บทท 3 ความนาจะเปน ในชวตประจ ำวนของคนเรำนนจะตองประสบปญหำตำง ๆ ทจะตองตดสนใจอยเสมอ กำรคำดคะเนผลท

อำจเกดขนของเหตกำรณตำง ๆ เพอชวยในกำรตดสนใจจงเปนสงจ ำเปน กำรคำดคะเนของเรำมกจะท ำอยำงครำว ๆ เพยงเพอตดสนใจปญหำแตละขอ และกำรคำดคะเนนนอำจจะถกหรอผดกได ในทำงคณตศำสตรมกำรก ำหนดคำเปนตวเลขเพอบอกคำของกำรคำดคะเนวำมโอกำสจะเกดขนตำมทคำดไวมำกนอยเพยงใดซงเรยกวำ ควำมนำจะเปน

3.1 การทดลองความนาจะเปนและปรภมตวอยาง (Probability experiment and Sample Space)

การทดลองความนาจะเปน (Probability experiment) หมำยถงกระบวนกำรในกำรทจะกอใหเกดชดของขอมล เชน กำรโยนเหรยญ กำรทอดลกเตำ หรอกำรเลอกไพจำกส ำรบ กระบวนกำรเหลำนเปนกำรทดลองทท ำใหไดมำซงผลลพธ (outcome) เมอเรำโยนเหรยญหนงเหรยญจะมผลลพธอยสองแบบทเปนไปไดคอ หวหรอกอย ผลของกำรทดลองทออกมำแตกตำงกนนนสะทอนใหเหนถงควำมหมำยของคำวำ “ควำมไมแนนอน(Uncertainty)” ควำมนำสนใจจะอยทกำรศกษำโอกำส (Chance) หรอควำมนำจะเปนของกำรทจะเกดผลแบบใดแบบหนงวำเปนเทำใด

ปรภมตวอยาง (Sample space) หมำยถงเซตของผลลพธทงหมดของกำรทดลองควำมนำจะเปนใด ๆ มกจะเขยนแทนดวยสญลกษณ S และผลแตละอยำงทเกดขนหรอสมำชกของแตละตวของปรภมตวอยำง เรยกวำ จดตวอยำง (sample point) หรอ สมำชก (element)

ตวอยาง 3.1 จงหำผลลพธทเปนไปไดทงหมด (sample space) ของกำรทดลองตอไปน

1. โยนเหรยญ 1 เหรยญ 1 ครง S = {H, T} โดยท H หมำยถง หวและ T หมำยถง กอย

2. กำรทอดลกเตำ 1 ลก 1 ครง เมอสนใจแตมทได S = {1,2,3,4,5,6}

3. กำรทอดลกเตำ 1 ลก 1 ครง เมอสนใจแตมทไดวำเปนเลขคหรอเลขค S = {แตมค, แตมค}

4. กำรโยนเหรยญ 2 อน 1 ครง S = {HT,HH,TH,TT}

5. โยนเหรยญ 1 เหรยญ และทอดลกเตำ 1 ลก S={H1,H2,H3,H4,H5,H6,T1,T2,T3,T4,T5,T6}

6. เพศของบตรของครอบครวหนงทมบตร 3 คน S={MMM,MMF,MFM,FMM,FFF,FFM,FMF,MFF}

7. กำรโยนเหรยญ 3 อน 1 ครง เมอสนใจจ ำนวนเหรยญทขนหว S = {0,1,2,3}

8. โยนเหรยญ 1 เหรยญ หำกขนหวจะโยนเหรยญอก 1 เหรยญ แตถำขนกอยจะโยลกเตำ 1 ลก สำมำรถเขยนแผนภำพตนไมไดดงน

เหรยญ เหรยญ H

H T ลกเตำ 1 2 T 3 4 5 6 S = {HH, HT, T1, T2, T3, T4, T5, T6}

ในบำงครงเรำอำจไมไดสนใจผลลพธทงหมดทอำจจะเกดขนจำกกำรทดลองสม แตเรำสนใจผลลพธเพยงบำงสวนทอำจเกดขนจำกกำรทดลองสม เรำเรยกเซตของผลลพธบำงสวนนวำ เหตกำรณ

เหตการณ (Event) คอ เซตยอย (subset) ของปรภมตวอยำง หรอกลำวอกนยหนงคอผลลพธทเรำสนใจจำกกำรทดลอง อำจประกอบดวยผลลพธหนงผลลพธ หรอมำกกวำหนงผลลพธกได ถำเหตกำรณนนประกอบดวย 1 ผลลพธจะเรยกวำ เหตกำรณเชงเดยว (Simple event) และถำเหตกำรณนนประกอบดวยผลลพธตงแต 2 ผลลพธขนไปจะเรยกวำ เหตกำรณเชงประกอบ (Compound event) ตวอยาง 3.2 ในกำรโยนเหรยญ 1 เหรยญ 2 ครง ผลลพธทงหมดทเปนไปไดคอ

S = {HH, HT, TH, TT} ถำ E1 เปนเหตกำรณทไดหว 2 ครง

E1 = {HH}

ถำ E2 เปนเหตกำรณทไดหวอยำงนอย 1 ครง E2 = {HH, HT, TH}

ถำ E3 เปนเหตกำรณทไมไดหวเลย E3 = {TT}

ตวอยาง 3.3 จงหำเหตกำรณตอไปน

1. จำกกำรทดลองโยนเหรยญ 1 เหรยญ และทอดลกเตำ 1 ลก จงหำเหตกำรณทเหรยญขนหวและลกเตำออกแตมค E = {H2, H4, H6}

2. จำกกำรทดลองทอดลกเตำ 2 ลก จงหำเหตกำรณทลกเตำออกแตมเหมอนกนทง 2 ลก E = {11, 22, 33, 44, 55, 66}

3. เพศของบตรของครอบครวหนงทมบตร 3 คน จงหำเหตกำรณทไดลกชำยอยำงนอย 1 คน E = {MMM, MMF, MFM, FMM, FFM, FMF, MFF}

3.2 เทคนคการนบ (Counting Techniques)

ในกำรค ำนวณหำคำควำมนำจะเปนจะตองทรำบจ ำนวนผลลพธทเกดขนในแตละกำรทดลอง แตกำรทดลองบำงอยำงอำจมผลลพธเกดขนมำไดมำกมำยจนท ำใหเสยเวลำในกำรเขยนผลลพธทเปนไปไดทงหมด ดงนนจงตองอำศยหลกกำรนบเพอชวยในกำรค ำนวณหำจ ำนวนผลลพธทเกดขนดงกลำว

3.2.1 หลกการคณ (Multiplication Rule)

ตวอยาง 3.4 ถำมถนนเชอมระหวำงเมอง ก และเมอง ข 4 สำย และถนนเชอมระหวำงเมอง ข และเมอง ค 5 สำย กำรเดนทำงจำกเมอง ก ไปยงเมอง ค โดยใหผำนเมอง ข จะท ำไดกวธ วธท ำ ขนตอนท 1 เดนทำงจำกเมอง ก ไปเมอง ข ท ำได 4 วธ

ขนตอนท 2 เดนทำงจำกเมอง ข ไปเมอง ค ท ำได 5 วธ ดงนน จ ำนวนวธในกำรเดนทำงจำกเมอง ก ไปยงเมอง ค โดยใหผำนเมอง ข คอ 4 x 5 = 20 วธ

เหตกำรณหนง ประกอบดวย n ขนตอน โดยขนตอนแรกเลอกท ำได k1 วธ และ ขนตอนทสองเลอกท ำได k2 วธ และ ขนตอนทสำมเลอกท ำได k3 วธ ไปเรอย ๆ จ ำนวนวธทงหมดจะเทำกบ

k1 x k2 x k3 x … x kn วธ

ตวอยาง 3.5 จงหำจ ำนวนผลลพธในกำรโยนเหรยญ 1 เหรยญ พรอมกบทอดลกเตำ 1 ลก วธท ำ ขนตอนท 1 โยนเหรยญ 1 เหรยญ ได 2 วธ ขนตอนท 2 ทอดลกเตำ 1 ลก ได 6 วธ ดงนน จ ำนวนผลลพธในกำรโยนเหรยญ 1 เหรยญ พรอมกบทอดลกเตำ 1 ลก เทำกบ 6 x 2 = 12 วธ ตวอยาง 3.6 ชำยคนหนงมเสออย 5 ส คอ สฟำ แดง เขยว เหลอง สม มกำงเกงอย 3 ส คอ สด ำ ขำว น ำตำล และมรองเทำอย 2 ค อยำกทรำบวำ ชำยคนนจะมวธกำรแตงตวทงหมดกวธโดยไมซ ำกน วธท ำ ขนตอนท 1 สำมำรถเลอกเสอได 5 วธ

