١

دات : أووا را

) Equation (المعادلة) ١(

.

)Ways of solving the quadratic equation( التربیعیةطرق حل المعادلة) ٢(

حفى : إمكانیة حل المعادلة ) ٣(

R in ٠= c + bx + ٢

ax: ona The possibility of solving the equati

<=>

Complex number : المركبالعدد ) ٤(

٢

two complex numbers Equal of : تساوى عددین مركبین) ٥(

Dividing complex numbers : قسمة االعداد المركبة) ٦(

Discriminate: الممیز ) ٧(

س =ب ب -

٢ - ٤ جـ

٢

ب٢

اج٤ –

<

>

Sum and product of rottsا مجموع الجذرین وحاصل ضربھم) ٨(

س ا ل ، م ٢

٠ ا ، ٠ = ج +س ب +

= م + ل ب -

ا = م ل ،

ج

ا

تكوین المعادلة التربیعیة متى علم جذراھا ) ٩( Forming the quadratic equation whose roots are known

-= م + ل ل ، م با

= ، ل م جا

س ٢

٠ = م ل + س )م + ل( –

Sign of a function إشارة الدالة) ١٠(The sing of the constant function الدالة الثابتةإشارة : أوال

ح ت س ج) ٠ ج (ج) = س( د د

٣

functionlinearThe sing of the الخطیة الدالة إشارة : ثانیا

-= س ٠ ب ، ج+ س ب) = س( د د جب

٠) = س(د

The sing of the quadratic function التربیعیة الدالة إشارة : ثالثا

سا) = س(لتعیین إشارة الدالة التربیعیة د حیث د٢

٠ ا ، ج+ س ب +

س انوجد ممیز المعادلة ٢

: فإذا كان ٠ = ج+ س ب +

ب)أ( ٢

م<لمل ٠ >ج ا٤ –

>

=

inequlities Quadratic: الثانیة متباینات الدرجة) ١١(

:

.نكتب المتباینة التربیعیة فى الصورة العامة - أ

(=).نستبدل عالمة التباین بعالمة التساوى - ب

. خط األعداد إلى فترات حسب جذور المعادلةنحل المعادلة التربیعیة ونقسم - جـ . نستخدم إشارة الدالة التربیعیة للتعرف على الفترات الموجبة والسالبة للمتباینة - د

٤

البیانى لمنحنى الدالة د الشكل المقابل یبین التمثیل

س) = س(دحیث ٢

٢+ س ٢ + ........... منحنى الشكل البیانى یمثل دالة ألن ) ١( ....)، (.... إحداثیي نقطة رأس المنحنى ھى )٢ ( ...........مجال الدالة د ھو ) ٣( ..............مدى الدالة د ھو ) ٤( .......معادلة محور التماثل لمنحنى الدالة د ھو ) ٥( = ....نى الدالة ھى ص رى لمنحالقیمة الصغ) ٦( = ........ وتبلغھا عندما س ........... ھى ٠) = س(مجموعة حل المعادلة د) ٧(

س: المعادلة ) ١(٢

: من الدرجة ٠) = ١+ س ) (١ –س ( الرابعة) د(الثالثة ) جـ(انیة الث) ب(األولى ) أ (

مجموعة حل المعادلة س) ٢(٣

: فى ح ھى ٠= س – } ١ ، ٠ ، ١ -{) د(} ١ ، ١ -{) جـ(} ١{) ب(} ٠{) أ (

س٢مجموعة حل المعادلة ) ٣(٢

: فى ح ھى ٠ = ٨ +

v) د(} ٢{) جـ(} ٢{) ب(} ٢-{) أ (

مجموعة حل المعادلة س) ٤(٢

: فى ح ھى ٠ = ٩+ س ٦ –

v) د(} ٣{) جـ(} ٣{) ب(} ٣-{) أ (

مجموعة حل المعادلة س) ٥(٢

: ھى ٠ = ٦+ س ٥ – }٣ ، ٢{ ) د } ٢ - ، ٣ - {) جـ } ٥ ، ٢ -{ ) ب } ٦ ، ٠{) أ(

س٦مجموعة حل المعادلة ) ٦(٢ : فى ح ھى ٠ = ٢ – س –

{ ) ب } ٢ - ، ٠{) أ( ٢

١ ،

٣

٢ -{ ) جـ }

٢

١ ،

٣

٢ }٠ ، ٢{ ) د }

س ھما عامالن للمقدار ٤+ ، س ٢ –إذا كان س ) ٧(٢

جـ فإن + ب س + : ھذا المقدار ھو

-٤ -٣ -٢ -١ ١ ٢ ٣-١

١

٢

٣

٤

٥

٦y

ص

س و

٥

س) أ ٢

س) ب ٨ – س ٢ + ٢ ٨+ س ٢ –

س) جـ ٢س ) د ٢+ س ٦ –

٢ ٦ – س ٢ +

سالمعادلة التربیعیة ) ٨(٢

: ھى ٣= ، س ٢= التى جذراھا س ٠= جـ + ب س +

س) أ ٢ س) ب ٠ = ٦ – س ٥ -

٢ ٠ = ٥+ س ٦ –

س) جـ ٢

س ) د ٠ = ٦ - س ٦ + ٢ ٠ = ٦+ س ٥ -

س) = س(نقط تقاطع منحنى الدالة د حیث د) ٩(٢ محور السینات ھى مع ٣ – س ٢ –

)٣،٠ ( ،)١،٠–() د ) ٦،٠( ، )١،٠–() جـ )٢،٠ -( ، )٣،٠–() ب )١،٠ -(، ) ٣ - ، ٠() أ

س٢ادلة أحد جذرى المع٤ -= التى تجعل س قیمة ) ١٠(٢

: ھى ٠ = + س ٥ + ٤ –) د ٥ –) جـ ٦ –) ب ١٢ –) أ

-

)١(

٢٢ ت

ت

٣

٤

٦

-

ت

ت ١

ع

١

١٣

٢

١٣

٣

عع

v

٧

یكون جذرا المعادلة س) ١ (٢

: متساویان إذا كانت ك تساوى ٠= ك + س ١٠ – ٥٠) د (٢٥) جـ (٢٠) ب (٥) أ (

)١ ( )٢ ( )٣ ( )٤(

٨

یكون جذرا المعادلة س) ٢ (٢

: حقیقیان مختلفان إذا كانت ٠= م + س ٤ – ١٦= م ) د (٤> م ) جـ (٤< م ) ب (٤= م ) أ (

جذرا المعادلة ل سیكون) ٣ (٢

: مركبان إذا كانت ٠ = ٩+ س ١٢ – ١= ل ) د (٤= ل ) جـ (٤< ل ) ب (٤> ل ) أ (

سد: فى المعادلة ) ١(٢

، ......... مجموع جذریھا یساوى ٠= و + ھـ س + ...........وحاصل ضربھما یساوى

س٢: فى المعادلة ) ٢(٢ ، ....... مجموع جذریھا یساوى ٠ = ٥ – س ٣ –

............ وحاصل ضربھما یساوى

إذا كان ل ، م جذرى المعادلة)٣(٣

١ س

٢ ....= ل م ، . ..= .م + فإن ل ٠ = ٢ – س ٤ –

سإذا كان جذرا المعادلة ) ٤(٢

= ............... متساویان فإن جـ ٠= جـ + س ٢ – ............................... ھى ١ - ، ٢معادلة الدرجة الثانیة التى جذراھا ) ٥( .......... ھى ٦ وحاصل ضربھما ٥معادلة الدرجة الثانیة التى مجموع جذریھا ) ٦( ٤ما یساوى معادلة الدرجة الثانیة التى مجموع جذریھا یساوى حاصل ضربھ) ٧(

.... ھى

................. ھى ٣ - ٢، ٣ + ٢معادلة الدرجة الثانیة التى جذراھا ) ٨(

إذا كان ل ، م جذرا المعادلة س) ٩(٢ ل فإن ٠ = ٣ – س ٥ –

٢م +

٢........... =

إذا كان ل ، م جذرا المعادلة س) ١٠(٢

) م –ل ( فإن ٠ = ٢ – س ٢ + ٢

......... = عن كل من جذرى المعادلة ١المعادلة التربیعیة التى كل من جذریھا یزید ) ١١(

س٢ ..................... ھى ٠ = ٢+ س ٣ –

عن كل من جذرى ١یعیة التى كل من جذریھا ینقص المعادلة الترب) ١٢(

المعادلة س٢ ..................... ھى ٠ = ٦+ س ٥ –

المعادلة التربیعیة التى كل من جذریھا ضعف كل من جذرى المعادلة ) ١٣(

س٢ ........................ ھى ٠ = ٢+ س ٣ –

جذرى المعادلة سإذا كان الفرق بین ) ١٤(٢ ١ یساوى ٠= جـ + س ٥ –

.................... فإن جـ تساوى

٩

سفى المعادلة التربیعیة ) ١٥(٢

إذا كان أحد جذرى المعادلة ٠= جـ + ب س + .......= .... لآلخر فإن ب معكوسا جمعیا

سفى المعادلة التربیعیة ) ١٦(٢

د جذرى المعادلة إذا كان أح٠= جـ + س ب + .....= ..... معكوسا ضربیا لآلخر فإن جـ

سفى المعادلة التربیعیة ) ١٧(٢

إذا كان مجموع جذرى المعادلة ٠= جـ + ب س + ....= ........ضرب جذریھا فإن ب یساوى حاصل

س٢: المعادلة إذا كان حاصل ضرب جذرى) ١٨(٢

یساوى ٠= ك ٣+ س ٧+

المعادلة س مجموع جذرى٢ ....... ...= فإن ك ٠= س ) ٤+ ك ( –

س٣إذا كان أحد جذرى المعادلة ) ١٩(٢

– ) + ھو المعكوس ٠ = ٩ + س ) ٤ = ..........اآلخر فإن الجمعى للجذر

المعادلة سإذا كان مجموع جذرى) ٢٠(٢ – ٣ ٢+ س + یساوى حاصل ٠ = ١

= ..............فإن ضرب جذریھا

إذا كان أحد جذرى المعادلة س) ٢١(٢

) + - معكوسا جمعیا للجذر ٠= ٢٦ –س ) ٧

= ................... فإن اآلخر

س٣إذا كان أحد جذرى المعادلة ) ٢٢(٢

فإن الجذر ٢ ھو ٠ = ٦+ ب س + ٠ ، حیث ........... یساوى اآلخر

فى المعادلة س) ٢٣(٢

إذا كان حاصل ضرب جذریھا ٠= جـ ٢+ س ) ١+ جـ + ( ................ فإن جـ تساوى ٣ – یساوى

