1

Фадеев С.И.Лекции по спец. курсу

Нелинейные краевые задачи

для систем обыкновенных дифференциальных уравнений

на конечном отрезке.

2

Нелинейные эффекты, моделируемые нелинейными

краевыми задачами

ВВЕДЕНИЕ

3

ТЕМА 1.

Формулировки нелинейных краевых задач. О проблемах их

численного анализа

4

Формулировка нелинейной краевой задачи для системы обыкновенных

дифференциальных уравнений

5

Формулировка нелинейной краевой задачи для дифференциального

уравнения высокого порядка

6

Исследование нелинейной краевой задачи

как вычислительный эксперимент

7

О численных методах исследования краевых задач

8

Геометрическая интерпретация решения краевой задачи в зависимости от

параметра

Формулировка краевой задачи с параметром q.

Система уравнений: 0<=x<=1, dy/dx = u, du/dx = - q/(1-y)^2. Краевые условия: u(o) = y(1) = 0. При 0< q < .35

краевая задача имеет два решения. При q > .35 решений нет.

График гладкой поверхности S в пространстве (x, y, q), состоящей из графиков решений краевой задачи.

9

Исследование предельных циклов

как краевая задача

10

ТЕМА 2.

Иллюстрации нелинейных эффектов

на примерах, имеющих точное решение.

11

1. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОКОЕ РЕЛЕ Простейшая модель

Уравнение движения:

Обозначения:

12

Уравнение движения

13

Множественность стационарных решений

14

Устойчивость стационарных решений

15

Параметры гистерезиса

16

Диаграмма стационарных решений

При q < qMAX – два решения: асимптотически устойчивое (yS < 1/3), и неустойчивое (уC>1/3). При q = qMAX – одно неустойчивое решение ( y = 1/3). При q > qMAX стационарные решения не существуют.

17

2. МОДЕЛЬ ПЛЕНОЧНОГО ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО РЕЛЕ

18

Формулы точного решения краевой задачи

19

Графики решений краевой задачи

в зависимости от параметра

Соответствие графика функции y(x) и соответствующего значения параметра q осуществляется по значению y(0).

20

Диаграмма стационарных решений.

При q < qMAX – два решения: асимптотически устойчивое (yS < .3883), и неустойчивое (уC>.3883). При q = qMAX – одно неустойчивое решение ( y = .3883). При q > qMAX стационарные решения не существуют.

График зависимости q = q(y0), y0 = y(0).

21

Устойчивость стационарных решений.

Физическая интерпретация диаграммы.

22

3. МОДЕЛЬ ТЕПЛОВОГО ВЗРЫВА Плоский сосуд

23

Графики решений краевой задачи

в зависимости от параметра

Соответствие графика функции y(x) и соответствующего значения параметра q осуществляется по значению y(0).

24

Диаграмма стационарных решений

Зависимость y0, y0 = y(0), от параметра q.

25

Физическая интерпретация диаграммы

стационарных решений

26

4. МОДЕЛЬ ТЕПЛОВОГО

ВЗРЫВА Цилиндрический сосуд

27

Графики решений краевой задачив зависимости от параметра

Соответствие графика функции y(x) и соответствующего значения параметра q осуществляется по значению y(0).

28

Диаграмма стационарных решений

Зависимость y0, y0 = y(0), от параметра q.

29

5. МОДЕЛЬ ТЕПЛОВОГО ВЗРЫВА Модифицированная постановка задачи

30

Диаграмма стационарных решений

Множественность

стационарных решений

в областях изменения

параметра q, границы

которых определяются

значениями q в точках

поворота, где q = .877

и q = 1.162 :

при 0 < q < .877 - 1 решение;

при .877 < q < 1.162 - 3 решения;

при q > 1.162 – 1 решение. Три стационарных решения при q=1. На рисунке y0 = y(0).

31

Гистерезис и устойчивость

Устойчивость стационарных

решений при движении с

ростом y0 по диаграмме:

0 < q < 1.162 , 0 < y0 < 2.354 -

1.162 > q > .877, 2.354 < y0 < 15.41 -

асимптотичекая устойчивость;

неустойчивость;

q > .877, y0 > 15.41 -

асимптотическая устойчивость.

Значения q в точках поворота являются параметрами гистерезиса.

32

Описание параметров гистерезиса.

33

Линейные краевые задачи

РАЗДЕЛ 1

34

ТЕМА 1.

Существование и единственность решения линейной краевой

задачи. Интегральное представление решения.

35

Существование и единственность решения.

36

Интегральное представление решения

*)Заметим, что разрешимость краевой задачи не зависит от выбора Ф.М.Р.

37

Матричные функции Грина

38

Матричные функции Грина

(продолжение)

39

ТЕМА 2.

