Алгебра і геометрія ЗНО
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1, 2, 3, ... , 1, 2, 3, ... 0 .
Z = {... 3, 2, 1, 0, 1 , 2, 3, ...} .
, mn
, m Z, n N.
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2 + + 3 10 + 2; 23 891 = 2 104 + 3 103 + 8 102 + 9 10 + 1
- n -, n P P Pm m k
mk= 1 21 2 ... , P1, P2, ..., Pk , k, m1, m2,, ..., mk .
: 128 = 27; 24 = 23 3; 108 = 22 33; 180 = 22 32 5.210 = 2 3 5 7
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9. a = b, c 0, ac = bc, ac
bc
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10. ab = 0, a = 0, b 0, a 0, b = 0, a = 0, b = 0.
11. ab
= 0 , a = 0, b 0.
12. a = b, a 0, 1 1
a b= .
13. a = b, a 0, a bk k2 2= , k N.
14. a = b, a bk k2 1 2 1+ += , k N.
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( 1, 2).: 36 : (17 8) + 3 6 = 36 : 9 + 3 6 = 4 + 18 = 22.
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: a < b a b < 0, a b a b 0, a b a b 0.
1. a > b, b < a.2. a > b, b > c, a > c.3. a > b, a + c > b + c.4. a > b, c > d, a + c > b + d.5. a > b, c > 0, ac > bc. a > b, c < 0, ac < bc.6. a > b, c > d (a > 0, b > 0, c > 0, d > 0), ac > bd.7. a > b (a > 0, b 0), a2k > b2k, k N. a > b, a2k + 1 > b2k + 1, k N.8. a > b (a > 0, b > 0), a bk k2 2> , k N.
a > b, a bk k2 1 2 1+ +> , k N.
9. a > b (a > 0, b > 0), 1 1
a b< .
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11. ab
> 0, a > 0 b > 0 a < 0, b < 0.
ab
< 0, a > 0 b < 0 a < 0 b > 0.
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27
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10. :
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11. 1, 3, 5 . - . - :
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12. 1, 2, 3, 4 ( ), - . :
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5. :
) 0,5005; ) 0,0505; ) 0,505; ) 0,055.
6. 3,084 + 15,62:
) 18,704; ) 18,606; ) 18,146; ) 4,646.
7. 15,01 , 12,3?
) 27,04; ) 27,31; ) 2,71; ) 2,98.
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11. 90 . 0,3 - , . - ?
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3. 12 :
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4. 24 :
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5. 25 :
) 0,025 ; ) 0,0025 ;
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6. , , 1 . , 7 2:
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9. 4 4 4 :
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2 6 el`h)mhi op`jhjrl
34
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3. 76,544 .
) 80; ) 70; ) 76,54; ) 76,55.
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35
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36
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2. 16 29 :
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3. 19 (5) :
) 14; ) 24; ) 14; ) 24.
4. 19 + (5) :
) 14; ) 24; ) 14; ) 24.
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el`h)mhi op`jhjrl 2 9
37
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38
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39
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42
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-
o 11 el`h)mhi op`jhjrl
40
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.: 4, 6, 9, 10, 12 . 1 , .
( 350)
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
31 37 41 43 47 53 59 61 67 71
73 79 83 89 97 101 103 107 109 113
127 131 137 139 149 151 157 163 167 173
179 181 191 193 197 199 211 223 227 229
233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
283 293 307 311 313 317 331 337 347 349
-
el`h)mhi op`jhjrl 2 11
41
11 .
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5. 144 168 :
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6. 54, 90 162 :
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7. 54, 90 162 :
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o 12 el`h)mhi op`jhjrl
42
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43
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o 12 el`h)mhi op`jhjrl
44
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13.
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el`h)mhi op`jhjrl o 13
45
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2 13 el`h)mhi op`jhjrl
46
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el`h)mhi op`jhjrl o 14
47
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5.
14.
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-
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el`h)mhi op`jhjrl 2 14
49
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2 14 el`h)mhi op`jhjrl
50
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6.
15.
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el`h)mhi op`jhjrl o 15
51
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25 704 10 10 10 26 3031 41 2 1 42, ,, , < < ;
25 942 10 10 10 26 0021 414 2 1 415, ,, , < < ;
25 953 10 10 10 25 9601 4142 2 1 4143, ,, , < < ;_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
10 10 25 92 1 4142= =, ... , ...
ar, r R : r < 0 a > 0; r > 0 a 0; r = 0 a 0.
1. am an = am + n. : 37 32 = 37 2 = 35 = 243.
2. am : an = am n. : 53 : 55 = 53 + 5 = 52 = 25.
3. (am)n = amn. : ((2)3)2 = (2)6 = 64.
4. (ab)n = anbn. : (2 3)4 = 24 34 = 16 81 = 1296.
5. ab
ab
n n
n
= . :
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2
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16
81
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22 32
5
5
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,
1. a > b > 0 r > 0, ar > br. : 0,16 < 0,26, 510 < 610.
2. a > b > 0 r < 0, ar < br. : 0,16 > 0,2-6, 510 > 610.
3. p > r a > 1, ap > ar. : 105 > 106.4. p > r 0 < a < 1, ap < ar. : 0,15 < 0,16.
16. n- (n 2, n N )
n- (n N, n 2) a b, n-
a. a bn = , a 0 bn = a, b 0.
-
o 16 el`h)mhi op`jhjrl
52
: 8 23 = , 1024 44 = , 164 . . a :
a < 0, a an n2 1 2 1 = .
: = = 8 8 23 3 .
1. a ann
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: 3 344( ) = , ( ) = 2 23 3
2. a aa a
a ann 22 , ,
, .= =
0.
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16
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16
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b a b a
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nn
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, , .
: 2 3 2 3 484 44 4= = ;, = = 2 2 2 2 324 44 4 ,
b a b an nn2 1 2 12 1 = .
-
el`h)mhi op`jhjrl 2 15
53
: = = 3 2 3 2 543 33 3( ) .
-
b a b ab a b
b a b ann n
n
n
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, ,
, , .
: 32 16 2 2 24 4 2= = ; 1 2 2 2 1 24
4 4( ) = ( ) .
b a b ann n2 12 1 2 1 =
: 24 8 3 2 3 16 8 2 2 23 3 3 3 3 3= = = =
,
1. a > b 0, a bn n> .
: 3 58 8< .
2. a b a bn n n+ + .
: 3 57 7 7+ >2 .
3. a > 1, an > 1 a an < .
0 < a < 1, 0 1< .
: 3 16 > , 3 36 < , 1
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1
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15 .
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) a < 0 n , an > 0;
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) a < 0 n , an < 0.
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2 15 el`h)mhi op`jhjrl
54
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5. 45 000 :
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) 45 103 ; ) 4 5 104, .
6. 2 5 10 2, :
) 0,025; ) 0,0025; ) 0,25; ) 0,00025.
7. 164
2 :
) 25; ) 24; ) 26; ) 26.
8. ( )ab a b 2 2 1 :
) b aa b
3 3
2 2
; )
a ba b
3 3
2 3
; )
a ba b
2 2
3 3; )
a ba b
2 2
3 3+.
9. 5
3
91 3 6
2
x y xy
.
) 15 5
5
xy
; ) 15 5
5
yx
; ) 155 5x y
; ) 15 5 5x y .
