第二章条件概率与独立性

第二章条件概率与独立性第一节条件概率与事件独立性

例假设有一批灯泡共 N 个，其中有 AN

个是合格品，有 BN 个是甲厂生产的，在甲厂生产的 BN 个灯泡中有 ABN 个是合格品。从 N 个灯泡中随机地取一个，设

A=“ 取得合格品”，

B=“ 取得甲厂生产”

一．条件概率

定义：设 ,A B为二个事件，

A发生的情况下，事件 B 发生的条件概率为

( )P B A ，且

( )( ) .ˆ

( )

P ABP B A

P A

记在事件( ) 0 ,P A 且

A“ 两颗骰子出现点数之和为7”

例 1 考察掷两颗骰子的试验。已知两颗骰子出现点数之和为 7 ，求其中有一个是 3 点的概率。

3B “ 其中有一个是点”

乘法定理：设 1 2, , , nA A A n 为个事件，

1 2 1( ) 0,nP A A A 且则

1 2 1 2 1 3 1 2

1 1 2 1 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

n

n n n n

P A A A P A P A A P A A A

P A A A P A A A

P19 例 2-3

一批零件共 100 件，其中有 10 件是次品，每次从中任取一件，取出的零件不再放回去，求第三次才取得合格品的概率。

1,2,3kA k k “ 第次取出的是合格品” ，

例 2 在空战中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为 0.2 ；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率为 0.3 ；若甲机也未被击落，则再进行攻击，击落乙机的概率为 0.4 。求在这几个回合中，甲机被击落的概率和乙机被击落的概率。A“ 第一回合，甲机向乙机开火，击落乙机”

B “ 第二回合，乙机向甲机开火，击落甲机”

C “ 第三回合，甲机向乙机开火，击落乙机”

二．事件独立性

1 ．两个事件的独立性

P20 例 2-4

袋中有 a只黑球和 b只白球，采取有放回摸球，陆续取出两球，求

（ 1 ）在已知第一次摸出黑球的条件下，第二次摸出黑球的概率；

（ 2 ）第二次摸出黑球的概率。

( ) ( ), ( ) ( )P B A P B P B A P B

定义： A B设事件和满足

( ) ( ) ( )P AB P A P B

A B则称和相互独立，否则称为不独立。

A“ 第一次摸出的是黑球”

B “ 第二次摸出的是黑球”

例 3 掷一枚硬币和一颗骰子。定义A=“ 硬币出现正面”， B=“ 骰子出现奇数点”

讨论事件 ,A B 的独立性。

{( ,1), ( , 2), ( ,3), ( , 4), ( ,5), ( ,6),

( ,1), ( , 2), ( ,3), ( , 4), ( ,5), ( ,6)}

H H H H H H

T T T T T T

例 4 一个家庭中有若干个小孩，假定生男生女是等可能的，令A=“ 一个家庭中有男孩又有女孩” B=“ 一个家庭最多有一个女孩”

（ 1 ）家庭中有两个小孩，（ 2 ）家庭中有三个小孩。

对上述 2 种情况，讨论事件 ,A B的独立性。 (1) {( , ), ( , ), ( , ), ( , )}B B B G G B G G(2) {( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ),

( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )}

B B B B B G B G B G B B

G G B G B G B G G G G G

讨论 ,A B“ 互不相容” ,A B“ 独立” 和

性质：若 ,A B 独立，则

, , ,A B A B A B“ ” ，“ ” ，“ ” 也独立。

2 ．多个事件的独立性

先讨论三个事件独立要满足什么条件。

定义：设有 1 2, , , nn A A A个事件，若

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )

