Комбинаторика слов и ее приложения, весна 2015: Лекция 2

Ëåêöèÿ 2: Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâÀ. Ì. ØóðÈíñòèòóò ìàòåìàòèêè è êîìïüþòåðíûõ íàóê (ìàòìåõ) ÓðÔÓ18 ìàðòà 2015 ã.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 1 / 28

Âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâÑëåäóþùåå �óíäàìåíòàëüíîå ñâîéñòâî áûëî ïîëó÷åíî äëÿ ïåðèîäè÷åñêèõ �óíêöèéáåç âñÿêîé ñâÿçè ñî ñëîâàìè, íî îñíîâíóþ ïîëüçó ïðèíîñèò â êîìáèíàòîðèêå ñëîâ.Ñâîéñòâî âçàèìîäåéñòâèÿ ïåðèîäîâÅñëè ó ¾äîñòàòî÷íî äëèííîãî¿ ñëîâà w åñòü äâà ïåðèîäà p è q, òî ÍÎÄ(p,q)òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäîì w .ÏðèìåðÏóñòü ó ñëîâà äëèíû 10 åñòü ïåðèîäû 4 è 6:À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 2 / 28

Âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâÑëåäóþùåå �óíäàìåíòàëüíîå ñâîéñòâî áûëî ïîëó÷åíî äëÿ ïåðèîäè÷åñêèõ �óíêöèéáåç âñÿêîé ñâÿçè ñî ñëîâàìè, íî îñíîâíóþ ïîëüçó ïðèíîñèò â êîìáèíàòîðèêå ñëîâ.Ñâîéñòâî âçàèìîäåéñòâèÿ ïåðèîäîâÅñëè ó ¾äîñòàòî÷íî äëèííîãî¿ ñëîâà w åñòü äâà ïåðèîäà p è q, òî ÍÎÄ(p,q)òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäîì w .ÏðèìåðÏóñòü ó ñëîâà äëèíû 10 åñòü ïåðèîäû 4 è 6:ÎÀ. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 2 / 28

Âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâÑëåäóþùåå �óíäàìåíòàëüíîå ñâîéñòâî áûëî ïîëó÷åíî äëÿ ïåðèîäè÷åñêèõ �óíêöèéáåç âñÿêîé ñâÿçè ñî ñëîâàìè, íî îñíîâíóþ ïîëüçó ïðèíîñèò â êîìáèíàòîðèêå ñëîâ.Ñâîéñòâî âçàèìîäåéñòâèÿ ïåðèîäîâÅñëè ó ¾äîñòàòî÷íî äëèííîãî¿ ñëîâà w åñòü äâà ïåðèîäà p è q, òî ÍÎÄ(p,q)òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäîì w .ÏðèìåðÏóñòü ó ñëîâà äëèíû 10 åñòü ïåðèîäû 4 è 6:Î Î ÎÀ. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 2 / 28

Âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâÑëåäóþùåå �óíäàìåíòàëüíîå ñâîéñòâî áûëî ïîëó÷åíî äëÿ ïåðèîäè÷åñêèõ �óíêöèéáåç âñÿêîé ñâÿçè ñî ñëîâàìè, íî îñíîâíóþ ïîëüçó ïðèíîñèò â êîìáèíàòîðèêå ñëîâ.Ñâîéñòâî âçàèìîäåéñòâèÿ ïåðèîäîâÅñëè ó ¾äîñòàòî÷íî äëèííîãî¿ ñëîâà w åñòü äâà ïåðèîäà p è q, òî ÍÎÄ(p,q)òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäîì w .ÏðèìåðÏóñòü ó ñëîâà äëèíû 10 åñòü ïåðèîäû 4 è 6:Î Î Î Î ÎÀ. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 2 / 28

Âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâÑëåäóþùåå �óíäàìåíòàëüíîå ñâîéñòâî áûëî ïîëó÷åíî äëÿ ïåðèîäè÷åñêèõ �óíêöèéáåç âñÿêîé ñâÿçè ñî ñëîâàìè, íî îñíîâíóþ ïîëüçó ïðèíîñèò â êîìáèíàòîðèêå ñëîâ.Ñâîéñòâî âçàèìîäåéñòâèÿ ïåðèîäîâÅñëè ó ¾äîñòàòî÷íî äëèííîãî¿ ñëîâà w åñòü äâà ïåðèîäà p è q, òî ÍÎÄ(p,q)òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäîì w .ÏðèìåðÏóñòü ó ñëîâà äëèíû 10 åñòü ïåðèîäû 4 è 6:Î Î Î Î ÎÉÀ. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 2 / 28

Âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâÑëåäóþùåå �óíäàìåíòàëüíîå ñâîéñòâî áûëî ïîëó÷åíî äëÿ ïåðèîäè÷åñêèõ �óíêöèéáåç âñÿêîé ñâÿçè ñî ñëîâàìè, íî îñíîâíóþ ïîëüçó ïðèíîñèò â êîìáèíàòîðèêå ñëîâ.Ñâîéñòâî âçàèìîäåéñòâèÿ ïåðèîäîâÅñëè ó ¾äîñòàòî÷íî äëèííîãî¿ ñëîâà w åñòü äâà ïåðèîäà p è q, òî ÍÎÄ(p,q)òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäîì w .ÏðèìåðÏóñòü ó ñëîâà äëèíû 10 åñòü ïåðèîäû 4 è 6:Î Î Î Î ÎÉ É ÉÀ. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 2 / 28

Âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâÑëåäóþùåå �óíäàìåíòàëüíîå ñâîéñòâî áûëî ïîëó÷åíî äëÿ ïåðèîäè÷åñêèõ �óíêöèéáåç âñÿêîé ñâÿçè ñî ñëîâàìè, íî îñíîâíóþ ïîëüçó ïðèíîñèò â êîìáèíàòîðèêå ñëîâ.Ñâîéñòâî âçàèìîäåéñòâèÿ ïåðèîäîâÅñëè ó ¾äîñòàòî÷íî äëèííîãî¿ ñëîâà w åñòü äâà ïåðèîäà p è q, òî ÍÎÄ(p,q)òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäîì w .ÏðèìåðÏóñòü ó ñëîâà äëèíû 10 åñòü ïåðèîäû 4 è 6:Î Î Î Î ÎÉ É É É ÉÒîãäà ó íåãî åñòü ïåðèîä 2.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 2 / 28

Âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâÑëåäóþùåå �óíäàìåíòàëüíîå ñâîéñòâî áûëî ïîëó÷åíî äëÿ ïåðèîäè÷åñêèõ �óíêöèéáåç âñÿêîé ñâÿçè ñî ñëîâàìè, íî îñíîâíóþ ïîëüçó ïðèíîñèò â êîìáèíàòîðèêå ñëîâ.Ñâîéñòâî âçàèìîäåéñòâèÿ ïåðèîäîâÅñëè ó ¾äîñòàòî÷íî äëèííîãî¿ ñëîâà w åñòü äâà ïåðèîäà p è q, òî ÍÎÄ(p,q)òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäîì w .ÏðèìåðÏóñòü ó ñëîâà äëèíû 10 åñòü ïåðèîäû 4 è 6:Î Î Î Î ÎÉ É É É ÉÒîãäà ó íåãî åñòü ïåðèîä 2.Ìû òàêæå ãîâîðèì, ÷òî ¾ïåðèîäû p è q âçàèìîäåéñòâóþò â w¿À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 2 / 28

Äëèíà âçàèìîäåéñòâèÿÇàìå÷àíèå î ïðîäîëæåíèè ïåðèîäàÏóñòü ñëîâî w òàêîâî, ÷òî åãî ïðå�èêñ w [1..i ] è åãî ñó��èêñ w [j ..|w |] îáà èìåþòïåðèîä p. Òîãäà åñëè |w [j ..i ]| > p, òî âñ¼ ñëîâî w èìååò ïåðèîä p.Â ñëîâå w ëþáûå äâå ïîçèöèè íà ðàññòîÿíèè p ëèáî îäíîâðåìåííî ïðèíàäëåæàòóêàçàííîìó ïðå�èêñó, ëèáî � óêàçàííîìó ñó��èêñó.

À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 3 / 28

Äëèíà âçàèìîäåéñòâèÿÇàìå÷àíèå î ïðîäîëæåíèè ïåðèîäàÏóñòü ñëîâî w òàêîâî, ÷òî åãî ïðå�èêñ w [1..i ] è åãî ñó��èêñ w [j ..|w |] îáà èìåþòïåðèîä p. Òîãäà åñëè |w [j ..i ]| > p, òî âñ¼ ñëîâî w èìååò ïåðèîä p.Â ñëîâå w ëþáûå äâå ïîçèöèè íà ðàññòîÿíèè p ëèáî îäíîâðåìåííî ïðèíàäëåæàòóêàçàííîìó ïðå�èêñó, ëèáî � óêàçàííîìó ñó��èêñó.Çíà÷èò åñëè äëÿ ëþáîãî ñëîâà äëèíû n ñ ïåðèîäàìè p è q âûïîëíÿåòñÿñâîéñòâî âçàèìîäåéñòâèÿ, òî ýòî ñâîéñòâî âûïîëíÿåòñÿ è äëÿ ëþáîãî ñëîâàäëèíû n+1 ñ ïåðèîäàìè p è q, ò.å. ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå êîððåêòíî:Îïðåäåëåíèå×èñëî L(p, q) òàêîå, ÷òîâ ëþáîì ñëîâà äëèíû L(p,q) ïåðèîäû p è q âçàèìîäåéñòâóþò,â íåêîòîðîì ñëîâå äëèíû L(p,q) − 1 ïåðèîäû p è q íå âçàèìîäåéñòâóþò,íàçûâàåòñÿ äëèíîé âçàèìîäåéñòâèÿ ïåðèîäîâ p è q.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 3 / 28

Äëèíà âçàèìîäåéñòâèÿÇàìå÷àíèå î ïðîäîëæåíèè ïåðèîäàÏóñòü ñëîâî w òàêîâî, ÷òî åãî ïðå�èêñ w [1..i ] è åãî ñó��èêñ w [j ..|w |] îáà èìåþòïåðèîä p. Òîãäà åñëè |w [j ..i ]| > p, òî âñ¼ ñëîâî w èìååò ïåðèîä p.Â ñëîâå w ëþáûå äâå ïîçèöèè íà ðàññòîÿíèè p ëèáî îäíîâðåìåííî ïðèíàäëåæàòóêàçàííîìó ïðå�èêñó, ëèáî � óêàçàííîìó ñó��èêñó.Çíà÷èò åñëè äëÿ ëþáîãî ñëîâà äëèíû n ñ ïåðèîäàìè p è q âûïîëíÿåòñÿñâîéñòâî âçàèìîäåéñòâèÿ, òî ýòî ñâîéñòâî âûïîëíÿåòñÿ è äëÿ ëþáîãî ñëîâàäëèíû n+1 ñ ïåðèîäàìè p è q, ò.å. ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå êîððåêòíî:Îïðåäåëåíèå×èñëî L(p, q) òàêîå, ÷òîâ ëþáîì ñëîâà äëèíû L(p,q) ïåðèîäû p è q âçàèìîäåéñòâóþò,â íåêîòîðîì ñëîâå äëèíû L(p,q) − 1 ïåðèîäû p è q íå âçàèìîäåéñòâóþò,íàçûâàåòñÿ äëèíîé âçàèìîäåéñòâèÿ ïåðèîäîâ p è q.Èç ïðèìåðà íà ïðåäûäóùåì ñëàéäå ìû çíàåì, ÷òî L(6, 4) 6 10.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 3 / 28

Òåîðåìà Ôàéíà-Âèëü�à. Âçàèìíî ïðîñòûå ïåðèîäûÒåîðåìà (Ôàéí, Âèëü�, 1965)L(p,q) = p + q −ÍÎÄ(p,q).


