高三数学专题复习（ 8）

江苏省宿豫中学：杨亚

怎样求动点的轨迹方程

复习目标：• 1.在一轮复习的基础上，进一步掌握和熟练运用求轨迹方程的常用方法。

• 2.培养思维的灵活性和严密性• 3.进一步渗透“数形结合”的思想

• 1. 已知向量 OP 与 OQ 是关于 y 轴对称 , 且 2OP·OQ=1, 则点 P （ x ， y ）的轨迹方程是 _________ 。

课前预习：

y2 -x2 =1/2

•总结：所谓直接法即是根据已知条件探求动点所满足的等量关系，且把这个等量关系中各个变量用动点坐标表示出来，一般有五个步骤。

• 2 设 Q 是圆 C:(x+1)2+y2=16 上的动点，另有 A(1,0) ，线段 AQ 的垂直平分线交直线 CQ 于点 P ，当点 Q在圆上运动时，点 P 的轨迹方程为x2/4+ y2/3 =1

总结：在熟知各种曲线（如：圆，椭圆，双曲线，抛物线）定义的基础上，分析动点运动规律符合某已知曲线的定义，然后设其方程求出方程中的待定系数。

• 3. 点 P 是以 F1 ， F2 为焦点的椭圆 x2/25+y2/9=1 上的动点，则△ F1F2P 的重心轨迹方程为 :

_______________________

9x2/25+y2=1(y≠0 ）总结：当动点 M 随着已知方程的曲线上另一个动点 C （ x0 ， y0 ）运动时，找出点 M 与点 C 之间的坐标关系式，用（ x ， y ）表示（ x0 ， y0 ）再将 x0 ， y0 代入已知曲线方程，即可得到点 M 的轨迹方程。

4. 已知点 P （ x , y) 满足 x2+y2=4,则点 Q （ x y,x+y ）的轨迹方程为： ___________________.y2=2x+4 (-2≤x≤2 ）

总结：在求曲线方程时，如果动点坐标 x ， y 关系不易表达，可根据具体题设条件引进一个（或多个）中间变量来分别表示动点坐标 x ，y ，间接地把 x ， y 的关系找出来，然后消去参数即可

归纳：• 由以上几个题目可以看出求动点的轨迹方程常用的方法有：

1.直接法 ; 2.定义法（和几何法联系）

3.相关点法 ; 4.参数法求动点的轨迹方程中的注意点：1.注意方程的纯粹性和完备性即不多不少。

2.注意平面几何知识的运用。3.注意要求是求轨迹方程还是轨迹。

例题

• 1. 设过点 A （ 1 ， 0 ）的直线与抛物线 :x2=4y 交于不同的两点 P ， Q ，求 PQ 中点 M 的轨迹方程

• 解：法一设 P （ x ， y ）设直线PQ的方程为y=k （ x-1 ）代入抛物线方程x2=4y 中，消去y 并整理得：x2-4kx+4K=0 ，∴ x1+x2=4k,x1x2=4k,∴y1+y2=(x1

2+x22)/4=[(x1+x2)2-2x1x2]/4=4k2-2k,

x=( x1+x2)/2=2k, 消去 k 得：y=(y1+y2)/2= 2k2-k

y=(x2-x)/2=(x-1/2)2/2-1/8∵ 直线 PQ 与抛物线有两个交点，∴△=16k2-16k ＞ 0 ，所以： k ＞ 1 或 k ＜ 0 ，∴ x ＞ 2 或 x ＜ 0, ∴ 点 M 的轨迹方程为： y=(x2-x)/2 （ x ＞ 2 或 x ＜ 0 ）

• 法二：设 P(x1,y1),Q(x2,y2,) ， P(x,y) ，由 P 、 Q 均在抛物线上得：

x12=4y1

x22=4y2 得：

(y1-y2)/(x1-x2)=(x1+x2)/4=x1/2=K pq

又∵ k pq=y/x-1

∴y/x-1=x/2 y=x(x-1)/2 ∴ 由

得两交点坐标为（ 0 ， 0 ），（ 2 ， 1 ）∵ 中点 M 必在抛物线内 ∴由图可知 x ＞ 2 或 x ＜ 0,

∴ 点 M 的轨迹方程为： y=(x2-x)/2 （ x ＞ 2 或 x ＜ 0 ）

y=1/2x(x-1)

x2=4y

变题：• 1 、过抛物线 x2=4y 的焦点

的弦 PQ 的中点的轨迹方程为 ______.

• 2 、过点 A(1,0) 的直线与圆 x2+y2=1/4 交于不同的两点 P 、 Q ，则 PQ 的中点轨迹方程为 _______.

• 2. 已知两点 M （ -1 ，0 ）， N （ 1 ， 0 ），且点 P 使向量 MP·MN ，PM·PN ， NM·NP 成公差小于零的等差数列，求点 P 的轨迹方程。（ 2002 年天津考题）

• 解：设点p(x,y),由M(-1,0)N(1,0)得： MP=(x+1),MN=(2,0),PM =(-1-x,y), PN=(1-x,-y),NM=(-2,0),NP=(x-1,y)

∴MP· MN= 2(x+1) ，PM · PN= (1-x) (-1-x )+y2

，

NM · NP= -2（ x-1） 由已知得： 2y2+2 (1-x) (-1-x )=2 (x+1)- 2（ x-1） -2（ x-1） - 2(x+1)＜0∴ 点P的轨迹方程为：x2+y2=3(x＞0)

巩固练习：

x2+y2/4=1

C

1 、线段 AB 长为 3 ，端点 A ， B 分别在 x轴与 y轴上滑动，点分 AB 成 2 ： 1 ，则点 P的轨迹方程 。

2 、动点 P 在直线 x=1 上， O 为原点，以 OP 为直角边，点 O 为直角顶点，作直角三角形 OPQ ，则 Q 的轨迹为 。A 圆 B 双曲线 C 两条平行线 D 抛物线

总结：

请同学们自己完成

再

见