س٢مجموع جذرى المعادلة ) ١(٢

: یساوى ٠ = ٥ – س ٣ +

) أ ٢

٥) ب

٢

٣) جـ

٢

٣) د

٢

٥

: یساوى ٧ ) = ٣ – س ٢( المعادلة س حاصل ضرب جذرى) ٢(

) أ ٢

٣) ب

٢

٣) جـ

٢

٧) د

٢

٧

إذا كان مجموع جذرى المعادلة س) ٣(٢ - فإن ٥ یساوى ٠ = ٦+ س تساوى :

٦) د ٥) جـ٥ -) ب٦ -) أ فإن٢ یساوى ٠= جـ + س ٣ – ٢إذا كان حاصل ضرب جذرى المعادلة س) ٤(

: جـ تساوى

١٠

٢) د ٤) جـ ٢ -) ب٤ -) أ

ل ھما جذرى المعادلة س– ٢إذا كان ل ، ) ٥(٢

: فإن ك تساوى ٠ = ٦+ ك س + ٥) د ٣) جـ٢ -) ب١) أ

إذا كان أحد جذرى المعادلة س) ٦(٢

ف اآلخر فإن جـ تساوى ضع٠= جـ + س ٣ - ٤) د ٢) جـ٢ -) ب٤ -) أ

معكوسا ضربیا لآلخر فإن ٠ = ٢+ س ٣ – ٢ سإذا كان أحد جذرى المعادلة ) ٧( تساوى :

) أ ٣

١) ب

٢

١ ٣) د ٢) جـ

إذا كان أحد جذرى المعادلة س) ٨(٢

معكوسا جمعیا لآلخر ٠ = ٥+ س ) ٣ –ب ( – : فإن ب تساوى

٥) د ٣) جـ٣ -) ب٥ -) أ

سإذا كان مجموع جذرى المعادلة ) ٩(٢

یساوى حاصل ضرب ٠= و + ھـ س + : جذریھا فإن و تساوى

ھـ) د ) ھـ جـ–) ب -) أ

إذا تساوى جذرى المعادلة س) ١٠(٢ : تساوى فإن ك٠= ك + س ٦ –

٣٦) د ١٢) جـ٩) ب٣) أ

.................فى الفترة ................... إشاراتھا ٣) = س(الدالة د حیث د) ١(

...............فى الفترة ............... إشاراتھا ٥ -) = س(الدالة د حیث د) ٢(

س) = س(الدالة د حیث د) ٣(٢

...............فى الفترة ......... إشاراتھا ١ +

)٣ -س ( -) = س(الدالة د حیث د) ٤(٢

................فى الفترة ........ إشاراتھا

س) = س(یث دالدالة د ح) ٥(٢ ................ موجبة فى الفترة ٩+ س ٦ –

س) = س(الدالة د حیث د) ٦(٢

................ موجبة فى الفترة ٣+ س ٢ –

................ موجبة فى الفترة ٢ –س ) = س(الدالة د حیث د) ٧(

١١

................ س سالبة فى الفترة – ٣) = س(الدالة د حیث د) ٨(

................سالبة فى الفترة ) ٣ –س ) ( ٢ –س ) = ( س(الدالة د حیث د) ٩(

................موجبة فى الفترة ) ٢+س ) ( ١ –س ( -) = س(الدالة د حیث د) ١٠(

س = )س(الدالة د حیث د) ١١(٢

................ سالبة فى الفترة ٥ – س ٤ +

: یمثل دالة درجة أولى فى س الشكل المرسوم) ١٢( .......................الدالة موجبة فى الفترة ) أ

........................الدالة سالبة فى الفترة ) ب

: دالة درجة ثانیة فى س یمثلالشكل المرسوم) ١٣(

................ عندما س ٠) = س(د) أ ............... عندما س ٠> ) س(د) ب ............... عندما س ٠< ) س(د) جـ

نة سمجموعة حل المتبای )١(٢ فى ح ھى ٤ .................

مجموعة حل المتباینة س )٢(٢ ................. فى ح ھى ٠ < ٩ –

مجموعة حل المتباینة س )٣(٢

+ ٥ فى ح ھى ١ .................

مجموعة حل المتباینة س )٤(٢ ................. فى ح ھى ٠ > س ٤ –

................. فى ح ھى ٠) ٣+ س )(١ –س (مجموعة حل المتباینة )٥(

مجموعة حل المتباینة س )٦(٢

.................س فى ح ھى ٢ > ٣ +

)٢ –س (مجموعة حل المتباینة )٧(٢

................. فى ح ھى ٩ - <

مجموعة حل المتباینة س )٨(٢................. فى ح ھى ٣ - س ٢ –

<

}٥{

٢ - ٢

-١

٣

١٢

>

}{v

Similarity

دات : أووا را

١٣

: ا ا ت واا وات ا وى

مــالرسالمثلثان المتشابهان

التناسب

جبهد ي //

ابجإ ادهىإ

با

دا

جب

هد

جا

ها

دباجي //

به هبدإ هاجىإ

اه

دب

جا

ده

جه

) = اهجآ(قي )دهبآ(ق ) =هاجآ(ق، )هدبآ(ق

هدبإ هاجىإ

ده

اه

بد

جا

به

جه

ا

د

ا

ا

ا

ب

ب

ب

ج

ج

ج

د

د

ه

ه

× ه×

١٤

مشتركة آه ي

) هبدآ(ق ، ) جآ(ق = هجاإ هبدىإ

جه

به

اج

دب

اه

ده

مشتركة د آ ي

) دابآ(ق ، ) جآ(ق =

دجاإ دابىإجد

اد

اج

با

اد

بد

..................، ............... ان إذا كان یتشابھ المضلع )١( .............المضلعان المشابھان لثالث یكونا )٢( ..................أى مضلعین منتظمین لھما نفس عدد األضالع یكونان )٣( :فى الشكل المقابل )٤(

دهوإ ابجإ ) = .......وآ(ق) أ( سم = ........... هو) ب( سم= .......... اب) جـ(

فى الشكل المقابل) ٥ ( سصعإ ابجإ

سم..... = ..صع) ب(سم = ...... اج )أ(

أى من المثلثین اآلتیین متشابھین ؟) ١(

) ٤ () ٣ ( ) ٢) (١(

) ٤(،) ١(المثلثان ) د) (٤(، ) ٣(المثلثان ) جـ) (٣(، ) ٢(المثلثان ) ب) (٢(، ) ١(المثلثان ) أ (

سم ٢.٥ سم ٢ ه ×

د

و

سم ٤×

ا

ب

سم ٢ ج٣٠

ا

ج ب٣٠

سم ١٢

س

ع ص

سم ٢

٣٨

سم٦ سم٦ ◌

٧١

◌

سم٨ سم٨ سم٦

سم ٨

٧١ ◌ م س٥ سم٥

ب

د ج ه

ب

ا

ج د

١٥

أى من المثلثین اآلتیین متشابھین ؟) ٢(

) ٤) (٣) (٢) (١(

)٤(،) ٣(المثلثان ) د) (٣(، ) ١(المثلثان ) جـ) (٤(، ) ٢(المثلثان ) ب) (٤(، ) ١(المثلثان ) أ (

لمضلعین اآلتیین متشابھین ؟أى من ا) ٣(

) ٤) (٣) (٢) (١(

) ٤(،) ٢(المضلعان ) د) (٣(، ) ٢(المضلعان ) جـ) (٤(، ) ١(المضلعان ) ب) (٣(، ) ١(المضلعان ) أ (

شابھان ، األول طولھ ثالثة أمثال عرضھ ، فإذا كان الثانى طولھمستطیالن مت) ٤( : سم ، فإن طول عرضھ یساوى ١٢ سم ٦) د( سم ٤) جـ( سم ٣) ب( سم ٢) أ (

أى من المضلعین اآلتیین متشابھین ؟) ٥(

) ٤) (٣) (٢ () ١(

) ٤(،) ٢(المضلعان ) د ( ) ٤(، ) ٣(المضلعان ) جـ ( ) ٣(، ) ١(المضلعان ) ب ( ) ٢(، ) ١(المضلعان ) أ (

، فإن النسبة بین سم ١٠ سم والثانى طولھ ٥مستطیالن متشابھان األول طولھ ) ٦( : إلى محیط الثانى یساوى : محیط األول

١ : ٢) د (٢ : ١) جـ (٣ : ١) ب (٥ : ١) أ ( سم فإن النسبة بین ٤٨ سم ، ومحیط الثانى ٦سداسیان منتظمان ، طول ضلع األول ) ٧(

:طول ضلع الثانى تساوى : طول ضلع األول ٤ : ٣) د (٢ : ١) جـ (٢٤ : ٣) ب (٨ : ١) أ (

سم ٦ سم ٦ سم ٤ سم ٣

سم ٤

سم ٥

سم ٥

×

×

×

سم ٤ سم ٣

سم ٤

سم ٣

سم ٣ × سم ٣

×

× ×

سم٥

سم٤ سم٤

سم٥ سم٤

١٢٠ ٦٠

× ×

×

×

١٦

: فى الشكل المقابل) ٨(

فإن سم ٢٦ یساوى سصعل ، فإذا كان محیط الشكلسصعل~ ابجد

لس

دا ١ : ٢) د ( ٤ : ٣) جـ (٣ : ٢) ب ( ٢ : ١) أ ( : تساوى

.......................یتشابھ المثلثان إذا ساوت قیاسات زوایا أحدھما ) ١( ....... یتشابھ المثلثان إذا ساوى قیاس زاویة من مثلث قیاس زاویة من مثلث آخر وتناسبت) ٢(

........................إذا تناسبت أطوال األضالع المتناظرة فى مثلثین فإنھما ) ٣(

......................یتشابھ المثلثان المتساویا الساقین إذا ساوى قیاس ) ٤(

.........................یتشابھ المثلثان القائما الزاویة إذا ساوى قیاس ) ٥(

: شكل المقابلفى ال) ٦(

)اب(٢

............ × اد =

)جب(٢

............ × جا =

دج × دا................... = بج × اب ......... = ×..........

