Комбинаторика слов и ее приложения, весна 2015: Лекции...

Ëåêöèÿ 9: Áåñïîâòîðíûå ñëîâàÀ. Ì. ØóðÈíñòèòóò ìàòåìàòèêè è êîìïüþòåðíûõ íàóê (ìàòìåõ) ÓðÔÓ26 ìàðòà 2015À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Áåñïîâòîðíûå ñëîâà 26 ìàðòà 2015 1 / 22

Ïîâòîðÿþùèåñÿ ïîäñëîâà: ÷èñëåííàÿ õàðàêòåðèñòèêàÎïðåäåëåíèåÝêñïîíåíòîé ñëîâà íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå åãî äëèíû ê åãî íàèìåíüøåìó ïåðèîäó:exp(w) = |w |/per(w).Ýêñïîíåíòà � ýòî õàðàêòåðèñòèêà ãëîáàëüíîé ïåðèîäè÷íîñòè ñëîâà. Îíà ïîêàçûâàåòâçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ñàìûõ äëèííûõ îäèíàêîâûõ ïîäñëîâ â ñëîâå, îäíî èçêîòîðûõ � ïðå�èêñ, à äðóãîå � ñó��èêñ.⋆ Â äàëüíåéøåì ïàðó îäèíàêîâûõ ïîäñëîâ â ñëîâå ìû íàçûâàåì ïîâòîðîì.

À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Áåñïîâòîðíûå ñëîâà 26 ìàðòà 2015 2 / 22

Ïîâòîðÿþùèåñÿ ïîäñëîâà: ÷èñëåííàÿ õàðàêòåðèñòèêàÎïðåäåëåíèåÝêñïîíåíòîé ñëîâà íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå åãî äëèíû ê åãî íàèìåíüøåìó ïåðèîäó:exp(w) = |w |/per(w).Ýêñïîíåíòà � ýòî õàðàêòåðèñòèêà ãëîáàëüíîé ïåðèîäè÷íîñòè ñëîâà. Îíà ïîêàçûâàåòâçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ñàìûõ äëèííûõ îäèíàêîâûõ ïîäñëîâ â ñëîâå, îäíî èçêîòîðûõ � ïðå�èêñ, à äðóãîå � ñó��èêñ.⋆ Â äàëüíåéøåì ïàðó îäèíàêîâûõ ïîäñëîâ â ñëîâå ìû íàçûâàåì ïîâòîðîì.exp(w) = 2: ïîâòîð ¾âïëîòíóþ¿ (êâàäðàò), íàïðèìåð, ÒÀ�ÒÀ�;exp(w) > 2: ïîâòîð ¾ñ ïåðåêðûòèåì¿, íàïðèìåð, ÀÍÒÀÍÒÀ (exp = 7/3);exp(w) < 2: ïîâòîð ¾íà ðàññòîÿíèè¿, íàïðèìåð, ÊÎËÎÊÎË (exp = 7/4) èëèÀÁ�ÀÊÀÄÀÁ�À (exp = 11/7).À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Áåñïîâòîðíûå ñëîâà 26 ìàðòà 2015 2 / 22

Ïîâòîðÿþùèåñÿ ïîäñëîâà: ÷èñëåííàÿ õàðàêòåðèñòèêàÎïðåäåëåíèåÝêñïîíåíòîé ñëîâà íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå åãî äëèíû ê åãî íàèìåíüøåìó ïåðèîäó:exp(w) = |w |/per(w).Ýêñïîíåíòà � ýòî õàðàêòåðèñòèêà ãëîáàëüíîé ïåðèîäè÷íîñòè ñëîâà. Îíà ïîêàçûâàåòâçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ñàìûõ äëèííûõ îäèíàêîâûõ ïîäñëîâ â ñëîâå, îäíî èçêîòîðûõ � ïðå�èêñ, à äðóãîå � ñó��èêñ.⋆ Â äàëüíåéøåì ïàðó îäèíàêîâûõ ïîäñëîâ â ñëîâå ìû íàçûâàåì ïîâòîðîì.exp(w) = 2: ïîâòîð ¾âïëîòíóþ¿ (êâàäðàò), íàïðèìåð, ÒÀ�ÒÀ�;exp(w) > 2: ïîâòîð ¾ñ ïåðåêðûòèåì¿, íàïðèìåð, ÀÍÒÀÍÒÀ (exp = 7/3);exp(w) < 2: ïîâòîð ¾íà ðàññòîÿíèè¿, íàïðèìåð, ÊÎËÎÊÎË (exp = 7/4) èëèÀÁ�ÀÊÀÄÀÁ�À (exp = 11/7).Âîïðîñ: êàêèõ ïîâòîðîâ ìîæíî èçáåæàòü â çàäàííîì àë�àâèòå?À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Áåñïîâòîðíûå ñëîâà 26 ìàðòà 2015 2 / 22

Ñâîáîäà è íåèçáåæíîñòüÎïðåäåëåíèåCëîâî w íàçûâàåòñÿβ-ñâîáîäíûì, åñëè ýêñïîíåíòà ëþáîãî åãî ïîäñëîâà ìåíüøå β;β+-ñâîáîäíûì, åñëè ýêñïîíåíòà ëþáîãî åãî ïîäñëîâà íå áîëüøå β.Äàëåå β+ òðàêòóåòñÿ êàê ¾÷èñëî¿, ïîêðûâàþùåå β â îáû÷íîì ïîðÿäêå 6 íà R, àñîîòâåòñòâóþùåå ðàñøèðåíèå R îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç R̂.Ïðèìåð:- 2-ñâîáîäíûå (áåñêâàäðàòíûå) ñëîâà = ñëîâà, íå ñîäåðæàùèå ïîâòîðîâ âïëîòíóþ- 2+-ñâîáîäíûå (overlap-free, ñèëüíî áåñêóáíûå) ñëîâà = ñëîâà, íå ñîäåðæàùèåïîâòîðîâ ñ ïåðåêðûòèåì


Ñâîáîäà è íåèçáåæíîñòüÎïðåäåëåíèåCëîâî w íàçûâàåòñÿβ-ñâîáîäíûì, åñëè ýêñïîíåíòà ëþáîãî åãî ïîäñëîâà ìåíüøå β;β+-ñâîáîäíûì, åñëè ýêñïîíåíòà ëþáîãî åãî ïîäñëîâà íå áîëüøå β.Äàëåå β+ òðàêòóåòñÿ êàê ¾÷èñëî¿, ïîêðûâàþùåå β â îáû÷íîì ïîðÿäêå 6 íà R, àñîîòâåòñòâóþùåå ðàñøèðåíèå R îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç R̂.Ïðèìåð:- 2-ñâîáîäíûå (áåñêâàäðàòíûå) ñëîâà = ñëîâà, íå ñîäåðæàùèå ïîâòîðîâ âïëîòíóþ- 2+-ñâîáîäíûå (overlap-free, ñèëüíî áåñêóáíûå) ñëîâà = ñëîâà, íå ñîäåðæàùèåïîâòîðîâ ñ ïåðåêðûòèåìÎïðåäåëåíèåÝêñïîíåíòà β ∈ R̂ íàçûâàåòñÿk-èçáåãàåìîé, åñëè ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî β-ñâîáîäíûõ k-è÷íûõ ñëîâk-íåèçáåæíîé â ïðîòèâíîì ñëó÷àåÀ. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Áåñïîâòîðíûå ñëîâà 26 ìàðòà 2015 3 / 22

Ñâîáîäà è íåèçáåæíîñòü - 2Çàìå÷àíèåÅñëè ýêñïîíåíòà β ∈ R̂ k-èçáåãàåìà, òî ëþáàÿ ýêñïîíåíòà β′ > β òîæå k-èçáåãàåìà.Ëþáîå β-ñâîáîäíîå ñëîâî ÿâëÿåòñÿ β′-ñâîáîäíûì.


Ñâîáîäà è íåèçáåæíîñòü - 2Çàìå÷àíèåÅñëè ýêñïîíåíòà β ∈ R̂ k-èçáåãàåìà, òî ëþáàÿ ýêñïîíåíòà β′ > β òîæå k-èçáåãàåìà.Ëþáîå β-ñâîáîäíîå ñëîâî ÿâëÿåòñÿ β′-ñâîáîäíûì.Çàìå÷àíèåÝêñïîíåíòà β ∈ R̂ k-èçáåãàåìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò β-ñâîáîäíîåk-è÷íîå áåñêîíå÷íîå âïðàâî ñëîâî (ω-ñëîâî).⇐: Î÷åâèäíî � ó áåñêîíå÷íîãî ñëîâà áåñêîíå÷íî ìíîãî êîíå÷íûõ ïîäñëîâ.⇒: Ïîäñëîâà (â ÷àñòíîñòè, ïðå�èêñû) β-ñâîáîäíûõ ñëîâ ÿâëÿþòñÿ β-ñâîáîäíûìè.Ïîñòðîèì äåðåâî âñåõ β-ñâîáîäíûõ k-è÷íûõ ñëîâ (êàæäîå ñëîâî � óçåë; óçåëðîäèòåëÿ ïîëó÷àåòñÿ èç óçëà ðåáåíêà ñòèðàíèåì ïîñëåäíåé áóêâû). Ïîñêîëüêóäåðåâî áåñêîíå÷íî, à ó êàæäîãî óçëà íå áîëåå k äåòåé, òî â íåì åñòü áåñêîíå÷íàÿöåïü. Âäîëü íåå ÷èòàåòñÿ β-ñâîáîäíîå ω-ñëîâî, ïîñêîëüêó âñå åãî ïðå�èêñûβ-ñâîáîäíû.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Áåñïîâòîðíûå ñëîâà 26 ìàðòà 2015 4 / 22

Èññëåäîâàíèå áåñïîâòîðíûõ ñëîâ: ðàáîòû ÒóýÀêñåëü Òóý (1863-1922) � íîðâåæåö, îäèí èç âå-ëè÷àéøèõ ìàòåìàòèêîâ ðóáåæà âåêîâ. ¾Äåäóø-êà¿ êîìáèíàòîðèêè ñëîâ. Ïóáëèêîâàëñÿ â íîð-âåæñêèõ æóðíàëàõ. Ìèð ñ óäèâëåíèåì óçíàë î åãîðåçóëüòàòàõ ïðèìåðíî â 1950-õ ãîäàõ.


