1

Тема 6. Временные ряды

Цель и задачи

Цель контента темы 6 — Познакомить с временными рядами, метода-ми их анализа.

Задачи контента темы 6:

• Дать обзор динамических моделей, используемых в эконометри-ке;

• Показать специфику статистического анализа временных рядов; Выделить основные компоненты временных рядов;

• Дать представление о методах оценки неслучайных компонент, методах сглаживания;

• Дать понятие об авторегрессиионных моделях, методах оценки их параметров;

• Обсудить проблему автокорреляции и методы ее устранения.

Оглавление. § 6.1. Временные ряды. § 6.2. Критерии случайности. § 6.3. Оценка тренда и периодической составляющей (аналитическое выравнивание). § 6.4. Сглаживание (скользящие средние). § 6.5. Экспонециальное сглаживание. § 6.6. Авторегрессия и автокорреляция. § 6.7. Подбор модели временного ряда. Прогнозирование.

§ 6.1. Временные ряды При анализе многих экономических показателей используются

ежедневные, еженедельные, ежемесячные, ежекваральные и т.п. данные — например, это могут быть ежедневные данные о котировке акций, месячные данные о продаже продукции, годовые данные о ВНП и т.д.

Методы исследования моделей, основанных на данных про-странственных выборок и временных рядов (см. § 1.2), вообще говоря, существенно различаются. Под временным рядом (динамическим ря-дом) подразумевается последовательность значений (наблюдений) некоторого признака (случайной величины) в последовательные мо-менты времени (то есть последовательность наблюдений, упорядо-ченных в порядке возрастания моментов времени). Отдельные на-

2

блюдения ty , 1,2, ,t n= K (где n — число наблюдений) называются уровнями ряда, индекс t указывает на момент времени, в который по-лучено наблюдение.

Итак, в отличие от ранее рассматриваемых пространственных данных, значения ty рассматриваются как реализация некоторого случайного процесса (случайным процессом в общем случае называ-ется функция, значения которой при каждом значении t являются слу-чайными величинами). Уровни временного ряда, как правило, не яв-ляются статистически независимыми и одинаково распределенными случайными величинами, то есть для них не выполнены основные предположения классической модели регрессионного анализа. На рис. 6.1 приведен пример временного ряда, отражающего спрос на не-который товар.

При практическом анализе временных рядов на основании эмпи-рических данных (наблюдаемого отрезка временного ряда конечной длины) необходимо сделать выводы о свойствах этого ряда, механиз-ме случайного процесса, порождающего рассматриваемый ряд. При этом обычно ставятся следующие цели:

1. Описание основных характеристик, особенностей временного ряда;

2. Подбор статистической модели, описывающей временной ряд; 3. Прогнозирование будущих значений на основе имеющихся на-

блюдений, относящихся к прошлому. При изучении зависимостей, развивающихся во времени, в каче-

стве объясняющих переменных рассматриваются не только значения времени t , текущие значения объясняющих переменных, но и их пре-дыдущие значения. Переменные, влияние которых характеризуется

86

88

90

92

94

96

98

100

102

104

1959 1963 1967 1971 1975 1979 1983 1987 1991

Рис. 6.1

3

некоторым запаздыванием во времени, называются лаговыми пере-менными. Причин использования подобных переменных достаточно много, среди них можно выделить следующие:

1. Инерционность экономических показателей — привычка лю-дей к определенному образу жизни, потреблению, а также внутренняя инерционность механизмов формирования экономических показате-лей;

2. Институциональные причины — например контракты, трудо-вые договоры подразумевают определенное постоянство механизмов формирования цен, заработной платы и т.п.;

3. Технологические причины — замена оборудования, внедре-ние новых технологий, безусловно, требует определенного времени.

Среди динамических моделей можно выделить 1. Модели с лагами (распределенными лагами) — модели, со-

держащие в качестве лаговых переменных только независимые (объ-ясняющие) переменные, например 0 1 1t t t k t k ty x x xα β β β ε− −= + + + + +K .

2. Авторегрессионные модели — модели, в которых в качестве лаговых переменных участвуют значения зависимых переменных, на-пример 1t t t ty x yα β γ ε−= + + + .

В практике анализа эконометрических показателей, образующих временные ряды, обычно предполагают, что значения уровней вре-менных рядов ty складываются из следующих компонент:

1. Тренд tu , представляющий собой плавно меняющуюся компо-ненту, отражающую влияние долговременных, систематических фак-торов, основную тенденцию в формировании рассматриваемого пока-зателя. Для моделирования тренда используют плавно меняющиеся, гладкие функции;

2. Сезонная компонента ts , отражающая повторяемость эконо-мических процессов в течение не слишком длительного периода (на-пример, года, месяца, недели). Причины сезонных колебаний могут быть связаны с природно-климатическими условиями, могут носить социальный характер (например, увеличение закупок в предпразднич-ные дни, увеличение платежей в конце квартала и т.д.) Для описания сезонной компоненты используют периодические функции;

3. Циклическая компонента tν , отражающая повторяемость эко-номических процессов в течении длительных периодов (например волны экономической активности, демографические, инвестиционные циклы);

4. Случайная компонента tε , отражающая влияние случайных, а также неучтенных факторов.

4

Первые три компоненты (тренд, сезонная компонента и цикличе-ская компонента) являются неслучайными или закономерными. Ти-пичной задачей при исследовании временного ряда является выявле-ние и оценка неслучайных компонент, а также изучение статистиче-ских свойств случайной компоненты. При выборе модели детермини-рованной составляющей прежде всего учитываются содержательные составляющие, экономические закономерности, обуславливающие ее формирование.

Если временной ряд представляется в виде суммы соответст-вующих компонент, то полученная модель называется аддитивной моделью временного ряда: t t t t ty u s v ε= + + + , (6.1.1)

Если же временной ряд представляется в виде произведения компонент, то получаем мультипликативную модель временного ря-да: t t t t ty u s v ε× × ×= . (6.1.2)

В общем случае возможны и смешанные модели, содержащие как аддитивную, так и мультипликативную составляющие. Следует отметить, что выбор вида модели и выделение указанных компонент во многом условны и определяются целями исследования: так, если амплитуда сезонных колебаний приблизительно постоянна, то обычно рассматривается аддитивная модель, если же амплитуда меняется, то более адекватна мультипликативная модель.