10. 26
13
17
8 25
xy
yx
:
) 2 8 9x y ; ) 2 8 9x y ; ) 2 8 9x y ; ) 2 8 9x y .
11. x y
zx y
z
2 3
2
3 2 2
3
2
6 9
.
) 8
3
2
5
xy
; ) 3
8
2
5
xy
; ) 3
8
5
2
yx
; ) 8
3
5
2
yx
.
12. 9 3 10 8 4 103 3, , :
) 9 10 2 ; ) 0 9 10 3, ; ) 9 10 3 ; ) 0 9 10 4, .
-
el`h)mhi op`jhjrl 2 16
55
16 .
1. x x x
x x
( )35 133
5
2
3
2
5
.
) x 7
15 ; ) x7
15 ; ) x1 7
15 ; ) x1
7
15 .
2. 7 2
2 14
3
4
3
4
1
4
4
:
) 7
2; )
1
7;
) 2
7; ) .
3. b b( ) 34
5
9 5
12 :
) 1; ) b; ) b2; ) b2.
4. 8 16 41
3
1
3 3
:) 1; ) 2; ) 4; ) 8.
5. 4 2 2 4 2 23 3+ :) 1; ) 2; ) 3; ) 4.
6. - 5 64 a , a < 0.
) a a54 ; ) a a5 24 ; ) a a54 ; ) a a5 24 .
7. m m34 .
) m; ) m3 ; ) m4 ; ) m12 .
8. 7 2 10 7 2 102
+ + ( ) :) 1; ) 10; ) 20; ) 30.
9. 4 7 23 8 74+ :
) 1; ) 2; ) 3; ) 4.
-
2 16 el`h)mhi op`jhjrl
56
10. ?
) 2; ) 234 ; ) 223 ; ) 2 23 .
11. ?
) 6 53 ; ) 5 44 3 ; ) 4 35 4 ; ) 2 35 6 .
12. m
m
2
3
1
3
2 25
1 5
+
,
,
m = 8 :
) 0; ) 1
2; ) 1; ) 2.
17 .
1. :) ;) ; ) ; ) .
2. ?
) N; ) Z; ) Q; ) R.
3. ?
) 4,(62); ) 3,(3); ) 2,75; ) 2,(63).
4. ?
) 1,371...; ) 2,065...; ) 2,056...; ) 1,(37).
5. a + b, a = 1,0539... b = 2,0610..., a b .) 3,113; ) 3,114; ) 3,115; ) 3,116.
6. a b, a = 59,678..., b = 43,123..., a b .) 16,55; ) 16,56; ) 16,57; ) 16,58.
7. ?)
;
) ;
) ;
-
el`h)mhi op`jhjrl o 17
57
) - .
8. a = 2,41... b = 2,4(1).) a > b; ) a < b; ) a = b; ) .
9. a = +1 3 b = 2,7. ) a = b; ) a > b; ) a < b; ) a b .
10.
9
13?
) 0,69; ) 0,694; ) 0,695; ) 0,7.
11. 4 7 4 72
+( ) :) ;
) ;
) .
12. ?
) 19 105 19 1054 4 + ;
) 10 7 100 70 493 3 3 3 3( ) + +( ); ) 5 2
2
( ) ; ) 43 4 43 43 3+ .
7.
17.
b a (a > 0, a 1) - , a, - b.
loga b = c,
a > 0, a 1, b > 0, ac = b.
: log5 25 = 2; log ;3
1
92= log .2 2
1
2=
loga b a > 0, a 1, b > 0.: lg x2 x 0.
-
o 17 el`h)mhi op`jhjrl
58
loglog
logac
c
bb
a= ,
b > 0, a > 0, a 1, c > 0, c 1.
: loglg
lg;a b
ba
= logln
lnab
ba
= .
1. loga 1 = 0, loga a = 1, a > 0, a 1.: log
4 1 = 0, log
22 1=
2. : loga (bc) = loga b + loga c, a > 0, a 1, b > 0, c > 0.: log
6 2 + log
6 3 = log
6 6 = 1;
log3 (9 2) = log
3 9 + log
3 2 = 2 + log
3 2.
3. : log log log ,a a abc
b c= a > 0, a 1, b > 0, c > 0.: log
3 12 log
3 4 = log
3 3 = 1;
log log log log3 3 3 33
53 5 1 5= = .
4. : log logap
ab p b= , b > 0, a > 0, a 1, p R.: log
5 510 = 10 log
5 5 = 10 1 = 10;
3log8 4 = log
8 43 = log
8 43 = log
8 64 = 2.
a ba blog =
: 5 35 3log ;= 3 53 5log ;= 21
52 5 =log ; 10lg b = b, eln b = b.
.
: x abc
= 2 , lg lg lg lg lg
lg lg lg
x abc
a b c
a b c
= = + =
= +
2 2
2 . () -
().
: ln x = ln 2 ln a + 3ln b, ln ln ln ,xa
b= +2 3
ln ln ,xba
=2 3
xba
=2 3
-
el`h)mhi op`jhjrl 2 18
59
logloga b
ba
=1 , a > 0, a 1, b > 0, b 1.
log loga ap
bp
b=1 , a > 0, a 1, b > 0, p 0.
a bc cb alog log= , a > 0, a 1, b > 0, b 1, c > 0, c 1.
: loglog
;255
51
25
1
2= = log log log ;25 5 55 5
1
25
1
22= = =
8 5 5 1252 25 8 3log log .= = =
18 .
1. 3?
) log , ;5 0 04 ) lg , ;0 01 ) log ;7 343 ) log .31
243
2. :
) log ;4 4 ) log ;13
27 ) log ;13
9 ) log .,0 5 4
3. :
) log ;2 2
128 ) log , ;,0 2 0 008
) log , ;50 2 ) log .,0 2 125
4. 32 183log :
) 1; ) 1
2; )
1
4; ) 0.
5. log5 2 = a log ,5 3 = b log5 30 :
) a + b; ) a b; ) 1 + a + b; ) 1 a b.
6. lg lg lg ,x = 1
29
1
38 x :
) 2
3; )
3
2; )
4
3; )
3
4.
7. log
log3
3
16
4 :
) 4; ) 1
4; ) 2; )
1
2.
-
2 18 el`h)mhi op`jhjrl
60
8. log log2 211 44 :
) log ;2 33 ) 2; ) 2; ) 1
2.
9. x 10, xa
=10 10
0 1,.
) lg lg ;x a= +7
4
1
4 ) lg lg ;x a= +
3
4
3
4
) lg lg ;x a= 5
4
1
4 ) lg lg .x a= +1
3
4
1
4
10. 2 5 33x x + log ( ) , :
) x ( ; );3 ) x + [ , ; );2 5
) x [ , ; );2 5 3 ) x ( , ; ].2 5 3
11. log log
log log ,5 5
5 5
12 2 2
18 0 5
+
:
) 0; ) 1
2; ) 1; ) 2.
12. x x x log ( )3 2 , :
) x + ( ; );2 ) x + ( ; );0
) x + [ ; );3 ) x ( ; ).2
8. , ,
18. .
xt
y
0
III
IVIII
0
2
P
Pt
PP
P32
: 0 22
2+ < < +
n t n;
:
2
2 2+ < < +n t n;
:
+ < < +23
22n t n;
V : 3
22 2 2
+ < < +n t n
n Z.
-
el`h)mhi op`jhjrl o 18
61
= 180
1 = 180
571745, 1
1800 01745 =
, .
