1. Комбинаторика1. КомбинаторикаДва основных правила

комбинаторики: сложения и умножения.

1. Если объект A можно выбрать n способами, а объект B - m способами (не такими, как А), то объект либо A, либо B можно выбрать n+m способами.

2. Если объект A можно выбрать n способами и, при любом выборе A, объект B можно выбрать m способами, то пару объектов (A, B) можно выбрать nm способами. Это правило действует также в случаях, когда элементов больше двух.

Различие в применении Различие в применении правил:правил:Правило сложения: выбираем либо А, либо В.

Правило умножения: выбираем и А, и В.

Задача на применение правил: из нечётных цифр составляют все возможные числа, содержащие не более четырёх цифр. Сколько существует таких чисел?

Решение:Решение:Всего нечётных цифр пять:

1,3,5,7,9. Значит, однозначных чисел – 5.

Применяем правило умножения: Двузначных чисел: 5∙5 = 25.

Трёхзначных чисел: 5∙5∙5 = 125. Четырёхзначных чисел: 625. Всего можно составить 5+25+125+625=780 чисел.

Формулы Формулы комбинаторики.комбинаторики.

ЗАДАЧА:ЗАДАЧА:

ПЕРЕСТАНОВКИПЕРЕСТАНОВКИПерестановки без повторений

—выборки из n элементов по n, которые могут отличаться друг от друга лишь порядком входящих в них элементов.

Число перестановок из n элементов обозначается Р(n). Формула для нахождения количества перестановок без повторений:

Р(n) = n! Здесь n! – так называемый

факториал. . Но: 0!=1

ЗАДАЧА:ЗАДАЧА:В среду у

шестого класса должно быть семь различных уроков. Сколькими способами можно составить расписание из данных уроков на среду?

РЕШЕНИЕ: Любое расписание

будет состоять из семи уроков, отличаться одно расписание от другого будет только порядков уроков. А значит, мы имеем дело с перестановкой без повторений.

Итак, имеем: 7!= 7∙6∙5∙4∙3∙2∙1=5040 вариантов расписания.

СОЧЕТАНИЯСОЧЕТАНИЯ

Различия в применении Различия в применении формул:формул:

В случае размещений берётся часть элементов и важно расположение элементов друг относительно друга.

В случае сочетаний берётся часть элементов и не имеет значения расположение элементов друг относительно друга.

В случае перестановок берутся все элементы и изменяется только их местоположение.

2. Теория вероятности.

Произведение Произведение вероятностейвероятностейПроизведением событий А и В называется

событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно.

Теорема об умножении вероятностей. Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

Сложение вероятностейСложение вероятностейСуммой событий А и В называется

событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.

Теорема о сложении вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Студент знает 30 из 40 вопросов программы. Найти Студент знает 30 из 40 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает 2 вопроса, вероятность того, что студент знает 2 вопроса, содержащихся в его экзаменационном билете ( в билете содержащихся в его экзаменационном билете ( в билете 3 вопроса).3 вопроса).

Противоположные Противоположные событиясобытияДля каждого события В есть противоположное ему событие А , которое наступает тогда, когда не наступает событие В, и наоборот.

Формула вероятности противоположного события:

Р(В) = 1 – Р(А)

Вы получаете 6 карт из колоды. Какова Вы получаете 6 карт из колоды. Какова вероятность, что среди них есть хотя бы один вероятность, что среди них есть хотя бы один туз.туз.

Формула для объединения событий А и В: Формула для объединения событий А и В: Р(А U В)= Р(А) + Р(В) - Р(АВ), где АВ - Р(А U В)= Р(А) + Р(В) - Р(АВ), где АВ - произведение (пересечение событий). произведение (пересечение событий).

Задача: Имеется 36 игральных карт. Из колоды наудачу вынимают одну карту. Какова вероятность, что будет вынута или козырная карта, или туз. Запишите ответ, умноженный на 3.

Решение: Пусть событие А заключается в том, что вынута козырная карта, событие

В - вынут "туз". Тогда событие А U B - "вынута или козырная карта, или туз", а событие АВ - "вынут козырной туз". Ясно, что Р(А)=1/4, P(B)=4/36,

P(AB) = 1/36, поэтому по формуле Р(А U В) = 1/4 + 4/36 - 1/36 = 1/3. 1/3 * 3 = 1. Ответ:1.

Задачи на игральные Задачи на игральные кубики.кубики.

Задача 2: Игральный кубик подбрасывают дважды. Определите вероятность того, что при двух бросках выпадет разное количество очков.

Результат округлите до сотых. Решение: Всего возможных комбинаций: 6 ∙ 6 = 36.