Частные случаи задания

краевых условий

40

1.Задача Коши как частный случай краевой задачи.

41

2. Разделенные краевые условия

42

Краевые условия периодичности

43

Краевые условия периодичности (продолжение 1)

44

Краевые условия периодичности (продолжение 2)

45

ТЕМА 3.

Краевая задача для линейного дифференциального

уравнения высокого порядка

46

Эквивалентные формулировки краевой

задачи

47

Эквивалентные формулировки краевой

задачи (продолжение)

48

Условия, определяющие функции Грина.

49

Условия, определяющие функции Грина.

(продолжение 1)

50

Условия, определяющие функции Грина.

(продолжение 2)

Замечание. Рассмотрение частных случаев задания краевых условий (14) по аналогии с Темой 2 предоставляется читателю.

51

Функция Грина и примерыпредставления нелинейной

краевой задачи в виде нелинейного

интегрального уравнения.

ТЕМА 4.

52

Формулировка нелинейного интегрального уравнения.

53

Пример1. Нелинейное интегральное уравнение модели пленочного электростатического реле

54

Пример 2. Нелинейное интегральное уравнение модели теплового взрыва.

55

Пример 3. Нелинейное интегральное уравнение

модели пленочного электростатического реле

с учетом жесткости подвижного электрода.

56

Непрерывная зависимость решения краевой

задачи

ТЕМА 5.

57

Теорема 1.О разрешимости возмущенной краевой

задачи.

58

Непрерывная зависимость решения краевой задачи.Доказательство

Теоремы 1(продолжение 1)

Доказательство Теоремы 1 (продолжение 1).

59

Доказательство Теоремы 1 (продолжение 2).

60

Доказательство Теоремы 1 (продолжение 3).

61

Доказательство Теоремы 1 (продолжение 4).

62

Доказательство Теоремы 1 (продолжение 5).

63

Доказательство Теоремы 1 (продолжение 6).

64

Доказательство Теоремы 1 (продолжение 7).

65

Доказательство Теоремы 1 (продолжение 8).

66

Теорема 2О непрерывной зависимости решения краевой

задачи

67

Доказательство Теоремы 2 (завершение)

68

Численные методы решения краевых задач

РАЗДЕЛ 2

69

О численном решении линейных краевых

задач.

ТЕМА 1.

70

Метод «стрельбы».

71

Метод «стрельбы» (продолжение).

72

Метод «стрельбы». Пример «сплющивания» базисных решений.

73

Метод «стрельбы». Пример «сплющивания» базисных решений (продолжение).

74

Метод «множественной стрельбы»(метод ортогональных прогонок).

75

Метод «множественной стрельбы»Прямой ход прогонки

76

Метод «множественной стрельбы»Обратный ход прогонки

77

ТЕМА 2.

О численном решении нелинейных краевых

задач.

78

Метод Ньютона (метод квазилинеаризации). Хорошая обусловленность нелинейной краевой

задачи.

79

Хорошая обусловленность нелинейной краевой задачи(продолжение)

80

Понятие ОМЕГА-окрестности решения.

81

Теорема о сходимости метода Ньютона

82

Доказательство Теоремы о сходимости

83

Доказательство Теоремы о сходимости(продолжение 1)

84

Доказательство Теоремы о сходимости (продолжение 2)

85

Доказательство Теоремы о сходимости (продолжение 3)

86

Доказательство Теоремы о сходимости

(продолжение 4)

87

ТЕМА 3.

Метод множественной стрельбы

для численного решения

нелинейной краевой задачи.

88

Метод стрельбы

89

Метод множественной стрельбы

90

Метод множественной стрельбы(продолжение 1)

91

Метод множественной стрельбы(продолжение 2)

92

ТЕМА 4.

Метод Ньютона

для численного решения систем нелинейных уравнений

93

Теорема о сходимости метода Ньютона для численного решения систем

нелинейных уравнений

94

Доказательство леммы

95

Доказательство теоремы

Изложение метода Ньютона для решениия систем нелинейных уравнений замыкает описание метода множественной стрельбы для решения нелинейной краевой залачи

96

Замечание к методу Ньютона

97

Численное исследование систем нелинейных уравнений Метод продолжения решения

по параметру

РАЗДЕЛ 3

98

Общее положение

99

ТЕМА 1.

Метод продолжения по параметру, основанный на параметризации.