0 30 45 60 90 120 135 150 180
06
4
3
2
2
3
34
56
, :
= t + 2n, n Z.
= (1)nt + n, n Z.
= t + n, n Z.
Pt (a; b) P t (a; b)P
t (a; b) P + t (a; b)
P b at
2
( ; ) P b a
t2
+( ; )
P b at
3
2
+( ; ) P b a
t3
2
( ; )
1 1
-
o 19 el`h)mhi op`jhjrl
62
19. , ,
t Pt - .
sin t. 2: sin (2 + t) = sin t.
t Pt - .
cos t. 2: cos (2 + t) = cos t.
- t - sin t cos t.
tg t.
tgsin
cost
tt
= .
x = 1. t - -.
: tg ( + t)= tg t.
- t - cos t sin t.
ctg t.
ctgcos
sint
tt
= .
y = 1. t -.
: ctg ( + t) = ctg t.
()
sin (t) = sin t; cos (t) = cos t;tg (t) = tg t; ctg (t) = ctg t.
, ,
-
el`h)mhi op`jhjrl o 20
63
, ,
t, 06
4
3
2
3
2
2
t, 0 30 45 60 90 180 270 360
sin t 01
22
2
3
21 0 1 0
cos t 13
2
2
2
1
20 1 0 1
tg t 01
31 3 0 0
ctg t 3 11
30 0
t
2
2
+ +
sin t cos cos sin sin
cos t sin sin cos cos
tg t ctg ctg tg tg
ctg t tg tg ctg ctg
t3
2
32
+ 2 2 +
sin t cos cos sin sin
cos t sin sin cos cos
tg t ctg ctg tg tg
ctg t tg tg ctg ctg
20.
sin2 + cos2 = 1, n R;
tgsin
cos
= , +2
n, n Z; ctg cossin
= , n, n Z;
tg ctg = 1,
n2
, n Z;
-
o 20 el`h)mhi op`jhjrl
64
1122
+ =tgcos
, +2
n, n Z;
1122
+ =ctgsin
, n, n Z.
sin ( ) = sin cos cos sin ;
cos ( ) = cos cos + sin sin ;
tg( )tg tg
tg tg
=
1 , , ,
+
2n, n Z;
ctg( )ctg ctg
ctg ctg
=
1 , , , n, n Z.
sincos
;21 2
2
=
cos
cos;2
1 2
2
=
+
(sin + cos )2 = 1 + 2sin 2.
sin 2 = 2sin cos ; cos 2 = cos2 sin2 ;
tgtg
tg2
2
1 2
=
, +4 2
n , +2
n, n Z;
ctgctg
ctg2
1
2
2
=
, n2
, n Z.
sin 3 = 3sin 4sin3 ; cos 3 = 4cos3 3cos ;
tgtg tg
tg3
3
1 3
3
=
2
,
+6
2 1( ), n Z;
n3
, n Z.
sincos
; 2
1
2=
cos
cos;
2
1
2=
+
tgsin
cos
cos
sin
2 1
1=
+=
, n, n Z;
ctgcos
sin
sin
cos
2
1
1=
+=
, n, n Z.
-
el`h)mhi op`jhjrl o 20
65
sin sin sin cos ;
=
22 2
cos cos cos cos ;
+ =+
22 2
cos cos sin sin ;
= +
22 2
tg tgsin
cos cos
=( )
; ctg ctgsin( )
sin sin.
=
a x b x a b xcos sin cos( )+ = + 2 2 ,
cos =+
a
a b2 2, sin =
+
b
a b2 2, a2 + b2 0.
sintg
=
22
221 + tg
, costg
tg
=
+
12
12
2
2
, + 2 n, n Z;
tgtg
tg
=
22
12
2
, +2
n, + 2 n, n Z;
ctgtg
,
=
12
22
2
tg n, n Z.
sin sin (cos( ) cos( )); = +1
2
cos cos (cos( ) cos( )); = +1
2
sin cos (sin( ) sin( )) = + +1
2.
-
2 19 el`h)mhi op`jhjrl
66
19 .
1. cos 103 cos 13 + sin 103 sin 13 :
) 2
2; ) 1; )
1
2; ) 0.
2. cos 34 cos 26 sin 34 sin 26 :
) 2
2; ) 1; )
1
2; ) 0.
3. sin 67 cos 23 + cos 67 sin 23 :
) 2
2; ) 1; )
1
2; ) 0.
4. sin 51 cos 21 cos 51 sin 21 :
) 2
2; ) 1; )
1
2; ) 0.
5. sin 18 cos 27 + cos 18 sin 27 :
) 2
2; ) 1; )
1
2; ) 0.
6. cos 32 cos 58 sin 32 sin 58 :
) 2
2; ) 1; )
1
2; ) 0.
7. sin ( + ) + sin ( ), :) 2 sin sin ; ) 2 sin cos ;
) 2 cos sin ; ) 2 cos cos .
8. cos ( ) cos ( + ), :) 2 sin sin ; ) 2 sin cos ;
) 2 cos sin ; ) 2 cos cos .
9. sin 75 :
) 6 2
4
+; )
2 6
4
; )
6 2;
4
)
+6 24
.
10. sin , =8
17 cos , =
4
5 ,
sin ( + ) :
) 84
85; )
36
85; )
77
85; )
13
85.
-
el`h)mhi op`jhjrl 2 20
67
11. sin , =4
5 cos , =
15
17
cos ( + ) :
) 84
85; )
36
85; )
77
85; )
13
85.
12. tg 15 :
) 2 3 ; ) 2 3+ ; ) 3 2 ; ) 2 3.
20 .
1. sin 10 + sin 50 :
) sin 25; ) cos 20; ) sin 35; ) cos 40.
2. cos cos 12 4
+ :
) 212
sin ;
) 312
sin ;
) 212
cos ;
) 312
cos .
3. cos 22 cos 38 :
) cos 8; ) cos 8; ) sin 8; ) sin 8.
4. sin 12 sin 78 :
) 3 15sin ; ) 2 33sin ;
) 2 33sin ; ) 3 15sin .
5. sin sin
cos
35 85
25
+
:
) 0; ) 2; ) 3; ) 1.
6. cos cos
sin
24 84
54
:
) 0; ) 2; ) 3; ) 1.
7. sin sin
cos cos,
+
5
5 :
) tg 2; ) tg 2; ) ctg 2; ) ctg 2.
-
2 20 el`h)mhi op`jhjrl
68
8. cos cos
sin sin,
2 6
6 2
+
:
) tg 2; ) tg 2; ) ctg 2; ) ctg 2.
9. sin 40 cos 40:
) 2 5sin ; ) 2 5cos ;
) 2 5sin ; ) 2 5cos .
10. sin 20 + sin 40 cos 10 :
) 3
2; )
2
2; ) 1; ) 0.
11. tg tg 12 3
+ :
) 0; ) 1; ) 2; ) 3.
12. sin sin sin
cos cos cos
4 9
4 9
+ + +
:
) sin 4; ) cos 4; ) tg 4; ) ctg 4.
7. , ,
21. , ,
a () t
2 2
; , a.
: arcsin a.
arcsin a = t t
2 2
; sin t = a.
arcsin (a) = arcsin a.
a () t [0; ], a. -: arccos a.arccos a = t t [0; ] cos t = a.arccos (a) = arccos a.
