常微分方程

§4.3 解对初值的连续性和可微性定理

常微分方程

2

0 0

( , ), ( , ) (1)

( )

dyf x y

x y G Rdxy x y

考察考察

的解 对初值的一的解 对初值的一些基本性质些基本性质

0 0( , , )y x x y

解对初值的连续性 解对初值和参数的连续性 解对初值的可微性

内容内容 ::

常微分方程

y

x

G

0 0( , )x y

0 0( , , )y x x y

0 0( , )x y

0 0( , , )y x x y 图例分析图例分析 (( 见见右右 ))

2

0 0

( , ), ( , )

( )

dyf x y

x y G Rdxy x y

解可看成是关于 0 0, ,x x y

的三元函数 0 0( , , )y x x y

满足 0 0 0 0( , , )y x x y

1 1( , )x y

解对初值的对称性 : 0 0( , , )y x x y0 0( , , )y x x y

前提前提

解存在唯一

例 : 00

0 0( )

x x

dyy

y y edxy x y

初值问题的解不单依赖于自变量 ,同时也依赖于初值 .初值变动 , 相应的初值问题的解也将随之变动 .…………

0 0( , )x yx

Q:Q: 当初值发生变化时当初值发生变化时 ,, 对应的解是如何变化的对应的解是如何变化的 ??

当初始值微小变动时当初始值微小变动时 ,, 方程的解变化是否也是很小呢？方程的解变化是否也是很小呢？

常微分方程

证明 ,)()1.3( 100 xyxy 值的解存在区间内任取一满足由

),,,( 0011 yxxy 则由解的唯一性知 ,

,),(),()1.3( 0011 的解是同一条积分曲线与过点过点 yxyx

即此解也可写成 : ),,,( 11 yxxy

且显然有 : ),,,( 1100 yxxy ,),( 11 是积分曲线上任一点由于点 yx

。yx

yxxy

均成立点对该积分曲线上任意因此关系式

),(

),,( 00

常微分方程

按解的存在范围是否有限按解的存在范围是否有限 ,, 又分成下面两个问又分成下面两个问题题 ::Q1:解在某有限闭区间 [a,b] 上有定义 , 讨论初值 的

微小变化对解的影响情况 , 称为解对初值的连续性 . 内容包括 : 当初值发生小的变化时 , 所得到的解是否仍在 [a,b]

上有定义以及解在整个区间 [a,b]上是否也变化很小 ?

0 0( , )x y

Q2:解在某个无限闭区间 上有定义 , 讨论初值 的微小变化是否仍有解在 上有定义 , 且解在整个区间 上变化也很小 ? 这种问题称为解的稳定性问题 , 将在第六章中讨论 .

0 0( , )x y[ , )a

[ , )a

[ , )a

常微分方程

一 解对初值的连续性一 解对初值的连续性

定义 设初值问题

)1.3.4(,)(

),(

00

yxy

yxfdx

dy

,],[),,( 00 上存在在区间的解 bayxxy

使得对于满足如果对 ,0),,(,0 ba22

002

00 )()( yyxx

),,( 00 yx的一切

1.解对初值的连续依赖性

常微分方程

并且上存在都在区间的解 ,],[),,( 00 bayxxy

],[,),,(),,( 0000 baxyxxyxx

).,(

),(),,()1.3.4(

00

0000'

yx

yxyxxy

连续依赖于初值

在点的解则称初值问题

'

00

)1.3.4(,)(

),(

yxy

yxfdx

dy初值问题

常微分方程

引理 引理 如果函数 于某域如果函数 于某域 GG内内连续，且，且关于 y 满足利普希茨条件（利普希茨常数为（利普希茨常数为 LL ），则对方程 的），则对方程 的

