Тригонометрични Тригонометрични функции на остър функции на остър

ъгълъгъл

ОпределенияОпределенияОсновни тригонометрични тъждестваОсновни тригонометрични тъждества

Тригонометрични функции на ъгли, Тригонометрични функции на ъгли, които се допълват до 90които се допълват до 90°°

Стойности на тригонометричните Стойности на тригонометричните функции на ъгли 30функции на ъгли 30°°, 60, 60°° и 45 и 45°°

I.I.ОпределенияОпределения

Вече знаем, че всички правоъгълни триъгълници с един и същ остър ъгъл са подобни (по І признак). Следователно, съответните им страни са пропорционални. Използвайки този факт и свойствата на пропорциите, получаваме следните равенства:

С1

А1 В1

С2

А2 В2А В

Са а1

а2

bb1

b2

c c1 c2

1....2

2

1

1 c

a

c

a

c

a

хипотенуза

катет

срещулежащ

2...2

2

1

1 c

b

c

b

c

b

хипотенуза

катет

прилежащ

3...2

2

1

1 b

a

b

a

b

a

катет

прилежащ

катет

срещулежащ

4...2

2

1

1 a

b

a

b

a

b

катет

срещулежащ

катет

прилежащ

Отношенията в равенства (1), (2), (3) и (4) остават едни и същи, независимо от дължините на страните в триъгълниците. Тяхната стойност ще се промени, ако се промени големината на острия ъгъл и се получат подобни правоъгълни триъгълници с други отношения на съответните страни. Определения:

В правоъгълен триъгълник с остър ъгъл В правоъгълен триъгълник с остър ъгъл отношението на срещулежащия на ъгъла отношението на срещулежащия на ъгъла катет към хипотенузата се нарича катет към хипотенузата се нарича синус синус на на ъгъл ъгъл .. Означава се Означава се sin sin ..

В правоъгълен триъгълник с остър ъгъл В правоъгълен триъгълник с остър ъгъл отношението на прилежащия на ъгъла отношението на прилежащия на ъгъла катет към хипотенузата се нарича катет към хипотенузата се нарича косинус косинус на ъгъл на ъгъл . Означава се . Означава се cos cos ..

В правоъгълен триъгълник с остър ъгъл В правоъгълен триъгълник с остър ъгъл отношението на срещулежащия към отношението на срещулежащия към прилежащия на ъгъла катет се нарича прилежащия на ъгъла катет се нарича тангенс тангенс на ъгъл на ъгъл .. Означава се Означава се ttg g ..

В правоъгълен триъгълник с остър ъгъл В правоъгълен триъгълник с остър ъгъл отношението на прилежащия към отношението на прилежащия към срещулежащия на ъгъла катет се нарича срещулежащия на ъгъла катет се нарича котангенс котангенс на ъгъл на ъгъл .. Означава се Означава се cotg cotg ..

a

bg

b

atg

c

bc

a

cot

cos

sin

Изводи:Изводи: Отношенията, чрез които се определят числата Отношенията, чрез които се определят числата sinsin, cos, cos, tg, tg и и cotgcotg, ,

имат различни стойности за различните остри ъгли. Следователно, имат различни стойности за различните остри ъгли. Следователно, зависят от мярката на острия ъгъл. Те са зависят от мярката на острия ъгъл. Те са числови функции, чиито числови функции, чиито аргумент е мярката на острия ъгъл.аргумент е мярката на острия ъгъл.

Дефиниционна област Дефиниционна област DD: : xx (0(0°°; 90; 90°°).). Функцията, която на Функцията, която на всеки ъгъл всеки ъгъл xx (0(0°°; 90; 90°°) съпоставя:) съпоставя:

-- числото числото sin sin xx, , се нарича се нарича синуссинус;;

-- числото числото cocoss xx, , се нарича се нарича косинускосинус;;-- числото числото tg tg xx, , се нарича се нарича тангенстангенс;;-- числото числото cotg cotg xx, , се нарича се нарича котангенскотангенс..

Тъй като стойностите на тези функции се определят като отношения Тъй като стойностите на тези функции се определят като отношения между страни в правоъгълен триъгълник, следва, че между страни в правоъгълен триъгълник, следва, че те са те са положителни числа.положителни числа.

Тъй като хипотенузата е най-дългата страна, отношенията, чрез които Тъй като хипотенузата е най-дългата страна, отношенията, чрез които се определят синусът и косинусът на острия ъгъл, са числа, по-малки се определят синусът и косинусът на острия ъгъл, са числа, по-малки от 1.от 1. Следователно, за всеки остър ъгъл Следователно, за всеки остър ъгъл са изпълнени са изпълнени неравенствата: неравенствата: sinsin < 1 < 1 и и coscos < 1. < 1.

