ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ КОВАРИАЦИИ
DESCRIPTION
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ КОВАРИАЦИИ. 1. ПРИМЕР КОВАРИАЦИИ. 4. ПРИМЕР ВЫЧИСЛЕНИЯ КОВАРИАЦИИ. Observation S Y S - Y - ( S - )( Y - ) 11517.24 21615.00 3814.91 464.50 51518.00 6126.29 71219.23 81818.69 9127.21 - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
1
n
iii
nn
YYXXn
=
YYXXYYXXn
X,Y
1
11
))((1
))((...))((1
)Cov(
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ КОВАРИАЦИИ
))(( YXXY YXE
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
S (продолжительность обучения)
Y (
часовая з
арпл
ата
, $)
4
ПРИМЕР КОВАРИАЦИИ
Observation S Y S - Y - (S - )(Y - )
1 15 17.242 16 15.003 8 14.914 6 4.505 15 18.006 12 6.297 12 19.238 18 18.699 12 7.21
10 20 42.06... ... ...... ... ...19 12 7.5020 14 8.00
Итого 265 284.49Среднее 13.25 14.225
S Y S Y
ПРИМЕР ВЫЧИСЛЕНИЯ КОВАРИАЦИИ
5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
S (продолжительность обучения)
Y (
часовая з
арпл
ата
, $)
6
ПРОСТАЯ КОВАРИАЦИЯ
Выборка S Y S - Y - (S - ) (Y - )
1 15 17.24 1.75 3.016 5.2772 16 15.00 2.75 0.776 2.1333 8 14.91 -5.25 0.686 -3.5994 6 4.50 -7.25 -9.725 70.5035 15 18.00 1.75 3.776 6.6076 12 6.29 -1.25 -7.935 9.9187 12 19.23 -1.25 5.006 -6.2578 18 18.69 4.75 4.466 21.2119 12 7.21 -1.25 -7.015 8.768
10 20 42.06 6.75 27.836 187.890... ... ... ... ... ...... ... ... ... ... ...
19 12 7.50 -1.25 -6.725 8.40620 14 8.00 0.75 -6.225 -4.668
Итого 265 284.49 305.888Среднее 13.25 14.225 15.294
S Y S Y
ПРОСТАЯ КОВАРИАЦИЯ
Положительное значение ковариации свидетельствует о наличии положительной связи между S и Y
13
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
S
Y (
$)
14
Выборочная ковариация
Личность 10 – два высших образования: биология и медицина
C
D A
B
наблюдение 10
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
S
Y (
$)
16
ПРОСТАЯ КОВАРИАЦИЯ
Личность 20 - незаконченное высшее медицинское образование. Работает Менеджером.
C
D A
BНаблюдение 20
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
S
Y (
$)
18
ПРОСТАЯ КОВАРИАЦИЯ
Личность 4, мексиканец с 6 классами образования, подсобный рабочий.
C
D A
BНаблюдение 4
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
S
Y (
$)
20
SAMPLE COVARIANCE: EXAMPLE CALCULATION
Личность 3. Начальное образование, строительный рабочий.
C
D A
B
наблюдение 3
1. Если Y = V + W,
Cov(X, Y) = Cov(X, V) + Cov(X, W)
2. Если Y = bZ, где b - константа,
Cov(X, Y) = Cov(X, bZ) = bCov(X, Z)
Пример: Cov(X, 3Z) = 3Cov(X, Z)
3. Если Y = b, где b - константа,
Cov(X, Y) = Cov(X, b) = 0
Пример: Cov(X, 10) = 0
СВОЙСТВА ВЫБОРОЧНОЙ КОВАРИАЦИИ
5
Пример: пусть Y = b1 + b2Z
Cov(X, Y) = Cov(X, [b1 + b2Z])
= Cov(X, b1) + Cov(X, b2Z)
= 0 + Cov(X, b2Z)
= b2Cov(X, Z)
ПРАВИЛА КОВАРИАЦИИ
9
1. Если Y = V + W, Cov(X, Y) = Cov(X, V) + Cov(X, W)
ПРАВИЛА КОВАРИАЦИИ
),(Cov),(Cov
))((1
))((1
])[])([(1
])[])([(1
))((1
),(Cov
1 1
1
1
1
WXVX
WWXXn
VVXXn
WWVVXXn
WVWVXXn
YYXXn
YX
n
i
n
iiiii
n
iiii
n
iiii
n
iii
16
ПРАВИЛА КОВАРИАЦИИ
),(Cov
))((1
))((1
))((1
),(Cov
1
1
1
ZXb
ZZXXn
b
ZbbZXXn
YYXXn
YX
n
iii
n
iii
n
iii
2. Если Y = bZ, где b - константа,
Cov(X, Y) = Cov(X, bZ) = bCov(X, Z)
20
3. Если Y = b, где b – константа,
Cov(X, Y) = Cov(X, b) = 0
ПРАВИЛА КОВАРИАЦИИ
0
))((1
))((1
))((1
),(Cov
1
1
1
n
ii
n
ii
n
iii
bbXXn
bbXXn
YYXXn
YX
24
n
ii
n
ii
n
iii
nnnn
n
iiiii
n
iii
YXnYXYXYXn
YXYXYXYX
YXYXYXYXn
YXYXYXYXn
YYXXn
YX
111
1111
1
1
1
...
