科学编制习题 提高解题教学的能力

宝应县教育局教研室 周斌

作为数学教师，在备课、教学、考试命题和从事教学研究的过程中，经常需要改造旧题，创造新题，编制出各种例题、练习题和试题，进行变式训练，从而达到提高学生的解题能力和思维能力。

教师的命题过程本身也是把握教材、理解教材，实现教学目标的过程，通过对习题的编制，检验自己的知识教学和能力培养的目标达成度，以指导自己今后更好的进行教学活动。

一、试题的设计要科学无误

应当说模仿成功的命题方法或一道良好的试题的基本结构模式是快速编制试题的一种有效的方法，但在学业考试这种高利害关系的试题编制中则需要审慎而行，特别是原创题，就更要深入思考，反复斟酌，以免出错。

一、试题的设计要科学无误

题目 1 ：如图 1, 点 A 在反比例函数 上，

且 OA=2 ，过 A 作 AC⊥x 轴，垂足为 C ， OA 的垂直平分线交 OC 于 B ，

则△ ABC 的周长为（ ） A. B.5 C. D.

3=yx

10 7 13

图1

y

xB C0

A

一、试题的设计要科学无误

l=AC+BC+AB=AC+OC=

2 2 2 23 3 3+ = ( + ) = ( ) + +6= 2 +6= 10x x xx x x

图1

y

xB C0

A

一、试题的设计要科学无误

根据勾股定理可得 OA2=OC2+AC2 ，即，2 2 23+( ) =2xx

化简得

4 2-4 +9=0x x.

而△ =（－ 4） 2－ 4×9=－ 20< 0，即该方程无解 .故此题无解 .

一、试题的设计要科学无误设反比例函数 上任意一点 A （ x ，），则|OA|= ，

即 ；

∴ ，也就是说反比例函数上任意一点到原点的距离都不小于 .

=k

yx

k

x2 2| | +| |k

xx

2 2| | +| | 2| | | |k k

x xx x

³

2 2| | +| | 2| |k

x kx

³

| | 2| |OA k³2| |k

题目 2 ：探索 n×n 的正方形钉子板上 (n 是钉子板每边上的钉子数 ) ，连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：

一、试题的设计要科学无误

当 n=2 时，钉子板上所连不同线段的长度值只有 1 与 ，所以不同长度值的线段只有 2 种，若用 S 表示不同长度值的线段种数，则 S=2 ；

当 n=3 时，钉子板上所连不同线段的长度值只有 1 ， ， 2 ， ， 2 五种，比 n=2 时增加了 3 种，即 S=2+3=5 。

2

2 5

2

2

(1) 观察图形，填写下表：

(2) 写出 (n － 1)×(n － 1) 和 n×n 的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系； ( 用式子或语言表述均可 )

(3) 对 n×n 的钉子板，写出用 n 表示 S 的代数式。

钉子数 (n×n) S 值 2×2 2

3×3 2+3

4×4 2＋ 3＋ ( )

5×5 ( )

解（ 1 ） 4 ， 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5 （或 14 ）… 4分

（ 2 ）类似以下答案均给满分：（ i ） n×n 的钉子板比 (n － 1)×(n － 1)

的钉子板中不同长度的线段种数增加了 n种；

（ ii ）分别用 a ， b 表示 n×n 与 (n － 1)×(n － 1) 的钉子板中不同长度的线段种数，则 a=b ＋ n 。…… 8 分

（ 3 ） S=2 ＋ 3 ＋ 4 ＋…＋ n……12 分

分析图形、探究规律

从图形上，不难看出（ 1 ）的答案是 4 ， 2+3+4+5 （或 14 ）；但是（ 2 ）和（ 3 ）答案，表面上像是后者比前者多 n 种； S=2+3+4+…+n ，实则不然。

但 n=6 时比 n=5 时多的不是 6 种，而是 5 种。在 n=6 时，因为 5= ，重复一条线段，这样此规律只能在 n≤5 时成立，故（ n-1 ） × （ n-1 ）和 n×n 的两个钉子板上，不同长度值的线段种数就无法进行比较了，当然不存在具有一般性结论。（ 2 ）和（ 3 ）两个问题的答案也就不成立。