Функциите Функциите sin sin xx, cos , cos xx,, tg tg xx и и cotg cotg xx се наричат се наричат тригонометрични тригонометрични функциифункции на остър ъгъл. на остър ъгъл.Думата Думата тригонометрия тригонометрия има древногръцки произход и означава има древногръцки произход и означава измерване в триъгълника. измерване в триъгълника.

Определянето на тригонометричните функции на остър ъгъл чрез Определянето на тригонометричните функции на остър ъгъл чрез отношения на страни в правоъгълния триъгълник установява отношения на страни в правоъгълния триъгълник установява зависимости между страните и ъглите, които се наричат зависимости между страните и ъглите, които се наричат тригонометрични зависимости. тригонометрични зависимости. С тяхна помощ можем да С тяхна помощ можем да намираме не само стойностите на тригонометричните функции на намираме не само стойностите на тригонометричните функции на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник, но и дължините на негови остър ъгъл в правоъгълен триъгълник, но и дължините на негови страни.страни.

Задачи:Задачи:①① Намерете стойностите на

тригонометричните функции на острия ъгъл в правоъгълен триъгълник с катети a, b и хипотенуза c, ако:

a) a=3 cm; b=4 cm; c=5 cm б) a=6 cm; c=10 cm;

в) a=5 cm; b=12 cm.

② Намерете неизвестните страни на правоъгълен триъгълник с остър ъгъл , катети a, b и хипотенуза c, ако:

a) c=20 cm; sin = ; б) b=48 cm; cos = 0,48;

в) a=2 cm; cotg =2

3

5

3

Решения:① a) б)

...cot

4

3

...cos

5

3sin

a

bg

b

atg

c

bc

a

...

...10

8cos

...sin

864

6436100

6102

22222

222

ctg

tgc

bc

a

cmb

b

acb

cba

② a)

cmb

acbcba

cmaaa

c

a

16256

256144400

12605205

3sin

222222

ІІ. Основни тригонометрични ІІ. Основни тригонометрични тъждестватъждества

Тъждество:Тъждество: Доказателство:Доказателство:

① От теорема на Питагор: От теорема на Питагор: Тогава:Тогава:

②

③

④

1cossin 22

cos

sintg

sin

coscot g

1cot. gtg

222 cba

1cossin2

2

2

22

2

2

2

22222

c

c

c

ba

c

b

c

a

c

b

c

a

cos

sin

c

bc

a

b

atg

sin

coscot

c

ac

b

a

bg

1.cot. a

b

b

agtg

Тъждества Тъждества ①① и и ④④ могат да се запишат и в могат да се запишат и в следния вид:следния вид:

2

22

22

cos1sin

cos1sin

1cossin

2

22

22

sin1cos

sin1cos

1cossin

gtg

gtg

cot

1

1cot.

tgg

gtg

1cot

1cot.

илиили

илиили

Основните тригонометрични тъждества установяват връзки Основните тригонометрични тъждества установяват връзки между тригонометричните функции на между тригонометричните функции на един и същ остър ъгъл.един и същ остър ъгъл. Те могат да се използват при опростяване на изрази, съдържащи Те могат да се използват при опростяване на изрази, съдържащи тригонометрични функции на един и същ ъгъл; при намиране тригонометрични функции на един и същ ъгъл; при намиране стойностите на тригонометричните функции на остър ъгъл, ако е стойностите на тригонометричните функции на остър ъгъл, ако е известна само едната от тях; при доказване на тъждества между известна само едната от тях; при доказване на тъждества между тригонометрични изрази; пресмятане на тригонометрични изрази тригонометрични изрази; пресмятане на тригонометрични изрази и др.и др.

Примери:Примери:

①① Опростете изразитеОпростете изразите: : а)а) б) в)

г) д) е) ж)

Решение: а) б)

в)

е)

Внимание!Внимание! При опростяване на тригонометрични изрази с тях можем да извършваме същите тъждествени преобразувания, както с рационалните изрази (разкриване на скоби, формули за съкратено умножение, правила за действия, съкращаване на числителите и знаменателите и т.н.).

;sin1 2 ;cot.sin g ;1.cos tg

;1cot. gtg ;sin

cos12

2

;cos.1 22 tg .cot.

1cos

sincos12

22

gtg

22 cossin1 cos

sin

cos.sincot.sin g

cossincos

cos

sin.cos1

cos

sincos1.cos

tg

1sincoscos.cos

sincoscos.

cos

sin1cos.1 222

2

222

2

222

tg

② Докажете тъждествата:

а)

б)

в)

г)

д)

Доказателство:а)

б)

в)

③ Намерете стойностите

на останалите тригономет-

рични функции на остър

ъгъл ако:

а) б)

в) г)

Решение: а)

в) Упътване: От основните тъждества:

и като знаем, че tg = 5, съставяме и решаваме системата:

;cos2cossin1 222

;cos1cos1

sin 2

;cos.sin

1cot

gtg

1sin.cot1 22 g

.1cos.sin2cossin 2

22222 cos2coscoscossin1

cos1cos1

cos1.cos1

cos1

cos1

cos1

sin 22

cos.sin

1

cos.sin

cossin

sin

cos

cos

sincot

1

22

cos.sin

gtg

;6,0sin ;5

4cos

;5tg .2cot g

3

41cot

4

3

8

6

8,0

6,0

cos

sin

8,064,036,016,01sin1cos

sin1cos1cossin22

2222

tgg

tg

;1cossin 22

cos

sintg

5cos

sin

1cossin 22

ІІІ. Тригонометрични функции на ъгли, които се допълват до 90°

Сборът на острите ъгли в правоъгълния триъгълник е 90°, т.е. те се допълват до 90°. Ако мярката на единия остър ъгъл е , другият остър ъгъл е = (90° - ). Ако, използвайки определенията, изразим тригонометричните функции на ъгъл , трябва да съобразим, че за него срещулежащ е катетът с дължина b, а прилежащ е катетът с дължина a. Тогава:

ba

c

tgb

ag

ga

btg

c

ac

b

cot

cot

sincos

cossin

tgg

gtg

90cot

cot90

sin90cos

cos90sin

Двойките тригонометрични функции Двойките тригонометрични функции синус-синус-косинус косинус и и тангенс-котангенс тангенс-котангенс се наричат се наричат

кофункции една на друга.кофункции една на друга.

Тогава връзката между тригонометричните Тогава връзката между тригонометричните функции на ъгли, допълващи се до 90функции на ъгли, допълващи се до 90°° може да може да се формулира обобщено по следния начин:се формулира обобщено по следния начин:

Ако два ъгъла се допълват до 90°, тригонометричните функции на единия ъгъл са равни на съответните им кофункции, но за другия ъгъл.

Примери:Примери: 76cos14sin 41sin49cos

35cot55 gtg 6228cot tgg

ІV. Тригонометрични функции на ъгли 30ъгли 30°°, 60, 60°° и 45 и 45°°

В правоъгълен триъгълник с остър ъгъл 30В правоъгълен триъгълник с остър ъгъл 30°° дължината на срещулежащия катет е два дължината на срещулежащия катет е два пъти по-малка от дължината на пъти по-малка от дължината на хипотенузата, т.е. хипотенузата, т.е. c = 2a.c = 2a. От теорема на От теорема на Питагор: Питагор: bb22= c= c2 2 - a- a22= 4a= 4a2 2 - a- a2 2 =3a=3a22 b=√3a b=√3a2 2 =a√3=a√3

Тогава:Тогава:

AA

BB

CC

ac=2a

b=a√32

1

230sin

a

a

2

3

2

330cos

a

a

3

3

3.3

3

3

1

330

a

atg

33

30cot a

ag

309060

3

33060cot

330cot60

2

130sin60cos

2

330cos60sin

tgg

gtg

Ако един от острите ъгли в Ако един от острите ъгли в правоъгълния триъгълник е 45правоъгълния триъгълник е 45°°, то и , то и другият остър ъгъл е 45другият остър ъгъл е 45°°, т.е. , т.е. триъгълникът е равнобедрен.триъгълникът е равнобедрен.Следователно:Следователно:

От теорема на Питагор:От теорема на Питагор:

Прилагайки определенията за Прилагайки определенията за тригонометрични функции на остър тригонометрични функции на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник, ъгъл в правоъгълен триъгълник, получаваме:получаваме:

A

B

C a

ac=a√2

aBCAC

222 22222 aacaaac

145cot45

2

2

2.2

2

2

1

245cos45sin

a

agtg

a

a

Стойности на Стойности на тригонометричните функции на тригонометричните функции на забележителни остри ъгли – забележителни остри ъгли – запомнете ги!запомнете ги!

Задачи:

① Опростете изразите:

а)

б)

в)

г)

Решение:

а)

б)

② Пресметнете:

а) 4.sin 30° - √2.cos 45°;

б) 6.tg 45° + √3.cotg 30°;

в) 2.cos 60°+ 2√3.cos 30°;

г) sin2 57° + cos2 57°+5.tg12°.cotg12°;

д) 3sin274° + 3.cos274° - g10°.tg80°;

е) sin225° + sin265° - 8.cos30°.tg60°.

Решение:

а)

г)

е)

;sin.90coscos.90sin

;90cot.cot.90 ggtgtg

;

cos

90cos.

sin

90sin

.cot.90cos.90sin gtg

1sincossin.sincos.cos

sin.90coscos.90sin22

211.cot.cot

90cot.cot.90

tggtgg

ggtgtg

1122

22

2

2.2

2

1.445cos.230sin4

61.5112cot.12.557cos57sin11

22 gtg

111213.41

3.2

3.825cos25sin

60.30cos.865sin25sin

1

22

22

tg

начало