Ⅶ . 원 의 성 질

Ⅶ. 원 의 성 질Ⅶ. 원 의 성 질1. 원 과 직 선1. 원 과 직 선

2. 원 주 각2. 원 주 각

3. 원 과 비 례3. 원 과 비 례

1. 원 과 직 선

1) 원

2) 원의 접선

3) 두 원

원의 중심원의 중심

반지름반지름

현현

부채꼴부채꼴

호호

용어의 정의용어의 정의

활꼴활꼴

●

OA

BC

D

CDAB

CDAB

CODAOB

중심각에 대한 호와 현 Ⅰ중심각에 대한 호와 현 Ⅰ

1) 크기가 같은 두 중심각에 대한 호의 길이와 현의 길이는 각각 같다 . 그 역도 성립한다 .

2) 중심각의 크기와 호의 길이는 서로 비례한다 .

3) 현의 길이는 중심각의 크기에 비례하지 않는다 .

중심각에 대한 호와 현 Ⅱ중심각에 대한 호와 현 Ⅱ

한 원 또는 합동인 두 원에서

풀이 ) 현의 길이는 중심각의 크기와 비례하지 않는다 .

※ 활 용 예 제

문제 ) 다음 설명 중에서 바르지 않은 것을 고르시오 .

(1) 크기가 같은 중심각에 대한 호의 길이는 같다 .

(2) 크기가 같은 중심각에 대한 현의 길이는 같다 .

(3) 호의 길이는 중심각의 크기에 비례한다 .

(4) 현의 길이는 중심각의 크기에 비례한다 .

(5) 한 원에서 현의 길이가 같으면 중심각의 크기도 같다 .

(4)

● O

A BM

1) 현의 성질

BMAM

ABOM

※ 원의 중심에서 현에 내린

수선은 현을 수직 이등분한다 .

즉 ,

원의 중심과 현 Ⅰ원의 중심과 현 Ⅰ

●A

B

C

D

O

M

N

2) 현의 길이

CDAB

ONOM

※ 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같다 .

역으로 ,

길이가 같은 두 현은 원의 중심에서 같은 거리에 있다 .

즉 ,

원의 중심과 현 Ⅱ원의 중심과 현 Ⅱ

A

B C

O

M N

풀이 )

이므로

이다 .

따라서 삼각형 ABC 는

이등변 삼각형이다 .

ONOM

ACAB

※ 활 용 예 제

문제 ) 아래 그림에서 일 때 , 삼각형 ABC 는 어떤 삼각형이 되는가 ?

ONOM

●O

Tl

lOT

원의 접선과 반지름원의 접선과 반지름

1) 원의 접선은 그 접점을

지나는 반지름에 수직

이다 .

2) 원 위의 한 점을 지나고

그 점을 지나는 반지름에

수직인 직선은 이 원의

접선이다 .

1) 원의 접선은 그 접점을

지나는 반지름에 수직

이다 .

2) 원 위의 한 점을 지나고

그 점을 지나는 반지름에

수직인 직선은 이 원의

접선이다 .

●P O

T

T

TPPT

접선의 길이접선의 길이

△PTO 와 △ PT’O 에서

∠PTO= PT’O=90º∠

는 공통

∴ △ PTO≡PT’O(RHS)

∴ TPPT

OTTO

PO

A B

C

D

O

5cm

2cm

EF

풀이 )

이므로 이다 .

또 이므로피타고라스의 정리에 의해

DEDBCECA ,

cmCD 7cmcmcmDF 325

102

40949 37 22 CF

102 AB

※ 활 용 예 제

문제 ) 아래 그림에서 는 원 O 의 지름이고 는 원 O 의 접선일 때 지름의 길이를 구하시오 .

AB BDCDAC ,,

● O

A

B C

D

BCADCDAB

원에 외접하는 사각형원에 외접하는 사각형

● O

A

B C

D 풀이 )

BCADCDAB 이므로

4cm + 6cm = 3cm +

10cm = 3cm +

= 7cm BC

BC

BC

※ 활 용 예 제

문제 ) 아래 그림에서

일 때 의 길이를 구하시오 . cmADcmCDcmAB 3,6,4

BC

●

A

B C

D F

E

O

방심방심방접원방접원

1) 방심

삼각형의 한 내각의

이등분선과 다른 두

각의 외각의 이등분

선과의 교점

2) 한 삼각형의 방심은

3 개이다 .