Важную роль при описании временных рядов и их случайных со-ставляющих имеют так называемые стационарные временные ряды. Можно сказать, что стационарным (в узком смысле) является вре-менной ряд, вероятностные свойства которого (закон распределения

ty и его числовые характеристики) не зависят от момента времени t . В эконометрике рассматриваются также стационарные ряды в широ-ком смысле — ряды, числовые характеристики которых (первые и вторые моменты) не зависят от времени. Для стационарного времен-ного ряда математическое ожидание и среднее квадратическое откло-нение оцениваются, соответственно, следующим образом:

2

21 1( )

,

n n

t t tt t

t

y y yy S

n n= =

−= =

∑ ∑.

Стационарный временной ряд, у которого математическое ожи-дание равно нулю, а возмущения tε некоррелированы называется «белым шумом» (таким образом, в классической линейной регресси-онной модели возмущения образуют белый шум, а в случае их нор-мального распределения — нормальный (гауссовский) белый шум).

В качестве основных этапов исследования временных рядов можно выделить следующие:

1. Графическое представление временного ряда;

5

2. Выявление и оценка закономерных (неслучайных) составляю-щих, удаление их из рассматриваемого ряда;

3. Сглаживание и удаление низко- и высокочастотных состав-ляющих (так называемая фильтрация);

4. Исследование случайной составляющей, проверка адекватно-сти построенной модели;

5. Прогнозирование на основе построенной модели.

§ 6.2. Критерии случайности Как было отмечено выше, основной задачей является выделе-

ние неслучайных компонент временного ряда. Важным является во-прос о наличии или отсутствии тренда (тенденции) в изучаемом ряде наблюдений (такой вопрос возникает, например, при изучении дина-мики курса акций). Подобные вопросы сводятся, в частности, к про-верке независимости и стационарности распределения (одинаковой распределенности) наблюдений, образующих ряд.

Гипотезу о независимости и стационарности в дальнейшем бу-дем называть гипотезой случайности значений ряда наблюдений, в частности, гипотезой об отсутствии регулярных составляющих (трен-да, периодических составляющих) в ряде наблюдений.

Для проверки гипотезы случайности рассмотрим несколько кри-териев (отметим, что эти критерии носят, во многом, эмпирический ха-рактер). Заметим также, что критерий Дарбина-Уотсона, с помощью которого можно проверить наличие автокорреляции в остатках (см. § 3.3), по существу также проверяет случайность наблюдений, пони-маемую как независимость (или слабую коррелированность) соседних возмущений. 6.2.1. Критерий серий, основанный на медиане выборки

Гипотеза случайности согласно этому критерию проверяется следующим образом:

1) Элементы исходного ряда располагаются в порядке возраста-ния, т.е. из исходного ряда 1 2, , , ny y yK образуется ранжированный (ва-риационный) ряд.

2) Определяется медиана ранжированного ряда:

( 1)

( ) ( 1)

, если 2 1,med

, если 2 .2

m

m m

y n m

y yn m

+

+

= += +

=

3) Сравнивая значения исходного ряда , 1,iy i n= с медианой, со-ставляется последовательность 1 2, , , nd d dK по правилу

6

, если med,

0, если med,, если med.

i

i i

i

yd y

y

+ >= =− <

В дальнейшем рассматриваются только плюсы и минусы, нули не участвуют в анализе.

4) Подсчитывается число серий ( )nν в последовательности , 1, ,id i n= K . Под серией понимается последовательность подряд иду-

щих плюсов или минусов. Один отдельно стоящий плюс или минус то-же считается серией.

5) Определяется max ( )nτ — протяженность самой длинной серии. 6) При условии случайности ряда 1 2, , , ny y yK (т.е. в отсутствии

тенденции) протяженность самой длинной серии не должна быть слишком большой, а общее число серий — слишком маленьким. По-этому, если нарушается хотя бы одно из следующих неравенств, ги-потеза о случайности отвергается приблизительно для 5%-ного уров-ня значимости:

( )

[ ]max

1( ) 1 1,96 1 ,2( ) 3,3lg( 1) .

n n n

n n

ν

τ

> + − − < +

Здесь с помощью квадратных скобок [ ]⋅ обозначена целая часть числа. Если оба неравенства выполнены, то гипотеза случайности принимается.

6.2.2. Критерий «восходящих и нисходящих» серий

Согласно этому критерию гипотеза случайности проверяется следующим образом

1) Для исходного ряда 1 2, , , ny y yK образуется последователь-ность 1 2 1, , , nd d d −K по следующему правилу:

1

1

1

, если 0,0, если 0,

, если 0.

i i

i i i

i i

y yd y y

y y

+

+

+

+ − >= − =− − <

В дальнейшем рассматриваются только плюсы и минусы, нули не участвуют в анализе.

2) Подсчитывается ( )nν — число серий в последовательности , 1, , 1id i n= −K . Под серией понимается последовательность подряд

идущих плюсов или минусов. Один отдельно стоящий плюс или минус тоже считается серией.

3) Определяется max ( )nτ — протяженность самой длинной серии. 4) В условиях случайности временного ряда число серий не

должно быть слишком маленьким, а протяженность самой длинной

7

серии — слишком большой. Если нарушается хотя бы одно из сле-дующих двух неравенств, то гипотеза случайности отвергается для приблизительно 5%-ного уровня значимости:

max 0

16 291( ) (2 1) 1,96 ,3 90

( ) ( ),

nn n

n n

ν

τ τ

−> − −

<

где

0

5, 26,( ) 6, 26 153,

7, 153 1170.

nn n

nτ

≤= < ≤ < ≤

Если оба неравенства выполнены, то гипотеза случайности при-нимается.

§ 6.3. Оценка тренда и периодической составляющей (аналитическое выравнивание)

Оценка тренда и периодической составляющей временного ряда с помощью метода аналитического выравнивания состоит из сле-дующих этапов. Вначале необходимо выбрать тип тренда tu , это мож-но сделать на основе графика временного ряда или с помощью со-держательных соображений, связанных с характером динамики изу-чаемого показателя.

