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CAPITOLO 36

FENOMENI MAGNETICI FONDAMENTALI

1

1 LA FORZA MAGNETICA E LE LINEE DEL CAMPO MAGNETICO 1 In figura sono rappresentate qualitativamente alcune linee del campo magnetico generato dalla barra magnetizzata. Il campo magnetico non si ferma sulla superficie del materiale (come invece accade per il campo elettrico in un corpo conduttore), ma prosegue all’interno del magnete stesso, cioè le linee del campo magnetico si chiudono su loro stesse, formando delle curve chiuse.

N S

2 Impugna l’estremità della barra 1 e avvicinala al punto di mezzo della barra 2: se si attraggono, la barra 1 è magnetizzata. 2 FORZE TRA MAGNETI E CORRENTI 3 Verde ==> campo magnetico Blu ==> correnti Rosso ==> forza magnetica a.

Amaldi, Dalla mela di Newton al Bosone di Higgs CAPITOLO 36 • FENOMENI MAGNETICI FONDAMENTALI

2

B

Fi

b.

B

Fi

c.

B B

F

i

d.


3

B

F

i

e.

B B

F

i

3 FORZA TRA CORRENTI 4 Il valore della costante µ0 non è misurato sperimentalmente, ma è scelto per convenzione per definire operativamente l’unità di misura della corrente elettrica, l’ampere. 5★ Dalla formula di Ampère si ottiene

F = µ0

2πi1 i2

dl = 4π ×10−7 N/A2

2π3,8 A( ) 7,5A( )

0,022 m2,0 m( ) = 5,2 ×10−4 N

6★


4

• F = µ0

2πi1 i2

dl = 4π ×10−7 N/A2

2π2,7 A( ) 6,8A( )15 ×10−3 m

2,00 m( ) = 4,9 ×10−4 N

• F = µ0

2πi1 i2

dl = 4π ×10−7 N/A2

2π2,7 A( ) 6,8A( )15 ×10−3 m

1,00 m( ) = 2,4 ×10−4 N

• La forza è attrattiva. 7★

• l = Fm dkm i1 i2

=9,5 ×10−6 N( ) 3,2 ×10−1 m( )

2 ×10−7 N/A2( ) 1,7 A( ) 1,7 A( ) = 5,3 m

• Ff = 2Fi = 2 9,5 ×10−6 N( ) = 1,9 ×10−5 N 8★ F = km

i1 i2

dl ⇒

d = km

i1 i2

Fl = 2 ×10−7 N/A2( ) 3,21 A( ) 3,21 A( )

2,1×10−5 N0,68 m( ) = 6,7 ×10−2 m

9★★ Sui lati AB e CD agiscono forze uguali e opposte:

FAC(1) = µ0

2πi iq a

l

FAC(2) = µ0

2πi iq a

d − l

FBD(1) = − µ0

2πi iq a

l + a

FBD(2) = − µ0

2πi iq a

d − l − a

All’equilibrio la risultante delle forze deve essere nulla:

1l− 1

l + a+ 1

d − l− 1

d − l − a= 0

l −2d( ) + d d − a( ) = 0

a = d − 2l = 1,0 m − 2 2,5 ×10−1 m( ) = 50 cm 10★★ • La forza è nulla perché una delle correnti vale zero.

• Per la prima legge di Ohm si ha

i = � VR

Per la seconda legge di Ohm si ha


5

R = ρ lS

Da queste due si ricava

i = � VρlS

= S � Vρl

Il modulo della forza magnetica è

F = km

i1 i2

dl = km

S � Vρl

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

dl = km

S2 � V 2

ρ2ld=

= 2 ×10−7 N/A2( ) 3×10−6 m2( )220 V( )2

1, 7 ×10−8 Ω⋅m( )21,20 m( ) 43×10−2 m( )

=

= 2 ×10−7 N/A2( ) 9 ×10−12 m4( ) 400 V2( )2,89 ×10−16 Ω2 ⋅m2( ) 1,20 m( ) 43×10−2 m( ) = 4,8 N

11★★ La forza che agisce sul filo 1 è !F1 =!F 2( ) +

!F 3( )

essendo

F 2( ) = km

i1 i2

dl la forza generata da i2 su i1

F 3( ) = km

i1 i2

dl la forza generata da i3 su i1

Ne consegue che F 2( ) = F 3( ) . L’angolo compreso tra i due vettori

!F 2( ) e

!F 3( ) è di 60°.

Da considerazioni geometriche sui triangoli rettangoli con angoli di 30° e 60° segue che

F1 = F 2( ) 3

Essendo

F 2( ) = km

i1 i2

dl = 2 ×10−7 N/A2( ) 2 A( ) 2 A( )

0,35 m1 m( ) = 2,29 ×10−6 N

risulta

F1 = F 2( ) 3 = 4 ×10−6 N 12★★ Perché il cavetto venga respinto dall’asta occorre che le correnti abbiano versi opposti. Sul cavetto agiscono, oltre alla forza-peso, equilibrata dalla reazione vincolare del tavolo, la forza di attrito, tra cavetto e tavolo, e la forza magnetica, repulsiva, tra cavetto e asta. Per allontanare il cavetto, la forza magnetica deve almeno uguagliare la forza di attrito massima. Quindi avremo


6

Famax = Fm ⇒ µmg = µ0

2πi1 i2 l

d⇒ µ ρs2l( )g = µ0

2πi1 i2 l

d⇒

i2 =µρs2g2πd

µ0i1=

0,15( ) 2690 kg/m3( ) 2,0 ×10−3 m( )29,8 N/kg( ) 6,28( ) 2,0 ×10−2 m( )

4 × 3,14 ×10−7 N/A2( ) 33 A( ) = 48 A

13★★ Il verso della corrente nel secondo filo deve essere concorde a quella del primo filo, perché vogliamo che i due fili si attraggano per comprimere la molla, mentre il verso di spostamento degli elettroni di conduzione sarà opposto. All’equilibrio la forza elastica della molla uguaglia la forza magnetica di attrazione tra i due fili:

Fe = Fm ⇒ k � x = µ0

2πi1 i2

dl ⇒

i2 =k � x2πdµ0i1l

=16 N/m( ) 4,0 ×10−3 m( ) 6,28( ) 5 ×10−2 m( )

4 × 3,14 ×10−7 N/A2( ) 45 A( ) 6,5 m( ) = 55 A

14★★ La forza tra il filo 1 e il filo 2 è attrattiva, poiché i versi delle correnti sono concordi ed è diretta lungo il lato 1-2. Il valore di tale forza per unità di lunghezza è

F12

l= µ0 i1 i2

2πd=

4π ×10−7 N/A2( ) 10 A( ) 10 A( )2π 1,0 ×10−2 m( ) = 2,0 ×10−3 N/m

La forza tra il filo 1 e 4 ha lo stesso modulo di !F12 / l , ma è repulsiva, diretta lungo il lato1-4.