ขนตอนท 2 สำมำรถเลอกกำงเกงได 3 วธ ขนตอนท 3 สำมำรถเลอกใสรองเทำได 2 วธ

ดงนน ชำยคนนจะมวธกำรแตงตวทงหมด 5 x 3 x 2 = 30 วธ ตวอยาง 3.7 มตวเลขอย 6 ตว คอ 1-6 ตองกำรสรำงเลข 3 หลก โดยใชเลขซ ำไดจะสรำงไดทงหมดกจ ำนวน และถำหำมใชเลขซ ำจะสรำงไดทงหมดกจ ำนวน วธท ำ - กรณทเลขซ ำกน หลกรอย สำมำรถเลอกใชตวเลขได 6 วธ หลกสบ สำมำรถเลอกใชตวเลขได 6 วธ

หลกหนวย สำมำรถเลอกใชตวเลขได 6 วธ ดงนน จ ำนวนวธในกำรสรำงเลข 3 หลก โดยทเลขซ ำกนได 6 x 6 x 6 = 216 วธ

- กรณทเลขไมซ ำกน หลกรอย สำมำรถเลอกใชตวเลขได 6 วธ หลกสบ สำมำรถเลอกใชตวเลขได 5 วธ

หลกหนวย สำมำรถเลอกใชตวเลขได 4 วธ ดงนน จ ำนวนวธในกำรสรำงเลข 3 หลก โดยทเลขไมซ ำกนได 6 x 5 x 4 = 120 วธ

ตวอยาง 3.8 มตวเลขอย 10 ตว คอ 0-9 ตองกำรสรำงจ ำนวนเตมบวก 3 หลก มกจ ำนวนทหำรดวย 5 ลงตว โดยแตละหลกมตวเลขไมซ ำกน วธท ำ กรณทหลกหนวยเปน 0

หลกรอย สำมำรถเลอกใชตวเลขได 8 วธ หลกสบ สำมำรถเลอกใชตวเลขได 9 วธ

หลกหนวย สำมำรถเลอกใชตวเลขได 1 วธ (เลข 0) กรณทหลกหนวยเปน 5

หลกรอย สำมำรถเลอกใชตวเลขได 7 วธ หลกสบ สำมำรถเลอกใชตวเลขได 9 วธ

หลกหนวย สำมำรถเลอกใชตวเลขได 1 วธ (เลข 5) ดงนน จ ำนวนวธทงหมดคอ (8 x 9 x 1) + (7 x 9 x 1) = 135 วธ

3.2.2 การเรยงสบเปลยน (Permutation)

การเรยงสบเปลยน คอ กำรน ำสงของซงมอยทงหมด หรอบำงสวนมำจด โดยถอวำล ำดบมควำมส ำคญ

กำรเรยงสบเปลยนหรอกำรจดล ำดบเปนกำรหำจ ำนวนวธทเปนไปไดทงหมดในกำรจดเรยงสงของบำงสวนหรอทงหมดทแตกตำงกนโดยถอล ำดบเปนส ำคญ นนคอเมอมกำรสลบทกนแลวควำมหมำยเปลยนไป เชน กำรจดคนลงต ำแหนงงำน กำรจดล ำดบกำรผลต กำรจดล ำดบกำรใหบรกำร กำรสลบทตวอกษรทใชเปนรหส

ตวอยาง 3.9 มตวอกษร 3 ตว คอ a, b, c ตองกำรน ำตวอกษร 3 ตวนมำเรยงตอกนเปนขอควำม จะท ำไดกวธ วธท ำ เมอน ำตวอกษร 3 ตวนมำเรยงตอกนเปนขอควำม จะได {abc, acb, bac, bca, cab, cba} หรอค ำนวณจ ำนวนวธไดจำก

ขนตอนท 1 เลอกตวอกษรในต ำแหนงแรกได 3 วธ ขนตอนท 2 เลอกตวอกษรในต ำแหนงทสองได 2 วธ ขนตอนท 3 เลอกตวอกษรในต ำแหนงทสำมได 1 วธ ดงนน สำมำรถสรำงขอควำมได 3! = 3 x 2 x 1 = 6 วธ ตวอยาง 3.10 ในกำรจดล ำดบภำพยนตรทชนชอบทงหมด 4 เรอง สำมำรถจดล ำดบแตกตำงกนไดกวธ วธท ำ ขนตอนท 1 เลอกภำพยนตรทชนชอบล ำดบท 1 ได 4 วธ

ขนตอนท 2 เลอกภำพยนตรทชนชอบล ำดบท 2 ได 3 วธ ขนตอนท 3 เลอกภำพยนตรทชนชอบล ำดบท 3 ได 2 วธ ขนตอนท 4 เลอกภำพยนตรทชนชอบล ำดบท 4 ได 1 วธ ดงนน สำมำรถจดล ำดบภำพยนตรทชนชอบได 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 วธ

ตวอยาง 3.11 กำรชมคอนเสรตของศลปนคนหนงมทนงส ำหรบบตร VIP 10 ทนง ซงไมมหมำยเลขก ำกบไวถำผทซอบตร VIP มำถงเวทคอนเสรตพรอมกนทงหมดจะสำมำรถจดคนเหลำนเขำไปนงเกำอทงหมดไดแตกตำงกนกวธ วธท ำ ขนตอนท 1 จดคนเขำนงเกำอตวท 1 ได 10 วธ

ขนตอนท 2 จดคนเขำนงเกำอตวท 2 ได 9 วธ ขนตอนท 3 จดคนเขำนงเกำอตวท 3 ได 8 วธ … ขนตอนท 4 จดคนเขำนงเกำอตวท 10 ได 1 วธ ดงนน สำมำรถจดคนเขำไปนงเกำอทงหมดไดแตกตำงกน 10! ≈ 3.62 ลำน วธ

จ ำนวนวธจดล ำดบของ n สงทแตกตำงกนเปนแนวตรง จะสำมำรถจดได n! = n x (n-1) x (n-2) x … x 1 วธ

เมอ 0! = 1

ตวอยาง 3.12 กำรออกรำงวลเลขทำย 3 ตวโดยใหมเลข 2, 5, 7 รวมอยดวยจะออกรำงวลไดทงหมดกวธ วธท ำ ขนตอนท 1 เลอกตวเลขในต ำแหนงแรกได 3 วธ ขนตอนท 2 เลอกตวเลขในต ำแหนงทสองได 2 วธ ขนตอนท 3 เลอกตวเลขในต ำแหนงทสำมได 1 วธ ดงนน สำมำรถออกรำงวลเลขทำย 3 ตวได 3! = 3 x 2 x 1 = 6 วธ ตวอยาง 3.13 มวธเรยงสบเปลยนตวอกษร 6 ตว จำกค ำวำ SUNDAY โดยไมใหใชตวอกษรซ ำกนจะไดทงหมดกวธ วธท ำ ขนตอนท 1 เลอกตวอกษรในต ำแหนงแรกได 6 วธ ขนตอนท 2 เลอกตวอกษรในต ำแหนงทสองได 5 วธ ขนตอนท 3 เลอกตวอกษรในต ำแหนงทสำมได 4 วธ

ขนตอนท 4 เลอกตวอกษรในต ำแหนงแรกได 3 วธ ขนตอนท 5 เลอกตวอกษรในต ำแหนงทสองได 2 วธ ขนตอนท 6 เลอกตวอกษรในต ำแหนงทสำมได 1 วธ ดงนน สำมำรถสรำงขอควำมได 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 6 วธ ตวอยาง 3.14 อรถยนตแหงหนงรบงำนซอมรถยนตไว 7 คน อนสำมำรถจดล ำดบกำรซอมไดแตกตำงกนกวธ เมอก ำหนดวำ 1. ไมมเงอนไขใดๆ วธท ำ จดล ำดบสงของทแตกตำงกนได 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5,040 วธ

2. ในจ ำนวนนมรถยนต A และ B รวมอยดวยและจะตองซอมตอเนองกนรถยนต วธท ำ มดรวม A และ B ตดกน

จดล ำดบกำรซอมรถยนต 6 คน ได 6! วธ จดล ำดบซอมรถยนต A และ B ได 2! วธ ดงนน สำมำรถจดล ำดบกำรซอมรถ ได 6!2! = 1,140 วธ 3. A และ B ตองใชเครองมอบำงอยำงรวมกนไมสำมำรถซอมตอเนองกนได วธท ำ จ ำนวนวธทงหมด – จ ำนวนวธทตอเนองของ A และ B 5,040 - 1,140 = 3,600 วธ 4. รถยนต A และ B ตองซอมเปนคนแรก และครงสดทำย วธท ำ

จดล ำดบกำรซอมรถยนต 5 คน ได 5! วธ จดล ำดบซอมรถยนต A และ B ได 2! วธ ดงนน สำมำรถจดล ำดบกำรซอมรถ ได 5!2! = 240 วธ

ตวอยาง 3.15 มตวอกษร 3 ตว คอ a, b, c ตองกำรน ำตวอกษร 2 ตวนมำเรยงตอกนเปนขอควำม จะท ำไดกวธ วธท ำ เมอน ำตวอกษร 2 ตว จำกทงหมด 3 ตว มำเรยงตอกนเปนขอควำม จะได {ab, ac, ba, bc, ca, cb} หรอค ำนวณจ ำนวนวธไดจำก ในต ำแหนงแรกสำมำรถเลอกตวอกษรได 3 วธ ในต ำแหนงทสองสำมำรถเลอกตวอกษรได 2 วธ สำมำรถสรำงขอควำมได 3 x 2 = 6 วธ

หรอ สำมำรถสรำงขอควำมได P3,2 =3!

