1

那么如何描述一条曲线的连续形态呢？

§1.4 连 续

自然界中很多现象都是连续不断的变化的，

比如气温的变化、青少年身高和体重的变化等，

都是随着时间 t 在连续不断的变化的，反应在数

学上就是函数的连续性。

2

或 0

0lim[ ( ) ( )] 0x x

f x f x

即 0

0lim ( ) ( )x x

f x f x

--①

1. 连续与间断

定义1.4.1. 称函数 )(xf 在点 0x 处是连续的, 如果它满足

(1) )(xf 在 0x 处有定义;

(2) )(xf 在 0x 处的极限存在, 即 ;)(lim0

Axfxx

即 ).( 0xfA

0x若函数 )(xf 在 处连续, 则称 0x 为 )(xf 的连续点.

(3) )(xf 在 处的极限值等于函数值, 0x

3

间断: 不满足连续定义(三条), 就说在 0x 点不连续,

也称 )(xfy 在 0x 点间断.

0x 叫做 )(xfy 间断点或不连续点.

4

故得连续性概念的实质：

0lim0

yx

增量的概念：

附近的一点，为设 0xx0x-xx 记 的增量为在点称 0xx

)()( 0x-fxfy 对应的函数增量在点称为 0)( xxf

时，当 0x 0x

5

由 ① 式可看出 )lim()(lim00

xfxfxxxx

即对连续函数而言, 极限符号 lim“ ” 与函数符号“ ” f 的先后

顺序可交换.

在区间上连续性： 若函数 )(xf 在开区间 ),( ba 内每一点

处都连续, 则称 )(xf 在开区间 ),( ba 内连续.

若函数 )(xf 在开区间 ),( ba 内连续, 并且在区间的左端点处

是右连续. )),()(lim(0

afxfax

在区间的右端点 b 处左连

续 )),()(lim(0

bfxfbx

则称 )(xf 在区间 ],[ ba 上是连续的.

若一个函数 )(xf 在它的定义域的每一点都是连续的, 则称为

连续函数.

6

xxxy sinsin

设x是区间 ),( 内任意一点，当x有增量 x

xxxy sinsin

故 时，0x 0y

所以 siny x 上连续),(在

siny x例

基本初等函数在定义域内是连续的

2cos

2sin2

xx

x

2cos

2sin2

xx

x

2sin2

x x

7

例1.4.1

( ) 0 ( ) ( )

, , ( ) , .

f x x f x y f x f y

x y f x

若函数 在 点连续，且 对任意的

都成立，试证 为 上的连续函数

证 , ,x 由已知条件知，对 有

0 0,f 所以

,x 从而，对任意 有

,f x 在 上连续.

0f x f

0

lim 0 0x

f x f

0 0

lim ( + ) lim ( ) ( )x x

f x x f x f x

0f x f x

( )f x

0f x x 又因为 在 点连续，即有

8

x

xxf

sin)( 例1.4.3 讨论函数 在点 0x 处的连续性.

解:因为 )(xf 在 0x 处无定义. 所以 0x 是 )(xf

的间断点.

1sin

lim0

x

x

x 0x 是可去间断点.

若补充定义 ,1)0( f 则函数

0 1

0 sin

)(

x

xx

x

xg

则函数 )(xg 在 0x 处连续.

可去间断点的条件?

9

例1.4.4 讨论函数 x

xf1

sin)( 在点 0x 的连续性.

38( )P

例 1

1)(

xxf 1x

因为 ,1

1lim

01

xx

1

1lim

01 xx

1x 称为无穷间断点.

0

y

x 1

x=0称为震荡间断点

10

跳跃间断点

.)(

),0()0(,

,)(

000

0

的跳跃间断点

为函数则称点但存在

右极限都处左在点如果

xf

xxfxf

xxf

可去间断点

.)(

)(),()(lim

,)(

0

00

0

0

的可去间断点为函数义则称点

处无定在点或但

处的极限存在在点如果

xfx

xxfxfAxf

xxf

xx

0 ,1

0 1,)(

2

xx

xxxg例 0x

11

跳跃间断点与可去间断点为第一类间断点.

