Комбинаторика. Вероятность. Выполнила : Николаева М. В
DESCRIPTION
Комбинаторика. Вероятность. Выполнила : Николаева М. В. Теория Вероятности Главные понятия:. Событие – это факт, который может произойти в результате испытания. Испытание – это осуществление определённого комплекса условий. Виды событий. Различают события. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Комбинаторика. Вероятность. Выполнила : Николаева М. В](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062408/568137a3550346895d9f4a2b/html5/thumbnails/1.jpg)
![Page 2: Комбинаторика. Вероятность. Выполнила : Николаева М. В](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062408/568137a3550346895d9f4a2b/html5/thumbnails/2.jpg)
Теория Вероятности
Главные понятия:
Событие – это факт, который может произойти в результате испытания
Испытание – это осуществление определённого комплекса условий
![Page 3: Комбинаторика. Вероятность. Выполнила : Николаева М. В](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062408/568137a3550346895d9f4a2b/html5/thumbnails/3.jpg)
Примеры испытаний Примеры событий
1. Выстрел по мишени.2. Извлечение шара из коробки с
цветными шарами.3. Решение задач на
контрольной работе.4. Бросание игрального кубика.5. Подбрасывание монеты.
1. Попадание в определённую область мишени. Промах.
2. Появление шара определённого цвета.
3. Получение определённого балла за контрольную.
4. Выпадение определённой грани (определённого числа очков от1 до 6).
5. Выпадение орла или решки.
![Page 4: Комбинаторика. Вероятность. Выполнила : Николаева М. В](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062408/568137a3550346895d9f4a2b/html5/thumbnails/4.jpg)
![Page 5: Комбинаторика. Вероятность. Выполнила : Николаева М. В](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062408/568137a3550346895d9f4a2b/html5/thumbnails/5.jpg)
Различают события
![Page 6: Комбинаторика. Вероятность. Выполнила : Николаева М. В](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062408/568137a3550346895d9f4a2b/html5/thumbnails/6.jpg)
![Page 7: Комбинаторика. Вероятность. Выполнила : Николаева М. В](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062408/568137a3550346895d9f4a2b/html5/thumbnails/7.jpg)
Перестановки- это комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающихся только порядком их расположенияn! = 1*2*3*…n (факториал)0!=1Пример: Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр1,2,3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?Ответ: На первом месте может стоять любая из трёх чисел, на втором месте уже любая из 2 чисел, а на третьем только одна. Всего вариантов 3!=6
![Page 8: Комбинаторика. Вероятность. Выполнила : Николаева М. В](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062408/568137a3550346895d9f4a2b/html5/thumbnails/8.jpg)
Задачи1) Несколько стран в качестве символа своего государства решили
использовать флаг в виде 3 горизонтальных полос одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны свой, отличный от других флаг?
2) В семье 6 человек, и за столом стоят 6 стульев. В семье решили каждый вечер, ужиная, рассаживаться на эти 6 стульев по-новому. Сколько дней члены семьи смогут делать это без повторения. ?
2) Десять разных писем раскладывают по одному в десять конвертов. Сколько существует способов такого раскладывания?
2) В коридоре висят 4 лампочки. Сколько имеется различных способов освещения коридора?
![Page 9: Комбинаторика. Вероятность. Выполнила : Николаева М. В](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062408/568137a3550346895d9f4a2b/html5/thumbnails/9.jpg)
Ответы
1) 1*2*3 = 6 комбинаций2) 6*5*4*3*2*1 = 720 различных способов3) 10! = 3628800 способов4) Каждая лампочка может гореть или не гореть,
тогда число всех способов освещения равно 2*2*2*2 = 16
![Page 10: Комбинаторика. Вероятность. Выполнила : Николаева М. В](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062408/568137a3550346895d9f4a2b/html5/thumbnails/10.jpg)
Размещения – это комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.
=Пример: Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?Ответ: Искомое число сигналов
5*6=30 сигналов
=
![Page 11: Комбинаторика. Вероятность. Выполнила : Николаева М. В](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062408/568137a3550346895d9f4a2b/html5/thumbnails/11.jpg)
-
Сочетания – это комбинации,
составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.
=
Пример: Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?Решение: Искомое число способов
=
Ответ: 45 способов
![Page 12: Комбинаторика. Вероятность. Выполнила : Николаева М. В](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062408/568137a3550346895d9f4a2b/html5/thumbnails/12.jpg)
Задачи
1) «Проказница мартышка, Осёл, Козёл и косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». Мишке поручили принести со склада 8 каких- нибудь попавшихся под лапы музыкальных инструментов из имеющихся 13 инструментов. Сколько способов выбора есть у
Мишки?2) Собрание из 80 человек выбирает председателя,
секретаря и трёх членов редакционной комиссии. Сколькими способами это можно сделать?
![Page 13: Комбинаторика. Вероятность. Выполнила : Николаева М. В](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062408/568137a3550346895d9f4a2b/html5/thumbnails/13.jpg)
Ответы
1) = =
= 13*11*9 = 1287 способов
= =
=
= 13*77*76 = 76076
2) Чтобы выбрать председателя – 80 способов, для секретаря – 79 способов. А порядок выбора для комиссии не имеет значения. Сделать это можно способами
Всего способов 6320*76076 = 480800320
![Page 14: Комбинаторика. Вероятность. Выполнила : Николаева М. В](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062408/568137a3550346895d9f4a2b/html5/thumbnails/14.jpg)
Выбор нескольких элементов
![Page 15: Комбинаторика. Вероятность. Выполнила : Николаева М. В](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062408/568137a3550346895d9f4a2b/html5/thumbnails/15.jpg)
Задачи
1)В чемпионате участвовали 7 команд. Каждая команда играла один матч с каждой. Сколько всего было встреч?