Èññëåäîâàíèå áåñïîâòîðíûõ ñëîâ: ðàáîòû ÒóýÀêñåëü Òóý (1863-1922) � íîðâåæåö, îäèí èç âå-ëè÷àéøèõ ìàòåìàòèêîâ ðóáåæà âåêîâ. ¾Äåäóø-êà¿ êîìáèíàòîðèêè ñëîâ. Ïóáëèêîâàëñÿ â íîð-âåæñêèõ æóðíàëàõ. Ìèð ñ óäèâëåíèåì óçíàë î åãîðåçóëüòàòàõ ïðèìåðíî â 1950-õ ãîäàõ.Òåîðåìà Òóý î áåñêâàäðàòíûõ ñëîâàõ (1906)Ýêñïîíåíòà 2 ÿâëÿåòñÿ 3-èçáåãàåìîé.Òåîðåìà Òóý î ñèëüíî áåñêóáíûõ ñëîâàõ (1912)Ýêñïîíåíòà 2+ ÿâëÿåòñÿ 2-èçáåãàåìîé.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Áåñïîâòîðíûå ñëîâà 26 ìàðòà 2015 5 / 22

Ìîð�èçì ÒóýÎïðåäåëåíèåÌîð�èçì åñòü �óíêöèÿ f : Σ∗ → Σ∗ òàêàÿ, ÷òîf (λ) = λ è f (w) = f (w [1]) · · · f (w [|w |]) äëÿ ëþáîãî íåïóñòîãî ñëîâà w .⋆ Ëþáîé ìîð�èçì îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèìè çíà÷åíèÿìè íà áóêâàõ (ñëîâàõ äëèíû 1).


Ìîð�èçì ÒóýÎïðåäåëåíèåÌîð�èçì åñòü �óíêöèÿ f : Σ∗ → Σ∗ òàêàÿ, ÷òîf (λ) = λ è f (w) = f (w [1]) · · · f (w [|w |]) äëÿ ëþáîãî íåïóñòîãî ñëîâà w .⋆ Ëþáîé ìîð�èçì îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèìè çíà÷åíèÿìè íà áóêâàõ (ñëîâàõ äëèíû 1).Ìîð�èçì Òóý θ : {0, 1}∗ → {0, 1}∗ çàäàåòñÿ çíà÷åíèÿìè

θ(0) = 01, θ(1) = 10.Òåîðåìà Òóý î ñèëüíî áåñêóáíûõ ñëîâàõ âûòåêàåò èç ñëåäóþùåé ëåììû.Ëåììà î ìîð�èçìå ÒóýÅñëè w � 2+-ñâîáîäíîå ñëîâî, òî θ(w) � òàêæå 2+-ñâîáîäíîå ñëîâî.Ìîð�èçì ñ òàêèì ñâîéñòâîì íàçûâàåòñÿ 2+-ñâîáîäíûì.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Áåñïîâòîðíûå ñëîâà 26 ìàðòà 2015 6 / 22

Ìîð�èçì ÒóýÎïðåäåëåíèåÌîð�èçì åñòü �óíêöèÿ f : Σ∗ → Σ∗ òàêàÿ, ÷òîf (λ) = λ è f (w) = f (w [1]) · · · f (w [|w |]) äëÿ ëþáîãî íåïóñòîãî ñëîâà w .⋆ Ëþáîé ìîð�èçì îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèìè çíà÷åíèÿìè íà áóêâàõ (ñëîâàõ äëèíû 1).Ìîð�èçì Òóý θ : {0, 1}∗ → {0, 1}∗ çàäàåòñÿ çíà÷åíèÿìè

θ(0) = 01, θ(1) = 10.Òåîðåìà Òóý î ñèëüíî áåñêóáíûõ ñëîâàõ âûòåêàåò èç ñëåäóþùåé ëåììû.Ëåììà î ìîð�èçìå ÒóýÅñëè w � 2+-ñâîáîäíîå ñëîâî, òî θ(w) � òàêæå 2+-ñâîáîäíîå ñëîâî.Ìîð�èçì ñ òàêèì ñâîéñòâîì íàçûâàåòñÿ 2+-ñâîáîäíûì. Íà ñàìîì äåëå, ìîð�èçìÒóý åùå êðó÷å: îí ÿâëÿåòñÿ β-ñâîáîäíûì äëÿ ëþáîãî β > 2+.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Áåñïîâòîðíûå ñëîâà 26 ìàðòà 2015 6 / 22

Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû î ìîð�èçìå ÒóýÏóñòü ñëîâî θ(w) íå ÿâëÿåòñÿ 2+-ñâîáîäíûì, ò.å. èìååò ïîäñëîâî äëèíû > 2k ñïåðèîäîì k äëÿ íåêîòîðîãî k > 1. Á.î.î. ýòî ïîäñëîâî íà÷èíàåòñÿ ñ 0. Òîãäà îíîíà÷èíàåòñÿ (èëè ñîâïàäàåò) ñ 0x0x0 äëÿ íåêîòîðîãî ñëîâà x .Ñàìî ñëîâî θ(w) åñòü ïðîèçâåäåíèå |w | øòóê áëîêîâ 01 è 10. Çíà÷èò, x 6= λ, à ñëîâî0x0x0, èìåþùåå íå÷åòíóþ äëèíó, âûðîâíåíî ñëåâà èëè ñïðàâà ïî ãðàíèöå áëîêîâ.Ïóñòü îíî âûðîâíåíî ñëåâà (âòîðîé ñëó÷àé ðàçáèðàåòñÿ òî÷íî òàê æå). Òîãäà 0xíà÷èíàåòñÿ ñ áëîêà 01; ïîëîæèì x = 1x ′. Çà ïîñëåäíèì 0 ñëåäóåò 1 èç òîãî æåáëîêà, ò.å. â θ(w) åñòü ïîäñëîâî 01x ′01x ′01:0 1 0 1 0 1x ′ x ′θ(w) =


Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû î ìîð�èçìå ÒóýÏóñòü ñëîâî θ(w) íå ÿâëÿåòñÿ 2+-ñâîáîäíûì, ò.å. èìååò ïîäñëîâî äëèíû > 2k ñïåðèîäîì k äëÿ íåêîòîðîãî k > 1. Á.î.î. ýòî ïîäñëîâî íà÷èíàåòñÿ ñ 0. Òîãäà îíîíà÷èíàåòñÿ (èëè ñîâïàäàåò) ñ 0x0x0 äëÿ íåêîòîðîãî ñëîâà x .Ñàìî ñëîâî θ(w) åñòü ïðîèçâåäåíèå |w | øòóê áëîêîâ 01 è 10. Çíà÷èò, x 6= λ, à ñëîâî0x0x0, èìåþùåå íå÷åòíóþ äëèíó, âûðîâíåíî ñëåâà èëè ñïðàâà ïî ãðàíèöå áëîêîâ.Ïóñòü îíî âûðîâíåíî ñëåâà (âòîðîé ñëó÷àé ðàçáèðàåòñÿ òî÷íî òàê æå). Òîãäà 0xíà÷èíàåòñÿ ñ áëîêà 01; ïîëîæèì x = 1x ′. Çà ïîñëåäíèì 0 ñëåäóåò 1 èç òîãî æåáëîêà, ò.å. â θ(w) åñòü ïîäñëîâî 01x ′01x ′01:0 1 0 1 0 1x ′ x ′θ(w) =Åñëè |x ′| � íå÷åòíàÿ, òî ñëîâà x ′0 è 1x ′ ÿâëÿþòñÿ ïðîèçâåäåíèÿìè áëîêîâ.Çíà÷èò, x ′ íà÷èíàåòñÿ ñ 0, çàêàí÷èâàåòñÿ íà 1 è ñîñòîèò èç ÷åðåäóþùèõñÿ áóêâ(òàê êàê ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ ïîçèöèÿìè â x ′ ïðîõîäèò ãðàíèöà áëîêà). Íîäëèíà ñëîâà ñ òàêèì íàáîðîì ñâîéñòâ äîëæíà áûòü ÷åòíîé, ïðîòèâîðå÷èå.Çíà÷èò, |x ′| � ÷åòíàÿ. Òîãäà x ′ � ïðîèçâåäåíèå áëîêîâ, à çíà÷èò, w ñîäåðæèòïðîîáðàç 0θ−1(x ′)0θ−1(x ′)0 ñëîâà 01x ′01x ′01 è íå ÿâëÿåòñÿ 2+-ñâîáîäíûì.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Áåñïîâòîðíûå ñëîâà 26 ìàðòà 2015 7 / 22

Ñëîâî Òóý-ÌîðñàÇàìå÷àíèåÅñëè áóêâà a è ìîð�èçì f òàêîâû, ÷òî f (a) íà÷èíàåòñÿ ñ a, òîf 2(a) = f (f (a)) íà÷èíàåòñÿ ñ f (a), . . . , f n+1(a) íà÷èíàåòñÿ ñ f n(a), . . .åñëè |f n(a)| → ∞, òî ó ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {f n(a)}∞0 åñòü ¾ïðåäåë¿ � ω-ñëîâîw, äëÿ êîòîðîãî âñå f n(a) � ïðå�èêñûÝòîò ïðåäåë íàçûâàåòñÿ ñëîâîì, ïîðîæäåííûì ìîð�èçìîì f , è ÿâëÿåòñÿíåïîäâèæíîé òî÷êîé ìîð�èçìà f , ò.å. f (w) = w.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Áåñïîâòîðíûå ñëîâà 26 ìàðòà 2015 8 / 22

Ñëîâî Òóý-ÌîðñàÇàìå÷àíèåÅñëè áóêâà a è ìîð�èçì f òàêîâû, ÷òî f (a) íà÷èíàåòñÿ ñ a, òîf 2(a) = f (f (a)) íà÷èíàåòñÿ ñ f (a), . . . , f n+1(a) íà÷èíàåòñÿ ñ f n(a), . . .åñëè |f n(a)| → ∞, òî ó ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {f n(a)}∞0 åñòü ¾ïðåäåë¿ � ω-ñëîâîw, äëÿ êîòîðîãî âñå f n(a) � ïðå�èêñûÝòîò ïðåäåë íàçûâàåòñÿ ñëîâîì, ïîðîæäåííûì ìîð�èçìîì f , è ÿâëÿåòñÿíåïîäâèæíîé òî÷êîé ìîð�èçìà f , ò.å. f (w) = w.Ñëîâî, ïîðîæäåííîå ìîð�èçìîì Òóý, íàçûâàåòñÿ ñëîâîì Òóý-Ìîðñà, âûãëÿäèò êàêt = θ∞(0) = 0110 1001 1001 0110 1001 0110 0110 1001 1001 . . .