1
)(1
))((1
),(Cov
АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ КОВАРИАЦИИ
9
АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ КОВАРИАЦИИ
16
YXYXn
YXYXXYYXn
YXYn
XXn
YYXn
YXYXn
YXn
YXn
YXnYXYXYXn
YX
n
iii
n
iii
n
ii
n
ii
n
iii
n
ii
n
ii
n
iii
n
ii
n
ii
n
iii
1
1
111
111
111
1
1
111
111
1),(Cov
ВЫБОРОЧНАЯ ДИСПЕРСИЯ
3
Определение выборочной дисперсии:
),(Cov
))((1
)(1
)(Var
1
1
2
XX
XXXXn
XXn
X
n
iii
n
ii
ВЫБОРОЧНАЯ ДИСПЕРСИЯ
11
Правило 1:Если Y = V + W, Var(Y) = Var(V) + Var(W) + 2Cov(V, W)
Вывод: Var(Y) = Cov(Y, Y) = Cov(Y, [V + W])
= Cov(Y, V) + Cov(Y, W)
= Cov([V + W], V) + Cov([V + W], W)
= Cov(V, V) + Cov(W, V) + Cov(V, W) +
+Cov(W, W)
= Var(V) + Var(W) + 2Cov(V, W)
ВЫБОРОЧНАЯ ДИСПЕРСИЯ
16
Правило 2:Если Y = bZ, где b - константа, Var(Y) = b2Var(Z)
Вывод:
Var(Y) = Cov(Y, Y) = Cov(Y, bZ)
= bCov(Y, Z)
= bCov(bZ, Z)
= b2Cov(Z, Z)
= b2Var(Z)
ВЫБОРОЧНАЯ ДИСПЕРСИЯ
18
Правило 3:Если Y = b, где b - константа, Var(Y) = 0
Вывод:
Var(Y) = Cov(Y, Y)
= Cov(b, b)
= 0
ВЫБОРОЧНАЯ ДИСПЕРСИЯ
25
Правило 4:Если Y = V + b, где b - константа, Var(Y) = Var(V)
Вывод:
Var(Y) = Var(V + b)
= Var(V) + Var(b) + 2Cov(V, b)
= Var(V)
0
0 V + b
V
СМЕЩЕННОСТЬ ВЫБОРОЧНОЙ ДИСПЕРСИИ
28
21)(Var Xn
nXE
)(Var1
2 Xn
nsX
22XXsE
n
ii Xx
ns
1
22 )(1
1
000
)()()()(
)()())((
YYXX
YX
YXYX
EYEEXE
YEXEYXE
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ КОВАРИАЦИЯ
Если X и Y независимы, то XY = 0
))(( YXXY YXE
XYnn
YXE 1),(Cov
6
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ДИСПЕРСИЯ
Если X и Y - независимы, то
22
222 2
YX
XYYXYX
2
222YXYX
n
nnn
n
n
XXXX
XX
XX
XXn
X
n
n
n
22
222
2
222
2...2
2
...1
2
1...
1
...1
1
1
1
1
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ДИСПЕРСИЯ ВЫБОРОЧНОГО СРЕДНЕГО
8
функция плотности вероятности
ЗАВИСИМОСТЬ ОТКЛОНЕНИЯ ОТ ВЕЛИЧИНЫ ВЫБОРКИ
N=100
N=50
13
X
)(Var)(Var),(Cov
)(Var1
)(Var1
),(Cov1
YXYX
Yn-n
Xn-n
YXn-n
rXY
КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ
Теоретический коэффициент корреляции
Выборочный коэффициент корреляции
22YX
XYXY
4
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
S
Y (
$)
5
КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ
Выб S Y S - Y - (S - )(Y - ) (S - )2 (Y - )2
1 15 17.24 1.75 3.016 5.277 3.063 9.0932 16 15.00 2.75 0.776 2.133 7.563 0.6013 8 14.91 -5.25 0.686 -3.599 27.563 0.4704 6 4.50 -7.25 -9.725 70.503 52.563 94.5665 15 18.00 1.75 3.776 6.607 3.063 14.2546 12 6.29 -1.25 -7.935 9.918 1.563 62.9567 12 19.23 -1.25 5.006 -6.257 1.563 25.0558 18 18.69 4.75 4.466 21.211 22.563 19.9419 12 7.21 -1.25 -7.015 8.768 1.563 49.203
10 20 42.06 6.75 27.836 187.890 45.563 187.890... ... ... ... ... ... ... ...... ... ... ... ... ... ... ...19 12 7.50 -1.25 -6.725 8.406 1.563 45.21920 14 8.00 0.75 -6.225 -4.668 0.563 38.744
Итого 265 284.49 305.888 217.760 1542.160Средн. 13.25 14.225 15.294 10.888 77.108 Cov(S,Y) Var(S) Var(Y)
S Y S Y
КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ
SY
10
КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ
294.15),(Cov YS
888.10)(Var S
108.77)(Var Y
12
55.0975.28294.15
108.77888.10294.15
))Var(Var(),(Cov
YSYS
rSY