任任

意两个解 及 意两个解 及 ,, 在它们的公共存在区间内成立着不在它们的公共存在区间内成立着不

等式 等式 .. 其中 为所考其中 为所考虑虑

区间内的某一值。区间内的某一值。

( , )f x y

( , )dy

f x ydx

( )x ( )x

0x0

0 0( ) ( ) ( ) ( ) L x xx x x x e

证明 令上均有定义在区间设 ,],[)(),( baxx ],[,))()(()( 2 baxxxxV

)(' xV则

))()((2 xx ))()((2 xx ))()(( '' xx

))(,())(,(( xxfxxf

常微分方程

))(,())(,())(()((2)(' xxfxxfxxxV

))()(())()((2 xxLxx )(2 xLV

于是 0))(( 2 LxexVdx

d

有因对 ],[0 bax bxxexVxV xxL

0)(2

0 ,)()( 0

，xxa 类似可证对 0 因此

],,[,)()( 020 baxexVxV xxL

两边取平方根即得],,[,)()()()( 0

00 baxexxxx xxL

常微分方程

2 2 20 0 0 0( ) ( )x x y y

2 2 定理定理 1 (1 ( 解对初值的连续依赖性定理解对初值的连续依赖性定理 ))

0 0 ( , )x y G0 0 ( , , )y x x y

y( , )f x y条件条件 :: I.I. 在在 GG 内连续且关于 满足局部内连续且关于 满足局部 LLips.ips. 条件条件 ;;

II. II. 是是 (1)(1) 满足 的解满足 的解 ,, 定义定义 区间为区间为 [[a,ba,b].].

0 ( , , )a b0 结论结论 :: 对对 , , 使得当使得当

0 0 ( , , )y x x y0 0( , )x y

0 0 0 0 ( , , ) ( , , ) , .x x y x x y a x b

时时 ,, 方程方程 (1)(1) 过点 的解 在过点 的解 在 [[a,ba,b]] 上也有上也有

定义定义 ,, 且 且

2 1 ( , ) , ( ) ), (dy

f x y x y G Rdx

方程方程

常微分方程

x

y

0

0 0( , )p x y

a b

min( , / 2)

0x

0y0y

0x

G

D

思路分析：思路分析：

常微分方程

记积分曲线段记积分曲线段 SS ：：显然显然 SS是是 xyxy平面上的有界闭集平面上的有界闭集 ..

0 0 ( , , ) ( ), [ , ]y x x y x x a b

第一步第一步 ::找区域找区域 DD,, 使 使 ,, 且 在且 在 DD 上满足上满足 LLips.ips. 条件条件 ..S D ( , )f x y

y

x

G

0 0( , )x y0 0: ( , , )S y x x y

iC

((见下图见下图 ))

由已知条件由已知条件 ,, 对 对 ,, 存在以它为中心的圆 存在以它为中心的圆 ,, 使使 在其内在其内满足满足 LLips.ips. 条件条件 ,, 利普希茨常数为 利普希茨常数为 .. 根据有限根据有限覆盖定理覆盖定理 ,, 存在存在 NN,, 当 时当 时 ,, 有有

( , )x y S iC G

( , )f x y iL

1

N

ii

G C

S G G

对 对 ,, 记记0 ( , ), min , / 2d G S

则以 为半径的圆则以 为半径的圆 ,, 当其圆心从当其圆心从 SS 的的左端点沿左端点沿 S S 运动到右端点时运动到右端点时 ,, 扫过扫过的区域即为符合条件的要找区域的区域即为符合条件的要找区域 DD

1max , , NL L L G

ba

常微分方程

x

y

0

0 0( , )p x y

a b

min( , / 2)

0x

0y

G

D

常微分方程

x

y

0

0 0( , )p x y

a b

min( , / 2)

0x

0y0y

0x

G

D

第二步第二步 ::证明 在证明 在 [[a,ba,b]] 上有定义上有定义 ..0 0( ) ( , , )x x x y

dc假定 假定 利用引理利用引理 22 及 的连续性可得及 的连续性可得 ::( )x[ , ] [ , ]c d a b

( ) ( ) , (*)x x c x d

常微分方程

0

0 0( ) ( ) ( ) ( )L x x

x x x x e 0

0 0 0 0( ( ) ( ) ( ) ( ) )L x x

x x x x e )(

0000 ))()(( abLexxyy )(

1)( abLe )(12

abLe

10202)(

1 )()(,,,2

1 xxxxe abL 时当对

},min{0,)()(: 2122

02

0 yyxxR

Ryx ),( 00

第三步第三步 ::证明证明 ( ) ( ) ,x x a x b

在不等式在不等式 (*)(*) 中将区间中将区间 [[c,dc,d]]换成换成 [[a,ba,b]] 即得即得 ..