-
el`h)mhi op`jhjrl o 21
69
a () t (0; ), a. : arcctg a.arcctg a = t t (0; ) ctg t = a.arcctg (a) = arcctg a.
a () t
2 2
; , a.
: arctg a.
arctg a = t t
2 2
; tg t = a.
arctg (a) = = arcctg a.
arcsin arccos arctg arcctga aa
a
aa
a
= =
=
11
122
2
,
(0;1);
arccos arcsin arctg arcctga aa
aa
aa
= =
=
11
1
22
2,
(0;1);
arctg arcctg arcsin arccosaa a a
= =+
=+
1 1
1
1
12 2, a R;
arcctg arctg arcsin arccosaa a
a
a= =
+=
+
1 1
1 12 2, a R.
, ,
a 13
2
2
2
1
20
1
2
2
2
3
21
arcsin a2
3
4
6
0 6
4
3
2
arccos a 06
4
3
2
2
3
34
56
-
o 21 el`h)mhi op`jhjrl
70
a 3 11
30
1
3
1 3
arctg a3
4
6
0 6
4
3
arcctg a6
4
3
2
2
3
34
56
, ,
sin (arcsin a) = a; cos (arccos a) = a, a [1; 1];tg (arctg a) = a; ctg (arcctg a) = a, a R;
arcsin (sin t) = t, t
2 2
; ; arccos t (cos t) = t, t [0; ];
arctg t (tg t) = t; t
2 2
; ; arcctg t (ctg t) = t, t (0; );
arcsin arccosa a+ =2
, a [1; 1]; arctg arcctga a+ = 2
, a R.
21 .
1. arcsin
1
2:
) 3
; ) 6
; ) 2
; ) 4
.
2. : a = arccos ,0 55 , b = arccos ,0 7 , c = arccos , .0 1) a b c< < ; ) c a b< < ; ) b a c< < ; ) c a b< < .
3. arcctg
1
3:
) 3
; ) 6
; ) 5
6
; )
2
3
.
4. arcsin sin2
:
) 2
; ) 1; ) 4
; ) 2
2.
-
el`h)mhi op`jhjrl o 22
71
5. arccos sin6
:
) 3
; ) 2
; ) 4
; ) 6
.
6. arcsin arccos1 22
2
:
) ; ) ; ) 2
; ) 2
.
7. 2 0 5 31
2arccos , arcsin :
) 6
; ) 4
; ) 3
; ) 2
.
8. cos arcsin ( )( )1 :) 1; ) 0; ) 1; ) 2.
9. : a = arctg50 , b = ( )arctg 5 , c = arctg , .0 5) b c a< < ; ) a c b< < ; ) c a b< < ; ) c b a< < .
10. arctg 5 14
x ( ) = :) 0,1; ) 0,2; ) 0,3; ) 0,4.
11. tg arcsin3
5
:
) 3
5; )
4
5; )
4
3; )
3
4.
12. ctg arccos1
2
:
) 3
2; )
1
3; ) 3; )
2
3.
7.
22.
, , - , .
-
o 22 el`h)mhi op`jhjrl
72
, -, .
: 5x2 3xy; 2xy . , , -
, .
: 5
5
+
xx
-
x, x = 5, , x 5.
, , - .
: a b+ , ab
a3,
a
a a
2
3 + .
, , .
: 3a + 2b = 2b + 3a . -
, .: 2x 4 x + 2 x 2.
a + b = b + a;a + (b + c) = (a + b) + c;a + 0 = a;a + (a) = 0;a (b c) = ab ac;(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd;a + (b + c) = a + b + c;a + (b c) = a + b c;
a (b + c) = a b c;a (b c) = a b + c;a b = b a;a (bc) = (ab) c;a 1 = a;
aa
=1
1, a 0.
23.
, - , , .
: 3a2b, 3, a, a2, 32 . ,
, , .
: 2a2b, 0,5ab . -
.
-
el`h)mhi op`jhjrl o 24
73
: 2a2b, ab2, ab 2; 1; 1.
, .
, 3x2yz, 3x, 3 - 4; 1; 0.
0 .
, - , .
: 5xy 3xy2 = 15x2y3.
, .
: 13a2b (3ab3) = 39a3b4.
, - , .
: (2x2y)3 = 8x6y3.
a 10n, 1 a < 10, n Z. n .
: = 85 000 = 8,5 104, = 0,000035 = 3,5 105.
, , , .
: 9x2y3z : (3xyz) = 3xy2.
24.
.: 3x2 2x + 5 .
, - .
-
o 24 el`h)mhi op`jhjrl
74
, .
: 5ab + 3ac + abc . -
, .: 2x5y + 3xy2 6.
, - () .
: 2ab + 3b2 2a2 + a2 5ab + b2 = 4b2 3ab a2.
, + .
- : +, .
: (2x2 + 3x + 2) + (5x2 2x 1) = 2x2 + 3x + 2 + 5x2 2x 1 = 7x2 + x + 1.
, . - : - , , , , .
: (2x2 + 3x + 2) (5x2 2x 1) = 2x2 + 3x + 2 5x2 + + 2x + 1 = 3x2 + 5x + 3.
, - .
: 2x (3x2 + 2x 3) = 6x3 + 4x2 6x.
, - - .
: (3x 2)(2x 3) = 6x2 9x 4x + 6 = 6x2 13x + 6.
c ac
b aba
a (b + c) = ab + ac
c ac
b aba
a (b + c) = ab + ac
d ad bd
c ac bca b
(a + b) (c + d) == ac + ad + bc + bd
d ad bd
c ac bca b
(a + b) (c + d) == ac + ad + bc + bd
-
el`h)mhi op`jhjrl o 25
75
, - .
: (6x4 + 4x2 + 6x3 2x) : (2x) = 3x3 + 2x + 3x2 1.
25.
- .
+ = +( ) .: 5a + 5b = 5 (a + b); 5a2b + 10ab + 15a =
= 5a (ab + 2b +3).
1. 2 2 = +( ) ( ) . : 4x2 9y2 = (2x 3y) (2x + 3y).
2. 2 2 22 + = ( ) .: x2 4x + 4 = (x 2)2; x2 + 6x + 9 = (x + 3)2.
3. 3 3 2 2 = +( )( ). : x3 1 = (x 1) (x2 + x + 1); x3 + 8 = (x + 2) (x2 2x + 4).
4. 3 2 2 3 33 3 + = ( ) . : x3 + 3x2 + 3x + 1 = (x + 1)3; a3 3a2b + 3ab2 b3 == (a b)3.
5. 2 2 2 22 2+ + + + + = + +2 ( ) .: x2 + y2 + z2 + 2xy +2xz + 2yz = (x + y +z)2.
.
+ + + = + + + == + +
* * * **
( ) ( )
( ) ( )
ad + ac + bd + bc = a (d + c) + b (d + c) = (d + c) (a + b).: ab + ac b c = (ab + ac) (b + c) = a (b + c)
1 (b + c) = (b + c) (a 1).
1. ax2 + bx + c = a (x x1) (x x
2), x
1, x
2
ax2 + bx + c.: x2 5x + 6 = (x 2) (x 3).
c acb ab
a
c acb ab
a
d ad bdc ac bc
a b
d ad bdc ac bc
a b
-
o 25 el`h)mhi op`jhjrl
76
2. an 1 = (a 1) (an 1 + an 2 + ... + a + 1).: x4 1 = (x 1) (x3 + x2 + x + 1).