La risultante tra !F12 / l e

!F14 / l (ottenuta con il teorema di Pitagora) ha modulo pari a

R124

l= 2,0 ×10−3 N/m( )2

+ 2,0 ×10−3 N/m( )2= 2,8 ×10−3 N/m

e forma un angolo di 45° con il lato 1-2. !F13 / l è attrattiva e diretta lungo la diagonale 1-3 del quadrato (D = 1,4 cm), con modulo:

F13

l= µ0 i1 i2

2πD=

4π ×10−7 N/A2( ) 10 A( ) 10 A( )2π 1,4 ×10−2 m( ) = 1,4 ×10−3 N/m

!R124 / l e

!F13 / l sono quindi tra loro perpendicolari per cui si può applicare il teorema di Pitagora:

Rtot

l= 1,4 ×10−3 N/m( )2

+ 2,8 ×10−3 N/m( )2= 3,1×10−3 N/m

La direzione di !Rtot / l forma un angolo θ con la diagonale del quadrato:

tgθ = R124 / lF13 / l

= 2,8 ×10−3 N/m1,4 ×10−3 N/m

= 2,0 ⇒ θ = 63°

Quindi !Rtot / l forma un angolo di 63°− 45° = 18° con la direzione del lato 1-2.


7

4 L’INTENSITÀ DEL CAMPO MAGNETICO 15 Il dinamometro si può schematizzare come una molla di costante k:

Fmagnetica = k � x

quindi misurando �x si può risalire alla forza magnetica. 16★ F = Bil = 0,10 T( ) 0,70 m( ) 0,070 A( ) = 4,9 ×10−3 N 17★★ Sulla sbarra agiscono due forze:

• la forza peso, diretta verticalmente verso il basso,

!Fp = m

!g

• la forza magnetica, di modulo

Fm = Bil

che per essere diretta verso l’alto deve essere prodotta da una corrente i con verso da destra a sinistra. Perché la barra si sollevi, occorre che sia

Fm > Fp ⇒ Bil > mg ⇒

i > mgBl

=1,2 ×10−1 kg( ) 9,8�m/s2( )8 ×10−2 T( ) 2,3×10−1 m( ) = 60 A

18★★ F1 = Bi1l ⇒ Bl = F1

i1

F2 = Bi2l ⇒ Bl = F2

i2

quindi

F1

i1= F2

i2

⇒ i1 = i2

F1

F2

= 8,7 A( ) 7 ×10−3 N4,9 ×10−2 N

= 1 A

19★★ Prima del passaggio di corrente, l’asta è soggetta a una forza-peso (iniziale) di modulo

Fp i = mg = dlS( )g

essendo l la lunghezza dell’asta e S la sua sezione. Nel momento in cui circola una corrente i, il peso dell’asta diminuisce per la presenza del campo magnetico terrestre. In presenza del passaggio di corrente, l’asta è soggetta a una forza-peso (finale) di modulo

Fpf = m g − am( )

dove am rappresenta un’accelerazione verso l’alto dovuta alla forza magnetica:


8

am = Fm

m

Quindi

Fpf = m g − Fm

m⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⇒ Fm = Fp i − Fpf

Se il peso è diminuito dello 0,128%, significa che la forza magnetica ha una intensità pari a

Fm = 0,128100

Fp i

cioè pari al valore di tale diminuzione. Essendo poi Fm = Bil , risulta

0,128100

Fp i = Bil ⇒ 0,128100

dlS( )g = Bil ⇒

B = 1,28 ×10−3( ) dSgi

=

= 1,28 ×10−3( ) 2,690 ×103 kg/m3( ) 1,0 ×10−6 m2( ) 9,8 m/s2( )1,6 A

= 2,1×10−5 T

20★★ • Fp = mg = dSl( )g = 2690 kg/m3( ) 2,0 ×10−6 m2( ) 28 ×10−2 m( ) 9,8 N/kg( ) = 1,5 ×10−2 N

Fm = ilB = 3,0 A( ) 28 ×10−2 m( ) 3,2 ×10−3 T( ) = 2, 7 ×10−3 N

Fm

Fp

= 2,7 ×10−3 N1,5 ×10−2 N

×100 = 18%

• No, il risultato non cambierebbe poiché non dipende da l. 5 LA FORZA MAGNETICA SU UN FILO PERCORSO DA CORRENTE 21 La forza magnetica è massima quando il vettore campo magnetico è perpendicolare al filo e ha valore nullo per un filo parallelo alla direzione del campo magnetico. 22 b, a, d, c. 23★ F = Bil senα ⇒ senα = F

Bil⇒ α = arcsen

FBil

=

= arcsen1,28 ×10−1 N

4,00 ×10−1 T( ) 3,20 A( ) 2,00 ×10−1 m( ) = arcsen 5 ×10−1( ) = arcsen12= 30°

Anche un valore di 150° è accettabile.


