1

УДК 681.327.12:621-397.3+517.518.224+514.174

Математический синтез регулярных и фрактальных структур с заданным Фурье откликом.

Г.С. Мельников

НП ОС «ТКС-оптика»

GMelnikov@list.ru

Введение

О возможности построения оптических элементов с заданными дифракционными свойствами известно давно.

В 1966 – 67 годах, начиная с работ Лохмана (A.W. Lohmann) [1,2], это направление исследований получило название – создание копьютерно-синтезированных голограмм (CGH).

К настоящему времени число публикаций по этому направлению перешло за 200 публикаций. Первоначально технологии CGH строились на создании графически синтезированных оптических транспарантов на плоских или криволинейных поверхностях. Эти транспаранты, как и обычные голограммы, формировали дифракционную картину в зоне Фраунгофера от когерентного источника, в любой точке плоскости транспаранта. Дальнейшее развитие работ получило название - создания фотонных кристаллов, которые при синтезе упорядоченных регулярных структур в объеме оптического элемента формировали заданную Бреговскую дифракцию и, при внесении в регулярные структуры локальных дислокаций, позволяли получать совершенно уникальные свойства по изменению направления движения когерентных световых потоков внутри таких регулярных структур. Первоначально фотонные кристаллы создавались механическими и фотохимическими способами на основе технологий литографии. В последние годы эти регулярные структуры формируются на основе нано-технологий (атом – за атомом).

Автор, при экспериментальном исследовании оптических транспарантов с фрактальной графикой, разработанной Фондом Развития Новых Медицинских Технологий «Айрэс» [3], дал математическое описание, имеющихся к тому времени у ФРНМТ «Айрэс», графических структур с коэффициентами фрактальности k = 4 и 8. Дальнейшее развитие теоретических и экспериментальных исследований показало возможности синтеза всех других структур, как фрактальных, так и регулярных сеточных фрактальных элементов [4] с заданными дифракционными свойствами. О возможности построения 5 типов регулярных сеточных полей на плоскости еще в 1849 году сообщил великий кристаллограф О. Браве в своей работе «Мемуар о системах точек» [5]. На основе этих работ автором построены графические фрактальные структуры с заданными дифракционными свойствами. Анализу этих свойств посвящен доклад [6]. Последующие результаты были получены по математическому построению 3-х мерных решеточных структур, как регулярных, так и фрактальных. Результаты доклада могут заинтересовать не только специалистов по синтезу нано-структур, но также они могут найти применение в кристаллографии, математике и физике твердого тела. Все математические и графические построения промоделированы в программах CorelDRAW (А.А. Ошарин), MathCad и Mathematica (Г.С. Мельников).

2

1. Графический синтез регулярных и фрактальных структур по классификации О. Браве.

1.1. Фрактальные принципы построения плоскостных конфигураций на примерах построения круговых и линейчатых дифракционных структур по классификации

автора и О. Браве [5]. В докладе приводятся возможности построения недвумерных плоскостей с

фрактальной графикой высокой плотности, эквиваленты которой отвечают двум из четырех возможных видов симметричных сеток на плоскости (по Браве [5]). Впервые эти принципы были изложены в отчете ГУП ВНЦ ГОИ [4]. Результаты представлены на Рис.1. и Рис.2.

В качестве сеточного аналога для создания круговой фрактальной топологии мы принимаем сетку первого класса (по классификации О. Браве). Она имеет шесть осей симметрии (осей второго порядка) - три одного и три другого рода.

Клетки такой сетки соответствуют двум правильным треугольникам; порождающим параллелограммом является ромб, с углами 60° и 120°. Шесть двойных осей лежат в плоскости сетки – три, идут по сторонам шести треугольников, образующих в совокупности правильный гексагон, три другие оси перпендикулярны сторонам этого гексагона. Ось шестого порядка не учитывается, так как выходит за пределы сетчатой плоскости.

Рис.1. Графический эквивалент ячейки первого уровня фракталного разворота в круговой

графике и сеточного поля 1го класса по О. Браве [5]

3

Рис.2. Графический эквивалент ячейки второго уровня фракталного разворота в круговой графике и сеточного поля 1го класса по О. Браве [5]

Фрактальная размерность полученной таким образом круговой графики соответствует отношению логарифмов порожденных структур к логарифму порождающих, т.е. равна

2ln7ln

1=FD (1)

На первый взгляд логарифм построения фрактальных круговых топологий можно принять из элементарнейших принципов построения фигур на плоскости с помощью циркуля и линейки. Вышеупомянутые этапы имеют 7 шагов [7]:

