Модель управляемого равновесия, учитывающая рынки...

Модель управляемого Модель управляемого равновесия, учитывающаяравновесия, учитывающая

рынки реального и финансового рынки реального и финансового секторов секторов

Государственный университет – Высшая школа экономики, м.н.с.

Косьяненко А.В.

21 декабря 2010 2

СхемаСхема инструментального комплекса, 2003инструментального комплекса, 2003


Состав прогнозной модели и схема Состав прогнозной модели и схема основных связейосновных связей

Внешний рынок

Валютный рынок

Производство товаров и услуг

Кредитный рынок

ПравительствоЦентральный Банк

Коммерческий банк

Предприниматели

Депозитный рынок

Население


Схема натуральных потоков в модели


СФ1


Вложения в валюту

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

валютный курс вложения в валюту депозиты вложения в депозиты


Цель работы

Целью исследования является разработка комплекса математических моделей и инструментальных средств исследования равновесия в реальном и финансовом секторах экономики России, предназначенных для получения и анализа сценарных прогнозов показателей социально-экономического развития страны, оценки влияния реализации крупных государственных проектов и изменений внутренней политики на социально-экономическое развитие страны.


Задачи исследованияЗадачи исследования• Провести анализ и систематизацию исследований по вопросам построения вычислимых моделей

общего экономического равновесия и их использования для оценки влияния реализации крупных государственных проектов и изменений внутренней политики на социально-экономическое развитие страны.

• Описать взаимодействие агентов реального сектора экономики как игру с непротивоположными интересами; дать определение равновесия в такой игре и исследовать свойства равновесных состояний.

• Модифицировать разработанные ранее модели с целью описания в явном виде бюджетного процесса.

• Ввести целевую функцию агентов, действующих на финансовых рынках, отражающие только возможные потери держателя актива (концепция downside risk). Осуществить постановку и предложить алгоритм решения задачи о выборе оптимального относительно выбранной целевой функции портфеля активов.

• Описать взаимодействие на финансовых рынках агентов, использующих описанную задачу выбора портфеля, в виде игры с непротивоположными интересами; дать определение равновесия в такой игре и исследовать свойства равновесных состояний. Описать связи реального и финансового секторов экономики.

• Разработать численные методы поиска равновесных состояний.• Реализовать модели в виде программного комплекса, приспособленного для интеграции в систему

поддержки принятия решений.• Провести ряд численных экспериментов, идентификацию параметров и верификацию модели.

Проверить адекватность прогнозов, полученных с использованием разработанной модели, наблюдаемым тенденциям социально-экономического развития России.

21 декабря 2010 10

Структура и основные элементы модели, Структура и основные элементы модели, построенной по принципу общего построенной по принципу общего

равновесияравновесия• Целевые функции агентов.• Множества допустимых решений.• Доступная при принятии решений

информация.• Формализация понятия равновесия.• Численный метод поиска равновесия.

21 декабря 2010 11

Существующие аналогиСуществующие аналоги• CAPM (Markowitz)• CCAPM (Merton R.,

Samuelson P.)• “Fruit tree” (Lucas R.)• Загадки фондового

рынка (Mehra, Prescott)

• Катастрофические события в экономике (Barro)

• Использование Байесовских методов (Weitzman R.)

• MONASH (Dixon P., Rimmer M.)

• European Central Bank(Smets F., Wouters R.)

• International Monetary Fund (Feltenstein A.)

• ВЦ РАН (Петров А.А., Поспелов И.Г.,

Шананин И.Г.)

• ЦЭМИ РАН (Макаров В.Л., Бахтизин А.Р.,

Сулашкин С.С.)

21 декабря 2010 12

Модели Модели MONASHMONASH ((Dixon P., Rimmer M.)Dixon P., Rimmer M.)