Ñëîâî Òóý-ÌîðñàÇàìå÷àíèåÅñëè áóêâà a è ìîð�èçì f òàêîâû, ÷òî f (a) íà÷èíàåòñÿ ñ a, òîf 2(a) = f (f (a)) íà÷èíàåòñÿ ñ f (a), . . . , f n+1(a) íà÷èíàåòñÿ ñ f n(a), . . .åñëè |f n(a)| → ∞, òî ó ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {f n(a)}∞0 åñòü ¾ïðåäåë¿ � ω-ñëîâîw, äëÿ êîòîðîãî âñå f n(a) � ïðå�èêñûÝòîò ïðåäåë íàçûâàåòñÿ ñëîâîì, ïîðîæäåííûì ìîð�èçìîì f , è ÿâëÿåòñÿíåïîäâèæíîé òî÷êîé ìîð�èçìà f , ò.å. f (w) = w.Ñëîâî, ïîðîæäåííîå ìîð�èçìîì Òóý, íàçûâàåòñÿ ñëîâîì Òóý-Ìîðñà, âûãëÿäèò êàêt = θ∞(0) = 0110 1001 1001 0110 1001 0110 0110 1001 1001 . . .ÿâëÿåòñÿ 2+-ñâîáîäíûì, ïåðåîòêðûòî >10 ðàç, à åãî îáëàñòü ïðèìåíåíèÿ âêëþ÷àåòðåøåíèå ïðîáëåìû Áåðíñàéäà â òåîðèè ãðóïï ïîñòðîåíèå ãåîäåçè÷åñêèõ ëèíèéìîäåëèðîâàíèå îäíîìåðíûõ êâàçèêðèñòàëëîâ ïîñòðîåíèå ìàãè÷åñêèõ êâàäðàòîâèññëåäîâàíèå óíèìîäàëüíûõ �óíêöèé èçìåíåíèå ïðàâèë øàõìàòíàïèñàíèå ìóçûêàëüíûõ ïðîèçâåäåíèé . . .À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Áåñïîâòîðíûå ñëîâà 26 ìàðòà 2015 8 / 22

Ïàðà ñâîéñòâ ñëîâà Òóý-Ìîðñàt = θ∞(0) = 0110 1001 1001 0110 1001 0110 0110 1001 1001 . . .Åñëè ïîçèöèè â ñëîâå Òóý-Ìîðñà íóìåðîâàòü, íà÷èíàÿ ñ íóëÿ, òîi-ÿ áóêâà ðàâíà ÷èñëó åäèíèö â äâîè÷íîé çàïèñè ÷èñëà i , âçÿòîìó ïî ìîäóëþ 2


Ïàðà ñâîéñòâ ñëîâà Òóý-Ìîðñàt = θ∞(0) = 0110 1001 1001 0110 1001 0110 0110 1001 1001 . . .Åñëè ïîçèöèè â ñëîâå Òóý-Ìîðñà íóìåðîâàòü, íà÷èíàÿ ñ íóëÿ, òîi-ÿ áóêâà ðàâíà ÷èñëó åäèíèö â äâîè÷íîé çàïèñè ÷èñëà i , âçÿòîìó ïî ìîäóëþ 2ðàçáèåíèå îòðåçêà [0..2n−1] íàòóðàëüíîãî ðÿäà, çàäàâàåìîå ïðå�èêñîì ñëîâàÒóý-Ìîðñà, îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè (n > 2):ñóììû ýëåìåíòîâ â êëàññàõ ðàâíûñóììû êâàäðàòîâ ýëåìåíòîâ â êëàññàõ ðàâíû. . .ñóììû (n−1)-õ ñòåïåíåé ýëåìåíòîâ â êëàññàõ ðàâíû:0 + 3 + 5 + 6 = 1 + 2 + 4 + 7 = 1402 + 32 + 52 + 62 = 12 + 22 + 42 + 72 = 70À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Áåñïîâòîðíûå ñëîâà 26 ìàðòà 2015 9 / 22

Ïàðà ñâîéñòâ ñëîâà Òóý-Ìîðñàt = θ∞(0) = 0110 1001 1001 0110 1001 0110 0110 1001 1001 . . .Åñëè ïîçèöèè â ñëîâå Òóý-Ìîðñà íóìåðîâàòü, íà÷èíàÿ ñ íóëÿ, òîi-ÿ áóêâà ðàâíà ÷èñëó åäèíèö â äâîè÷íîé çàïèñè ÷èñëà i , âçÿòîìó ïî ìîäóëþ 2ðàçáèåíèå îòðåçêà [0..2n−1] íàòóðàëüíîãî ðÿäà, çàäàâàåìîå ïðå�èêñîì ñëîâàÒóý-Ìîðñà, îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè (n > 2):ñóììû ýëåìåíòîâ â êëàññàõ ðàâíûñóììû êâàäðàòîâ ýëåìåíòîâ â êëàññàõ ðàâíû. . .ñóììû (n−1)-õ ñòåïåíåé ýëåìåíòîâ â êëàññàõ ðàâíû:0 + 3 + 5 + 6 = 1 + 2 + 4 + 7 = 1402 + 32 + 52 + 62 = 12 + 22 + 42 + 72 = 70Óäèâèòåëüíî, íî åñëè ïîçèöèè íóìåðîâàòü, íà÷èíàÿ ñ k, òî âòîðîå ñâîéñòâî âñåðàâíî âûïîëíÿåòñÿ! (Åñòåñòâåííî, íàäî ðàññìàòðèâàòü îòðåçêè âèäà [k..2n−k−1].)Íàïðèìåð, 2 + 5 + 7 + 8 = 3 + 4 + 6 + 9 = 2222 + 52 + 72 + 82 = 32 + 42 + 62 + 92 = 142À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Áåñïîâòîðíûå ñëîâà 26 ìàðòà 2015 9 / 22

�ðàíèöà ïîâòîðÿåìîñòè⋆ Òåîðåìà Òóý î ñèëüíî áåñêóáíûõ ñëîâàõ ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì ðåçóëüòàòîì âòîì ñìûñëå, ÷òî ìåíüøóþ ñòåïåíü íàä äâóõáóêâåííûì àë�àâèòîì èçáåæàòüíåâîçìîæíî: ëþáîå ñëîâî w ∈ {0, 1}∗ äëèíû > 3 ñîäåðæèò êâàäðàòÎïðåäåëåíèå�ðàíèöåé ïîâòîðÿåìîñòè â k-áóêâåííîì àë�àâèòå íàçûâàåòñÿ äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëîRT(k) = inf{β ∈ R | β k-èçáåãàåìà}.


�ðàíèöà ïîâòîðÿåìîñòè⋆ Òåîðåìà Òóý î ñèëüíî áåñêóáíûõ ñëîâàõ ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì ðåçóëüòàòîì âòîì ñìûñëå, ÷òî ìåíüøóþ ñòåïåíü íàä äâóõáóêâåííûì àë�àâèòîì èçáåæàòüíåâîçìîæíî: ëþáîå ñëîâî w ∈ {0, 1}∗ äëèíû > 3 ñîäåðæèò êâàäðàòÎïðåäåëåíèå�ðàíèöåé ïîâòîðÿåìîñòè â k-áóêâåííîì àë�àâèòå íàçûâàåòñÿ äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëîRT(k) = inf{β ∈ R | β k-èçáåãàåìà}.⋆ Òàêèì îáðàçîì, RT(2) = 2, ïðè÷åì ñàìà ýêñïîíåíòà 2 ÿâëÿåòñÿ 2-íåèçáåæíîéÎñòàëüíûå çíà÷åíèÿ �óíêöèè RT(k) áûëè ïðåäñêàçàíû â 1972 ãîäó Ô. Äåæàí:�èïîòåçà ÄåæàíRT(3) = 7/4,RT(4) = 7/5,RT(k) = k/(k−1) ïðè k > 5,ïðè÷åì ýêñïîíåíòà RT(k) ÿâëÿåòñÿ k-íåèçáåæíîé.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Áåñïîâòîðíûå ñëîâà 26 ìàðòà 2015 10 / 22

�ðàíèöà ïîâòîðÿåìîñòè⋆ Òåîðåìà Òóý î ñèëüíî áåñêóáíûõ ñëîâàõ ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì ðåçóëüòàòîì âòîì ñìûñëå, ÷òî ìåíüøóþ ñòåïåíü íàä äâóõáóêâåííûì àë�àâèòîì èçáåæàòüíåâîçìîæíî: ëþáîå ñëîâî w ∈ {0, 1}∗ äëèíû > 3 ñîäåðæèò êâàäðàòÎïðåäåëåíèå�ðàíèöåé ïîâòîðÿåìîñòè â k-áóêâåííîì àë�àâèòå íàçûâàåòñÿ äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëîRT(k) = inf{β ∈ R | β k-èçáåãàåìà}.⋆ Òàêèì îáðàçîì, RT(2) = 2, ïðè÷åì ñàìà ýêñïîíåíòà 2 ÿâëÿåòñÿ 2-íåèçáåæíîéÎñòàëüíûå çíà÷åíèÿ �óíêöèè RT(k) áûëè ïðåäñêàçàíû â 1972 ãîäó Ô. Äåæàí:�èïîòåçà ÄåæàíRT(3) = 7/4,RT(4) = 7/5,RT(k) = k/(k−1) ïðè k > 5,ïðè÷åì ýêñïîíåíòà RT(k) ÿâëÿåòñÿ k-íåèçáåæíîé.⋆ òåîðåìà Òóý î áåñêâàäðàòíûõ ñëîâàõ � íå îïòèìàëüíûé ðåçóëüòàòÌû äîêàæåì îïòèìàëüíûé ðåçóëüòàò (ïðèíàäëåæàùèé Äåæàí).À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Áåñïîâòîðíûå ñëîâà 26 ìàðòà 2015 10 / 22