1. Выбирается центральная точка схемы, становящаяся началом координат 0. 2. Строится базисная окружность радиуса R0 с центром 0. 3. Строятся k вершин вписанного правильного многоугольника (сам многоугольник не

строится). 4. Базисная окружность итерируется в k вершинах вписанного правильного

многоугольника. 5. Проводятся окружности с центрами в 0 через точки пересечений итерируемых

окружностей с радиусами R’, R’’, R’’’ и т.д. 6. Строится окружность с центром в 0 и радиусом R2 = 2R0. 7. Полученный модуль становится базовым. И итерируется из центров каждой из

ранее построенных окружностей, повторяя с первого по шестой, ранее описанные, шаги. В этом (частном, Рис. 1.) случае рассматривается шестиугольник из внутреннего

пересечения двух правильных треугольников, схемы О. Браве.

4

Но полный алгоритм построения обеих топологий, учитывающий длины сеточных линий в линейном «аналоге» по классификации О.Браве, получен из другого более строгого принципа. Он основан на аналитическом решении (в комплексных переменных) задачи математических бильярдов в круге [8] и введении триады тригонометрических функций (см. Рис. 3.).

Рис. 3. Триада круговых (Sin(Ωp), Sin(ωt)), инверсных (Sink(Ωp), Sink(ωt))и дискретных тригонометрических фунций (Sidk(Ωp), Sidk(ωt)). Здесь Sin(Ωp), Sink(Ωp), Sidk(Ωp) - представление функций на фазовой плоскости (плоскости рисунка транспарантов) Sin(ωt), Sink(ωt), Sidk(ωt) – пространственно-частотное представление. Введение этих тригонометрических функций позволило использовать их замечательное свойство:

2

)()()( pSinpSinpSid kk

⋅Ω+⋅Ω=⋅Ω (1)

не только при построении круговых и линейных аналогов графических топологий в программе CorelDRAW регулярных и фрактальных топологий фотошаблонов для компьютерно-синтезированных голограмм [4], но и позволило разобраться в построении и трактовке объемных конфигураций пространства-времени (4D-фазовом пространстве) [8]. Моделирование проведено как для двумерных, так и трехмерных топологий построения фотошаблонов и решеточных конфигураций нано-структур в программах MathCad и Mathematica. В результате этих построений получены как регулярные сеточные конфигурации по О.Браве и их фрактальных круговых аналогов (см. Табл.1), так и регулярные различные конфигурации типа «паркетов» с их круговыми фрактальными «аналогами» (см. Табл. 2.)

5

Таблица 1.

Рациональная фрактальная графика аналог сетки 1-го класса по О. Браве.

Эквивалент рациональный фрактальной графики 1-го класса по О. Браве.

Рациональная фрактальная графика аналог сетки 2-го класса по О. Браве

Эквивалент рациональной фрактальной графики 2-го класса по О. Браве

Рациональная фрактальная графика аналог сетки 3-го «а» класса по О. Браве.

Эквивалент рациональной фрактальной графики 3-го «а» класса по О. Браве

Регулярные сеточные фрактальные структуры на плоскости, классифицированные по О. Браве

6

Таблица 2. Моделирование фрактальных и регулярных структур в программе MathCad

К=4 К=4

К=3 К=3

7

Таблица 3.

Паркеты с переменной метрикой,

k=6 Круговые паркеты с переменной

метрикой , k=6

Паркеты с переменной метрикой,

k=4 Круговые паркеты с переменной

метрикой , k=4

Паркеты с переменной метрикой,

k=3 Круговые паркеты с переменной

метрикой , k=3

Паркеты с переменной метрикой и фрактальные структуры на плоскости, построенные в программах в MathCad

Наиболее перспективным направлением моделирования оптических нано-структур представляют результаты выводов и графического моделирования регулярных и фрактальных структур в аналитических гиперкомплексных функциях. К настоящему времени выведены уравнения как для кватернионного, так и для октавного описания пространственно-временных топологий. За основу графического построения использован подход по описанию не в представлениях элементов дифференциальной Q-геометрии [9], а моделирование проведено в представлении кватернионов в алгебре

8

кватернионов Q , образуемых из алгебры комплексных чисел некоммутативным удвоением [8,10].

[ ] [ ])2

)sin2(

2

)sin2(

( ),,(),,(),,(),,(, ZZZZZ dkpygdkpxg

d

dkpyrdkpxr

d

GR jkijkR ⇐⇐⇒⇒ ⋅+⋅

⋅

⋅+⋅+⋅

⋅

⋅=⇐⇒

ππ

(2) где:

⋅−

⋅+⋅⋅=Ζ ⇒⇒

⇒⇒

k

ddpk

m pkxdkprxπππ

22cos,,,, , (3)

, (4)

⋅−

⋅+⋅⋅=Ζ ⇒⇒

⇒⇒

k

ddpk

mpkydkpry

πππ2

2sin,,,,

или в пространственно частотном представлении левая часть выражения (2), стоящая в квадратных скобках примет вид (5).

