Вневписанные окружности
DESCRIPTION
Геометрия. Вневписанные окружности. Нахождение площади и сторон треугольника образованного центрами вневписанных окружностей. Автор работы: Бойко Павел , ученик 10-б класса, ГБОУ Лицей 1557 Руководитель работы: . - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Вневписанные окружности](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102707/568143ae550346895db03616/html5/thumbnails/1.jpg)
ВНЕВПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ
ГЕОМЕТРИЯ
Нахождение площади и сторон треугольника образованного центрами
вневписанных окружностей
Автор работы: Бойко Павел, ученик 10-б класса, ГБОУ Лицей 1557
Руководитель работы:
Прокофьев Александр Александрович, учитель ГБОУ Лицей 1557, кфмн, д.пед.н.
![Page 2: Вневписанные окружности](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102707/568143ae550346895db03616/html5/thumbnails/2.jpg)
Содержание1. Условие задачи2. Алгоритм решения задачи
3. Определение вневписанной окружности
4. Свойства элементов треугольника ивневписанных к нему окружностей
4.3. Длина радиуса вневписанной окружности
4.1. Свойство вершин треугольника
4.2. Длина отрезков, составляющих сторону треугольника разделенную точкой касания окружности
5. Решение задачи
6. Проверка решения
7. Заключение
![Page 3: Вневписанные окружности](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102707/568143ae550346895db03616/html5/thumbnails/3.jpg)
Дан треугольник ABC со сторонами a, b, c и вневписанные к нему окружности с центрами O1, O2, O3 (рисунок 1).Выразить стороны треугольника O1O2O3 через a, b, c и найти его площадь.
1. Условие задачи
Рис. 1. Вневписанные окружности к треугольнику ABC и треугольник
O1O2O3.
Вернуться к содержанию
![Page 4: Вневписанные окружности](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102707/568143ae550346895db03616/html5/thumbnails/4.jpg)
Рис. 2. Вневписанные окружности к треугольнику
2. Определение вневписанной окружности
Вернуться к содержанию
Вневписанная окружность –- окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других его сторон. Таких окружностей в треугольнике три.На рисунке 2 изображен треугольник ABC c тремя вневписанными к нему окружностями с центрами O1, O2
и O3.
Точки K1, E1, D1; K2, E2, D2; K3, E3, D3-
– точки касания соответствующих окружностей со сторонами и продолжениями сторон треугольника ABC.
![Page 5: Вневписанные окружности](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102707/568143ae550346895db03616/html5/thumbnails/5.jpg)
3. Алгоритм решения задачи
2). Стороны O1O2O3 вычисляем как
суммы отрезков: О1В и О2В; О2С и О3С; О3А и О1А (Предварительно доказав, что вершины АВС лежат на прямых, соединяющих центры окружностей ).
3). Отрезки О1В, О2В, … найдем по теореме Пифагора, зная радиусы окружностей и длины отрезков, образованных вершинами треугольника принадлежащими одной стороне и точкой касания вневписанной к этой стороне окружности (например, r1, AK1 и K1B).
4). Радиусы окружностей и отрезки прямых (AK1,K1B, …) вычислим через
длины сторон: а; b; c. Вычисления длин радиусов и отрезков оформим как отдельные самостоятельные модули
Рис. 2. Рисунок к алгоритму решения
1). Площадь O1O2O3 находим через его стороны.
Вернуться к содержанию
![Page 6: Вневписанные окружности](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102707/568143ae550346895db03616/html5/thumbnails/6.jpg)
4. Свойства элементов треугольника и вневписанных к нему окружностей 4.1. Свойство вершин треугольника
Для доказательства теоремы используем метод “от противного”, т.е. выскажем суждение: “Вершины треугольника НЕ лежат на прямых, соединяющих центры” и проверим это суждение на истинность. Суждение подразумевает, что все три пары отрезков прямых, соединяющих вершины треугольника с центрами трех вневписанных в него окружностей, образуют между собой, внутри пары, углы НЕ равные 1800
Рис. 3. Угол между отрезками, соединяющими вершину B с
центрами окружностей O1 и O2
Все вершины треугольника лежат на прямых, соединяющих центры вневписанных к нему окружностей.