(3−2)! = 3 x 2 = 6 วธ

ตวอยาง 3.16 ถำชนหนงสอสำมำรถวำงหนงสอได 4 เลม จะจดหนงสอเขำในชนไดทงหมดกวธ ถำมหนงสอทงหมด 9 เลม วธท ำ

สำมำรถสรำงขอควำมได P9,4 =9!

(9−4)! = 9 x 8 x7 x 6 = 3024 วธ

ตวอยาง 3.17 กำรออกแบบวงจรไฟฟำโดยเลอกตวตำนทำน 4 ชด จำกตวตำนทำนทมควำมแตกตำงกนทงหมด 8 ชด มำตออนกรมกน จงหำวำมวงจรไฟฟำทเปนไปไดทงหมดกแบบ วธท ำ

มวงจรไฟฟำทเปนไปไดทงหมด P8,4 =8!

(8−4)! = 8 x 7 x 6 x 5 = 1680 แบบ

ตวอยาง 3.18 จำกค ำวำ BYTES จงหำจ ำนวนวธทจะจดเรยงตวอกษร 3 ตว โดยก ำหนดวำจะตองขนตนดวยตวอกษร B วธท ำ

จ ำนวนวธทจะจดเรยงตวอกษรโดยขนตนดวย B ไดทงหมด P4,2 =4!

(4−2)! = 4 x 3 = 12 วธ

จ ำนวนวธจดเรยงของ n สงทแตกตำงกน โดยน ำมำจดครงละ r สง เมอ r < n จะมวธจดได

Pn,r =n!

(n−r)!

ตวอยาง 3.19 มตวอกษร 3 ตว คอ a, b, c ตองกำรน ำตวอกษร 2 ตวนมำเรยงตอกนเปนขอควำม โดยใหตวอกษรซ ำกนได จะท ำไดกวธ วธท ำ เมอน ำตวอกษร 2 ตว จำกทงหมด 3 ตว มำเรยงตอกนเปนขอควำม โดยตวอกษรซ ำกนได จะได {aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc} หรอค ำนวณจ ำนวนวธไดจำก ในต ำแหนงแรกสำมำรถเลอกตวอกษรได 3 วธ ในต ำแหนงทสองสำมำรถเลอกตวอกษรได 3 วธ

ในต ำแหนงทสำมสำมำรถเลอกตวอกษรได 3 วธ ดงนน มจ ำนวนวธเรยงสบเปลยนตวอกษรไดทงหมด 32 = 9 วธ

ตวอยาง 3.20 มขอสอบอย 5 ขอ ตองกำรแจกใหกบนสต 3 คน ๆ ละ 1 ขอ จะมวธแจกกวธ โดยใหนสตแตละคนไดขอสอบซ ำกนได วธท ำ

มจ ำนวนวธเรยงสบเปลยนตวอกษรไดทงหมด 53 = 125 วธ

3.2.3 การจดหม (Combination)

การจดหม คอ กำรจดของบำงสวนหรอทงหมด โดยไมค ำนงถงล ำดบ

ในกำรวำงแผนงำนหรอในกำรแกปญหำบำงครงเรำอำจตองกำรหำจ ำนวนวธในกำรเรยงสบเปลยนโดยไมค ำนงถงอนดบหรอกำรสลบท เชน กำรวำงแผนกำรจดแขงขนกฬำฟตบอลจ ำนวน 5 ทม จะตองจดกครงเมอจดกำรแขงขนแบบพบกนหมด หำก 5 ทมประกอบดวย A B C D และ E กำรจด A แขงกบ B ยอมไมแตกตำงกบ B แขงกบ A เขยนแสดงจ ำนวนวธทงหมดทมและไมมควำมหมำยดงน

AB, BA AC, CA AD, DA AE, EA

BC, CB BD, DB BE, EB

CD, DC CE, EC DE, ED

จะเหนวำจ ำนวนวธทงหมดในกำรเรยงสบเปลยนเทำกบ 20 วธ แตจ ำนวนวธทมควำมหมำยจรงๆจะเทำกบ 10 วธ นคอควำมหมำยของกำรเรยงสบเปลยนแบบไมใหควำมส ำคญของล ำดบ ปญหำดงกลำวนเปนปญหำ

จ ำนวนวธในกำรจดล ำดบของครงละ r สง จำกของทงหมด n สง (r ≤ n) โดยอนญำตใหของซ ำกนได จะมวธจดเรยงทงหมด nr วธ

ทเรยกวำ กำรจดหม กำรหำจ ำนวนวธกำรจดหมนนสำมำรถหำไดจำกกำรน ำจ ำนวนวธเรยงสบเปลยนทไดหำรดวยจ ำนวนวธเรยงสบเปลยนในแตละครง เชน กำรหำจ ำนวนครงทตองจดกำรแขงขนฟตบอล 5 ทมหำไดจำก

เรยงสบเปลยนทมฟตบอล 5 ทม ครงละ 2 ทม ท ำได P5,2 =5!

(5−2)! = 20 วธ

แตละครงใช 2 ทม เรยงสบเปลยนได 2! วธ

ดงนน จ ำนวนวธในกำรจดหม 5!

2!(5−2)! = 10 วธ

ตวอยาง 3.21 มตวอกษร 3 ตว คอ a,b,c ตองกำรจดกลมตวอกษร กลมละ 2 ตวไดกวธ วธท ำ จดได 3 วธคอ {a,b} , {a,c} , {b,c}

ขอสงเกต เมอไมค ำนงถงล ำดบ {a,b} กบ {b,a} ถอเปนกลมเดยวกน นบเปนแค 1 วธ {a,c} กบ {c,a} ถอเปนกลมเดยวกน นบเปนแค 1 วธ {b,c} กบ {c,b} ถอเปนกลมเดยวกน นบเปนแค 1 วธ ดงนน จดกลมตวอกษร ได 3C2=

3!

2!(3−2)! = 3 วธ

ตวอยาง 3.22 มลกบอลอย 5 สคอ สม ฟำ แดง เขยว ด ำ ตองกำรเลอกมำ 2 สจะเลอกไดทงหมดกวธ วธท ำ จดกลมลกบอล ได 5C2=

5!

2!(5−2)! = 10 วธ

ตวอยาง 3.23 ในกำรเลอกกรรมกำรสมำคม 5 คน จำกผสมครทงหมด 9 คน จะท ำไดกวธ วธท ำ จดกลมลกบอล ได 9C5=

9!

5!(9−5)! = 126 วธ

ตวอยาง 3.24 ในกำรเลอกกรรมกำรตดสนรองเพลงทงหมด 5 คน ตองกำรกรรมกำรผชำย 2 คน หญง 3 คน จำกผสมครทเปนผชำย 5 คน ผหญง 7 คน จะสำมำรถเลอกกรรมกำรไดทงหมดกวธ วธท ำ

- ตองกำรกรรมกำรผชำย 2 จำกผสมคร 5 คน จะสำมำรถเลอกกรรมกำรได 5C2=

5!

2!(5−2)! = 10 วธ

- ตองกำรกรรมกำรผหญง 3 จำกผสมคร 7 คน

จ ำนวนวธจดหมของ n สงทแตกตำงกน โดยน ำมำจดทละ r สง คอ nCr = (

nr) =

n!

r!(n−r)!

*กำรจดสงของลกษณะนจะเรยกวำเปนกำรจดสงของแบบสมไมใสคน

จะสำมำรถเลอกกรรมกำรได 7C3= 7!

3!(7−3)! = 35 วธ

ดงนน จะสำมำรถเลอกกรรมกำรไดทงหมดกวธ 10 x 35 = 350 วธ ตวอยาง 3.25 ถำมนกคณตศำสตร 5 คน นกฟสกส 7 คน และตองเลอกตวแทน 3 คน โดยท 1. ตวแทนทง 3 จะเปนใครกได วธท ำ

จะสำมำรถเลอกตวแทนได 12C3= 12!

3!(12−3)! = 220 วธ

2. มตวแทน 1 คนมำจำกฟสกส วธท ำ จะสำมำรถเลอกตวแทน 1 คนมำจำกฟสกสได 7C1=

7!

1!(7−1)! = 7 วธ

และสำมำรถเลอกตวแทน 2 คนมำจำกคณตศำสตรได 5C2= 5!