�ðàíèöà ïîâòîðÿåìîñòè â òð¼õáóêâåííîì àë�àâèòåÏðè íàëè÷èè òåðïåíèÿ èëè êîìïüþòåðà íåñëîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ëþáîå ñëîâîw ∈ {a, b, }∗ äëèíû >39 ñîäåðæèò ïîäñëîâî ñ ýêñïîíåíòîé >7/4Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà 3-èçáåãàåìî òè ýêñïîíåíòû (7/4)+ Äåæàí ïîñòðîèëà(7/4)+-ñâîáîäíûé ìîð�èçì ñ äëèíîé áëîêà 19Âîñïîëüçóåìñÿ áîëåå èçÿùíîé êîíñòðóêöèåé, ïðåäëîæåííîé Ñ.Å. Àðøîíîì (1937)


�ðàíèöà ïîâòîðÿåìîñòè â òð¼õáóêâåííîì àë�àâèòåÏðè íàëè÷èè òåðïåíèÿ èëè êîìïüþòåðà íåñëîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ëþáîå ñëîâîw ∈ {a, b, }∗ äëèíû >39 ñîäåðæèò ïîäñëîâî ñ ýêñïîíåíòîé >7/4Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà 3-èçáåãàåìî òè ýêñïîíåíòû (7/4)+ Äåæàí ïîñòðîèëà(7/4)+-ñâîáîäíûé ìîð�èçì ñ äëèíîé áëîêà 19Âîñïîëüçóåìñÿ áîëåå èçÿùíîé êîíñòðóêöèåé, ïðåäëîæåííîé Ñ.Å. Àðøîíîì (1937)�àññìîòðèì äâå �óíêöèè αo (íå÷¼òíàÿ) è αe (÷¼òíàÿ) èç {a, b, } â {a, b, }∗:

αo : a → ab , b → b a, → ab, αe : a → ba,b → a b, → ba Ôóíêöèþ Àðøîíà α : {a, b, }∗ → {a, b, }∗ îïðåäåëèì òàê:α(w) = αo(w [1])αe (w [2])αo (w [3]) · · · , ò.å. äëÿ áóêâ â íå÷åòíûõ [÷åòíûõ℄ ïîçèöèÿõáåðåòñÿ íå÷åòíûé [ñîîòâåòñòâåííî, ÷åòíûé℄ îáðàç. Ïðè ýòîì ñîõðàíÿåòñÿ ñâîéñòâîìîð�èçìà: èç òîãî, ÷òî α(a) íà÷èíàåòñÿ ñ a, ñëåäóåò, ÷òî αn+1(a) íà÷èíàåòñÿ ñαn(a) äëÿ ëþáîãî n. Çíà÷èò, �óíêöèÿ Àðøîíà îïðåäåëÿåò ω-ñëîâî ÀðøîíàA = α∞(a) = ab a b ab ba ab a b ab ba b a · · · .À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Áåñïîâòîðíûå ñëîâà 26 ìàðòà 2015 11 / 22

�ðàíèöà ïîâòîðÿåìîñòè â òð¼õáóêâåííîì àë�àâèòåÏðè íàëè÷èè òåðïåíèÿ èëè êîìïüþòåðà íåñëîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ëþáîå ñëîâîw ∈ {a, b, }∗ äëèíû >39 ñîäåðæèò ïîäñëîâî ñ ýêñïîíåíòîé >7/4Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà 3-èçáåãàåìî òè ýêñïîíåíòû (7/4)+ Äåæàí ïîñòðîèëà(7/4)+-ñâîáîäíûé ìîð�èçì ñ äëèíîé áëîêà 19Âîñïîëüçóåìñÿ áîëåå èçÿùíîé êîíñòðóêöèåé, ïðåäëîæåííîé Ñ.Å. Àðøîíîì (1937)�àññìîòðèì äâå �óíêöèè αo (íå÷¼òíàÿ) è αe (÷¼òíàÿ) èç {a, b, } â {a, b, }∗:

αo : a → ab , b → b a, → ab, αe : a → ba,b → a b, → ba Ôóíêöèþ Àðøîíà α : {a, b, }∗ → {a, b, }∗ îïðåäåëèì òàê:α(w) = αo(w [1])αe (w [2])αo (w [3]) · · · , ò.å. äëÿ áóêâ â íå÷åòíûõ [÷åòíûõ℄ ïîçèöèÿõáåðåòñÿ íå÷åòíûé [ñîîòâåòñòâåííî, ÷åòíûé℄ îáðàç. Ïðè ýòîì ñîõðàíÿåòñÿ ñâîéñòâîìîð�èçìà: èç òîãî, ÷òî α(a) íà÷èíàåòñÿ ñ a, ñëåäóåò, ÷òî αn+1(a) íà÷èíàåòñÿ ñαn(a) äëÿ ëþáîãî n. Çíà÷èò, �óíêöèÿ Àðøîíà îïðåäåëÿåò ω-ñëîâî ÀðøîíàA = α∞(a) = ab a b ab ba ab a b ab ba b a · · · .Àðøîí äîêàçàë, ÷òî ñëîâî A áåñêâàäðàòíî, íî âåðåí è áîëåå ñèëüíûé ðåçóëüòàò:Ñëîâî Àðøîíà ÿâëÿåòñÿ (7/4)+-ñâîáîäíûì (Êëåïèíèí, Ñóõàíîâ, 1999)À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Áåñïîâòîðíûå ñëîâà 26 ìàðòà 2015 11 / 22

Ëèðè÷åñêîå îòñòóïëåíèå: Àðøîí è ñòàòüÿ


Ñëîâî Àðøîíà: áàçîâûå ñâîéñòâà, ìèíèìàëüíûé êîíòðïðèìåðA = α∞(a) = ab a b ab ba ab a b ab ba b a · · ·Áàçîâûå ñâîéñòâà ñëîâà Àðøîíà:A � ïðîèçâåäåíèå áëîêîâ äëèíû 3, êàæäûé èç êîòîðûõ � ïåðåñòàíîâêàìíîæåñòâà {a, b, }íå÷åòíûå (âèäà αo) è ÷åòíûå (âèäà αe) áëîêè â A ÷åðåäóþòñÿ;íå÷åòíûå áëîêè � ïåðåñòàíîâêè îäíîé îðèåíòàöèè, èõ äâóõáóêâåííûå ïîäñëîâà� ab, b è a;àíàëîãè÷íî äëÿ ÷åòíûõ áëîêîâ è ïîäñëîâ ba, b è a .À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Áåñïîâòîðíûå ñëîâà 26 ìàðòà 2015 13 / 22

Ñëîâî Àðøîíà: áàçîâûå ñâîéñòâà, ìèíèìàëüíûé êîíòðïðèìåðA = α∞(a) = ab a b ab ba ab a b ab ba b a · · ·Áàçîâûå ñâîéñòâà ñëîâà Àðøîíà:A � ïðîèçâåäåíèå áëîêîâ äëèíû 3, êàæäûé èç êîòîðûõ � ïåðåñòàíîâêàìíîæåñòâà {a, b, }íå÷åòíûå (âèäà αo) è ÷åòíûå (âèäà αe) áëîêè â A ÷åðåäóþòñÿ;íå÷åòíûå áëîêè � ïåðåñòàíîâêè îäíîé îðèåíòàöèè, èõ äâóõáóêâåííûå ïîäñëîâà� ab, b è a;àíàëîãè÷íî äëÿ ÷åòíûõ áëîêîâ è ïîäñëîâ ba, b è a .Äîêàæåì (7/4)+-ñâîáîäíîñòü ñëîâà Àðøîíà ìåòîäîì ìèíèìàëüíîãî êîíòðïðèìåðà.Ïóñòü â A åñòü ¾çàïðåùåííûå¿ ïîäñëîâà ñ ýêñïîíåíòîé, áîëüøåé 7/4,n � ìèíèìàëüíîå ÷èñëî òàêîå, ÷òî â αn(a) åñòü çàïðåùåííîå ïîäñëîâîw � ïîäñëîâî íàèáîëüøåé ýêñïîíåíòîé â αn(a)m = per(w).À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Áåñïîâòîðíûå ñëîâà 26 ìàðòà 2015 13 / 22

Ñëîâî Àðøîíà: ìàëåíüêèå ïåðèîäûA = α∞(a) = ab a b ab ba ab a b ab ba b a · · ·m 6= 1: åñëè åñòü aa, òî ýòè a äîëæíû ïðèíàäëåæàòü ðàçíûì áëîêàì; òîãäà ýòèáëîêè ñîñòàâëÿþò, ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðåîáîçíà÷åíèÿ áóêâ, ïîäñëîâî ba ab ;ïðîîáðàç ýòîãî ïîäñëîâà ðàâåí ëèáî , ëèáî aa, ïðîòèâîðå÷èå ñ âûáîðîì nm 6= 2: âíóòðè áëîêà âñå áóêâû ðàçëè÷íû, ïîýòîìó â ïîäñëîâå abab ãðàíèöàáëîêîâ äîëæíà ïðîõîäèòü ïîñåðåäèíå; íî ñîñåäíèå áëîêè íå ñîäåðæàò îáùèõäâóõáóêâåííûõ ïîäñëîâm 6= 3: ñëîâî äëèíû 6 äîëæíî ñîäåðæàòü äâóõáóêâåííûå ïîäñëîâà èç áëîêîâðàçíîé ÷åòíîñòè, à âñå äâóõáóêâåííûå ïîäñëîâà ñëîâà âèäà ab ab � èç áëîêîâîäíîé ÷åòíîñòèm 6= 4: ñëîâà âèäà aba aba è ab bab b íå ñîäåðæàòñÿ â ïðîèçâåäåíèè áëîêîâm 6= 6, 8: â òîì æå äóõåm 6= 5, 7, 9, 10: ëþáîå çàïðåùåííîå ïîäñëîâî ñ òàêèì ïåðèîäîì ñîäåðæèò áîëååêîðîòêîå çàïðåùåííîå ïîäñëîâî (à âûøå äîêàçàíî, ÷òî áîëåå êîðîòêèõ â A íåò)À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Áåñïîâòîðíûå ñëîâà 26 ìàðòà 2015 14 / 22