22 34

错因探究

一、试题的设计要科学无误 题目 3 ：如图，在 中， ， D 是 A

B 的中点，以 DC 为直径的⊙ O 交 的三边，交点分别是 G,F,E 点． GE,CD 的交点为 M ，且 ， ．

（ 1 ）求证： ．（ 2 ）求⊙ O 的直径 CD 的长．（ 3 ）若 ，以 C 为坐标原点， CA,CB

所在的直线分别为 X 轴和 Y 轴，建立平面直角坐标系，求直线 AB 的函数表达式．

ABC△ 90ACB

ABC△

4 6ME : 2 : 5MD CO GEF A

cos 0.6B

题意分析：90ACB

D 是 AB 的中点

DC 为直径

4 6ME : 2 : 5MD CO

条件：

结论： GEF A

求⊙ O 的直径 CD 的长

cos 0.6B 求直线 AB 的函数表达式．

FM

O

C E A

D

G

B

错误发现：

FM

O

C E A

D

G

B

一方面，连接 DE ，则∠ DEC=90° ，因为 DC=DA ，所以 EC=EA （同理 BF=CF ） ,由第（ 3 ）题解答结果可知， EA=16 ，而∠ AGE=∠DCA=∠A ，所以 EG=EA=16 ；

3

68

3

620

3

6864

另一方面由相交弦定理 MD·MC=MG·ME ，即 4×16= ×MG ，求得 MG= ，所以

EG= ，这与 EG=16矛盾。

64

原因分析： 第（ 3 ）题中的条件“ cos B=0.6”与题干中的条件“MD∶CO=2∶5”矛盾，换句话说，由条件 MD∶CO=2∶5 就可以确定 cos B 的值，求得 cos B= ，解答如下：

设 BC=2a ， AB=2c，那么上式变成， 解得： GD= 。

由割线定理得 BF·BC=BG·BD ，即 ，所以 ，即 cos B= 。

3

3

4

1

cGD

GD

3

c

cc

aa 3

22

3

3ca

3

3

题目 4 ： 设 a 是一个负数，则数轴上表示数-a 的点在（ ）（ A ）原点的左边 （ B ）原点的右边（ C ）原点的左边或原点的右边 （ D ）无法确定

一、试题的设计要科学无误

一、试题的设计要科学无误

题目 5 ： 已知 ，求 的值。 已知可知 x≠0 ， y≠0 ， x+y≠0 ，则去分母得：y (x+y)+x (x+y)=xy，化简得： ，配方得：

∴ y=0 ，∴ x=y=0.这与已知式中隐含的 x≠

0 ， y≠0 ， x+y≠0 条件不相符。

yxyx

111y

x

x

y

xyyx 222

2

4

5

2

1yyx

02

1 yx

换一个角度： 也可以把看作关于 x的一元二次方程 ，

于是有 ， ∴方程没有实数解，说明本题不得在

实数范围内考虑。因此，在初中数学范围内出这道题是不恰当的。

022 yxyx

034 222 yyy

二、试题的表述要规范、严谨

试题的内容与结构应当科学、题意明确，试题的表述应准确、规范，要避免因文字阅读困难而造成的解题障碍。

题目 6 ：如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC ， DE∥AB ， AF∥DC ．且四边形 AEFD 是平行四边形．

（ 1 ） AD 与 BC 有何等量关系？请说明理由；

（ 2 ）当 AB＝ DC 时，求证：□ AEFD 是矩形． B

A

C

D

E F

二、试题的表述要规范、严谨

题目 7 ：（ 2 ）如图 2 ，以 O 为圆心、OC 为半径画弧交 OA 于点，若直线 GH与弧 CD 所在的圆相切于矩形内一点 F ，求直线 GH 的函数关系式；

D

E

H

G

F

O

C

A

B

y

x

二、试题的表述要规范、严谨

二、试题的表述要规范、严谨 题目 8 ：如图是由 4 个边长为 1 的正方形

构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为的线段 __________ 条 .