: فى الشكل المقابل) ٧( اجب إ~ ادهإ إذا كان المثلث

.... )...آ(ق) = ادهآ(ق فإن

: فى الشكل المقابل) ٨(

............إ~ هابإ) أ (

) ........ آ(ق) = اآ(ق) ب ( سم = ......... جد) جـ (

ج ب

س د ا

ع ص

ل

سم ٢٢

سم ١٠

× ×

×

ا

ج ب

د

ا

ج ب

د

سم ٣

سم ٤.٥ سم ٤

سم ٦

ه ؟ سم ٣.٦

ج

ا

ب

د ه

١٧

: فى الشكل المقابل) ٩ (

...........إ~ اجدإ) أ ( ) ........ آ(ق) = بآ(ق) ب (

..... : = ..... اب : اج )جـ (

: فى الشكل المقابل) ١٠(

...........إ~ هدنإ) أ ( )........ آ(ق) = وآ(ق) ب (

:فى الشكل المقابل) ١١(

إذا كان بد

با

جب

دب

دج

اد فإن :

)...آ(ق ) =ابدآ(ق)ب( ...إ~ دابإ) أ ( ....... : ...... = دا : اب) جـ

:فى الشكل المقابل) ١٢(

إذا كان وه

ود

نو

هو

دن

ده فإن .

........ إ~ دوهإ ) أ (

)هو ()جـ ()......آ(ق ) =هدوآ(ق )ب (٢

= .........

سم٣.٢ سم٧.٢ سم٤.٨

ا

ب ج

د

د

سم٢.٥ ن و ه

سم٣

سم٢

ه

و

د ن

ا

ج ب

د

ه

١٨

سصع ، إ~ ابجإ إذا كان ) ١٤(صس

با

٣

٥ فإن

عصسم

جبام

Δ

Δ

.....

.....

وكان سصع إ~ ابجإ إذا كان )١٥( عصسم

جبام

Δ

Δ

٢٥

٤فإن

هد

با

.....

.....

وكان سصع إ~ ابجإ إذا كان )١٦( عصسم

جبام

Δ

Δ

٤

٩ سم٢ = دهوكان

سم = ....... اب فإن

فإذا كانت مساحة الدائرة الصغرى٥ : ٣دائرتان النسبة بین طولى قطریھما ) ١٧(

سم٢٧ ٢

سم......... فإن مساحة الدائرة الكبرى تساوى ٢

.

١٩

ج ب ج

د ج

سم٤

:فى الشكل المقابل) ١٨(

سم١٦نت مساحة سطح المثلث األصغر إذا كا٢

فإن ........... مساحة سطح المثلث األكبر تساوى

:فى الشكل المقابل) ١٩(

سم ٣ = اد ، ٩٠ = )ادجآ(ق) = باجآ(ق : سم فإن ٤ = دج ،

= ....... : ....... )بجاإ(م:) بادإ(م

:مقابلفى الشكل ال) ٢٠(

مساحة سطح المثلث األصغر

مساحة سطح المثلث األكبر =

..........

..........

:فى الشكل المقابل) ٢١( ،ب مثلث قائم الزاویة فى ابج ص ، س سم ، ٤ = بج سم ، ٣ = اب

على الترتیب جا،با مربعان مرسومان على

) = ......... : ............صالمربع ( م ) : سالمربع ( م) أ = .......... : ..........صطول قطر المربع : سطول قطر المربع ) ب

سم٥٠ =صإذا كانت مساحة المربع ) جـ٢

سم = ........ س فإن مساحة المربع ٢

... = ..نه .ند: فإن ن فى نقطة صس،هدإذا تقاطع المستقیمان الحاویان للوترین ) ١(

: وكان م فى دج،باإذا تقاطع المستقیمان الحاویان للقطعتین ) ٢(

.....................د ، ج ، ب ، اط فإن النقمد . مج = مب . ما

:فى الشكل المقابل) ٣( سم ٣ = بج سم ، ١ = اب إذا كان

سم = ............... اد :فإن

سم٣

ا

سم٥

سم٩

سم٣

ص

سم٤

سم٣

ا

ج ب

س

ج ب ا

د

م س٣ سم١

٢٠

:فى الشكل المقابل) ٤(

)اب (٢

او× ....... = ........ × اج =

:فى الشكل المقابل) ٥( سم ، ٣ = اب مركز الدائرة ، م إذا كانت

= ................rفإن سم٢ = اد سم ، ٥ = بج

:ى الشكل المقابل ف)٦(

سم ٩ = جه سم ، ٣ = اج إذا كان = ...............اب فإن

: فى الشكل المقابل) ٧( إ ~ هاج إ...............

إ ~ اجو إ ...............

إ ~ ابه إ...............

: فى الشكل المقابل) ٨(

) اجبآ(ق ) = ادهآ(ق إذا كان = ...................اب × اد فإن

: فى الشكل المقابل) ٩(

: رباعى دائرى فإن ابجد إذا كان الشكل = ...............هج . هب : أوال = ............... وب . وا : ثانیا

ا

ب

د ج ه

و

ا • ب

ج

سم٢ ه د م

سم٣

سم٥

ا

د ب

و

ج

ه

سم٣

سم٩

•

•

ا

د

ج ب

ه

و

ج ب ه

د ا

ج

ا

ب

د ه

٢١

Triangle Proportionality Theorems The

٢٢

٢٣

.....آلخرین فإنھ یقسمھما إلى إذا رسم مستقیم یوازى أحد أضالع مثلث ویقطع الضلعین ا) ١(

.........طع أطوالھا متناسبة فإنھ من أضالع مثلث وقسمھما إلى قإذا قطع مستقیم ضلعین ) ٢(

: المقابلة األشكالفى ) ٣(

بد

دا

......

......

جا

دا

......

......

با

ها

.......

......

ا

ج ب

ه د

ا

ج ج ب

د

ج ه

ا

ب

د

ه

٢٤

: المقابلة كالاألشفى ) ٤(

سم = ....... معسم = ....... سلسم = ........ مع

.................نصفت زاویة رأس مثلث بمنصف فإنھ یقسم القاعدة إلى جزأین إذا ) ١(

................خلى والخارجى ألى زاویة من زوایا المثلث یكونان المنصفان الدا) ٢(

...…… یكونان وقاعدة المثلث فى المثلث المتساوى الساقین منصف الزاویة الخارجة ) ٣(

:المقابل فى الشكل ) ٤(

.اج ..... اب فإن جد > بدإذا كان ) أ

) بجا

با

......

.....

:المقابلفى الشكل ) ٥(با

جهجا

.....

:المقابلفى الشكل ) ٦(

.......: = ...... جد : بد) أ ٩٠ ..... ) = آ(ق) ب

إذا كان ) جـهب

هجفإن ، ١ <

جا

با ...... ١

جب ....... هافإن ) فرضا ( اج = ابذا كان إ) د

سم٢

س س

ع ل ص

م ل

ص

ع

س ؟

ع ص

ل م

سم٣

سم٢

سم٦

؟ م

سم٧.٥

سم٤.٥

سم٦ سم٦

سم٢.٥

؟

ب

ا

د ج

ج ب

ا

ه

ب

ا

ه ج

× ×

د

٢٥

:المقابلفى الشكل ) ٧(

: فإن ٥ : ٣ = دو : ده: إذا كان

= ..... : ......هن : هو) أ

سم = ....... هن سم فإن ١٦ = نوإذا كان ) ب

: األشكال اآلتیةفى كل من ) ٨(

= ......... بد = ......... بد = ......... بد

رات االتیة ثالث نقطة فى مستوى الدائرة م ، أكمل باستخدام أحد التعبی ج ، ب ، ا) ١( )داخل الدائرة ، خارج الدائرة ، على الدائرة (

افإن نقطة ١٥) = ا(مقإذا كانت..............

بفإن نقطة صفر ) = ب(مقإذا كانت..............

جفإن نقطة ٨ -) = ج(مقإذا كانت..............

:أكمل ما یأتى . rرھا إذا كانت م دائرة طول نصف قط) ٢(

سم ٦ = ام حیث اإذا كانت النقطة ،r = ا(مق سم فإن ٤( = ........

سم ٦ = مب حیث بإذا كانت النقطة ،r = ب(مق سم فإن ٩( = ......

سم ، ٥ = مجحیث جإذا كانت النقطة r = ج(مقفإن سم ٥( = ......

سم ، ٢ ٦= مد حیث دإذا كانت النقطةr = د(مق فإن سم٥( = .......

