Використання мортарних функцій в скінчених елементах для теорії пружності

Виконали:

Студ.гр.ПМп-42

Вірга О.С. Троценко О.С.

Варіаційна постановка задачі теорії пружності в переміщеннях1. Постановка плоскої задачі теорії пружності

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

x

uxx

y

vyy

x

v

y

uxyxy

2

yyxxxx D

1

yyxxyy

1 xyxy D

12

21

S

TT dSUpdDUJ ][][]][[][2

1][

),( yxuu ),( yxvv

,

2

1

( ) 0ij ij j

u fx

Мортарні скінченні елементи

2. Умова неперервності

(2.1)

(2.2)

0

dxf i

2|

1| fff

i

Мортарні скінченні елементи

3. Основна ідея методу

(3.1)

(3.2)

(3.3)

K

ii

1

kj

Klklkkl ,1,:

klKlkkl

,,,1,

:

Мортарні скінченні елементи

4. Постановка задачі для мортарних скінченних елементів

Знайти : (4.1)

(4.2)

(4.3)

(4.4)

KkXuLuX hkh k,,1,|: ;|

22

hhhhhhh vbXvV

0,|:

dxvvb hhhh

,

hhhhh Vvvfvua ,,,h hu V

Мортарні скінченні елементи

5. Постановка задачі знаходження сідлової точки

Знайти , такі що

(5.1)

(5.2)

hhhh Xu

,

hhhhhhh Xvvfvbvua ,,,

hhhhub 0,

Мортарні скінченні елементи

6. Базові функції скелету

Рис.1

Мортарні скінченні елементиР

ис.

2: К

лас

ичн

ий

мор

тарн

ий

баз

ис

Ри

с.3:

Нов

ий

мор

тарн

ий

баз

ис

Мортарні скінченні елементи

(6.1)

(6.2)

Знайти , такі що

(6.3)

n

iiih uu

1

n

iiih vv

1

m

jjjh

1

m

jjjh

1

ihhiih fbua ,),(, 1

ihhiih fbva ,),(, 2 0, jhub

0, jhvb

hhhhhhhh XXvu ,,,

Мортарні скінченні елементи

7. Схема формування мортарної матриці

(7.1)

(7.2)

(7.3)

1 2

1 2

1 1 1

, ( ) ( )n n n

h j i i j i i j i i ji i i

b u u d u d u d

1 1

1 1

1 1

( )j j j j

j j

p p

i i j i i ji i

u ds u ds

1j

k

j

ki i jb ds

Результати розрахунків

Рис.4

Результати розрахунків

Рис.6 Рис.7

Рис.5

Результати розрахунків

Таб

лиця

1Т

абли

ця 2

y u(x,y) на сітці 4x8 u(x,y) на сітці 8x8&4x4 u(x,y) на сітці 8x16

0,000 -3,0765e-004 -3,0847e-004 -3,0858e-004

0,250 -1,3990e-004 -1,4034e-004 -1,4043e-004

0,500 7,8785e-006 7,9321e-006 7,9335e-006

0,750 1,5583e-004 1,5636e-004 1,5646e-004

1,000 3,2369e-004 3,2463e-004 3,2475e-004

y yxu ,84 yxu , 44&88 xx yxu ,168

y v(x,y) на сітці 4x8 v(x,y) на сітці 8x8&4x4 v(x,y) на сітці 8x16

0,000 -5,8051e-004 -5,8338e-004 -5,8343e-004

0,250 -5,7054e-004 -5,7368e-004 -5,7359e-004

0,500 -5,7031e-004 -5,7322e-004 -5,7338e-004

0,750 -5,8157e-004 -5,8470e-004 -5,8462e-004

1,000 -6,0236e-004 -6,0523e-004 -6,0528e-004

y yxv ,84 yxv , 44&88 xx yxv ,168

Результати розрахунків

Ри

с.8.

σxx

на

х=1

Результати розрахунків

Ри

с.9.

σуу

на

х=1

Результати розрахунків

Ри

с.10

. σ

ху н

а х=

1