• Тип модели: полудинамическая• Количество отраслей: многоотраслевая• Горизонт принятия решения: однопериодная• Целевые функции населения: Кобба-Дугласа• Производственные функции: CES• Тип равновесия: равновесие Нэша• Способ вычисления равновесия:

эконометрическая оценка линеаризованной системы

21 декабря 2010 13

Модель Европейского центрального банкаМодель Европейского центрального банка(Smets F.(Smets F.,, Wouters R.) Wouters R.)

• Тип модели: полудинамическая• Количество отраслей: многоотраслевая• Горизонт принятия решения: многоопериодная• Целевые функции населения: сепарабельная

CRRA• Производственные функции: CES• Тип равновесия: равновесие Нэша• Способ вычисления равновесия:

эконометрическая оценка линеаризованной системы

21 декабря 2010 14

Модели Международного валютного фондаМодели Международного валютного фонда((Feltenstein A.)Feltenstein A.)

• Тип модели: статическая• Количество отраслей: многоотраслевая• Горизонт принятия решения: однопериодная• Целевые функции населения: --• Производственные функции: --• Тип равновесия: --• Способ вычисления равновесия:

эконометрическая оценка линейной системы

21 декабря 2010 15

«Модельная летопись» ВЦ РАН«Модельная летопись» ВЦ РАН(Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А.)(Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А.)

• Тип модели: динамическая• Количество отраслей: многоотраслевая• Горизонт принятия решения: многопериодная• Целевые функции населения: ненасыщаемые

общего вида• Производственные функции: общего вида• Тип равновесия: равновесие Нэша• Способ вычисления равновесия: аналитическое

решение задачи динамического программирования в предположении о рациональных ожиданиях агентов

21 декабря 2010 16

ЦЭМИ РАНЦЭМИ РАН(Макаров В.Л., Бахтизин А.Р., Сулакшин С.С.)(Макаров В.Л., Бахтизин А.Р., Сулакшин С.С.)

• Тип модели: полудинамическая• Количество отраслей: многоотраслевая• Горизонт принятия решения: однопериодная• Целевые функции населения: --• Производственные функции: Кобба-Дугласа• Тип равновесия: --• Способ вычисления равновесия: про помощи

нейронной сети

21 декабря 2010 17

«Двухукладные модели»«Двухукладные модели»(Бирюков С.И., Осадчий Н.А., Косьяненко А.В.)(Бирюков С.И., Осадчий Н.А., Косьяненко А.В.)

• Тип модели: полудинамическая• Количество отраслей: одноотраслевая• Горизонт принятия решения: однопериодная• Целевые функции населения:

квадратичная/сепарабельная CRRA• Производственные функции: Кобба-Дугласа• Тип равновесия: оптимум Парето/равновесие

Нэша• Способ вычисления равновесия: численное

решение оптимизационной задачи/полуаналитическое решение

21 декабря 2010 18

Описание поведения населенияОписание поведения населения

• Максимизация полезности• Бюджетное ограничение• Минимальный уровень потребления• Большинство параметров имеют содержательную

интерпретацию

,,

),1(1

,max

maxmin

0

0C(t)L(t),maxmin

LlLCC

stftWlwLWDCP

LLCCU

savндфл

LC

21 декабря 2010 19

Описание поведения производителейОписание поведения производителей

• Максимизация прибыли• Технологическое ограничение• Ограниченные факторы производства (труд, капитал)• Ограниченные возможности по изменению факторов

производства• Необходимость удовлетворения государственного и внешнего

спроса

,Im,

,

max)1(Im)()()1)(1(

0ImIm

0

1

0Q(t)L(t),0

Im

QkpQkpEx

LAFQ

FtLWWtttExtFttPQ

ppExpExp

пресн

ндсExимндс

21 декабря 2010 20

Взаимодействие домашних хозяйств Взаимодействие домашних хозяйств и производителейи производителей

• Классическое определение равновесия – равновесие Нэша

• Автоматическое выполнение балансовых соотношений

max),,,(max,,,

WpLCWpLCU

,Im)1(,

echExGQaICQLL ds

.Im)1( 0Im WWLttExtFtaQPt

TfIG

еснExимндс

g

21 декабря 2010 21

Роль государства в моделиРоль государства в модели• Объём государственных закупок продукции.• Объём капитальных вложений в основные

фонды.• Промежуточное потребление.• Заработная плата работников.• Количество занятых.