9

24★ F = ilB = 50 ×10−3 A( ) 30 ×10−2 m( ) 1,2 T( ) = 1,8 ×10−2 N 25★ !F = i!l ×!B ⇒ F = Bil senα

• α = 90°

F = Bil sen 90° = Bil = 5,0 ×10−1 T( ) 50 A( ) 1,0 ×10−1 m( ) = 2,5 N

• α = 90°− 30° = 60°

F = Bil sen60° = Bil3

2= 5,0 ×10−1 T( ) 50 A( ) 1,0 ×10−1 m( ) 3

2= 2,1 N

• α = 90°− 30° = 60°

F = Bil sen60° = Bil3

2= 5,0 ×10−1 T( ) 50 A( ) 1,0 ×10−1 m( ) 3

2= 2,1 N

• α = 0°

F = Bil sen0° = 0 N 26★★ La forza-peso della barra è espressa da

Fp =VdAlg = SldAlg

mentre la corrente che circola nella barra è tale che

� V = ρAl

lS

i ⇒ i = S � VρAll

Quindi la forza magnetica che gisce sulla barra è

Fm = Bil senα = BS � VρAll

l senα = BS � VρAl

senα

Perché la barra si sollevi deve essere

Fm > Fp ⇒ BS � VρAl

senα > SldAlg ⇒ � V = SldAlρAlgBS senα

= ldAlρAlgBsenα

=

=7,50 ×10−1 m( ) 2690 kg/m3( ) 2,8 ×10−8 � ⋅m( ) 9,8 m/s2( )

4,80 ×10−5 T( ) 12

= 23 V

27★★ Ricordiamo che !F = i!l ×!B

La forza !F giace nel piano individuato dai vettori

!BO e

!BV . Chiamiamo

!FO la componente della

forza dovuta a !BO e

!FV la componente della forza dovuta a

!BV .

Calcoliamo il modulo del vettore


10

!FO = i

!l ×!BO

che è diretto verticalmente verso il basso. Risulta:

FO = ilBO 20 A( ) 2,0 m( ) 2 ×10−5 T( ) = 8 ×10−4 N

Calcoliamo ora il modulo del vettore !FV = i

!l ×!BV

che è diretto parallelamente a !BO e con lo stesso verso. Risulta:

FV = ilBV = 20 A( ) 2,0 m( ) 6 ×10−5 T( ) = 2,4 ×10−3 N

Consideriamo il vettore !F =!FO +

!FV

Poiché !FO e

!FV sono perpendicolari, il modulo di

!F vale:

F = FO2 + FO

2 = 8 ×10−4 N( )2+ 2,4 ×10−3 N( )2

= 3×10−3 N

Il vettore !F si trova su un piano verticale e, rispetto alla verticale orientata verso il basso, è deviato

verso nord. L’angolo tra il vettore

!F e il vettore

!FO vale

α = arctgFV

FO

= arctg2,4 ×10−3 N8 ×10−4 N

= arctg 3 ≈ 72°

28★★ Senza campo magnetico:

k � y − mg = 0 ⇒ k = mg� y

Con il campo magnetico:

iBl − k � ′y − mg = 0 ⇒ iBl − mg� y

� ′y − mg = 0 ⇒

B = mgil

� ′y� y

+1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

10,2 g( ) 9,8 m/s2( )60 A( ) 0,10 m( ) 2 +1( ) = 0,050 T

29★★ • Le calamite devono essere posizionate in modo da creare un campo magnetico parallelo al

piano e perpendicolare al filo. Guardando dall’alto, se il verso della corrente è verso est, il campo magnetico deve essere diretto verso nord in modo che, applicando la regola della mano destra, la forza magnetica sia diretta verso l’alto.

• Dalla seconda legge della dinamica si ottiene:

!Fm −

!Fp = m

!a ⇒ ilB = ma + mg ⇒

B =m a + g( )

il=

14 ×10−3 kg( ) 4,9 N/kg( ) + 9,8 N/kg( )34 A( ) 16 ×10−2 m( ) = 3,8 ×10−2 T


11

6 IL CAMPO MAGNETICO DI UN FILO PERCORSO DA CORRENTE 30 In ogni punto della retta parallela ai due fili ed equidistante da essi e posta nel loro stesso piano, il campo magnetico risultante è nullo, in quanto i vettori

!B1 e

!B2 in quei punti sono uguali in

intensità e direzione e opposti in verso. 31 a. Asse x: d; asse y: B.

b. Asse x: i; asse y: B.

c. i costante. 32★

B = µ0

2πid= 2 ×10−7 N/A2( ) 2,0 A

5,0 ×10−1 m= 8,0 ×10−7 T

33★

B = km

id

⇒ i = Bdkm

=2,5 ×10−4 T( ) 150 m( )

2 ×10−7 N/A2 = 1,9 ×105 A

34★ B = µ0

2πid

⇒ d = km

iB= 2 ×10−7 N/A2( ) 180 A

5,0 ×10−5 T= 0,72 m

35★★

i = P� V

= 280 ×106 W3,0 ×105 V

= 9,3×102 A

B = µ0

2πih

⇒ h = km

iB= 2 ×10−7 N/A2( ) 9,3×102 A

5,0 ×10−5 T= 3,7 m

36★★

• B = µ0

2πid

⇒ d = km

iB= 2 ×10−7 N/A2( ) 1,2 ×103 A

5,0 ×10−4 T= 0,5 m

• d = km

iB= 2 ×10−7 N/A2( ) 1,9 ×105 A

5,0 ×10−4 T= 80 m

37★★ Il campo magnetico complessivo è !B =!BA +

!BB

!BA e

!BB sono vettori perpendicolari, in ogni punto, al piano che contiene i due fili conduttori,

quindi anche !B ha direzione perpendicolare al piano.

Assumiamo che i tre vettori abbiano verso positivo quando sono orientati verso l’alto.

• Calcolo il valore di !B in P1.