![Page 7: Вневписанные окружности](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102707/568143ae550346895db03616/html5/thumbnails/7.jpg)
1) Выделим фрагмент рисунка 1 и обозначим угол ABC равным a (рисунок 4):2) проведем касательные к O1 и О2. Соединим центры окружностей с их точками
касания отрезками O1K1, O1D1 и O2K2, O2D2 .3) O1K1B= O1D1B=O2K2B= O2D2B=900; O1D1 = O1K1 = r1 ; O2D2 = O2K2 = r2
где: r1 – радиус окружности O1; r2 – радиус окружности O2.
(свойства отрезка прямой, соединяющего центр окружности с точкой касания)4) Соединим вершину B, с центрами O1 и O2 отрезками BO1 и BO2
В результате построений мы получили искомый угол O1BO2.
5) Вычислим значение угла. O1BO2 =a + O1BD1+ O2 BD2; (1)
K1BD1=1800-a.
O1BK1 = O1BD1 (признак равенства
прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе), следовательно: ÐO1BD1= O1BK1= ( K1BD1 ) / 2= 900 - a/2. (3)
Аналогично вычисляем O2BD2=900 - a / 2. (4)
Подставляя значения (3), (4) в (1), получим: O1BO2 = 1800
Рис.4. Построения к доказательству теоремы
4.1. Свойство вершин треугольника (продолжение)
![Page 8: Вневписанные окружности](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102707/568143ae550346895db03616/html5/thumbnails/8.jpg)
Аналогичные рассуждения и вычисления справедливы для остальных углов между парами отрезков, соединяющих вершины треугольника (рисунок 1) с центрами окружностей, т.е. O1BO2=1800;
O2CO3=1800;
O3AO1=1800.
Или:все три пары отрезков прямых, соединяющих вершины треугольника с центрами трех вневписанных в него окружностей, образуют между собой, внутри пары, углы равные 1800.Проверка высказанного суждения на истинностьВычисление значений углов между отрезками, соединяющими вершины треугольника с центрами вневписанных в него окружностей, показало, что они равны 1800.Этот факт противоречит основе высказанного нами суждения, следовательно, само высказанное нами суждение: “Вершины треугольника не лежат на прямых линиях соединяющих центры вневписанных в него окружностей”, является ложным.Использованный метод доказательства “от противного”, позволяет нам утверждать, что:
Вершины треугольника лежат на прямых линиях соединяющих центры вневписанных в него окружностей,
что и требовалось доказать.
4.1. Свойство вершин треугольника (продолжение)
Вернуться
![Page 9: Вневписанные окружности](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102707/568143ae550346895db03616/html5/thumbnails/9.jpg)
4.2. Длины отрезков , образованных вершинами треугольника принадлежащими одной стороне и точкой касания вневписанной к этой стороне окружности
Вернуться
1) Выделим фрагмент рисунка 1 (Условие задачи), проведем касательные к окружности O1. Соединим O1 с точками касания отрезками O1Е, O1К и O1D.
2) O1ЕА= O1КА= O1DB=900; O1Е = O1K = O1D = r1 .
где: r1 – радиус окружности O1.
(свойства отрезка прямой, соединяющего центр окружности с точкой касания)3) O1ЕС= O1DC; O1ЕА= O1КА; O1КВ= O1DВ (признак равенства
прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе),4) ЕА=АК и DВ=ВК, тогда:
cBKAK
aBKbAK
5) Решаем систему уравнений:
Рисунок 5.
Длина отрезка между вершиной треугольника и точкой касания вписанной к стороне окружности равна разности между половиной суммы сторон, образующих эту вершину и половиной длины противоположной стороны треугольника
![Page 10: Вневписанные окружности](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102707/568143ae550346895db03616/html5/thumbnails/10.jpg)
4.3. Длина радиуса вневписанной окружности
Вернуться
1) Выделим фрагмент рисунка 1 и проведем касательные к окружности O1.