سم ، وكان ٤إذا كانت س ، ص ، ع ثالث نقط فى مستوى الدائرة م التى طول نصف قطرھا ) ٣(

:فإن ٧ -) = ع(مقصفر ، ) = ص(مق ، ٩) = س(مق

سم = ....... سمطول

و ه

د

ن

ب

ا

؟ د ج

سم ٢ سم ٣

سم ٢.٥

د

سم ٤ سم ٣ ا ج ب

؟ سم ٨

ج ب

ا

د

سم ٩ سم ٨

؟ سم ٥

٢٦

سم = ....... صمطول

سم = ....... عمطول

)٤ (

:فى الشكل المقابل) ٥( ˚٤٠ ) =$بد( ق ، ˚١٢٠ ) =$اج( ق إذا كان

˚) = .....اهدآ(ق: فإن

:فى الشكل المقابل) ٦( ˚٣٠ ) =$بد( ق ، ˚٧٠ ) =$اج( ق إذا كان

˚) = .....اهجآ(ق: فإن

: فى الشكل المقابل) ٧(

˚) = ......$بد( ق - )$جه (ق

: فى الشكل المقابل) ٨( : فإن ˚٤٨) = ابجآ(ق إذا كان

˚ ..... =) ادجآ(ق ، ˚ .....) =$اج (ق

١١٠

١٣٠

) = ...سآ(ق

ص ١٢

ص ٨

) = ...صآ(ق

١١٥ ع ٢١٣٦

) = ...عآ(ق

)١ ( )٢( )٣ (

) = ...سآ(ق ) = ...صآ(ق ) = ...سآ(ق

)٤ ( )٥( )٦ (

ا

ب

ج

د

ه

ا ج ب

د ه

٢٤

ا ب

ه ج د

٤٨

ا

ب د

ج م

٢٧

Trigonometry

٢٨

... .لھما نقطة بدایة واحدة ھى ... .الزاویة الموجھة ھى زوج مرتب من شعاعین ھما ) ١(

فى نظام أحداثى ....... تكون الزاویة فى وضع قیاسى إذا كان رأس ھذه الزاویة ھو ) ٢( ..........وضلعھا االبتدائى یقع على متعامد

..............إذا كان دوران الزاویة یكون القیاس موجبا للزاویة الموجھة ) ٣(

..............إذا كان دوران الزاویة للزاویة الموجھة سالبا یكون القیاس )٤(

....... تسمى) ٣٦٠ × ن (جمیع الزوایا التى قیاساتھا على الصورة ) ٥(

........ تقع فى الربع ٧٠٠ الزاویة التى قیاسھا) ٦(

........تقع فى الربع ) ٣٠٠ -( الزاویة التى قیاسھا )٧(

........ تقع فى الربع ٩٣٠الزاویة التى قیاسھا ) ٨(

........ ھو٨٦٠ – أصغر قیاس موجب للزاویة التى قیاسھا ) ٩(

: فى كل شكل من االشكال اآلتیة ھى قیاس زاویة ) ١٠(

: فى الوضع القیاسى تكافئ الزاویة التى قیاسھا ٦٠الزاویة التى قیاسھا ) ١( ٤٢٠) د( ٣٠٠) جـ( ٢٤٠) ب ( ١٢٠) أ(

:فى الوضع القیاسى تكافئ الزاویة التى قیاسھا ) ٢٤٠ -(الزاویة التى قیاسھا ) ٢( ٢٤٠) د( ١٥٠) جـ( ١٢٠) ب( ٦٠) أ(

: ھو ٨٤٠ للزاویة التى قیاسھا أصغر قیاس موجب) ٣( ٢٤٠) د( ١٢٠) جـ( ٦٠) ب( ٣٠) أ(

)١( ) ٢( ) ٣( )٤(

٥٥

٦٢

١٢٢

.......=) آ(ق .......=) آ(ق .......=) آ(ق .......=) آ(ق

٢٩

: تقع فى الربع ٩٣٠الزاویة التى قیاسھا ) ٤( الرابع) د ( الثالث) جـ (الثانى ) ب (األول ) أ(

:فى الشكل المقابل ) ٥( أى من االزواج المرتبة االتیة زاویة موجھة

: فى الوضع القیاسى )@جا ، @اب) (ا ( ) @وه ، @وب) (ب ( )@وب ، @ود) (ج ( )@ود ، @وص) (د (

........ الزاویة النصف قطریة ھى زاویة مركزیة تحصر قوسا من دائرة طولھ )١(

........قیاس زاویة السداسى المنتظم بالتقدیر الدائرى تساوى ) ٢(

........القیاس الستینى للزاویة النصف قطریة یساوى ) ٣(

........ الرباعى بالتقدیر الدائرى تساوى مجموع قیاسات زوایا الشكل) ٤(

الزاویة التى قیاسھا ) ٥(٤

٢١ ........تقع فى الربع

الزاویة التى قیاسھا ) ٦(٣

٧ ........تقع فى الربع

........ ھو ٦٩٠ –أصغر قیاس موجب للزاویة التى قیاسھا ) ٧(

..تساوى سم٧ وتقابل قوسا طولھ سم٥القیاس الدائرى لزاویة مركزیة طول نصف قطرھا )٨(

١.٤ الزاویة المركزیة التى قیاسھا )٩(

... تقابل قوسا طولھ سم٥وطول نصف قطر دائرتھا

إذا كان طول القوس الذى تحصره فى الدائرة التى طول نصف قطرھا ) ١٠(

(كزیة قیاسھا زاویة مر٢

٣ ( ........ تساوى سم فإن ١٢یساوى

سم یقابل زاویة مركزیة٦ فى دائرة طول نصف قطرھا ٢القوس الذى طولھ ) ١١( ........ قیاسھا الستینى یساوى

فإن القیاس ٦٥ ) = ب آ (٠.٢٥ ، ) = آ ( إذا كان ج ب فى ) ١٢( = ........جالستینى للزاویة

د

/س س ب

ج

ص

و

/ص

ا ه

٣٠

الزاویة التى قیاسھا ) ١(٣

: فى الوضع القیاسى تكافئ الزاویة التى قیاسھا

) أ( ٣

٢) ب (

٣

٤) جـ (

٣

٥) د (

٣

٧

الزاویة التى قیاسھا ) ٢(٤

١٣ : تقع فى الربع

الرابع) د(الثالث ) جـ(نى الثا) ب(األول ) أ(

الزاویة التى قیاسھا ) ٣(٣

٨ : تقع فى الربع

الرابع) د(الثالث ) جـ(الثانى ) ب(األول ) أ (

الزاویة التى قیاسھا الدائرى ) ٤(٣

٤ : قیاسھا الستینى یساوى

٢٤٠) د( ١٢٠) جـ( ٦٠) ب( ٣٠) أ ( نحیث ) ٢ – ن( ١٨٠إذا كان مجموع قیاسات زوایا أى مضلع منتظم تساوى ) ٥(

عدد األضالع فإن : بالقیاس الدائرى تساوى قیاس زاویة المثمن المنتظم

) أ ( ٣

) ب (

٢

) جـ (

٤

٣) د (

٣

٢

الزاویة التى قیاسھا ) ٦(٦

٧ :ینى یساوى قیاسھا الست

٨٤٠) د ( ٤٢٠) جـ ( ٢١٠) ب ( ١٠٥) أ ( سم یقابل زاویة ١٠ سـم فى دائرة طول نصف قطرھا ١٥bالقوس الذى طولھ ) ٧(

مركزیة قیاسھا یساوى

) أ( ٣

٢) ب (

٢

٣) جـ (

٣

٤) د (

٤

٥

سم ویقابل زاویة مركزیة قیاسھا٦فى الدائرة التى طول نصف قطرھا ما طول القوس )٨(٣

) أ (٢

٣) جـ( سم ٢b) ب( سم

٢

٥ سم٣b) د( سم

٣١

إذا كان قیاس زاویتین من مثلث ھما ) ٩(٤

،

١٢

٥ : فإن قیاس الزاویة الثالثة یساوى

) أ (٦

) ب (

٥

) جـ (

٣

) د (

٢

............فإنھا تسمى فى ھذه الحالة إذا تغیرت النسبة المثلثیة لزاویة بتغیر قیاس زاویتھا )١( .. ....وطول نصف قطرھا یساوى .. ...اثى متعامد یكون مركزھا دائرة الوحدة فى نظام إحد)٢( .....أ، ..... یكون ظل الزاویة موجبا إذا وقعت الزاویة فى الربعین )٣( ..... جیب وجیب تمام الزاویة یكونان سالبان معا إذا وقعت الزاویة فى الربع ) ٤( ..... اطع وقاطع التمام یكونان سالبان معا إذا وقعت الزاویة فى الربع الق) ٥(

فإنـ ٠ > ، قا ٠ < إذا كانت جا ) ٦(

..... [ ، ] .....

فإن ٠ > ، قتا ٠ < إذا كانت ظا ) ٧(

..... [ ، ] .....

دائرة الوحدة فإن سھى إحداثي أى نقطة على) س ، ص( إذا كانت ) ٨(٢

ص+ ٢

..... =

ائرة الوحدة فى النقطة فى الوضع القیاسى یقطع دإذا كان الضلع النھائى للزاویة ) ٩( ............ تقع فى الربع فإن ) س ، ص- (

فى الوضع القیاسى یقطع دائرة الوحدة فى النقطة إذا كان الضلع النھائى للزاویة ) ١٠( .◌ ) = ..... آ ( فإن ٠> حیث س ) س- س ، -( فى الوضع القیاسى یقطع دائرة الوحدة فى إذا كان الضلع النھائى للزاویة ) ١١(

= ........... فإن ظا٠ > حیث ) ٤ ، ٣( النقطة لقیاسى یقطع دائرة الوحدة فى فى الوضع اإذا كان الضلع النھائى للزاویة ) ١٢(

(النقطة ٥

٣ = ..........فإن ص ) ، ص

س ، (إذا كانت النقطة ) ١٣(٢

١ = ..... فإن س ٠> تقع على دائرة الوحدة ، س )

= إذا كانت جا ) ١٤(٢

١ حیث

٢

> >

٢

٣ ) = ........ آ ( فإن

) = ......... آ (فإن ◌ ٩٠ < < ٠حیث ٢ = إذا كانت قا ) ١٥(

٣٢

حیث ١ - = إذا كانت ظا ) ١٦(٢

٣ > > ٢ فإن ) آ ..... = (

إذا كانت جا ) ١٧(٢

س =

٢

١ ، ٠ [ حیث

٢

) = ....... آ (فإن [

= ......... ٦٠ ظا – ٣٠جتا + ٦٠ جا ) ١٨(

...... ، .....) = آ ( فإن٣٦٠ << ٠ حیث ٣ - = إذا كانت ظا ) ١٩( ...... ]، [...... فإن جتا ] ٢ ، ٠ [ إذا كانت ) ٢٠( ...... ]، [...... فإن جا ] ، ٠ [ إذا كانت ) ٢١(

= ) ١٠+( إذا كانت جا ) ٢٢(٢

١ ، ٠ ] حیث

٢

) = ....... آ ( فإن[

) = ......... آ(فإن [ ٢ ، ٠ [ وكانت ١ - = إذا كانت جتا ) ٢٣( ) = ........ آ( یة حادة فإن زاویة قیاس زاوحیث ٣ = ٣إذا كانت ظا ) ٢٤(