图2

A

图3

B

C

M

N E

F

GO

K

H

H

图4

B

C

M

N EF

G

O

A

D

S

Q

图1

三、试题题型要选用得当 不同的题型有不同的功能，要达到合理的

考查目的，选择适当的题型也非常重要，这在命题时要有所考虑。

题目 9 ：关于 x的不等式 2x—a≤ -1 的解集如图所示，则 a 的取值是（ ）

（ A ） 0 （ B ） -3 （ C ） -2 （ D ） -1

x10-2 -1

题型分析： 其一，学生先解出带参数的不等式后，再观察图形，求解方程以确定 a 的取值，那么就较好地考查了几方面的知识、技能与某些思想方法，是有价值的；

其二，学生将备选的数据逐个代入验证以得出答案，就仅仅考查了解简单不等式的技能。

再举一例：

题目 10 ：已知实数 x满足 ，

则 的值是（ ） （ A ） 0 或 -1 （ B ） 1 或 -2 （ C ） -1 或 2 （ D ） -2

011

22

xx

xx

xx

1

三、试题题型要选用得当 选择题由一个题干和四个备选答案组成，答

题时要求学生根据题干的内容选择答案。它具有评分客观、统一，易掌握的特点，但学生答题时有猜测的成分。

选择题的命制要求： 1 、题干表达清楚，并以一个问题呈现。 2 、选项与题干应保持一致。 3 、干扰项应具有一定的迷惑性。

三、试题题型要选用得当题目 11 ：如图，将一个长为 10cm ，宽为 8cm

的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形面积为（ ）

A 、 10cm2 B 、 20cm2 C 、 40cm2 D 、 80cm2

三、试题题型要选用得当题目 13 ：两个完全相同的长方体的长、宽、

高分别是 5cm 、 4cm 、 3cm ，把它们按不同方式叠放在一起分别组成新的长方体，在这些新长方体中表面积最大的是 ( )

A 、 158cm2 B 、 176cm2 C 、 164cm2 D 、 188cm2

三、试题题型要选用得当 题目 14 ：期中考试后，学习小组长算出该组

5 位同学数学成绩的平均分为 M ，如果把 M当成另一个同学的分数，与原来的 5 个分数一起，算出这 6 个分数的平均值为 N ，

那么M ： N 为（　　） A 、 B 、 1 C 、 D 、 2

5

6

6

5

三、试题题型要选用得当 填空题由不完整的陈述句构成，要求学生填入简单

的词句、数字或符号等。填空题平分只看结论，不看过程，故对区分度有一定的影响。

填空题的命制要求： 1 、不单纯考概念、公式，防止死记硬背。 2 、填写答案的要求要具体、简洁，避免歧义和含糊不清。

3 、各空格赋分要一致，各题的空格数应统一。

三、试题题型要选用得当题目 15 ：有五张分别印有圆、等腰三角形、

矩形、菱形、正方形图案的卡片（卡片中除图案不同外，其余均相同），现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到有中心对称图案的卡片的概率是 。

本例注意在知识的交汇点编制试题，把几何知识和概率知识有机组合在一起，这是中考命题的一个发展趋势。

题目 16 ：如图，一个机器人从 O 点出发，向正东方向走 3 米到达 A1 点，再向正北方向走 6米到达 A2 点，再向正西方向走 9米到达 A3 点，再向正南方向走 12 米到达 A4 点，再向正东方向走 15 米到达 A5 点、

按如此规律走下去， 当机器人走到 A6点时， 离 O 点的距离是 米．

一、注重变式，深化对知识本质的理解

就现实的中考而言，“注重对知识本质的考查”已是大势所趋，注重变式，多面考查，事物的本质才会水落石出。简单机械的重复训练，充其量只能加深学生对知识的字面记忆，因此在编制习题时，教师应加强对已有题目的变式，尤其是课本的例、习题，有意识地把知识的本质融入到灵活多样的情境之中，从而较好地诱发认知冲突，诱导学生在螺旋式的反复训练中“去粗取精、去伪存真”，对知识本质进行正确而富有个性的理解和把握。