삼각형의 방심삼각형의 방심

A

B

C

D

E

F

풀이 )

cmcmcmAD 4352

cmAD 6

AFAD 이고

CABCABAFAD 이므로

※ 활 용 예 제

문제 ) 아래 그림에서

일 때 의 길이를 구하시오 . cmCAcmBCcmAB 4,3,5

AD

● ●O Or rd

1) 두 원이 만나지 않는 경우 ( 외부에 있을 때 )

rrd

두 원의 위치관계 Ⅰ두 원의 위치관계 Ⅰ

2) 외접 할 때 3) 두 점에서 만날 때

rrd

● ●

d

r rO O

rrdrr

● ●O Or rd

두 원의 위치관계 Ⅱ두 원의 위치관계 Ⅱ

● ● ● ●

4) 내접 할 때 5) 내부에 있을 때

rrd rrd

두 원의 위치관계 Ⅲ두 원의 위치관계 Ⅲ

두 원이 서로 만나는 경우 중심거리와 반지름 사이의 관계는

풀이 )

rrdrr 이므로

cmcmdcmcm 3434

cmdcm 71

문제 ) 반지름의 길이가 각각 4cm, 3cm 인 두 원 O, O´ 가

서로 만날 때 중심거리의 범위를 구하시오 .

※ 활 용 예 제

● ●O Or rd

1) 외부에 있을 때

공통 내접선 : 2 개 공통외접선 : 2 개

공통접선의 개수Ⅰ공통접선의 개수Ⅰ

공통 내접선공통 내접선공통 내접선공통 내접선

공통 외접선공통 외접선공통 외접선공통 외접선

2) 외접 할 때 3) 두 점에서 만날 때

● ●O Or r ● ●

d

r r O O

공통 내접선 : 1 개공통 외접선 : 2 개


공통접선의 개수 Ⅱ공통접선의 개수 Ⅱ

● ●

4) 내접 할 때 5) 내부에 있을 때

● ●



공통접선의 개수 Ⅲ공통접선의 개수 Ⅲ

풀이 ) (1) 두 원이 외부에서 만나지 않는 경우 :

공통접선은 4 개 그을 수 있다 .

(2) 두 원이 외접하는 경우 :


(5) 두 원이 내부에 서 만나지 않을 때 :

공통접선은 그을 수 없다 .

(3) 두 원이 두 점에서 만나는 경우 :


(4) 두 원이 내접하는 경우 :


문제 ) 두 원의 위치에 따른 공통접선의 개수를 각각 말하시오 .

※ 활 용 예 제

1) 공통외접선의 길이

l

● ●

rr

d

l

22 )( rrdl

공통접선의 길이공통접선의 길이

문제 ) 반지름이 각각 3cm, 4cm 인 두 원이 외접할

때 공통외접선의 길이를 구하시오 .

※ 활 용 예 제

4cm3cm

x

풀이 )

이므로22 )( rrdx

22 )34(7 x

149

48

34

2) 공통내접선의 길이

22 )( rrdl

● ●

r

r d

l

l

문제 ) 반지름이 각각 3cm, 4cm 인 두 원의 중심거리가

9cm 일 때 , 공통내접선의 길이를 구하시오 .

※ 활 용 예 제

풀이 )

이므로22 )( rrdx

22 )34(9 x

4981

32

24

4cmx

9cm3cm

2. 원 주 각

1) 원 주 각

3) 접선의 성질

2) 원과 사각형

A

●

B

P

O

원주각원주각

중심각중심각

AOBAPB 2

1 902

1AOBAPB

●

OA B

P

원주각과 중심각 Ⅰ원주각과 중심각 Ⅰ

원주각과 중심각 Ⅱ원주각과 중심각 Ⅱ

1) 원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호 에

대한 중심각의 크기의 이다 .

2) 반원에 대한 원주각의 크기는 90 ° 이다 .

21

문제 ) 아래 그림에서 x, y 의 크기를 구하여라 .

※ 활 용 예 제

(1)

0120

x(2)

0120y

00 120,60 yx

CQDAPB

CDAB

●

A

B C

D

P Q

O

원주각과 호원주각과 호

1) 한 원 또는 합동인 두 원에서- 길이가 같은 호에 대한

원주각의 크기는 같다 .

- 크기가 같은 원주각에 대한

호의 길이는 같다 .

2) 한 원에서 원주각의 크기는

호의 길이에 비례한다 .

문제 ) 아래 그림에서 a+b+c 의 값을 구하여라 .

※ 활 용 예 제

a

b

c070

030

A

B C

D풀이 ) ABD = ACD ∠ ∠ 이고 ,

∠BAC = BDC ∠ 이므로

b = 030

a = c = 040

∴ a + b + c = 110

●

A

B C

D

E

내대각내대각

외각외각

∠A + B = 180º∠

∠B + D = 180º∠

∠A = DCE∠

원에 내접하는 사각형원에 내접하는 사각형

1) 원에 내접하는 사각형

에서 한 쌍의 대각의

크기의 합은 180 º 이다 .