k ki i i i i iP A A A P A P A P A

其中 1 2, , , 1, 2, ,ki i i n k 为中的个数，

2 ,k n 则称 1 2, , , nA A A

否则称为不独立。相互独立，

例 5 设随机试验中，某一事件 A出现的

概率为 0 ，证明：不论多么小，只要不断地，独立地重复做此试验，则事件 A迟早会发生的概率为 1 。

性质：设 1 2, , , nA A A 相互独立，则

1 2 1 2( ) 1 ( ) ( ) ( )n nP A A A P A P A P A

P23 例 2-9

第二节全概率公式和贝叶斯公式例 1 有外形相同的球分装在三个盒子中，每盒 10 个。其中第一个盒子中 7 个球标有字母 A ,3 个球标有字母 B ；第二个盒子中有红球和白球各 5 个；第三个盒子中有红球 8 个，白球 2 个。试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一球，若取得标有字母 A 的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母 B 的球，则在第三个盒子中任取一个球。如果第二次取出的是红球，则称试验为成功，求试验成功的概率。

A“ 第一次取到标有字母A的球”

B “ 第一次取到标有字母B的球”

R “ 第二次取到红球”

W “ 第二次取到白球”

( )P R

定义：设 1 2, , , nA A A 满足

1 2 nA A A 则称 1 2, , , nA A A 为的一个分割。

全概率公式：设 1 2, , , nA A A 为的一个分割， B 为任一事件，则

1

( ) ( ) ( )n

i ii

P B P A P B A

例 2 某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的 15% ，20% ， 30% 和 35% ，又这四条流水线的次品率依次为 0.05 ， 0.04 ， 0.03 及 0.02 。现在从出厂产品中任取一件，求抽到的产品是次品的概率。

若该厂规定，出了次品要追究有关流水线的经济责任。现在出厂产品中任取一件，结果为次品，但该件产品是哪一条流水线生产的标志已经脱落，问四条流水线各应承担多大责任？

iA i“ 产品来自第条流水线” ,

1,2,3,4i

B “ 抽出的产品为次品”

4

1

( ) ( ) ( ) 0.0315i ii

P B P A P B A

1 2

3 4

( ) 23.8%, ( ) 25.4%,

( ) 28.6%, ( ) 22.2%

P A B P A B

P A B P A B

贝叶斯公式：设 1 2, , , nA A A 为的一个分割， B 为任一事件，且 ( ) 0,P B

则

1

( ) ( )( ) , 1, 2, ,

( ) ( )

k kk n

i ii

P A P B AP A B k n

P A P B A

( ) ( )i kP A P A B称为先验概率，称为后验概率

例 3 在电报通讯中，发送端发出的是由“。”和“—”两种信号组成的序列，而由于随机干扰的存在，接收端收到的是由“。”，“不清”和“—”三种信号组成的序列。信号“。”，“不清”和“—”分别简记为 0 ， x， 1 。假设已知发送 0 和 1 的概率分别为 0.6 和 0.4 ；在发出 0 的条件下，收到 0 ， x和 1 的条件概率分别为 0.7 ，0.2 和 0.1 ；在发出 1 的条件下，收到 0 ，x和 1 的条件概率分别为 0 ， 0.1 和 0.9 。试分别计算在接收信号为 x（不清）的条件下，原发出信号为 0 和 1 的条件概率。

0,1iA i i “ 发出的信号为 ” ，

0, ,1jB j j x “ 接收到的信号为 ” ，

0 1( ) 0.75, ( ) 0.25x xP A B P A B

第三节贝努利概型

定义：有一随机试验，观察事件 A发生与否，

( ) (0 1), ( ) 1ˆ ˆP A p p P A p q

将此试验独立地重复进行 n次，则称此模型为 n重贝努利概型。

求在 n次独立试验中事件 A发生 k次的概率。

kB n A k“ 次独立试验中事件发生次”

5n

1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12

13 14

( , , , , ) , ( , , , , ) , ( , , , , ) ,

( , , , , ) , ( , , , , ) , ( , , , , ) ,

( , , , , ) , ( , , , , ) , ( , , , , ) ,

( , , , , ) , ( , , , , ) , ( , , , , ) ,

( , , , , ) , ( , , , , ) , ( , , , , )