Òåîðåìà Ôàéíà-Âèëü�à. Âçàèìíî ïðîñòûå ïåðèîäûÒåîðåìà (Ôàéí, Âèëü�, 1965)L(p,q) = p + q −ÍÎÄ(p,q).�àññìîòðèì ñëó÷àé ÍÎÄ(p,q) = 1. Á.î.î., p > q > 1. Ñâîéñòâî âçàèìîäåéñòâèÿ âäàííîì ñëó÷àå ñîñòîèò â íàëè÷èè ïåðèîäà 1, ò.å. â òîì, ÷òî âñå áóêâû ñëîâà wîäèíàêîâû. Ïî ñëîâó w ïîñòðîèì îáûêíîâåííûé ãðà� G = (V ,E ), ãäåV = {1, . . . , |w |}, à E ñîñòîèò èç âñåõ ð¼áåð âèäà (i , i+p) è âèäà (i , i+q).À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 4 / 28

Òåîðåìà Ôàéíà-Âèëü�à. Âçàèìíî ïðîñòûå ïåðèîäûÒåîðåìà (Ôàéí, Âèëü�, 1965)L(p,q) = p + q −ÍÎÄ(p,q).�àññìîòðèì ñëó÷àé ÍÎÄ(p,q) = 1. Á.î.î., p > q > 1. Ñâîéñòâî âçàèìîäåéñòâèÿ âäàííîì ñëó÷àå ñîñòîèò â íàëè÷èè ïåðèîäà 1, ò.å. â òîì, ÷òî âñå áóêâû ñëîâà wîäèíàêîâû. Ïî ñëîâó w ïîñòðîèì îáûêíîâåííûé ãðà� G = (V ,E ), ãäåV = {1, . . . , |w |}, à E ñîñòîèò èç âñåõ ð¼áåð âèäà (i , i+p) è âèäà (i , i+q).åñëè äâå âåðøèíû â G ñìåæíû, â äàííûõ ïîçèöèÿõ w ñòîÿò îäèíàêîâûå áóêâû;çíà÷èò, âî âñåõ ïîçèöèÿõ w èç îäíîé êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãðà�à G ñòîÿòîäèíàêîâûå áóêâû;çíà÷èò, ñâîéñòâî âçàèìîäåéñòâèÿ âûïîëíÿåòñÿ, åñëè G ñâÿçåí, è ìîæåòíàðóøàòüñÿ, åñëè G íåñâÿçåí.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 4 / 28

Òåîðåìà Ôàéíà-Âèëü�à. Âçàèìíî ïðîñòûå ïåðèîäûÒåîðåìà (Ôàéí, Âèëü�, 1965)L(p,q) = p + q −ÍÎÄ(p,q).�àññìîòðèì ñëó÷àé ÍÎÄ(p,q) = 1. Á.î.î., p > q > 1. Ñâîéñòâî âçàèìîäåéñòâèÿ âäàííîì ñëó÷àå ñîñòîèò â íàëè÷èè ïåðèîäà 1, ò.å. â òîì, ÷òî âñå áóêâû ñëîâà wîäèíàêîâû. Ïî ñëîâó w ïîñòðîèì îáûêíîâåííûé ãðà� G = (V ,E ), ãäåV = {1, . . . , |w |}, à E ñîñòîèò èç âñåõ ð¼áåð âèäà (i , i+p) è âèäà (i , i+q).åñëè äâå âåðøèíû â G ñìåæíû, â äàííûõ ïîçèöèÿõ w ñòîÿò îäèíàêîâûå áóêâû;çíà÷èò, âî âñåõ ïîçèöèÿõ w èç îäíîé êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ãðà�à G ñòîÿòîäèíàêîâûå áóêâû;çíà÷èò, ñâîéñòâî âçàèìîäåéñòâèÿ âûïîëíÿåòñÿ, åñëè G ñâÿçåí, è ìîæåòíàðóøàòüñÿ, åñëè G íåñâÿçåí.Ïóñòü |w | = p + q. Òîãäàâñå âåðøèíû ãðà�à G èìåþò ñòåïåíü 2: åñëè i � âåðøèíà, òî â êàæäîé ïàðå{i−q, i+p}, {i−p, i+q} ðîâíî îäíî ÷èñëî ÿâëÿåòñÿ âåðøèíîé;çíà÷èò, G � îáúåäèíåíèå ïðîñòûõ öèêëîâ è ñîäåðæèò p+q ð¼áåð.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 4 / 28

Òåîðåìà Ôàéíà-Âèëü�à. Âçàèìíî ïðîñòûå ïåðèîäû (îêîí÷àíèå)Ïðèìåðp = 7, q = 4, |w | = 11:

1 5 9261037114 8Îáîéä¼ì öèêë, ñîäåðæàùèé âåðøèíó 1, íà÷èíàÿ ñ ðåáðà (1, q+1).



1 5 9261037114 8Îáîéä¼ì öèêë, ñîäåðæàùèé âåðøèíó 1, íà÷èíàÿ ñ ðåáðà (1, q+1).Íà êàæäîì øàãå èç âåðøèíû i ìû ïîïàäàåì ëèáî â i+q, ëèáî â i−pÎáîéäÿ öèêë, ïîëó÷èì kq − ℓp = 0, ãäå k + ℓ � äëèíà öèêëà.Â ñèëó âçàèìíîé ïðîñòîòû p è q èìååì p | k, q | ℓ, ò.å. äëèíà öèêëà ðàâíà p+q è îíñîäåðæèò âñå ð¼áðà ãðà�à. Çíà÷èò, G � ïðîñòîé öèêë.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 5 / 28


1 5 92610374 8Îáîéä¼ì öèêë, ñîäåðæàùèé âåðøèíó 1, íà÷èíàÿ ñ ðåáðà (1, q+1).Íà êàæäîì øàãå èç âåðøèíû i ìû ïîïàäàåì ëèáî â i+q, ëèáî â i−pÎáîéäÿ öèêë, ïîëó÷èì kq − ℓp = 0, ãäå k + ℓ � äëèíà öèêëà.Â ñèëó âçàèìíîé ïðîñòîòû p è q èìååì p | k, q | ℓ, ò.å. äëèíà öèêëà ðàâíà p+q è îíñîäåðæèò âñå ð¼áðà ãðà�à. Çíà÷èò, G � ïðîñòîé öèêë. Òîãäàãðà� ñëîâà äëèíû p+q−1, ïîëó÷åííûé èç G óäàëåíèåì âåðøèíû, ñâÿçåíÀ. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 5 / 28


1 5 926374 8â ñëîâå w = ÀÀÕÀÀÀÕÀÀïåðèîäû íå âçàèìîäåéñòâóþòÎáîéä¼ì öèêë, ñîäåðæàùèé âåðøèíó 1, íà÷èíàÿ ñ ðåáðà (1, q+1).Íà êàæäîì øàãå èç âåðøèíû i ìû ïîïàäàåì ëèáî â i+q, ëèáî â i−pÎáîéäÿ öèêë, ïîëó÷èì kq − ℓp = 0, ãäå k + ℓ � äëèíà öèêëà.Â ñèëó âçàèìíîé ïðîñòîòû p è q èìååì p | k, q | ℓ, ò.å. äëèíà öèêëà ðàâíà p+q è îíñîäåðæèò âñå ð¼áðà ãðà�à. Çíà÷èò, G � ïðîñòîé öèêë. Òîãäàãðà� ñëîâà äëèíû p+q−1, ïîëó÷åííûé èç G óäàëåíèåì âåðøèíû, ñâÿçåíãðà� ñëîâà äëèíû p+q−2, ïîëó÷åííûé èç G óäàëåíèåì äâóõ íåñìåæíûõâåðøèí, íåñâÿçåíÏî îïðåäåëåíèþ, L(p, q) = p+q−1 äëÿ âçàèìíî ïðîñòûõ p è q, ÷òî è òðåáîâàëîñü.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 5 / 28

Òåîðåìà Ôàéíà-Âèëü�à. Îáùèé ñëó÷àéÏóñòü òåïåðü ÍÎÄ(p,q) = d . �àññìîòðèì ñëîâàw1 =w [1]w [d+1]w [2d+1] . . .w2 =w [2]w [d+2]w [2d+2] . . .. . . . . .wd =w [d ]w [2d ]w [3d ] . . .