12

!BA è diretto verso il basso e il suo modulo vale

BA = µ0

2πiA

P1A= 2 ×10−7 N/A2( ) 2,0 A

2,0 ×10−2 m= 2,0 ×10−5 T

!BB è diretto verso l’alto e il suo modulo vale

BB = µ0

2πiB

P1B= 2 ×10−7 N/A2( ) 3,0 A

12 ×10−2 m= 5,0 ×10−6 T

Quindi risulta

B = −BA + BB = −2,0 ×10−5 T( ) + 5,0 ×10−6 T( ) = −1,5 ×10−5 T


!BA è diretto verso l’alto e il suo modulo vale

BA = µ0

2πiA

P2A= 2 ×10−7 N/A2( ) 2,0 A

4,0 ×10−2 m= 1,0 ×10−5 T

!BB è diretto verso l’alto e il suo modulo vale

BB = µ0

2πiB

P2B= 2 ×10−7 N/A2( ) 3,0 A

6,0 ×10−2 m= 1,0 ×10−5 T

Quindi !B è diretto verso l’alto e il suo modulo vale

B = BA + BB = 1,0 ×10−5 T( ) + 1,0 ×10−6 T( ) = 2,0 ×10−5 T


!BA è diretto verso l’alto e il suo modulo vale

BA = µ0

2πiA

P3A= 2 ×10−7 N/A2( ) 2,0 A

13×10−2 m= 3,1×10−6 T

!BB è diretto verso il basso e il suo modulo vale

BB = µ0

2πiB

P3B= 2 ×10−7 N/A2( ) 3,0 A

3,0 ×10−2 m= 2,0 ×10−5 T

Quindi risulta

B = BA − BB = 3,1×10−6 T( )− 2,0 ×10−5 T( ) = −1,7 ×10−5 T 38★★ B − ′B

′B= 0,010

′B = B1+ 0,010

µ0

2πi

8l= B

1+ 0,010


13

i = 16πBlµ0 1+ 0,010( ) =

16π 1,0 ×10−5 T( ) 1,01 m( )4π ×10−7 N/A2( ) 1,010( ) = 4,0 ×102 A

39★★ i = � V

R= 6,4 V

4,0 ×10−2 Ω= 1,6 ×102 A

Con questa corrente, alla distanza di 10 cm il campo magnetico vale

B = µ0

2πid=

4π ×10−7 N/A2( ) 1,6 ×102 A( )2π 10 ×10−2 m( ) = 3,2 ×10−4 T

Vogliamo ridurre B del 35% per cui ′B = 65%B , cioè

′B = 0,65 3,2 ×10−4 T( ) = 2,1×10−4 T

Occorre poi calcolare la corrente necessaria per ottenere ′B e la relativa d.d.p.:

i = 2πµ0

dB = 2π4π ×10−7 N/A2 10 ×10−2 m( ) 2,1×10−4 T( ) = 1,1×102 A

� V = iR = 1,1×102 A( ) 4,0 ×10−2 �Ω( ) = 4,4 V 40★★

Bfilo =µ0

2πid= BT = 3,5 ×10−5 T ⇒ i = BT 2πg

µ0

=3,5 ×10−5 T( ) 2π( ) 3,0 ×10−2 m( )

4π ×10−7 N/A2 = 5,3 A

41★★ Il campo magnetico prodotto dal filo e quello esterno risultano perpendicolari tra loro, quello del filo sul piano della pagina e quello del campo esterno perpendicolare al piano della pagina. Calcoliamo il modulo del campo magnetico risultante applicando il teorema di Pitagora:

Bfilo =µ0

2πid= 2 ×10−7 N/A2( ) 7,5 A

6,0 ×10−2 m= 2,5 ×10−5 T

Il campo magnetico totale è

Btot = Bfilo2 + Besterno

2 = 2,5 ×10−5 T( )2+ 3,5 ×10−5 T( )2

= 4,3×10−5 T

Calcoliamo l’angolo che questo campo forma con il piano orizzontale della pagina:

tgθ = Besterno

Bfilo

= 3,5 ×10−5 T2,5 ×10−5 T

= 1,4 ⇒ θ = 54°

42★★ • Con la regola della mano destra, trovo che i campi prodotti dai due fili hanno verso concorde

nel II quadrante (uscente) e nel IV (entrante) quadrante. Invece hanno verso discorde nel I e III quadrante.

• Nei quadranti in cui sono discordi, nei punti della bisettrice del I e III quadrante i due campi magnetici avranno uguale modulo essendo a uguale distanza dai due fili e quindi il campo magnetico risultante sarà nullo.

• Nel punto di coordinate (3,0 cm; 6,0 cm) i campi sono entrambi perpendicolari al piano e di verso opposto e quindi sarà sufficiente fare la differenza dei moduli per trovare il modulo del


14

campo magnetico risultante. Quindi

Bfilo y − Bfilo x =µ0

2πix− µ0

2πiy= µ0i

2π1x− 1

y⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

=4 ×10−7 N/A2( ) 2, 4 A( )

21

3,0 ×10−2 m− 1

6,0 ×10−2 m⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 8,0 ×10−6 T

7 IL CAMPO MAGNETICO DI UNA SPIRA E DI UN SOLENOIDE 43 Sì, se le correnti hanno verso opposto nel punto d/2 i due campi magnetici sono uguali in intensità e opposti in verso. 44 a. Non equilibrio; la spira ruota in senso antiorario.

b. Equilibrio stabile.

c. Non equilibrio; la spira ruota in senso antiorario.

d. Equilibrio instabile. 45 DIFFERENZE: il primo produce un campo elettrico, il secondo un campo magnetico. Il campo elettrico è prodotto da cariche elettriche statiche sia positive che negative, mentre quello magnetico da cariche elettriche negative (elettroni) in movimento. ANALOGIE: Entrambi producono, solo al loro interno, un campo uniforme con linee di campo equidistanziate e parallele tra loro. 46★

B = µ0

Nl

i ⇒ i = Blµ0N

=2,10 ×10−3 T( ) 0,564 m( )

4π ×10−7 N/A2( ) 400( ) = 2, 36 A

47★

• B = µ0

Nil= 4π ×10−7 N/A2( ) 200( ) 4,89 A( )

5,8 ×10−1 m= 2,1×10−3 T

• i = Blµ0N

=2,1×10−3 T( ) 7,2 ×10−1 m( )