A A A A A A A A A A A A A A A





15

16 17 18

19 20 21

22 23 24

25 26 27

28 29

,

( , , , , ) , ( , , , , ) , ( , , , , ) ,

( , , , , ) , ( , , , , ) , ( , , , , ) ,

( , , , , ) , ( , , , , ) , ( , , , , ) ,

( , , , , ) , ( , , , , ) , ( , , , , ) ,

( , , , , ) , ( , , , , ) , (





A A A A A A A A A A 30

31 32

, , , , ) ,

( , , , , ) , ( , , , , )

A A A A A

A A A A A A A A A A

iA i A“ 第次试验中发生”

( ) ,iP A p 1,2,3,4,5i

1 2 3 4 5, , , ,A A A A A独立

8 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

3 2

({ }) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P P A A A A A

P A P A P A P A P A

p q

0 32B

1 27 28 29 30 31, , , ,B

2 17 18 26, , ,B

3 7 8 16, , ,B

4 2 3 4 5 6, , , ,B

5 1B

3 7 8 16( ) ({ }) ({ }) ({ })P B P P P

3 3 25C p q

iA i A“ 第次试验中发生”

( ) , 1, 2, ,iP A p i n

1 2, , , nA A A 独立，

1 21 { , , , }

( ) ,i

k

kk n k

j ii i j j j

P A A p q

( ) , 0,1, ,k k n kk nP B C p q k n

0 1, , , nB B B 互不相容

0 0 1 1 1 0

( ) 1

n n n nn n n

n

C p q C p q C p q

q p

0 ( ) 1, 0,1, ,k k n kk nP B C p q k n

例 1 某车间有 10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为 10千瓦，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动 12 分钟，且开动与否是相互独立。现因当地电力供应紧张，供电部门经研究只提供 50千瓦的电力给这 10台机床，问这 10台机床能够正常工作的概率。

A“ 10台机床能够正常工作”

kB k“ 10台机床中有台机床开动”

0,1, ,10k

105 5 5

100 0 0

1 4( ) ( ) ( )

5 5

kkk

k kk k k

P A P B P B C

0.994

10

10

1 4( ) , 0,1, ,10

5 5

k kk

kP B C k

P28 例 2-14

甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛。如果每局甲胜的概率为 0.6 ，乙胜的概率为 0.4 ，比赛可以采用三局二胜制或五局三胜制，问在哪一种比赛制度下甲获胜的可能性较大？

解：我们必须假定各局比赛结果相互独立（ 1 ）采用三局二胜制

1 2 :A “ 甲 0胜” 2 2 :1A “ 甲胜”

1 2 1 2( ) ( ) ( )P A A P A P A

2 2 01 2( ) 0.6 0.4P A C

2 2 12 3( ) 0.6 0.4P A C

1:1B C “ 前二局 ” “ 第三局甲胜”

,B C相互独立

2( ) ( ) ( ) ( )P A P BC P B P C 1 1 12( ) 0.6 0.4 , ( ) 0.6P B C P C

P33 习题 9

设 nA n“ 第次出现正面” ，

( ) ˆn nP A p

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n n n n n np P A P A P A A P A P A A

1 1(1 ) (1 )n np p p p

1 1(2 1) (1 ) ,n np p p p p c

P33 例 10

设 nA n“ 第次黑球在甲袋”

( ) ˆn nP A p


1 1

1 1(1 )n n

Np p

N N

1 1

2 1 1,n n

N Np p p

N N N

P33 习题 7

A“ 产品被接收”

iB i“ 二件产品中有件次品” 2

0

( ) ( ) ( )i ii

P A P B P A B

2 1 1 2

2 27 7 3 32 2 210 10 10

0.99 0.05 0.99 0.05

0.4806

C C C C

C C C

P33 习题 11

0,1, ,iA i i n “ 袋中有个白球” ，

B k“ 共取次，均为白球”

1( ) , ( ) , 0,1, ,

1

k

i i

iP A P B A i n

n n

0

( ) ( )( )

( ) ( )

n nn n

i ii

P A P B AP A B

P A P B A

辅导用书 P46 习题 3

A“ 相邻2节在一起”

B “ 相邻3节在一起”

C “ 相邻4节在一起”

( ) ( ) ( ) ( )P ABC P A P B A P C AB

8! 2! 6! 3! 3! 4!