= جتا = إذا كانت جا ) ٢٥(١

٢ ...... .) = آ( فإن ٣٦٠<< ٠ حیث،

= إذا كانت جتا ) ١(٢

١ تساوى ) آ (جبة فإن حیث ھـ قیاس أكبر زاویة مو

٣٠٠) د ( ٢٤٠) ج ( ١٢٠) ب ( ٦٠) ا ( :تساوى ) آ ( فإن ٠ = ، جا ١ - = إذا كانت جتا ) ٢(

٣٦٠) د ( ٢٧٠) ج( ١٨٠) ب ( ٩٠) ا (

: تساوى فإن قیاس زاویة ٢ = ٣إذا كانت قا ) ٣( ٣٠) د ( ٢٠) ج ( ١٥) ب ( ١٠) ا (

= ٢إذا كانت جا ) ٤(٢

١ : تساوى فإن قیاس زاویة

٦٠) د ( ٤٥) ج ( ٣٠) ب ( ١٥) ا(

إذا كانت ظا ) ٥(٢

٣ : تساوى فإن قیاس زاویة ١ =

٦٠) د ( ٤٥) ج ( ٣٠) ب ( ١٠) ا (

- = ا إذا كانت ج) ٦( ٣

٢ = ، جتا

٢

١ : تساوى فإن قیاس زاویة

٣٠٠) د ( ٢٤٠) ج ( ١٢٠) ب ( ٦٠) ا (

٣٣

- = ، جتا ١ = إذا كانت ظا ) ٧(١

٢ : تساوى فإن قیاس زاویة

٣١٥) د ( ٢٢٥) ج ( ١٣٥) ب ( ٤٥) ا ( : تساوى ٦٠ قا - ٤٥ظتا + ٤٥ظا ) ٨(

) ب ( صفر ) ا ( ٢

١ ) ج (

٣ ١) د ( ٢

إذا كانت جتا ) ٩(٢

=

٣ ٢

: تساوى فإن جا

) ا ( ٢

١) ب (

١

٣ ) ج (

٢

٣ ) د (

٣ ٢

ب جـ ، فإن ∆ فى بظتا = ب ، ظا ٨٥ ) = آ (إذا كان ) ١٠( ) تساوى ) جآ:

٦٠) د ( ٥٠) ج ( ٤٥) ب ( ٣٠) ا (

) = .......... - ٣٦٠(ظا ) ٢) = ........ ( + ١٨٠(جتا ) ١( ) = ........... + ٢٧٠(قا ) ٤) = ...... ( – ٩٠( قتا )٣( .. ) =.... آ ( فإن ٣جتا = ٢ وكان جا ٩٠ < < ٠ إذا كان ) ٥( ) =...... + ( زاویتان حادتان فإن قتا ، حیث قتا = إذا كان قا ) ٦( ) = ...... آ ( زاویة حادة فإن حیث ) - ٩٠(ظا = إذا كان ظا ) ٧( = ...... ٣فإن جتا : ٩٠ < < ◌ ٠وكانت ٦٠ جتا ) = ٢٠ +( إذا كان جا ) ٨( . = ... ٦جتا فإن ٩٠ << ٠حیث ) ٣٠+ ٣(قا ) = ٢٠ +( إذا كانت قتا ) ٩( ...) = .. ٣ - ٩٠( فإن جتا ٩٠ << ٠ حیث ٥ظتا = ٤ إذا كان ظا )١٠( ... ) = .. آ ( زاویة حادة فإن حیث ٤ظتا ) = ٢٠ + ٣(إذا كان ظا ) ١١(

جا إذا كانت ) ١٢(٢

١٥

جتا = ٢

١٥

زاویة حادة فإن قیاس حیث

...... تساوى زاویة = ......جتا : فإن زاویة حادةحیث ٥) = – ٩٠( جا ١٣إذا كانت ) ١٣(

٣٤

= قیاسى زاویتین متتامتین وكان ظا ، إذا كان ) ١٤(٤

٣ = ...... فإن ظتا

) = ...... – ٩٠( فإن جا ٩٠ < < ٠ حیث ٢.٤ = إذا كان ظا ) ١٥( فى ) - ٩٠( قتا × ) - ٩٠( قا × جتا × جا : قیمة المقدار ) ١٦(

......أبسط صورة تساوى

: قیمة المقدار ) ١٧(٤٠جا

٢٥ظا

٦٥ظتا

٥٠جتا٥

٥

٥

٥

فى أبسط صورة تساوى ......

.... فى أبسط صورة تساوى ٢٥جا ٦٥ جا – ٦٥جتا ٢٥جتا : قیمة المقدار) ١٨(

، ٠ ] إذا كانت ) ١٩(٢

وكان [

جتا

جا

)١٥(

)١٥(٥

٥

فإن قیاس زاویة ١ =

= ...... لتقدیر الدائرى با

. ............ھى ) ١٢٠جا+ ١٥٠جتا (أبسط صورة للمقدار ) ٢٠(

) = (مدى الدالة د حیث د) ١(٢

٣ ......... ھو جا

.........ھو جتا ٢) = (مدى الدالة د حیث د) ٢(

[ ھو ق وكان مدى جتا ا) = (ق دالة حیث ق إذا كانت ) ٣(٢

٥،

٢

٥ = ..... افإن ]

........ ھى جا٤) = (ع حیث عالقیمة العظمى للدالة ) ٤( ........ ھى جتا٣) = (هحیث هالقیمة الصغرى للدالة ) ٥( مع محور ] ٢b ، ٢b -[ فى الفترة جتا٢) = ( نقاط تقاطع الدالة د حیث د)٦(

.........السینات ھى )٧(

فى الشكل :المقابل

قاعدة الدالة ....... ھى

٣٥

)٨(

.......... قا ) = -(قا ) ١( ............. جا ) = ١٨٠ - (جا ) ٢( ) = ................ ٩٠ - (ظا ) ٣( ) = ................ + ٢٧٠(جتا ) ٤( ................) = -(جتا × ) - ٩٠(قتا ) ٥( ................ ) = - - ١٨٠( جا ) ٦( ) = ............. آ ( فإن ٢ = ا كان قا إذ) ٧(

= إذا كانت ظتا ) ٨(٣

٤ = ............... فإن جتا ٢٧٠ < < ١٨٠ حیث

........=.. اصغر زاویة موجبة فإن قیاس حیث ٢.١٤= ٣٢.٢٤إذا كان قا ) ٩(

= ن جا إذا كا) ١٠(٢

١ .........= ...) آ ( فإن ١٨٠ < < ٩٠ حیث

< > ، ٣ = جتا ٢إذا كان ) ١(٢

٣ :یساوى ) آ(ق فإن

) ا ( ٣

) ب (

٧

٦) ج (

٣

٤) د (

٦

٧

تساوى ٣فإن جا ٣ = جتا ٢ زاویة حادة موجبة حیث إذا كانت ) ٢(

) ب(ر صف) ا ( ٢

١) د (١) ج (

٢

٣

ألقرب رقمین عشریین تساوى فإن قیمة جا ٠.٦٤ = زاویة حادة ، جتا إذا كانت ) ٣( ٠.٩٩) د( ٠.٧٧) ج (٠.٦٤) ب (٠.٣٦) ا (

فى الشكل :المقابل

قاعدة الدالة ....... ھى

٣٦

تساوىعشریین ألقرب رقمین فإن قیمة ظتا ٠.٧٥ = زاویة حادة ، ظا إذا كانت ) ٤( ٨٨.٤٥) د (٣٦.٨٧) ج (١.٣٣) ب (٠.٢٥) ا(

ى تساو فإن ظا ٠.٦) = – ٩٠( أكبر زاویة موجبة حیث جتا إذا كانت ) ٥( ٠.٨٠) د (٠.٦٠) ج (٠.٦٠-) ب (٠.٧٥ -) ا (

: تساوى ١٠ فإن إحدى قیم جتا ٢ظا = ٣إذا كانت ظتا ) ٦( ٢) د (١) ج(صفر ) ب (١ -) ا (

ل ، ( قیاس أكبر زاویة موجبة یتعین وضعھا القیاسى بالنقطة انت إذا ك ) ٧(١٣

١٢ : تساوى فإن ل)

) ب (٥ -) ا (١٣

٥) ج (

١٢

٥) د (

١٣

١٢

تساوى ) – ١٨٠( قیاس زاویة حادة فإن ظتا إذا كانت ) ٨( ظتا ) د (ظا ) ج ( ظتا -) ب ( ظا -) ا (

تساوى ) – ٣٦٠( قیاس زاویة حادة فإن قتا إذا كانت ) ٩( ) ٩٠ - (قتا ) د) ( – ٩٠(قا ) ج (قا ) ب ( قتا -) ا (

( فإن إحدى قیم جا ٣جتا ) = ١٠ + (إذا كان جا ) ١٠(٢

ط - ٣ ( تساوى

) ا (٢

١) ب (

٣ ) ج ( ٢

٢

٣ ٢) د (

: ھى ) س( فإن أكبر قیمة ممكنة للدالة د جا س لكل س ٣) = س(إذا كانت د) ١١( ٣) د (١) جـ(صفر ) ب (٣ -) ا(

ھى ) س( فإن أقل قیمة ممكنة للدالة د س لكل س ٢جا ) = س(إذا كانت د) ١٢( ٢) د(صفر ) ج (١ -) ب (٢ -) ا (

إذا صعد رجل منحدرا یمیل على األفقى بزاویة قیاسھا) ١٣( یصل إلیھق فإن أقصى ارتفاع / م٥ بسرعة ٣٠