2!(5−2)! = 10 วธ

ดงนนสำมำรถเลอกตวแทน 3 คน โดยมตวแทนจำกฟสกส 1 คน ได 7 x 10 = 70 วธ

3. มตวแทนอยำงนอย 1 คนมำจำกคณตศำสตร วธท ำ - กรณท มตวแทน 3 คนมำจำกฟสกส

สำมำรถเลอกตวแทน 3 คนมำจำกฟสกสได 7C3= 7!

3!(7−3)! = 35 วธ

ดงนน จ ำนวนวธเลอกตวแทนอยำงนอย 1 คนมำจำกคณตศำสตร คดไดจำก จ ำนวนวธทงหมด - จ ำนวนวธเลอกตวแทน 3 คนมำจำกฟสกส 220 – 35 = 185 วธ ดงนน สำมำรถตวแทนอยำงนอย 1 คนมำจำกคณตศำสตรได 185 วธ

3.3 ความนาจะเปนของเหตการณ (Probability of an event)

ควำมนำจะเปน หมำยถง ตวเลขทแสดงถงโอกำสของกำรเกดสงทเรำสนใจ วำมโอกำสเกดขนมำกนอยเพยงใด

3.3.1 ความนาจะเปนแบบดงเดม (Classical probability)

กำรหำคำควำมจะนำแบบดงเดมจะเปนของเหตกำรณทเรำสนใจ เปนกำรหำคำสดสวนระหวำงจ ำนวนวธของเหตกำรณทสนใจกบจ ำนวนวธทงหมดทสำมำรถเกดขนไดในปรภมตวอยำงซงมโอกำสเกดขนเทำ ๆ กน

ตวอยาง 3.26 ในกำรทอดลกเตำ 1 ลก 1 ครง จงหำควำมนำจะเปนของเหตกำรณตอไปน

1. ลกเตำขนแตม 3 วธท ำ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ให A เปนเหตกำรณทลกเตำขนแตม 3

A = {3}

𝑃(𝐴) =𝑛(𝐴)

𝑛(𝑆)=1

6

ดงนน ควำมนำจะเปนทลกเตำขนแตม 3 คอ 1

6

2. ลกเตำขนแตมไมต ำกวำ 4

วธท ำ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ให A เปนเหตกำรณทลกเตำขนแตมไมต ำกวำ 4

A = {4, 5, 6}

𝑃(𝐴) =𝑛(𝐴)

𝑛(𝑆)=3

6

ดงนน ควำมนำจะเปนทลกเตำขนแตมไมต ำกวำ 4 คอ 1

6

𝑃(𝐴) =𝑛(𝐴)

𝑛(𝑆)

ก ำหนดให A แทนเหตกำรณใด ๆ ของปรภมตวอยำง S และ n(A) แทนจ ำนวนเหตกำรณ A ทสนใจ และ n(S) แทนจ ำนวนเหตกำรณทงหมดในปรภมตวอยำง ดงนนควำมนำจะเปนของเหตกำรณ A เขยนแทน ดวย P(A) มคำดงน

ตวอยาง 3.27 เมอหยบไพ 1 จำกส ำรบ ซงมไพอย 52 ใบ จงหำควำมนำจะเปนทไพใบนนจะเปนโพแดง วธท ำ ไพ 1 ส ำหรบ 52 ใบ มอย 13 ใบทเปนโพแดง

ให A เปนเหตกำรณทหยบไพโพแดง

𝑃(𝐴) =𝑛(𝐴)

𝑛(𝑆)=13

52=1

4

ดงนน ควำมนำจะเปนทหยบไพโพแดง คอ 1

4

ตวอยาง 3.28 กลองใบหนงมหลอดไฟด 7 ดวง และหลอดไฟเสย 3 ดวง ปนกน สมหยบหลอดไฟมำ 5 ดวง จงหำควำมนำจะเปนทไดหลอดไฟดทงหมด วธท ำ มหลอดไฟทงหมด 10 ดวง เลอกมำ 5 ดวง 𝐶(10,5) = 10!

5!(10−5)!= 252 วธ

มหลอดไฟด 7 ดวง เลอกมำ 5 ดวง จะได 𝐶(7,5) = 7!

5!(7−5)!= 21 วธ

ให A เปนเหตกำรณทไดหลอดไฟดทงหมด

𝑃(𝐴) =𝑛(𝐴)

𝑛(𝑆)=21

252=1

12

ดงนน ควำมนำจะเปนทไดหลอดไฟดทงหมด คอ 1

12

ตวอยาง 3.29 ในกำรจดนกบำสเกตบอล 7 คน ลงแขงขนในแตละต ำแหนงทแตกตำงกน 5 ต ำแหนง จงหำควำมนำจะเปนทจะจดใหนำย ก และนำย ข ลงในต ำแหนงท 1 และ 2 ตำมล ำดบ วธท ำ จ ำนวนวธจดนกบำสเกตบอล 7 คน เลอกลงแขงขน 5 ต ำแหนง ได 𝑃(7,5) = 7!

(7−5)!= 1260 วธ

จ ำนวนวธใหนำย ก และนำย ข ลงในต ำแหนงท 1 และ 2 ต ำแหนงท 1 จดได 1 วธ (นำย ก)

ต ำแหนงท 2 จดได 1 วธ (นำย ข) ต ำแหนงทเหลออก 3 ต ำแหนง จดได 𝑃(5,3) = 5!

(5−3)!= 60 วธ

จ ำนวนวธทใหนำย ก และนำย ข ลงในต ำแหนงท 1 และ 2 คอ 60 วธ ให A เปนเหตกำรณทจดใหนำย ก และนำย ข ลงในต ำแหนงท 1 และ 2

𝑃(𝐴) =𝑛(𝐴)

𝑛(𝑆)=

60

1260=1

21

ดงนน ควำมนำจะเปนทจดใหนำย ก และนำย ข ลงในต ำแหนงท 1 และ 2 ตำมล ำดบ คอ 1

21

3.3.2 ความนาจะเปนจากการทดลอง (Empirical probability) เปนกำรค ำนวณควำมนำจะเปนโดยใชขอมลซงเกดขนจรงในอดตมำหำควำมนำจะเปนทจะเกดขน ในอนำคต หรอกลำวไดวำ จะใชควำมถทเกดเหตกำรณทสนใจในอดตมำหำควำมนำจะเปนทจะเกดเหตกำรณนนอกในอนำคต วธกำรหำคำควำมนำจะเปนแบบนค ำนวณไดจำกจ ำนวนผลลพธของเหตกำรณทเรำสนในหำรดวยจ ำนวนผลลพธทงหมดทเปนไปไดในกำรทดลอง

ตวอยาง 3.30 จำกกำรสอบถำมนสตคณะวทยำศำสตรจ ำนวน 100 คน เกยวกบกำรถอนรำยวชำตำง ๆ ทก ำลงศกษำอย ไดขอมลแยกตำมเพศ ดงน

เพศ รายวชาทถอน

รวม แคลคลส ฟสกส สถต

ชำย 25 18 19 62 หญง 12 20 6 38 รวม 37 38 25 100

ถำสมนสตมำ 1 คน จงหำ

1. ควำมนำจะเปนทนสตจะถอนรำยวชำฟสกส วธท ำ ให A เปนเหตกำรณทนสตจะถอนรำยวชำฟสกส

𝑃(𝐴) =𝑚

𝑛=

38

100= 0.38

2. ควำมนำจะเปนทนสตเปนผหญงและถอนรำยวชำแคลคลส

วธท ำ ให A เปนเหตกำรณทนสตเปนผหญงและถอนรำยวชำแคลคลส

𝑃(𝐴) =𝑚

𝑛=

12

100= 0.12

ตวอยาง 3.31 ในบนทกของโรงพยำบำลแสดงจ ำนวนวนทคนไขพกรกษำตวในโรงพยำบำล

จ านวนวนทพก จ านวนคนไข 3 15 4 32 5 56 6 19 7 5

รวม 127

𝑃(𝐴) =𝑚

𝑛

ในกำรทดลองหนงมผลลพธทเปนไปไดทงหมด n ทำง และมผลลพธของเหตกำรณทเรำสนใจ (เหตกำรณ A) อย m ทำงดงนนควำมนำจะเปนของเหตกำรณ A เขยนแทน ดวย P(A) มคำดงน