9! 8! 6!


n A次独立试验中事件出现偶数次的概率记为 nq

nn A p次独立试验中事件出现奇数次的概率记为

0 0 1 1 1 2 2 2

1 1 1 0

1 ( )n n n nn n n

n n n nn n

q p C p q C p q C p q

C p q C p q

0 0 2 2 2

1 1 1 3 3 3

( )

( )

n nn n

n nn n

C p q C p q

C p q C p q

n nq p

(1 2 ) ( )n np q p

0 0 1 1 1 2 2 2

1 1 1 1 0( 1) ( 1)

n n nn n n

n n n n n nn n

C p q C p q C p q

C p q C p q

0 0 2 2 2

1 1 1 3 3 3

( )

( )

n nn n

n nn n

C p q C p q

C p q C p q

n nq p

1

(1 2 )n n

nn n

q p

q p p

1 (1 2 )

2

n

n

pp


nA n“ 第次传球时，球由最初发球者传出”

( ) ˆn nP A p


1 1

10 (1 )

1n np pr

1 0

1 1, 1, 1

1 1n np p p nr r


4 1 6 1( ) , ( )

36 9 36 6P A P B

A B与互不相容

1nC n A B

n A

“ 前次试验与都没出现，

第次试验出现”

1,2, , 1kD k A B k n “ 第次试验与都没出现” ，

1 1 13( ) 1 , 1,2, , 1

9 6 18kP D k n

nD n A“ 第次试验出现”

1( ) ( )

9nP D P A

1 2, , , nD D D 独立

1 1( ) ( )n n nP C P D D D

1 1( ) ( ) ( )n nP D P D P D

113 1

, 1,2,18 9

n

n

1 1

1 29( ) ( )13 51 18

n nn n

P C P C

第三章随机变量及其分布

第一节随机变量和分布函数

在随机现象中，有很大一部分问题与数值发生关系。例如，在产品检验问题中出现的废品数；在车间供电问题中某一时刻正在工作的车床数；测量的误差；灯泡的寿命等都与数值有关。

因此，在随机试验中，我们的观测对象常常是一个或若干随机取值的变量。

有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能用数值来描述。

例如，在掷一枚硬币问题中，每次出现的结果为正面（记为 H）或反面（记为 T），与数值没有关系，但是我们可以用下面方法使它与数值联系起来，当出现正面时对应数“ 1” ，而出现反面时对应数“ 0” ，

即相当于引入一个定义在样本空间

{ , }H T

上的变量 ( )X ，其中

T

HX

,0

,1)(

由于试验结果的出现是随机的，因而 ( )X 的取值也是随机的。

通过以上的分析，我们可以看到：一类试验的结果，自然地对应着一个实数；而另一类试验的结果需要人为地建立试验结果与数值的关系。

由此可见，无论是那一种情况，都是试验结果（即样本点）和实数 ( )X 之间的一个对应关系。

1 ．一般概率的定义，古典概型 2 ．条件概率的定义，贝努利概型

3 ．（一维）随机变量的定义 ,

分布函数的定义及其基本性质4 ．随机变量 X与 Y独立性定义，

可加性定义

5 ．数学期望定义及其描述什么，方差的定义及其描述什么，相关系数定义及其描述什么

6 ．切比雪夫大数定律及其描述什么，贝努利大数定律及其描述什么，中心极限定理

l-x-yyx

NM BA


,AM x MN y

{( , ) 0, 0, }x y x y x y l

{( , ) 0 ,0 , }D x y x a y a x y l a

x+y=l-a

l-a

l-a

a

al/2

l/2

l

l （ 1 ） 2

la l

2 21 12 2

212

2

3 ( )

1 3 1

l l aD

l

a

l

的面积的面积

x+y=l-a

3a-l

l-a

l-a

a

a

l/2

l/2

l

l

（ 2 ） 3 2

l la

212

212

2

( 3 )

31

l aD

l

a

l

的面积的面积

第二章 条件概率与独立性

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第二章条件概率与独立性