Из них благоприятные исходы можно перечислить:1-й кубик 2-й кубик1 очко 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Благоприятных исходов 5. 2 очка 1, 3, 4, 5 или 6 очков. Благоприятных исходов 5. 3 очка 1, 2, 4, 5 или 6 очков. Благоприятных исходов 5. 4 очка 1, 2, 3, 5 или 6 очков. Благоприятных исходов 5. 5 очков 1, 2, 3, 4 или 6 очков. Благоприятных исходов 5. 6 очков 1, 2, 3, 4 или 5 очков. Благоприятных исходов 5. Хотя проще было бы посчитать число неблагоприятных для нас исходов. Когда выпадет одинаковое число очков 1 и 1, 2 и 2, 3 и 3, 4 и 4, 5 и 5, 6 и 6. Таких исходов 6. Всего исходов 36. Тогда благоприятных исходов 36 – 6 = 30. Итак, всего благоприятных исходов 30. Найдем отношение 30/36 = 0,83333…

Ответ. 0,83

Задача3: Задача3: Катя дважды бросает игральный Катя дважды бросает игральный кубик. В сумме у неё выпало 6 очков. Найдите кубик. В сумме у неё выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что при одном из бросков вероятность того, что при одном из бросков выпало 5 очков.выпало 5 очков.

4. В случайном эксперименте бросают три игральные 4. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 16 кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 16 очков. Результат округлите до сотых.очков. Результат округлите до сотых.

Первая Вторая Третья Сумма очков 4 + 6 + 6 = 16

6 + 4 + 6 = 16 6 + 6 + 4 = 16 5 + 5 + 6 = 16 5 + 6 + 5 = 16 6 + 5 + 5 = 16 Равновозможных исходов – 6 · 6 · 6 = 216 Благоприятствующих исходов – 6Вероятность события р = 6/216 = 1/36 = 0,277… =

0,28. Ответ: 0,28

Задача4: Миша трижды бросает игральный Задача4: Миша трижды бросает игральный кубик. Какова вероятность того, что три кубик. Какова вероятность того, что три раза выпадут чётные числа?раза выпадут чётные числа?

Задачи на бросание Задачи на бросание монеты.монеты.

22.. Перед началом футбольного матча судья бросает Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определит, какая из команд будет первая монету, чтобы определит, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда «Меркурий» по очереди играет владеть мячом. Команда «Меркурий» по очереди играет с командами «Марс», «Юпитер» и «Уран». Найдите с командами «Марс», «Юпитер» и «Уран». Найдите вероятность того, что во всех матчах право владеть вероятность того, что во всех матчах право владеть мячом выиграет команда «Меркурий».мячом выиграет команда «Меркурий».

3. В случайном эксперименте симметричную 3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разувероятность того, что орел не выпадет ни разу..

.

Задачи из банка задач ЕГЭ Задачи из банка задач ЕГЭ и ГИАи ГИА

Задачи из банка Егэ и Задачи из банка Егэ и ГИАГИАФабрика выпускает сумки. В

среднем на 170 качественных сумок приходится шесть сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение. 170 + 6 = 176 - всего сумок.

170 / 176 = 0,965≈ 0,97 Ответ: 0,97

В случайном экспВ случайном экспериментеерименте бросают три бросают три игральные кости. Найдите вероятность игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 14 очков. того, что в сумме выпадет 14 очков.

Результат округлите до сотыхРезультат округлите до сотых.. . РешениеВсего различных вариантов выпадения очков будет 6*6*6

= 216Подсчитаем количество благоприятных исходов, т.е.

вариантов, в которых сумма трех кубиков равнялась 14.6;6;2 6;2;6 2;6;65;5;4 5;4;5 4;5;54;4;6 4;6;4 6;4;46;5;3 6;3;5 5;6;3 5;3;6 3;5;6 3;6;5Всего 15 благоприятных исходовВероятность равна 15/216 = 0,06944... ≈ 0,07 Ответ: 0,07

Вероятность попадания в 1-ю группу одного из близнецов 13/26, второго 12/25.

Вероятность попадания обоих (13/26)*(12/25)=0,24Групп 2 , поэтому умножаем на 2.Итого, 0,48.

Из колоды в 36 карт наудачу вынимают 3 Из колоды в 36 карт наудачу вынимают 3 карты. Найти вероятность того, что среди них карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна дама. Результат окажется хотя бы одна дама. Результат округлите до сотыхокруглите до сотых..

Задача1:Задача1: Абонент забыл последнюю цифру Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает её номера телефона и поэтому набирает её наугад. Определить вероятность того, что ему наугад. Определить вероятность того, что ему придётся звонить не более чем в 3 места. придётся звонить не более чем в 3 места.

Решение: Вероятность набрать верную цифру из десяти равна по условию 1/10. Рассмотрим следующие случаи:

1. первый звонок оказался верным, вероятность равна 1/10 (сразу набрана нужная цифра).

2. первый звонок оказался неверным, а второй - верным, вероятность равна 9/10*1/9=1/10 (первый раз набрана неверная цифра, а второй раз верная из оставшихся девяти цифр).

3. первый и второй звонки оказались неверными, а третий - верным, вероятность равна 9/10*8/9*1/8=1/10 (аналогично пункту 2).

Всего получаем P=1/10+1/10+1/10=3/10=0,3 - вероятность того, что ему придется звонить не более чем в три места.

Ответ: 0,3

Задача : В ящике 5 апельсинов и 4 яблока. Наудачу выбираются 3 фрукта. Какова вероятность, что все три фрукта – апельсины?