3. a2m + 1 + 1 = (a + 1) (a2m a2m 1 ... a + 1).: x5 + 1 = (x + 1) (x4 x3 x2 x + 1).
4. xn an = (x a) (xn 1 + axn 2 + a2xn 3 + ... + an 2x + + an 1).
a4 b4 = (a2 b2) (a2 + b2) = (a b) (a+ b) (a2 + b2).
a6 b6 = (a3 b3) (a3 + b3) = (a b) (a2 + ab + b2) (a + b) (a2 ab + b2).
a b a a b b a b a b ab
a ab b a ab
4 4 4 2 2 4 2 2 2 2 22
2 2 2
2 2 2
2 2
+ = + + = + ( ) == +( ) +
( )
++( )b2 .a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a2 + b2) (a4 a2b2 + b4).
4x2 + 4xy + y2 +4x + 2y + 1 = (4x2 + 4xy + y2) + 2 (2x + y) + 1 == (2x + y)2 + 2 (2x + y) + 1 = (2x + y + 1)2.
26.
1. (a + b) (a b) = a2 b2.: (2a 3) (2a + 3) = 4a2 9.
2. (a b)2 = a2 2ab + b2.: (a 3)2 = a2 6a + 9; (2a + 3b)2 = 4a2 + 12ab + 9b2.
3. (a b) (a2 + ab + b2) = a3 b3. : (3 + a) (9 3a + a2) = 27 + a3; (2a 3b) (4a2 + 6ab + + 9b2) = 8a3 27b3.
4. (a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3.: (a + 1)3 = a3 + 3a2 + 3a + 1; (a 2)3 = a3 6a2 + 12a 8.
5. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc. : (x2 + x + 1)2 = x4 + x2 + 1 + 2x3 + + 2x2 + 2x = x4 ++ 2x3 + 3x2 + 2x + 1.
22 .
1. a = 10, b = 10, 3a 3b :) 30; ) 60; ) 30; ) 60.
2. +a a21
4, a =
5
9.
) 0; ) 25
36; )
25
36; ) 1
-
el`h)mhi op`jhjrl 2 22
77
3. 5 a . 1 3 b . 1 . :
) 5 3a b+ ; ) 5 3a b ; ) 5 3b a+ ; ) 5 3b a
4. a b :
) a b a b+ ; ) a b a b+( ) ; ) a b a b+ ( ); ) a b a b+( ) ( ) .
5. 3:
) 3 + n n N, ; ) 3 n n N, ;
) 3n n N, ; ) 3
nn N, .
6. m V= :
) =Vm
; ) = mV; ) = m V; ) =mV
.
7. 9 7 3 +( )a :) 2 3 a; ) 2 3+ a; ) +2 3a; ) 2 3a.
8. ( )4 2 3a :) 8 12a ; ) 8 12a + ; ) +8 12a ; ) 8 12a .
9. + 9 3 5 11a b a b .
) 4 14a b ; ) +4 14a b; ) 4 14a b; ) 4 14a b+ .
10. 12 16a b .) 4 16a b( ); ) 4 3 4a b( ); ) 4 4a b( ); ) 4 3 4a b+( );
11. - ?
) 3 6 5 17 10( ) + x x ; ) 8 3 4 29 14y y+( ) + ; ) 7 27 3 6 12( ) + z ; ) 2 7 3 1 6 3 2 9 6, , , , .( ) + a a
12. , x = 1?
) xx
+
1
1; )
xx
+
1
1; )
xx 1
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-
2 23 el`h)mhi op`jhjrl
78
23 .
1. 2
3
3
42 3 3 2a b x a bx
:
) 1
22 3a b x; )
1
23 2a bx ; )
1
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1
26 3 2a b x .
2. 21
4
2
33 2
2
x y xy
:
) x y4 3; ) x y5 5; ) 3
24 3x y ; )
3
25 5x y .
3. 1000 15 21x y :
) ( ) ;10 12 18 3x y ) ( ) ;10 5 7 3x y
) ( ) ;10 5 7 3x y ) ( ) .10 12 18 3x y
4. 31
30 001
1
274 12m m
n
=, , n :
) 0; ) 3; ) 8; ) 10.
5. 4 5 9 3 82 2x x x x + +( ) :
) 7 3 92x x + ; ) x x2 13 9 ;
) x x2 13 9 + ; ) 7 3 92x x + .
6. ( )( )x x 1 3 :
) x x2 2 3 + ; ) x x2 2 3 ;
) x x2 4 3 ; ) x x2 4 3 + .
7. 5 5ax bx ay by+ + + :) ( )( );5a b x y+ + ) ( )( );5a x b y+ +
) ( )( );5a y x b+ + ) ( )( ).5a b x y
8. ( )( )2 3 2 3a b a b+ :
) 2 32 2a b ; ) 4 92 2a b+ ;
) 2 32 2a b+ ; ) 4 92 2a b .
9. 7x y :
) 49 72 2x xy y + ; ) 49 2 2x y ;
) 49 142 2x xy y + ; ) 7 142 2x xy y + .
-
el`h)mhi op`jhjrl o 27
79
10. a3 64+ :
) ( )( );a a a+ + +4 4 162 ) ( )( );a a a + +4 4 162
) ( )( );a a a+ +4 4 162 ) ( )( ).a a a+ +4 8 162
11. x x5 3 :
) x x3 21( ) ; ) x x3 1( );
) x x x3 1 1( )( ); + ) x x3 1( ).+
12. x y y2 2 12 36 :) ( )( );x y x y+ + 6 6 ) ( )( );x y x y+ + + +6 6
) ( )( );x y x y+ + +6 6 ) ( )( ).x y x y + +6 6
11.
27.
ax2 + bx + ( 0).
x1 x
2 ax2 + bx + + ,
:
x xba1 2
+ = , x x ca1 2
= .
x1 x
2 x2 + px + q, -
x1 + x
2 = p, x
1 x
2 = q.
p, q, x1, x
2 , x
1 + x
2 = p, x
1 x
2 = q, x
1 x
2
x2 + px + q. a, b, c, x
1 x
2 , x x
ba1 2
+ = , x x ca1 2
= , x1 x
2
ax2 + bx + .
ax2 + bx + x0,
ax bx c02
0 0+ + = .
ax2 + bx + :
xb D
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a1 22
2
4
2,=
=
, D = b2 4ac 0. D = b2 4ac .
-
o 27 el`h)mhi op`jhjrl
80
ax bx c a xba
xca
a xba
xba
ca
ba
2 2 22
2
2
22+ + = + +
= + +
+ 2 4 4
=
= + +
a x
ba
ac ba2
2 24
4.
x1 x
2 ax2 + bx + , -
: ax2 + bx + = a (x x
1) (x x
2).
,
x xca
D b ac
1 2
2
0
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= >
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,
.
,
x xca
D b ac
1 2
2
0
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,
.
,
x xca
x xba
D b ac
1 2
1 2
2
0
0
4 0
= >
+ = >
= >
,
,
.
,
x xca
x xba
D b ac
1 2
1 2
2
0
0
4 0
= >
+ =
,
.
,
D = 0 D > 0 D < 0
a > 0
a < 0
( )
24 .
1. ?
) 1; ) 2; ) 3 2 ; ) +7 2.
-
el`h)mhi op`jhjrl o 27
81
2. 2 3 :
) x x2 5 6 ; ) x x2 5 6 + ;
) x x2 5 6+ ; ) x x2 5 6+ + .
