C C

6. ตองการเลอกกรรมการชดหนงประกอบดวยนกเรยนชาย 2 คน นกเรยนหญง 2 คน และคร 1 คน จากนกเรยนชาย 20 คน นกเรยนหญง 25 คน คร 7 คน ขอใดคอการหาจ านวนวธทงหมด ในการเลอกกรรมการ

ก. ข.

ง. ค. 1

5

1

2

1

3

1

6

Home

7. กลองใบหนงมบตร 5 ใบ ซงมหมายเลข 1,2,3,4 และ 5 ถาหยบบตรจากกลองน 3 ใบพรอมกน จงหาความนาจะเปน ทผลรวมของแตมบนบตรมากกวา 10

ก. 0.04 ข. 0.05

ง. 0.25 ค. 0.20

Home

8. ในการออกรางวลแตละงวดของกองสลาก ความนาจะเปน ทรางวลเลขทาย 2 ตว จะออกหมายเลขทมหลกหนวยเปนเลขค และหลกสบมากกวาหลกหนวยเปน 1 เทากบขอใดตอไปน ( ขอสอบ o-net ป 2549 )

ก. ข.

ง. ค. 110

2

10

2

9

1

9

Home

9. ความนาจะเปนทรางวลเลขทาย 2 ตว ของสลากกนแบงรฐบาล จะออกทงเลขทงสองหลกเปนเลขเดยวกนเทากบขอใดตอไปน ( ขอสอบ o-net ป 2550 )

ก. ข.

ง. ค. 16

1

12

1

4

1

3

Home

10. ในการโยนลกเตา 2 ลกหนงครง ความนาจะเปนทจะไดแตมรวมเปน 7 โดยทมลกเตาลกหนงขนแตมไมนอยกวา 4 เทากบขอใดตอไปน ( ขอสอบ PAT 1 ครงท 3/2552 )

0 – 3 คะแนน ตองปรบปรงนะ 4 – 6 คะแนน กพอใชไดนะ 7 – 8 คะแนน ดมากคะ 9 – 10 คะแนน สดยอดไปเลย

Home

เกณฑของคะแนน

เฉลย

ขอท 1

ขอท 3

ขอท 6

ขอท 10

ขอท 5

ขอท 7

ขอท 9

ขอท 8

ขอท 4

ขอท 2

Home

1. วธท า หลกรอย หลกสบ หลกหนวย ขนท 1 สรางเลขหลกรอยได 3 วธ (เลอกจาก 3,4,5) ขนท 2 สรางเลขหลกสบได 5 วธ (เลอกจากตวทเหลอ) ขนท 3 สรางเลขหลกหนวยได 4 วธ (เลอกจากตวทเหลอ) ดงนน จะไดทงหมด 3 x 5 x 4 = 60 วธ ตอบ ก.

Home

3 , 4 , 5

3

0,1,2,3,4,5

0

0,1,2,3,4,5

2. วธท า ขนท 1 จดชายได เทากบ วธ ขนท 2 จดหญงลงทวางได วธ ดงนน จะจดไดทงหมด วธ ตอบ ค.

6,6P

7,3P

Home

ช2 ช3 ช1 ช6 ช5 ช4

6,6 7,3P P

3. วธท า

หลกพน หลกรอย หลกสบ หลกหนวย

ขนท 1 สรางเลขหลกพนได 5 วธ ขนท 2 สรางเลขหลกรอยได 4 วธ ขนท 3 สรางเลขหลกสบได 3 วธ ขนท 4 สรางเลขหลกรอยได 2 วธ จะได วธ ดงนน จะมจ านวนดงกลาว 120 จ านวน ตอบ ง.

Home

2,4,6,8,9

2

2,4,6,8,9

4

2,4,6,8,9

6

2,4,6,8,9

5 4 3 2 1 20

4. วธท า จ านวนหลอดไฟทงหมดม 15 หลอด หลอดไฟสขาว ม 4 หลอด หลอดไฟสแดง ม 5 หลอด หลอดไฟสน าเงนม 6 หลอด จ านวนวธประดบหลอดไฟตามรว เทากบ วธ ตอบ ข.

15!

4!5!6!