Òåîðåìà Ôàéíà-Âèëü�à. Îáùèé ñëó÷àéÏóñòü òåïåðü ÍÎÄ(p,q) = d . �àññìîòðèì ñëîâàw1 =w [1]w [d+1]w [2d+1] . . .w2 =w [2]w [d+2]w [2d+2] . . .. . . . . .wd =w [d ]w [2d ]w [3d ] . . .Çàìåòèì, ÷òîñëîâî w èìååò ïåðèîä d òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàæäîå èç ñëîâ wi èìååòïåðèîä 1,ñëîâî wi ãàðàíòèðîâàííî èìååò ïåðèîä 1, åñëè

|wi | > L(p/d ,q/d) = p/d + q/d − 1.Îòñþäà L(p, q) = p + q − d , ÷òî è òðåáîâàëîñü.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 6 / 28

Îáîáùåíèÿ ñâîéñòâà âçàèìîäåéñòâèÿÒåîðåìà Ôàéíà-Âèëü�à � ðåçóëüòàò èç ðàçðÿäà òåõ, êîòîðûå âñåì õî÷åòñÿîáîáùàòü.1 Íóæíî áîëüøå ïåðèîäîâ!íå î÷åíü èíòåðåñíîå íàïðàâëåíèå: äëèíà âçàèìîäåéñòâèÿ ñòàíîâèòñÿ ñëàáîîòëè÷èìîé îò íàèáîëüøåãî èç ïåðèîäîâ.2 Îáîáùåííûå ïåðèîäûíàïðèìåð, àáåëåâû. Ñëîâî w èìååò àáåëåâ ïåðèîä p, åñëè w = w1 · · ·wnw ′ äëÿíåêîòîðîãî n ∈ N, ãäå ñëîâà w1, . . . ,wn èìåþò äëèíó p è ÿâëÿþòñÿ àíàãðàììàìèäðóã äðóãà, ò.å. ñîñòàâëåíû èç îäíèõ è òåõ æå áóêâ â îäíîì è òîì æå êîëè÷åñòâå,à w ′ � ïðå�èêñ òàêîé àíàãðàììû. Íàïðèìåð, ñëîâî ÀÕÀÀÀÕÀÀ èìååò àáåëåâûïåðèîäû 3,4,5,6 è 7, òàê ÷òî ñ âçàèìîäåéñòâèåì âñå íå òàê ïðîñòî.3 Îáîáùåííûå ñëîâàíàïðèìåð, ÷àñòè÷íûå. Â ÷àñòè÷íûõ ñëîâàõ íà íåêîòîðûõ ïîçèöèÿõ íàõîäèòñÿ¾íåîïðåäåëåííàÿ¿ áóêâà (äæîêåð) ⋄, êîòîðàÿ ¾ñîâìåñòèìà¿ ñ ëþáîé áóêâîé.Ïîëó÷àåòñÿ èíòåðåñíî.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 7 / 28

×àñòè÷íûå ñëîâà è èõ ïåðèîäû×àñòè÷íîå ñëîâî åñòü ÷àñòè÷íàÿ �óíêöèÿ w : {1, . . . , n} → Σ ñ îáëàñòüþîïðåäåëåíèÿ D(w). Ïðè çàïèñè ÷àñòè÷íîãî ñëîâà êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, âíåîïðåäåëåííûå ïîçèöèè ïîäñòàâëÿåòñÿ ñïåöñèìâîë ⋄ � äæîêåð (Ïðèìåð:⋄ÅÊÒÎ�). Äæîêåð îçíà÷àåò�çäåñü ñòîèò áóêâà, íåâàæíî êàêàÿ�íàïðèìåð, ïðè ïîèñêå â òåêñòå ïî îáðàçöó ñ ¾âîïðîñèêàìè¿, èëè�çäåñü ñòîèò áóêâà, íåèçâåñòíî êàêàÿ�íàïðèìåð, ïðè âîññòàíîâëåíèè ïîâðåæäåííîãî òåêñòà.


×àñòè÷íûå ñëîâà è èõ ïåðèîäû×àñòè÷íîå ñëîâî åñòü ÷àñòè÷íàÿ �óíêöèÿ w : {1, . . . , n} → Σ ñ îáëàñòüþîïðåäåëåíèÿ D(w). Ïðè çàïèñè ÷àñòè÷íîãî ñëîâà êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, âíåîïðåäåëåííûå ïîçèöèè ïîäñòàâëÿåòñÿ ñïåöñèìâîë ⋄ � äæîêåð (Ïðèìåð:⋄ÅÊÒÎ�). Äæîêåð îçíà÷àåò�çäåñü ñòîèò áóêâà, íåâàæíî êàêàÿ�íàïðèìåð, ïðè ïîèñêå â òåêñòå ïî îáðàçöó ñ ¾âîïðîñèêàìè¿, èëè�çäåñü ñòîèò áóêâà, íåèçâåñòíî êàêàÿ�íàïðèìåð, ïðè âîññòàíîâëåíèè ïîâðåæäåííîãî òåêñòà.×àñòè÷íîå ñëîâî íàä àë�àâèòîì Σ óäîáíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñëîâî íàä Σ ∪ {⋄},èñïîëüçóÿ îáû÷íûå ïîíÿòèÿ äëèíû, ïîäñëîâà, è ò. ï.ÎïðåäåëåíèåÏóñòü w � ÷àñòè÷íîå ñëîâî. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî p 6 |w | íàçûâàåòñÿëîêàëüíûì ïåðèîäîì w , åñëè w [i ] = w [i+p] äëÿ âñåõ i òàêèõ, ÷òî i , i+p ∈ D(w);ïåðèîäîì w , åñëè w [i ] = w [j ] äëÿ âñåõ i , j ∈ D(w) òàêèõ, ÷òî i ≡ j (mod p).


×àñòè÷íûå ñëîâà è èõ ïåðèîäû×àñòè÷íîå ñëîâî åñòü ÷àñòè÷íàÿ �óíêöèÿ w : {1, . . . , n} → Σ ñ îáëàñòüþîïðåäåëåíèÿ D(w). Ïðè çàïèñè ÷àñòè÷íîãî ñëîâà êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, âíåîïðåäåëåííûå ïîçèöèè ïîäñòàâëÿåòñÿ ñïåöñèìâîë ⋄ � äæîêåð (Ïðèìåð:⋄ÅÊÒÎ�). Äæîêåð îçíà÷àåò�çäåñü ñòîèò áóêâà, íåâàæíî êàêàÿ�íàïðèìåð, ïðè ïîèñêå â òåêñòå ïî îáðàçöó ñ ¾âîïðîñèêàìè¿, èëè�çäåñü ñòîèò áóêâà, íåèçâåñòíî êàêàÿ�íàïðèìåð, ïðè âîññòàíîâëåíèè ïîâðåæäåííîãî òåêñòà.×àñòè÷íîå ñëîâî íàä àë�àâèòîì Σ óäîáíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñëîâî íàä Σ ∪ {⋄},èñïîëüçóÿ îáû÷íûå ïîíÿòèÿ äëèíû, ïîäñëîâà, è ò. ï.ÎïðåäåëåíèåÏóñòü w � ÷àñòè÷íîå ñëîâî. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî p 6 |w | íàçûâàåòñÿëîêàëüíûì ïåðèîäîì w , åñëè w [i ] = w [i+p] äëÿ âñåõ i òàêèõ, ÷òî i , i+p ∈ D(w);ïåðèîäîì w , åñëè w [i ] = w [j ] äëÿ âñåõ i , j ∈ D(w) òàêèõ, ÷òî i ≡ j (mod p).Ëþáîé ïåðèîä w ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíûì ïåðèîäîì, íî íå íàîáîðîò: òàê, ÊÎ⋄ÎÑèìååò ëîêàëüíûé ïåðèîä 2, íî íå èìååò ïåðèîäà 2.äæîêåð ¾ðàçðûâàåò¿ ëîêàëüíûå ïåðèîäû, íî ¾ïðîïóñêàåò¿ ïåðèîäûÀ. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 8 / 28

Âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ ÷àñòè÷íûõ ñëîâÑâîéñòâî âçàèìîäåéñòâèÿ ïåðèîäîâÅñëè ó ¾äîñòàòî÷íî äëèííîãî¿ ÷àñòè÷íîãî ñëîâà w åñòü äâà (ëîêàëüíûõ èëèãëîáàëüíûõ) ïåðèîäà p è q, òî ÍÎÄ(p,q) òàêæå ÿâëÿåòñÿ (òàêèì æå) ïåðèîäîì w .Çàìå÷àíèåÑâîéñòâî âçàèìîäåéñòâèÿ ëîêàëüíûõ ïåðèîäîâ â îáùåì ñëó÷àå íå âûïîëíÿåòñÿ,åñëè ÷àñòè÷íîå ñëîâî ñîäåðæèò õîòÿ áû äâà äæîêåðà.�àññìîòðèì ñêîëü óãîäíî äëèííîå ÷àñòè÷íîå ñëîâî w ñ ëîêàëüíûìè ïåðèîäàìè p èq è äæîêåðàìè íà ïîçèöèÿõ q+1 è p+1. Ýòè ëîêàëüíûå ïåðèîäû ó ñëîâà îñòàíóòñÿ,åñëè çàìåíèòü áóêâó w [1] íà ëþáóþ äðóãóþ. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ïîëó÷èòü÷àñòè÷íîå ñëîâî, â êîòîðîì áóêâû íà ïîçèöèÿõ 1 è ÍÎÄ(p,q)+1 ðàçëè÷íû èêîòîðîå, ñëåäîâàòåëüíî, íå èìååò ëîêàëüíîãî ïåðèîäà ÍÎÄ(p,q).Çíà÷èò, ñâîéñòâî âçàèìîäåéñòâèÿ ðàçóìíî ðàññìàòðèâàòü òîëüêî äëÿ ïåðèîäîâ.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 9 / 28

Äëèíà âçàèìîäåéñòâèÿ ïåðèîäîâ ÷àñòè÷íûõ ñëîâÎïðåäåëåíèå×èñëî L(k, p,q) > k + 1 íàçûâàåòñÿ äëèíîé âçàèìîäåéñòâèÿ ïåðèîäîâ p è q äëÿ käæîêåðîâ, åñëèëþáîå ÷àñòè÷íîå ñëîâî äëèíû L(k, p, q) ñ k äæîêåðàìè è ïåðèîäàìè p, q èìååòïåðèîä ÍÎÄ(p,q),ñóùåñòâóåò ÷àñòè÷íîå ñëîâî äëèíû L(k, p, q)− 1 ñ k äæîêåðàìè è ïåðèîäàìè p,q, íî áåç ïåðèîäà ÍÎÄ(p,q).Îöåíêà äëèíû âçàèìîäåéñòâèÿ äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ïåðèîäîâ ïîëó÷àåòñÿ èç îöåíêèäëÿ âçàèìíî ïðîñòûõ ïåðèîäîâ òàê æå, êàê è äëÿ îáû÷íûõ ñëîâ. Äëÿ óïðîùåíèÿ�îðìóë, ðàññìîòðèì òîëüêî ñëó÷àé âçàèìíî ïðîñòûõ ïåðèîäîâ; á.î.î., p > q > 1.Òåîðåìà (�àìçîâà, Øóð, 2001)L(k,p, q) 6 qk + (p + q − 1) äëÿ ëþáûõ k, p è q, ïðè÷åì åñëè q = 2 è p | k, òî èìååòìåñòî ðàâåíñòâî.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 10 / 28