: دقائق یساوى ١٠ الرجل بعد م ٣٠) ب ( م ٢٥) ا(

م٥٠) د(م ٣ ٢) ج ( فإذا كان طول نصف٦٠یتأرجح بندول بزاویة قیاسھا ) ١٤(

طول المسار الدائرى الذى سم فإن١٢البندول قطر :البندول یساوى یقطعھ

ط سم ٤) ب(ط سم ٣) ا (

ط سم٨) د( ط سم ٦) ج (

٣٠

األفقى

٦٠ سم١٢

٣٧

:ألعداد المركبة فى مجموعة احل المعادالت اآلتیة) ١(

س) أ( ٢س) ب( ٠ = ١٢+ س ٧ –

٢ + ٠ = ٣

س٢) ـج( ٢

س٣) د (٠ = ١٥ – س ٧ + ٢ ٠ = ١٢+ س ١٠ –

=١٠+ س٣) ھـ (س

٨) و (٠ حیث س

٣

٢

٣

١ س

س+س حیث٠ =٢ ٠

:اصل ضرب جذرى كل معادلة فیما یأتىأوجد مجموع وح) ٢(

س) أ( ٢

س) جـ( ٠ = ٣+ س ٤ + ٢

٠ = ٢٠ – س –

س٣) ھـ( ٢

س٤) و ( ٠ = ١٤ – س ١٩ + ٢

٠ = ٣٥ – س ٤ + : مما یأتى فى كلمعادلةلل ثم أوجد الجذر اآلخر أوجد قیمة ) ٣(

أحد جذرى المعادلة س٣= س : إذا كان) أ( ٢

+ ٠ = ١٥ – س

= س : إذا كان ) ب (٢

١ س أحد جذرى المعادلة

٢ ٠ = ٥ – س ٩ +

= س : إذا كان ) جـ (٣

٥ س أحد جذرى المعادلة

٢ - ١٠= س

أحد جذرى المعادلة س ٢ - ٣= س : إذا كان ) د (٢

٠ = ا+ س ٦ – :ب فى كل معادلة مما یأتى ، أوجد قیمة كل من ) ٤(

ھما جذرا المعدلة س٥ ، ٢ ) أ( ٢

+ ١٠ ، ٧ -:الجواب [ ٠= ب + س[

را المعدلة س ھما جذ٥ - ، ٣) ب( ٢

+ ١٥ - ، ٢:الجواب [ ٠= ب + س[

ھما جذرا المعادلة س ٣ ) جـ( ٢

+ ٣ - ، ٠: الجواب [ ٠= ب + س[

ھما جذرا المعادلة س ٣ ٢ )د( ٢

+ ١ ، ٤ -: الجواب [ ٠= ب + س[ ) ن + ..... + ٣ + ٢ + ١(األعداد الصحیحة المتتالیة إذا كان مجموع ) ٥(

= ج یعطى بالعالقة ٢

ن ١فكم عددا صحیحا متتالیا بدءا من العدد ) ن + ١(

. ٢١٠ مجموعھا مساویا یكون

٣٨

لقفزة من ارتفاع ثانیة ن بالمتر بعد صتبین الدالة التالیة أرتفاع جندى المظالت ) ٦(

ن ٢.٤ - = ص متر عن سطح األرض ٢٨٠ ٢

كم یستغرق السقوط الحر٢٨٠ + متر ؟ ٢٢٠ إذا كانت مظلة الجندى یجب أن تفتح عند ارتفاع

: بالعالقة ٢٠١٣یقدر عدد السكان فى جمھوریة مصر العربیة بعد عام ) ٧(

ن =ع ٢

عدد السنوات بعد ) ن(كان بالملیون ، عدد السعحیث ٩١ +ن١.٢ + . ٣٠١٣ عام

؟٢٠١٣كم كان عدد اسكان عام ) أ ( .٢٠٢٣أحسب تقدیر عدد السكان عام ) ب ( . ملیونا ٣٣٤أحسب اقرب عدد من السنوات التى یبلغ بعدھا عدد السكان ) جـ (

:

: ى فى أبسط صورة ضع كال مما یأت) ١(

ت) أ (١٦

ت) ب (٢٥

ت) جـ (٣٨

ت) د (٦٣

ت) ھـ (- ١٢

ت) و (- ٢١

ت) ز ( ١ + ن٤

ت) ح (٣ – ن٤

:بسط كال مما یأتى ) ٢(

١٢ - × ١٨ -) جـ ( ٩ - × ٤ -) ب ( ٢ ٥ -) أ (

) ت٤ -) (و) ( ت٧ -) ( ت٥ -) (ھـ () ت٣ -(ت ٤) د (٣

) ت٦ - (٢

:أوجد ناتج كال مما یأتى فى ابسط صورة ) ٣( ) ت٣ – ١٢) + ( ت٢٤ – ١٧) (ب) ( ت٤ – ٢) + (ت٢ + ٣) (أ (

) ت٢٠ – ٩ (–) ت٢٥ + ٢٠) (د) ( ت٢٠ – ٩ (–) ت٤ – ٢٦) (جـ (

) ت٤ – ٣) (و) ( ت٣ + ٢) ( ت٣ – ٢) (ھـ (٢

) ت٤ + ٦) ( ت٢ – ٣) (ح) ( ت٥ – ٨) (ت + ٦) (ز (

ب ت + أ ضع كال مما یأتى على صورة) ٤(

)ت ٢ + ٢٣) (ت ٢ - ٢٣) (ب ( ) ت٢ – ١ (–) ت٣+ ٢( ) ا (

ت٢ + ١) (ج (٣

ت٣ + ٢) (٥

ت٤ + ٦

(

:أوجد ناتج كال مما یأتى فى أبسط صورة ) ٥(

) أ (

٢

٥٤

ت

ت) ب (

٥٣

٤

ت) جـ (

٢

٤

ت

ت) د (

١٣

٣٥

ت

ت

٣٩

ب ت + أ ضع كال مما یأتى على صورة) ٦(

) ا( ٢

ت + ١) ب (

ت + ٤ت

) جـ ( ت٣ - ٢ت + ٣

) د (ت٢ + ١ ت٣ + ٤

) ھـ ( ت٢

)ت + ١() و ( ٢

) ت- ٣( )ت + ٣( ت٤ - ٣

:حل كل معادلة من المعادالت اآلتیة ) ٧(

س٣) أ (٢

ص٤) ب (٠ = ١٢ + ٢

ع٤) جـ (٠ = ٢٠ + ٢

+ ٠ = ٧٢

م٣ -) د (٢

) ھـ (٠ = ٨١ – ٣

٢س

٢) و (٠ = ١٢ +

٥

٣ص

٢ + ٠ = ١٥

:أوجد قیمتى ل ، م الحقیقیتین اللتین تحققان كال من المعادالت االتیة ) ٨(

ت ٢٧ – ل ٤= م ت ٣ + ١٢) أ (

ت ٢٠ + ٣ -= م ت ٥) + ل– ٢) (ب (

ت ٦ – ١٢= ت ) ١ –م (–) ٥+ ل ) (جـ (

ت ٤ + ٢= ت ) م+ ل ) + ( م–ل ( ) د(

٥= ت ) م٢+ ل ) + (م ٢ –ل ٣) (ھـ(

ت ٥= ت ) م–ل ٢) + (م= ل ٣( ) و(

= إذا كان أ ) ٩(١

٤٢

ت

ت= ، ب

٢

٥٥

ت

ت فاثبت أن أ ، ب عددان مترافقان

ثم أوجد فى أبسط صورة ب

أ

أ

ب

أوجد مجموع شدة التیار الكھربى الكلیة فى دائرة كھربیة موصلة على التوازى إذا كان )١٠( ت أمبیر ٣ + ٦ت أمبیر وفى الجزء اآلخر ٢ – ٤شدة التیار فى أحد أجزائھا

ئیة موصلة على التوالى إذا كانتأوجد مجموع المقاومة الكلیة فى دائرة كھربا) ١١( . ت أوم ٣ – ٧ت أوم ومقاومة الطرف اآلخر ٢ + ٣ومة أحد طرفیھا مقا

) ش(فرق الجھد بالفولت ، ) جـ(حیث ) ت× ش = جـ (استخدم قانون أوم ) ١٢( :المقاومة باألوم إلیجاد كل من ) م( شدة التیار باألمبیر ،

ت امبیر والمقاومة ٢ – ٥إذا كانت شدة التیار یساوى بالفولت فرق الجھد ) أ ( .ت أوم٣ + ٥ تساوى

٤٠

ت قولت والمقاومة ٢ + ٢٩شدة التیار بأمبیر إذا كان فرق الجھد یساوى ) ب ( .أومت ٢ + ٣تساوى

ت فولت وشدة التیار ٢٧ + ٢١المقاومة باألوم إذا كان فرق الجھد یساوى ) جـ ( . ت أمبیر ٦ + ٣ ساوى ت

:

:حدد نوع جذرى كل منالمعادالت التربیعیة االتیة ) ١(

س ) أ (٢

س٦) ب (٠ = ٦+ س٤ - ٢ ٠ = ٣٥ -س ١١ –

س) جـ (٢

س٦) د (٠ = ٤٩+ س ١٤ – ٢ ٠ = ٣٥+ س ١٩ –

٠ = ٥ – س( س–) ١٢ –س ) (ھـ (

) ٦ –س ) (٤ –س (٢) = ٥ –س ) (١ –س ) (و (

.أوجد حل كال من المعادالت اآلتیة فى مجموعة األعداد المركبة باستخدام القانون العام ) ٢(

س) أ (٢

س٢) ب (٠ = ٥+ س٤ - ٢ ٠ = ٥+ س٦+

س٣) جـ (٢

س٤) د (٠ = ٦+ س٧ - ٢

٠ = ١+ س -

:أوجد قیمة ك فى كل من الحاالت االتیة ) ٣(

إذا كان جذرا المعادلة س) أ (٢

.ك حقیقیین مختلفین + س ٤ +

س: إذا كان جذرا المعادلة ) ب (٢

+ ٢+ س ٣ – ك

١ . متساویین ٠ =

س: إذا كان جذرا المعادلة ) جـ (٢

. مركبین ٠ = ١٦+ س ٨ –

:إذا كان ل ، م عددین نسبیین فاثبت أن جذرى المعادلة ) ٤(

ل س٢

. عددان نسبین ٠= م –س ) م –ل + ( :ابحث نوع الجذرین لكل من المعادالت اآلتیة ثم اوجد مجموعة حل كل منھا ) ٥(

