三角形 abc の内部に点 pがある．直線 ap と辺 bc の交点を … ·...
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1 三角形ABCの内部に点 Pがある．直線APと辺 BCの交点を L，直線 BPと辺ACの交点をM，直線 CP
と辺ABの交点を Nとする．
¡!PA =
¡!a ;
¡!PB =
¡!b
とおく．また，k; lを
¡!CP = k
¡!a + l
¡!b
をみたす実数とする．次の問いに答えよ．
(1) Nは線分ABを 1¡ s : sに内分し，Pは線分CNを t : 1に内分しているとする．tと sを kと lを用いて
表せ．
(2) kと lは正の数であることを示せ．
(3) AM : MCを求めよ．
（奈良女子大学 2007）
- 1 -
2 座標空間内に 3点A(1; 0; 0)，B(0; 2; 0)，C(0; 0; 3)を
とる．次の問いに答えよ．
(1) 線分 BCを 2 : 1に内分する点Dの座標を求めよ．
(2) ベクトル¡!ADを成分で表せ．
(3) 原点Oから直線ADに垂線を引き，交点を Eとする．
点 Eの座標を求めよ．
（奈良女子大学 2007）
- 2 -
3 Oを原点とする座標空間において，2点 A，Bを結ぶ線分 ABの中点をMとし，3点 C，D，Eを頂点とす
る三角形 CDEの重心を Nとする．ただし，Mと Nは異なるとする．線分MNを 3 : 2に内分する点を G
とするとき，次の問いに答えよ．
(1)¡!OG =
¡!OA+
¡!OB+
¡!OC+
¡!OD+
¡!OE
5を示せ．
(2) すべての点 Pに対し，¡!PG =
¡!PA+
¡!PB+
¡!PC+
¡!PD+
¡!PE
5が成り立つことを示せ．
(3) rを正の実数とする．j¡!PA+
¡!PB +
¡!PC +
¡!PD+
¡!PEj = rをみたす点 Pの全体は，どのような図形をつく
るか．
（奈良女子大学 2008）
- 3 -
4 三角形 OABにおいて，辺 OAを 1 : 2に内分する点をM，辺 OBを 3 : 2に内分する点を Nとする．さら
に，線分 ANと線分 BMの交点を Xとするとき，以下の問いに答えよ．
(1)¡!OXを
¡!OAと
¡!OBを用いて表せ．
(2) 直線 OXと辺 ABの交点を Yとするとき，AY : YBを求めよ．
(3) 三角形 OABの面積を Sとし，(2)の Yに対して三角形MNYの面積を Tとする．S : Tを求めよ．
（奈良女子大学 2010）
- 4 -
5 円に内接する四角形ABCDにおいて AB = 1; BC = 2; CD = 3; DA= 4であるとする．ACと BDの交
点を Eとする．以下の問いに答えよ．
(1) BDの長さを求めよ．
(2) BE : EDを求めよ．
(3)¡!BC ¢
¡!BEを求めよ．
（奈良女子大学 2011）
- 5 -
6 三角形ABCにおいて，¡!BC =
¡!a ;¡!CA =
¡!b ;¡!AB =
¡!c とおく．
¡!a ;¡!b ;¡!c は，
¡!b ¢¡!c = ¡4;
¡!c ¢¡!a =
¡3;¡!a ¢¡!b = ¡5をみたしている．以下の問いに答えよ．
(1)¡!c を
¡!a と
¡!b を用いて表せ．
(2) 三角形 ABCの辺 BC，CAの長さを求めよ．
(3) 三角形 ABCの面積 Sを求めよ．
（奈良女子大学 2011）
- 6 -
7 半径 1の外接円をもつ三角形ABCの外心を Oとする．¡!OA =
¡!a，¡!OB =
¡!b ，¡!OC =
¡!c とおく．2
¡!a +
3¡!b + 3
¡!c =
¡!0 であるとき，次の問いに答えよ．
(1) 内積¡!a ¢¡!b を求めよ．
(2) 辺AB，ACの長さをそれぞれ求めよ．
(3) ÎBAC = µとおく．cosµの値を求めよ．
（奈良女子大学 2013）
- 7 -
8 1辺の長さが 1の正四面体OABCにおいて，辺OAを x : (1¡ x)に内分する点を P，辺OBの中点をM
とする．以下の問いに答えよ．
(1)¡!CMを
¡!OBと
¡!OCを用いて表せ．
(2) 直線 CM上に，¡!CQ = y
¡!CMとなる点Qをとる．
¡!PQと
¡!CMが垂直であるとき，yを xを用いて表せ．
(3) xが 0 < x < 1の範囲を動くとき，三角形 CMPの面積の最小値を求めよ．
（奈良女子大学 2014）
- 8 -
9 平面上に三角形ABCと点 Pがあり，点 Pは
4(¡!AP+
¡!CP) =
¡!CB
をみたしているとする．辺AB，ACの中点をそれぞれM，Nとする．¡!b =
¡!AB，
¡!c =
¡!ACとおく．次の
問いに答えよ．
(1)¡!APを
¡!b と
¡!c を用いて表せ．
(2)¡!MPと
¡!NPを
¡!b と
¡!c を用いて表せ．
(3) 線分の長さの比MP : NPを求めよ．
(4) 三角形 PAB，PBC，PCAの面積をそれぞれ S; T; Uとする．面積の比 S : Tと T : Uを求めよ．
（奈良女子大学 2015）
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10 三角形ABCにおいて，辺ABを 2 : 3に内分する点を P，辺ACを 1 : 2に内分する点を Qとする．正の
数mに対して，線分 PCをm : 1に内分する点を Rとする．¡!AB =
¡!b ，¡!AC =
¡!c とおく．次の問いに答
えよ．
(1)¡!APと
¡!AQを
¡!b と
¡!c を用いて表せ．
(2)¡!QRを
¡!b ;¡!c ; mを用いて表せ．
(3)¡!b = 3，
¡!c = 2，ÎBAC = 60±であり，
¡!QRと
¡!BCは垂直であるとき，mの値を求めよ．
（奈良女子大学 2016）
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11 四角形 ABCDにおいて¡!a =
¡!DA，
¡!b =
¡!AB，
¡!c =
¡!BC，
¡!d =
¡!CDとして，ベクトル
¡!p を
¡!p =
j¡!d j¡!a + j
¡!a j¡!b + j
¡!b j¡!c + j
¡!c j¡!d で定める．以下の問いに答えよ．
(1)¡!d を
¡!a ;¡!b ;¡!c で表せ．
(2) 辺ADと辺 BCは平行であるとする．¡!p =
¡!0 は，四角形ABCDが平行四辺形であるための必要十分条
件であることを示せ．
（奈良女子大学 2018）
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