�ðà� ÷àñòè÷íîãî ñëîâàÇà�èêñèðóåì p è q (p > q). Ïî ÷àñòè÷íîìó ñëîâó w ñ ïåðèîäàìè p,q ïîñòðîèìãðà� G = (V ,E ), ãäå V = D(w), à E ñîñòîèò èç âñåõ ð¼áåð (i , j) òàêèõ, ÷òîi = j (mod p) è âñÿêîå m, ëåæàùåå ìåæäó i è j è ðàâíîå èì ïî ìîäóëþ p, íåïðèíàäëåæèò D(w), èëèi = j (mod q) è âñÿêîå m, ëåæàùåå ìåæäó i è j è ðàâíîå èì ïî ìîäóëþ q, íåïðèíàäëåæèò D(w).Åñëè w � îáû÷íîå ñëîâî, òî ïîñòðîåííûé ãðà� ñîâïàäàåò ñ ãðà�îì èçäîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Ôàéíà�Âèëü�à.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 11 / 28

�ðà� ÷àñòè÷íîãî ñëîâàÇà�èêñèðóåì p è q (p > q). Ïî ÷àñòè÷íîìó ñëîâó w ñ ïåðèîäàìè p,q ïîñòðîèìãðà� G = (V ,E ), ãäå V = D(w), à E ñîñòîèò èç âñåõ ð¼áåð (i , j) òàêèõ, ÷òîi = j (mod p) è âñÿêîå m, ëåæàùåå ìåæäó i è j è ðàâíîå èì ïî ìîäóëþ p, íåïðèíàäëåæèò D(w), èëèi = j (mod q) è âñÿêîå m, ëåæàùåå ìåæäó i è j è ðàâíîå èì ïî ìîäóëþ q, íåïðèíàäëåæèò D(w).Åñëè w � îáû÷íîå ñëîâî, òî ïîñòðîåííûé ãðà� ñîâïàäàåò ñ ãðà�îì èçäîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Ôàéíà�Âèëü�à.Çàìå÷àíèå î ñâÿçíîñòèÅñëè ãðà� ÷àñòè÷íîãî ñëîâà w ñâÿçåí, òî äëÿ w âûïîëíåíî ñâîéñòâîâçàèìîäåéñòâèÿ. Çíà÷èò, åñëè ãðà� ëþáîãî ÷àñòè÷íîãî ñëîâà äëèíû n ñ käæîêåðàìè ñâÿçåí, òî L(k, p, q) 6 n.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 11 / 28

�ðà� ÷àñòè÷íîãî ñëîâàÇà�èêñèðóåì p è q (p > q). Ïî ÷àñòè÷íîìó ñëîâó w ñ ïåðèîäàìè p,q ïîñòðîèìãðà� G = (V ,E ), ãäå V = D(w), à E ñîñòîèò èç âñåõ ð¼áåð (i , j) òàêèõ, ÷òîi = j (mod p) è âñÿêîå m, ëåæàùåå ìåæäó i è j è ðàâíîå èì ïî ìîäóëþ p, íåïðèíàäëåæèò D(w), èëèi = j (mod q) è âñÿêîå m, ëåæàùåå ìåæäó i è j è ðàâíîå èì ïî ìîäóëþ q, íåïðèíàäëåæèò D(w).Åñëè w � îáû÷íîå ñëîâî, òî ïîñòðîåííûé ãðà� ñîâïàäàåò ñ ãðà�îì èçäîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Ôàéíà�Âèëü�à.Çàìå÷àíèå î ñâÿçíîñòèÅñëè ãðà� ÷àñòè÷íîãî ñëîâà w ñâÿçåí, òî äëÿ w âûïîëíåíî ñâîéñòâîâçàèìîäåéñòâèÿ. Çíà÷èò, åñëè ãðà� ëþáîãî ÷àñòè÷íîãî ñëîâà äëèíû n ñ käæîêåðàìè ñâÿçåí, òî L(k, p, q) 6 n.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû íóæíû äâå ëåììû.Ëåììà î ãðà�åÅñëè |w | = p + q è w ñîäåðæèò ðîâíî îäèí äæîêåð â ïîçèöèÿõ1, . . . , q, p+1, . . . , p+q è ëþáîå êîëè÷åñòâî äæîêåðîâ â ïîçèöèÿõ q+1, . . . , p, òî ãðà�÷àñòè÷íîãî ñëîâà w ñâÿçåí.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 11 / 28

Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû î ãðà�åÌû çíàåì, ÷òî ãðà� ñëîâà äëèíû p+q ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì öèêëîì (ðèñ. ñëåâà).�ðà� ÷àñòè÷íîãî ñëîâà òîé æå äëèíû ïîëó÷àåòñÿ ¾èçúÿòèåì¿ èç ýòîãî öèêëàâåðøèí íà ïîçèöèÿõ äæîêåðîâ. �åçóëüòàò ¾èçúÿòèÿ¿ âåðøèíû i áóäåò òàêèì, êàêíà ðèñóíêå â öåíòðå, åñëè i ñìåæíà ñ âåðøèíàìè i+q è i−q, è òàêèì, êàê ñïðàâà,åñëè i ñìåæíà ñ i+q è i+p ëèáî ñ i−q è i−p.1 5 9261037114 8 p = 7q = 4 1 9261037114 8 p = 7q = 4⋄ : 5 5 9261037114 8 p = 7q = 4

⋄ : 1À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 12 / 28

Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû î ãðà�åÌû çíàåì, ÷òî ãðà� ñëîâà äëèíû p+q ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì öèêëîì (ðèñ. ñëåâà).�ðà� ÷àñòè÷íîãî ñëîâà òîé æå äëèíû ïîëó÷àåòñÿ ¾èçúÿòèåì¿ èç ýòîãî öèêëàâåðøèí íà ïîçèöèÿõ äæîêåðîâ. �åçóëüòàò ¾èçúÿòèÿ¿ âåðøèíû i áóäåò òàêèì, êàêíà ðèñóíêå â öåíòðå, åñëè i ñìåæíà ñ âåðøèíàìè i+q è i−q, è òàêèì, êàê ñïðàâà,åñëè i ñìåæíà ñ i+q è i+p ëèáî ñ i−q è i−p.1 5 9261037114 8 p = 7q = 4 1 9261037114 8 p = 7q = 4⋄ : 5 5 9261037114 8 p = 7q = 4

⋄ : 1Òàêèì îáðàçîì, åñëè â ñëîâå äëèíû p+q ðàçìåñòèòü ïðîèçâîëüíîå êîëè÷åñòâîäæîêåðîâ â ïîçèöèÿõ q+1, . . . , p, òî äëÿ ïîëó÷èâøåãîñÿ ÷àñòè÷íîãî ñëîâà ãðà�ïî-ïðåæíåìó áóäåò ïðîñòûì öèêëîì. Äîáàâëåíèå æå äæîêåðà â îäíó èç ïîçèöèé1, . . . , q, p+1, . . . , p+q ïðèâåäåò ê ðàçðûâó öèêëà, íî ãðà�, òåì íå ìåíåå, îñòàíåòñÿñâÿçíûì.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 12 / 28

Ëåììà î ñóùåñòâåííûõ äæîêåðàõÍàçîâåì äæîêåð ñóùåñòâåííûì äëÿ ÷àñòè÷íîãî ñëîâà äëèíû p+q, åñëè îíðàñïîëîæåí â åãî ïðå�èêñå èëè ñó��èêñå äëèíû q.Ëåììà î ñóùåñòâåííûõ äæîêåðàõÅñëè w èìååò ïîäñëîâî äëèíû p+q íå áîëåå ÷åì ñ îäíèì ñóùåñòâåííûì äæîêåðîì,òî ãðà� ÷àñòè÷íîãî ñëîâà w ñâÿçåí.


Ëåììà î ñóùåñòâåííûõ äæîêåðàõÍàçîâåì äæîêåð ñóùåñòâåííûì äëÿ ÷àñòè÷íîãî ñëîâà äëèíû p+q, åñëè îíðàñïîëîæåí â åãî ïðå�èêñå èëè ñó��èêñå äëèíû q.Ëåììà î ñóùåñòâåííûõ äæîêåðàõÅñëè w èìååò ïîäñëîâî äëèíû p+q íå áîëåå ÷åì ñ îäíèì ñóùåñòâåííûì äæîêåðîì,òî ãðà� ÷àñòè÷íîãî ñëîâà w ñâÿçåí.Ïóñòü óêàçàííîå ïîäñëîâî åñòü w [i+1..i+p+q]. Ïî ëåììå î ãðà�å âñå áóêâû â ýòîìïîäñëîâå ðàâíû ìåæäó ñîáîé; ïóñòü îíè ðàâíû a. Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî ëþáàÿáóêâà â w ñîâïàäàåò ñ a. �àññìîòðèì ïîçèöèþ s, çàíÿòóþ áóêâîé è íåïðèíàäëåæàùóþ âûáðàííîìó ïîäñëîâó; ïîìåòèì âñå ïîçèöèè, ðàâíûå s ïî ìîäóëþq. Òîãäà îäíà èç ïîçèöèé i+1, . . . , i+q è îäíà èç ïîçèöèé i+p+1, . . . , i+p+qîêàæóòñÿ ïîìå÷åííûìè:. . . . . .s i+1 i+q i+p+1 i+p+q︷︸︸︷︷︸︸︷

íå áîëåå îäíîãî ñóùåñòâåííîãî äæîêåðàÏî óñëîâèþ, íå áîëåå ÷åì îäíà èç ò¼ìíî-êðàñíûõ ïîçèöèé ñîäåðæèò äæîêåð;ñëåäîâàòåëüíî, îäíà èç íèõ ãàðàíòèðîâàííî ñîäåðæèò áóêâó a. Ïîñêîëüêó áóêâû âïîìå÷åííûõ ïîçèöèÿõ ðàâíû, ïîëó÷àåì w(s) = a.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 13 / 28