2) Соединим центр окружности с точками касания отрезками O1Е, O1К и O1D.3) O1ЕА= O1КА= O1DB=900; O1Е=O1K=O1D=r1 ,
где: r1 – радиус окружности O1.
(свойства отрезка прямой, соединяющего центр окружности с точкой касания)4) Соединим вершину С треугольника ABC с центром O1 отрезком СO1
5) O1ЕС= O1DC; O1ЕА= O1КА; O1КВ= O1DВ (признак равенства
прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе). 6) Уравнение площадей треугольников:
;))()(( cpbpappSABC
;2 11crS BAO
где p=(a+b+c)/2
7) Подставляя (2), (3) и (4) в (1), решаем относительно r1:
Аналогично вычисляем r2, r3,:
Рисунок 6
,2
)22
()(2 111111prr
cbab
bcarbAKrECrS CEO
(1)
(2)
(3)
(4)
![Page 11: Вневписанные окружности](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102707/568143ae550346895db03616/html5/thumbnails/11.jpg)
5. Решение задачи. Нахождение сторон O1О2О3 1) Соединим центр вневписанной к стороне АВ треугольника АВС окружности О1
с вершинами А и В. Проведем радиус r1 к точке касания (К) окружности со стороной АВ.
Получили отрезки О1А и О1В, являющиеся гипотенузами прямоугольных
треугольников O1AК и O1КB.2) Теорема Пифагора для O1AК и O1КB:
)1(; 221
21
221
21 BKrBOAKrAO
;22
;22
acbBK
bcaAK Где:
.)(
))((1 cp
bpappr
(из Формулы 2)
3) Решим (1), относительно отрезков O1A и O1B:
;)()(
1 cpbpbc
AO
)()(
1 cpapac
BO
Аналогично вычисляем длины остальных отрезков (О2В, О2С, О3С и О3А):
;)()(
;)()(
22 apbpab
COap
cpacBO
)()(
;)(
)(33 bp
cpbcAO
bpapab
CO
;
(из Формулы 1)
![Page 12: Вневписанные окружности](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102707/568143ae550346895db03616/html5/thumbnails/12.jpg)
5. Решение задачи. Нахождение сторон и полупериметра
Находим стороны треугольника O1O2O3, предварительно доказав,
что все вершины АВС лежат на прямых, соединяющих центры окружгностей:
Находим полупериметр (P) треугольника O1O2O3:
2313221 OOOOOO
P
Подставляя в формулу полупериметра O1O2O3, значения сторон, получаем:
Рисунок 8.
;2
)()(
)()(
3232 bcaacbabc
bpapab
apbpab
COCOOO
.2
)()(
)()(
3131 cbabcabca
bpcpbc
cpbpbc
AOAOOO
;2
)()(
)()(
2121 cbaacbacb
apcpac
cpapac
BOBOOO
![Page 13: Вневписанные окружности](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102707/568143ae550346895db03616/html5/thumbnails/13.jpg)
5. Решение задачи. Нахождение площадиO1О2О3 . Вариант 1. Найдем площадь O1O2O3 через его стороны и полупериметр (Р)
))()(( 313221321OOPOOPOOPPS OOO
.222
321
cbabca
bcaP
bcaacbabc
Pcbaacb
acbPPS OOO
Подставляя значения сторон O1O2O3, получим:
Рисунок 9.
Результаты решения задачиСтороны O1O2O3, выраженные через стороны а, в, с АВС:
Площадь O1O2O3:
Где : .acbbcacba
cbaabcbcaacbacbbcaP
;2
32 bcaacbabc
OO
.2
31 cbabcabca
OO
;2
21 cbaacbacb
OO
.222
321
cbabca
bcaP
bcaacbabc
Pcbaacb
acbPPS OOO
![Page 14: Вневписанные окружности](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102707/568143ae550346895db03616/html5/thumbnails/14.jpg)
5. Решение задачи. Нахождение площади O1О2О3. Вариант 2.
Рисунок 10.
