1
УДК 681.327.12:621-397.3+517.518.224+514.174
Математический синтез регулярных и фрактальных структур с заданным Фурье откликом.
Г.С. Мельников
НП ОС «ТКС-оптика»
Введение
О возможности построения оптических элементов с заданными дифракционными свойствами известно давно.
В 1966 – 67 годах, начиная с работ Лохмана (A.W. Lohmann) [1,2], это направление исследований получило название – создание копьютерно-синтезированных голограмм (CGH).
К настоящему времени число публикаций по этому направлению перешло за 200 публикаций. Первоначально технологии CGH строились на создании графически синтезированных оптических транспарантов на плоских или криволинейных поверхностях. Эти транспаранты, как и обычные голограммы, формировали дифракционную картину в зоне Фраунгофера от когерентного источника, в любой точке плоскости транспаранта. Дальнейшее развитие работ получило название - создания фотонных кристаллов, которые при синтезе упорядоченных регулярных структур в объеме оптического элемента формировали заданную Бреговскую дифракцию и, при внесении в регулярные структуры локальных дислокаций, позволяли получать совершенно уникальные свойства по изменению направления движения когерентных световых потоков внутри таких регулярных структур. Первоначально фотонные кристаллы создавались механическими и фотохимическими способами на основе технологий литографии. В последние годы эти регулярные структуры формируются на основе нано-технологий (атом – за атомом).
Автор, при экспериментальном исследовании оптических транспарантов с фрактальной графикой, разработанной Фондом Развития Новых Медицинских Технологий «Айрэс» [3], дал математическое описание, имеющихся к тому времени у ФРНМТ «Айрэс», графических структур с коэффициентами фрактальности k = 4 и 8. Дальнейшее развитие теоретических и экспериментальных исследований показало возможности синтеза всех других структур, как фрактальных, так и регулярных сеточных фрактальных элементов [4] с заданными дифракционными свойствами. О возможности построения 5 типов регулярных сеточных полей на плоскости еще в 1849 году сообщил великий кристаллограф О. Браве в своей работе «Мемуар о системах точек» [5]. На основе этих работ автором построены графические фрактальные структуры с заданными дифракционными свойствами. Анализу этих свойств посвящен доклад [6]. Последующие результаты были получены по математическому построению 3-х мерных решеточных структур, как регулярных, так и фрактальных. Результаты доклада могут заинтересовать не только специалистов по синтезу нано-структур, но также они могут найти применение в кристаллографии, математике и физике твердого тела. Все математические и графические построения промоделированы в программах CorelDRAW (А.А. Ошарин), MathCad и Mathematica (Г.С. Мельников).
2
1. Графический синтез регулярных и фрактальных структур по классификации О. Браве.
1.1. Фрактальные принципы построения плоскостных конфигураций на примерах построения круговых и линейчатых дифракционных структур по классификации
автора и О. Браве [5]. В докладе приводятся возможности построения недвумерных плоскостей с
фрактальной графикой высокой плотности, эквиваленты которой отвечают двум из четырех возможных видов симметричных сеток на плоскости (по Браве [5]). Впервые эти принципы были изложены в отчете ГУП ВНЦ ГОИ [4]. Результаты представлены на Рис.1. и Рис.2.
В качестве сеточного аналога для создания круговой фрактальной топологии мы принимаем сетку первого класса (по классификации О. Браве). Она имеет шесть осей симметрии (осей второго порядка) - три одного и три другого рода.
Клетки такой сетки соответствуют двум правильным треугольникам; порождающим параллелограммом является ромб, с углами 60° и 120°. Шесть двойных осей лежат в плоскости сетки – три, идут по сторонам шести треугольников, образующих в совокупности правильный гексагон, три другие оси перпендикулярны сторонам этого гексагона. Ось шестого порядка не учитывается, так как выходит за пределы сетчатой плоскости.
Рис.1. Графический эквивалент ячейки первого уровня фракталного разворота в круговой
графике и сеточного поля 1го класса по О. Браве [5]
3
Рис.2. Графический эквивалент ячейки второго уровня фракталного разворота в круговой графике и сеточного поля 1го класса по О. Браве [5]
Фрактальная размерность полученной таким образом круговой графики соответствует отношению логарифмов порожденных структур к логарифму порождающих, т.е. равна
2ln7ln
1=FD (1)
На первый взгляд логарифм построения фрактальных круговых топологий можно принять из элементарнейших принципов построения фигур на плоскости с помощью циркуля и линейки. Вышеупомянутые этапы имеют 7 шагов [7]:
1. Выбирается центральная точка схемы, становящаяся началом координат 0. 2. Строится базисная окружность радиуса R0 с центром 0. 3. Строятся k вершин вписанного правильного многоугольника (сам многоугольник не
строится). 4. Базисная окружность итерируется в k вершинах вписанного правильного
многоугольника. 5. Проводятся окружности с центрами в 0 через точки пересечений итерируемых
окружностей с радиусами R’, R’’, R’’’ и т.д. 6. Строится окружность с центром в 0 и радиусом R2 = 2R0. 7. Полученный модуль становится базовым. И итерируется из центров каждой из
ранее построенных окружностей, повторяя с первого по шестой, ранее описанные, шаги. В этом (частном, Рис. 1.) случае рассматривается шестиугольник из внутреннего
пересечения двух правильных треугольников, схемы О. Браве.