特点: .,0 右极限都存在处的左函数在点x

可去型 第一类间断点

跳跃型

0

y

x 0x0

y

x 0x

间断点的分类

12

0

y

x

无穷型 振荡型

第二类间断点

0

y

x 0x

第二类间断点

.

)(,

,)(

0

0

类间断点

的第二为函数则称点至少有一个不存在

右极限处的左在点如果

xfx

xxf

13

),()(lim 00

xfxfxx

)()(lim 00

xgxgxx

由极限的运算法则得

)]()([lim0

xgxfxx

)(lim)(lim00

xgxfxxxx

)()( 00 xgxf

0x所以 )()( xgxf 在点 处是连续的.

(和、差、积可推广到有限个函数的情形）

证明: )(xf 与 )(xg 在点 0x 处连续

2. 连续函数的运算法则.

定理1.4.1 若函数 )(xf 与 )(xg 都在同一点 0x 处连续, 则

),()( xgxf ),()( xgxf )0)( ( )(/)( 0 xgxgxf

也在点 0x 处连续.

14

定理1.4.2. (反函数的连续性)

如果函数 xI在区间 上单调增加（或单调减少） )(xfy

那么它的 反函数 )(1 yfx 也在对应的区间

xy IxxfyyI ),( 上单调增加（或单调减少）

且连续，

且连续.

)(xfy

x

y

o

)),(( xxf

))(,( xfx

)(1

xfy

15

复合函数极限的运算法则:

定理1.4.3 设函数 )(xu 当 0xx 时的极限存在且等于

a , 即 ,)(lim0

axxx

而且函数 )(ufy 在点 au 处连

续,

即 )()]([lim0

afxfxx

)](lim[0

xfxx

从此定理可看出:

(1)求 )]([ xf 的极限时, 极限符号与函数 符号可以交换次序.

(2) )(lim)]([lim0

ufxfauxx

即在该定 理条件下, 作代换

)(xu 可将求 )]([lim0

xfxx

转化为求 )(lim ufau

)(lim0

xaxx

其中

自变量的其它变化过程亦可

时的极限也存在，当那么复合函数 0)( xxxfy

）（并且等于发 af

16

例1.4.6 求 9

3lim

23

x

x

x

解: 函数 9

32

x

xy 是由 ,uy 复合而成

9

32

x

xu

6

1

9

3lim

23

x

x

x 函数 uy 在

6

1u 处连续.

9

3lim

23

x

x

x 9

3lim

23

x

x

x 6

1

6

6

17

证明: 令 ),( 00 xua )(x 在点 0x 连续.

)]([lim0

xfxx

)( 0uf )]([( 0xf

所以复合函数 )]([ xf 在点 0x 连续.

由前面知道：基本初等函数在其定义域区间内都是连续的.

0uu 在点 )(ufy 连续, 则复合函数 )]([ xfy 在点

0xx 也是连续的.

推论: (复合函数的连续性)

设函数 )(xu 在点 0xx 连续, 且 ,)( 00 ux 而函数

结论: 初等函数在其定义域区间内都是连续的.

18

例1.4.2.. 讨论函数 在

0 1

0 1)(

2 xx

xxxf 其定义域

),( 内的连续性.