Вернуться к содержанию
Площадь O1O2O3 состоит из четырех частей (рис. 10): площади треугольника
АВС, и примыкающих к нему трех треугольников 321321SSSSS ABCOOO
B
CA
b
acO1 r1
O2
r2
O3
r3
o
O
r
R
Площадь треугольника АВС вычислим по формуле:,22; prSprS ABCABC
Где р- полупериметр треугольника АВС ; r – радиус вписанной окружности.Площадь (S1) треугольника AO1B:
.)(
)())((2;21
111
1111111
prprSprcp
Scppr
rcpprrcppcrScrS
Аналогичные выражения получим для S2 и S3
Сложим полученные равенства:
.)()(2 321321 prrrrpSSSS
)(2 321321rrrrpS OOO
Используя теорему Штейнера, r1+r2+r3 - r = 4R, получаем:.2,42
321321RpSRpS OOOOOO
))()((4 cpbpappabc
R
Воспользуемся формулой вычисления радиуса описанной окружности (R) через стороны треугольника:
.2
2:321 c)b)(pa)(p(p
abcpRpSТогда OOO
Или:
![Page 15: Вневписанные окружности](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102707/568143ae550346895db03616/html5/thumbnails/15.jpg)
6. Проверка решенияСравним результаты вычисления сторон и площади треугольника по полученным формулам с фактическими, измеренными с точностью до ±1 мм, значениями.•Построим треугольник с длиной сторон: a=27 мм; b=41 мм; c=31 мм.•Построим вневписанные окружности, соединим центры отрезками O1O2, O2O3, O1O3 и измерим их:O1O2=59 мм; O2O3,=74 мм; O1O3 =76 мм.•Проведем высоту (H ) O1O2O3 к основанию O1O2, измерим ее: H=69,2 мм.За фактические значения полупериметров O1O2O3 и ABC (P и p, соответственно) примем сумму измеренных значений их сторон деленную на 2;
);(5,492/)314127(2
ммcba
p ).(5,1042/)767459(2/)( 313221 ммOOOOOOP
.
За фактическое значение площади O1O2O3 примем )(5,20352
59692
221 ммOOH
SФакт
где: H – высота треугольника O1O2O3 к основанию O1O2.
Фактические (измеренные) и вычисленные результаты представлены в таблице:
ПараметрФактическое значение округленное до целых
значенийВычисленное значение
округленное до целых значенийРазница, в процентах
от фактического значения,
Сторона O1O2 (мм) 59 58 1.69%
Сторона O2O3, (мм) 74 75 1.35%
Сторона O1O3 (мм) 76 77 1.32%Площадь (мм2) 2035 2030 0.24%
321 OOO
Разница в результатах проверки несущественна (объясняется недостаточной точностью построения треугольников и вневписанных окружностей, измерений сторон треугольников и их высот с использованием линейки и циркуля, а также ошибками округления). Вернуться к содержанию
![Page 16: Вневписанные окружности](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102707/568143ae550346895db03616/html5/thumbnails/16.jpg)
7. Заключение
Вернуться к содержанию
1) В результате выполнения работы получены формулы вычисления длин сторон и площади треугольника, образованного центрами вневписанных окружностей в треугольник с заданными длинами сторон.
2) При оформлении результатов работы некоторые последовательности действий и доказательств оформлены как отдельные разделы, или как готовые решения, имеющие самостоятельные значения:•Теорема свойства вершин;•Вычисление радиусов окружностей;•Вычисления длин отрезков, составляющих сторону треугольника.
3) Для проверки правильности полученных формул проведено сравнение результатов вычислений по полученным формулам с фактическими данными, полученными в результате измерений.
4) Проверка формул проводилась с помощью разработанной программы на Microsofr Exel, с ее помощью можно найти стороны и площадь треугольника, радиусы вневписанных окружностей, вводя любые заданные длины сторон (а, b, c) порождающего треугольника.
![Page 17: Вневписанные окружности](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102707/568143ae550346895db03616/html5/thumbnails/17.jpg)
Нахождение площади и сторон треугольника образованного центрами
вневписанных окружностей
Благодарим за внимание!
Автор работы: Бойко Павел, ученик 10-б класса, ГБОУ Лицей 1557
Руководитель работы:
Прокофьев Александр Александрович, учитель ГБОУ Лицей 1557, кфмн, д.пед.н.