Обратная

Матрица

Определение. Матрица называется о б р а т н о й к квадратной матрице , если

Обратная матрица обозначается символом

Примечание. Операция деления для матриц не определена. Вместо этого предусмотрена операция обращения (нахождения обратной) матрицы.

A B B A E 1A

1 1A A A A E

Определение. Матрица, составленная из алгебраических дополнений для элементов

исходной матрицы , называется с о ю з н о й м а т р и ц е й .

11 12 13

21 22 23

31 32 33

A A A

A A A A

A A A

Формула для нахождения обратной матрицы

1 1

detTA A

A

11 21 311

12 22 32

13 23 33

1

det

A A A

A A A AA

A A A

Алгоритм нахождения

• 1. Находим определитель матрицы А. Он должен быть отличен от нуля.

• 2. Находим алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы А.

• 3. Составляем союзную матрицу и транспонируем ее.

• 4. Подставляем результаты п.1 и п.4 в формулу обратной матрицы.

1A

Пример. Найти матрицу, обратную к матрице:

1 2

3 4A

Р е ш е н и е. Действуем по алгоритму:

1. Находим определитель матрицы:

Определитель отличен от нуля , следовательно, обратная матрица существует.

1 2det 4 6 2

3 4A = = - = -

det 0A ¹

2. Находим алгебраические дополнения:

11 4A =

12 3A =-

21 2A =-

22 1A =

3. Составляем союзную матрицу:

12

34~A

4. Записываем обратную матрицу по формуле

4 21

3 12

1 1

de tTA A

A

5. Проверка

• Воспользуемся определением обратной матрицы и найдем произведение

4 2 1 21

3 1 3 42

AA 1

4 1 2 3 4 2 2 413 1 1 3 3 2 1 42

10

01

20

02

2

1

Задача. Найти матрицу, обратную к данной

2 1 1

3 2 1

1 2 1

A

1. Находим определитель

2 1 1

det 3 2 1 2 2 1 3 2 1 1 1 1

1 2 1

1 2 1 1 2 2 3 1 1

4 6 1 2 4 3 3 5 0.2

A

2. Алгебраические дополнениядля первой строки:

11

2 12 2 4,

2 1A

12

3 13 1 2,

1 1A

13

3 26 2 8,

1 2A

Алгебраические дополнениядля второй строки:

21

1 11 2 1,

2 1A

22

2 12 1 1,

1 1A

23

2 14 1 3,

1 2A

Алгебраические дополнениядля третьей строки:

31

1 11 2 3,

2 1A

32

2 12 3 1,

3 1A

33

2 14 3 7.

3 2A

Обратная матрица:

1

4 1 31

2 1 12

8 3 7

A

Элементарные преобразования матриц

• перестановка строк (столбцов) местами;

• исключение из матрицы строк (столбцов), состоящих из нулей;

• умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на любое число, отличное от нуля;

• прибавление к одной строке (столбцу) другой, предварительно умноженной на любое число, отличное от нуля.

Определение. Э к в и в а л е н т н ы м и называются матрицы, полученные одна из другой путем элементарных преобразований.

Важным понятием для матриц является понятие РАНГА. Существует несколько определений этого понятия. Мы

остановимся на одном из них, основанном на элементарных преобразованиях.

Определение. Р а н г о м м а т р и ц ы называется число ненулевых строк в матрице, после приведения ее к ступенчатому виду (путем элементарных преобразований).

Обозначение. Ранг матрицы будем обозначать

или .

Теорема. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях.

( )r A

( )rang A