จงหำควำมนำจะเปนท 1. คนไขอยโรงพยำบำล 5 วน

วธท ำ ให A เปนเหตกำรณทคนไขอยโรงพยำบำล 5 วน

𝑃(𝐴) =𝑚

𝑛=

56

127= 0.44

2. คนไขอยโรงพยำบำลนอยกวำ 6 วน วธท ำ ให A เปนเหตกำรณทคนไขอยโรงพยำบำลนอยกวำ 6 วน

𝑃(𝐴) =𝑚

𝑛= 15 + 32 + 56

127= 0.81

3. คนไขอยโรงพยำบำลอยำงมำก 4 วน วธท ำ ให A เปนเหตกำรณทคนไขอยโรงพยำบำลอยำงมำก 4 วน

𝑃(𝐴) =𝑚

𝑛= 15 + 32

127= 0.36

ตวอยาง 3.32 บนทกของรำนคำแหงหนงแสดงเปอรเซนตของจ ำนวนลกคำจ ำแนกตำมชวงอำยดงน

อาย (ป) เปอรเซนต นอยกวำ 20 30

20 – 29 13 30 – 39 20 40 – 49 27 50 ขนไป 10

รวม 100 ถำเลอกลกคำมำอยำงสมจงหำควำมนำจะเปนทลกคำ

1. มอำยระหวำง 30 – 39 ป วธท ำ ให A เปนเหตกำรณทลกคำอำยระหวำง 30 – 39 ป

𝑃(𝐴) =𝑚

𝑛=

20

100= 0.2

2. นอยกวำ 30 ป

วธท ำ ให A เปนเหตกำรณทลกคำอำยนอยกวำ 30 ป

𝑃(𝐴) =𝑚

𝑛= 13 + 30

100= 0.33

3. มำกกวำ 29 และนอยกวำ 50 ป

วธท ำ ให A เปนเหตกำรณทลกคำอำยมำกกวำ 29 และนอยกวำ 50 ป

𝑃(𝐴) =𝑚

𝑛= 20 + 27

100= 0.47

4. นอยกวำ 20 หรอ มำกกวำ 49 ป วธท ำ ให A เปนเหตกำรณทลกคำอำยนอยกวำ 20 หรอ มำกกวำ 49 ป

𝑃(𝐴) =𝑚

𝑛= 30 + 10

100= 0.4

3.4 กฎของความนาจะเปน

คณสมบตของความนาจะเปน ก ำหนดให A เปนเหตกำรณใด ๆ ในปรภมตวอยำง S และ ∅ คอเซตวำง คณสมบตของควำมนำจะเปนของเหตกำรณ A มดงน

1. 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1 2. 𝑃(∅) = 0 และ 𝑃(𝑆) = 1 3. ∑ 𝑃(𝐴𝑖) = 1

𝑛𝑖=1

เนองจำกเหตกำรณกคอเซต ดงนนทฤษฎหรอ operation ของเซตสำมำรถน ำมำประยกตใชกบเหตกำรณ

ไดดงน 1. Union คอเหตกำรณทประกอบดวยสมำชกของเหตกำรณ A หรอเหตกำรณ B หรอเปนทงสอง

เหตกำรณใชสญลกษณ 𝐴 ∪ 𝐵 2. Intersection คอเหตกำรณทประกอบดวยสมำชกทอยในเหตกำรณ A และเหตกำรณ B ใชสญลกษณ

𝐴 ∩ 𝐵 3. Complement คอเหตกำรณทประกอบดวยสมำชกทอยในปรภมตวอยำง แตไมอยในเหตกำรณ A ใช

สญลกษณ 𝐴′ หรอ 𝐴𝑐

3.4.1 กฎการบวก (Addition Rules) เหตการณทแยกจากกนโดยเดดขาด

ในกำรทดลองสมใด ๆ ก ำหนดให A และ B เปนเหตกำรณใด ๆ ถำ A และ B เปนเหตกำรณทไมสำมำรถเกดขนพรอมกนได (Mutually Exclusive Events) หรอ 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ หรอกลำวไดวำ A กบ B ไมมกรณ (element) ทเกดรวมกนเลย

A B

U

ตวอยาง 3.33 ทอดลกเตำ 1 ลก 1 ครงจงพจำรณำเหตกำรณตอไปนวำเปนเหตกำรณทเกดขนพรอมกนไดหรอไม 1. ไดแตมคและแตมค

ตอบ ไมสำมำรถเกดขนพรอมกนได 2. ไดแตม 3 และแตมค

ตอบ สำมำรถเกดขนพรอมกนได 3. ไดแตมคและแตมนอยกวำ 4

ตอบ สำมำรถเกดขนพรอมกนได 4. ไดแตมมำกกวำ 4 และนอยกวำ 4

ตอบ ไมสำมำรถเกดขนพรอมกนได

ตวอยาง 3.34 หยบไพ1 ใบจำกส ำรบ จงพจำรณำวำเหตกำรณใดเปนเหตกำรณทไมสำมำรถเกดพรอมกนได 1. ไดแตม 7 และ jack

ตอบ ไมสำมำรถเกดพรอมกนได 2. ไดไพดอกจกและไดไพคง

ตอบ สำมำรถเกดพรอมกนได 3. ไดไพโพธแดงและ ace

ตอบ สำมำรถเกดพรอมกนได 4. ไดไพโพธด ำและโพธแดง

ตอบ ไมสำมำรถเกดพรอมกนได

ตวอยาง 3.35 ถำหยบไพ 1 ใบจำกส ำรบ ใหหำควำมนำจะเปนทจะมแตม 4 หรอ A วธท ำ ให A คอเหตกำรณทไดไพแตม 4

B คอเหตกำรณทไดไพแตม A 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) =

4

52+

4

52=

8

52= 0.15

ดงนน ควำมนำจะเปนควำมนำจะเปนทจะมแตม 4 หรอ A เทำกบ 0.15

𝑃(𝐴 หรอ 𝐵) = 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)

กฎการบวก 1 ถำ A และ B เปนเหตกำรณทไมสามารถเกดขนพรอมกนได ควำมนำจะเปนทเหตกำรณ A หรอ B จะเกดขน คอ

ตวอยาง 3.36 จตรกรคนหนงมหมวกสแดง 3 ใบ หมวกสด ำ 2 ใบ และหมวกสน ำตำล 4 ใบ ถำจตรกรเลอกหมวกมำใสโดยกำรสม จงหำควำมนำจะเปนทจะเลอกไดหมวกสด ำหรอน ำตำล วธท ำ ให A คอเหตกำรณทไดหมวกสด ำ B คอเหตกำรณทไดหมวกสด ำ 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) =

2

9+

4

9=

2

3= 0.66

ดงนน ควำมนำจะเปนทจะเลอกไดหมวกสด ำหรอน ำตำล เทำกบ 0.66

ตวอยาง 3.37 ในกำรส ำรวจรำยไดตอเดอนของคนชลบรไดขอมลดงตำรำงขำงลำง จงหำควำมนำจะเปนทคน ๆ หนงจะมรำยไดต ำกวำ หรอสงกวำ 15,000 บำท

รำยได ต ำกวำ 15,000 15,000 สงกวำ 15,000 จ ำนวนคน 150 75 225

วธท ำ ให A คอเหตกำรณทมรำยไดต ำกวำ 15,000 บำท B คอเหตกำรณทมรำยไดสงกวำ 15,000 บำท 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) =

150

450+

225

450=

2

3= 0.83

ดงนน ควำมนำจะเปนทจะมรำยไดต ำกวำ หรอสงกวำ 15,000 บำท เทำกบ 0.83

ตวอยาง 3.38 มหำวทยำลยแหงหนงมนสตจบกำรศกษำทงสนจ ำนวน 126 คน เปนสำขำคณตศำสตรจ ำนวน 50 คน สำขำสถตจ ำนวน 23 คน สำขำชววทยำ จ ำนวน 15 คน และสำขำฟสกสจ ำนวน 38 คน หำกสมเลอกนสตมำ 1 คน จงหำควำมนำจะเปนทจะไดนสตทจบจำกสำขำคณตศำสตร หรอ ชววทยำ หรอ ฟสกส วธท ำ ให A คอเหตกำรณทนสตทจบจำกสำขำคณตศำสตร B คอเหตกำรณทนสตทจบจำกสำขำชววทยำ

C คอเหตกำรณทนสตทจบจำกสำขำฟสกส 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) =

50

126+

15

126+

103

126=

2

3= 0.82

ดงนน ควำมนำจะเปนทจะไดนสตทจบจำกสำขำ คณตศำสตร หรอ ชววทยำ หรอ ฟสกส เทำกบ 0.82 เหตการณทไมแยกจากกนโดยเดดขาด

ในกำรทดลองสมใด ๆ ก ำหนดให A และ B เปนเหตกำรณใด ๆ ถำ A และ B เปนเหตกำรณทมกรณ (element) ทเกดรวมกนอย (Non-Mutually Exclusive Events) หรอ 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅

A B

U

ตวอยาง 3.39 ในกำรทอดลกเตำ 1 ลก ใหหำควำมนำจะเปนทจะไดแตมนอยกวำ 3 หรอเปนเลขค วธท ำ ให A คอเหตกำรณทแตมนอยกวำ 3 ซง A = {1, 2} B คอเหตกำรณทไดเลขค ซง B = {1, 3, 5} 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

