Моделирование полупроводникового диода

П.В. Корякин

Научный руководитель: к.ф.-м.н. Е.А. Альшина

21.10.2009

План докладаI. ВведениеII. Диффузионно-дрейфовая модельIII. Бикомпактные схемы и слоистые средыIV. Диагностика особенностей при

численном решении диф. уравненийV. Расчёты статических и динамических

характеристик полупроводникового диода

VI. Основные результаты

np

Полупроводникиlo

g ко

нцен

трац

ии

x

дырки электроны

E

Кремневая пластина• S=1e-3 кв. см.• d=8 мкм

Рассматриваемый прибор

8 мкм

легирование электронамилегирование дырками

Рассматриваемый прибор

Процесс легирования

Свет

SiO2

Si

Фоторезист

HF

Диффузионно-дрейфовая модель

Модель

p

n

p

n

J

J

E

- концентрация дырок

- концентрация электронов

- плотность дырочного тока

- плотность электронного тока

- напряженность поля

1( ) | | ( ) | |n n p pG E J E J

e

22( )( )

( ) ( )ie

ie n pn p n i p i

n pnR pn n c n c p

c n c p p n n n

6 6( ) 3,80 10 exp 1,75 10 / | |n E E

6 6( ) 2,25 10 exp 3,26 10 / | |p E E

22

0

20

)/(

)/(

]/)[(1

B

E

KAE

AE

MNNN

NN

da

da

Модель

0

1, , ,

1, , ,

( )

pp n

np n

p p p

n n n

p JG E J J R p n

t e x

n JG E J J R p n

t e xE e

p n Nx

pJ e pE kT E

xn

J e nE kT Ex

Граничные условия

1

1

0

0

0

N

N

w

p p

p p w

n n

n n w

Edx U

Бикомпактные разностные схемы и слоистые среды

Основная идея

nn-1 n+1

'' 1 12

2n n nn

u u uu

h

' 1 1

2n n

n

u uu

h

hСреда 1 Среда 2

В точке, где свойства среды меняются скачкообразно, приходится делать аппроксимацию через разрыв коэффициентов, что приводит к локальному понижению точности аппроксимации и как следствие к понижению точности всего расчета

Идея бикомпактных схем заключается в том, чтобы использовать лишь двухточечный шаблон.

Пример построения бикомпактных схем

, ( ( , ) ) ( , )u u

C x t k x t f x tt x x

1,

( , )

, ( , )

uw x t

x k x t

w uC x t f x t

x t

0

;

( ,0) ( );

( , ) ( );

( , ) ( ).a

b

a x b

u x x

u a t t

u b t t

1( ,0) ( )w x x

Пример построения бикомпактной схемы

1

1

1

1

,

,

,, ,

n

n

n

n

x

n n x

x

n n x

w x tu u dx

k x t

u x tw w C x t f x t dx

t

Задача построения схемы заданного порядка точности по пространству сводится ко взятию интегралов в правых частях с нужной точностью

Полученную систему можно непосредственно интегрировать по времени, однако придется решать систему уравнений довольно непривычного вида; кроме того, потребуется задавать начальный профиль не только для температуры, но и для потока. Чтобы избавиться от необходимости задавать начальный профиль потока и одновременно привести систему к привычному виду, проведём ряд преобразований, в результате чего получив следующую систему уравнений:

Схема 2-го порядка точности по пространству

1 11/2

1/2 11 1/2

2

2

nn n n n

n

n n nn n n n

hu u w w

k

C du duw w h f

dt dt

Схема 2-го порядка точности по пространству

1 11 1/ 2 1/ 2

1/ 2 1 1/ 2 11

1 1/ 2 1/ 2

1

2

1 12 ;

n n n nn n n n

n n n n n nn n

n n n n

du du du duh C h C

dt dt dt dt

k u u k u uh h

h f h f

duM udt

Спектр схемыХотя полученная схема очень похожа на классическую схему для теплопроводности, её незначительные отличия приводят к очень интересному результату: спектр пространственного оператора бикомпактной схемы существенно лучше спектра классической схемы! Подробное исследование устойчивости всех схем будет проведено ниже.