解: )(xf 在 )0,( 内连续,

在 ),0( 内连续. 且

)(lim00

xfx

)1(lim00

xx

1

)(lim00

xfx

)1(lim 2

00

x

x1

1)(lim0

xfx

)0(f 所以函数在 0x 处连续.

x

y

o

1

1

19

例1.4.7. 求 x

xx

x arctan4

)2ln(lim

2

1

解: 函数在 1x 处 , 且是连续点.

x

xx

x arctan4

)2ln(lim

2

1

1arctan4

)12ln(1

1

例1.4.8 求

x

x

x

1lnlim

0

解: 函数在 0x 处无定义 , 但

xxx

xx

x 1

1ln1ln11ln

20

而 ex xx

1

01lim 且 uuf ln 在 e 点连续,

x

xxx

x

x 1

001lnlim

1lnlim

x

xx

1

01limln eln 1

即 0x 时, x1ln ～ x

即 0x 时, x1ln ～ x

21

例1.4.9 求

x

ex

x

1lim

0

解: 设 1 xey 1 yex )1ln( yx

当 0x 时 0y

x

ex

x

1lim

0

y

y

y

1lnlim

0 y

yy

101ln

1lim

yy

y1

01limln

1

eln

1 1

1 0 xex 时， ～ x

～ 1 xe x即 0x 时,

22

例: 求 x

xx

cot

1sin1lim

xxx

x

x

xex

sin

1

)sin1ln(cos

1

cot

1limsin1lim

x

xxxx

e sin

1

11)sin1ln(limcoslim

x

xxxx

e sin

1

11)sin1(limlncoslim

ee ln11 e

23

3. 闭区间上连续函数的性质

定理1.4.4(最大最小值定理)若函数 )(xf 在闭区间

ba, 上连续,则 )(xf 一定有最大值和最小值, 即一定

存在点 ,,, 21 baxx 使得对于 ba, 上的一切点 x都

有 xfxfxfbxa

max)( 1

xfxfxfbxa

min)( 2

21, xx 分别称为函数的最大值点与最小值点. 21),( xfxf

分别称为 )(xf 在区间 ba, 上的最大值与最小值.

注： 闭区间，连续函数，这两个条件是重要的（例）

24

证明:设函数 )(xf 在闭区间 ba, 上连续,一定存在 M 与

m ,使得对于 ba, 上任一 x , 都有 ,)( Mxfm

令 ,,max mMk

则对于任一 ,,bax 均有 ,kxf

所以函数 )(xf 上有界. 在 ba,

推论(有界性定理)闭区间上连续函数一定在该区间上有界.

25

定理1.4.5(介值定理)设函数 )(xf 在闭区间 ba, 上连续,

则对于 )(af 与 )(bf bfaf 之间的任何数 ,c 在

开区间 ba, 内至少存在一点 , 使 ,cf ba, .

几何意义: 闭区间 ba, 上连续函数

)(xf 的图象与水平直线 cy

至少有一个交点.

推论1. 在闭区间 ba, 上连续的函数 )(xf , 必然取得介于最

大值 M 与最小值 m 之间的任何值.

y

xo a b

c)(xfy

1 2 3

26

设 ),( 1xfm ),( 2xfM 而 Mm , 在闭区间

21, xx 或 12 , xx 上应用介值定理, 即得此结论.

推论2 (根的存在定理）：设函数 )(xf 在闭区间 ba, 上

连续，且 ,0)( bfaf 则在开区间 ba, 内至少存在

一点 ，使 .0f （零点定理）

证： ,0)( bfaf )(af 与 )(bf 异号， 不妨设

,0)( af ,0)( bf 因为 0 是介于 )(af 与 )(bf 之间的

一个数，由介值定理知， 存在 ba, ，使得 .0f

27

例1.4.10 3 6 2 0x x 估计方程 根的大概位置.

3 6 2,P x x x P x 令 显然 是连续函数，又

3 7 0, 2 6 0,P P

0 2 0, 1 3 0,P P

2 2 0, 3 11 0,P P

3, 2 , 0,1 , 2,3 由根的存在定理知，方程在 内

最少各一个根；又方程是三次方程，最多有三个

根，这就确定了根的存在范围.

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汉英名词对照表

连续 continuous

连续点 continuous point

连续函数 continuous function

间断点 discontinuous point

增量 increment