3. x x2 2 :) 1 2; ) 1 2; ) 1 2; ) 1 2.
4. ?
) 2 0 1252x x , ; ) 0 1 0 42, , ;x +
) +0 3 1 52, , ;x x ) x x2 1+ + .
5. ?
) 10 5 52x x+ ; ) + 2 12 182x x ;
) x x2 2 4 ; ) 12 122x .
6. ?
) 0 6 3 62, , ;x x ) x2 5 ;
) 2 172x x+ ; ) 0 5 92, .x +
7. 2 5 32x x + . ) ( )( );x x 1 2 3 ) ( )( );x x+ 1 2 3
) ( )( );x x +1 2 3 ) ( )( ).x x+ +1 2 3
8. 2 10 32x x + :
) 5 1,5; ) 5 1,5; ) 5 1,5; ) 5 1,5.
9. 3 2
3 13 102x
x x+
.
) 1
5x; ) x 5; ) 5 x; )
1
5x .
10.
+3 122x x . ) 9; ) 10; ) 12; ) 13.
11.
3 4 52x x + .
) 0; ) 1; ) 32
3; ) 1
2
3.
-
o 27 el`h)mhi op`jhjrl
82
12. 3 16 12
10 13 3
2
2
x xx x
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.
) ++
xx
5
6; )
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6
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6
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5.
12.
28.
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3
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33
xx
xx
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3
xx
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() - , - () :
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, 0.
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2 2
5 2
2
6 3
2
3 2
23
x yx y
x yx y
x y x yx y
x yx y
x yx y
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2
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xy x y
x yxy x
x y
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-
el`h)mhi op`jhjrl o 28
83
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b
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2
2 2 2 2
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ba a
aba
a ab
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1
3
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1
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3
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n n
n, 0.
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a ax xa ax x
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2 2
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5
27
125
3
2
3 9 3
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c xdc
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c x
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aba
dc
c xdc
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aba
dc
c xdc
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-
2 25 el`h)mhi op`jhjrl
84
25 .
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2. ( ) ( )a b
aba b
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1
3
1
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3 2
a aa
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4. a ba a
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2 2
2 23
2 6
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+( )
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7
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49
73
3
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xy
xy
xy
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2
2; )
22
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6. ( ) : ( ).a ab b a b2 2 2 26 9 9 +
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3
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3
3
a ba b
+
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+
3
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2 2 3 3
2 2
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+
: .
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b( )
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a c+; )
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a c.
-
el`h)mhi op`jhjrl o 29
85
9. ?
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mm
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11
1 1
2
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1
1
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x yx y
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a ba b
ba
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10. 1
1
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1
3
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xx+
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1 1
1 1x y
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12. 1
11
11
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1
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13.
29.
()
, ().
: 1
24 8
4
1 1
22 8
1
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xx
xx x x x+ = +
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xx x x x x x x x = + = .
- , .
: 2 2 4232
2 23 2 43xy xy x y( ) = =( ) .
-
o 29 el`h)mhi op`jhjrl
86
()
() - , - () () .
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a ba a b a a b
+ =+
+ 2 2
2 2,
a ba a b a a b
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2 2
2 2,
a > 0, b > 0, a2 b > 0.
, - , .
:
a a a a a a a4 23 143 146 73 2 3= = = = .
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a b
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c
a b
c a ba b+
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; n > k;
c
a b
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23 3 23
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+ +( )
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a b
c a ab ba b3 3
23 3 23
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+( )+
.
a b a b a b+( ) ( ) = ;a b a ab b a b3 3 23 3 23+( ) +( ) = + ;a b a ab b a b3 3 23 3 23( ) + +( ) = ;
a a b b a b a b a ab b+ = ( ) + ( ) = +( ) +( )3 3 ;a a b b a b a b a ab b = ( ) ( ) = ( ) + +( )3 3 .
-
el`h)mhi op`jhjrl o 29
87
a b x y x y+ = +( ) = +2 2 , a b x y xy+ = + +2 , x + y = a, xy = b, a b x y+ = +( )2 2 .
26 .
1. - a b44 , a 0.
) b a4 ; ) a b4 ; ) a b4 ; ) b a4 .
2. a 53 .
) 5 23 a ; ) 53 a ; ) 5 33 a ; ) 5 35 a ;
3. 32 3 24 4+
) 2 24 ; ) 3 24 ; ) 4 24 ; ) 5 24 .
4. ab b3 23+ .
) a a b3 3 3+( ); ) a a b3 3+( ); ) b a b3 3+( ); ) b a b3 3 3+( );
5. x y
x y
+4 4
.
) x y4 4 ; ) x y4 4+ ; ) x y ; ) x y+ .
6. - a b4 64 , a > 0, b < 0.
) ab ab4 ; ) ab ab4 ; ) ab b24 ; ) ab b24 .
7. a b a b
a ab
2 4 4 2
2
3 3
3
+
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) a b23 ; ) ab23 ; ) ab3 ; ) ab3 .
8. x
x
1
14.
) x + 1; ) x 1; ) x4 + 1; ) x4 1.
-
o 29 el`h)mhi op`jhjrl
88
9. 2 5 22 2a ab b + , a = 3 44 ,
b = +3 44 .) 6; ) 9; ) 12; ) 15.
10. a a
a
356
.
) 0; ) 1; ) a; ) a .
11. 2 2 2x xy y + , x = +25 14 ,
y = 25 14 .) 1; ) 1; ) 2 6 5+ ; ) 2 6 5 .
12. a b
ab b
24 34.
) a b+ ; ) a b ; ) 0; ) 1.
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14.
30.
, , , -.
, .
: 3x 1 = 5 2, 3 2 1 = 5.
-, .
, . .
: 1) x + 1 = 3 x 1 = 1, x = 2; 2) x 1 = x x2 = 1.
-
el`h)mhi op`jhjrl o 30
89
1. - a : = + a = + a; = a = a.
: x + 1 = 2 x = 2 1; x 1 = 3 x = 3 + 1.2. - a 0 .
= a = a; = a a
= .
: x2
2= x = 4; 2x = 4 x = 2.
3. : + = = ; + = = ;
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, : .
{.
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2 2
0
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,
.
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.
0
0
: (x2 1)2 + (x 1)2 = 0 x
x
2 1 0
1 0
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,
;
x
x
= =
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1
,
; x = 1.
, -: .
[.
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0
0
,
.
: (x 1)(x 2) = 0 x
x
= =
1 0
2 0
,
;
x
x
==
1
2
,
; x = 1, x = 2.
()
, .
: x
xx
=
1 (; 1) (1; +).
-
o 31 el`h)mhi op`jhjrl
90
31.
, , .
: ( )x x2 4 1 0 + = x
x
x
2 4 0
1 0
1 0
=+ =
+
,
,
;
x
x
x
x
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2
2
1
1
,
,
,
x {1; 2}.
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x x t
t t
2
2
3
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+ =+ =
,
;
x x t
t t
2 3
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+ = + =
( )( ) ;
x x t
t
t
2 3
10
12
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,
,
;
x x
x x
2
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3 10
3 12
+ =+ =
,
;
x x
x x
2
2
3 10 0
3 12 0
+ =+ + =
,
;
( )( ) ,
;
x x
x
+ =
5 2 0
x
x
==
2
5
,
; x {2; 5}.