= 2

6+

3

6−1

6=

4

6= 0.66

ดงนน ควำมนำจะเปนทจะไดแตมนอยกวำ 3 หรอเปนเลขค เทำกบ 0.66

ตวอยาง 3.40 ในกำรหยบไพ 1 ใบจำกส ำรบ จงหำควำมนำจะเปนทจะไดไพคงหรอดอกจก วธท ำ ให A คอเหตกำรณทไดไพคง B คอเหตกำรณทไดไพดอกจก 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

= 4

52+

13

52−

1

52=

16

52= 0.31

ดงนน ควำมนำจะเปนทจะไดไพคงหรอดอกจก เทำกบ 0.31

ตวอยาง 3.41 ธนำคำรเลอดไดเกบรวบรวมเลอดจำกผบรจำคเปนเวลำ 5 วน มจ ำนวนผบรจำคแยกตำมกรปเลอดและหม Rh ดงตำรำง

Rh-factor กรปเลอด

O A B AB รวม Rh+ 156 139 37 12 344 Rh- 28 25 8 4 65 รวม 184 164 45 16 409

1. จงหำควำมนำจะเปนทผบรจำคจะมเลอดกรป O หรอ กรป A

วธท ำ ให A คอเหตกำรณทผบรจำคจะมเลอดกรป O B คอเหตกำรณทผบรจำคจะมเลอดกรป A 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)

= 184

409+

164

409=

348

409= 0.85

ดงนน ควำมนำจะเปนทผบรจำคจะมเลอดกรป O หรอ กรป A เทำกบ 0.31

𝑃(𝐴 หรอ 𝐵) = 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

กฎการบวก 2 ถำ A และ B เปนเหตกำรณทเกดขนรวมกนหรอพรอมกนได ควำมนำจะเปนทเหตกำรณ A หรอ B จะเกดขน คอ

2. จงหำควำมนำจะเปนทผบรจำคจะมเลอดกรป B หรอ Rh– วธท ำ ให A คอเหตกำรณทผบรจำคจะมเลอดกรป B B คอเหตกำรณทบรจำคจะมเลอดหม Rh– 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

= 45

409+

65

409−

8

409=

102

409= 0.25

ดงนน ควำมนำจะเปนทผบรจำคจะมเลอดกรป B หรอ Rh– เทำกบ 0.25

ตวอยาง 3.42 ในกำรสอบถำมควำมคดเหนเกยวกบกำรโฆษณำเครองดมทผสมแอลกอฮอลในชวงทเวลำกอน 22.00 น. ไดผลสรปดงน

ควำมคดเหน เพศ

ชำย หญง เหนดวย 22 15

ไมเหนดวย 48 65 ไมมควำมคดเหน 10 20

ถำสมคนมำ 1 คน จงหำควำมนำจะเปนท 1. ตอบวำเหนดวย

วธท ำ ให A คอเหตกำรณทผตอบวำเหนดวย

𝑃(𝐴) =𝑚

𝑛=

37

180= 0.21

ดงนน ควำมนำจะเปนทผตอบวำเหนดวย เทำกบ 0.21 2. เปนผชำย

วธท ำ ให A คอเหตกำรณทผตอบเปนผชำย

𝑃(𝐴) =𝑚

𝑛=

80

180= 0.44

ดงนน ควำมนำจะเปนทผตอบเปนผชำย เทำกบ 0.44 3. เปนผหญงและไมเหนดวย

วธท ำ ให A คอเหตกำรณทผตอบเปนผหญงและไมเหนดวย

𝑃(𝐴) =𝑚

𝑛=

65

180= 0.36

ดงนน ควำมนำจะเปนผหญงและไมเหนดวย เทำกบ 0.36 4. เปนผชำยหรอเหนดวย

วธท ำ ให A คอเหตกำรณทผตอบเปนผชำย B คอเหตกำรณทผตอบเหนดวย 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

= 80

180+

37

190−

22

180=

95

180= 0.53

ดงนน ควำมนำจะเปนทผตอบเปนผชำยหรอเหนดวย เทำกบ 0.53

ตวอยาง 3.43 ควำมนำจะเปนทนกทองเทยวจะไปเทยวดอยอนทนนทเทำกบ 0.80 ควำมนำจะเปนทจะไปเทยวสวนสตวเชยงใหมเทำกบ 0.43 ควำมนำจะเปนทจะไปเทยวทง 2 ทเทำกบ 0.42 จงหำควำมนำจะเปนทนกทองเทยวจะเลอกไปเทยวทดอยอนทนนทหรอสวนสตวเชยงใหม วธท ำ ให A คอเหตกำรณทเทยวดอยอนทนนท

B คอเหตกำรณทเทยวสวนสตวเชยงใหม 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

= 0.80 + 0.43 − 0.42 = 0.81

ดงนน ควำมนำจะเปนทเทยวดอยอนทนนทหรอสวนสตวเชยงใหมเทำกบ 0.81 3.4.2 คอมพลเมนตของเหตการณ (Complement event)

ในกำรทดลองเชงสมใด ๆ ถำ A เปนเหตกำรณทเกดขนในกำรทดลองนน Complementary ของ A เขยนแทนดวย A’ ซงมคณสมบตดงน

1. 𝐴 ∪ 𝐴′ = 𝑆 2. 𝐴 ∩ 𝐴′ = ϕ

ตวอยาง 3.44 ทอดลกเตำสองลกพรอมกนหนงครง จงหำควำมนำจะเปนท

1. ลกเตำไมขนแตมหนงเลยแมแตลกเดยว วธท ำ ให A คอเหตกำรณทลกเตำไมขนแตมหนงเลยแมแตลกเดยว

𝑃(𝐴) =25

36= 0.69

ดงนน ลกเตำไมขนแตมหนงเลย เทำกบ 0.69

2. ลกเตำขนแตมหนงอยำงนอย 1 ลก วธท ำ ให A คอเหตกำรณทลกเตำไมขนแตมหนงเลยแมแตลกเดยว A’ คอเหตกำรณทลกเตำขนแตมหนงอยำงนอย 1 ลก

𝑃(𝐴′) = 1 – 𝑃(𝐴) = 1 − 25

36= 0.31

ดงนน ลกเตำขนแตมหนงอยำงนอย 1 ลกเทำกบ 0.31

𝑃(𝐴′) = 1 – 𝑃(𝐴)

ถำ 𝐴′ เปน Complementary event ของ 𝐴 แลว

ตวอยาง 3.45 ในกำรแจกรำงวลครงหนง มผไดรบรำงวล 3 คน และมรำงวลให 8 อยำง ถำใหแตละคนเลอกรบรำงวลคนละ 1 อยำง จำก 8 อยำงน โดยจะเลอกรำงวลซ ำกนกได จงหำควำมนำจะเปนททง 3 คน จะเลอกรำงวลซ ำกนอยำงนอย 1 ค วธท ำ จ ำนวนวธททง 3 คน เลอกรำงวล 8 อยำง ซ ำกนได คอ 8 × 8 × 8 = 521 จ ำนวนวธททง 3 คน เลอกรำงวล 8 อยำง ไมซ ำกน คอ 8 × 7 × 6 = 336

ให A คอเหตกำรณทเลอกรำงวลไมซ ำกนเลย

𝑃(𝐴) =336

512

A’ คอเหตกำรณทเลอกรำงวลซ ำกนอยำงนอย 1 ค

𝑃(𝐴′) = 1 – 𝑃(𝐴) = 1 − 336

512= 0.34

ดงนน ควำมนำจะเปนททง 3 คน เลอกรำงวลซ ำกนอยำงนอย 1 ค เทำกบ 0.34 3.4.3 กฎการคณและความนาจะเปนแบบมเงอนไข (Multiplication rules and conditional probability)

กฎกำรคณ สำมำรถน ำมำใชในกำรหำควำมนำจะเปนของเหตกำรณสองเหตกำรณหรอมำกกวำทเกดขนตำมล ำดบ เชน ถำเรำโยนเหรยญหนงเหรยญ และทอดลกเตำหนงลก เรำสำมำรถหำควำมนำจะเปนทจะไดหวในกำรโยนเหรยญ และ ไดแตม 4 ในกำรทอดลกเตำ โดยเหตกำรณสองเหตกำรณนกลำวไดวำเปนอสระกน (independent) เนองจำกผลลพธของเหตกำรณแรก (กำรโยนเหรยญ) ไมไดมผลกระทบตอควำมนำจะเปนของผลลพธของเหตกำรณทสอง (กำรทอดลกเตำ)

กำรหำควำมนำจะเปนของเหตกำรณสองเหตกำรณทเปนอสระกนทเกดขนตำมล ำดบกนนน เรำตองหำ

ควำมนำจะเปนของ แตละเหตกำรณแยกจำกกนเสยกอน แลวจงคณควำมนำจะเปนทไดเขำดวยกน

เหตกำรณ A และ B เปนเหตกำรณทเปนอสระกน (independent events) ถำกำรเกดเหตกำรณ A ไมม ผลกระทบตอควำมนำจะเปนของกำรเกดเหตกำรณ B

