第二章 极限与连续
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第二章 极限与连续. 第一节 数列的极限. 一。概念的引入. 二 数列的定义. 三 数列的极限. 四 思考题. 一、数列的定义. 例如. . 数列是整标函数. 二、数列的极限. 概念的引入. 1 、割圆术:. “ 割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”. —— 刘徽. 播放. 正六边形的面积. 正十二边形的面积. A 0. 正三边形的面积 A 0. 2 、截丈问题:. “ 一尺之棰,日截其半,万世不竭”. 此时就说 1 是这个数列的极限。. 比较以下两种说法你能得出什么结?. 可以无限小. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
第二章 极限与连续•第一节 数列的极限
一。概念的引入
二 数列的定义
三 数列的极限
四 思考题
一、数列的定义定义:按自然数 ,3,2,1 编号依次排列的一列数 ,,,, 21 nxxx (1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数
列的项, nx称为通项(一般项).数列(1)记为 }{ nx .
例如 ;,2,,8,4,2 n
;,2
1,,
8
1,
4
1,
2
1 n
}2{ n
}2
1{ n
. 数列是整标函数 ).(nfxn
;,)1(,,1,1,1 1 n })1{( 1 n
,4
5,
3
4,
2
3, 2 nny
11
二、数列的极限
“ 割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”
1 、割圆术:
播放播放—— 刘徽
概念的引入
R
正六边形的面积 1A
正十二边形的面积 2A
S
正三边形的面积 A0
,,,,, 321 nAAAAA0
2 、截丈问题:“ 一尺之棰,日截其半,万世不竭”
;2
11 X第一天截下的杖长为
;2
1
2
122 X为第二天截下的杖长总和
;2
1
2
1
2
12 nnXn 天截下的杖长总和为第
nnX 2
11 1
.11
1, 无限接近于无限增大时当n
xn n
1:)2( nx nn
11
11 可以无限小
此时就说 1 是这个数列的极限。
等价于:对任意给定的无论多么小的正数,
总存在 xn 使得 1nx ( 1
)
比较以下两种说法你能得出什么结?
.11
1,:)1( 无限接近于无限增大时当n
xn n
,100
1给定 ,
100
11
n由 ,100时只要 n ,
100
11 nx有
,1000
1给定 ,1000时只要 n
,10000
11 nx有,
10000
1给定 ,10000时只要 n
,1000
11 nx有
,0给定 .1 成立有 nx
并且 xn 以后的各项都满足( 1 )式。例如
定 义 如 果 对 于 任 意 给 定 的 正 数 ( 不 论 它 多 么 小 ) ,
总 存 在 nx , 使 得 ax n ( 1 ) 并 且 nx 以 后 的
所 有 项 均 满 足 ( 1 ) 式 , 那 末 就 称 常 数 a 是 数 列 nx 的
极 限 , 记 为
,lim ax nn
或 ).( nax n
如果数列有极限 称它是收敛的。没有极限 , 就说数列是发散的 .
定 义 如 果 对 于 任 意 给 定 的 正 数 ( 不 论 它 多 么
小 ) , 总 存 在 正 数 N , 使 得 对 于 Nn 时 的 一 切 nx ,
不 等 式 ax n 都 成 立 , 那 末 就 称 常 数 a 是 数 列
nx 的 极 限 , 或 者 称 数 列 nx 收 敛 于 a , 记 为
,lim ax nn
或 ).( nax n
如果数列没有极限 , 就说数列是发散的 .
注意: ;.1 的无限接近与刻划了不等式 axax nn
..2 有关与任意给定的正数N
或者叙述为
数列极限的定义未给出求极限的方法 .
例 1 .1)1(
lim1
n
n n
n证明
证 1nx 1)1( 1
n
n n
n
1
,0任给 n
xn1
1因为 ,1
n
所以 , ,1时当
n
1)1( 1
n
n n
就有 .1)1(
lim1
n
n n
n即
注意:
例 2 .lim),( CxCCx nnn
证明为常数设
证
Cxn CC ,成立
,0任给
所以 ,
0
,n对于一切自然数
.lim Cxnn
说明 : 常数列的极限等于同一常数 .
例 3 证明 2)1
2(lim nn
证明 对任意给定的 >0 ,由
nn
12
12 <
1
n
所以,当取大于 的自然数 n ,必有1
21
2 n
因此 2)1
2(lim nn
截丈问题:
“ 一尺之棰,日截其半,万世不竭”
给出每日所剩木棒长度组成的数列,观察其极限。
思考题