连续由于 )(x

常微分方程

根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性 ,, 显然有显然有 ::

3 3 定理定理 22 ( ( 解对初值的连续性定理解对初值的连续性定理 ))

y( , )f x y条件条件 :: 在在 GG 内连续且关于 满足局部内连续且关于 满足局部 LLips.ips. 条件条件 ;;

2 1 ( , ) , ( ) ), (dy

f x y x y G Rdx

方程方程

结论结论 ::

在它的存在范围内是连续的在它的存在范围内是连续的 ..

0 0 ( , )x y G0 0 ( , , ),y x x y ,, 作为 的函数作为 的函数0 0, ,x x y

常微分方程

证明 ,),( 00 Gyx 对

,),(),(),,(

),()1.3.4(

000000

00

上定义于的饱和解过yxxyxyxxy

yx

令 },),(),,(),(|),,{( 00000000 GyxyxxyxyxxV ,),,( 00 内连续在下证 Vyxxy

,),,( 00 Vyxx 对],[,,],[),,(],,[ 000 baxxbayxxyba 其中上有定义在使

使当对 ,0,0 1

时,)()( 21

200

200 yyxx

],[,2

),,(),,( 0000 baxyxxyxx

常微分方程

,],[),,( 00 连续在而 baxyxxy

使当故 ,02 时2 xx

],[,,2

),,(),,( 0000 baxxyxxyxx

则只要取 },,min{ 21

就有,)()()( 2200

200

2 yyxxxx

),,(),,( 0000 yxxyxx

),,(),,( 0000 yxxyxx ),,(),,( 0000 yxxyxx

常微分方程

二 解对初值的可微性二 解对初值的可微性的微分方程对含参量

)1.3.4(),,,( yxfdx

dy

条件满足局部内一致地关于且在连续

在区域设

LipschitzyG

GyxyxGyxf

,

)},(,),(|),,{(),,(

),),,(

,),,(,),,((

无关与条件满足内对在使为中心球以即对

LLipschitzyCyxf

GCyxGyx

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0

( , ), (3.1) ( , , )

, ( , , , )

( , , , ).

x y G

y x x y

y x x y

则对 方程 通过点

的解存在且唯一 记这个解为

且有

常微分方程

1 1 解对初值和参数的连续依赖定理解对初值和参数的连续依赖定理

,,

,),()1.3.4(

),,,(,),,(,

,),,(

0

00

000000

bxa

bxayx

yxxyGyxLipschitz

yGGyxf

其中义上有定在区间的解通过点方程

条件局部满足内一致地关于且在连续在区域设

使当则对 ,0),,(,0 ba

220

200

200 )()()( yyxx

且上也有定义

在区间的解通过点方程时

,

),,,(),()1.3.4(, 0000

bxa

yxxyyx

bxayxxyxx ,),,,(),,,( 00000

常微分方程

2 2 解对初值和参数的连续性定理解对初值和参数的连续性定理

.,,,

),,,()1.3.4(,

,),,(

00

00

内是连续的的函数在它们存在范围作为的解则方程条件局部

满足内一致地关于且在连续在区域设

yxx

yxxyLipschitz

yGGyxf

3 3 解对初值可微性定理解对初值可微性定理

.

,,),,()1.3.4(

,),(

0000

在范围内是连续可微的的函数在它们存作为的解

则方程内连续都在区域以及若函数

yxxyxxy

Gy

fyxf

常微分方程

证明 ,内连续在由于 Gy

f

,),( 条件满足局部内关于在故 LipschitzyGyxf

因此 ,解对初值的连续性定理成立 ,即),,( 00 yxxy

.,, 00 是连续的在它的存在范围内关于 yxx

.,,

),,(,

00

00

存在且连续的任一点偏导数

在它的存在范围内函数下面证明

yxx

yxxy

.),,( 显然存在且连续xf

x

常微分方程

.0

存在且连续先证y

所确定的解分别为和设由初值 ),(),( 00000 yyxyx

,),,( 00 yxxy ,),,( 000 yyxxy

即 ,),(0

0 x

xdxxfy

和 ,),(0

00 x

xdxxfyy

于是 x

xdxxfxfy

0

)),(),((0

0y

x

xdx

y

xf0

)())(,(

常微分方程

有的连续性及注意到其中 ,,.10 y

f

y

xf ))(,( 1

),(r

y

xf

.00,00 1010 ryry 时且时这里当

有因此对 00 y

0y

x

xdx

yr

y

xf0

01

)(]