На практике в качестве модели тренда часто используются сле-дующие функции:

1. Линейная — ( )u t a bt= + ; 2. Полиномиальная — 2

1 2( ) kku t a b t b t b t= + + + +K ;

3. Экспоненциальная — ( ) ea btu t c += ;

4. Логистическая — ( )1 e ct

au tb −=

+.

5. Кривая Гомперца ln ( ) tu t a br= − , где 0 1r< < На рис. 6.2 приведен пример временного ряда и двух линий

тренда — линейного (сплошная линия) и полиномиального (второго порядка, пунктирная линия).

8

Для оценки параметров тренда ( )u t обычно используется метод наименьших квадратов: значения временного ряда ty рассматривают-ся как зависимая переменная, а время t — как объясняющая. Таким образом, с помощью МНК оцениваются параметры модели ( )t ty u t ε= + , где возмущения tε предполагаются удовлетворяющими всем основ-ным предположениям регрессионного анализа (см. — § 1.5). Не смот-ря на то, что для временных рядов эти предпосылки (независимость, одинаковая распределенность и нормальность возмущений) обычно выполнены не полностью — для временных рядов характерна зави-симость соседних наблюдений, использование МНК в случае, когда выбрана достаточно адекватная модель и нет больших выбросов в наблюдениях, представляется разумным, так как эти нарушения ска-зываются не на значениях оценок параметров, а на их статистических свойствах (оценки дисперсий смещены).

Предположим, что для случая, изображенного на рис. 6.2 рас-сматривается аддитивная модель временного ряда, содержащая тренд и сезонную компоненту: t t t ty u s ε= + + .

В качестве модели тренда в нашем примере рассмотрим линей-ный тренд. По двумерной выборке 1 2(1, ),(2, ), ,( , )ny y n yK строится выбо-рочная парная регрессия показателя y на t : tu a bt= + , (6.3.1) которая и будет далее рассматриваться как оценка линейного тренда.

30

40

50

60

70

80

90

100

110

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4Квартал

Объ

ем реали

заци

и

Рис. 6.2

9

Для оценки сезонной (периодической) компоненты необходимо устранить тренд из временного ряда. Для этого от исходного времен-ного ряда следует перейти к разностям , 1, ,t ty u t n− = K . График этих разностей приведен на рис. 6.3.

Если известен период сезонной компоненты, то нетрудно найти для нее оценку. Пусть в имеющихся n наблюдениях содержится це-

лое число периодов nmT

= , здесь T — длина периода. Для нашего

примера длина периода равна 4T = , а число периодов — 6m = . Тогда оценка сезонной составляющей находится по формуле:

1

0

1 ( ), 1,2, ,m

t t j T t j Tj

S y u t Tm

−

+ ⋅ + ⋅=

= − =∑ K , (6.3.2)

то есть для каждого сезона находится среднее значение всех относя-щихся к нему разностей.

На практике иногда требуют, чтобы оценки сезонных компонент удовлетворяли условию

1

0T

tt

S=

=∑ ,

выполнение которого, при необходимости, достигают дополнительной нормировкой значений оценок сезонной компоненты.

Эмпирическая модель рассматриваемого временного ряда пред-ставляет собой сумму оценки тренда и сезонной компоненты:

Остатки e=y(t)-u(t)

-15,0000

-10,0000-5,0000

0,0000

5,000010,0000

15,0000

0 5 10 15 20 25

t

Рис. 6.3

10

1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 4 4

5 5 1

6 6 2

,,,,,,

y u sy u sy u sy u sy u sy u s

= += +

= +

= +

= +

= +

))))))

KKKKK

(6.3.3)

где значения тренда tu вычисляются по формуле (6.3.1), а сезонной

компоненты ts — по формуле (6.3.2). На рис. 6.4 приведен исходный временной ряд (сплошная линия)

и его модель (пунктирная линия), значения которой вычислены по формуле (6.3.3).

Оценка сезонности в мультипликативной модели производится аналогично, в этом случае оценки сезонной компоненты находят по формуле

1

0

1 100% , 1,2, ,tr

mt j T

tj t j T

yS t T

m

−+ ⋅

= + ⋅

= ⋅ =

∑ K . (6.3.4)

§ 6.4. Сглаживание (скользящие средние) Еще одним распространенным приемом выявления неслучайных

компонент, тенденции изменения является сглаживание временного ряда. Суть различных приемов сглаживания сводится к замене факти-

40

50

60

70

80

90

100

0 5 10 15 20 25t

Объ

ем реали

зации

Рис. 6.4

11

ческих уровней временного ряда расчетными уровнями, которые представляют собой усредненные значения и подвержены колебани-ям в меньшей степени. Это способствует более четкому проявлению тенденции развития. Использование методов сглаживания особенно удобно для одновременного оценивания тренда и циклической компо-ненты, а также для рядов с сезонными колебаниями и неясным трен-дом, так как эти методы не предполагают никаких аналитических пред-положений о виде функции тренда.

Сглаживание с помощью скользящих средних основано на пере-ходе от исходных значений ряда к средним значениям на некотором (заранее выбранном) интервале и позволяет сгладить как случайные, так и периодические колебания, выявить имеющуюся тенденцию раз-вития. При этом выбранный интервал, на котором осуществляется ус-реднение, как бы «скользит» вдоль исходного ряда.

Алгоритм сглаживания с помощью простой скользящей средней определяется длиной интервала сглаживания g . Если 2 1g p= + — не-четное число, то простая скользящая средняя определяется по фор-муле

1 1

2 1 2 1

t p

ii t p t p t t t t p

t

yy y y y y

yp p

+

= − − − + ++ + + + + += =

+ +

∑ K K) . (6.4.1)

В частном случае для 3 ( 1)g p= = :

1 1 , 2, , 13

t t tt

y y yy t n− ++ += = −) K ,

для 5 ( 2)g p= = :

2 1 1 2 , 3, , 25

t t t t tt

y y y y yy t n− − + ++ + + += = −) K .