𝑃(𝐴 และ 𝐵) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵)

กฎการคณ 1 ถำ A และ B เปนเหตกำรณทเปนอสระกน ควำมนำจะเปนทเหตกำรณทงสองจะเกดขน เทำกบ

ตวอยาง 3.46 กลองใบหนงบรรจลกบอลสแดง 3 ลก สน ำเงน 2 ลก และสขำว 5 ลก สมหยบมำ 2 ครง โดยหยบทละลกแลวใสคนกอนหยบครงตอไป จงหำควำมนำจะเปนท

1. ไดสน ำเงนทง 2 ครง วธท ำ ให A คอเหตกำรณทหยบลกบอลไดสน ำเงน ครงท 1 B คอเหตกำรณทหยบลกบอลไดสน ำเงน ครงท 2 A และ B เปนเหตกำรณอสระ เพรำะเปนกำรหยบโดยใสคน เหตกำรณ A ไมมผลกระทบตอเหตกำรณ B ดงนนควำมนำจะเปนทหยบไดลกบอลสน ำเงน 2 ลก = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) =

2

10∙ 2

10=

4

100= 0.04

2. ไดสน ำเงนและสขำวตำมล ำดบ

วธท ำ ให A คอเหตกำรณทครงท 1 หยบลกบอลไดสน ำเงน B คอเหตกำรณทครงท 2 หยบลกบอลไดสขำว A และ B เปนเหตกำรณอสระ เพรำะเปนกำรหยบโดยใสคน เหตกำรณ A ไมมผลกระทบตอเหตกำรณ B

ดงนนควำมนำจะเปนทหยบไดลกบอลสน ำเงนและสขำวตำมล ำดบ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) =

2

10∙ 5

10=

10

100= 0.1

3. ไดสแดงและสน ำเงนตำมล ำดบ

วธท ำ ให A คอเหตกำรณทครงท 1 หยบลกบอลไดสแดง B คอเหตกำรณทครงท 2 หยบลกบอลไดสน ำเงน ดงนนควำมนำจะเปนทหยบไดลกบอลสแดงและสน ำเงนตำมล ำดบ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) =

3

10∙ 2

10=

6

100= 0.06

ตวอยาง 3.47 ในกำรหยบไพ 3 ใบแบบใสคน จงหำควำมนำจะเปนทไดไพควน คง และเอซ ตำมล ำดบ วธท ำ ให A คอเหตกำรณทครงท 1 หยบไพไดควน

B คอเหตกำรณทครงท 2 หยบไพไดคง C คอเหตกำรณทครงท 3 หยบไพไดเอซ ดงนนควำมนำจะเปนทหยบไดไพควน คง และเอซ ตำมล ำดบ

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴) ∙ P(B) ∙ P(𝐶) = 4

52∙ 4

52∙ 4

52=

64

140608

ความนาจะเปนแบบมเงอนไข (Conditional probability) ในหวขอกอนหนำนกลำวถงเหตกำรณทเปนอสระกนโดยกำรเกดเหตกำรณแรกไมสงผลกระทบตอโอกำสท

จะเกดเหตกำรณทสอง ในทำงตรงกนขำมถำกำรเกดเหตกำรณแรกมผลกระทบตอกำรเกดเหตกำรณทสอง จะกลำวไดวำทงสองเหตกำรณนน ไมเปนอสระตอกน (dependent) ตวอยาง โยนลกเตำ 2 ลกพรอมกน

𝑆 =

{

(1,1) (1,2) (1,3)(2,1) (2,2) (2,3)(3,1) (3,2) (3,3)

(1,4) (1,5) (1,6)(2,4) (2,5) (2,6)(3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3)(5,1) (5,2) (5,3)(6,1) (6,2) (6,3)

(4,4) (4,5) (4,6)(5,4) (5,5) (5,6)(6,4) (6,5) (6,6)}

ถำให A คอเหตกำรณทลกเตำลกแรกขนแตม 1 B คอเหตกำรณทผลบวกของแตมของลกเตำทงสองนอยกวำ 4

ดงนน A = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)} B = {(1,1), (1,2), (2,1)} จะได 𝑃(𝐴) =

6

36=

1

6

𝑃(𝐵) =3

36=

1

12

แตถำเรำทรำบวำในกำรทดลองสมนน เหตกำรณ A เกดขนแนนอนแลว ควำมนำจะเปนของเหตกำรณ B

จะมคำเทำไร นนคอ เมอ เหตกำรณ A เกดขนแลว เรำจะพจำรณำเฉพำะในเหตกำรณ A ซงจะถอวำเปน Sample space ชด

ใหมทประกอบดวย Sample point ในเหตกำรณ A เทำนน ปรำกฏวำ A มจ ำนวน sample point เทำกบ 6 ในจ ำนวนนเปน sample space ของ B เพยง 2

sample point เทำนน เพรำะฉะนน ควำมนำจะเปนของเหตกำรณ B ภำยใตเงอนไขของเหตกำรณ A เกดขนแลว คอ 𝑃(𝐵|𝐴) = 2

6

เรยก กำรหำควำมนำจะเปนแบบนวำ ความนาจะเปนแบบมเงอนไข (Conditional probability)

ควำมนำจะเปนของเหตกำรณ B เมอเหตกำรณ A ไดเกดขนแลวเรยกวำ ควำมนำจะเปนของเหตกำรณ B ภำยใตเงอนไขวำเหตกำรณ A เกดขนแลว (Conditional probability of B given A) เขยนแทนดวยสญลกษณ P(B|A) อำนวำ Probability of B given A

ตวอยาง 3.48 กลองใบหนงบรรจลกบอลสด ำและสขำว สมเลอกลกบอลมำ 2 ลกโดยไมใสคน ถำควำมนำจะเปนท

จะหยบไดลกบอลสด ำและสขำวคอ 15

56 และ ควำมนำจะเปนทหยบไดลกบอลสด ำในกำรหยบครงแรกเทำกบ

3

8 จง

หำควำมนำจะเปนทจะหยบไดลกบอลสขำวในกำรหยบครงท 2 เมอหยบลกบอลไดสด ำในครงแรก วธท ำ ให A คอเหตกำรณทครงท 1 หยบลกบอลไดสด ำ

B คอเหตกำรณทครงท 2 หยบลกบอลไดสขำว

𝑃(𝐵|𝐴) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐴)=

155638

=15

56 ∙ 8

3=15

21

ดงนน ควำมนำจะเปนทจะหยบไดลกบอลสขำวในกำรหยบครงท 2 เมอหยบลกบอลไดสด ำในครงแรก เทำกบ 15

21

ตวอยาง 3.49 จำกกำรส ำรวจสขภำพประชำกรกลมหนงพบวำ มผปวยดวยโรคหวใจ 9% ปวยดวยโรคควำมดนโลหตสง 12% ปวยดวยโรคหวใจและควำมดนโลหตสง 7% จงหำควำมนำจะเปนทผปวยจะเปนโรคหวใจ ถำทรำบวำเขำปวยดวยโรคควำมดนโลหตสง วธท ำ ให A คอเหตกำรณทผปวยเปนโรคควำมดนโลหตสง

B คอเหตกำรณทผปวยเปนโรคหวใจ

𝑃(𝐵|𝐴) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐴)=

710012100

=7

100 ∙ 100

12=7

12

ดงนน ควำมนำจะเปนทผปวยจะเปนโรคหวใจ ถำทรำบวำเขำปวยดวยโรคควำมดนโลหตสง เทำกบ 712

ตวอยาง 3.50 บรษทขำยบตรเครดตไดท ำกำรส ำรวจกำรมบตรเครดตของคนทไปใชจำยในหำงสรรพสนคำไดผลดงตำรำง

สถำนะกำรท ำงำน มบตรเครดต ไมมบตรเครดต ท ำงำน 18 29 วำงงำน 28 34

𝑃(𝐵|𝐴) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐴)

ความนาจะเปนแบบมเงอนไขของเหตการณ B คอ ควำมนำจะเปนทเหตกำรณ B เกด ขนหลงจำกเหตกำรณ A เกดขนแลว หำไดจำกสตร

ถำเลอกคนมำ 1 คนอยำงสม จงหำควำมนำจะเปนท 1. คนนนจะมบตรเครดตถำทรำบวำเขำท ำงำน

วธท ำ ให A คอเหตกำรณทสถำนะท ำงำน B คอเหตกำรณทมบตรเครดต

𝑃(𝐵|𝐴) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐴)=

1810947109

=18

109 ∙ 109

47=18

47

ดงนน ควำมนำจะเปนทคนนนจะมบตรเครดตถำทรำบวำเขำท ำงำน เทำกบ 1847

2. คนนนจะวำงงำนเมอทรำบวำเขำไมมบตรเครดต

วธท ำ ให A คอเหตกำรณทไมมบตรเครดต B คอเหตกำรณทสถำนะวำงงำน

𝑃(𝐵|𝐴) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐴)=

3410963109

=34

109 ∙ 109

63=34

63

ดงนน ควำมนำจะเปนทคนนนจะวำงงำนเมอทรำบวำเขำไมมบตรเครดต เทำกบ 3463

ตวอยาง 3.51 ในหมบำนแหงหนงมผมอำยตงแต 20 ถง 60 ปอย 500 คน เมอแบงตำมเพศและสภำพกำรมงำนท ำแลว ไดตวเลขดงน