4π ×10−7 N/A2( ) 200( ) = 6,1 A

48★ Il modulo del campo magnetico è determinato dalla relazione

B = µ0iR2

2 R2 + y2( )3

• Nel centro della spira si ha y = 0 cm, quindi


15

B = µ0iR2

2 R2 + y2( )3= µ0i

2R=

4π ×10−7 N/A2( ) 4,89 A( )2 3,2 ×10−2 m( ) = 9,6 ×10−5 T

• Sull’asse della spira a 2,00 cm dal centro si ha y = 2,00 cm e

B = µ0iR2

2 R2 + y2( )3=

4π ×10−7 N/A2( ) 4,89 A( ) 3,2 ×10−2 m( )2

2 3,21×10−2 m( )2+ 2,00 ×10−2 m( )2⎡

⎣⎤⎦

3= 5,9 ×10−5 T

• Sull’asse della spira a 6,00 cm dal centro si ha y = 6,00 cm e

B = µ0iR2

2 R2 + y2( )3=

4π ×10−7 N/A2( ) 4,89 A( ) 3,2 ×10−2 m( )2

2 3,21×10−2 m( )2+ 6,00 ×10−2 m( )2⎡

⎣⎤⎦

3= 1,0 ×10−5 T

49★★ Il campo magnetico totale dovuto alle due spire è !B =!B1 +!B2

Siccome le due correnti hanno verso opposto, risulta

B = B1 − B2

• B = µ0

2i

R1

− µ0

2i

R2

= µ0i2

1R1

− 1R2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

=4π ×10−7 N/A2( ) 8,5 A( )

21

4,5 ×10−2 m− 1

7,2 ×10−2 m⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 4,4 ×10−5 T

• B = B1 − B2 =µ0

2i1R1

− µ0

2i2

R2

= 0 ⇒ i1R1

= i2

R2

⇒

i1 = i2

R1

R2

= 8,5 A( ) 4,5 ×10−2 m7,2 ×10−2 m

= 5,3 A

50★★ Numero delle spire del solenoide:

N = ls

df

= 20,0 cm0,050 cm

= 400

Lunghezza del filo conduttore:

lf = πdsN = 3,14( ) 5,00 ×10−2 m( ) 400( ) = 62,83 m

Sezione del filo conduttore:

S = π df

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= 3,14( ) 5,0 ×10−4 m2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= 1,96 ×10−7 m2

Dalle leggi di Ohm risulta


16

� V = ρ lfiS

⇒ i = S � Vρlf

Inoltre

B = µ0

Nils

= µ0

NS � Vρlslf

Quindi la differenza di potenziale vale

� V = ρBlslf

µ0NS=

1,7 ×10−8 Ω⋅m( ) 1,26 ×10−3 T( ) 2,00 ×10−1 m( ) 62,83 m( )4π ×10−7 N/A2( ) 400( ) 1,96 ×10−7 m2( ) = 2,7 V

51★★★ Fissiamo l’origine nel centro della spira e scegliamo come asse positivo quello che va dalla prima spira verso la seconda spira. Possiamo scrivere

µ0i1R2

2 R2 + d 2( )3/2 −µ0i2R2

2 R2 + h − d( )2⎡⎣ ⎤⎦3/2 = 0

da cui

α = i1i2

= R2 + d 2

R2 + h − d( )2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

3/2

⇒ α2/3 = R2 + d 2

R2 + h − d( )2

Il valore del raggio è

R =α2/3 h − d( )2 − d 2

1−α2/3 =0,1( )2/3 1,1 m� −�0,10 m( )2 − 0,10( )2

1− 0,1( )2/3 = 51 cm

52★★ • Sul filo, posizionato lungo l’asse del solenoide, non agisce alcuna forza perché il campo del

solenoide è parallelo alla direzione della corrente nel filo. • Se si pone il filo, internamente al solenoide, ma perpendicolarmente all’asse del solenoide vi

saranno punti, a una certa distanza del filo, diametralmente opposti, in cui !Bsol =

!Bfilo oppure

!Bsol = −

!Bfilo .

• La forza magnetica sul filo è

F = ifilolBsol senθ = ifilol µ0nisol( )senθ =

= 28 A( ) 5,3×10−2 m( ) 4 ×10−7 N/A2( ) 10 ×102 m−1( ) 1,1 A( )sen90° = 2,1×10−3 N

• Bsol = Bfilo ⇒ µ0nisol =µ0ifilo

2πx⇒ x = ifilo

2πnisol

= 28 A2π 10 ×102 m−1( ) 1,1 A( ) = 4,1×10−3 m

53★★ • Il diametro del filo di rame che forma il solenoide si può trovare conoscendo la lunghezza del

solenoide e il numero di avvolgimenti di cui è formato. Per trovare la lunghezza del filo, occorre moltiplicare la lunghezza di una spira del solenoide per il numero di avvolgimenti.

Quindi di ha:


17

dfilo =LN

= 18 ×10−2 m480

= 3,8 ×10−4 m

L = πdN = 3,14( ) 8,0 ×10−2 m( ) 480( ) = 1,2 ×102 m

La resistenza del filo del solenoide è

R = ρLS

=1,69 ×10−8 �Ω⋅m( ) 120 m( )

π4

3,8 ×10−4 m( )2= 18�Ω

L’intensità di corrente nel solenoide è

i = � VR

= 6,0 V18�Ω

= 0,33 A

• Il campo magnetico nella spira si annulla se:

Bsol = Bspira ⇒ µ0

NL

isol = µ0

ispira

2Rspira

⇒

isol =ispira L

2Rspira N=

8,5 A( ) 18 ×10−2 m( )4,0 ×10−2 m( ) 480( ) = 80 mA

54★★ • Per aumentare il campo al centro della spira l’estremo A del filo va collegato al polo positivo

dell’alimentatore e l’estremo B al polo negativo, in modo che la corrente scorra da A verso B. • Per raddoppiare il campo magnetico nel centro della spira, il campo prodotto dal filo deve

essere uguale a quello prodotto dalla spira. Quindi avremo:

Bspira = Bfilo ⇒ µ0i1d

= µ0i2

2πs⇒ i1

i2

= d2πs

55★★ • La molla si accorcia perché la corrente in una spira è concorde con la corrente della spira

adiacente e quindi le due spire si attraggono. • Applicchiamo la formula per il calcolo del campo magnetico in un solenoide, considerando

come lunghezza del solenoide quella della molla accorciata. Si ha

B = µ0

NL

i = 4 ×10−7 N/A2( ) 2817 ×10−2 m

6,0 A( ) = 1,2 ×10−3 T

• Per trovare la forza che ha compresso la molla si applica la legge di Hooke:

F = k � x = 30 N/m( ) 20 −17( )×10−2 m = 0,9 N 8 IL MOTORE ELETTRICO 56 La condizione è di equilibrio instabile. L’angolo fra i due vettori vale 180° e il suo seno si annulla, ma ogni piccola rotazione della spira attorno al suo asse la porta a ruotare ulteriormente, fino alla


18

condizione di equilibrio stabile. 57★ • !