⋅

−⋅

+⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=Ζ ⇒

⇒

⇒

⇒⇒

k

ddt

kSinRk

cjmtkyxdtkR

ππ

π

π2

exp,,,, (5)

А для правой части выражения (2) можно записать:

⋅⋅−

⋅⋅⋅=Ζ ⇐⇐

⇐⇐ p

kjp

kjm

pkyxgdpkGππ 2exp2exp

,,,, (6)

-фазовое представление

⋅⋅

⋅−

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=Ζ

⇐⇐

⇐

⇐⇐ t

kSinR

jt

kSinRk

cjmtkyxg

dtkG ππ

π

π expexp,,,

(7)

-пространственно-частотное представление. Результаты математического моделирования в программах MathCad и Mathematica приведены в Таблице 4

9

Таблица 4. Матрично-параметрическое моделирование 3 D-конфигураций и

их сечений в программе MathCad

Параметрическое моделирование гирерболического и евклидова

октаэдров в программе Mathematica

Параметрическое моделирование гирерболического и евклидова

кубов в программе Mathematica

Выводы: 1. В настоящее время автором разработан математический аппарат классификации

всех трансформаций многогранных и фрактальных структур. 2. Получены описания Геометрического Поля Пространственных Частот – поля

разрешенных направлений в аналитическом комплексном и гиперкомплексном (кватернионном и октавном) представлениях.

3. Уравнения промоделированы в программах MathCad и Mathematica. 4. На их основе разработаны различные 2D и 3D – конфигурации для построения

графически синтезированных голограмм, фотонных кристаллов и композитных материалов для нано-структурного синтеза

10

5. На двумерных графически-синтезированных голограммах, построенных по разработанной графике, проведены предварительные экспериментальные исследования.

6. Исследования полностью подтвердили предположения автора о возможности синтеза оптических структур с заданными Фурье свойствами. Результаты этих исследований излагаются в докладе [6]

Список литературы: 1. B. R. Brown and AW. Lohmann, Appl. Opt. 5, 967 (1966).

2. A.W. Lohmann and D. P. Paris, Appl. Opt. 6, 739 (1967).

3. Оптический фрактально-матричный фильтр "АЙРЭС®" ТУ 4491-003-48971233-2001

4. Научно-технический ОТЧЕТ 6 по Этапу 2 «Разработка математической модели 3D синтеза заданных кристаллических структур» Шифр НИР - «Фокусатор», г. Санкт-Петербург, 2002 г. [http://www.aires.ru/pdf/rus/GOI_6.pdf ]

5. О. Браве Избранные научные труды. Кристаллографические этюды. Изд-во «Наука», Л.О., (серия классики науки) 1974г, 419с.

6. Г.С. Мельников, А.А. Ошарин, Модельные и экспериментальные исследования графически-синтезированных голограмм с заданными дифракционными свойствами. Расширенные тезисы доклада на конференции-семинаре ГОИ по «Оптике нано-структур», г. Санкт-Петербург, Ноябрь 2004 г.

7. Г.С. Мельников, И.Н. Серов, А.В. Алексейцев., Компьютерно-синтезированные голограммы на транспарантах Фонда Развития Новых Медицинских Технологий «AIRES» с графическими фрактальными рисунками высокой плотности. Г.Санкт-Петербург, изд. «Айрэс», 2002, 29 стр. http://soi.srv.pu.ru/r_1251/investigations/fractal_opt/data5/mono/mono3.pdf

8. Г.С. Мельников, Геометрическое поле пространственных частот. Моделирование гиперкомплексных отображений дискретных циклических процессов, материалы III международного семинара «Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах», стр. 134…139, г. Воронеж, 22-24 апреля 2004 г. http://soi.srv.pu.ru/r_1251/investigations/fractal_opt/data6/data6.html

9. А.П.Ефремов., Кватернионы: алгебра, геометрия и физические теории., в журнале Гиперкомплексные числа в геометрии и физике 1(1) 2004г. http://www.hypercomplex.ru/journal_face

10. Г.С.Мельников. Математическая модель геометрического поля пространственных частот в гиперкомплексных аналитических функциях. Доклад на международной конференции «Число, Время, Относительность», г. Москва, 2004 г. http://soi.srv.pu.ru/r_1251/investigations/fractal_opt/data6/data6.html