س) ا (٢

س٢) ب (٠ = ٣٥ – س٢ + ٢

٠ = ٧ + س٣ + ٠ = ١٦) + ٨ – س٣(س٣) د (٠ = ٥) + ٤ – س(س) ج (

=١ + س٢) ه (٣س

٥- س) و () ٣ سحیث (

١س

١ ) ١ سحیث ( ٣=

جسالتى تجعل جذرى المعادلة جأوجد قیمة ) ٦(٢

متساویین٠ = ٩ + س١٢ –

٤١

س التى تجعل جذرى المعادلة اأوجد قیمة ) ٧(٢

+ ٢ + س٣ – ا

١ متساویین ٠ =

التى تجعل جذرى المعادلة سمأوجد قیمة ) ٨(٢

متساویین ٠ =٤+ س ) ٥ - م (–

س٣أوجد قیمة جـ التى تجعل جذرى المعادلة ) ٩(٢ متساویان٠= جـ + س ٥ –

. ثم أوجد الجذران

أوجد قیمة ك التى تجعل أحد جذرى المعادلة س) ١٠(٢

٠ = ٣ –س ) ١ - ك + ( . ھو المعكوس الجمعى للجذر اآلخر

:أوجد قیمة ك التى تجعل أحد جذرى المعادلة ) ١١(

سك ٤ ٢

ك+ س ٧ + ٢

ھو المعكوس الضربى للجذر اآلخر ٠ = ٤ +

س٨إذا كانت النسبة بین جذرى المعادلة ) ١٢(٢

٣ : ٢ تساوى ٠ = ٣+ سب – ب أوجد قیمة

:أوجد معادلة الدرجة الثانیة فى كل مما یأتى ) ١٣(

مجموع جذریھا ) أ (٧

٥ وحاصل ضربھما

٢١

٨

وحاصل ضربھما ٤مجموع جذریھا ) ب (٨

٧

:كون معادلة الدرجة الثانیة التى جذراھا كاآلتى ) ١٤(

) جـ( ت ٥ ت ، ٥ -) ب (٤ ، ٢ –) أ (٣

٢،

٢

٣

) د (ت

٢ ٢ - ٢ + ٣ ، ٢ - ٢ – ٣) ھـ( ت ٣ ،

س٢أوجد المعادلة التربیعیة التى جذراھا ضعفا جذرى المعادلة ) ١٥(٢ ٠ = ٥+ س ٨ –

:أوجد المعادلة التربیعیة التى كل من جذریھا یزید واحدا عن أحد جذرى المعادلة ) ١٦(

س٢ ٠ = ٩ –س ٧ –

أوجد المعادلة التربیعیة التى كل من جذریھا یساوى مربع نظیره من جذرى ) ١٧(

س: المعادلة ٢

٠ = ٥ –س ٣ +

٤٢

لمعادلة سإذا كان ل ، م جذرى ا) ١٨(٢ فأوجد معادلة الدرجة ٠ = ٣+ س ٧ –

: الثانیة التى جذراھا

) جـ (٢+ ، م ٢+ ل ) ب( م ٢ ل ، ٢) أ (ل

٢،

م

٢ م ، ل م + ل ) د (

م ھما جذرى المعادلة س٢ ل ، ٢إذا كان ) ١٩(٢ دلة فأوجد المعا٠ = ١٢+ س ٤ –

التربیعیة التى جذراھا ل٢

م ، م٢

. ل

إذا كان ) ٢٠(ل

٢ ،

م

٢ س٤ ھما جذرا المعادلة

٢ فكون المعادلة ٠ = ٢ – س ٣ +

. التربیعیة التى جذراھا ل ، م

األمتار ، یراد مضاعفة مساحة من٩ ، ٦قطعة أرض على شكل مستطیل بعداه ) ٢١( اوجد طول . ھذه القطعة وذلك بزیادة طول كل بعد من ابعادھا بنفس المسافة

المسافة المضافة

س٧ فى المعادلة التربیعیة جأوجد مجموعة قیم ) ٢٢(٢

٠ = ج+ س ١٤ + : بحیث یكون للمعادلة

.جذران حقیقیان متساویان ) ب. (یان مختلفان جذران حقیق) أ ( .جذران مركبان غیر حقیقیان ) جـ (

:

س ) = س(د) ٣ (٥ -) = س(د) ٢ (٤) = س(د) ١( س – ٢) = س(د) ٦ (٢+ س ) = س(د) ٥(س ٢ -) = س(د) ٤(

س) = س(د) ٧(٢

س-) = س(د) ٨ (٢

س) = س(د) ٩ (٢

+١

س– ٢) = س(د) ١٠(٢

)٢+ س ) (١ –س ) = (س(د) ١١(

)٢ –س ) = (س(د) ١٢(٢

س) = س(د) ١٣ ( ٢

٢ – س –

س) = س(د) ١٤(٢

س٤ ) =س(د) ١٥( ١٦+ س ٨ –٢ ٢٥ + س ١٠ -

س٤ – س ٥ – ٦) = س(د) ١٦(٢

٢ – )١ –س (س) = س(د) ١٧ (

٤٣

س) = س(ارسم منحنى الدالة د) ١٨(٢ ومن الرسم عین ] ٣ ، ٢ -[ فى الفترة ٤ –

) .س( إشارة د

ومن ] ٤ ، ٣ - [ فى الفترة ٤ + ) س– ٢(س) = س(ارسم منحنى الدالة د) ١٩( ) .س( الرسم عین إشارة د

س) ١(٢ س )٢( ٤

٢ - ٩ ٠

س–س ) ٣(٢

س) ٤ ( ٠ < ٢

+ ٧ ٣

٠ ٣ -) ٢+ س (س )٦( ٠< ) ٣ -س ) (١ -س ( )٥(

س )٧(٢

س )٨( ٠ < ٤+ س ٤ + ٢ ١٣ -> س ٦ -

)٢ -س ( )٩(٢

- س ٢ – ٥) ١٠ ( ٥س ٢

س )١١(٢ س٣ )١٢( ٩ – س ٦

٢ ٤+ س ١١

س )١٣(٢

٠ ٢ -) ١+ س (س )١٤( س٩ < ١٤ +

س )١٥(٢ ٢ س ) + ٢+ س ) (٣ -س ( )١٦( ٠ ٤+ س ٤ -

س) ١٨(٢

س–س ٢ +٥ > ٣ –٢

)٢+س) (١٩ (٢

٠<) ٤ –س ) (١+س+ (

: فى الشكل المقابل) ١(

سصعإ ابجإ سم٤ = صع سم ، ٦ = صس سم ١٠ = اج سم ، ١٢ = اب

] سم ٥ سم ، ٨: اإلجابة [ عس،جب: أوجد طول كل من

: فى الشكل المقابل) ٢(

جبهد : أثبت أن . ابج ادهإ //

سم١.٥ = هج، سم ٢ = دب سم ، ٤ = اد : وإذا كان

هد،هاأوجد طول كل من. سم ٥ = بج

سم ، ٣: إلجابة ا[ ٣ ] سم ١٠

سم١٢

سم١٠

ا

ب

ج ؟

س

ع ص

سم٦

سم٤

؟

ا

ج ب

ه د

سم٤

سم٢

سم ٥سم

؟

؟

سم ١.٥سم

٤٤

: فى الشكل المقابل) ٣( اهد إ ابجإ رباعى دائرى بجهد الشكل أثبت أن سم ٢ = بد سم ، ٣ = اد وإذا كان

] سم ٣.٥: اإلجابة [ . جهأوجد طول . سم ٢.٥ = اه ،

: فى الشكل المقابل) ٤( ٩٠) = باجآ(ق ،ابجإ دباإ

جبدا: أثبت أن .

سم ٦ = اج سم ، ٨ = اب: وإذا كان

] سم ٦.٤: اإلجابة [ . دب أوجد طول

: فى الشكل المقابل) ٥( جباإ جده إ باستخدام األطوال الموجودة على الرسم

.هد،هب أوجد طول كل من ] سم ٢ ، سم ١١: اإلجابة [

: فى الشكل المقابل) ٦(

دجبا: ، أثبت أن مباإ مجد إ //

سم ٣ = مج سم ، ٥ = مب وإذا كان

] سم ٢.٥: اإلجابة [ .مدفأوجد طول . سم ٦ = اد ،

:فى الشكل المقابل) ٧( سصعن المضلع ابجد المضلع

سم ، ٤ = بج سم ، ٦ = اب ، سم ١٠ = دا سم ، ٩ = جد

:أوجد طول كل من . سم ٣.٥ = عن ،

] سم٣.٨٩ ، ١.٥٦ ، ٢.٣٣: اإلجابة [ نس،عص ، صس

: فى الشكل المقابل) ٨( ابجده المضلع

سصعلم المضلع أطوال أضالع المضلع

األول كما ھو موضح بالشكل . سم ٤٨انى إذا كان محیطھ یساوى أوجد أطوال المضلع الث

] سم ١٥ سم ، ١٢، سم ٩، سم ٧.٥ ، ٤.٥: اإلجابة [

؟

سم٣

ا

ج ب

د

ه

سم٢

سم٢.٥

ا

د ج ب

مس٦ سم٨

؟

م ا

د

ج

سم٣

سم ٥

ب

ا

ب

د ج

ه سم٣

سم٥

سم٦

سم٨

سم١٠

٤٨= محیط المضلع سم

ص

س

ل ع

م

سم١٠

سم٦

سم٤

سم٩

د

ا

ج ب

سم٣.٥ س

ع ص

ن

ا

ب

د ج

ه

سم٧ سم٥

سم٤

؟

؟ سم٦

٤٥

: فى الشكل المقابل) ٩( ابجد شبھ المنحرف سصعن شبھ المنحرف

داجب سم ،٨ = اد ، //

سم ٢ = سص سم ، ١٦ = بج ٤٥) = جآ(ق) = بآ(ق

] سم ٢، ٢ ٤ :اإلجابة [ نس ، با: أوجد طول كل من

: فى الشكل المقابل) ١٠( صعبس المضلع ابجدالمضلع : إذا كان

داصس: فاثبت ان //.

