Бъдещи стойности

Въпрос 18Факторът “Време” в инвестиционния анализ. Бъдеща и настояща стойност на еднократни суми и на серия от еднакви суми

Бъдещи стойности

Изчисляването на бъдещи стойности е необходимо при търсене на отговор на редица въпроси:

• С колко ще нарасне инвестираният сега капитал към определен момент в бъдеще?

• Дали инвестициите в други активи няма да осигурят по-голям прираст?

• Дали доход от инвестициите е достатъчен за да покрие плащанията по получения заем за инвестиране?

Изчисляване на бъдещи стойности

• процес на сложно олихвяване, т.е. изчисляване на нарасналата стойност на една инвестиция при допускането, че и лихвата, начислена в предходния период, също носи лихва

• междинните доходи от началните инвестиции се реинвестират за да донесат доход при същата норма на доходност

Бъдеща стойност на единична инвестиция

FV = Co.(1+r)n, където:FV е бъдещата стойност на еднократната

инвестиция след n години, лв.Со - инвестирана сума в настоящия момент, лв.r - норма на доходност на алтернативни

инвестиции за периода, процент представен като част от 1,0

n - брой години през периода на сложно олихвяване

Фактор (коефициент) за сложно

олихвяване FVIFr,n

Изразът (1+r)n е известен като фактор (коефициент) за сложно

олихвяване или сложнолихвен фактор. Стойностите на този фактор за различни

комбинации на r и n могат да се намерят в съответните приложения на икономическата литература

Стойностите на фактора се интерпретират като бъдещи стойности на 1 лв. в края на период, съставен от n интервала

Бъдещи стойности при използуване на

периоди, по-малки от година

Нарастването на първоначалната инвестиция може да се изчислява не само годишно, но и:

• на шестмесечие• тримесечие• месечно и т.н.

Изчисляване на бъдеща стойност за период от една година

където: Со е първоначалната инвестиция, лв; r - обявеният номинален годишен

лихвен процент, част от 1,0 m - честота на олихвяванията през

една година, броя

FV =C . 1rm

,o

m

Изчисляване на бъдеща стойност за период от n година

където: n е броя на годините, за които

се изчислява бъдещата стойност

FV =C . 1rm

,o

mn

Изчисляване на действителния годишен лихвен процент (i)

1m

mr

+1=i

Номинални и действителни лихвени проценти

Действителен годишен процент Номинален годишен процент

Годишно олихвяване

(m=1)

Олихвяване на 6 месеца

(m=2)

Олихвяване на тримесечие

(m=4)

Месечно олихвяване

(m=12)

8 8 8,16 8,24 8,30

10 10 10,25 10,38 10,43

12 12 12,36 12,55 12,68

Непрекъснато олихвяване

Някои банки и фирми могат да въведат плащания и на основата на непрекъснато олихвяване.

Тогава приемаме, че m клони към безкрайност,тогава изразът

1+rm

m

клони към 2,718 . r (2,718 е основа на натуралните

логаритми)

Непрекъснато олихвяване (продължение)

Общата формула за бъдеща стойност на еднократна инвестиция при непрекъснато олихвяване в продължение на n години е:

където:е е основа на натуралните логаритмиr - приетия процент за непрекъснато

олихвяване

rneCFVn .0

Изчисляване на настоящи стойности (PV)

• Процес на дисконтиране на бъдещи парични постъпления, т.е. установяване ценността им за инвеститора в сегашния момент

• Въпросът се свежда до определяне величината на отбива от номиналните стойности в бъдеще така, че да се отрази различната цена на парите във времето

• Величината на отбива зависи и от нормата на доходност, която би постигнал инвеститора ако разполагаше сега със "замразените" инвестиции и ги насочеше към алтернативни направления.

Изчисляване на настоящи стойности (PV) (продължение)

При изчисляване на настоящи стойности е необходима информация за:

• величината на паричната сума или на паричните суми

• момента в бъдещето, в който тези суми се появяват

• нормата на доходност на алтернативните инвестиции

Изчисляване на настоящата стойност на платена или получена единична парична сума след n години

където:Cn е сумата, която се очаква да се получи

или изплати след n години, лв;n - индекс на годината, като се брои от сега

нататък, в която ще се появи сумата С

PV =

C

1+r,n

n

Фактор за дисконтиране (PVIFr,n)

Изразът

1

1+rn

се нарича “фактор за дисконтиране”.Стойностите на PVIF за различни

комбинации на r и n могат да се намерят в специализирани таблици

Постоянният безкраен поток от парични суми (perpetuity)

Постоянният безкраен поток от парични суми (perpetuity) означава, че всяка година се изплаща или получава една и съща сума без условие за ограничаване на периода, за който е поето това задължение.

Настоящата стойност на такъв поток се изчислява по формулата:

PV =

C1+r

C

1 r

C

1 r.....,2 3

• Този израз представлява намаляваща геометрична прогресия.

• Известно е, че, геометричната прогресия съдържа безкраен брой членове, но сумата им е определена, понеже стойността на всеки член е част от стойността на предходния член

Изчисляване на настояща стойност на перпетюитет

където: С е постоянна сума, изплащана

или получавана всяка година, лв; r - норма от доходност, част от 1,0.

PV =Cr

Настояща стойност на нарастващ перпетюитет

В някои случаи се допуска, че паричната сума С ще расте всяка година с определен темп g

Изчисляване на настояща стойност на нарастващ перпетюитет

Настоящата стойност на такъв безкраен поток от растящи парични суми (growing perpetuity) се представя с израза:

...r1

g1C....

r1

g1C.

r1

g1C.r+1

C = PV n

1n

3

2

2

Изчисляване на настояща стойност на нарастващ перпетюитет (продължение)

Чрез математически преобразувания този израз се опростява до следната формула:

PV =C

r - gкъдето:С е паричната сума, която се очаква да се

получи след една година от настоящия момент, лв.

g - темп на растеж, част от 1,0

Изчисляване на настояща стойност на нарастващ перпетюитет (продължение)

Използуването на формулата е коректно при следните допускания:

• настоящата стойност е определена само ако нормата на доходност r е по-голяма от темпа на растеж g

• в) всяка сума С се получава или изплаща в края на съответната година

Настояща стойност на анюитет

• Под анюитет (annuity) обикновено се разбира поток от равни парични суми, които ще бъдат получавани или плащани в продължение на определен брой години

• В практиката се срещат много примери на такива потоци: • лизингови вноски• пенсии• плащания по дългосрочни заеми

Настояща стойност на анюитет (продължение)

Да се изчисли настоящата стойност на серия от по 250 лв., получавани в края на всяка от следващите 6 години, при процент на дисконтиране 6%

t1 t2 t3 t4 t5 t0 t6

250 250 250 250 250 250

t7 t8 t9

…..

8

250 250 250 250


• Търсената стойност ще се изчисли като разлика между настоящата стойност на два парични потока:

• 1. Перпетюитет в края на периода, с първа сума, получена в t1

• 2. Перпетюитет в края на периода, с първа сума, получена в t7


Настоящата стойност и на двата парични потока може да се изчисли по формулата:

Настоящата стойност на втория паричен поток трябва допълнително да се осъвремени от t6 до t0

rC

=PV


В резултат се получава изразът:

След преобразувания се получава:

nr1

1

r

C

r

C=PV

nr1r

1r1

Ñ=PV


Изразът в големите скоби е известен като дисконтов анюитетен фактор (PVIFAm)

nm

r1r

1r1

=PVIFA

Бъдещи стойности

Documents