对于“方程的解”这个概念，在常规题型的基础上，不妨进行如下变式。题组 17：

（ 1 ）请你写出一个解为 2 的一元一次方程：（ 2 ）请你写出一个解大于 3 且小于 4 的一元二次方程___________。（变封闭性问题为开放性问题）

（ 3 ）当m=____时，关于x的方程x2+x+m=0 的一个解为 -5 。（变顺向思维为逆向思维）

（ 4 ）如果关于y的方程ky2-2y+3=0 有实数根，求 k的取值范围。（变粗放型问题为分类讨论问题）

（ 5 ）下列各点中，在 y=x+1 的函数图象上的是（ ） A （ 0 ， 2 ） B （ 1 ， 3 ） C （ -1 ， 0 ） D （ -2 ， 3 ）

（变纯代数问题为数形结合问题）（ 6 ）若实数 a 、 b 分别满足条件 a2-3a+1=0 ， b2-3b+1=0 ， 试求代数式 的值。（变直接条件为隐含条件问题）

b

a

a

b

二、返璞归真，注重数学思想方法立意 数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学

学科的精髓，是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它源于数学发展本身，发展于数学应用实践之中，是将数学知识转化为数学能力的桥梁。所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识。所谓数学方法，是指人们在某一数学活动中，为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式。

“函数及其图像”举例说明：题组 18 ：如图 1 ，⊙ O 是半

径为 1 的单位圆， P为⊙ O上一点，

且∠ xOP=150° ， 那么点 P的坐标是 __________

（融合平面直角坐标系和解直角三角形知识，渗透数形结合思想方法）；

y

x

图1

2 1

-1-2

-2 -1 1 2

P

O

（ 2 ）点 P（ a ， b ）在第二象限，则直线 y=ax+b 不经过第 ________ 象限（融合平面直角坐标系和一次函数的图象知识，渗透数形结合法和特殊化思想方法）

（ 3 ）已知二次函数的图象 如图 2 ，那么下列判断中 错误的是（ ）（ A ） （ B ） （ C ） （ D ）

图20a 0b 0c 0

2

a

b

（ 4 ）反比例函数的图象上一点 A 是直线y=x和 y= -x+4 的交点，求 k的值（融合反比例和一次函数的图象与性质，渗透数形结合思想方法和待定系数法）。

三、重视“过程方法”立意 新一轮数学课改已把“过程”作为

一条重要的理念，新课标把“过程与方法”列为“三维目标”之一，近年来中考试题中“过程与方法”立意的试题已屡见不鲜，且备受专家学者们的关注和肯定。

以“平行四边形、矩形、菱形、正方形”的知识为载体的一道试题 根据课本习题知：题目 19 ：过平行四边形纸片的

一个顶点，作一条线段，沿这条线段剪下这个三角形纸片，将它平移到右边的位置，平移距离等于平行四边形的底边长 a ，可得到一个矩形（如图 1 ）。

（ 1 ）在图 2 的纸片中，按上述方法，你能使得所得的四边形是菱形吗？如果能，画出这条线段及平移后的三角形（用阴影部分表示）；如果不能，请说明理由。

（ 2 ）什么样的平行四边形纸片按上述方法，能得到正方形？画出这个平行四边形，并说明理由。

图2图1

aa

解答：①如图 3 ，作 AE=AD=a ，将 ΔABE 平移至ΔDCF 的位置，则四边形 AEFD 是菱形。②当平行四边形的一边长等于这边上的高时，

如图 4 中的 a=h，则按上述方法得到的四边形是正方形。

a

a

图4

AD

B CE FFE CB

DA

图3

a

a

“数学活动过程”考查的主要方面包括：

数学活动过程中所表现出来的思维方式、思维水平，对活动对象、相关知识与方法的理解深度；从事探究与交流的意识、能力和信心等；能否通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想，并寻求证明猜想的合理性；能否使用恰当的数学语言有条理地表达自己的数学思考过程。

四、深研课本，就地取材 “源与教材，高于教材”是多年来备受命题者推崇的命题理念，也是中考命题的成功经验之一，我们在编制中考复习题时不宜舍本求末，舍近求远，而应就地取材，注重应用新课程理念，对课本例、习题进行“再创造”，推陈出新，点石成金。

苏科版《数学》八年级（下） P． 109习题 10.5 中的第 5 题

题目 20 ：如图 1 ，在 ΔABC 中， AD 是高，矩形 PQMN的顶点 P、 N分别在 AB 、AC 上， QM 在边 BC上。若 BC=a ， AD=h，且 PN=2PQ，求矩形PQMN的长和宽（用含 a 、 h的代数式表示）。