Home

5. วธท า ช แทน เดกชาย ขนท 1 จดเฉพาะเดกชายได (4 - 1)! = 6 วธ ขนท 2 จดเดกหญงลงทวาง วธ ดงนน จะจดไดทงหมด 6 x 24 = 144 วธ ตอบ ง.

ช1

ช2

ช3

ช4

4 3

4P 24

4 3

,

!

!

Home

6. วธท า ขนท 1 เลอกนกเรยนชายได ขนท 2 เลอกนกเรยนหญงได ขนท 3 เลอกครได ดงนน จะเลอกกรรมการไดทงหมด เทากบ วธ ตอบ ก.

20,2C

25,2C

7,1C

Home

20,2 25,2 7,1C C C

7. วธท า ให S แทนปรภมตวอยาง ให E แทนเหตการณทผลรวมของแตมบนบตรมากกวา 10 ตอบ ค.

5,3

5!n S C 10

5 3 !3!

E 2,4,5 , 3,4,5

n E 2

n E 2P E

n S 10

1

5

Home

8. วธท า ขนท 1 หา n(S) แซมเปลสเปซ S คอ เซตของผลทเปนไปไดจากการออกเลขทายสองตว คอ {00,01,02, …,99} ดงนน n(S) = 100 ขนท 2 หา n(E) เหตการณ E ทไดเลขทมหลกหนวยเปนเลขค และหลกสบมากกวา หลกหนวยอย 1 คอ {21,43,65,87} ดงนน n(E) = 4 ขนท 3 หา P(E) แทนคาในสตรได ตอบ ก

n E 4P E 0.04

n S 100

Home

9.วธท า ขนท 1 หา n(S) แซมเปลสเปซของการออกรางวลเลขทายสองหลก คอ {00,01,02, … ,99} ซงมทงสน 100 กรณ ดงนน n(S) = 100 ขนท 2 หา n(E) เหตการณทเลขทงสองหลกนนจะเปนเลขเดยวกน คอ {00,11,22, … ,99} ซงมทงสน 10 กรณ ดงนน n(E) = 10 ขนท 3 หา P(E) แทนคาในสตรได ตอบ ค.

Home

n E 10 1P E

n S 100 10

10. วธท า ให n(S) แทนจ านวนวธทงหมดทเปนไปไดจากการโยนลกเตา 2 ลก หนงครง วธ ให A แทนเหตการณทโยนลกเตา 2 ลกไดแตมรวมกนเปน 7 แตม โดยทมลกเตาลกหนงขนแตมไมนอยกวา 4 สมาชกในเหตการณ A ไดแก จะได n(A) = 6 ดงนน ตอบ ค.

1,6 , 2,5 , 3,4 , 4,3 , 5,2 , 6,1

n A 6 1

P A n

( )( )

S 36 6

Home

n S 6 6 36

ถกตองคะเกงจงเลย

ท าขอตอไปไดเลย

ดเฉลย

10 3 2 1 4 5 6 7 8 9

Home

ท าขอตอไปไดเลย 10 3 2 1 4 5 6 7 8 9

ดเฉลย

Home

ผดคะ คณตองพยายามมากกวานนะคะ

ผดคะ คณตองพยายามมากกวานนะคะ

ท าขอตอไปไดเลย 10 3 2 1 4 5 6 7 8 9

ดเฉลย

Home

- สสวท,2551. หนงสอเรยนรายวชาเพมเตมคณตศาสตรเลม ๔ ชนมธยมศกษาตอนปลาย พทธศกราช 2551 . พมพครงท 1 . กรงเทพมหานคร : โรงพมพ สกสค ลาดพราว - ผศ.ศภกจ เฉลมวสตมกล.2553. ขอสอบ PAT .กรงเทพมหานคร :

บรษท วพรนท (1991) จ ากด - ณฐ อดมพาณชย.2553. o-net . พมพครงท1 .กรงเทพมหานคร :

บรษท จดทอง จ ากด

บรรณานกรม

Home

ผจดท า นางสาวชลธชา นาร รหสนกศกษา 5315202009 เลขท 09 ป 4 หม 2 คณะครศาสตร เอกคณตศาสตร มหาวทยาลยราชภฏร าไพพรรณ

Home

บทเรียนออนไลน์เรื่อง ความน่าจะเป็น

Education