Вычисление потенциала социально-экономического развития Якутии с помощью стохастического вычислительного

экспериментаПроекты и мероприятия

2010 2023

2010min2023

2010min2023

5.15.1

:

КПНКПНКПНВРПВРПВРП

успешнозавершеныпроектыЦЕЛИ

ВРП

КПН

NN

pразвития

когоэкономичессоциальноПотенциал

Ц

Внешние факторы

21 декабря 2010 23

Зависимость ВВП-КПН для России за период прогноза (конечные значения траекторий и уровни для расчета потенциала)

ВВП в основных ценах, млрд.руб./год

Кон

ечно

е по

треб

лени

е на

селе

ния

в ос

новн

ых

цена

х,

млрд

.руб

./год

21 декабря 2010 24

Пример верификация моделиПример верификация модели

33000

38000

43000

48000

53000

58000

63000

68000

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020

млр

д.ру

б./го

д

долгосрочный шок инерционный вариант краткосрочный шок Факт

Моделирование финансового Моделирование финансового сектора экономикисектора экономики

21 декабря 2010 26

Предыдущие решенияПредыдущие решения

• Выбор с учетом доходности и дисперсииMarkowitz, 1952

• Capital Assets Pricing ModelSharpe, 1964; Linter, 1965; Mossin, 1966,1968.

• Intertemporal (Consumption based) CAPMMerton, 1969,1971,1973; Samuelson 1969

21 декабря 2010 27

Предыдущие решения

• Показатели несклонности к рискуArrow, 1951; Pratt, 1964.

• Функции полезности CARA, HARA, CRRAPratt, 1964; Weil, 1990; Epstein and Zin 1989...

• Агрегируемость результатовMossin, 1966.

• Невозможность Байесовского оцениванияGeweke, 2001;Wietzmann, 2007.

21 декабря 2010 28

Предыдущие решения

• Модель ЛукасаLucas, 1976.

• Загадки фондового рынкаMehra and Prescott, 1985, Mehra, 2003.

• Редкие катастрофические событияRietz, 1988; Barro 2006.

• Байесовское оценивание параметровKandel, Stambaugh, 1999; Brennan and Xia, 2002; Wietzmann, 2007.

21 декабря 2010 29

Схема взаимодействий на финансовых рынках

ВалютныйКредитныйДепозитный Долга Акций

Население Производство

Банки Фин.Институты

Не отражены:• Рынок межбанковских кредитов• Рынок РЕПО• Рынок производных инструментов• Товарный рынок• Рынок недвижимости

21 декабря 2010 30

Активы доступные населениюАктивы доступные населениюВид активов. Источник неопределенности.

Наличные деньги, депозиты до востребования и депозитные карты.

Иностранная валюта. Неопределенность валютного курса.

Депозиты в рублях. Возможность невыполнения банком обязательств с выплатой страхового обеспечения государством или без нее.

Депозиты в иностранной валюте. Возможность невыполнения банком обязательств с выплатой страхового обеспечения государством или без нее. Неопределенность валютного курса.

Акции и вложения в паевые инвестиционные фонды, связанные с акциями.

Неопределенность стоимости акций. Неопределенность размера дивидендов.

Облигации и вложения в паевые инвестиционные фонды, связанные с облигациями.

Неопределенность стоимости облигаций, возможность невыполнения эмитентом своих обязательств.

21 декабря 2010 31

Задача о выборе оптимального портфеля активов в условиях риска

• Агенты считают, что доходности активов случайные величины.• Агенты предполагают вид распределения доходностей активов.• Параметры распределений оцениваются Байесовскими методами.• Доходности активов определяются непрерывными (нормальное) и

дискретными (мультиномиальное) распределениями.