2) 원에 내접하는 사각형에

서 한 외각의 크기는 그

내대각의 크기와 같다 .

문제 ) 아래 그림에서 x, y 의 크기를 구하여라 .

※ 활 용 예 제

075

085

x

y

• 내접사각형은 대각의

합이 이므로°180

°° 105,95 yx • 내접사각형의 한외각의

크기는 내대각의 크기와

같으므로

0160y

x

º80 yx

●

A

B C

D

E

1) BAD + BCD = 180º,∠ ∠

∠ABC + ADC = 180º ∠ 일 때 2) BAD = DCE ∠ ∠ 일 때

사각형이 원에 내접할 조건사각형이 원에 내접할 조건

1) 한 쌍의 대각의 크기의

합이 180 º 일 때

2) 한 외각의 크기가 그

내대각의 크기와 같을 때

(2) => 외각과 그 내대각의 크기가 같다 .

문제 ) 아래 사각형 중에서 원에 내접하는 것은 ?

※ 활 용 예 제

075

0850110

(1)

070

070

075

(2)

095045

030

(4)

075

0110

(3)

●

A

B

C

T접선

AB 에 대한 원주각AB 에 대한 원주각

접선과 현이 이루는 각접선과 현이 이루는 각

접선과 현이 이루는 각접선과 현이 이루는 각

문제 ) 아래 그림에서 직선 XY 가 원 O 의 접선일 때 , 각 x, y

의 크기를 구하여라 .

※ 활 용 예 제

●

A

B

C

Yy070

040

x

X

풀이 )

∠XAB = ABC ∠ 이고 ,

∠YAB = ACB ∠ 이므로

x = , y = °70 40°

3. 원 과 비 례

1) 원 과 비 례

2) 할 선 과 접 선

●

A

BC

DP

PDPCPBPA

1) 두 직선이 원의 내부에서 만날 때

원에서의 비례관계 Ⅰ원에서의 비례관계 Ⅰ

O

A

B

C

D

P5cm

6cm

7cm

x

풀이 )

이므로

x×7 = 5×6

7x = 30

x =

PDPCPBPA

730

문제 ) 아래 그림과 같이 원 O 의 내부에서 두 선분이 만날 때 선분 PA 의 길이를 구하시오 ..

※ 활 용 예 제

x = cm730

●

P

A

B

C D

2) 두 직선이 원의 외부에서 만날 때

PDPCPBPA

원에서의 비례관계 Ⅱ원에서의 비례관계 Ⅱ

풀이 )

이므로

x×(x + 9) = 4×9

PDPCPBPA

D

OA

B

CP4cm

5cmx

9cm

312

0)3)(12(

03692

orx

xx

xx

cmx 3

문제 ) 아래 그림과 같이 원 O 의 외부에서 두 선분이 만날 때 선분 PA 의 길이를 구하시오 ..

※ 활 용 예 제

22 OPrPBPA

●

A

B

C DP r

O

증명 )

PDPCPBPA

)()( OPrOPr 22 OPr

현과 지름이 만나는 비례 관계 Ⅰ현과 지름이 만나는 비례 관계 Ⅰ

A

B

C DPO

6

5

6

x

풀이 )

이므로22 OPrPBPA

23630 OP

62OP

6 OP

66 x

문제 ) 아래 그림에서 O 가 원의 중심일 때 선분 PC 의 길이를 구하시오 .

※ 활 용 예 제

22rOPPBPA -

증명 )

PDPCPBPA

)()( rOPrOP

22rOP

●P

A

B

C Dr

O

현과 지름이 만나는 비례관계 Ⅱ현과 지름이 만나는 비례관계 Ⅱ

O

P

A

B

CD

3cm 6cm

xcm3cm

풀이 )

이므로

22rOPPBPA

927 2 x

182 x

23 x

문제 ) 다음 그림에서 O 가 원의 중심일 때 선분 AB 의 길이를 구하시오 .

※ 활 용 예 제

PBPAPT 2

PT

PB

가 원 O 의 접선이고 ,

가 원 O 와 두 점에서 만날 때

P

●A

B

T

O

원의 접선과 할선원의 접선과 할선

B

A

P T

x

6cm

4cm

풀이 )

이므로

36 = 4(4 + x)

36 = 16 + 4x

4x = 20

PBPAPT 2

문제 ) 다음 그림에서 선분 PT 가 원 O 의 접선일 때 선분

AB 의 길이를 구하시오 .

※ 활 용 예 제

x = 5cm

Ⅶ . 원 의 성 질

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