Ñëîâî Àðøîíà: ìàëåíüêèå ïåðèîäûA = α∞(a) = ab a b ab ba ab a b ab ba b a · · ·m 6= 1: åñëè åñòü aa, òî ýòè a äîëæíû ïðèíàäëåæàòü ðàçíûì áëîêàì; òîãäà ýòèáëîêè ñîñòàâëÿþò, ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðåîáîçíà÷åíèÿ áóêâ, ïîäñëîâî ba ab ;ïðîîáðàç ýòîãî ïîäñëîâà ðàâåí ëèáî , ëèáî aa, ïðîòèâîðå÷èå ñ âûáîðîì nm 6= 2: âíóòðè áëîêà âñå áóêâû ðàçëè÷íû, ïîýòîìó â ïîäñëîâå abab ãðàíèöàáëîêîâ äîëæíà ïðîõîäèòü ïîñåðåäèíå; íî ñîñåäíèå áëîêè íå ñîäåðæàò îáùèõäâóõáóêâåííûõ ïîäñëîâm 6= 3: ñëîâî äëèíû 6 äîëæíî ñîäåðæàòü äâóõáóêâåííûå ïîäñëîâà èç áëîêîâðàçíîé ÷åòíîñòè, à âñå äâóõáóêâåííûå ïîäñëîâà ñëîâà âèäà ab ab � èç áëîêîâîäíîé ÷åòíîñòèm 6= 4: ñëîâà âèäà aba aba è ab bab b íå ñîäåðæàòñÿ â ïðîèçâåäåíèè áëîêîâm 6= 6, 8: â òîì æå äóõåm 6= 5, 7, 9, 10: ëþáîå çàïðåùåííîå ïîäñëîâî ñ òàêèì ïåðèîäîì ñîäåðæèò áîëååêîðîòêîå çàïðåùåííîå ïîäñëîâî (à âûøå äîêàçàíî, ÷òî áîëåå êîðîòêèõ â A íåò)Äëÿ á�îëüøèõ çíà÷åíèé m ïîòðåáóåòñÿ êàêîå-íèáóäü îáùåå óòâåðæäåíèå.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Áåñïîâòîðíûå ñëîâà 26 ìàðòà 2015 14 / 22

Ëåììà î ñèíõðîíèçàöèèËåììà î ñèíõðîíèçàöèèÏóñòü u � ïîäñëîâî äëèíû > 9 â A. Òîãäà âñå âõîæäåíèÿ u â A ðàñïîëîæåíûîäèíàêîâî îòíîñèòåëüíî ãðàíèö áëîêîâ.(Ò.å. åñëè íåêîòîðîå âõîæäåíèå u íà÷èíàåòñÿ âî âòîðîé ïîçèöèè íå÷åòíîãî áëîêà,òî âñå âõîæäåíèÿ u íà÷èíàþòñÿ âî âòîðûõ ïîçèöèÿõ íå÷åòíûõ áëîêîâ.)


Ëåììà î ñèíõðîíèçàöèèËåììà î ñèíõðîíèçàöèèÏóñòü u � ïîäñëîâî äëèíû > 9 â A. Òîãäà âñå âõîæäåíèÿ u â A ðàñïîëîæåíûîäèíàêîâî îòíîñèòåëüíî ãðàíèö áëîêîâ.(Ò.å. åñëè íåêîòîðîå âõîæäåíèå u íà÷èíàåòñÿ âî âòîðîé ïîçèöèè íå÷åòíîãî áëîêà,òî âñå âõîæäåíèÿ u íà÷èíàþòñÿ âî âòîðûõ ïîçèöèÿõ íå÷åòíûõ áëîêîâ.)Óêàçàííûì ñâîéñòâîì îáëàäàþò ñëåäóþùèå ïîäñëîâà (è ïîëó÷åííûå èç íèõïåðåèìåíîâàíèåì áóêâ):a ba a (îáðàç áóêâû äîëæåí áûòü áëîêîì)a b a b (ñîñåäíèå áëîêè íå èìåþò îáùèõ ïîäñëîâ äëèíû 2)ab a b ab (ðàçáèåíèå a ba b a b îçíà÷àåò, ââèäó ñîáëþäåíèÿ ÷åòíîñòè, ÷òîíåïîëíûé áëîê ñïðàâà ýòî ba , à ñëåâà � b a; ïîëó÷åííîå ïðîèçâåäåíèå÷åòûðåõ áëîêîâ åñòü α(b b ), ïðîòèâîðå÷èå ñ âûáîðîì n)ab a b ab (àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó)Êîðîòêèé ïåðåáîð ïîêàçûâàåò, ÷òî ëþáîå ïîäñëîâî äëèíû 9 â ñëîâå A ñîäåðæèòîäíî èç ðàçîáðàííûõ ïîäñëîâ, ÷òî è äîêàçûâàåò ëåììó.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Áåñïîâòîðíûå ñëîâà 26 ìàðòà 2015 15 / 22

Ëåììà î ñèíõðîíèçàöèèËåììà î ñèíõðîíèçàöèèÏóñòü u � ïîäñëîâî äëèíû > 9 â A. Òîãäà âñå âõîæäåíèÿ u â A ðàñïîëîæåíûîäèíàêîâî îòíîñèòåëüíî ãðàíèö áëîêîâ.(Ò.å. åñëè íåêîòîðîå âõîæäåíèå u íà÷èíàåòñÿ âî âòîðîé ïîçèöèè íå÷åòíîãî áëîêà,òî âñå âõîæäåíèÿ u íà÷èíàþòñÿ âî âòîðûõ ïîçèöèÿõ íå÷åòíûõ áëîêîâ.)Óêàçàííûì ñâîéñòâîì îáëàäàþò ñëåäóþùèå ïîäñëîâà (è ïîëó÷åííûå èç íèõïåðåèìåíîâàíèåì áóêâ):a ba a (îáðàç áóêâû äîëæåí áûòü áëîêîì)a b a b (ñîñåäíèå áëîêè íå èìåþò îáùèõ ïîäñëîâ äëèíû 2)ab a b ab (ðàçáèåíèå a ba b a b îçíà÷àåò, ââèäó ñîáëþäåíèÿ ÷åòíîñòè, ÷òîíåïîëíûé áëîê ñïðàâà ýòî ba , à ñëåâà � b a; ïîëó÷åííîå ïðîèçâåäåíèå÷åòûðåõ áëîêîâ åñòü α(b b ), ïðîòèâîðå÷èå ñ âûáîðîì n)ab a b ab (àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó)Êîðîòêèé ïåðåáîð ïîêàçûâàåò, ÷òî ëþáîå ïîäñëîâî äëèíû 9 â ñëîâå A ñîäåðæèòîäíî èç ðàçîáðàííûõ ïîäñëîâ, ÷òî è äîêàçûâàåò ëåììó.Çàìåòèì, ÷òî ¾íåñèíõðîíèçèðîâàííûå¿ ïîäñëîâà äëèíû 8 â ñëîâå Àðøîíà åñòü,íàïðèìåð, ab ba ab.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Áåñïîâòîðíûå ñëîâà 26 ìàðòà 2015 15 / 22

Ýêñïîíåíòû ïîäñëîâ ñëîâà Àðøîíà: îêîí÷àíèå äîêàçàòåëüñòâà�àññìîòðèì w � ïîäñëîâî ìàêñèìàëüíîé ýêñïîíåíòû â αn(a). Ïóñòü u �äëèííåéøèé ïðå�èêñ w , ÿâëÿþùèéñÿ ñó��èêñîì w . Ìû çíàåì, ÷òî per(w) > 11. Ñó÷åòîì exp(w) > 7/4 èìååì |u| > 9. Ïî ëåììå î ñèíõðîíèçàöèè, ýòè äâà âõîæäåíèÿïîäñëîâà u ðàñïîëîæåíû îäèíàêîâî îòíîñèòåëüíî áëîêîâ (ñ ó÷åòîì ÷åòíîñòè).