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìûÎöåíèì ìàêñèìàëüíóþ äëèíó ÷àñòè÷íîãî ñëîâà w , óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèÿìòåîðåìû è èìåþùåãî íåñâÿçíûé ãðà�.Ïî ëåììå î ñóùåñòâåííûõ äæîêåðàõ w ñîäåðæèò > 2 ñóùåñòâåííûõ äæîêåðîâ âêàæäîì ïîäñëîâå äëèíû p+q;â êàæäîì òàêîì ïîäñëîâå åñòü 2q ïîçèöèé äëÿ ñóùåñòâåííûõ äæîêåðîâ, ò.å.êàæäûé äæîêåð ìîæåò ÿâëÿòüñÿ ñóùåñòâåííûì íå áîëåå ÷åì äëÿ 2q ïîäñëîâ;ñàìûé ëåâûé äæîêåð â w íå ìîæåò çàíèìàòü ïîñëåäíþþ ïîçèöèþ â ïîäñëîâå ñäâóìÿ ñóùåñòâåííûìè äæîêåðàìè; ñëåäîâàòåëüíî, îí ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûìëèøü äëÿ 2q − 1 ïîäñëîâà;ñèììåòðè÷íîå ñîîáðàæåíèå âåðíî äëÿ ñàìîãî ïðàâîãî äæîêåðà â w .À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 14 / 28

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìûÎöåíèì ìàêñèìàëüíóþ äëèíó ÷àñòè÷íîãî ñëîâà w , óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèÿìòåîðåìû è èìåþùåãî íåñâÿçíûé ãðà�.Ïî ëåììå î ñóùåñòâåííûõ äæîêåðàõ w ñîäåðæèò > 2 ñóùåñòâåííûõ äæîêåðîâ âêàæäîì ïîäñëîâå äëèíû p+q;â êàæäîì òàêîì ïîäñëîâå åñòü 2q ïîçèöèé äëÿ ñóùåñòâåííûõ äæîêåðîâ, ò.å.êàæäûé äæîêåð ìîæåò ÿâëÿòüñÿ ñóùåñòâåííûì íå áîëåå ÷åì äëÿ 2q ïîäñëîâ;ñàìûé ëåâûé äæîêåð â w íå ìîæåò çàíèìàòü ïîñëåäíþþ ïîçèöèþ â ïîäñëîâå ñäâóìÿ ñóùåñòâåííûìè äæîêåðàìè; ñëåäîâàòåëüíî, îí ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûìëèøü äëÿ 2q − 1 ïîäñëîâà;ñèììåòðè÷íîå ñîîáðàæåíèå âåðíî äëÿ ñàìîãî ïðàâîãî äæîêåðà â w .Ïîñêîëüêó äëÿ êàæäîãî ïîäñëîâà äëèíû p+q íåîáõîäèìû äâà ñóùåñòâåííûõäæîêåðà, êîëè÷åñòâî òàêèõ ïîäñëîâ â w íå ïðåâûøàåò (2qk − 2)/2, ò. å. qk − 1. Ñäðóãîé ñòîðîíû, ñëîâî äëèíû |w | ñîäåðæèò |w | − p − q + 1 òàêèõ ïîäñëîâ. Èòàê,|w | − p − q + 1 6 qk − 1, îòêóäà |w | 6 qk + (p + q − 2). Çíà÷èò, ëþáîå ñëîâî äëèíû> qk + (p + q − 1) èìååò ñâÿçíûé ãðà�. Ñ ó÷åòîì çàìå÷àíèÿ î ñâÿçíîñòè, îöåíêàäëèíû âçàèìîäåéñòâèÿ äîêàçàíà.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 14 / 28

Íåóëó÷øàåìîñòü îöåíêèÏðèâåäåì ïðèìåð ÷àñòè÷íîãî ñëîâà, äîêàçûâàþùèé íåóëó÷øàåìîñòü îáùåé îöåíêè.Ïóñòü q = 2 è k = sp. �àññìîòðèì ÷àñòè÷íîå ñëîâî w äëèíû|w | = qk + (p + q − 2) = (2s + 1)p,ñîñòîÿùåå èç p áóêâ, çà êîòîðûìè ñëåäóþò p äæîêåðîâ, ñíîâà p áóêâ, çàòåì päæîêåðîâ, è ò. ä., ÷åðåäóÿ ïîäñëîâà èç p áóêâ è p äæîêåðîâ. Ïîòðåáóåì, êðîìå òîãî,÷òîáû âñå áóêâû, íàõîäÿùèåñÿ â ñëîâå w íà íå÷åòíûõ ïîçèöèÿõ, áûëè ðàâíû a, à íà÷åòíûõ � b. w = aba . . .

︸︷︷︸p ⋄⋄ . . . ⋄︸︷︷︸p aba . . .

︸︷︷︸p . . . ⋄⋄ . . . ⋄︸︷︷︸p aba . . .

︸︷︷︸p︸︷︷︸

(2s+1) áëîêîâÏîëó÷åííîå ÷àñòè÷íîå ñëîâî ïî ïîñòðîåíèþ èìååò ïåðèîäû p è 2 è ñîäåðæèòsp = k äæîêåðîâ, íå èìåÿ ïðè ýòîì ïåðèîäà 1. Çíà÷èò, L(k, p, q) > qk + (p + q − 1)ïðè q = 2 è k = sp. Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 15 / 28

Áîëåå òî÷íàÿ îöåíêàÄîêàçàííàÿ òåîðåìà ïîêàçûâàåò, ÷òî äëèíà âçàèìîäåéñòâèÿ ïåðèîäîâ ÷àñòè÷íûõñëîâ ñóùåñòâóåò è îãðàíè÷åíà ñâåðõó ëèíåéíîé �óíêöèåé îò ÷èñëà äæîêåðîâ (ò.å.ïðÿìîé ñ íàêëîíîì q). Íàñêîëüêî ýòà îöåíêà õîðîøà àñèìïòîòè÷åñêè, ò.å. ïðèáîëüøèõ k?


Áîëåå òî÷íàÿ îöåíêàÄîêàçàííàÿ òåîðåìà ïîêàçûâàåò, ÷òî äëèíà âçàèìîäåéñòâèÿ ïåðèîäîâ ÷àñòè÷íûõñëîâ ñóùåñòâóåò è îãðàíè÷åíà ñâåðõó ëèíåéíîé �óíêöèåé îò ÷èñëà äæîêåðîâ (ò.å.ïðÿìîé ñ íàêëîíîì q). Íàñêîëüêî ýòà îöåíêà õîðîøà àñèìïòîòè÷åñêè, ò.å. ïðèáîëüøèõ k?Ïðè q = 2 ìîæíî âûïèñàòü òî÷íóþ �îðìóëó, îïèðàÿñü íà ïðèìåð ñïðåäûäóùåãî ñëàéäàÏðè q > 2 âåðíà áîëåå ñèëüíàÿ îöåíêà äëèíû âçàèìîäåéñòâèÿ: åñëè k íåñëèøêîì ìàëî ïî îòíîøåíèþ ê p/q, L(k,p, q) åñòü ñóììà ëèíåéíîé (ñ ìåíüøèì÷åì q íàêëîíîì) è ïåðèîäè÷åñêîé �óíêöèé:À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 16 / 28

Áîëåå òî÷íàÿ îöåíêàÄîêàçàííàÿ òåîðåìà ïîêàçûâàåò, ÷òî äëèíà âçàèìîäåéñòâèÿ ïåðèîäîâ ÷àñòè÷íûõñëîâ ñóùåñòâóåò è îãðàíè÷åíà ñâåðõó ëèíåéíîé �óíêöèåé îò ÷èñëà äæîêåðîâ (ò.å.ïðÿìîé ñ íàêëîíîì q). Íàñêîëüêî ýòà îöåíêà õîðîøà àñèìïòîòè÷åñêè, ò.å. ïðèáîëüøèõ k?Ïðè q = 2 ìîæíî âûïèñàòü òî÷íóþ �îðìóëó, îïèðàÿñü íà ïðèìåð ñïðåäûäóùåãî ñëàéäàÏðè q > 2 âåðíà áîëåå ñèëüíàÿ îöåíêà äëèíû âçàèìîäåéñòâèÿ: åñëè k íåñëèøêîì ìàëî ïî îòíîøåíèþ ê p/q, L(k,p, q) åñòü ñóììà ëèíåéíîé (ñ ìåíüøèì÷åì q íàêëîíîì) è ïåðèîäè÷åñêîé �óíêöèé:Òåîðåìà (�àìçîâà, Øóð, 2003)Ïóñòü p > q > 2, k > ⌊2p/3⌋ − 1 ïðè q = 3 è k > ⌊3p/q⌋ + 3 ïðè q > 4. ÒîãäàL(k, p, q) =pqkp + q − 2 + ∆(k, p,q),ãäå ∆(k, p, q) � ïåðèîäè÷åñêàÿ ïî k �óíêöèÿ ñ ïåðèîäîì p+q−2 òàêàÿ, ÷òî2q 6 max(∆(k, p, q)) < 4(q − 1), ïðè÷åì îáå ãðàíèöû íåóëó÷øàåìû;min(∆(k, p, q)) = pqp+q−2 .À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 16 / 28

�åàëüíîå ïîâåäåíèå äëèíû âçàèìîäåéñòâèÿ ïðè p = 13, q = 3


Èãðóøå÷íàÿ ìîäåëü: ñåðâèñíûé ðîáîò


Èãðóøå÷íàÿ ìîäåëü: ñåðâèñíûé ðîáîòShort step = 4Long step = 7


Èãðóøå÷íàÿ ìîäåëü: ñåðâèñíûé ðîáîò


Ìàòåìàòèêà èãðóøå÷íîé ìîäåëèÄàíû òðè íàòóðàëüíûõ ÷èñëà: ÷èñëî L îáñëóæèâàåìûõ ìàøèí, äëèííûé (p) èêîðîòêèé (q) øàãè ðîáîòàL > p > q > 1, g d(p, q) = 1Ïîñòðîåíî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íà {1, . . . , L}, ïîðîæäåííîå âñåìèïàðàìè ÷èñåë ñ ðàçíîñòüþ p èëè qÂîïðîñ: ñîâïàäàåò ëè îòíîøåíèå ñ L2?


