Πιθανότητες & Τυχαία ΣήματαΣυσχέτιση

Διγαλάκης Βασίλης

Η έννοια της συσχέτισης Για 2 τυχαίες μεταβλητές Χ,Υ:

Συσχέτιση: Ε{Χ Υ}

Συμμεταβλητότητα:

Συντελεστής συσχέτισης:

)})({( YXXY YXE

)/( YXXYXY

Έστω Χ,Υ Τ.Μ. με Υ=aΧ+b και Ε{Χ}=μΧ, Ε{(Χ-μΧ)2}=σΧ

2

Υπολογίστε το συντελεστή συσχέτισης ρΧΥ. Λύση:

Παράδειγμα 1

babXEabaXEYE X }{}{}{22222 })({}){( XXY aXaEYE

22}){(

)}(){()})({(

XX

XXYXXY

aXEa

XaXEYXE

11

00

01

||||||

2

a

a

a

a

YX

X

YX

XYXY

Έστω Χ,Υ Τ.Μ. με Χ~Ν(0, σΧ2) και Υ=Χ2

Υπολογίστε το συντελεστή συσχέτισης ρΧΥ. Λύση:

Γραμμικά Ανεξάρτητες.

Παράδειγμα 2

2222 ),0(}{}{ XX dxXNXEYE

0),0()(}){( 2222

dXNXYE XYY

0}{}{)}{(

)}({)})({(2323

22

XEXEXXE

XXEYXE

XX

XYXXY

0YX

XYXY

Έστω Χ,Ζ ανεξάρτητες κανονικές Τ.Μ. και Υ=αΧ+b+Ζ

Υπολογίστε το συντελεστή συσχέτισης ρΧΥ. Λύση:

Παράδειγμα 3

ZX baZEbXaEZbaXEYE }{}{}{}{222222 }){(})({ EE

22 )}()()({

)}(){(

XX

XXXY

XXE

XXE

00

1 ή 1222

XY

XY

X

X

YX

XYXY

Τυχαία Διανύσματα Ορισμός: Η συλλογή των Τ.Μ. ορίζει ένα

Τυχαίο Διάνυσμα (Τ.Δ.), που παίρνει τιμές σε ένα m-διάστατο χώρο Rm.

mX

X

X

X2

1

Στατιστικές ιδιότητες Τ.Δ. Οι στατιστικές ιδιότητες του Τ.Δ.

καθορίζονται από την από κοινού συνάρτηση κατανομής

Από κοινού Σ.Π.Π.:

),,,(),,,( 221121 mmm xXxXxXPXXXFX

),,,(...

),,,( 211

21...1 mXm

m

M XXXFXX

XXXf MXX

Στατιστικές ιδιότητες Τ.Δ. Οριακές Σ.Π.Π.:

(M-1)ης τάξης:

(M-2)ης τάξης:

1ης τάξης

MMMM dXXXXXfXXXf MXXX ),,,,(),,,( 121121 1

22131 ),,,(),,,( 1 dXXXXfXXXf MM MXXX

MMMM dXdXXXXfXXXf MXXX

121221 ),,,(),,,( 1

MM dXdXXXfXf MXXX

211 ),,()( 11

Στατιστικές ιδιότητες Τ.Δ. Υπό συνθήκη Σ.Π.Π. των Χ1, Χ2, Χ3 | Χ4 :

)(

),,,()|,,(

4

43214321

4

4,3,2,1

4|3,2,1Xf

XXXXfXXXXf

X

XXXX

XXXX

Αναμενόμενες τιμές

4143214321

4321

),,,(),,,(

)},,,({

4,3,2,1 dxdxXXXXfXXXXg

XXXXgE

XXXX

214321443321

4433443321

44334321

),|,(),,,(

},|),,,({

},|),,,({

4,3|2,1 dxdxXXXXfxXxXXXg

xXxXxXxXXXgE

xXxXXXXXgE

XXXX

Διανυσματικός συμβολισμός

Ορίσαμε το Τ.Δ. Χ ως ένα διάνυσμα m x 1

XT = (X1, X2, . . . , Xm)

Οι τιμές του Τ.Δ. μπορούν να οριστούν ως σημεία στον m-διάστατο χώρο Rm:

χT = (χ1, χ2, . . . , χm)

Μέση τιμή ενός Τ.Δ. Ορισμός: Μέση (αναμενόμενη) τιμή του Τ.Δ.

Χ ορίζεται ως το (m x 1) διάνυσμα  

}{

}{

}{

2

1

2

1

mm xE

xE

xE

Πίνακας Συνδιακύμανσης ενός Τ.Δ. Ορισμός: 

Ανεξάρτητες/Ασυσχέτιστες συνιστώσες Τ.Δ. Αν x1, x2,…,xM είναι ασυσχέτιστες θα έχουν

διαγώνιο πίνακα συνδιακύμανσης:

Αν x1, x2,…,xM είναι ανεξάρτητες ασυσχέτιστες διαγώνιος πίνακας συνδιακύμανσης.