Ýêñïîíåíòû ïîäñëîâ ñëîâà Àðøîíà: îêîí÷àíèå äîêàçàòåëüñòâà�àññìîòðèì w � ïîäñëîâî ìàêñèìàëüíîé ýêñïîíåíòû â αn(a). Ïóñòü u �äëèííåéøèé ïðå�èêñ w , ÿâëÿþùèéñÿ ñó��èêñîì w . Ìû çíàåì, ÷òî per(w) > 11. Ñó÷åòîì exp(w) > 7/4 èìååì |u| > 9. Ïî ëåììå î ñèíõðîíèçàöèè, ýòè äâà âõîæäåíèÿïîäñëîâà u ðàñïîëîæåíû îäèíàêîâî îòíîñèòåëüíî áëîêîâ (ñ ó÷åòîì ÷åòíîñòè).Áëîê, ÷åòíîñòü êîòîðîãî èçâåñòíà, îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ è ñâîåé ïåðâîéáóêâîé, è ñâîåé ïîñëåäíåé áóêâîéÅñëè u íà÷èíàåòñÿ íå ñ ïåðâîé ïîçèöèè áëîêà, òî ïåðåä îáîèìè âõîæäåíèÿìè uñòîèò îäíà è òà æå áóêâà (á.î.î., a); òîãäà ñëîâî aw èìååò ïðå�èêñ è ñó��èêñau, ò.å. ó íåãî òîò æå ïåðèîä, ÷òî ó w ; ïîëó÷àåì exp(aw) > exp(w),ïðîòèâîðå÷èå ñ âûáîðîì wÀíàëîãè÷íîå ðàññóæäåíèå ïðîõîäèò, åñëè u çàêàí÷èâàåòñÿ íå â ïîñëåäíåéïîçèöèè áëîêàÀ. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Áåñïîâòîðíûå ñëîâà 26 ìàðòà 2015 16 / 22

Ýêñïîíåíòû ïîäñëîâ ñëîâà Àðøîíà: îêîí÷àíèå äîêàçàòåëüñòâà�àññìîòðèì w � ïîäñëîâî ìàêñèìàëüíîé ýêñïîíåíòû â αn(a). Ïóñòü u �äëèííåéøèé ïðå�èêñ w , ÿâëÿþùèéñÿ ñó��èêñîì w . Ìû çíàåì, ÷òî per(w) > 11. Ñó÷åòîì exp(w) > 7/4 èìååì |u| > 9. Ïî ëåììå î ñèíõðîíèçàöèè, ýòè äâà âõîæäåíèÿïîäñëîâà u ðàñïîëîæåíû îäèíàêîâî îòíîñèòåëüíî áëîêîâ (ñ ó÷åòîì ÷åòíîñòè).Áëîê, ÷åòíîñòü êîòîðîãî èçâåñòíà, îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ è ñâîåé ïåðâîéáóêâîé, è ñâîåé ïîñëåäíåé áóêâîéÅñëè u íà÷èíàåòñÿ íå ñ ïåðâîé ïîçèöèè áëîêà, òî ïåðåä îáîèìè âõîæäåíèÿìè uñòîèò îäíà è òà æå áóêâà (á.î.î., a); òîãäà ñëîâî aw èìååò ïðå�èêñ è ñó��èêñau, ò.å. ó íåãî òîò æå ïåðèîä, ÷òî ó w ; ïîëó÷àåì exp(aw) > exp(w),ïðîòèâîðå÷èå ñ âûáîðîì wÀíàëîãè÷íîå ðàññóæäåíèå ïðîõîäèò, åñëè u çàêàí÷èâàåòñÿ íå â ïîñëåäíåéïîçèöèè áëîêàÇíà÷èò, u � ïðîèçâåäåíèå áëîêîâ; òîãäà w � òîæå ïðîèçâåäåíèå áëîêîâÒîãäà ñóùåñòâóåò ñëîâî α−1(w), îíî ÿâëÿåòñÿ ïîäñëîâîì â αn−1(a), èíà÷èíàåòñÿ è çàêàí÷èâàåòñÿ íà α−1(u)Èìååì exp(α−1(w)) > exp(w) > 7/4, ïðîòèâîðå÷èå ñ âûáîðîì nÀ. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Áåñïîâòîðíûå ñëîâà 26 ìàðòà 2015 16 / 22

Ýêñïîíåíòû ïîäñëîâ ñëîâà Àðøîíà: îêîí÷àíèå äîêàçàòåëüñòâà�àññìîòðèì w � ïîäñëîâî ìàêñèìàëüíîé ýêñïîíåíòû â αn(a). Ïóñòü u �äëèííåéøèé ïðå�èêñ w , ÿâëÿþùèéñÿ ñó��èêñîì w . Ìû çíàåì, ÷òî per(w) > 11. Ñó÷åòîì exp(w) > 7/4 èìååì |u| > 9. Ïî ëåììå î ñèíõðîíèçàöèè, ýòè äâà âõîæäåíèÿïîäñëîâà u ðàñïîëîæåíû îäèíàêîâî îòíîñèòåëüíî áëîêîâ (ñ ó÷åòîì ÷åòíîñòè).Áëîê, ÷åòíîñòü êîòîðîãî èçâåñòíà, îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ è ñâîåé ïåðâîéáóêâîé, è ñâîåé ïîñëåäíåé áóêâîéÅñëè u íà÷èíàåòñÿ íå ñ ïåðâîé ïîçèöèè áëîêà, òî ïåðåä îáîèìè âõîæäåíèÿìè uñòîèò îäíà è òà æå áóêâà (á.î.î., a); òîãäà ñëîâî aw èìååò ïðå�èêñ è ñó��èêñau, ò.å. ó íåãî òîò æå ïåðèîä, ÷òî ó w ; ïîëó÷àåì exp(aw) > exp(w),ïðîòèâîðå÷èå ñ âûáîðîì wÀíàëîãè÷íîå ðàññóæäåíèå ïðîõîäèò, åñëè u çàêàí÷èâàåòñÿ íå â ïîñëåäíåéïîçèöèè áëîêàÇíà÷èò, u � ïðîèçâåäåíèå áëîêîâ; òîãäà w � òîæå ïðîèçâåäåíèå áëîêîâÒîãäà ñóùåñòâóåò ñëîâî α−1(w), îíî ÿâëÿåòñÿ ïîäñëîâîì â αn−1(a), èíà÷èíàåòñÿ è çàêàí÷èâàåòñÿ íà α−1(u)Èìååì exp(α−1(w)) > exp(w) > 7/4, ïðîòèâîðå÷èå ñ âûáîðîì nÈòàê, A íå ñîäåðæèò ïîäñëîâ ñ ýêñïîíåíòîé áîëüøåé 7/4, ò.å. RT(3) = 7/4.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Áåñïîâòîðíûå ñëîâà 26 ìàðòà 2015 16 / 22

�ðàíèöà ïîâòîðÿåìîñòè äëÿ á�îëüøèõ àë�àâèòîâÏðè íàëè÷èè î÷åíü áîëüøîãî òåðïåíèÿ èëè êîìïüþòåðà ìîæíî ïîêàçàòü ïåðåáîðîì,÷òî ëþáîå ñëîâî äëèíû 122 íàä 4-áóêâåííûì àë�àâèòîì ñîäåðæèò ïîäñëîâî ñýêñïîíåíòîé > 7/5. Äëÿ á�îëüøèõ àë�àâèòîâ íèæíÿÿ îöåíêà òðèâèàëüíà:Çàìå÷àíèå î íèæíåé îöåíêåkk−1 -ñâîáîäíîå ñëîâî íàä k-áóêâåííûì àë�àâèòîì èìååò äëèíó íå áîëüøå k+1.Åñëè kk−1 -ñâîáîäíîå ñëîâî èìååò âèä axa, ãäå a � áóêâà, òî |axa||ax| < kk−1 , îòêóäà

|x | > k−1. Çíà÷èò, ëþáûå k ïîñëåäîâàòåëüíûõ áóêâ â òàêîì ñëîâå ðàçëè÷íû. Íîëþáîå ñëîâî äëèíû k+2 íàä k-áóêâåííûì àë�àâèòîì, óäîâëåòâîðÿþùåå ýòîìóóñëîâèþ, èìååò âèä a1a2 · · · aka1a2 è ýêñïîíåíòó k+2k > kk−1 .À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Áåñïîâòîðíûå ñëîâà 26 ìàðòà 2015 17 / 22

�ðàíèöà ïîâòîðÿåìîñòè äëÿ á�îëüøèõ àë�àâèòîâÏðè íàëè÷èè î÷åíü áîëüøîãî òåðïåíèÿ èëè êîìïüþòåðà ìîæíî ïîêàçàòü ïåðåáîðîì,÷òî ëþáîå ñëîâî äëèíû 122 íàä 4-áóêâåííûì àë�àâèòîì ñîäåðæèò ïîäñëîâî ñýêñïîíåíòîé > 7/5. Äëÿ á�îëüøèõ àë�àâèòîâ íèæíÿÿ îöåíêà òðèâèàëüíà:Çàìå÷àíèå î íèæíåé îöåíêåkk−1 -ñâîáîäíîå ñëîâî íàä k-áóêâåííûì àë�àâèòîì èìååò äëèíó íå áîëüøå k+1.Åñëè kk−1 -ñâîáîäíîå ñëîâî èìååò âèä axa, ãäå a � áóêâà, òî |axa||ax| < kk−1 , îòêóäà

|x | > k−1. Çíà÷èò, ëþáûå k ïîñëåäîâàòåëüíûõ áóêâ â òàêîì ñëîâå ðàçëè÷íû. Íîëþáîå ñëîâî äëèíû k+2 íàä k-áóêâåííûì àë�àâèòîì, óäîâëåòâîðÿþùåå ýòîìóóñëîâèþ, èìååò âèä a1a2 · · · aka1a2 è ýêñïîíåíòó k+2k > kk−1 .Â òî æå âðåìÿ, ñ âåðõíèìè îöåíêàìè âñå ñëîæíî. Íàïðèìåð:Òåîðåìà (Áðàíäåíáóðã, 1983)Íå ñóùåñòâóåò kk−1+-ñâîáîäíûõ ìîð�èçìîâ íàä k-áóêâåííûì àë�àâèòîì ïðè k > 5.Íå ñóùåñòâóåò (7/5)+-ñâîáîäíûõ ìîð�èçìîâ íàä 4-áóêâåííûì àë�àâèòîì.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Áåñïîâòîðíûå ñëîâà 26 ìàðòà 2015 17 / 22

Êîäèðîâêà Ïàíñü¼Â 1984 ãîäó Æ.-Æ. Ïàíñü¼ ïðåäëîæèë çàìåíèòü k-è÷íûå ñëîâà ìàëîé ýêñïîíåíòûáèíàðíûìè êîäàìè, ñòðîèìûìè ïî ïðîñòîìó ïðàâèëó, è äîêàçûâàòü ãèïîòåçó Äåæàíäëÿ ëþáûõ àë�àâèòîâ, ðàáîòàÿ ñ êîäàìè, ò.å. ñî ñëîâàìè â äâîè÷íîì àë�àâèòå.