Заметим, что при таком сглаживании теряется по p значений в начале и в конце ряда — всего 2 p значений.

Полученный таким образом ряд скользящих средних ведет себя более гладко за счет усреднения отклонений. Нетрудно убедиться в том, что если случайные возмущения взаимно независимы и разброс значений временного ряда ty вокруг среднего значения характеризу-ется дисперсией 2σ , то разброс среднего значения для g членов вре-менного ряда около того же самого среднего значения будет описы-ваться существенно меньшей дисперсией, равной 2 gσ . Таким обра-зом, сглаженный ряд дает более четкое представление об общей тен-денции поведения ряда.

Если длина интервала сглаживания равна или кратна периоду колебаний, то процедура сглаживания с помощью простой скользящей средней приводит к полному устранению периодических колебаний во временном ряду. В общем случае использование простой скользящей

12

средней позволяет сгладить случайные колебания. На рис. 6.5 приве-ден пример сглаживания с периодами 3g = и 5g = . Чем больше ин-тервал сглаживания — тем более гладко ведет себя ряд, но, в то же время, теряется больше значений в начале и конце ряда.

Для устранения сезонных колебаний (связанных, например, со временем года) часто бывает необходимо использовать простую скользящую среднюю с четной длиной интервала сглаживания 2g p= .

В этом случае используют формулу, обеспечивающую условие симметричности интервала относительно момента времени t :

1

1

1 1 1 1

1 12 2

21 12 2 .

2

t p

t p i t pi t p

t

t p t p t t t t p t p

y y yy

p

y y y y y y y

p

+ −

− += − +

− − + − + + − +

+ += =

+ + + + + + + +=

∑)

L L (6.4.2)

В частном случае для 4 ( 2)g p= = :

2 1 1 2

1 12 2 , 3, , 2

4t t t t t

t

y y y y yy t n

− − + ++ + + += = −) K ,

для 12 ( 6)g p= = :

Простая скользящая средняя (интервал сглаживания g)

35

45

55

65

75

85

95

105

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4Квартал

Объ

ем реали

заци

и

g=3 g=5

Рис. 6.5

13

6 5 4 1 1 4 5 6

1 12 2

127, , 6.

t t t t t t t t t

t

y y y y y y y y yy

t n

− − − − + + + ++ + + + + + + + + +=

= −

L L)

K

.

Пример сглаживания с четной длиной интервала, в случае, когда длина интервала сглаживания равна периоду и полностью устраняют-ся сезонные колебания, приведен на рис. 6.6.

В том случае, когда динамический ряд содержит существенно нелинейный тренд (подтверждением этому может служить, в частно-сти, графическое изображение ряда) сглаживание временного ряда часто проводится с помощью взвешенной скользящей средней. Осо-бенно удобно подобное сглаживание в том случае, когда .для анализа желательно сохранить небольшие «изгибы» ряда. Формулы такого сглаживания сильно зависят от длины интервала сглаживания g и степени многочлена, по которому проводится сглаживание.

14

Формулы взвешенного скользящего среднего в случае, когда сглаживание производится по многочлену второй степени, имеют сле-дующий вид:

для 5g = :

2 1 1 21 3 12 17 12 3 , 3, , 2,35

( )t t t t t ty y y y y y t n− − + += − + + + − = −) K

для 7g = :

3 2 1 1 2 31 2 3 6 7 6 3 2 , 4, , 3.21

( )t t t t t t t ty y y y y y y y t n− − − + + += − + + + + + − = −) K

Для сглаживания аномальных наблюдений часто используется алгоритм сглаживания с помощью скользящей медианы, дающий хо-рошие результаты. Алгоритм сглаживания с помощью скользящей ме-дианы состоит в следующем: в исходном временном ряду 1 2, , , ny y yK рассматриваются последовательные тройки элементов ряда. Внутри каждой рассматриваемой тройки значения сначала переставляются в порядке возрастания, а затем берется их медиана, т.е. значение, на-ходящееся в середине.

Для того чтобы записать алгоритм метода, определим функцию от трех аргументов, называемую медианой:

, если или ,

med( , , ) , если или ,, если или .

x y x z z x yx y z y x y z z y x

z x z y y z x

≤ ≤ ≤ ≤= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

Тогда алгоритм сглаживания с помощью скользящей медианы определяется следующим выражением:

Скользящая средняя (g=4, p=2)

20

40

60

80

100

120

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

Квартал

Объ

ем реали

зации

Объемреализации

Скользящаясредняя

Рис. 6.6

15

1 1med( , , ), 2,3, , 1t t t ty y y y t n− += = −) K . Еще раз отметим, что при сглаживании с помощью скользящих

средних выбор длины интервала сглаживания делается в первую оче-редь исходя из содержательных соображений: длина периода сглажи-вания обычно зависит от периода сезонности. Если временной ряд не содержит явно выраженных сезонных колебаний, то на практике вели-чину интервала сглаживания чаще всего выбирают равной трем, пяти или семи. Многие авторы указывают на тот факт, что использование скользящих средних оправдано в том случае, когда значения времен-ного ряда устойчивы, то есть являются реализациями случайного про-цесса вида t ty b ε= + , где b — константа, а случайные возмущения tε имеют нулевое мате-матическое ожидание и постоянную дисперсию. В этом случае реко-мендуется выбирать достаточно большие значения периода сглажи-вания. Если же ряд имеет устойчивую тенденцию к возрастанию или убыванию (например, как на рис. 6.5), то использование большого пе-риода сглаживания может привести к подавлению наблюдаемой тен-денции в изменении значений ряда, поэтому в подобных случаях обычно рекомендуется использование небольших периодов сглажи-вания.

Следует заметить, что соседние члены ряда скользящих средних сильно коррелированы, так как в их формировании участвуют одни члены исходного ряда. Эта коррелированность может привести к по-явлению в ряду скользящих средних новых циклических компонент, отсутствующих в исходном ряде.