µm = i!A

µm = iA = 4,5�A( ) 1,27 ×10−3 m( ) = 5,7 ×10−3 A ⋅m2

• !

M =!µm ×

!B

M = µm B senα

Il valore massimo corrispondente al caso in cui senα = 1 è

M max = µm B = 5,7 ×10−3 A ⋅m( ) 3,5 ×10−5 T( ) = 2,0 ×10−7 N ⋅m 58★ L’area della spira è

A = l1l2 = 2,5 ×10−2 m( ) 7,8 ×10−2 m( ) = 1,95 ×10−3 m2

Inoltre !µm = i

!A

µm = iA = 3,5�A( ) 1,95 ×10−3 m( ) = 6,825 ×10−3 A ⋅m2

Essendo

M = µm B senα ⇒ senα = Mµm B

risulta

α = arcsenMµm B

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= arcsen

5,5 ×10−6 N ⋅m6,825 ×10−3 A ⋅m2( ) 7,1×10−3 T( )

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥= arcsen 0,11( ) = 6,5°

59★★ • Per ragioni di simmetria, la forza magnetica che agisce su ognuno dei due lati verticali ha lo

stesso modulo e la stessa direzione, ma verso opposto. Siccome i lati sono perpendicolari a

!B , si ha

Fl = Bil sen90° = Bil = 2,1×10−2 T( ) 1,3 A( ) 3,00 ×10−2 m( ) = 8,2 ×10−4 N

Per ragioni di simmetria, la forza magnetica che agisce sui due lati inclinati è la stessa in modulo e direzione, ma opposta in verso. I lati formano un angolo di 45° con il campo

!B , quindi

Fl = Bil sen 45° = Bil12= 8,2 ×10−4 N

2= 5,8 ×10−4 N

• M = AiB sen 45° = 3,00 ×10−2 m( )21, 3 A( ) 21×10−3 T( ) 1

2= 1,7 ×10−5 N ⋅m

60★★ Dalla formula del momento torcente delle forze magnetiche su una spira, ricaviamo B:


19

M = µm B senα = iABsenα ⇒

B = MiA senα

= 6,5 ×10−3 N ⋅m

8,0�A( )π11×10−2 m4

sen 78°= 8,7 ×10−2 T

61★★ L’angolo tra la il vettore superficie della spira e il campo vale 106°, essendo la somma di un angolo retto e dell’inclinazione del campo magnetico rispetto all’orizzonte. Dalla formula del momento torcente delle forze magnetiche su una spira, ricaviamo la corrente:

M = µm B senα = iABsenα ⇒

i = MAB senα

= 7,2 ×10−4 N ⋅m1,0�m( )2 6,6 ×10−5 T( )sen106°

= 11 A

62★★ Mq = modulo del momento torcente sulla spira quadrata; Mc = modulo del momento torcente sulla spira circolare.

M q

M c

=iqAqBq

icAcBc

=

13

ic 2AcBq sen90°

icAc 3Bq sen90°= 2

9

63★★ Spira quadrata (pedice «q»):

2 p = 4l ⇒ l = p2

Aq = l2 = p2

4

µq = iAq = ip2

4

Spira circolare (pedice «c»):

2 p = 2πR ⇒ R = pπ

Ac = πR2 = p2

π

µc = iAc = ip2

π

Il rapporto cercato è

µq

µc

=i

p2

4

ip2

π

= π4


20

64★★★ q = 2πrλ

i = qT= 2πrλ

2πω

= ωrλ

µm = iA = ωrλπr2 = πλωr3

r = µm

πλω⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

13= 27 ×10−3 A ⋅m

π 3,18 ×10−2 C/m( ) 10,0 rad/s( )⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

13

= 30 cm

9 L’AMPEROMETRO E IL VOLTMETRO 65 L’amperometro ha sempre una resistenza interna, poiché contiene una bobina di filo metallico in cui deve fluire la corrente da misurare. Un buon amperometro ha una piccola resistenza interna. 66 Il voltmetro si usa per misurare la differenza di potenziale a circuito chiuso, l’elettrometro, invece, la misura a circuito aperto. 67★★ La corrente totale è

i = iR + iV

Dalla seconda legge di Kirchhoff si ricava l’intensità di corrente che attraversa la resistenza R:

iR = RV

RV + RiR + iV( )

Ne consegue che la d.d.p. ai capi di R è

� VR = R RV

R + RV

iR + iV( ) = 230�Ω( )RV

230�Ω�+�RV

625 ×10−3 mA( ) = 144 V( )RV

230�Ω�+�RV

La condizione richiesta si può scrivere come

� V − � VR

� V≤ 0,05

ovvero, in termini di valori numerici:

144 V�−�144 V( )RV

230�Ω�+�RV

144 V≤ 0,05

Risolvendo questa disequazione rispetto a RV si ottiene: RV ≥ 4 ×103 Ω 68★★ Determiniamo la resistenza equivalente delle tre resistenze R1, R2, RV in parallelo:


21

R 1

RV

A B

R 2

Req = R1 // R2 // RV = R1 // R2( ) // RV =R1 // R2( )RV

R1 // R2( ) + RV

=

=

R1R2

R1 + R2

RV

R1R2

R1 + R2

+ RV

=

R1R2RV

R1 + R2

R1R2 + R1RV + R2RV

R1 + R2

= R1R2RV

R1R2 + R1RV + R2RV

=

=55�Ω( ) 35�Ω( ) 4,00 ×103 �Ω( )