)()())(( dFrrEre iii

)())(( dFrre iii

)()())(( dFrrErei

iipp

)( dFrrei

iipp

)(*)()( pp areu

Доходность и риск одного актива

Доходность и риск портфеля

Целевая функция

21 декабря 2010 32

Свойства решения задачи об оптимальном портфеле

• Целевая функция субаддитивна, положительно однородна, монотонна.

• Целевая функция непрерывна и вогнута на допустимом множестве.

• Решение задачи существует. Оно либо единственно, либо совокупность решений представляет собой односвязное множество.

21 декабря 2010 33

Пусть агенты A и B имеют одинаковые характеристики несклонности к риску, одинаковые субъективные вероятностные меры на , начальные портфели и и получают чистые доходы в размере и . Пусть , где - текущие стоимости активов, тогда если - оптимальный портфель для A, то в условиях отсутствия транзакционных издержек - опти-мальный портфель для B.

Агрегируемость результатовАгрегируемость результатов

Ao B

o

BYAY

AAo

BBo

YpYp

h

p

A

AB h

21 декабря 2010 34

Апостериорная плотность

Функция правдоподобия

Априорная плотность

- параметры (случайные величины)

- наблюдаемые данные

Байесовский подходДе Гроот, 1974.

21 декабря 2010 35

Типичный вид целевой функции в задаче об оптимальном портфеле из трёх активов

21 декабря 2010 36

Субъективное распределение стоимости портфеля

21 декабря 2010 37

Точность вычисления меры риска

21 декабря 2010 38

Деятельность коммерческих банковДеятельность коммерческих банков

00

2222

max

max2

)1()1(2

)1(

DKKнас

KarrKDrrrKaKarK

resпрнас kDDDKarrK )(2 $

22

$

22

max

2

))/)1(1(1(3)1(4

DDkKKa

rrKD

krrrrKK

прres

нас

res

При фиксированных процентных ставках по кредитам и депозитам, оптимальные объёмы кредитов и депозитов населения с точки зрения задачи существуют, единственны и имеют вид:

Решения задачи являются непрерывными монотонными (убывающими) функциями депозитной ставки.

21 декабря 2010 39

Динамика валютного курсаДинамика валютного курса)())()()()(Im()1()( 34 ttcbrtdemtExktktt

26

26,5

27

27,5

28

28,5

29

29,5

30

янв.0

4

фев.04

мар.04

апр.04

май.04

июн.0

4

июл.0

4ав

г.04

сен.0

4ок

т.04

ноя.0

4

дек.0

4

янв.0

5

фев.05

мар.05

апр.05

май.05

июн.0

5

Факт Френкель-Билсон Френкель-Билсон (без y) Разработанная модель

21 декабря 2010 40

Прогноз Прогноз динамики различных показателейдинамики различных показателей

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

янв.0

3

мар.03

май.03

июл.03

сен.0

3

ноя.0

3

янв.0

4

мар.04

май.04

июл.04

сен.0

4

ноя.0

4

янв.0

5

мар.05

май.05

июл.05

сен.0

5

Факт Оптимизационная процедура

27

27,5

28

28,5

29

29,5

30

30,5

31

31,5

32

Факт Прогнозная Модель

21 декабря 2010 41

Предыдущие результаты(средние ставки по кредитам (слева) и по депозитам (справа))

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

% го

довы

х

Факт Прогнозная модельl

8

8,5

9

9,5

10

10,5

11

11,5

12

12,5

13

% го

довы

х

Факт Прогнозная модель

21 декабря 2010 42

Апробация работыСчетная палата Российской Федерации: • «Разработка методического обеспечения аудита», 2007.• «Обоснование предложений по противодействию со

стороны государства системным рискам финансово-кредитной сферы и их негативному воздействию на устойчивость государственных финансов на основе использования ключевых показателей и отчетности о финансовой стабильности», 2009.