Ìàòåìàòèêà èãðóøå÷íîé ìîäåëèÄàíû òðè íàòóðàëüíûõ ÷èñëà: ÷èñëî L îáñëóæèâàåìûõ ìàøèí, äëèííûé (p) èêîðîòêèé (q) øàãè ðîáîòàL > p > q > 1, g d(p, q) = 1Ïîñòðîåíî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íà {1, . . . , L}, ïîðîæäåííîå âñåìèïàðàìè ÷èñåë ñ ðàçíîñòüþ p èëè qÂîïðîñ: ñîâïàäàåò ëè îòíîøåíèå ñ L2?Åñëè íàçâàòü êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè ¾áóêâàìè¿, òîäàíî ñëîâî äëèíû L ñ âçàèìíî ïðîñòûìè ïåðèîäàìè p è qñïðàøèâàåòñÿ, îáÿçàíî ëè ýòî ñëîâî èìåòü ïåðèîä 1 (ò.å. áûòü óíàðíûì).


Ìàòåìàòèêà èãðóøå÷íîé ìîäåëèÄàíû òðè íàòóðàëüíûõ ÷èñëà: ÷èñëî L îáñëóæèâàåìûõ ìàøèí, äëèííûé (p) èêîðîòêèé (q) øàãè ðîáîòàL > p > q > 1, g d(p, q) = 1Ïîñòðîåíî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íà {1, . . . , L}, ïîðîæäåííîå âñåìèïàðàìè ÷èñåë ñ ðàçíîñòüþ p èëè qÂîïðîñ: ñîâïàäàåò ëè îòíîøåíèå ñ L2?Åñëè íàçâàòü êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè ¾áóêâàìè¿, òîäàíî ñëîâî äëèíû L ñ âçàèìíî ïðîñòûìè ïåðèîäàìè p è qñïðàøèâàåòñÿ, îáÿçàíî ëè ýòî ñëîâî èìåòü ïåðèîä 1 (ò.å. áûòü óíàðíûì).Îòâåò äàåò â òî÷íîñòè òåîðåìà Ôàéíà�Âèëü�à.


Èãðóøå÷íàÿ ìîäåëü-2Short step = 4Long step = 7


Èãðóøå÷íàÿ ìîäåëü-2

Ïðàâèëî 1: èñïîð÷åííûå ìàøèíû íå îáñëóæèâàþòñÿÏðàâèëî 2: îñòàíîâèâøèñü ó èñïîð÷åííîé ìàøèíû,íåëüçÿ ïåðåñòðîèòüñÿ íà äðóãîé øàãÀ. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 20 / 28

More Play With The Advan ed Toy Model

Ïðàâèëî 1: èñïîð÷åííûå ìàøèíû íå îáñëóæèâàþòñÿÏðàâèëî 2: îñòàíîâèâøèñü ó èñïîð÷åííîé ìàøèíû,íåëüçÿ ïåðåñòðîèòüñÿ íà äðóãîé øàãÀ. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 21 / 28

More Play With The Advan ed Toy Model? ? ?Ïðàâèëî 1: èñïîð÷åííûå ìàøèíû íå îáñëóæèâàþòñÿÏðàâèëî 2: îñòàíîâèâøèñü ó èñïîð÷åííîé ìàøèíû,íåëüçÿ ïåðåñòðîèòüñÿ íà äðóãîé øàãÀ. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 21 / 28

More Play With The Advan ed Toy Model?Êàêîâî êîëè÷åñòâî (èëè äîëÿ) ìàøèí, êîòîðûå ìîãóò áûòüâûâåäåíû èç ñòðîÿ, åñëè îñòàâøàÿñÿ ñèñòåìà îáÿçàíà áûòüóïðàâëÿåìîé?

? ?Ïðàâèëî 1: èñïîð÷åííûå ìàøèíû íå îáñëóæèâàþòñÿÏðàâèëî 2: îñòàíîâèâøèñü ó èñïîð÷åííîé ìàøèíû,íåëüçÿ ïåðåñòðîèòüñÿ íà äðóãîé øàãÀ. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 21 / 28

Ìàòåìàòèêà èãðóøå÷íîé ìîäåëè-2Äàíû øàãè ðîáîòà p, q è ìíîæåñòâî D ⊆ {1, . . . , L} èñïðàâíûõ ìàøèíL > p > q > 1, g d(p, q) = 1;Ïîñòðîåíî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íà D, ïîðîæäåííîå âñåìè ïàðàìè÷èñåë, ðàâíûõ ïî ìîäóëþ p èëè ïî ìîäóëþ qÂîïðîñ: ñîâïàäàåò ëè îòíîøåíèå ñ L2?Âòîðîé âîïðîñ: ìîæíî ëè ãàðàíòèðîâàòü, ÷òî îòíîøåíèå ñîâïàäåò ñ L2, çíàÿòîëüêî L, p, q è |D|?


Ìàòåìàòèêà èãðóøå÷íîé ìîäåëè-2Äàíû øàãè ðîáîòà p, q è ìíîæåñòâî D ⊆ {1, . . . , L} èñïðàâíûõ ìàøèíL > p > q > 1, g d(p, q) = 1;Ïîñòðîåíî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íà D, ïîðîæäåííîå âñåìè ïàðàìè÷èñåë, ðàâíûõ ïî ìîäóëþ p èëè ïî ìîäóëþ qÂîïðîñ: ñîâïàäàåò ëè îòíîøåíèå ñ L2?Âòîðîé âîïðîñ: ìîæíî ëè ãàðàíòèðîâàòü, ÷òî îòíîøåíèå ñîâïàäåò ñ L2, çíàÿòîëüêî L, p, q è |D|?Ìû ïîëó÷àåì â òî÷íîñòè ïîñòàíîâêó çàäà÷è î âçàèìîäåéñòâèè ïåðèîäîâ äëÿ÷àñòè÷íûõ ñëîâ è âçàèìíî ïðîñòûõ ïåðèîäîâ. Èç �îðìóëûL(k, p, q) =pqp + q − 2 · k + ∆(k, p, q)ìû çíàåì, ÷òî ïîòåðÿòü íåêîòîðóþ äîëþ ìàøèí (ìåæäó 1/q è 2/q) áåçîïàñíî ñòî÷êè çðåíèÿ óïðàâëÿåìîñòè ñèñòåìû.


Ìàòåìàòèêà èãðóøå÷íîé ìîäåëè-2Äàíû øàãè ðîáîòà p, q è ìíîæåñòâî D ⊆ {1, . . . , L} èñïðàâíûõ ìàøèíL > p > q > 1, g d(p, q) = 1;Ïîñòðîåíî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íà D, ïîðîæäåííîå âñåìè ïàðàìè÷èñåë, ðàâíûõ ïî ìîäóëþ p èëè ïî ìîäóëþ qÂîïðîñ: ñîâïàäàåò ëè îòíîøåíèå ñ L2?Âòîðîé âîïðîñ: ìîæíî ëè ãàðàíòèðîâàòü, ÷òî îòíîøåíèå ñîâïàäåò ñ L2, çíàÿòîëüêî L, p, q è |D|?Ìû ïîëó÷àåì â òî÷íîñòè ïîñòàíîâêó çàäà÷è î âçàèìîäåéñòâèè ïåðèîäîâ äëÿ÷àñòè÷íûõ ñëîâ è âçàèìíî ïðîñòûõ ïåðèîäîâ. Èç �îðìóëûL(k, p, q) =pqp + q − 2 · k + ∆(k, p, q)ìû çíàåì, ÷òî ïîòåðÿòü íåêîòîðóþ äîëþ ìàøèí (ìåæäó 1/q è 2/q) áåçîïàñíî ñòî÷êè çðåíèÿ óïðàâëÿåìîñòè ñèñòåìû.Åñëè ïîòåðÿòü áîëüøå ìàøèí, òî óïðàâëÿåìîñòü çàâèñèò îò ðàñïîëîæåíèÿ ìàøèí,âûøåäøèõ èç ñòðîÿ. Êàê íàñ÷åò óïðàâëÿåìîñòè ñ âûñîêîé âåðîÿòíîñòüþ? Êàêóþ÷àñòü ìàøèí ìîæíî ïîçâîëèòü ñåáå ïîòåðÿòü â ýòîì ñëó÷àå?À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 22 / 28

Âåðîÿòíîñòíûé àñïåêò âçàèìîäåéñòâèÿ ïåðèîäîâÎïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ îáúåêòîâÏóñòü äàíû ÷åòûðå íàòóðàëüíûõ ïàðàìåòðà: n, k, p, q, ïðè÷åì n > max{k+1, p, q},p > q > 1.Ìàñêà u åñòü áèíàðíîå ñëîâî äëèíû n ñ k íóëÿìè; S(n, k) � ìíîæåñòâî âñåõ ìàñîê.Êàæäîé ìàñêå ñîïîñòàâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîå ÷àñòè÷íîå ñëîâî up,q äëèíû n ñïåðèîäàìè p è q: D(up,q) åñòü ìíîæåñòâî ïîçèöèé åäèíèö â u, áóêâû îïðåäåëÿþòêëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè ïî p- è q-ïåðèîäè÷íîñòè, ïîðÿäîê âûáîðà áóêâçà�èêñèðîâàí äëÿ âñåõ ñëîâ.Cëó÷àéíîå ÷àñòè÷íîå ñëîâî åñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà W (n, k, p,q), ðàâíîìåðíîðàñïðåäåëåííàÿ ñðåäè âñåõ up,q, ãäå u ∈ S(n, k).Îòíîøåíèå ìîùíîñòåé ìíîæåñòâ In,k,p,q = {u ∈ Sn,k | up,q óíàðíî} è S(n, k) åñòüâåðîÿòíîñòü âûïîëíåíèÿ ñâîéñòâà âçàèìîäåéñòâèÿ äëÿ W (n, k,p, q).À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 23 / 28