),([1

0yz

设

常微分方程

x

xzdxr

y

xfz

0

]),(

[1 1

即0y

z

是初值问题 zry

xf

dx

dz]

),([ 1

1)( 0 xz

)3.3.4(

的解 , .,00 上述初值问题仍然有解时显然当 y

根据解对初值和参数的连续性定理

则

常微分方程

从而存在的连续函数是知 ,,,, 0000

yzxxy

z

0000

limyyy

是初值问题而0y

z

y

xf

dx

dz

),(

1)( 0 xz

的解 , 不难求得)

),(exp(

00

x

xdx

y

xf

y

.,, 00 的连续函数显然它是 yxx

常微分方程

所确定的解分别为和设由初值 ),(),( 00000 yxxyx

,),,( 00 yxxy ,),,( 000 yxxxy

即 ,),(0

0 x

xdxxfy

和 ,),(00

0

x

xxdxxfy

于是

x

x

x

xxdxxfdxxf

000

),(),(

00

0

),(xx

xdxxf

x

xdx

y

xf0

)())(,(

.0

存在且连续同样可证x

常微分方程

有的连续性及注意到其中 ,,.10 y

f

y

xf ))(,( 1

),(r

y

xf

类似有时且时这里当 .00,00 1010 rxrx

2000

),(),(1 00

0

ryxfdxxfx

xx

x

有因此对具有相同性质与其中 0, 021 xrr

常微分方程

x

xdx

xr

y

xfryxf

x 00

12000

)(]

),([]),([

即0x

z

是初值问题 zry

xf

dx

dz]

),([ 1

02000 ),()( zryxfxz

)3.3.4(

的解 , .,00 上述初值问题仍然有解时显然当 x

根据解对初值和参数的连续性定理

常微分方程

从而存在的连续函数是知 ,,,, 0000

xzxxx

z

0000

limxxx

是初值问题而0x

z

y

xf

dx

dz

),(

),()( 000 yxfxz

的解 , 不难求得

)),(

exp(),(0

000

x

xdx

y

xfyxf

x

.,, 00 的连续函数显然它是 yxx

常微分方程

)),(

exp(),(0

000

x

xdx

y

xfyxf

x

)),(

exp(0

0

x

xdx

y

xf

y

)1.3.4(,)(

),(

00

yxy

yxfdx

dy初值问题

,),,( 00 有的解 yxxy

常微分方程

例 1 xy

dx

dysin

试求

已知方程

.]),,(

[,]),,(

[ 00

0

0000

0

00 0

0

0

0

xy

xy y

yxxy

x

yxxy

解 .cos),(,cos),( 平面上连续在xyxyxyxfxyyyxf yx

.,

,,),,(sin 0000

平面上连续可微在的函数

作为的解方程

xy

yxxyxxyxydx

dy

由公式得

00

0

00 0

0]),,(

[ xyy

yxxy 00

0

00

)),(

exp(

xy

x

xdx

y

xf

)),(

exp(0

0

x

xdx

y

xf

y

常微分方程

)))0,0,(cos(exp(0x

dxxxx

)0)0,0,(,0)0(,0( xyy 且满足是原方程的解易见

)exp(0xxdx

2

2

1x

e

00

0

00 0

0]),,(

[ xyx

yxxy

0000

0

00

)]),(

exp(),([

x

y

x

xdx

y

xfyxf

)exp()0,0(0xxdxf 0

)),(

exp(),(0

000

x

xdx

y

xfyxf

x

)))0,0,(cos(exp()0,0(0x

dxxxxf