: sin5 x cos20 x = 1 sin5 x = cos20 x + 1.
sin5 x 1; 1 + cos20 x 1, sin ,
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5
20
1
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x
x
==
sin
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x
x
==
1
0
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22 ,
: 3 4 5x x x+ = 3
5
4
51
+
=
x x
.
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( ) = +
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3
5
4
51
2 2
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, x = 2 .
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: 3(x + 8)2 4(x + 8) (x2 + 2x + 2) + (x2 + 2x + 2)2 = 0.
-
el`h)mhi op`jhjrl o 31
91
x + 8 = a, x2 + 2x + 2 = b, 3a2 4ab + b2 = 0,
ab b
1 2
2
3,=
a = b a
b=
3.
x x x
x x x
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8 2 2
3 24 2 2
2
2
,
;
x x
x x
2
2
6 0
22 0
+ = =
,
,
x
x
x
= =
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2
1 89
2
,
,
;
x
3 21 89
2; ; .
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.
: 1
31
= +
x
x
: x = 0.
:
:x(x + 3) = 2x;x + 3 = 2;x = 1; x {1}. x = 0.
:x2 + 3x 2x = 0;x2 + x = 0;x(x + 1) = 0;x = 0 x + 1 = 0, x = 1. x {0; 1}.
.
:
x xx
xx
2 1
1
4 3
1
+
=
;
x2 + x 1 = 4x 3;x2 3x + 2 = 0;x = 1 x = 2;x {1; 2}. x = 1 .
:
x xx
xx
2 1
1
4 3
1
+
=
;
x x x
x
2 1 4 3
1 0
+ =
,
;
x x
x x
2 3 2 0
1
+ =
,
; {2}.
-
o 32 el`h)mhi op`jhjrl
92
32.
, :
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5 + 1 > 4. -
, .
0
0
0
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,
;
,
.
0
0
0
0
0
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,
.
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3. - a < 0 :
> a < a; > a a
< .
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3> x > 6; 5x > 10 x >2.
-
el`h)mhi op`jhjrl o 33
93
( > , , , .)
(; ), R < x < +
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()
(a; b) a a
[a; +) x a
()
, .
, x x+ >2
[2; +), x + 2 , x + 2 0.
33.
f(x) > 0, f(x) < 0,
f xx a x a x a
x a x a x am
m m n
( )( )( ) ... ( )
( )( ) ... ( ),=
+ +
1 2
1 2
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2, a
3, ..., an
, :
-
o 33 el`h)mhi op`jhjrl
94
1) a1, a
2, ..., an ( , -
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2) f(x) ;3) .
: x x xx x( )( )
( )( ),
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2 1
2 10
x (; 2) [1; 0] (1; 2].: x (; 2) [1; 0] (1; 2].
f(x) > g(x), y = f(x), y = g(x) - , y = f(x) - y = g(x).
: log3. x 4 x, x (0; 3].
: x (0; 3].
f(x) > 0, f(x) < 0, :1) y = f(x);2) (f(x) = 0); 3)
, - ;
4) ( , - ).
: ( )( ) .x x x+ < 2 5 8
( )( ) .x x x+ +
-
el`h)mhi op`jhjrl o 34
95
(x + 2) (x 5) = 64 16x + x2; x2 3x 10 = 64 16x + x2;
13x = 74; x = 59
13;
3) - . :
y( ) ( )( ) , = + =
x
( ; ] ; .2 5 59
13
: x
( ; ] ; .2 5 59
13
34.
1. , a2 + 2 > 2a - a.
- :
a2 + 2 2a = a 2 2a + 1 + 1 = (a2 2a + 1) + 1 = = (a 1)2 +1.
- a , (a 1)2 , (a 1)2 + 1 .
, a2 + 2 > 2a.2. , a b :
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2.
a bab
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2
20
2 2
2
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.
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1
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3
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++
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-
o 34 el`h)mhi op`jhjrl
96
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2n n n n+>
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1
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2n n n n n n nn
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11
2
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2n n n++
++ + >... .
, (a + b) (b + c) (c + a) 8abc - - a, b, c.
, a b
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2
, b c
bc+
2
,
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+
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, , :
( )( )( ) ;a b b c c a a b c+ + + 8 2 2 2 (a + b) (b + c) (c + a) 8abc., a > 0, b > 0, c > 0, (a + b) (b + c) (c + a) 8abc. , a = b = c.
( )
, ex 1 + x x [0; + ).
f(x) = ex 1 x, f(x) = ex 1 > 0 x > 0. , f(x) x [0; + ). f(0) = 0. , f(x) > 0 x > 0.
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-
el`h)mhi op`jhjrl o 35
97
35.
, , : f(x; y) = 0.
f(x; y) = 0 (x
0; y
0), .
, (0; 1), (1; 0), (1; 0), (0; 1) - x2 + y2 = 1.
x y - (x
0; y
0),
(x0; y
0) .
x2 + y2 = R2 (0; 0)
R
(x a)2 + (y b)2 = R2 (a; b) R
ax + by + + c = 0
x = ay2 + + by + c
cba
ba
2
4 2; ;
a > 0, , a < 0,
|x| + |y| = 1 (0; 0),
OX OY
-
o 35 el`h)mhi op`jhjrl
98
|x| |y| = 1
x2 + y2 R2 x2 + y2 R2
y ax + b
y ax + b
y ax2+ bx + c
y ax2 + bx + c
x ay2 + by + c
x ay2 + by + c
(x a)2 + (y b)2 R2 (x a)2 + (y b)2 R2
|x| + |y| 1 |x| + |y| 1
-
el`h)mhi op`jhjrl 2 27
99
f(x; y) > 0; f(x; y) < 0; f(x; y) 0; f(x; y) 0 - .
f(x; y) > 0, f(x; y) < 0, f(x; y) 0, f(x; y) 0 , - .
x y - (x
0; y
0),
(x0; y
0) .
27 .
1. 1?
) 2 1 = 0; ) 3 ( + 3) = 2 + 7;
) (3 )(3 + ) = 1; ) 4 + 8 = 16 ( + 2).
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3. ?
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39
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4. ?
) 12 1 = 35; ) + 4 = 47;
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5. - ?
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) 2 + 2 = 1; ) 2 + 2 = 0;
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-
2 27 el`h)mhi op`jhjrl
100
9. -?
) 3 = 7; ) 2 2 = 5;
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10. , ?) 0 + 2 = 8; ) 3 + 0 = 15;
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el`h)mhi op`jhjrl 2 28
101
5. - ?
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31
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2 29 el`h)mhi op`jhjrl
102
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4. , - 10:)
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) |x 1| < 2; ) |x 1| > 2.
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1 3
-
el`h)mhi op`jhjrl 2 30
103
30 .
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31 20
-
2 30 el`h)mhi op`jhjrl
104
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5
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21
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11. (2 + 17)( 6) ( + 2) < 0.) (2; 6); ) (; 2); ) (6; +); ) (; +).
12. 2 + 6 7 0 2 2 15 0.) (; 3]; ) (; 1]; ) [3; 1]; ) [1; +).
15.
36.
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el`h)mhi op`jhjrl o 36
105
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o 36 el`h)mhi op`jhjrl
106
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2 4
2 6
y
x
==
,
;
x
y
==
3
2
,
.
1) ;
2) , - ;
3) ;4) , -
.:
x y
x y
+ = =
1
2 2
,
;
x y
y y
= =
1
1 2
,
( ) ;2
x y
y y
= =
1
2 2 2
,
;
x y
y
= =
1
3 0
,
;
x
y
= =
1 0
0
,;
x
y
==
1
0
,.