图1

E N

Q D M CB

P

A

1 、在原题的条件下，挖掘所求的结论例 1 如图 1 ，一块铁皮呈锐角

三角形，它的边 BC=80 cm，高 AD=60 cm，要把它加工成矩形零件，使矩形的长、宽之比为 2∶1 ，并且矩形长的一边位于 BC 上，另两个顶点分别在边 AB 、 AC上。

求 :（ 1 ）这个矩形的周长；（ 2 ）这个矩形的面积；（ 3 ） ΔAPN的面积。

图1

E N

Q D M CB

P

A

2 、在改变原题的条件下，充分挖掘所 求结论例 2 如图 2 ，一块铁皮呈锐角三角形，∠ BAC=90° ，要把它加工成矩形零件，使矩形长的一边位于 BC 上，另两个顶点分别在边 AB 、AC 上。试问： PQ、BQ、 CM 之间有何关系？为什么？

1

图2

N

Q M CB

P

A

解析： 由∠ B 与∠ 1互余，∠ B

与∠ C互余，可知∠ 1 = ∠C ，又有∠ PQB = ∠CMN=90° ，所以 ΔPBQ∽ΔCNM ，则有 PQ∶CM=BQ∶MN，而 PQ = MN，故 PQ2 = BQ·CM 。

1

图2

N

Q M CB

P

A

若将原题中的“且 PN = 2PQ”去掉，于是有：

例 3 如图 3 ，一块铁皮呈锐角三角形，它的边 BC=80cm，高 AD=60cm，要把它加工成矩形零件，矩形的一边位于 BC 上，另两个顶点分别在边 AB 、AC 上。求这个矩形面积的最大值。 图3

E N

Q D M CB

P

A

解析： 由题可知 ΔAPN∽ΔABC ，得 AE∶AD=PN∶BC ，

设 MN=DE=x ， PN=y ，则有 ， 所以 ， 。 此时，当宽 x=30 时， 矩形面积的最大值 为 1200 cm2.

80:06:)60( yx

3

)60(4 yy

1200)30(3

4)90090060(

3

4

3

)60(4 22

xxxxx

xyS

图3

E N

Q D M CB

P

A

若从内接矩形和原三角形面积之间的关系考虑，于是有：

例 4 如图 4 ， ΔABC中，点 P、 N分别在 AB 、 AC 上， Q、 M 在BC 上，四边形 PQMN是矩形，若 ΔAPN的面积与矩形 PQMN面积相等，求 PN∶BC 的值。 图4

E N

Q D M CB

P

A

若将例 4 所求结论与条件调换，于是有：

例 5 如图 4 ， ΔABC中，点 P、 N分别在AB 、 AC 上， Q、 M在 BC 上，四边形 PQMN是矩形，若 PN∶BC = 2∶3 ，求 ΔAPN的面积与矩形 PQMN面积的比值。

图4

E N

Q D M CB

P

A

3 、在原题的基础上，适当改变条件和结论，将题型设置为探究性问题例 6 如图 5 ，一块铁皮呈锐角三角

形，它的边 BC=12 cm，高 AD=8 cm，要把它加工成矩形零件，矩形的一边在 BC 上，另两个顶点分别在边 AB 、 AC 上。

（ 1 ）试问：这个三角形能否加工成一个周长为 20 cm的矩形零件？理由是什么？

（ 2 ）在（ 1 ）的结论下，能否用余下的材料再拼成一个与原矩形大小一样的矩形？若能，试给出一种拼法；若不能，说明理由。

图5

E N

Q D M CB

P

A

解答与评注：拼法：如图 6 所示。由题意知 PN

是 ΔABC 的中位线，过点 A作BC 的平行线，交 QP、 MN的延长线与 G 、 H，将 ΔPBQ、ΔMCN剪下拼接到 ΔPAG 、 ΔNAH的位置即可。

评注：将原题型设置为探究性问题，提高了题目的难度，学生要学会用类比、联想的方法来解决问题，培养了学生的分析、动手能力和探究能力。

HG

图6

E N

Q D M CB

P

A

例7 如图 7，一块铁皮呈锐角三角形，它的边 BC=12 cm，高 AD=8 cm，要把它加工成矩形零件，矩形的一边在 BC 上，另两个顶点分别在边 AB 、 AC 上。（ 1 ）试问：这个三角形能否加工成一个面积为 24 cm2 的矩形零件？能否加工成一个面积为 32 cm2 的矩形零件？理由是什么？