4
Но полный алгоритм построения обеих топологий, учитывающий длины сеточных линий в линейном «аналоге» по классификации О.Браве, получен из другого более строгого принципа. Он основан на аналитическом решении (в комплексных переменных) задачи математических бильярдов в круге [8] и введении триады тригонометрических функций (см. Рис. 3.).
Рис. 3. Триада круговых (Sin(Ωp), Sin(ωt)), инверсных (Sink(Ωp), Sink(ωt))и дискретных тригонометрических фунций (Sidk(Ωp), Sidk(ωt)). Здесь Sin(Ωp), Sink(Ωp), Sidk(Ωp) - представление функций на фазовой плоскости (плоскости рисунка транспарантов) Sin(ωt), Sink(ωt), Sidk(ωt) – пространственно-частотное представление. Введение этих тригонометрических функций позволило использовать их замечательное свойство:
2
)()()( pSinpSinpSid kk
⋅Ω+⋅Ω=⋅Ω (1)
не только при построении круговых и линейных аналогов графических топологий в программе CorelDRAW регулярных и фрактальных топологий фотошаблонов для компьютерно-синтезированных голограмм [4], но и позволило разобраться в построении и трактовке объемных конфигураций пространства-времени (4D-фазовом пространстве) [8]. Моделирование проведено как для двумерных, так и трехмерных топологий построения фотошаблонов и решеточных конфигураций нано-структур в программах MathCad и Mathematica. В результате этих построений получены как регулярные сеточные конфигурации по О.Браве и их фрактальных круговых аналогов (см. Табл.1), так и регулярные различные конфигурации типа «паркетов» с их круговыми фрактальными «аналогами» (см. Табл. 2.)
5
Таблица 1.
Рациональная фрактальная графика аналог сетки 1-го класса по О. Браве.
Эквивалент рациональный фрактальной графики 1-го класса по О. Браве.
Рациональная фрактальная графика аналог сетки 2-го класса по О. Браве
Эквивалент рациональной фрактальной графики 2-го класса по О. Браве
Рациональная фрактальная графика аналог сетки 3-го «а» класса по О. Браве.
Эквивалент рациональной фрактальной графики 3-го «а» класса по О. Браве
Регулярные сеточные фрактальные структуры на плоскости, классифицированные по О. Браве
6
Таблица 2. Моделирование фрактальных и регулярных структур в программе MathCad
К=4 К=4
К=3 К=3
7
Таблица 3.
Паркеты с переменной метрикой,
k=6 Круговые паркеты с переменной
метрикой , k=6
Паркеты с переменной метрикой,
k=4 Круговые паркеты с переменной
метрикой , k=4
Паркеты с переменной метрикой,
k=3 Круговые паркеты с переменной
метрикой , k=3
Паркеты с переменной метрикой и фрактальные структуры на плоскости, построенные в программах в MathCad
Наиболее перспективным направлением моделирования оптических нано-структур представляют результаты выводов и графического моделирования регулярных и фрактальных структур в аналитических гиперкомплексных функциях. К настоящему времени выведены уравнения как для кватернионного, так и для октавного описания пространственно-временных топологий. За основу графического построения использован подход по описанию не в представлениях элементов дифференциальной Q-геометрии [9], а моделирование проведено в представлении кватернионов в алгебре
8
кватернионов Q , образуемых из алгебры комплексных чисел некоммутативным удвоением [8,10].
[ ] [ ])2
)sin2(
2
)sin2(
( ),,(),,(),,(),,(, ZZZZZ dkpygdkpxg
d
dkpyrdkpxr
d
GR jkijkR ⇐⇐⇒⇒ ⋅+⋅
⋅
⋅+⋅+⋅
⋅
⋅=⇐⇒
ππ
(2) где:
⋅−
⋅+⋅⋅=Ζ ⇒⇒
⇒⇒
k
ddpk
m pkxdkprxπππ
22cos,,,, , (3)
, (4)
⋅−
⋅+⋅⋅=Ζ ⇒⇒
⇒⇒
k
ddpk
mpkydkpry
πππ2
2sin,,,,
или в пространственно частотном представлении левая часть выражения (2), стоящая в квадратных скобках примет вид (5).