На практике процедуры сглаживания иногда используются в ка-честве первого этапа выявления сезонной компоненты и удаления не-случайных компонент из временного ряда. В этом случае сначала проводится сглаживание ряда, затем по разностям исходного и сгла-женного рядов проводится оценка сезонной компоненты. После того, как сезонная компонента удалена из временного ряда, производится подбор и оценка тренда методом наименьших квадратов.

§ 6.5. Экспоненциальное сглаживание Один из недостатков метода скользящих средних состоит в том,

что все данные, используемые при вычислении среднего, имеют оди-наковый вес. Метод экспоненциального сглаживания позволяет уст-ранить этот недостаток — согласно этому методу самый большой ве-совой коэффициент приписывается самому последнему наблюдению.

Согласно методу экпоненциального сглаживания прогнозная оценка 1ty +

) для момента времени 1t + вычисляется по формуле: 1 (1 ) , 1,2, , 1t t ty y y t nα α+ = + − = −) ) K , (6.5.1) где α (0 1α< < ) — константа сглаживания.

16

Таким образом, оценка 1ty +) для момента времени 1t + вычисля-

ется рекуррентно на основании значений предыдущей оценки ty) и значения ty уровня ряда в момент t . Вычисления в соответствии с этой рекуррентной формулой обычно начинаются с 1t = , при этом в качестве 1y) для начала вычислений можно взять усредненное значе-ние нескольких первых значений ряда или любое другое разумное значение.

Выбор константы сглаживания α является решающим моментом при экспоненциальном сглаживании. Если перегруппировать слагае-мые в формуле (6.5.1), то получаем формулу 1 ( )t t t ty y y yα+ = + −) ) ) . (6.5.2)

Таким образом, оценка 1ty +) складывается из предыдущей оценки

ty) и некоторой доли ошибки предыдущего прогноза ( )t ty y− ) . Величина

этой ошибки, которая используется для корректировки прогноза, опре-деляется константой сглаживания α . Чем ближе значение α к 1, тем большая часть расхождения прогноза и реального значения считается закономерной и используется для корректировки. Чем ближе значение α к нулю, тем большая доля расхождения между прогнозом и реаль-ным значением считается случайной и, соответственно, меньшая часть используется для корректировки. Таким образом, можно сказать,

Экспоненциальное сглаживание

85

87

89

91

93

95

97

99

1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993

Год

Спрос

Спрос y 0,01 0,1 0,3 0,5

Рис. 6.7

17

что экспоненциальное сглаживание является примером адаптивной модели.

Рекуррентно подставляя в формулу (6.5.1) аналогичные выраже-ния оценок ty) , 1ty −

) , … для предыдущих моментов времени нетрудно увидеть, что 2 3 1

1 1 2 3 1(1 ) (1 ) (1 ) (1 )tt t t t ty y y y y yα α α α α α α α α −+ − − −= + − + − + − + + −) K ,(6.5.3)

таким образом, значение 1ty +) представляет собой взвешенную сумму

всех предыдущих значений показателя, причем коэффициенты уменьшаются по мере удаления значения показателя от текущего мо-мента времени. Так, например, если 0,1α = , то формула (6.5.3) имеет вид 1 1 2 30,1 0,09 0,081 0,0729t t t t ty y y y y+ − − −= + + + +) K.

Следует отметить, что не существует четких формальных крите-риев выбора значения α . На практике чаще всего используются зна-чения α , лежащие в пределах от 0,1 до 0,3. Можно сказать, что зна-чение константы сглаживания отражает субъективное мнение иссле-дователя относительно устойчивости изменения изучаемого показа-теля. На рис. 6.7 приведен пример экспоненциального сглаживания с различными значениями константы сглаживания.

Заметим, что в литературе часто встречается другой вариант формулы (6.5.1): 1(1 )t t tS y Sα α −= + − , где ty — значение уровня ряда в момент t , а через tS обозначен про-гноз на следующий момент времени 1t + .

§ 6.5. Авторегрессия и автокорреляция При анализе временных рядов достаточно широкое распростра-

нение получили регрессионные модели с лаговыми переменными, а также авторегрессионные модели (см. § 6.1). В общем случае авто-регрессионная модель p -го поряда (или модель ( )AR p ) имеет вид 0 1 1 2 2t t t p t p ty y y yβ β β β ε− − −= + + + + +K , (6.5.1) здесь 0 1 2, , , , pβ β β βK — константы. Таким образом, эта модель описы-вает изучаемый показатель в момент t в зависимости от его значений в предыдущие моменты 1 2, , ,t t t py y y− − −K . Кроме значений показателя в предыдущие моменты времени в качестве регрессоров могут быть и другие факторы, оказывающие влияние на изучаемый показатель, пример подобной смешанной модели приведен в § 6.1: 0 1t t t ty x yβ β γ ε−= + + + (6.5.2)

Авторегрессионная модель 1-го порядка (то есть модель (1)AR ), имеет вид: 0 1 1t t ty yβ β ε−= + + , (6.5.3)

18

эта модель представляет собой марковский случайный процесс, со-гласно которому значения процесса в момент t определяется его зна-чениями только в предыдущий момент 1t − .

Параметры авторегрессионных моделей обычно оцениваются с помощью МНК. Следует, однако, иметь в виду, что на практике воз-можна автокорреляция между случайными возмущениями, а также корреляция между объясняющей переменной 1ty − и случайным чле-ном tε . В этом случае оценки коэффициентов, полученные при непо-средственном применении МНК, являются смещенными и несостоя-тельными. Следует также заметить, что особенностью рассматривае-мых авторегрессионных моделей является то, что в них объясняющие переменные являются случайными величинами — таким образом, мы имеем случай регрессии со стохастическими регрессорами.

Одним из наиболее распространенных методов оценивания ав-торегрессионных уравнений, позволяющих сгладить второй недоста-ток, является метод инструментальных переменных. Идея этого мето-да состоит в том, чтобы переменную 1ty − из правой части (6.5.2), кор-релирующую с tε , заменить так называемой инструментальной пере-менной, близкой по своим свойствам к 1ty − , но не коррелирующей (или, по крайней мере, слабо коррелирующей) с возмущением tε .