ЗАО Институт Исследования Химического Разнообразия • «Разработка и исследование макроэкономических

моделей, для использования при разработке стратегии фармацевтической отрасли до 2020 г.», 2008.

21 декабря 2010 43

Основные результаты работыОсновные результаты работы1. Систематизированы требования к разрабатываемой вычислимой модели

равновесия в реальном и финансовом секторах экономики России с точки зрения качественных особенностей и структуры модели и их соответствия системным свойствам Российской экономики, а так же используемых численных методов.

2. Для описания деятельности агентов экономики на финансовых рынках введена субаддитивная, монотонная, положительно однородная целевая функция (мера риска) и исследованы её свойства.

3. Сформулирована задача управления портфелем с использованием введенной целевой функции. Получены решения для разных видов агентов. Описан алгоритм решения задачи оптимального управления с такой функцией.

4. Предложено формализованное описание взаимодействия агентов экономки на рынках труда, товаров и услуг и финансовых рынках в виде игры с непротивоположными интересами. Причем при описании деятельности на финансовых рынках использовалась введенная целевая функция. Было доказано существование введенного понятия равновесия и исследованы его свойства. Были разработаны численные методы поиска описанных равновесных состояний.

21 декабря 2010 44

Основные результаты работыОсновные результаты работы5. Предложен метод анализа прогнозных траекторий для оценки устойчивости,

достижимости и пр.6. Разработанная модель реализована в виде программного комплекса,

интегрированного в систему поддержки принятия управленческих решений. Для проведения расчетов, имеющих высокую вычислительную сложность, были реализованы параллельные версии алгоритмов.

7. Предложены методы идентификации параметров разработанной модели, было показано соответствие этих методов её формальным предпосылкам, а так же адекватности модели наблюдаемым закономерностям социально-экономического развития России.

8. Проведено внедрение разработанного программного комплекса в ЗАО Институт Исследования Химического Разнообразия. Была экспериментально исследована зависимость основных показателей социально-экономического развития государства от структуры и объёма финансирования крупного государственного инвестиционного проекта.

9. Осуществлено внедрение разработанного программного комплекса в Счетной палате Российской Федерации. Была исследована возможность использования разработанной модели для целей оценки устойчивости социально-экономического развития государства, способности достижения стратегических целей и оценки влияния крупных государственных проектов на экономику страны.

21 декабря 2010 45

Публикации по теме исследованияПубликации по теме исследования• Гусев В.Б., Косьяненко А.В., Оценка влияния государственного заказа на воспроизводство ВВП. Проблемы

управления. № 2 2009, с. 23-30 0,6 а.л. (личный вклад 0,5 а.л.)• Бирюков С.И., Волков Ю.Н., Косьяненко А.В. Методы прогнозирования макроэкономических показателей социально-

экономического развития страны на основе функциональных зависимостей. Системный аудит использования национальных ресурсов и управление по результатам. Вып.2. Методы и модели информационно-аналитического обеспечения./ Под ред. А.А. Пискунова, Ростов-на-Дону, ЮРИФКА, 2007. с. 96-112. 0,6 а.л.(личный вклад 0,3 а.л.)

• Бирюков С.И., Колобов Д.В., Косьяненко А.В. Моделирование влияния ресурсоемких программ на экономику страны. Системный аудит использования национальных ресурсов и управление по результатам. Вып.2. Методы и модели информационно-аналитического обеспечения./ Под ред. А.А. Пискунова, Ростов-на-Дону, ЮРИФКА, 2007. с. 398-416. 0,7 а.л. (личный вклад 0,3 а.л.)

• Косьяненко А.В. Опыт восстановления пропущенной рыночной информации на основе байесовского подхода. Препринт WP16/2007/02. — М.: ГУ ВШЭ, 2007. — 32 c. 1,1 а.л.