37.
x y
xy
+ ==
5
6
,.
-
el`h)mhi op`jhjrl o 37
107
x y a2 5a + 6 = 0. a = 2, a = 3. , (2; 3),
(3; 2).: (2; 3), (3; 2).
x y
x y
2 2 25
7
+ =+ =
,
.
x + y = u; xy = v; (x + y)2 = u2, x2 + 2xy + y2 = u2, x2 + y2 = u2 2v.
x y u
xy v
u v
u
+ == =
=
,
,
,
;
2 2 25
7
x y u
xy v
v
u
+ == =
=
,
,
,
;
49 2 25
7
x y u
xy v
v
u
+ ==
==
,
,
,
;
12
7
x y
xy
+ ==
7
12
,
.
(3; 4), (4; 3).: (3; 4), (4; 3).
x xy y
x y
2 25 4 0
3
+ =+ =
,
.
x xy y
x y
2 25 4 0
3
+ =+ =
,
;
( )( ) ,
;
x y x y
x y
=+ =
4 0
3
x y
x y
x y
x y
=+ =
=+ =
0
3
4 0
3
,
,
;
;
2 3
2 3
2 3 3
5 3
x
y
x y
y
==
==
,
;
,
;
x
y
x
y
==
==
1 5
1 5
2 4
0 6
, ,
, ;
, ,
, .
: (1,5; 1,5), (2,4; 0,6).
x y
x xy y
3 3
2 2
7
3 1
+ =+ + =
,
.
x + y = u; xy = v; x2 + y2 = u2 2v; x3 + y3 = (x + y)3 3x2 y 3xy2 = u3 3vu.
x y u
xy v
u uv
u v
+ == =+ =
,
,
,
;
3
2
3 7
1
x y u
xy v
u u u
v u
+ ==+ + =
=
,
,
;
3 3
2
3 3 7
1
-
o 37 el`h)mhi op`jhjrl
108
x y u
xy v
u u
v u
+ ==+ =
=
,
,
,
;
4 3 7 0
1
3
2
x y u
xy v
u u u
v u
+ ==
+ + ==
,
,
( )( ) ,
;
1 4 4 7 0
1
2
2
x y u
xy v
u
v
+ ==
==
,
,
,
;
1
2
x y
xy
+ ==
1
2
,
.
(2; 1), (1; 2).: (2; 1), (1; 2).
7
7
4
6
5
3
5
7
3
6
13
6
x y
x y
+=
+
+=
,
.
1
7
1
6
7 45
3
5 313
6
xu
yv
u v
u v
=
+=
=
+ =
,
,
,
;
21 12 5
30 18 13
u v
u v
=+ =
,
;
63 36 15
60 36 26
u v
u v
=+ =
,
;
123 41
21 12 5
u
u v
= =
,
;
u
v
=
=
1
37 12 5
,
;
u
v
=
=
1
31
6
,
;
1
7
1
3
1
6
1
6
x
y
=
+=
,
;
x
y
=
+ =
7 3
6 6
,
;
x
y
=+ =
7 9
6 36
,
;
x
y
==
16
30
,
.
: (16; 30).
:
xy
xz
yz
===
12
15
20
,
,
.
(xyz)2 = 3600, xyz = 60 xyz = 60.
xyz = 60, zxyzxy
= = =60
125.
xxyzyz
yxyzxz
= = = = = =60
203
60
154, .
xyz = 60, xxyzyz
= =
= 60
203,
-
el`h)mhi op`jhjrl o 38
109
yxyzxz
zxyzxy
= =
= = =
= 60
154
60
125, .
: (3; 4; 5), (3; 4; 5).
38. .
, : .
: x
x
>
2
3
,
; x (3; +).
, - : .
: x
x
>
2
3
,
; x [2; +).
, :1) ;2) .
: 5 6 1
2 1 3
x
x
+ +
,
;
5 5
2 2
x
x
,
;
x
x
1
1
,;
x = .
, :1) ;2) .
: 5 6 1
2 1 3
x
x
+ +
,
;
5 5
2 2
x
x
,
;
x
x
1
1
,;
x (; 1] [1; +).
:
a < x < b a x < b a < x b a x b
:
x a
x b
>
, -
:
) (1; 2); ) (1; 4); ) (1; 4); ) (1; 2).
9. x x
x x
2
2
4 5 0
2 8 0
+ > f(x0) f(x) < f(x
0)
D E
y = x
-
el`h)mhi op`jhjrl o 39
113
,
E(f), a, f(x) = a .
,
, y = f(x), x, ( , , ).
y = anxn + an 1x
n 1 + ... + a0, R
yf xg x
=( )
( ) f(x) g(x)
g(x) 0
y f xn= ( )2 n N f(x) 0
yf x
=1
(
f(x) 0
y = logaf(x), a > 0, a 1 f(x) > 0
y = logf(x
) g(x)
f x
f x
g x
( )
( )
( )
>>
0
1
0
,
y = tgf(x) f x n n Z( ) , + 2
y = ctg xf(x) f(x) n, n Z
y = arcsin f(x) 1 f(x) 1
y = arccos f(x) 1 f(x) 1
y = x, N x R
y = x, x 0
y = x, > 0, x 0
y = x, < 0, x > 0
, ().
, - f(x) > 0 (f(x) < 0).
y > 0, x [a; x1) (x
2; x
3);
y < 0, x (x1; x
2) (x
3; b].
-
o 39 el`h)mhi op`jhjrl
114
y u: y = f(u), u x, , u = g(x), y - x: y = f(g(x)).
40. .
f(x) = f(x), x D(f).
OY
f(x) = f(x), x D(f).
O (0; 0)
(, )
, - x
1 x
2 (a; b)
x1 < x
2 y
1 < y
2
f(x1) < f(x
2).
y = f(x) - (a; b) , f(x
1) < f(x
2) x
1 < x
2.
, - x
1 x
2 (a; b)
x1 < x
2 y
1 > y
2
f(x1) > f(x
2).
y = f(x) (a; b) , - f(x
1) > f(x
2) x
1 < x
2.
:f(x T) = f(x + T) = f(x), x D(f), T > 0. T , -
T - .
- [0; T]. y = f(x) T, y = f(kx + b)
Tk
.
g f, y f g
-
el`h)mhi op`jhjrl o 40
115
x f, , y = f(x). , y = f(x), x = g(y).
f g -.
- y = x.
D(f) = [a; b]
E(f) = [c; d]
x1, x
2, x
3, x
4
OY; y = a
: y > 0, x (x
1; x
2)
y < 0, (x2; x
3)
:y , x [a; x
1],
y , x [x1; b]
( ):x
1 , x
2
, y1 , y
2
:max f(x) = f(b) = d[ab]
min f(x) = f(x1) = c
[ab]
-
o 41 el`h)mhi op`jhjrl
116
41.
y = f(x+ a)
y = f(x) - (a; 0)
y = f(x) + a
y = f(x) (0; a)
y = f(x)
y = f(x) - OX
y = f(x)
y = f(x) - OY
y = f(kx), k > 0
k > 1, - y = f(x) O (0; 0) - k
0 < k < 1, y = f(x) O (0; 0)
1
k
-
el`h)mhi op`jhjrl o 41
117
y = kf(x), k > 0
k > 1, y