Êîäèðîâêà Ïàíñü¼Â 1984 ãîäó Æ.-Æ. Ïàíñü¼ ïðåäëîæèë çàìåíèòü k-è÷íûå ñëîâà ìàëîé ýêñïîíåíòûáèíàðíûìè êîäàìè, ñòðîèìûìè ïî ïðîñòîìó ïðàâèëó, è äîêàçûâàòü ãèïîòåçó Äåæàíäëÿ ëþáûõ àë�àâèòîâ, ðàáîòàÿ ñ êîäàìè, ò.å. ñî ñëîâàìè â äâîè÷íîì àë�àâèòå.Â êàæäîì k-è÷íîì k−1k−2 -ñâîáîäíîì ñëîâå ëþáûå k−1 ïîäðÿä èäóùèõ áóêâðàçëè÷íû. Çíà÷èò, êàæäîå òàêîå ñëîâî w ìîæíî çàäàòü åãî ïðå�èêñîì w [1..k−1] èäâîè÷íûì ñëåäîì tr(w) äëèíû |w |−k+1, ïîñòðîåííûì ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó:tr(w)[i ] =

{0 åñëè w [i+k−1] = w [i ],1 åñëè w [i+k−1] /∈ {w [i ], . . . ,w [i+k−2]}.Ïðèìåð: w = aaa bbb ddd a e b d e a b . . .tr(w) = 0 1 0 1 1 0 1 0 . . .



{0 åñëè w [i+k−1] = w [i ],1 åñëè w [i+k−1] /∈ {w [i ], . . . ,w [i+k−2]}.Ïðèìåð: w = aaa bbb ddd a e b d e a b . . .tr(w) = 0 1 0 1 1 0 1 0 . . .k-è÷íûå ñëîâà ñ ðàâíûìè ñëåäàìè ïîëó÷àþòñÿ äðóã èç äðóãà ïåðåèìåíîâàíèåìáóêâ, ò.å. íè÷åì íå îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà ñ òî÷êè çðåíèÿ ýêñïîíåíò ïîäñëîâ.Çíà÷èò, äîêàçàòåëüñòâî ãèïîòåçû Äåæàí ñâîäèòñÿ ê ïîñòðîåíèþ äâîè÷íûõ ñëîâ:Äëÿ ëþáîãî k > 4 ïîñòðîèòü äâîè÷íîå ω-ñëîâî, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ñëåäîìk-è÷íîãî RT+-ñâîáîäíîãî ω-ñëîâà.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Áåñïîâòîðíûå ñëîâà 26 ìàðòà 2015 18 / 22


{0 åñëè w [i+k−1] = w [i ],1 åñëè w [i+k−1] /∈ {w [i ], . . . ,w [i+k−2]}.Ïðèìåð: w = aaa bbb ddd a e b d e a b . . .tr(w) = 0 1 0 1 1 0 1 0 . . .k-è÷íûå ñëîâà ñ ðàâíûìè ñëåäàìè ïîëó÷àþòñÿ äðóã èç äðóãà ïåðåèìåíîâàíèåìáóêâ, ò.å. íè÷åì íå îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà ñ òî÷êè çðåíèÿ ýêñïîíåíò ïîäñëîâ.Çíà÷èò, äîêàçàòåëüñòâî ãèïîòåçû Äåæàí ñâîäèòñÿ ê ïîñòðîåíèþ äâîè÷íûõ ñëîâ:Äëÿ ëþáîãî k > 4 ïîñòðîèòü äâîè÷íîå ω-ñëîâî, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ñëåäîìk-è÷íîãî RT+-ñâîáîäíîãî ω-ñëîâà.�àçáèâ íà ìíîãî ñëó÷àåâ, ê 2009 ãîäó ãèïîòåçó Äåæàí äîêàçàëè.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Áåñïîâòîðíûå ñëîâà 26 ìàðòà 2015 18 / 22

Áåñïîâòîðíûå ðàñêðàñêè ãðà�îâÏðèìåðíî ñ 2000 ãîäà áîëüøóþ ïîïóëÿðíîñòü â òåîðèè ãðà�îâ íàáðàëà çàäà÷à îáåñïîâòîðíîé ðàñêðàñêå.ÎïðåäåëåíèåÏðàâèëüíàÿ k-ðàñêðàñêà îáûêíîâåííîãî ãðà�à G = (V ,E ) åñòü �óíêöèÿα : V → {1, . . . , k} òàêàÿ, ÷òî α(u) 6= α(v) äëÿ ëþáîãî ðåáðà (u, v) ∈ E .Ìèíèìàëüíîå ÷èñëî âåðøèí â ïðàâèëüíîé k-ðàñêðàñêå G íàçûâàåòñÿõðîìàòè÷åñêèì ÷èñëîì G (îáîçíà÷àåòñÿ χ(G )).Ïðàâèëüíîñòü ðàñêðàñêè ìîæíî ïåðå�îðìóëèðîâàòü òàê:⋆ öâåòà âåðøèí âäîëü ëþáîé ïðîñòîé öåïè îáðàçóþò ñëîâî, íå èìåþùåå ïîäñëîâaa, ãäå a � áóêâàÅñòåñòâåííî îáîáùèòü:


Áåñïîâòîðíûå ðàñêðàñêè ãðà�îâÏðèìåðíî ñ 2000 ãîäà áîëüøóþ ïîïóëÿðíîñòü â òåîðèè ãðà�îâ íàáðàëà çàäà÷à îáåñïîâòîðíîé ðàñêðàñêå.ÎïðåäåëåíèåÏðàâèëüíàÿ k-ðàñêðàñêà îáûêíîâåííîãî ãðà�à G = (V ,E ) åñòü �óíêöèÿα : V → {1, . . . , k} òàêàÿ, ÷òî α(u) 6= α(v) äëÿ ëþáîãî ðåáðà (u, v) ∈ E .Ìèíèìàëüíîå ÷èñëî âåðøèí â ïðàâèëüíîé k-ðàñêðàñêå G íàçûâàåòñÿõðîìàòè÷åñêèì ÷èñëîì G (îáîçíà÷àåòñÿ χ(G )).Ïðàâèëüíîñòü ðàñêðàñêè ìîæíî ïåðå�îðìóëèðîâàòü òàê:⋆ öâåòà âåðøèí âäîëü ëþáîé ïðîñòîé öåïè îáðàçóþò ñëîâî, íå èìåþùåå ïîäñëîâaa, ãäå a � áóêâàÅñòåñòâåííî îáîáùèòü:Îïðåäåëåíèå (Àëîí, �ðèùàê (?))Áåñïîâòîðíàÿ k-ðàñêðàñêà îáûêíîâåííîãî ãðà�à G = (V ,E ) åñòü �óíêöèÿ

α : V → {1, . . . , k} òàêàÿ, ÷òî öâåòà âåðøèí âäîëü ëþáîé ïðîñòîé öåïè îáðàçóþòáåñêâàäðàòíîå ñëîâî. Ìèíèìàëüíîå ÷èñëî âåðøèí â áåñïîâòîðíîé k-ðàñêðàñêå Gíàçûâàåòñÿ ÷èñëîì Òóý ãðà�à G (îáîçíà÷àåòñÿ π(G )).À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Áåñïîâòîðíûå ñëîâà 26 ìàðòà 2015 19 / 22

Áåñïîâòîðíûå ðàñêðàñêè ïóòåé è öèêëîâÎ÷åâèäíî, ÷òî π(G ) > χ(G ). ×òî ìîæíî äîêàçàòü ïðî π(G )?Ïóñòü Pn � n-âåðøèííàÿ ïðîñòàÿ öåïü; òîãäà π(G ) = 3 ïðè n > 3 (ýòî âòî÷íîñòè òåîðåìà Òóý î áåñêâàäðàòíûõ ñëîâàõ � íàäî ðàñêðàñèòü öåïüáåñêâàäðàòíûì ñëîâîì)Ïóñòü Cn � n-âåðøèííûé ïðîñòîé öèêë; òîãäà π(G ) = 4 ïðè n = 5, 7, 9, 10, 14, 17è π(G ) = 3 â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ (Êàððè, 2002 � êîìïüþòåðíîå äîêàçàòåëüñòâî,Øóð, 2010 � áåñêîìïüþòåðíîå)


Áåñïîâòîðíûå ðàñêðàñêè ïóòåé è öèêëîâÎ÷åâèäíî, ÷òî π(G ) > χ(G ). ×òî ìîæíî äîêàçàòü ïðî π(G )?Ïóñòü Pn � n-âåðøèííàÿ ïðîñòàÿ öåïü; òîãäà π(G ) = 3 ïðè n > 3 (ýòî âòî÷íîñòè òåîðåìà Òóý î áåñêâàäðàòíûõ ñëîâàõ � íàäî ðàñêðàñèòü öåïüáåñêâàäðàòíûì ñëîâîì)Ïóñòü Cn � n-âåðøèííûé ïðîñòîé öèêë; òîãäà π(G ) = 4 ïðè n = 5, 7, 9, 10, 14, 17è π(G ) = 3 â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ (Êàððè, 2002 � êîìïüþòåðíîå äîêàçàòåëüñòâî,Øóð, 2010 � áåñêîìïüþòåðíîå)Çàäà÷à î áåñïîâòîðíîé ðàñêðàñêå öèêëîâ � ýòî çàäà÷à î ñóùåñòâîâàíèèáåñêâàäðàòíûõ öèêëè÷åñêèõ ñëîâ íàä òðåõáóêâåííûì àë�àâèòîì. Öèêëè÷åñêèåñëîâà ìîæíî ïðåäñòàâëÿòü ñåáå êàê îáû÷íûå, ó êîòîðûõ �ñêëååíû� íà÷àëî è êîíåö.Ê Î ÊËÎÊÎËÎÊ ËÀ. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Áåñïîâòîðíûå ñëîâà 26 ìàðòà 2015 20 / 22