Схема 4-го порядка точности по пространству

21

11/ 2

2

1 1 11 1/ 2 1/ 2 1/ 2

21

1 1/ 2 1/ 2 1/ 21

12

1 2 2 1;

6 12

2 26 12

n n nn n

n

n nn n n n n n

n n n n n

n n n nn n n n n

n

h du duC C

k dt dt

h hu u w w f f

k k k k C

h du du h d w d wC C C C C

dt dt dt k dt k

1 1 1/ 24 ,6

n

nn n n n n

hw w f f f

1 2 2 3 3 1 1 1 1 1 1{ , , , , ... ..., , , }i i i i i i N N NU w u w u w u w u wu w u w w

dUM Udt

Исследование устойчивости

2

22

22

2 4 2

,

2

1) , 1 ;

42) sin , 1 1;

2

43) , 1 1;

2

2 4 13 2 2 3 2 18

4) 18 .

m

m

m

m

mm

Nh

k mm N

h N

k mtg m N

h N

m m mctg ctg ctg

N N Nk

h

Множители роста

12

0, 1 , 1

11, , 0 1

1

1 1 2, , 1 12 1 2

1, 1 , 0 1

2 2

m m m

m mm

mm m

m

mm m m

i

22

4

2m

k mtg

h Т

22

4sin

2m

k m

h Т

Иллюстрация спектра

20 40 60 800

50000

100000

150000

m

classic

o(h2)

o(h4) exact

Вид сетки•Равномерная•Пилообразная, с соотношением шагов ½

Среда•Сплошная•Слоистая

Начальный профиль

•Гладкий

•Ступенька

Примеры расчётов

( ,0) sin2

xu x

'

1, 0

,0 , 0

1, 0

x

u x u x

x

Примеры расчетов

Схема второго порядка точности по пространству• Слоистая среда• Разрывный начальный профиль• Пилообразная сетка

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

U

x

u(x,0) u(x,T/2) u(x,T)

11E-6

1E-5

1E-4

1E-3

0.01

log

(err

)

log(N)

norm C (t=) norm C (t=T) norm L2 (t=) norm L2 (t=T)

Примеры расчетов

2

0

( , ) 1/16

( ,0) 1 1

( ,0) 2 1 ( ,0)

x

k x t

u x x

w x x k x

Схема четвёртого порядка точности по пространству

0

( , ) 1/8

( ,0)

( ,0) ( ,0)

x

k x t

u x x

w x k x

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0U

x

u(x,0) u(x,T/2) u(x,T)

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.00.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

U

x

w(x,0) w(x,T/2) w(x,T)

1E-11

1E-10

1E-9

1E-8

1E-7

1E-6

1E-5

1E-4lo

g(e

rr)

log(N)

norm C (t=) norm C (t=T) norm L2 (t=) norm L2 (t=T)

Диагностика особенностей точных решений при

численном решении ОДУ

1

1

0; 0; 0 0du

u t u udt

* * 0( ) ; 1u t t t t u

*

0

( )u t

'

*

1 0

( )u t

Пример проблемы

Поведение решения в зависимости от значения

11

0 0 ;

0,1,...; n

u u u u u

n t n

Схема Рунге-Кутта порядка точности O(ERK1)

Явные схемы

0,995 1,000 1,005

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

ERK2

ERK4ERK1

EXACT

ROS1

CROSu(t

)

t

0 0 ; Re ;

, 0.5

u u u u k

FE k F u t

u

Одностадийная схема Розенброка

1 i2

CROS

2точностьO( ) L2 устойчивость

Схема CROS для задач с сингулярностью

2 1u

u устойчиво

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

u(t)

t

128 256 512 1024

0,997 0,998 0,999 1,000 1,001 1,002 1,003 1,0040,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