（ 2 ）从（ 1 ）的结论中，试猜想这个三角形内接的矩形面积与原三角形面积有何关系？不需要说明理由。

图7

E N

Q D M CB

P

A

再举一例： 原题：如图 1 ，四边形 A

BCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点，∠ AEF=90° ， EF 交正方形外角的平分线 CF 与 F 。求证：AE = EF 。 G

F

图1E

D

CB

A

变式一： 可以将题中的“点 E 是边

BC 的中点”，改为“ E是为线段 BC （直线 BC ）上任意一点”，其他条件不变（如图 2 ，以点 E 在线段 BC 上为例，在直线 BC 上时仿照证明即可）。

求证： AE = EF 。

15

43

2

GH

F

图2E

D

CB

A

设正方形 ABCD 的边长为 a ，

FH=CH=x ， EC=y ∵tan∠1= tan∠2 ∴FH∶EH=BE∶AB 即 ， 整理得： ∴AB=EH

ayayxx :)()(: yxa

15

43

2

GH

F

图2E

D

CB

A

此解法基本思想是构造全等三角形

方法 2 如图 3 ，在线段 AB 上取一点 M ，使得 BM=BE ，连结 EM 。

∵四边形 ABCD 是正方形， BM=BE∴∠1=45° ， AM=CE∴∠AME=135°又∵ CF 是正方形 ABCD 的外角平分

线∴∠2=45°∴∠ECF=135°容易证明∠ 3=∠4∴ΔAME≌ΔECF∴AE=EF

4

3

21

G

M F

图3E

D

CB

A

方法 3 如图 4 ，连 AC ，过 E作 EH⊥AC ，垂足为 H；过 E作 EN⊥CF 交 FC 的延长线于 N。∵四边形 ABCD 是正方形， AC 是对角

线， CF 是外角平分线∴∠ECH=∠ECN=45°∵EH⊥AC,EN⊥CF∴EH=EN容易证明∠ 1=∠2又∵∠ 3+∠2=45° ，∠ 4=∠1+∠5 ，

∠ 4=45°∴∠3+∠2=∠1+∠5∴∠3=∠5∴RtΔEHA≌RtΔENF∴AE=EF

5

2

H

4

3

1G

N

F

图4

E

D

CB

A

方法 4 如图 5 ，连 AF 、 AC ，容易证明∠ACF=90° ，又∠ AEF=90° ，又∵RtΔAEF 、 RtΔACF 由公共

的斜边 AF∴以 AF 为直径的⊙ O 一定经过

点 E 、 C∴∠AFE=∠ACB ，又∵∠ ACB=45°∴∠AFE=45°∵∠AEF=90°∴∠FAE=45°=∠AFE∴AE=EF

图5G

F

E

D

CB

A

变式二： 已知：如图 6 ，菱形 ABCD

中，∠ BAD=120° ，动点P在直线 BC 上移动，作∠APQ=60° ，且直线 PQ与直线 CD相交于点 Q， Q点到直线 BC 的距离为 QH。（ 1 ）如图 6 ，若 P点在线段 BC 上移动，求证： AP=PQ；

HP

Q

图6

D

CB

A

证法探讨： 如图 7，过点 P作 PE⊥A

C ，垂足为 E ，过点 P作PF⊥DC ，交 DC 的延长线于 F 。容易证明PE=PF ，然后证明 RtΔPEA≌RtΔPFQ，即得 PA=PQ。

HP

Q

图7 F

E

D

CB

A

变式二再探究： 已知：如图 6 ，菱形 ABCD 中，∠

BAD=120° ，动点 P在直线 BC上移动，作∠ APQ=60° ，且直线PQ与直线 CD相交于点 Q， Q点到直线 BC 的距离为 QH。（ 2 ）如图 6 ，若 P点在线段 BC上移动，求证： CP=DQ；

