با چند با لحظاتی چند لحظاتیفیثاغورسفیثاغورس

تهیه و تنظیمتهیه و تنظیم

سعید فرجامیسعید فرجامیمهدی کاجیمهدی کاجی

ba

c

c

ab

b

a

C B

A

D

points A, B, C located on the circle form another right triangle with the altitude AD of length a

bc

c a

:داريم

AB/BC = BD/AB (∆ ABD, ∆ ABC)AC/BC = DC/AC (∆ ADC, ∆ ABC)

ديگر بيان :به

AB·AB = BD·BC & AC·AC = DC·BC

ميكنيم جمع هم با را مساوي طرف دو

AB·AB + AC·AC = BD·BC + DC·BC   = (BD+DC)·BC = BC·BC

ديگر بيان :بهa² = (c + b)(c - b) = c² - b²

ac

b

a’

b’

c’

y

x

d

∆ abc ≈ ∆ a'b'c' ≈ ∆ a'dx ≈ ∆ b'yd ( ززز (حالت: داريم قبل اثبات مانند

y/b = b'/c (∆abc ، ∆b'yd) x/a = a'/c (∆abc ، ∆a'xd)

cy + cx = aa' + bb'

: نهايتا وcc' = aa' + bb'

. ميباشد قبل حالت از تر عمومي حالت اين است ذكر به الزم

E

D

C

BA

L

HG

F

S

R

M

U V

قضيه : تعمیمنباشد الزويه قائم 1 مثلث ABC.ميتواند .

باشند .2 االضالع متوازي ويتوانند ميشوند، ساخته اضالع روي بر كه .اشكالي

Area(CADE) = Area(CAUH) = Area(SLAR)Area(CBFG) = Area(CBVH) = Area(SMBR)

:پس

Area(ABML) = Area(CADE) + Area(CBFG)

C'

B'

A'

C B

A

S(ABC)=S(A'BC)S(ABB')=S(ABC')

)ΔABC ≈ ΔAB’C( B'C = AC²/BC

ΔABC) ≈ ΔAB’C) BC' = AC·AB/BC

L

E

B

G

C

M

A

HC

D

F

ΔABC = ΔFLC = ΔFMC = ΔBED = ΔAGH = ΔFGE

Area(ABDFH) = AC² + BC² + Area(ΔABC + ΔFMC + ΔFLC)

: ديگر طرف از و

Area(ABDFH) = AB² +Area(ΔBED+ΔFGE + ΔAGH)

پس:AC² + BC² = AB²

AB

C

DE

G

F

J

I

H

JH=AD=ED=ABIA=AC=EF=JCADG=EDG=ABH=JHB=45°S(ABHI)= S(DGFE) =S(BHJC)=S(ACGD)S(BHJC)+S(ABHI)=S(ACGD)+S(DGFE)S(∆ HIJ)=S(∆ BEF)

ABC ∆ مشترک

O

M

R

Q

PC

AB

∆ABC=∆PQC

CMمیانه

MB=CM

∆ MBC= ∆ MCB= ∆ PCR & ∆ RPC= ∆ BAC

CRP=90

MJ=b/2 S(∆ MCP)=b2/4

S(∆ MCP)=CM.PR/2=c.PR/4

S(∆ MCQ)=a2/4=c .QR/4

a2/4+b2/4=c.PR/4+c.QR/4=c2/4

AB

C

Px y

x/a=a/cy/b=b/ca2+b2=xc+yc=c(x+y)=c2

ba

c

A

B

C

D

EF

ca

b

AB DE

S(∆ ADE)=c2/2=b.AE/2

AE=b+CE

FE/DF=CE/BC

CE=BC.FE/DF=a.a/b

AE=b+a2 /b

c2/2=b(b+a2/2)/2

b

a

c-b

b

bc

الساقین ∆ DCBمتساوی

DBE=90

(c+b)/a=a/(c-b)

(c+b)(c-b)=a2

D

C

B A

E

b

a

a

b

b

a

c c

c c

b

a

a

b

c

b

b

a

ذوزنقه (2/(2a+2b))=مساحت(a+b)

c

c

c

b

c

c

a

a

b

c

c

b

ذوزنقه 2=مساحت c2/2+4ab/2

2(a+b)2=2c2+4ab

2a2+4ab+2b2=2c2+4ab

a2+b2=c2

cc

b

a

cc

c c