100

Теорема о неявной функции

101

Равноправие аргументов

102

Решение системы нелинейных уравнений как задача Коши

103

Решение системы нелинейных уравнений как задача Коши

(продолжение)

104

Пример пространственной кривой S,

определяемой из системы 2-х уравнений с параметром q

Система уравнений :

3x1 – x2 - 4 = 04sin(x1-2)-q+10 =

0где q – параметр, 6 <= q <= 10

Графики проекций пространственной кривой S иллюстрируют множественность решений

105

Параметризация

106

Параметризация(продолжение)

107

Задание начального приближения

108

Адаптация шага по текущему параметру

109

Завершение процесса продолжения по

параметру

110

Пример применения метода продолжения по параметру

Графики компонент системы

Система уравнений : 3x1 – x2 - 4 = 04sin(x1-2)-q+10 = 0где q – параметр, 6 <= q <= 10

111

Продолжение решения по параметру как численный эксперимент

112

ТЕМА 2.

Продолжение решения системы нелинейных

уравнений как задача Коши.

113

Задача Коши с использованием параметризации

114

Метод Кубичека

115

Метод Кубичека (продолжение)

116

Схема вычислений по методу Кубичека

117

Замечание к использованию задачи Коши в методе

продолжения по параметру.

118

Численное исследование нелинейных краевых задач.

Метод продолжения решения по параметру

РАЗДЕЛ 4

119

ТЕМА 1.

Продолжение решения по параметру в методе

множественной cтрельбы

120

Линейная краевая задача, определяющая производную решения по параметру.

121

Система нелинейных уравнений относительно сеточных значений решения

нелинейной краевой задачи

122

Серия задач Коши, необходимая для организации

продолжения решения по параметру

123

Серия задач Коши, необходимая для организации

продолжения решения по параметру (продолжение 1).

124

Серия задач Коши, необходимая для организации

продолжения решения по параметру (продолжение

2).

125

Серия задач Коши, необходимая для организации

продолжения решения по параметру (продолжение

3).

126

Завершение описания алгоритмапродолжения решения по параметру

127

ТЕМА 2.

Дискретная модель нелинейной краевой

задачи, основанная на сплайн-коллокации.

128

Определение сплайна

129

Условие коллокации

130

Дискретная модель нелинейной краевой

задачи

131

Матрица производных

132

Замечания

133

ТЕМА 3.

Адаптация сетки

134

Определение узлов сетки в задаче интерполяции сплайном

с заданной точностью.

135

Условие определения узлов сетки в дискретной модели краевой

задачи.

136

Алгоритм адаптации сетки

137

Схема определения узлов сетки при равномерном распределении

погрешности

138

Определение параметров

интерполяционного эрмитова сплайна 5-ой степени.

139

Завершение описания адаптации сетки.

140

Заключение

141

ТЕМА 3.

Дискретнные модели нелинейных интегральных

уравнений.

142

Формулировка нелинейного

интегрального уравнения

143

Интерполяционный

кубический сплайн

144

Определение параметров сплайна.

145

Дискретная модель интегрального уравнения

146

Вычисление коэффициентов

дискретной модели

147

ТЕМА 4.

Примеры численного

исследования нелинейных краевых задач1. Модель пленочного электростатического реле

2. Модель каталитического реактора

3. Осцилятор Ван дер Поля.

148

1. Модель пленочного электростатического

реле.

149

Модель пленочного электростатического

реле.(продолжение)

Рис.1. Первое решение краевой задачи при q = 2

150

Модель пленочного электростатического реле.

(продолжение)

Рис.2. Второе решение краевой задачи при q = 2

151

Модель пленочного электростатического реле

(продолжение)

Рис.3. Диаграмма множественности решений. График

зависимости y1(0) от параметра q.

152

2. Модель каталитического реактора

153

Модель каталитического реактора

(продолжение)

Рис.4. Первое решение краевой задачи при q = 200

154

Модель каталитического реактора

(продолжение)

Рис.5. Второе решение краевой задачи при q = 200

155

Модель каталитического реактора

(продолжение)

Рис.6. Третье решение краевой задачи при q = 200

156

Модель каталитического реактора

(продолжение)

Рис.7. Четвертое решение краевой задачи при q = 200

157

Модель каталитического реактора

(продолжение)

Рис.8. Пятое решение краевой задачи при q = 200

158

Модель каталитического реактора

(продолжение)

Рис.9. Диаграмма множественности решений. Грaфики

зависимостей y1(1) и y3(1) от параметра q

159

3. Осцилятор Ван дер Поля

160

Осцилятор Ван дер Поля(продолжение)

Рис.10. Предельный цикл при q = 5

161

Осцилятор Ван дер Поля (продолжение)

Рис.11. Предельный цикл при q=15

162

Осцилятор Ван дер Поля(продолжение)

Рис.12. Диаграмма множественности решений. Зависимость амплитуды колебаний и периода от параметра q

163

ЛИТЕРАТУРА

164

ЛИТЕРАТУРА