Подбор инструментальной переменной часто является непро-стой задачей и во многом зависит от практической ситуации. В част-ности, в качестве инструментальной переменной можно предложить оценку 1ty − , которая получается в результате регрессии переменной y на независимые переменные jx , входящие в первоначальную авто-регрессионную модель. Такая замена, однако, может привести к появ-лению мультиколлинеарности.

Кроме авторегрессионных моделей при анализе временных ря-дов часто используются модели скользящей средней (эти модели не следует путать с методами, используемыми при сглаживании времен-ных рядов). Модель скользящей средней q -го порядка (или модель

( )MA q ) имеет вид: 1 1 2 2t t t t q t qy ε γ ε γ ε γ ε− − −= + + + +K , (6.5.4) таким образом, исследуемая величина представляет собой линейную функцию от возмущений в предыдущие моменты времени.

Часто используются комбинированные модели — авторегрес-сионая модель скользящей средней порядков p и q соответственно (или модель ( , )ARMA p q ) имеет вид 0 1 1 2 2 1 1 2 2t t t p t p t t t q t qy y y yβ β β β ε γ ε γ ε γ ε− − − − − −= + + + + + + + + +K K . (6.5.5)

На практике использование подобных моделей для краткосроч-ного прогнозирования часто дает хорошие результаты.

19

Степень тесноты связи между уровнями временного ряда, сдви-нутых относительно друг друга на τ единиц (с лагом τ ) можно оце-нить, вычисляв коэффициент корреляции между последовательнося-ми наблюдений 1 2, , , ny y y τ−K и — так называемый коэффициент авто-корреляции ( )ρ τ . Статической оценкой ( )ρ τ является выборочный ко-эффициент автокорреляции ( )r τ , определяемый по формуле

1 1 12 2

2 2

1 1 1 1

( )( )

( ) ( )

n n n

t t t tt t t

n n n n

t t t tt t t t

n y y y yr

n y y n y y

τ τ τ

τ τ

τ τ τ τ

τ τ

ττ

τ τ

− − −

+ += = =

− − − −

+ += = = =

− −=

− − − −

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑. (6.5.6)

График выборочной автокорреляционной функции ( )r τ называ-ется коррелограммой. Анализ корелограммы временного ряда и/или его остатков помогает правильно определить структуру и подобрать модель изучаемого ряда — проверить его стационарность, выявить наличие тренда и сезонных колебаний, определить является ли про-цесс авторегрессией или скользящим средним и так далее.

Наряду с выборочным коэффициентом автокорреляции часто используются выборочные частные коэффициенты корреляции ме-жду значениями временного ряда ty и ty τ+ , в которых устранено влия-ние промежуточных (располагающихся между ty и ty τ+ ) членов ряда. Методика вычисления частных коэффициентов корреляции подробно описана в § 2.4 — см. формулу (2.4.7).

Как уже отмечалось в § 3.3, для временных рядов, представ-ляющих упорядоченные во времени значения показателя, характерно наличие автокорреляции — взаимной зависимости последовательных возмущений. Отсутствие автокорреляции в остатках временного ряда, полученных после удаления неслучайных компонент (тренда, сезон-ной компоненты и т.д.), обычно свидетельствует об адекватности по-строенной модели, достоверности полученных оценок параметров.

Наличие автокорреляции первого порядка можно проверить с помощью критерия Дарбина—Уотсона. Этот критерий проверяет ста-тистическую значимость выборочного коэффициента автокорреляции первого порядка в ряду остатков (применение этого критерия подроб-но описано в § 3.3).

Напомним, что согласно этому критерию необходимо вычислить статистику Дарбина—Уотсона по формуле

21

2

2

1

( )n

i ii

n

ii

e ed

e

−=

=

−=

∑

∑.

Далее, используя таблицу критических значений критерия Дар-бина—Уотсона, можно сделать вывод о наличии или отсутствии зна-

20

чимой автокорреляции первого порядка. Для проверки гипотезы о не-зависимости возмущений (отсутствии автокорреляции) используется следующее правило:

1. Если ld d< , то гипотеза о независимости возмущений отверга-ется (имеет место положительная автокорреляция).

2. Если 4 ld d> − , то гипотеза о независимости возмущений от-вергается (имеет место отрицательная автокорреляции).

3. При 4u ud d d< < − , то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отвергается (автокорреляции нет).

4. Если l ud d d< < или 4 4u ld d d− < < − , то гипотеза об отсутствии автокорреляции не может быть ни принята, ни отклонена — нет дос-таточных оснований для принятия решения.

Значения ld и ud определяются по таблице критических значе-ний Дарбина-Уотсона для заданного числа наблюдений и выбранного уровня значимости.

Одной из причин автокорреляции в регрессионных моделях яв-ляется наличие неучтенных регрессоров, влияние которых проявляет-ся через случайное возмущение. На практике при анализе временных рядов подобными «скрытыми» регрессорами чаще всего являются ла-говые переменные. На значение показателя в момент t могут оказы-вать влияние, как и предыдущие значения объясняемой переменной, так и предыдущие значения случайных возмущений.

Поэтому наиболее распространенным приемом устранения авто-корреляции во временных рядах является подбор подходящей модели — авторегрессионной ( )AR p , модели скользящей средней ( )MA q или авторегрессионной модели скользящей средней ( , )ARMA p q для слу-чайных возмущений. При подборе модели большую помощь оказыва-ет анализ выборочной автокорреляционной и частной автокорреляци-онной функций. Так, если все значения выборочной частной авто-корреляционной функции порядка выше p незначимо отличаются от нуля, то временной ряд идентифицируют с помощью модели, порядок авторегрессии которой не выше p . Если же все значения выборочной автокорреляционной функции порядка выше q незначимо отличают-ся от нуля, то временной ряд следует идентфицировать с помощью модели скользящей средней, порядок корой не выше q . После того, как удается построить адекватную ARMA -модель для ряда остатков, то оценки этой модели можно получить с помощью обобщенного ме-тода наименьших квадратов (см. § 3.1).