เพศ กำรมงำนท ำ

รวม มท ำ ไมมท ำ

ชำย 230 10 240 หญง 70 190 260 รวม 300 200 500

ถำเลอกคนในหมบำนมำ 1 คนเพอเปนตวแทนของหมบำน

1. หำควำมนำจะเปนทผไดรบเลอกเปนผชำยโดยก ำหนดวำจะตองเปนผมงำนท ำ วธท ำ ให A คอเหตกำรณทผมงำนท ำ B คอเหตกำรณทเปนเพศชำย

𝑃(𝐵|𝐴) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐴)=

230500300500

=230

500 ∙ 500

300=23

30

ดงนน ควำมนำจะเปนทผไดรบเลอกเปนผชำยโดยก ำหนดวำจะตองเปนผมงำนท ำ เทำกบ 2330

2. ถำก ำหนดวำตองเปนผหญงจงหำควำมนำจะเปนทคนนนจะไมมงำนท ำ วธท ำ ให A คอเหตกำรณทเปนเพศหญง

B คอเหตกำรณทเปนไมมงำนท ำ

𝑃(𝐵|𝐴) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐴)=

190500260500

=190

500 ∙ 500

260=19

26

ดงนน ควำมนำจะเปนทคนนนจะไมมงำนท ำ ถำก ำหนดวำตองเปนผหญง เทำกบ 19

26

ตวอยาง 3.52 คน ๆ หนงมแผน CD เพลงอย 30 แผน โดยเปนเพลงลกทง 5 แผน หำกเลอก CD มำ 2 แผน โดยสม ใหหำควำมนำจะเปนท CD ทงสองแผนจะเปนเพลงลกทง วธท ำ ให A คอเหตกำรณทครงท 1 หยบไดเพลงลกทง

B คอเหตกำรณทครงท 2 หยบไดเพลงลกทง ควำมนำจะเปนทจะไดเพลงลกทงทงสองแผน คอ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐴) = 5

30

𝑃(𝐵|𝐴) =4

29 เนองจำกเหตกำรณ A เกดขนแลว (หยบเพลงลกทงไปแลว 1 แผน)

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴) = 5

30∙4

29=20

870=2

87

ดงนน ควำมนำจะเปนท CD ทงสองแผนจะเปนเพลงลกทง เทำกบ 287

ตวอยาง 3.53 หยบไพมำสองใบจำกส ำรบ โดยหยบทละใบแลวไมใสคน จงหำควำมนำจะเปนทจะไดไพโพแดงทงสองใบ วธท ำ ให A คอเหตกำรณทครงท 1 หยบไดโพแดง

B คอเหตกำรณทครงท 2 หยบไดโพแดง ควำมนำจะเปนทจะไดไพโพแดงทงสองใบ คอ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐴) = 13

52

𝑃(𝐵|𝐴)= 1251 เนองจำกเหตกำรณ A เกดขนแลว (โพแดงหยบไปแลว 1 ใบ)

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴) = 13

52∙12

51=3

51=1

17

ดงนน ควำมนำจะเปนทไดไพโพแดงทงสองใบ เทำกบ = 1

17

𝑃(𝐴 และ 𝐵) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴)

กฎการคณ 2 ถำ A และ B เปนเหตกำรณทไมเปนอสระกน ควำมนำจะเปนทเหตกำรณทงสองจะเกดขน เทำกบ

ตวอยาง 3.54 กลองใบหนงมปำกกำ 5 ดำม เปนสน ำเงน 3 ดำม สแดง 2 ดำม ถำหยบปำกกำอยำงสมครงละ 1 ดำม เมอไดปำกกำดำมแรกแลวไมใสกลบคน หยบปำกกำดำมทสองจำกทเหลอ จงหำควำมนำจะเปนทจะไดปำกกำทง 2 ดำมเปนสน ำเงน วธท ำ ให A เปนเหตกำรณทปำกกำดำมแรกเปนสน ำเงน

B เปนเหตกำรณทปำกกำดำมทสองเปนสน ำเงน ควำมนำจะเปนทจะไดปำกกำทง 2 ดำมเปนสน ำเงน คอ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐴) = 3

5

𝑃(𝐵|𝐴)= 24 เนองจำกเหตกำรณ A เกดขนแลว (ปำกกำสน ำเงน หยบไปแลว 1 ดำม)

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴) = 3

5∙2

4=6

20=3

10

ดงนน ควำมนำจะเปนทไดปำกกำทง 2 ดำมเปนสน ำเงน เทำกบ 310

ตวอยาง 3.55 ในกำรหยบไพ 3 ใบ จำกส ำรบแบบไมใสคน ใหหำควำมนำจะเปนตอไปน

1. ไพทงสำมใบเปน jack วธท ำ ให A เปนเหตกำรณทหยบไพครงท 1 ได jack B เปนเหตกำรณทหยบไพครงท 2 ได jack

C เปนเหตกำรณทหยบไพครงท 3 ได jack ควำมนำจะเปนทจะไดไพทงสำมใบเปน jack คอ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)

𝑃(𝐴) = 4

52

𝑃(𝐵|𝐴)= 351 เนองจำกเหตกำรณ A เกดขนแลว (ไพ jack หยบไปแลว 1 ใบ)

𝑃(𝐶|𝐵)= 250 เนองจำกเหตกำรณ B เกดขนแลว (ไพ jack หยบไปแลว 2 ใบ)

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴) ∙ 𝑃(𝐶|𝐵) = 4

52∙3

51∙2

50=

24

132600=

1

5525

ดงนน ควำมนำจะเปนทไดไพทงสำมใบเปน jack เทำกบ 1

5525

2. ไดไพเอซ, คง, และควน ตำมล ำดบ

วธท ำ ให A เปนเหตกำรณทหยบไพครงท 1 ได เอซ B เปนเหตกำรณทหยบไพครงท 2 ได คง C เปนเหตกำรณทหยบไพครงท 3 ได ควน ควำมนำจะเปนทจะไดไพเอซ, คง, และควน ตำมล ำดบคอ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)

𝑃(𝐴) = 4

52

𝑃(𝐵|𝐴)= 451 เนองจำกเหตกำรณ A เกดขนแลว

𝑃(𝐶|𝐵)= 450 เนองจำกเหตกำรณ B เกดขนแลว

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴) ∙ 𝑃(𝐶|𝐵) = 4

52∙4

51∙4

50=

64

132600=

8

16575

ดงนน ควำมนำจะเปนทไดไพเอซ, คง, และควน ตำมล ำดบ เทำกบ 8

16575

3. ไดไพโพธด ำ, ดอกจก, และโพธแดง ตำมล ำดบ

วธท ำ ให A เปนเหตกำรณทหยบไพครงท 1 ได โพธด ำ B เปนเหตกำรณทหยบไพครงท 2 ได ดอกจก C เปนเหตกำรณทหยบไพครงท 3 ได โพธแดง ควำมนำจะเปนทจะไดไพโพธด ำ, ดอกจก, และโพธแดง ตำมล ำดบคอ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)

𝑃(𝐴) = 13

52

𝑃(𝐵|𝐴)= 1351 เนองจำกเหตกำรณ A เกดขนแลว

𝑃(𝐶|𝐵)= 1350 เนองจำกเหตกำรณ B เกดขนแลว

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴) ∙ 𝑃(𝐶|𝐵) = 13

52∙13

51∙13

50=

2197

132600

ดงนน ควำมนำจะเปนทไดไพโพธด ำ, ดอกจก, และโพธแดง ตำมล ำดบเทำกบ 2197

132600

4. ไดโพธด ำทงสำมใบ

วธท ำ ให A เปนเหตกำรณทหยบไพครงท 1 ได โพธด ำ B เปนเหตกำรณทหยบไพครงท 2 ได โพธด ำ C เปนเหตกำรณทหยบไพครงท 3 ได โพธด ำ ควำมนำจะเปนทจะไดไพโพธด ำทงสำมใบ คอ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)

𝑃(𝐴) = 13

52

𝑃(𝐵|𝐴)= 1251 เนองจำกเหตกำรณ A เกดขนแลว

𝑃(𝐶|𝐵)= 1150 เนองจำกเหตกำรณ B เกดขนแลว

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴) ∙ 𝑃(𝐶|𝐵) = 13

52∙12

51∙11

50=

1716

132600=11

850

ดงนน ควำมนำจะเปนทไดโพธด ำทงสำมใบ เทำกบ 11850