55�Ω( ) 35�Ω( ) + 35�Ω( ) 4,00 ×103 �Ω( ) + 55�Ω( ) 4,00 ×103 �Ω( ) = 21,3�Ω

La corrente che circola tra A e B è la stessa che attraversa la resistenza equivalente, quindi

� V = Reqi = 21,3�Ω( ) 4,0�Α( ) = 85�V 69★★ • Si misura l’intensità della corrente che attraversa la resistenza di 45 Ω. • La caduta di tensione ai capi delle due coppie di resistenze in parallelo è la stessa, quindi

Req = 45�Ω+ 2,50 ×10−3 �Ω = 45,0025�Ω

� V = Reqi ⇒ i = � VReq

= 120�V45,0025�Ω

= 2,7�A

70★★ • Nella maglia che contiene gli strumenti di misura applichiamo la seconda legge di Kirchhoff:

� V = iRx + iRA ⇒ Rx =� V

i− RA = 18 V

54 ×10−3 A−15�Ω�=�3,2 ×102 �Ω

• La misura migliorerebbe riducendo il più possibile la resistenza interna dell’amperometro.


22

PROBLEMI GENERALI 1★★ I vettori campo magnetico

!Br e

!Bs sono perpendicolari al piano individuato dai due fili. Stabiliamo

per convenzione che abbiano componente positiva quando sono uscenti dal foglio. • Punto A:

!B =!Br +

!Bs

B = Br − Bs =µ0

2πir

dr

− µ0

2πis

ds

= µ0

2πir

dr

− is

ds

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

= 4π ×10−7 N/A2

2π5,0 A

4,0 ×10−2 m− 3,0 A

2,0 ×10−2 m⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= −5,0 ×10−6 T

• Punto B:

!B =!Br +

!Bs

B = −Br − Bs = − µ0

2πir

dr

− µ0

2πis

ds

= − µ0

2πir

dr

− is

ds

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

= − 4π ×10−7 N/A2

2π5,0 A

4,0 ×10−2 m+ 3,0 A

2,0 ×10−2 m⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= −5,5 ×10−5 T

• Punto C:

!B =!Br +

!Bs

B = −Br + Bs = − µ0

2πir

dr

+ µ0

2πis

ds

= µ0

2π− ir

dr

+ is

ds

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

= 4π ×10−7 N/A2

2π− 5,0 A

4,0 ×10−2 m+ 3,0 A

2,0 ×10−2 m⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 5,0 ×10−6 T

• Punto D:

!B =!Br +

!Bs

B = Br + Bs =µ0

2πir

dr

+ µ0

2πis

ds

= µ0

2πir

dr

+ is

ds

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

= 4π ×10−7 N/A2

2π5,0 A

4,0 ×10−2 m+ 3,0 A

2,0 ×10−2 m⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 5,5 ×10−5 T

2★★ Affinché il campo magnetico totale si annulli nel centro della spira, occorre che sia Bf = Bs .

Bf =µ0

2πif

d

Bs =µ0

2πis

R


23

is =Rif

πd=

3,0 ×10−2 m( ) 3,2 A( )3,14( ) 5,0 ×10−2 m( ) = 0,61 A

3★★ Il campo magnetico è espresso dalla relazione

B = µ0iR2

2 R2 + y2( )3

• Nel centro del sistema si ha:

y = d2= R

2

Il valore del campo magnetico generato dalla prima spira è

B1 =µ0iR

2

2 R2 + d 2 /4( )3

Il valore del campo magnetico generato dalla seconda spira è

B2 =µ0iR

2

2 R2 + d 2 /4( )3

Nel centro del sistema i campi magnetici generati dalle spire percorse da correnti di uguale intensità e verso hanno lo stesso verso e sono paralleli, quindi per trovare il campo magnetico totale basta sommare i moduli. Quindi

B = B1 + B2 =µ0iR

2

2 R2 + d 2 /4( )3+ µ0iR

2

2 R2 + d 2 /4( )3= µ0iR

2

R2 + d 2 /4( )3=

µ0iR

2

R3 5 58

= 8µ0i

5 5R

• Nel centro della prima spira si ha: Il valore del campo magnetico generato dalla prima spira nel suo centro è

B1 =µ0i2R

Il valore del campo magnetico generato dalla seconda spira nel centro della prima è

B2 =µ0iR

2

2 R2 + R2( )3

Nel centro del sistema i campi magnetici generati dalle spire hanno lo stesso verso e sono paralleli, quindi per trovare il campo magnetico totale basta sommare i loro moduli. Quindi


24

B = B1 + B2 =µ0i2R

+ µ0iR2

2 R2 + R2( )3= µ0i

2R+ µ0i

4 2R= µ0i

2R2 2 +1

2 2

• Il rapporto richiesto vale pertanto

8µ0i5 5R

µ0i2R

2 2 +12 2

= 1,1

4★★ Sul filo agisce una forza magnetica diretta lungo il piano orizzontale a cui si oppone la forza d’attrito. L’equazione del moto del filo è

ilB −µdmg = ma ⇒ a = ilB −µdmgm

v = v0 + at = at = ilB −µdmgm

t

Il valore del campo magnetico risulta:

B =m

vt+ µdmg

il=

0,100 kg( ) 0,5 m/s10 s

+ 0,102 0,100 kg( ) 9,8 m/s2( )2 A( ) 0,1 m( ) = 0,5 T

5★★ • B = µ0

2πI2 − I1

d /2= 3,3×10−5 T

• B1 =µ0

2πI1

d1

B2 =µ0

2πI2

d − d1

= µ0

2π2I1

d − d1

B1 = B2 ⇒ 1d1

= 2d − d1

⇒ d1 =d3= 0,040 m

6★★

• µ = Ai = πr2 q� T

= πr2qv

2πr= rqv

2=

=0,53×10−10 m( ) 1,6 ×10−19 �C( ) 2,2 ×106 m/s( )

2= 9,3×10−24 A ⋅m2

• !