（ 3 ）若 P点在直线 BC 上移动，探求线段 AC 、 CP、 CH之间的一个数量关系，并证明你的结论。

HP

Q

图6

D

CB

A

分析：（ 2 ）中要证明 CP=DQ 可以构造全等三角形来证明，即证明 ΔAPC≌ΔAQD ，因为由（ 1 ）可知 PA=PQ，而∠ APQ=60° ，所以 ΔAPQ为等边三角形，又因为 ΔACD 也是等边三角形，因此不难得到 ΔAPC≌ΔAQD 。 HP

Q

图7 F

E

D

CB

A

分析：（ 3 ） 由 CH在 RtΔCHQ中可以

得出 CQ=2CH，又 BP=CQ，从而猜想 AC=2CH+PC （此时 P在线段 BC上），当 P在 BC 的延长线时，结论是 AC=2CH - PC ，当 P在 CB 的延长线时，结论是 AC=PC - 2CH。（证明略）

HP

Q

图7 F

E

D

CB

A

变式二再探究：

第（ 4 ）问，若 P点在直线BC 上移动，菱形 ABCD的边长为 2 ， AQ= ，求 QH的长。

（解略，答案： ）

6

2

33 HP

Q

图6

D

CB

A

变式三：如图 8 ，在平行四边形 ABCD 中，

AB= ，∠ B = 45°,BC=24 ，点 E 在线段 BC 上移动（点 E可以和点 B 重合，不与点 C 重合），过点 E作 EF⊥AE 交 CD 直线于 F 。

（ 1 ）连 AF ，判断 ΔAEF 的形状，并说明理由。

（ 2 ）当 EB = x时， ΔECF 的面积为 y，写出 y与 x的函数关系式，并写出 x的取值范围。

G E

F

H

图8

D

CB

A212

五、博采众长、把握方向

（一）、要把握代表性，（二）、要把握难度，（三）、要有新意。

提高解题教学的能力

著名数学教育家波利亚在《怎样解题》一书中指出：数学问题解决的过程必须经过下列四个步骤，即理解问题、明确任务；拟定求解计划；事先求解计划；检验和回顾。

1 、现象一：在学生还没有很好地理解问题内容时，匆匆进行分析讲解

如图 1 ，已知在△ ABC 中， AB=AC ， P 是△ABC 内部任意一点，将 AP绕点 A 顺时针旋转至 AQ ，使∠QAP=∠BAC ，连结 BQ 、CP ，则 BQ=CP 。

图 1

A

Q

B C

P

A

BC

Q

P

图 2

2 现象二：过于追求教学任务的完成，忽视学生对知识的自主建构。

问题 1 ：已知二次函数的图像经过 A(2 ，－ 4) 、B(0,2) 、 C( － 1,0) 三点，求该函数的表达式。

问题 2 ：已知抛物线的顶点坐标为 (2 ，－ 4) ，并经过点 (5,2) ，求该抛物线的函数表达式。

问题 3 ：已知抛物线经过 A( － 1,0) 、 B(3,0) 、C(0,3) 三点，求该抛物线的函数表达式。

3 现象三：在问题解决方法的选择上，过度关注预设，忽视生成

如图 3 ，在 Rt△ABC 中，∠ BAC=90° ， E 、F 分别是 BC 、 AC 的中点，延长 BA 到点 D ，使 AD=0.5AB ，连结 DE 、 DF 。

⑴ 求证： AF 与 DE 互相平分⑵ 若 BC=4 ，求 DF 的长。

A

B

F

E

D

C

图3

4 现象四：在变式教学中，只关注问题的解决方法，忽视对问题之间的联系分析y=x2＋ 2x － 3 y=x2－ 7x ＋ 6 y= － x2－ 2x ＋ 3 y= － x2＋ 4x

C

xB

y

OA

D

Q

xB

y

O A

P

C

xB

y

OA

DP

xA

y

O

B

图5

图6

图7

图8

5 现象五：问题解决后，忽视对问题解答过程的反思与自我评价

如图 9 ，△ AOB 和△ COD 均为等腰直角三角形，∠ AOB=∠COD=90° ， D 在 AB 上。

⑴ 求证：△ AOC≌△BOD⑵ 若 AD=1 ， BD=2 ， 求 CD 的长。

A

BO

C

D

图9

数学技能就是解题能力——不仅能解决一般的问题，而且能解决需要某种程度的独立思考、判断力、独创性、想象力的问题。所以中学数学的首要任务就在于加强解题能力的训练 。