Áåñïîâòîðíûå ðàñêðàñêè ïóòåé è öèêëîâÎ÷åâèäíî, ÷òî π(G ) > χ(G ). ×òî ìîæíî äîêàçàòü ïðî π(G )?Ïóñòü Pn � n-âåðøèííàÿ ïðîñòàÿ öåïü; òîãäà π(G ) = 3 ïðè n > 3 (ýòî âòî÷íîñòè òåîðåìà Òóý î áåñêâàäðàòíûõ ñëîâàõ � íàäî ðàñêðàñèòü öåïüáåñêâàäðàòíûì ñëîâîì)Ïóñòü Cn � n-âåðøèííûé ïðîñòîé öèêë; òîãäà π(G ) = 4 ïðè n = 5, 7, 9, 10, 14, 17è π(G ) = 3 â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ (Êàððè, 2002 � êîìïüþòåðíîå äîêàçàòåëüñòâî,Øóð, 2010 � áåñêîìïüþòåðíîå)Çàäà÷à î áåñïîâòîðíîé ðàñêðàñêå öèêëîâ � ýòî çàäà÷à î ñóùåñòâîâàíèèáåñêâàäðàòíûõ öèêëè÷åñêèõ ñëîâ íàä òðåõáóêâåííûì àë�àâèòîì. Öèêëè÷åñêèåñëîâà ìîæíî ïðåäñòàâëÿòü ñåáå êàê îáû÷íûå, ó êîòîðûõ �ñêëååíû� íà÷àëî è êîíåö.Ê Î ÊËÎÊÎËÎÊ Ë Ïîäñëîâàìè öèêëè÷åñêîãî ñëîâà ÿâëÿþòñÿ îáû÷íûå ñëî-âà, êîòîðûå ìîæíî èç íåãî ¾âûðåçàòü¿, â òîì ÷èñëå ñëî-âà, ïîëó÷åííûå îäíèì ðàçðåçîì (ðàâíûå ïî äëèíå ñàìîìóöèêëè÷åñêîìó ñëîâó), íàïðèìåðÊÎÊ,ÊËÎÊ èëè ÊÎÊËÎÊÎËÎÊË, íî íå ÊÎËÎÊÎË.Ïîíÿòèå áåñêâàäðàòíîñòè ïåðåíîñèòñÿ íà öèêëè÷åñêèå ñëî-âà áåç èçìåíåíèé, íî ñòðîèòü áåñêâàäðàòíûå öèêëè÷åñêèåñëîâà ñëîæíåå, ÷åì îáû÷íûå.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Áåñïîâòîðíûå ñëîâà 26 ìàðòà 2015 20 / 22

Áåñïîâòîðíûå ðàñêðàñêè äåðåâüåâÒåîðåìà (Àëîí, �ðèùàê, �èîðäàí, 2002)Åñëè G � äåðåâî, òî π(G ) 6 4.


Áåñïîâòîðíûå ðàñêðàñêè äåðåâüåâÒåîðåìà (Àëîí, �ðèùàê, �èîðäàí, 2002)Åñëè G � äåðåâî, òî π(G ) 6 4.Âîçüìåì äåðåâî G , âûáåðåì êîðåíü v0 è ðàñïîëîæèì âñå âåðøèíû ïî óðîâíÿì(íîìåð óðîâíÿ ðàâåí ðàññòîÿíèþ äî êîðíÿ)Ïóñòü âñåãî óðîâíåé n è ïóñòü w = a0a1 · · · an−1 � ñëîâî äëèíû n, â êîòîðîì íåòêâàäðàòîâ, à âñå ïàëèíäðîìû � îäíîáóêâåííûå (ïîñòðîèì åãî ïîçæå)�àñêðàñèì G òàê, ÷òî âñå âåðøèíû i-ãî óðîâíÿ ïîëó÷àþò öâåò aiÀ. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Áåñïîâòîðíûå ñëîâà 26 ìàðòà 2015 21 / 22

Áåñïîâòîðíûå ðàñêðàñêè äåðåâüåâÒåîðåìà (Àëîí, �ðèùàê, �èîðäàí, 2002)Åñëè G � äåðåâî, òî π(G ) 6 4.Âîçüìåì äåðåâî G , âûáåðåì êîðåíü v0 è ðàñïîëîæèì âñå âåðøèíû ïî óðîâíÿì(íîìåð óðîâíÿ ðàâåí ðàññòîÿíèþ äî êîðíÿ)Ïóñòü âñåãî óðîâíåé n è ïóñòü w = a0a1 · · · an−1 � ñëîâî äëèíû n, â êîòîðîì íåòêâàäðàòîâ, à âñå ïàëèíäðîìû � îäíîáóêâåííûå (ïîñòðîèì åãî ïîçæå)�àñêðàñèì G òàê, ÷òî âñå âåðøèíû i-ãî óðîâíÿ ïîëó÷àþò öâåò ai♣ Âîçüìåì ëþáóþ öåïü v1, . . . , v2r è ïîêàæåì, ÷òî

α(v1) · · ·α(vr ) 6= α(vr+1) · · ·α(v2r )♣ Ïóñòü öåïü ¾ïåðåãèáàåòñÿ¿ � ó íåå åñòü âåðõíÿÿ òî÷êà vh óðîâíÿ i , îáà ñîñåäàêîòîðîé íàõîäÿòñÿ óðîâíåì íèæå (èíà÷å îíà ïîìå÷åíà ïîäñëîâîì w)♣ Á.î.î., h 6 r ; òîãäà öåïü ïîìå÷åíà ñëîâîì u = ah+i−1 · · · ai+1aiai+1 · · · a2r−h+i♣ Åñëè h < r , òî â ëåâîé ïîëîâèíå u åñòü ïàëèíäðîì ai+1aiai+1; ïîñêîëüêó ïðàâàÿïîëîâèíà u åñòü ïîäñëîâî w , òàì íåò ýòîãî ïàëèíäðîìà, à çíà÷èò, u � íåêâàäðàò♣ Åñëè h = r , òî ëåâàÿ ïîëîâèíà u íà÷èíàåòñÿ ñ ar+i−1 · · · ai+1, à ïðàâàÿ � ñai+1 · · · ar+i−1; ýòî ïîäñëîâî w , ò.å. íå ïàëèíäðîì, îòêóäà u � íå êâàäðàòÀ. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Áåñïîâòîðíûå ñëîâà 26 ìàðòà 2015 21 / 22

Ñëîâî áåç êâàäðàòîâ è ïàëèíäðîìîâËåììàÑóùåñòâóåò ω-ñëîâî w íàä ÷åòûðåõáóêâåííûì àë�àâèòîì, â êîòîðîì íåò êâàäðàòîâ,à âñå ïàëèíäðîìû � îäíîáóêâåííûå.


Ñëîâî áåç êâàäðàòîâ è ïàëèíäðîìîâËåììàÑóùåñòâóåò ω-ñëîâî w íàä ÷åòûðåõáóêâåííûì àë�àâèòîì, â êîòîðîì íåò êâàäðàòîâ,à âñå ïàëèíäðîìû � îäíîáóêâåííûå.Ïóñòü v � áåñêâàäðàòíîå ω-ñëîâî íàä àë�àâèòîì {a, b, }. Òîãäà ìîæíî âçÿòüw = v[1]v[2]dv[3]v[4]d · · ·Â w íåò êâàäðàòîâ, òàê êàê â äâóõ ñîñåäíèõ ïîäñëîâàõ ðàâíîé äëèíûíå ñîâïàäàþò âõîæäåíèÿ d, åñëè äëèíà íå êðàòíà 3ìîæíî âû÷åðêíóòü âõîæäåíèÿ d, åñëè äëèíà êðàòíà 3, íî òî, ÷òî îñòàíåòñÿ � íåêâàäðàò, òàê êàê ñîëåðæèòñÿ â vÂ w íåò ïàëèíäðîìîâ äëèíû > 1, òàê êàê êàæäûé òàêîé ïàëèíäðîì ñîäåðæèòïàëèíäðîì âèäà aa èëè aba, ãäå a è b � áóêâû, à â w îäèíàêîâûå áóêâûíàõîäÿòñÿ íà ðàññòîÿíèè íå ìåíüøå 3À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Áåñïîâòîðíûå ñëîâà 26 ìàðòà 2015 22 / 22

Ñëîâî áåç êâàäðàòîâ è ïàëèíäðîìîâËåììàÑóùåñòâóåò ω-ñëîâî w íàä ÷åòûðåõáóêâåííûì àë�àâèòîì, â êîòîðîì íåò êâàäðàòîâ,à âñå ïàëèíäðîìû � îäíîáóêâåííûå.Ïóñòü v � áåñêâàäðàòíîå ω-ñëîâî íàä àë�àâèòîì {a, b, }. Òîãäà ìîæíî âçÿòüw = v[1]v[2]dv[3]v[4]d · · ·Â w íåò êâàäðàòîâ, òàê êàê â äâóõ ñîñåäíèõ ïîäñëîâàõ ðàâíîé äëèíûíå ñîâïàäàþò âõîæäåíèÿ d, åñëè äëèíà íå êðàòíà 3ìîæíî âû÷åðêíóòü âõîæäåíèÿ d, åñëè äëèíà êðàòíà 3, íî òî, ÷òî îñòàíåòñÿ � íåêâàäðàò, òàê êàê ñîëåðæèòñÿ â vÂ w íåò ïàëèíäðîìîâ äëèíû > 1, òàê êàê êàæäûé òàêîé ïàëèíäðîì ñîäåðæèòïàëèíäðîì âèäà aa èëè aba, ãäå a è b � áóêâû, à â w îäèíàêîâûå áóêâûíàõîäÿòñÿ íà ðàññòîÿíèè íå ìåíüøå 3Âçÿâ w = w[1..n], ïîñòðîèì áåñïîâòîðíóþ ðàñêðàñêó äåðåâà G â 4 öâåòà, êàê íàïðåäûäóùåì ñëàéäå.Òðåõ öâåòîâ äëÿ áåñïîâòîðíîé ðàñêðàñêè ëþáîãî äåðåâà íåäîñòàòî÷íî (óïðàæíåíèå:ïîñòðîèòü êîíòðïðèìåð).À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Áåñïîâòîðíûå ñëîâà 26 ìàðòà 2015 22 / 22

Комбинаторика слов и ее приложения, весна 2015: Лекции...

Documents