Âåðîÿòíîñòíûé àñïåêò âçàèìîäåéñòâèÿ ïåðèîäîâÎïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ îáúåêòîâÏóñòü äàíû ÷åòûðå íàòóðàëüíûõ ïàðàìåòðà: n, k, p, q, ïðè÷åì n > max{k+1, p, q},p > q > 1.Ìàñêà u åñòü áèíàðíîå ñëîâî äëèíû n ñ k íóëÿìè; S(n, k) � ìíîæåñòâî âñåõ ìàñîê.Êàæäîé ìàñêå ñîïîñòàâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîå ÷àñòè÷íîå ñëîâî up,q äëèíû n ñïåðèîäàìè p è q: D(up,q) åñòü ìíîæåñòâî ïîçèöèé åäèíèö â u, áóêâû îïðåäåëÿþòêëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè ïî p- è q-ïåðèîäè÷íîñòè, ïîðÿäîê âûáîðà áóêâçà�èêñèðîâàí äëÿ âñåõ ñëîâ.Cëó÷àéíîå ÷àñòè÷íîå ñëîâî åñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà W (n, k, p,q), ðàâíîìåðíîðàñïðåäåëåííàÿ ñðåäè âñåõ up,q, ãäå u ∈ S(n, k).Îòíîøåíèå ìîùíîñòåé ìíîæåñòâ In,k,p,q = {u ∈ Sn,k | up,q óíàðíî} è S(n, k) åñòüâåðîÿòíîñòü âûïîëíåíèÿ ñâîéñòâà âçàèìîäåéñòâèÿ äëÿ W (n, k,p, q).Ïîñòàíîâêà çàäà÷èÈññëåäîâàòü âåðîÿòíîñòü âûïîëíåíèÿ ñâîéñòâà âçàèìîäåéñòâèÿ, êîãäà ïàðàìåòðûW ñòðåìÿòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè (êàæäûé ïî-ñâîåìó). Íàéòè àíàëîã ¾äëèíûâçàèìîäåéñòâèÿ¿, ãàðàíòèðóþùèé âûïîëíåíèå ñâîéñòâà ñ âûñîêîé âåðîÿòíîñòüþ.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 23 / 28

Ïåðåõîä ê äâóäîëüíûì ãðà�àìÏóñòü w � ðåàëèçàöèÿ W (n, k, p,q). Íàçîâåì P-êëàññîì (Q-êëàññîì) ìíîæåñòâîïîçèöèé â w , ðàâíûì ïî ìîäóëþ P (ìîäóëþ Q).Âñå ïîçèöèè èç D(w), ïðèíàäëåæàùèå îäíîìó P- èëè Q-êëàññó, ñîäåðæàòîäèíàêîâûå áóêâûÊàæäàÿ áóêâà ïðèíàäëåæèò P-êëàññó è Q-êëàññó, è ýòè êëàññû ñîäåðæàòîäèíàêîâûå áóêâû; ýòî ïðèâîäèò ê ðàñïðîñòðàíåíèþ îäèíàêîâûõ áóêâ ïîòðàíçèòèâíîñòèÊëàññû, íå ïåðåñåêàþùèå D(w), íå èãðàþò ðîëè


Ïåðåõîä ê äâóäîëüíûì ãðà�àìÏóñòü w � ðåàëèçàöèÿ W (n, k, p,q). Íàçîâåì P-êëàññîì (Q-êëàññîì) ìíîæåñòâîïîçèöèé â w , ðàâíûì ïî ìîäóëþ P (ìîäóëþ Q).Âñå ïîçèöèè èç D(w), ïðèíàäëåæàùèå îäíîìó P- èëè Q-êëàññó, ñîäåðæàòîäèíàêîâûå áóêâûÊàæäàÿ áóêâà ïðèíàäëåæèò P-êëàññó è Q-êëàññó, è ýòè êëàññû ñîäåðæàòîäèíàêîâûå áóêâû; ýòî ïðèâîäèò ê ðàñïðîñòðàíåíèþ îäèíàêîâûõ áóêâ ïîòðàíçèòèâíîñòèÊëàññû, íå ïåðåñåêàþùèå D(w), íå èãðàþò ðîëè�àññìîòðèì äâóäîëüíûé ãðà� Gw = (Q,P,Ew ), ãäåQ = {0, . . . , q−1}, P = {0, . . . , p−1}êàæäîé ïîçèöèè i ∈ D(w) ñîîòâåòñòâóåò ðåáðî (i mod q, i mod p) (äîïóñêàþòñÿêðàòíûå ðåáðà)À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 24 / 28

Ïåðåõîä ê äâóäîëüíûì ãðà�àìÏóñòü w � ðåàëèçàöèÿ W (n, k, p,q). Íàçîâåì P-êëàññîì (Q-êëàññîì) ìíîæåñòâîïîçèöèé â w , ðàâíûì ïî ìîäóëþ P (ìîäóëþ Q).Âñå ïîçèöèè èç D(w), ïðèíàäëåæàùèå îäíîìó P- èëè Q-êëàññó, ñîäåðæàòîäèíàêîâûå áóêâûÊàæäàÿ áóêâà ïðèíàäëåæèò P-êëàññó è Q-êëàññó, è ýòè êëàññû ñîäåðæàòîäèíàêîâûå áóêâû; ýòî ïðèâîäèò ê ðàñïðîñòðàíåíèþ îäèíàêîâûõ áóêâ ïîòðàíçèòèâíîñòèÊëàññû, íå ïåðåñåêàþùèå D(w), íå èãðàþò ðîëè�àññìîòðèì äâóäîëüíûé ãðà� Gw = (Q,P,Ew ), ãäåQ = {0, . . . , q−1}, P = {0, . . . , p−1}êàæäîé ïîçèöèè i ∈ D(w) ñîîòâåòñòâóåò ðåáðî (i mod q, i mod p) (äîïóñêàþòñÿêðàòíûå ðåáðà)Ïðèìåð: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15⋄ ⋄ ⋄ ⋄ ⋄q = 3p = 5 ⋄ ⋄ ⋄


Ïåðåõîä ê äâóäîëüíûì ãðà�àìÏóñòü w � ðåàëèçàöèÿ W (n, k, p,q). Íàçîâåì P-êëàññîì (Q-êëàññîì) ìíîæåñòâîïîçèöèé â w , ðàâíûì ïî ìîäóëþ P (ìîäóëþ Q).Âñå ïîçèöèè èç D(w), ïðèíàäëåæàùèå îäíîìó P- èëè Q-êëàññó, ñîäåðæàòîäèíàêîâûå áóêâûÊàæäàÿ áóêâà ïðèíàäëåæèò P-êëàññó è Q-êëàññó, è ýòè êëàññû ñîäåðæàòîäèíàêîâûå áóêâû; ýòî ïðèâîäèò ê ðàñïðîñòðàíåíèþ îäèíàêîâûõ áóêâ ïîòðàíçèòèâíîñòèÊëàññû, íå ïåðåñåêàþùèå D(w), íå èãðàþò ðîëè�àññìîòðèì äâóäîëüíûé ãðà� Gw = (Q,P,Ew ), ãäåQ = {0, . . . , q−1}, P = {0, . . . , p−1}êàæäîé ïîçèöèè i ∈ D(w) ñîîòâåòñòâóåò ðåáðî (i mod q, i mod p) (äîïóñêàþòñÿêðàòíûå ðåáðà)Ïðèìåð: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15⋄ ⋄ ⋄ ⋄ ⋄q = 3p = 5 ⋄ ⋄ ⋄0 1 20 1 2 3 4À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 24 / 28

Ïåðåõîä ê äâóäîëüíûì ãðà�àìÏóñòü w � ðåàëèçàöèÿ W (n, k, p,q). Íàçîâåì P-êëàññîì (Q-êëàññîì) ìíîæåñòâîïîçèöèé â w , ðàâíûì ïî ìîäóëþ P (ìîäóëþ Q).Âñå ïîçèöèè èç D(w), ïðèíàäëåæàùèå îäíîìó P- èëè Q-êëàññó, ñîäåðæàòîäèíàêîâûå áóêâûÊàæäàÿ áóêâà ïðèíàäëåæèò P-êëàññó è Q-êëàññó, è ýòè êëàññû ñîäåðæàòîäèíàêîâûå áóêâû; ýòî ïðèâîäèò ê ðàñïðîñòðàíåíèþ îäèíàêîâûõ áóêâ ïîòðàíçèòèâíîñòèÊëàññû, íå ïåðåñåêàþùèå D(w), íå èãðàþò ðîëè�àññìîòðèì äâóäîëüíûé ãðà� Gw = (Q,P,Ew ), ãäåQ = {0, . . . , q−1}, P = {0, . . . , p−1}êàæäîé ïîçèöèè i ∈ D(w) ñîîòâåòñòâóåò ðåáðî (i mod q, i mod p) (äîïóñêàþòñÿêðàòíûå ðåáðà)Ïðèìåð: a a a ab ba1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15⋄ ⋄ ⋄ ⋄ ⋄q = 3p = 5 ⋄ ⋄ ⋄0 1 20 1 2 3 4À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 24 / 28

Ïåðåõîä ê äâóäîëüíûì ãðà�àìÏóñòü w � ðåàëèçàöèÿ W (n, k, p,q). Íàçîâåì P-êëàññîì (Q-êëàññîì) ìíîæåñòâîïîçèöèé â w , ðàâíûì ïî ìîäóëþ P (ìîäóëþ Q).Âñå ïîçèöèè èç D(w), ïðèíàäëåæàùèå îäíîìó P- èëè Q-êëàññó, ñîäåðæàòîäèíàêîâûå áóêâûÊàæäàÿ áóêâà ïðèíàäëåæèò P-êëàññó è Q-êëàññó, è ýòè êëàññû ñîäåðæàòîäèíàêîâûå áóêâû; ýòî ïðèâîäèò ê ðàñïðîñòðàíåíèþ îäèíàêîâûõ áóêâ ïîòðàíçèòèâíîñòèÊëàññû, íå ïåðåñåêàþùèå D(w), íå èãðàþò ðîëè�àññìîòðèì äâóäîëüíûé ãðà� Gw = (Q,P,Ew ), ãäåQ = {0, . . . , q−1}, P = {0, . . . , p−1}êàæäîé ïîçèöèè i ∈ D(w) ñîîòâåòñòâóåò ðåáðî (i mod q, i mod p) (äîïóñêàþòñÿêðàòíûå ðåáðà)Ïðèìåð: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15⋄ ⋄ ⋄ ⋄ ⋄q = 3p = 5 ⋄ ⋄ ⋄0 1 20 1 2 3 4À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 24 / 28