Πολυδιάστατη Κανονική Κατανομή Ένα Τ.Δ. Χ ακολουθεί πολυδιάστατη κανονική

κατανομή εαν έχει Σ.Π.Π. της μορφής:

Αν οι συνιστώσες του διανύσματος είναι ανεξάρτητες:

Πολυδιάστατη Κανονική Κατανομή Ο εκθέτης της Σ.Π.Π. γίνεται:

Η Σ.Π.Π. γίνεται:

Ιδιότητες Πολυδιάστατης Κανονικής Κατανομής Αν το Τ.Δ. Χ μπορεί να χωριστεί:

Όπου

Τότε:

2

1

X

XX

Ny

y

y

X2

1

1

M

N

N

y

y

y

X

2

1

2

}{

}{}{

2

1

X

XX

212

211

X

Ιδιότητες Πολυδιάστατης Κανονικής Κατανομής Αν ο πίνακας συνδιακύμανσης ΣΧ είναι

διαγώνιος και Χ ακολουθεί κανονική κατανομή οι συνιστώσες του Τ.Δ. Χ είναι ανεξάρτητες :

Για κανονικές κατανομές (μόνο): Κανονικές Ασυσχέτιστες ΤΜ ↔ Κανονικές

Ανεξάρτητες ΤΜ

Γραμμικές συναρτήσεις Τ.Δ. Θεωρείστε το Τ.Δ. Υ=aΧ+b. Υπολογίστε μέση

τιμή και πίνακα συνδιακύμανσης του Υ.

Παράδειγμα 1 Έστω Χ ακολουθεί τετραδιάστατη κανονική

κατανομή με

και Χ1 = (x1 x2)Τ, Χ2 = (x3 x4)Τ.

1) Υπολογίστε την κατανομή του Χ1

2) Αντίστοιχα:

41

14,

2

1~1 NX

Παράδειγμα 12) Υπολογίστε την κατανομή του

Y=AX=κανονική κατανομή με

43

21

1

2

2

XX

XX

X

Y

),,(~ NY

Παράδειγμα 13) Υπολογίστε την κατανομή του X1=(x1,x2)

δεδομένου του Χ2=(x3,x4)

X1|X2 ακολουθεί κανονική κατανομή με )|( 21| 21

XXXX

Συναρτήσεις Τυχαίας Μεταβλητής Y=g(X) Οι συναρτήσεις κατανομής και πυκνότητας

πιθανότητας ορίζονται με βάση ισοδύναμα ενδεχόμενα

Συνεχείς ΤΜ: Εστω οι K ρίζες της εξίσωσης y=g(x), x(1),x(2),

…,x(K). Η ΣΠΠ της ΤΜ Y δίδεται από

|)(|

)(

|)(|

)()(

)('

)(

)1('

)1(

k

kXX

Y xg

xf

xg

xfyf

Παράδειγμα Εστω ότι η ΤΜ X ακολουθεί τυπική κανονική

κατανομή. Δώστε την ΣΠΠ της ΤΜ Y=|Χ|.

1)('0

1)('0||)(

)2(

)1(

xgxyx

xgxyxXxgY

)()(|1|

)(

|1|

)()( xfxf

xfxfyf XX

XXY

Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Δίδεται η από κοινού Σ.Π.Π. των X1, X2: fx1 x2(x1,

x2) και οι μετασχηματισμένες Τ.Μ. Y1, Y2

Y1 = g1(X1,X2)

Y2 = g2(X1,X2) Η από κοινού Σ.Π.Π. των Y1, Y2 υπολογίζεται,

αντίστοιχα με τη συνάρτηση μιας Τ.Μ., από τις ρίζες του συστήματος εξισώσεων και την Ιακωβιανή (Jacobian) του μετασχηματισμού:

ί

xx

xx

yxxg

yxxg

kk

),(

),(

),(

),(

)(2

)(1

)1(2

)1(1

2212

1211

Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Η από κοινού Σ.Π.Π. των Y1, Y2 είναι:

Ιακωβιανή:

2

2

1

2

2

1

1

1

21 ),(

x

y

x

yx

y

x

y

xxJ

|),(|

),(

|),(|

),(),( )(

2)(

1

)(2

)(1

)1(2

)1(1

)1(2

)1(1

212121

21 kk

kkXXXX

YYxxJ

xxf

xxJ

xxfyyf

Παράδειγμα Παράδειγμα: δύο αντιστάσεις Χ1, Χ2 είναι

ομοιόμορφα κατανεμημένες στο διάστημα μεταξύ 9 και 11 ohms. Βρείτε την Σ.Π.Π. της Τ.Μ. Υ2 που αντιπροσωπεύει τον παράλληλο συνδυασμό των Χ1, Χ2.

Γραμμικός μετασχηματισμός Θεωρείστε το γραμμικό μετασχηματισμό Y =

A X + B ή

Υποθέτοντας οτι ο Α είναι nonsingular, έχουμε:

nnnnnn

n

n

n b

b

b

X

X

X

aaa

aaa

aaa

Y

Y

Y

2

1

2

1

21

22221

11211

2

1

Παράδειγμα: Άθροισμα δύο Τ.Μ. Παράδειγμα: Έστω Y1 = X1 + X2, όπου X1, X2

ανεξάρτητες Τ.Μ. Βρείτε τη Σ.Π.Π. της Y1 συναρτήσει των Σ.Π.Π. των X1, X2

Παράδειγμα: X1, X2 είναι ανεξάρτητες Τ.Μ. ομοιόμορφα κατανεμημένες στο [-1,1]. Βρείτε τη Σ.Π.Π. του αθροίσματος τους.

Γραμμικός μετασχηματισμός πολυδιάστατης κανονικής κατανομής Το Τ.Δ. Χ ακολουθεί πολυδιάστατη κανονική

κατανομή με Ε{Χ} = 0 και πίνακα συνδιακύμανσης ΣΧ. Βρείτε τη Σ.Π.Π. του Τ.Δ. Υ = ΑΧ, όπου Α είναι αντιστρέψιμος.