ERK4

ERK2

CROSERK1

ROS1

EXACT

u(t)

t

=-0.3

Определение типа особенности

peff = –

Для степенной особенности можно показать, что

0 1effp , 1 0u t t t

0effp , 0u t t t

*lnu t t tДля логарифмической особенности

peff = 0

11

0 0

, 0 1,

, 1;

0 , 0 1, 0

u uduF u

dt u u

u u u t

0

0 00 ln

tu t u e

t t u

*

0

u t const t t

t t t

Разрывы производных

Эффективный порядок точности в контрольных точках

ROS1 CROS ERK1 ERK2 ERK4

p 1 2 1 2 4

1.000.05 2.000.04 0.990.01

1.980.02

3.980.03

1.000.05 1.980.67 0.980.03

1.970.04

1.990.02

1.323.98 -1.000.00

- - -*t t

0 *t t t

00 t t

effp

Эффективный порядок точности в

контрольных точках после первого уточнения

rN rN rNu t u t t

CROS ERK2

3.030.04 2.990.04

2.000.06 1.580.63

-1.000.00 -

00 t t

*t t0 *t t t

Бикомпактная схема для диффузионно-дрейфовой модели

Описание схемы

11 1 1

11 1 1

1 1 1 10

1 1 1 1

1

1

2 2

1

2 2

02

02

0

p pk k k kk k k k k k

n nk k k kk k k k k k

kk k k k k k k k

p p kk k p k k k k p k k

n nk k

h p p hG G R R J J

t t e

h n n hG G R R J J

t t e

e hE E p p n n N N

hJ J e p E p E eD p p

J J

1 1 12k

n k k k k n k k

he n E n E eD n n

Структура матриц 1 1 ,1 ,1 1 2 2 ,2 ,2 2 , ,, , , , , , , , , ,..., , , , ,p n p n N N p N n N Nu p n J J E p n J J E p n J J E

10

5

10

5

10

5

10

5

…

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

7

напряжение

ток

Результаты расчетов

Результаты расчетов

Результаты расчетов

Результаты расчетов

Публикации1. Калиткин Н.Н., Корякин П.В.Одномерные и двумерные бикомпактные

схемы в слоистых средах // Математическое моделирование, 2009 г., т. 21, № 8, стр. 44-62.

2. Калиткин Н.Н., Корякин П.В. Бикомпактные схемы и слоистые среды. // ДАН, 2007

3. Е.А. Альшина, Н.Н. Калиткин, П.В. Корякин Диагностика особенностей точного решения методом сгущения сеток.// ДАН, 2005 г., т. 404, №3, с.1-5.

4. Е.А. Альшина, Н.Н. Калиткин, П.В. Корякин Диагностика особенностей точного решения при расчетах с контролем точности.// ЖВМиМФ, 2005 г., т. 45, №10 с. 1837-1847.

5. Альшина Е.А., Корякин П.В. Численный метод для режимов с обострениями. // Тезисы докладов II всероссийской конференции памяти А.Ф. Сидорова «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», Абрау-Дюрсо, 2004, с. 10-11.

6. P.V. Koryakin The singularity diagnostics in numerical solving systems of ODE, International congress for mathematicians, Madrid, 2006.

7. Е.А. Альшина, Н.Н. Калиткин, П.В. Корякин Диагностика особенностей решения при расчетах схемой CROS. Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных по фундаментальным наукам «Ломоносов-2005», секция физика, сборник тезисов, часть 1, стр. 107-109.

Основные результаты

Построен и исследован новый тип разностных схем применительно к уравнению теплопроводности. Построены схемы разных порядков точности. Исследована устойчивость схем. Теоретические проработаны подходы построения бикомпактных схем для двумерных задач. Разработана уникальная методика диагностики особенностей точных решений при численном интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений. Проведены расчеты, подтверждающие возможность расширения методики для диагностики особенностей при решений систем ОДУ и уравнений в частных производных. Построенные численные методы применены к расчетам диффузионно-дрейфовой модели полупроводникового диода.