Ïåðåõîä ê äâóäîëüíûì ãðà�àìÏóñòü w � ðåàëèçàöèÿ W (n, k, p,q). Íàçîâåì P-êëàññîì (Q-êëàññîì) ìíîæåñòâîïîçèöèé â w , ðàâíûì ïî ìîäóëþ P (ìîäóëþ Q).Âñå ïîçèöèè èç D(w), ïðèíàäëåæàùèå îäíîìó P- èëè Q-êëàññó, ñîäåðæàòîäèíàêîâûå áóêâûÊàæäàÿ áóêâà ïðèíàäëåæèò P-êëàññó è Q-êëàññó, è ýòè êëàññû ñîäåðæàòîäèíàêîâûå áóêâû; ýòî ïðèâîäèò ê ðàñïðîñòðàíåíèþ îäèíàêîâûõ áóêâ ïîòðàíçèòèâíîñòèÊëàññû, íå ïåðåñåêàþùèå D(w), íå èãðàþò ðîëè�àññìîòðèì äâóäîëüíûé ãðà� Gw = (Q,P,Ew ), ãäåQ = {0, . . . , q−1}, P = {0, . . . , p−1}êàæäîé ïîçèöèè i ∈ D(w) ñîîòâåòñòâóåò ðåáðî (i mod q, i mod p) (äîïóñêàþòñÿêðàòíûå ðåáðà)Ïðèìåð: a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15⋄ ⋄ ⋄ ⋄ ⋄q = 3p = 5 ⋄ ⋄ ⋄0 1 20 1 2 3 4À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 24 / 28

Ñëó÷àéíûé äâóäîëüíûé ãðà�Ïðåäëîæåíèå�åàëèçàöèÿ w ñëó÷àéíîãî ÷àñòè÷íîãî ñëîâà W (n, k, p, q) ÿâëÿåòñÿ óíàðíûì ñëîâîìò. è ò.ò.ê. ãðà� Gw ÿâëÿåòñÿ ñâÿçíûì ïî ðåáðàì (ò.å âñå ðåáðà ïðèíàäëåæàò îäíîéêîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè).


Ñëó÷àéíûé äâóäîëüíûé ãðà�Ïðåäëîæåíèå�åàëèçàöèÿ w ñëó÷àéíîãî ÷àñòè÷íîãî ñëîâà W (n, k, p, q) ÿâëÿåòñÿ óíàðíûì ñëîâîìò. è ò.ò.ê. ãðà� Gw ÿâëÿåòñÿ ñâÿçíûì ïî ðåáðàì (ò.å âñå ðåáðà ïðèíàäëåæàò îäíîéêîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè).Ñëó÷àéíûé äâóäîëüíûé ãðà� G (p, q,m) åñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà,ðàâíîðàñïðåäåëåííàÿ ìåæäó âñåìè äâóäîëüíûìè ãðà�àìè ñ m ðåáðàìè è äîëÿìèðàçìåðà p è q.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 25 / 28

Ñëó÷àéíûé äâóäîëüíûé ãðà�Ïðåäëîæåíèå�åàëèçàöèÿ w ñëó÷àéíîãî ÷àñòè÷íîãî ñëîâà W (n, k, p, q) ÿâëÿåòñÿ óíàðíûì ñëîâîìò. è ò.ò.ê. ãðà� Gw ÿâëÿåòñÿ ñâÿçíûì ïî ðåáðàì (ò.å âñå ðåáðà ïðèíàäëåæàò îäíîéêîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè).Ñëó÷àéíûé äâóäîëüíûé ãðà� G (p, q,m) åñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà,ðàâíîðàñïðåäåëåííàÿ ìåæäó âñåìè äâóäîëüíûìè ãðà�àìè ñ m ðåáðàìè è äîëÿìèðàçìåðà p è q.ÏðåäëîæåíèåÂåðîÿòíîñòü ðåáåðíîé ñâÿçíîñòè G (p, q,m) ðàâíà âåðîÿòíîñòè óíàðíîñòèW (pq,pq−m, p, q).Îòîáðàæåíèå w → Gw ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé ìåæäó âåðîÿòíîñòíûìèïðîñòðàíñòâàìè.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 25 / 28

Ñëó÷àéíûé äâóäîëüíûé ãðà�Ïðåäëîæåíèå�åàëèçàöèÿ w ñëó÷àéíîãî ÷àñòè÷íîãî ñëîâà W (n, k, p, q) ÿâëÿåòñÿ óíàðíûì ñëîâîìò. è ò.ò.ê. ãðà� Gw ÿâëÿåòñÿ ñâÿçíûì ïî ðåáðàì (ò.å âñå ðåáðà ïðèíàäëåæàò îäíîéêîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè).Ñëó÷àéíûé äâóäîëüíûé ãðà� G (p, q,m) åñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà,ðàâíîðàñïðåäåëåííàÿ ìåæäó âñåìè äâóäîëüíûìè ãðà�àìè ñ m ðåáðàìè è äîëÿìèðàçìåðà p è q.ÏðåäëîæåíèåÂåðîÿòíîñòü ðåáåðíîé ñâÿçíîñòè G (p, q,m) ðàâíà âåðîÿòíîñòè óíàðíîñòèW (pq,pq−m, p, q).Îòîáðàæåíèå w → Gw ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé ìåæäó âåðîÿòíîñòíûìèïðîñòðàíñòâàìè.Äëÿ n 6= pq íóæíî íåìíîãî ¾ïîäïðàâèòü¿ ìîäåëü ñëó÷àéíîãî äâóäîëüíîãî ãðà�à(m ðåáåð âûáèðàþòñÿ èç n ñëîòîâ); ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè n > pqàñèìïòîòè÷åñêèå ñâîéñòâà áóäóò òàêèå æå, êàê ó áàçîâîé ìîäåëè (ïðè n < pq ñêîðååâñåãî òîæå, íî íå èññëåäîâàíî).À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 25 / 28

Ôàçîâûå ïåðåõîäû×åìó ðàâíà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñëó÷àéíûé ãðà� èìååò ñâîéñòâî P?


Ôàçîâûå ïåðåõîäû×åìó ðàâíà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñëó÷àéíûé ãðà� èìååò ñâîéñòâî P?�àçîâûé ïåðåõîä (êàê íà êàðòèíêå) � ðàñïðîñòðàíåííîå ÿâëåíèå äëÿ ìíîãèõ ñâîéñòâ01

Âåð-ñòü ×èñëî ðåáåðÀ. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 26 / 28


Âåð-ñòü ×èñëî ðåáåðÒèïè÷íàÿ øèðèíà ïåðåõîäà: ïóñòü m = f (n) = n(lnn + ln lnn + g(n)).åñëè g(n) n→∞

−−−→ +∞, ñëó÷àéíûé ãðà� îáëàäàåò P ñ âûñîêîé âåð-ñòüþÀ. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 26 / 28



−−−→ +∞, ñëó÷àéíûé ãðà� îáëàäàåò P ñ âûñîêîé âåð-ñòüþåñëè g(n) n→∞

−−−→ −∞, ñëó÷àéíûé ãðà� íå îáëàäàåò P ñ âûñîêîé âåð-ñòüþÀ. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 26 / 28



−−−→ +∞, ñëó÷àéíûé ãðà� îáëàäàåò P ñ âûñîêîé âåð-ñòüþåñëè g(n) n→∞

−−−→ −∞, ñëó÷àéíûé ãðà� íå îáëàäàåò P ñ âûñîêîé âåð-ñòüþåñëè g(n) = onst + o(1), ñëó÷àéíûé ãðà� îáëàäàåò P ñ âåð-ñòüþ, îòäåëÿåìîé îò 0è 1.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 26 / 28

�åáåðíàÿ ñâÿçíîñòü ñëó÷àéíûõ äâóäîëüíûõ ãðà�îâÏóñòü f (p,q) � ¾òî÷êà¿ �àçîâîãî ïåðåõîäà ïî ñâîéñòâó ðåáåðíîé ñâÿçíîñòèñëó÷àéíîãî äâóäîëüíîãî ãðà�à.Òåîðåìà (Èäèàòóëèíà, Øóð, 2012)Ïóñòü p > q >p ln ln pln p . Òîãäàf (p, q) =

pqp+q−2( ln pqp+q−2 + ln ln pqp+q−2 + g(p, q))Òåîðåìà (Èäèàòóëèíà, Øóð, 2013)Ïóñòü q = o( pln p ). Òîãäà f (p, q) =

√pq(lnq+g(p, q))Ïåðåíîñèòñÿ è íà ñëó÷àé ìóëüòèãðà�îâ.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ïåðèîäè÷íîñòü è âçàèìîäåéñòâèå ïåðèîäîâ 18 ìàðòà 2015 ã. 27 / 28

Íàçàä ê ðîáîòóÎñíîâíîé âûâîä èç òåîðåìÅñëè íàñ èíòåðåñóåò íå ãàðàíòèðîâàííàÿ óïðàâëÿåìîñòü ñèñòåìû ïîñëå ïîòåðü, àóïðàâëÿåìîñòü ñ âûñîêîé âåðîÿòíîñòüþ, òî ïîòåðÿòü ìîæíî ïî÷òè âñå ìàøèíû.×èñëî èñïðàâíûõ ìàøèí, íåîáõîäèìîå äëÿ óïðàâëÿåìîñòè, èìååò ïîðÿäîê q log q èâîîáùå íå çàâèñèò îò n!


Íàçàä ê ðîáîòóÎñíîâíîé âûâîä èç òåîðåìÅñëè íàñ èíòåðåñóåò íå ãàðàíòèðîâàííàÿ óïðàâëÿåìîñòü ñèñòåìû ïîñëå ïîòåðü, àóïðàâëÿåìîñòü ñ âûñîêîé âåðîÿòíîñòüþ, òî ïîòåðÿòü ìîæíî ïî÷òè âñå ìàøèíû.×èñëî èñïðàâíûõ ìàøèí, íåîáõîäèìîå äëÿ óïðàâëÿåìîñòè, èìååò ïîðÿäîê q log q èâîîáùå íå çàâèñèò îò n!Îäíàêî ïî äîñòèæåíèè ïðåäåëà ïîòåðÿ ëþáîé ìàøèíû ñóùåñòâåííî óìåíüøàåòâåðîÿòíîñòü óïðàâëÿåìîñòè ñèñòåìû...


Комбинаторика слов и ее приложения, весна 2015: Лекция 2

Documents