M =!µ ×!B ⇒

M = µBsen 90 −α( ) = 9, 3×10−24 A ⋅m2( ) 53×10−3 T( ) 22

= 3,5 ×10−25 N ⋅m


25

7★★ Sul tratto AB agisce una forza attrattiva rivolta verso l’alto perché i versi delle correnti , nel filo e nel tratto AB, sono concordi. Nel tratto CD la forza è invece repulsiva rivolta verso il basso. Nei tratti AD e BC le forze, dovute al campo magnetico prodotto dal filo, hanno verso opposto tra loro e sono orizzontali e quindi non hanno effetto se non quello di deformare eventualmente la spira. La forza magnetica risultante, rivolta verso l’alto, dovrà equilibrare la forza-peso della spira.

F1 =µ0 i1 i2 AB

2πd

F2 =µ0 i1 i2 AB

2π d + BC( )

F1 − F2 = mg ⇒ µ0 i1 i2 AB2π

1d− 1

d + BC⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = mg ⇒

i1 =mg

µ0 i2 AB2π

1d− 1

d + BC⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= mg

µ0 i2 AB2π

BC

d d + BC( )⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

=6,0 ×10−3 kg( ) 9,8 N/kg( )

4π ×10−7 N/A2( ) 34 A( ) 51×10−2 m( )2π

�42 ×10−2 m

0,50 ×10−2 m( ) 0,50 ×10−2 m� +�42 ×10−2 m( )= 86 A

8★★ Nei punti A e B il modulo dei campi magnetici generati dai due fili è lo stesso:

B1 = B2 =µ0

2πid= 2 ×10−7 N/A2( ) 2,0 A

5,0 m= 8,0 ×10−8 T

Per ragioni di simmetria, il campo magnetico in B ha lo stesso modulo, la stessa direzione (perpendicolare al piano individuato dai due fili) e lo stesso verso che possiede in A. Facciamo riferimento allo schema di figura:

!B1 è perpendicolare al segmento che unisce 1 con B e

!B2 è perpendicolare al segmento che unisce 2 con B. Quindi, poiché il triangolo 1B2 è equilatero, i

vettori !B1 e

!B2 formano tra loro un angolo di 120°.

Applicando la regola del parallelogramma, otteniamo: !B =!B1 +!B2 ⇒ B = B1 = 8,0 ×10−8 T

9★★★ τ1 − m1g − F1 = 0

τ2 − m2g − F2 = 0

Il filo è inestensibile e di massa trascurabile, quindi

τ1 = τ2

m1g + F1 = m2g + F2

m1 − m2( )g = F2 − F1


26

m1 − m2( )g = µ0l2πd

i22 − i1

2( )

d =µ0l i2

2 − i12( )

2π m1 − m2( )g=

4π ×10−7 N/A2( ) 1,0 m( ) 196 A( )2 − 98 A( )2⎡⎣ ⎤⎦2π 4 ×10−2 kg − 2 ×10−2 kg( ) 9,8 m/s2( ) = 2,9 cm

10★★★ La corrente che circola nella spira è

is =� VR

Se la forza è complessivamente attrattiva, allora la forza tra il filo e il lato della spira che gli è più vicino deve essere attrattiva. Il valore della forza che il filo esercita sul lato della spira che gli è più vicino (forza attrattiva) è

F1 =µ0

2πis i f

dl

essendo l la lunghezza del lato della spira. Il valore della forza che il filo esercita sul lato della spira che gli è più lontano (forza repulsiva) è

F2 =µ0

2πis if

d + ll

La forza totale è !F =!F1 +!F2

e il modulo è

F = F1 − F2 =µ0

2πis if

dl − µ0

2πis if

d + ll =

= µ0

2πis if l( ) 1

d− 1

d + l⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

µ0

2πis if l( ) l

d d + l( ) =µ0

2πis if l2

d d + l( )

La resistenza elettrica della spira e la corrente che circola nella spira valgono:

is =� VR

=2πd d + l( )F

µ0ifl2 ⇒ R = µ0ifl

2 � V2πFd d + l( ) =

= 2 ×10−7 N/A2( ) 10 A( ) 5,00 ×10−1 m( )220 V( )

5,0 ×10−4 N( ) 1,0 ×10−3 m( ) 5,01×10−1 m( ) = 40�Ω

is =� VR

= 20 V40�Ω

= 0,50 A

11★★★ Poiché il cerchione ha resistenza trascurabile, con il collegamento proposto la corrente scorre in tutti i bracci, dal centro alla periferia o dalla periferia al centro, a seconda della polarità. L’intensità di corrente in ciascun raggio risulta

i0 =V0

R

La tensione del filo tende a fare girare la ruota in senso orario, quindi, per avere l’equilibrio, il


27

momento della forza magnetica agente sui raggi deve essere orientato in senso opposto. La forza magnetica applicata a ciascun braccio è !F = i!l ×!B

dove !l è un vettore orientato nel verso della corrente: questa dovrà quindi scorrere dal cerchione

verso l’asse della ruota. Di conseguenza, il polo della batteria collegato all’asse dovrà essere quello negativo. Siccome la forza magnetica è uniformemente distribuita, può essere considerata applicata nel centro di ciascun raggio. Il modulo del momento magnetico complessivo risulta

4Bli0

12

l = 2Bli0l2

Per avere l’equilibrio dovrà quindi essere

2Bi0l2 = Mgl

da cui si ricava

V0 =MgR2Bl

= 0,167 V

12★★★ • Applicando la legge di Hooke si trova la massa del cavetto:

m = k � xg

=15 N/m( ) 0,80 ×10−2 m( )

9,8 N/kg= 1,2 ×10−2 m

• Le linee del campo magnetico uniforme sono parallele, dirette dal polo Nord al polo Sud. • La molla si allunga, quindi la forza magnetica deve essere rivolta verso il basso. A questo scopo

la corrente nel cavetto, nel tratto CD, deve scorrere da C verso D; quindi il punto A deve essere collegato al polo negativo della batteria.

• All’equilibrio, la forza elastica equilibra la forza magnetica e quindi

ilB = k � x ⇒ B = k � xil

=15 N/m( ) 1,5 ×10−2 m( )23,1 A( ) 3,4 ×10−2 m( ) = 0,29 T

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