При анализе автокорреляционных моделей есть еще одна осо-бенность. Как уже отмечалось, с помощью теста Дарбина-Уотсона практически невозможно определить наличие автокорреляции в авто-регрессионных моделях. Этот тест также неприменим для моделей со стохастическими регрессорами, то есть в тех случаях, когда имеется

21

корреляция между регрессорами и возмущениями регрессии. Показа-но, что в этих случаях значение статистики Дарбина-Уотсона, даже при наличии автокорреляции, будет близко к 2, то есть часто будет попадать в область принятия гипотезы об отсутствии автокорреляции.

Поэтому для обнаружения автокорреляции в авторегрессионных моделях используют другие методы, в частности h -тест Дарбина.

Рассмотрим применение этого теста на примере модели (6.5.2): 0 1t t t ty x yβ β γ ε−= + + + , (6.5.7)

Предположим, что в ряде случайных возмущений tε есть авто-регрессия первого порядка: 1t t tε ρε ζ−= + . (6.5.8)

Таким образом, с учетом зависимости (6.5.8) уравнение (6.5.7) имеет вид: 0 1 1t t t t ty x yβ β γ ρε ζ− −= + + + + .

Но 1ty − зависит от 1tε − (согласно (6.5.7)), поэтому в модели име-ется корреляция между одной из объясняющих переменных и случай-ным возмущением, то есть, не выполнена одна из предпосылок МНК.

Для обнаружения автокорреляции в такой модели вычислим h -статистику Дарбина по формуле:

12 1 ( )d nh

nD γ = − −

) , (6.5.9)

где d — значение статистики Дарбина-Уотсона для уравнения (6.5.7), γ) — оценка параметра γ уравнения (6.5.7) по обычному методу наи-меньших квадратов, ( )D γ) — выборочная дисперсия этой оценки, n — число наблюдений.

При справедливости гипотезы об отсутствии автокорреляции возмущений 0 : 0H ρ = при достаточно большом количестве наблюде-ний статистика h стремится к стандартизованному нормальному рас-пределению ( (0,1)h N: ).

Поэтому по заданному уровню значимости α по таблице стан-дартизованного нормального распределения определяется критиче-

ская точка 2uα из условия 21( )

2uα

α−Φ = . Тогда

1. Если 2h uα> , то нулевая гипотеза об отсутствии автокорреля-ции должна быть отклонена в пользу альтернативной гипотезы.

2. Если 2h uα≤ , то нулевая гипотеза об отсутствии автокорреля-ции не отклоняется.

Еще раз подчеркнем, что использование этого теста оправдано только при достаточно больших объемах выборки, так как распреде-ление статистики h при увеличении выборки лишь стремится к стан-дартизованному нормальному распределению. Кроме того, вычисле-

22

ние статистики h невозможно, если ( ) 1nD γ >) , однако, на практике та-кой случай практически не встречается.

§ 6.7. Подбор модели временного ряда. Прогнозирование Целью прикладного анализа временных рядов является по-

строение математической модели ряда, с помощью которой можно объяснить поведение ряда и прогнозировать его дальнейшее поведе-ние. Если временной ряд нестационарен, то сначала выделяют и уда-ляют нестационарную составляющую ряда. Методы удаления неслу-чайных компонент (тренда, сезонной и циклической компонент) под-робно рассмотрены выше. Процесс удаления этих компонент может проходить в несколько этапов, на каждом из которых рассматривается ряд остатков, полученных в результате вычитания из исходного ряда подобранной модели. После исключения неслучайных компонент временной ряд должен стать стационарным. Предположение о том, что после выделения неслучайных компонент ряд остатков является стационарным рядом очень существенно для анализа временного ря-да. На практике, однако, такая ситуация далеко не всегда имеет ме-сто. Подробное обсуждение нестационарных рядов выходит за рамки нашего обсуждения.

После того, как ряд приближен к стационарному обычно подби-рают модель полученного стационарного процесса. Цель этого этапа — описание и учет в дальнейшем анализе корреляционной структуры рассматриваемого процесса. Модель считается подобранной, если остаточная компонента ряда является случайным процессом типа бе-лого шума. После подбора модели обычно проводится оценка диспер-сии остатков и анализ остатков с целью проверки адекватности моде-ли. Дисперсия остатков в дальнейшем может быть использована для построения доверительных интервалов прогноза.

Для определения адекватности выбранной модели ряда необхо-димо исследовать остатки , 1, ,t t te y y t n= − =) K . Если остатки ведут себя случайным образом, т.е. гипотеза о взаимной независимости и одина-ковой распределенности остатков не отвергается, то модель времен-ного ряда может считаться адекватной. Для проверки гипотезы слу-чайности можно использовать критерии случайности, описанные вы-ше.

Кроме того, обычно проверяется наличие автокорреляции остат-ков. Как отмечалось ранее, автокорреляция остатков приводит к полу-чению смещенных и несостоятельных оценок. Автокорреляция может указывать либо на неверную спецификацию модели, либо на наличие важных неучтенных факторов. Но зачастую автокорреляция вызыва-ется наличием регрессионной зависимости между возмущениями, т. е. внутренними свойствами ряда. Существует несколько способов уст-ранения данной проблемы. В частности, для авторегрессионных мо-

23

делей предлагается авторегрессионное преобразование, преобразо-вание методом скользящих средних, модели ARMA .

В качестве показателей качества (адекватности) построено мо-дели ty) может использоваться среднее квадратическое отклонение остатков (иногда его называют среднеквадратической ошибкой)

2( )t t

ey yS

n−

=)

,

а также средняя ошибка аппроксимации:

1

1 100%n

t t

t t

y yAn y=

−= ⋅∑

).

Одной из целей статистического анализа временных рядов про-гнозирование будущих значений рассматриваемого показателя. Про-гнозирование будущих значений временного ряда, по сути, осуществ-ляется на основе выявленных закономерностей изменения самого ис-следуемого показателя во времени и экстраполяции его прошлого по-ведения на будущее, предполагая возможность распространения вы-явленных тенденций на будущий период.