• Косьяненко А.В. Использование моделей общего экономического равновесия для оценки системных рисков. Актуальные вопросы экономических наук Сборник материалов XI Международной научно-практической конференции. В 3-х частях. Часть 1/ Под общ. Ред. Ж.А. Мингалевой, С.С. Чернова. – Новосибирск: Издательство «СИБПРИНТ», 2010. с. 8-12.

• Косьяненко А.В. Опыт оценки влияния крупных государственных проектов с использованием моделей общего экономического равновесия. Труды 52-й научной конференции МФТИ: «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Часть VII Управление и прикладная математика. Том 1. М.: МФТИ, 2009. с. 37-39.

• Косьяненко А.В. Особенности численного решения задачи об оптимальной структуре сбережении населения. Труды 52-й научной конференции МФТИ: «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Часть VII Управление и прикладная математика. Том 1. М.: МФТИ, 2009. с.81-83.

• Косьяненко А.В. Оптимальная структура сбережений населения. Труды третьей международной конференции «Управление развитием крупномасштабных систем» (MLSD'2009). Т.1. 2009. с. 323-325.

• Косьяненко А.В. Методика оценки влияния государственного заказа на экономику страны. Труды международной конференции «Управление развитием крупномасштабных систем» (MLSD’ 2007). 0,1 а.л.

• Косьяненко А.В. Определение оптимальной структуры сбережений населения. Труды 50-й научной конференции МФТИ: «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Часть VII Управление и прикладная математика. Том 1. М.: МФТИ, 2007. с.116-119. 0,1 а.л.

• Косьяненко А.В. Восстановление рыночной информации методом Байесовского оценивания. Труды 50-й научной конференции МФТИ: «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Часть VII Управление и прикладная математика. Том 1. М.: МФТИ, 2007. с.150-151. 0,1 а.л.

• Косьяненко А.В. Учет сезонных факторов при описании экономики методами имитационного моделирования./ Тезисы XLVIII научной конференции МФТИ, Часть VII, - M.:МФТИ, 2005 0,1 а.л.

21 декабря 2010 46

Использованная литература• М. Де Гроот. Оптимальные статистические решения. – М.: Мир, 1974.- 491 с.• А.Г. Шоломицкий Теория риска. Выбор при неопределенности и моделирование риска. Издательский дом ГУ ВШЭ, М.-2005.• K.J. Arrow, Alternative Approaches to the Theory of Choice in Risk-Taking Situations. Vol. 19, No. 4, 1951, pp. 404-437.• P. Artzner, F. Delbaen, J.-M. Eber, D. Heath, Coherent measures of risk, Mathematical Finance, vol. 9, 1999, No. 3., pp. 203–228.• R.J. Barro, Rare disasters and asset markets in the twentieth century, The quarterly Journal of Economics, Vol. 121, 2006, No.3, pp. 823-866• M.J. Brennan, Y. Xia Dynamic Asset Allocation under Inflation. The Journal of Finance, Vol. 77, No. 3., 2002. pp.1201-1238.• L.G. Epstein, S.E. Zin, Substitution, risk aversion and the temporal behavior of consumption and asset returns: a theoretical framework,' Econometrica vol. 57, 1989. pp. 937-

969.• E.F. Fama, Efficient Capital Markets: A Review of Theory and Empirical Work, Journal of Finance, Vol. 25, 1970, pp. 387-417.• M. Flavin, T. Yamashita, Owner-Occupied Housing and the Composition of the Household Portfolio. The American Economic Review, Vol. 92, No. 1, 2002, pp. 345-362• C.W. French, The Treynor Capital Asset Pricing Model, Journal of Investment Management, vol. 1, No. 2, 2003, pp.60-72.• J. Geweke, A note on some limitations of CRRA utility. Economics Letters vol. 71, 2001. pp. 341–345.• N. Jobst, S. Zenios, The Tail that Wags the Dog: Integrating Credit Risk in Asset Portfolios, The Journal of Risk Finance vol. 3, 2001, pp. 31-43.• S. Kandel, R.F. Stambaugh, On the Predictability of Stock Returns: An Asset Allocation Perspective, The Journal of Finance, Vol. 51, 1996. pp. 385-424.• J. Linter, The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets. The Review of Economics and Statistics, vol. 47, 1965,