⋅
−⋅
+⋅⋅⋅
⋅⋅⋅=Ζ ⇒
⇒
⇒
⇒⇒
k
ddt
kSinRk
cjmtkyxdtkR
ππ
π
π2
exp,,,, (5)
А для правой части выражения (2) можно записать:
⋅⋅−
⋅⋅⋅=Ζ ⇐⇐
⇐⇐ p
kjp
kjm
pkyxgdpkGππ 2exp2exp
,,,, (6)
-фазовое представление
⋅⋅
⋅−
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅=Ζ
⇐⇐
⇐
⇐⇐ t
kSinR
jt
kSinRk
cjmtkyxg
dtkG ππ
π
π expexp,,,
(7)
-пространственно-частотное представление. Результаты математического моделирования в программах MathCad и Mathematica приведены в Таблице 4
9
Таблица 4. Матрично-параметрическое моделирование 3 D-конфигураций и
их сечений в программе MathCad
Параметрическое моделирование гирерболического и евклидова
октаэдров в программе Mathematica
Параметрическое моделирование гирерболического и евклидова
кубов в программе Mathematica
Выводы: 1. В настоящее время автором разработан математический аппарат классификации
всех трансформаций многогранных и фрактальных структур. 2. Получены описания Геометрического Поля Пространственных Частот – поля
разрешенных направлений в аналитическом комплексном и гиперкомплексном (кватернионном и октавном) представлениях.
3. Уравнения промоделированы в программах MathCad и Mathematica. 4. На их основе разработаны различные 2D и 3D – конфигурации для построения
графически синтезированных голограмм, фотонных кристаллов и композитных материалов для нано-структурного синтеза
10
5. На двумерных графически-синтезированных голограммах, построенных по разработанной графике, проведены предварительные экспериментальные исследования.
6. Исследования полностью подтвердили предположения автора о возможности синтеза оптических структур с заданными Фурье свойствами. Результаты этих исследований излагаются в докладе [6]
Список литературы: 1. B. R. Brown and AW. Lohmann, Appl. Opt. 5, 967 (1966).
2. A.W. Lohmann and D. P. Paris, Appl. Opt. 6, 739 (1967).
3. Оптический фрактально-матричный фильтр "АЙРЭС®" ТУ 4491-003-48971233-2001
4. Научно-технический ОТЧЕТ 6 по Этапу 2 «Разработка математической модели 3D синтеза заданных кристаллических структур» Шифр НИР - «Фокусатор», г. Санкт-Петербург, 2002 г. [http://www.aires.ru/pdf/rus/GOI_6.pdf ]
5. О. Браве Избранные научные труды. Кристаллографические этюды. Изд-во «Наука», Л.О., (серия классики науки) 1974г, 419с.
6. Г.С. Мельников, А.А. Ошарин, Модельные и экспериментальные исследования графически-синтезированных голограмм с заданными дифракционными свойствами. Расширенные тезисы доклада на конференции-семинаре ГОИ по «Оптике нано-структур», г. Санкт-Петербург, Ноябрь 2004 г.
7. Г.С. Мельников, И.Н. Серов, А.В. Алексейцев., Компьютерно-синтезированные голограммы на транспарантах Фонда Развития Новых Медицинских Технологий «AIRES» с графическими фрактальными рисунками высокой плотности. Г.Санкт-Петербург, изд. «Айрэс», 2002, 29 стр. http://soi.srv.pu.ru/r_1251/investigations/fractal_opt/data5/mono/mono3.pdf
8. Г.С. Мельников, Геометрическое поле пространственных частот. Моделирование гиперкомплексных отображений дискретных циклических процессов, материалы III международного семинара «Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах», стр. 134…139, г. Воронеж, 22-24 апреля 2004 г. http://soi.srv.pu.ru/r_1251/investigations/fractal_opt/data6/data6.html
9. А.П.Ефремов., Кватернионы: алгебра, геометрия и физические теории., в журнале Гиперкомплексные числа в геометрии и физике 1(1) 2004г. http://www.hypercomplex.ru/journal_face
10. Г.С.Мельников. Математическая модель геометрического поля пространственных частот в гиперкомплексных аналитических функциях. Доклад на международной конференции «Число, Время, Относительность», г. Москва, 2004 г. http://soi.srv.pu.ru/r_1251/investigations/fractal_opt/data6/data6.html