Обычно различают долгосрочное и краткосрочное прогнозиро-вание. В первом случае анализируется долговременная динамика изучаемого показателя, и в этом случае главным представляется вы-деление общего направления его изменения — тренда. При этом считается возможным пренебречь краткосрочными колебаниями зна-чений исследуемого показателя относительно этого тренда. Тренд обычно строится методами регрессионного анализа. Рассматривая временной ряд как регрессионную модель с одной объясняющей пе-ременой «время» следует помнить о том, что основные предпосылки регрессионного анализа, касающиеся случайных возмущений, на практике во многих случаях бывают нарушены. В случае если есть ос-нования полагать, что возмущения удовлетворяют предпосылкам рег-рессионного анализа, можно построить не только точечный, но и ин-тервальный прогнозы значения зависимой переменной y . Стандарт-ные ошибки и доверительные интервалы прогнозов вычисляются в этом случае точно так же, как и в случае парной линейной регрессии (см. § 1.9).

Для построения краткосрочного прогноза кроме выделения дол-госрочного тренда необходим учет краткосрочных колебаний (напри-мер, сезонных), на практике часто пытаются определить дополни-тельные факторы, вызывающие отклонения значений исследуемой величины от тренда. Кроме этого, проводят более детальное иссле-дование связей текущих значений исследуемых показателей с их прошлыми значениями или с прошлыми значениями других факторов.

24

При оценке качества прогнозов на практике часто используются достаточно простые показатели, такие как относительная ошибка прогноза

100%t p t pt p

t p

y yy

+ ++

+

−∆ = ⋅

),

здесь p — период прогноза, t py + — истинное значение показателя в момент t p+ , t py +

) — значение, полученное по модели. При достаточно медленном изменении переменной y вместо абсолютных значений показателя часто используют отношение ее приростов:

100%t p t pt p

t p

δ δ

δ+ +

++

−′∆ = ⋅

),

где t p t p ty yδ + += −) ) ) — прогнозируемый прирост, а t p t p ty yδ + += − — реаль-

ный прирост. В любом случае следует иметь в виду, что прогнозирование

(особенно макроэкономическое) является одной из сложнейших задач эконометрического анализа — в любом случае подбор подходящей модели требует индивидуального подхода. Удачное использование какой-либо модели для прогноза на некоторый период не является га-рантией аналогичного результата для другого периода.

Выводы

• Динамические модели широко используются при анализе вре-менных рядов — данных, упорядоченных во времени;

• Специфика исходных данных, в частности невыполнение основ-ных предпосылок регрессионного анализа, требует специальных методов анализа;

• Моделирование неслучайных компонент (тренда и сезонной компоненты) может осуществляться как методом аналитического выравнивания, так и с помощью алгоритмов сглаживания;

• В ряде случаев авторегрессионные модели позволяют адекватно учесть зависимость членов временного ряда;

• Важным моментом, характеризующим качество подобранной модели, является отсутствие автокорреляции. Анализ выбороч-ной автокорреляционной функции важен для правильной иден-тификации модели. Вопросы для самопроверки

1. В чем суть временных рядов и чем они отличаются от про-странственных выборок?

25

2. Каковы основные причины лагов в динамических моделях? 3. Каковы основные компоненты временного ряда? Кратко оха-

рактеризуйте каждую компоненту. 4. Объясните различия между аддитивной и мультипликативной

моделями временного ряда. 5. Дайте определение стационарному временному ряду. Объяс-

ните, где используются стационарные ряды. 6. В чем суть критериев случайности? 7. Опишите алгоритм аналитического выравнивания для аддитив-

ной модели. 8. Какие функции часто используются для описания тренда? 9. Объясните, как с помощью модели, полученной в результате

процедуры аналитического выравнивания сделать прогноз бу-дущих значений.

10. В чем суть процедур сглаживания с помощью простой скользя-щей средней?

11. Какие существуют еще процедуры сглаживания, кроме простой скользящей средней?

12. Опишите процедуру экспоненциального сглаживания. 13. Объясните смысл константы сглаживания. 14. Почему при экспоненциальном сглаживании значения ряда

учитываются с разными весами? 15. В чем суть авторегрессионных моделей? 16. Что представляет собой модель ( )AR p ? 17. Что представляет собой модель ( )MA q ? 18. Объясните, как вычисляется выборочный коэффициент авто-

корреляции? 19. Как вычислить выборочный частный коэффициент корреляции? 20. В чем суть проблемы автокорреляции? 21. Каким образом можно проверить наличие автокорреляции? 22. Каким образом можно устранить автокорреляцию? 23. В чем особенность проверки автокорреляции в авторегресси-

онных моделях? 24. Опишите процедуру анализа временного ряда. 25. Каким образом можно оценить качество модели временного

ряда? 26. В таблице представлены данные, отражающие динамику роста

доходов на душу населения за восьмилетний период t 1 2 3 4 5 6 7 8

ty 1133 1222 1354 1389 1342 1377 1491 1684 a) Постройте диаграмму временного ряда; b) Проверьте гипотезу случайности по одному из критериев; c) Найдите уравнение линейного тренда и проверьте его зна-чимость;

26

d) Вычислите коэффициенты автокорреляции для лагов 1;2τ = ;

e) Проведите сглаживание с помощью простой скользящей средней с интервалом сглаживания 3;5g = ;

f) Проведите экспоненциальное сглаживание со значением константы 0,1;0,3α = . В качестве начального значения возьмите среднее арифметическое первых двух уровней ряда.

Библиография

[1] Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 650 с.

[2] Бородич С.А. Вводный курс эконометрики. Учеб. пособие. — Мн.: БГУ, 2000. — 354 с.

[3] Буре В.М.. Евсеев Е.А. Основы эконометрики: Учеб. Пособие. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2004.— 72 с.

[4] Валландер С.С. Заметки по эконометрике. — СПб.: Европ. ун-т, 2001. — 46 с.

[5] Доугерти К. Введение в эконометрику: учебник. 2-е изд. М.: ИН-ФРА-М, 2004.— 432 с.

[6] Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.— 311 с.

[7] Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. На-чальный курс. — М.: Дело, 2000. — 400 с.

[8] Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере / Под ред. В.Э.Фигурнова. — М.: ИНФРА-М, 2003. — 544 с.

[9] Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И.Елисеевой. — М.: Финан-сы и статистика, 2001. — 344 с.