pp. 13-37.• J. Linter, Securities Prices, Risk and Maximal Gains from Diversification. The Journal of Finance, vol. 40, No. 4, 1965, pp. 587-615.• R.E. Lucas, Jr., Asset Prices in an Exchange Economy. Econometrica, Vol. 46, No. 6, 1978, pp. 1429-1445.• Markowitz, H.M., Portfolio selection, Journal of Finance, Vol. 7, 1952, No.1, pp. 77-91.• R. Mehra, E.C. Prescott, The equity premium: a puzzle, Journal of Monetary Economics, Vol. 15, 1985, pp. 145-161.• R. Mehra, E.C. Prescott, The equity premium in retrospect, NBER working paper No. 9525. 2003. http://www.nber.org/papers/w9525.pdf• R.C. Merton, Lifetime Portfolio Selection under Uncertainty: The Continuous Time Case," Review of Economics and Statistics, No. 51, 1969, pp. 247-257.• R.C. Merton, Optimum Consumption and Portfolio Rules in a Continuous-Time Model," Journal of Economic Theory, No. 3, 1971, pp.373-413.• R.C. Merton, An Intertemporal Capital Asset Pricing Model, Econometrica, No. 41, 1973, pp. 867-887. • J. Mossin, Equilibrium in a Capital Asset Market. Econometrica, vol. 34, No. 4, 1966, pp. 768-783.• J. Mossin, Optimal Multiperiod Portfolio Policies. The Journal of Business, Vol. 41, No. 2, 1968, pp. 215-229.• J.A. Nelder, R. Mead, A simplex method for function minimization, The Computer Journal, vol. 7, 1964, pp. 308-313.• M. Normandin, P. St-Amour, Canadian Consumption and Portfolio Shares. The Canadian Journal of Economics / Revue canadienne d'Economique, Vol. 35, No. 4, 2002, pp.

737-756.• J.W. Pratt, Risk Aversion in the Small and in the Large. Econometrica, vol. 32, No. 1-2, 1964, pp.122-136.• T.A. Rietz, The equity premium: a solution, Journal of Monetary Economics, Vol. 22, 1988, pp. 117-131.• R.T. Rockafellar, S. Uryasev. Optimization of Conditional Value-at-Risk. The Journal of Risk, vol. 2 No.3, 2000, pp. 21-41.• P.A. Samuelson, Lifetime Portfolio Selection by Dynamic Stochastic Programming, Review of Economics and Statistics, No. 51, 1969, pp. 239-246.• W.F. Sharpe, Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium Under Conditions of Risk. The Journal of Finance, vol. 19, No. 3, 1964, 425-442.• G. Warren , Expectations and Asset Prices. Australian Graduate School of management, 2006. Доступна в Интернет по адресу:

http://www.ioa.agsm.edu.au/agsm/web.nsf/AttachmentsByTitle/Paper_Geoff+Warren_Expectations+May06.pdf/$FILE/Paper_Geoff+Warren_Expectations+May06.pdf• P. Weil, Non-expected utility in macroeconomics, Quarterly Journal of Economics Vol. 105, 1990. pp. 29-42.• M.L. Weitzman, Subjective Expectations and Asset-Return Puzzles. The American Economic Review, Vol. 97, No. 4, 2007, pp. 1102-1130.

http://www.nber.org/papers/w9525.pdf

21 декабря 2010 47

Буду рад ответить на Ваши вопросы.

Благодарю за внимание!

Модель управляемого равновесия, учитывающая рынки...

Documents