2)Встретились 6 друзей и каждый пожал руку каждому своему другу. Сколько было рукопожатий?
3)В классе 27 учеников. К доске нужно вызвать двоих.. Сколькими способами это можно сделать, если а) первый ученик должен решить задачу по алгебре, а второй – по геометрии; б) они должны быстро стереть с доски?
![Page 16: Комбинаторика. Вероятность. Выполнила : Николаева М. В](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062408/568137a3550346895d9f4a2b/html5/thumbnails/16.jpg)
Ответы
1) = 21
2) Первый способ: = 15
Второй способ: Условно переименуем друзей. Первый поздоровался со 2, 3, 4, 5, 6. Всего 5 рукопожатий. Для второго неучтёнными остались рукопожатия с 3, 4, 5, 6. Всего 4 рукопожатия и т. д. Получаем, что рукопожатий было всего 5+4+3+2+1 = 15
1
3
2
4 5
6
2
1
34
5
6
![Page 17: Комбинаторика. Вероятность. Выполнила : Николаева М. В](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062408/568137a3550346895d9f4a2b/html5/thumbnails/17.jpg)
3)Для первого случая порядок выбора важен: например Коля решает по алгебре, Катя – по геометрии, а наоборот уже будет другая комбинация. Тут применимо правило умножения. По алгебре может решить один из 27 учеников, а по геометрии – уже один из оставшихся 26 учеников. Получаем 27*26 = 702 способа. Для стирания с доски порядок вызова учеников не важен, т. е. к примеру, вызов Коли и затем Кати ничем не отличается от вызова Кати и затем Коли.. Поэтому если считать как в первом случае, то любую пару учеников мы посчитаем дважды. Значит количество вызовов без учёта порядка будет ровно в два раза меньше, чем количества вызовов с учётом порядка. Ответ: а) 702; б) 351
![Page 18: Комбинаторика. Вероятность. Выполнила : Николаева М. В](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062408/568137a3550346895d9f4a2b/html5/thumbnails/18.jpg)
Перестановки с повторениями – это комбинации, состоящие из одних и тех же n элементов, из которых некоторые одинаковы, и отличающихся только порядком их расположения.
Пример: Перечислите различные перестановки слова МАМА
Решение: мама, маам, ммаа. Амам, аамм, амма. Ответ: 6 перестановок
![Page 19: Комбинаторика. Вероятность. Выполнила : Николаева М. В](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062408/568137a3550346895d9f4a2b/html5/thumbnails/19.jpg)
Сочетания с повторениями –это комбинации , составленные из n различных элементов, среди которых встречаются одинаковые, по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.
=
Пример: В кондитерском магазине продаётся 4 сорта пирожных: наполеон, эклеры, песочные и слоёные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных? Ответ:
=
= = =120
![Page 20: Комбинаторика. Вероятность. Выполнила : Николаева М. В](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062408/568137a3550346895d9f4a2b/html5/thumbnails/20.jpg)
ВероятностьВероятностью события А называют отношение числа
благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных
элементарных исходов.
Где m – число исходов, , благоприятствующих событию А, n – число всех возможных элементарных исходов
испытания.Свойства вероятности
1) Вероятность достоверного события равна единице.2) Вероятность невозможного события равна нулю.3) Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулём и единицей.
Р(А) =
![Page 21: Комбинаторика. Вероятность. Выполнила : Николаева М. В](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062408/568137a3550346895d9f4a2b/html5/thumbnails/21.jpg)
АлгоритмДля нахождения вероятности случайного события А опыта следует:1)Найти число N всех возможных исходов данного опыта;2) Найти количество N (А) тех исходов опыта, в которых наступает событие А;
3) Найти число N(A)/N; оно и будет равно вероятности события А
ПримерНабирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал её наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.Решение: Пусть событие А – нужная цифра. Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число всех элементарных исходов равно 10. Таким образом, искомая вероятность равна Р(А) =
![Page 22: Комбинаторика. Вероятность. Выполнила : Николаева М. В](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062408/568137a3550346895d9f4a2b/html5/thumbnails/22.jpg)
Правило умножения
Для того чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А на число всех исходов испытания ВПример: В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет все три раза.Решение: По правилу умножения получаем 1/2*1/2*1/2
![Page 23: Комбинаторика. Вероятность. Выполнила : Николаева М. В](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062408/568137a3550346895d9f4a2b/html5/thumbnails/23.jpg)
Задачи
1)По цели произвели 24 выстрела, причём было зарегистрировано 19 попаданий. Найти частоту попаданий2)В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.
![Page 24: Комбинаторика. Вероятность. Выполнила : Николаева М. В](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062408/568137a3550346895d9f4a2b/html5/thumbnails/24.jpg)
Ответы1) 19/242) 10/30 = 1/3
![Page 25: Комбинаторика. Вероятность. Выполнила : Николаева М. В](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062408/568137a3550346895d9f4a2b/html5/thumbnails/25.jpg)
Спасибо за внимание!