سم ،١٤ = ابجد وإذا كان محیط الشكل سم ١٠ = سبعص محیط الشكل

] سم٤.٨: اإلجابة [ .با سم فأوجد طول ٢ = بس ، طول

: فى الشكل المقابل ) ١(

بدجا سم ١٠ = ام ، //

سم ٨ = جم سم ، ١٥ = مب ، . سم ١٢ = بد ،

] سم ١٢ ،٨: اإلجابة [ . دم،جا: أوجد طول كل من

: فى الشكل المقابل) ٢(

) جآ(ق) = ادهآ(ق سم ٥ = اه سم ، ٤ = اد سم٣ = هج سم ، ٦ =ده

] سم ١٢ ، ٦: اإلجابة [ جب،بد: أوجد طول كل من

:فى الشكل المقابل) ٣(

جبدا ، ٩٠) = باجآ(ق

سم ، ٦ = اج سم ، ٤.٥ = اب ،

دا،جد،دب أوجد طول كل من ] سم ٣.٦ ، ٤.٨ ، ٢.٧: اإلجابة [

ا

ج ب

د

ع ص

سم ٢

٤٥ ٤٥

سم١٦

سم٨

س ن

ا

ج ب

د

س

ص

ع

ا

ب

ج

د

م سم١٠

سم٨ سم١٥

سم١٢

؟

؟

ا

ج ب

د

ه

سم٤

سم٥

سم٣ ؟ سم٦

؟

ا

د ج ب

سم٦ سم٤.٥

٤٦

دجاب شكل رباعى دائرى فإذا كان ابجد) ٤( = }أثبت أن . } ه:

هج . هد = هب . ها : ثانیا هجب إ~ هادإ : أوال

ابهج شكل رباعى دائرى ، رسم ابجد) ٥( .ه فى اد ویقطع //

.جه . بد = دج . اج: أثبت أن

جب ت ه ، ٩٠= ) اجدآ(ق) = بآ(ق شكل رباعى فیھ ابجد) ٦(

بحیث اج

دج

اب

هب أثبت أن :

٩٠= ) اهدآ(ق : ثانیا اجدإ~ ابهإ : أوال

، وكان جبت د حیث اآ ینصف دا مثلث ، ابج ) ٧(دب

با =

٢

٣ ،

جا

با

٥

٤ : ثانیا جباإ~ ابدإ : أوال :أثبت أن .

با

دا

٦

٥

بحیث كان جاته، شكل رباعى ابجد) ٨(جا

دا

اه

هب ،

جا

دج

اه

با . ا

هبدا،ابدج: اثبت أن ////

:فى الشكل المقابل) ٩(

)اد (٢

دج × بد= اد × اج = جد × اب ،

جبدا : ثانیا جادإ~ ابدإ : أوال : أثبت أن

وأطوال أضالع المثلث ٢٠ ، ١٥ ، ١٠ ھى ابجإذا كانت أطوال أضالع المثلث )١( : سم على الترتیب فأوجد النسبة بین ١٢ ، ٩ ، ٦ المناظرة ھى دهو

مساحتى سطحى المثلثین : ثانیامحیطى المثلثین : أوال

:فى الشكل المقابل) ٢(

جبهد إذا كان ، فأوجد النسبة بین مساحتى //

: فى الحاالت اآلتیة ابج ، ادهالمثلثین سطح سم ٣ = بد = اد : أوال سم ٧ = بج سم ، ٣= ده : ثانیا

ا

ج د ب

ه

ب

د

ا

ه

ج

٤٧

:فى الشكل المقابل) ٣( سم ٧ = هج سم ، ١ = اه سم ، ٢ = بد = اد

: أوجد

: أوال بجام

هدام

)(

)(

Δ

Δ : ثانیا

هجبدم

هدام

)(

)( Δ

بحیث جاته سم ، ٣ = دج سم ، ٥ = بد بحیث جبتد مثلث ، ابج) ٤(

، ثم أوجد النسبة ابج إ~ دهجإأثبت أن . سم ٤ = جه سم ، ٢ = اه ] ٤ : ١: اإلجابة [ . بین مساحتى سطحیھما

سم ، ٨ = اد سم ، ١٢ = اب سم ، ٢٧ = بج شكل رباعى فیھ ابجد) ٥( وأوجد النسبة ادج إ~ باجإ سم ، أثبت أن ١٨ = اج سم ، ١٢ = دج

] ٤ : ٩اإلجابة [ . بین مساحتى سطحیھما

بجاد شكل رباعى دائرى ، فإذا كان ابجد) ٦( = }باود، رسم } ه //

: ، ثم أستنتج أن هجد إ~ هدوإأثبت أن . فى و جب ویقطع

دجهم

ودهم

)(

)(

Δ

Δ =

جه

وه

جاهب ، رسم ٣٠) = اآ(ق مثلث حاد الزوایا فیھ ابج) ٧( ه لیقطعھ فى

باوج ، أثبت أن . لیقطعھ فى و:

أثبت أن : ثانیا اج . اه = اب . او : أوال جبام

وهام

)(

)(

Δ

Δ =

٤

٣

: فى الشكل المقابل ) ٨(

مضلعات متشابھة مرسومة على أضالع ع ، ص ، س : بحیث ابجإ

سم٢٧ = سضلع مساحة سطح الم٢

،

سم٤٨ = ص مساحة سطح المضلع ٢

،

سم٧٥ = ع مساحة سطح المضلع ٢

. .ب قائم الزاویة فى ابجإ أثبت أن

ا

د

ج ب

ه سم٢

سم٢

سم١

سم٧

الشكل

٤٨

على /م ، م شكالن رباعیان متشابھان تقاطع قطریھما فى /د/ج/ب/ا، ابجد ) ٩(

اثبت أن . الترتیب )ابجدالمضلع (م)/د/ج/ب/االمضلع (م

=

ام

ام//

٢

جبدارسم . ا مثلث قائم الزاویة فى ابج) ١٠( ثم رسم د ویقطعھا فى

أثبت أن المضلع. ابج خارج المثلث اجسص ، ابهو المربعان .جسصادالمضلع ~ اوهبد

: فى الشكل المقابل) ١١(

مربعان أحدھما مرسوم داخل دائرة واآلخر خارج نفس الدائرة

أثبت أن النسبة بین مساحتیھما تساوى ٢

١.

: فى الشكل المقابل) ١(

دجبا =}سم ٣ = مج سم ، ٤ = ا، م} م

] سم ١.٥: الجواب [ مبأوجد طول . سم ٢ = مد ،

: فى الشكل المقابل) ٢(

هوبج = }ا {

سم ٧.٥ = او سم ، ٢ = بج سم ، ٣ = اب

] سم ٥.٥: الجواب [ وه أوجد طول

: فى الشكل المقابل) ٣(

دا منتصف ج مماس للدائرة ، با

] سم ٣: الجواب [ جاأوجد طول ٢ ٣ = اب

: فى الشكل المقابل) ٤(

مماس للدائرة دا ، م قطر فى الدائرة سا

سم ٥ = جد سم ، ٤ = دج فإذا كان ا عند ] سم ٥ ٣ : الجواب [ . أوجد طول قطر الدائرة

ا

ب ج

ه

؟ و

ا

د س ج

م •

ا

ب

ج د

٢ ٣

ج

ا

د

ب

سم٣ سم٢

سم٤

م ؟ ا

٤٩

: فى الشكل المقابل) ٥(

. رباعى دائرى ابدجالشكل أثبت أن

: فى الشكل المقابل) ٦(

د مماسة لھا عند دا ، r دائرة نصف قطرھا م

و ، جیقطعان الدائرة فى ها،ما رسم

:أثبت أن . ما منتصف ب على الترتیب ،

] سم r ٣ : الجواب [ . r بداللة دامقدار ثابت ، ثم أوجد طول = او . اه

، رسم باتج خارج الدائرتین حیث ج ، نقطةب ، ادائرتان متقاطعتان فى ) ٧(

.جه = جدأثبت أن . مماسة للدائرة الثانیة هج مماسة للدائرة األولى ، دج

فقطعا المماس بج ، اج األصغر ، رسم $اب ت ج وتر فى دائرة ، با) ٨(

. على الترتیب و ، ه فى النقطتین با موازیا د المرسوم للدائرة من نقطة

: أثبت أن ود

ده

بو

اه.

داـه ، داته . د فى جب ویقطع باجآ ینصف دا مثلث ، ابج) ٩(

)اد(ن ، فإذا كاده = اد: بحیث ٢

: فاثبت أن دج . دب = هاج إ~ هجدإ : ثانیا رباعى دائرى ابهجالشكل : أوال

)هج : (ثالثا ٢

)هد (٢ = ٢

د فى جب ویقطع باج آ ینصف دا مثلث مرسوم داخل دائرة ، ابج) ١٠(

:أثبت أن . هرة فى ویقطع الدائ اهب إ~ اجدإ : أوال

)اد + (دج . بد = اج . اب : ثانیا ٢

ا •

د

م ب ج

و

ه

م

ا

ب

ج

د

ه و

٥٠

:فى الشكل المقابل) ١(

جبصس صبعس ، // //،

سم ،٩ = سب سم ، ٦ = اس . سم ٣ = اع

.جص ، صع: أوجد طول كل من

:المقابلفى الشكل ) ٢(

وهبا سم ٨ = اه ، //

سم ٩ = جو سم ، ١٢ = جه سم ٦ = دم سم ، ٤ = بم ،

وبأوجد طول : أوال

دجمو: أثبت أن : ثانیا //

:فى الشكل المقابل) ٣(

بجده سم ٣ = اد ، //

سم ،٤ = اه سم ، ٤ = بد سم ٢ = وه سم ، ٣ = دو . سم ٥ = بو

جو،جه: أوجد طول كل من

٣: اإلجابة [١

٢١ ٥٧ ،[

:فى الشكل المقابل) ٤(

ابمن،اجده ////

: أثبت أن نج = به ،

جبمد //

بجوهرسم . ه شكل رباعى تقاطع قطراه فى ابجد) ٥( و فى با ویقطع //

دجمه رسم دبموأثبت أن . م فى با ویقطع // //.

جبدا شبھ منحرف فیھ ابجد) ٦( . م فتقاطعا فى دب،جا ، رسم قطراه //

. سم ٧.٥ = بج سم ، ٦ = بد سم ،٤.٥ = مج سم ، ٣= ام فإذا كان

] سم ٢.٤ سم ، ٥: اإلجابة . [دم،دا أوجد طول كل من

س

ا

ج ب

ص

سم٦ ع

سم٩

سم٣

سم ١٢

سم ٨

سم ٩

سم ٦

سم ٤

ا

ج ب

د

ه

و م

د

ا

ج ب

ه

سم٣

سم٢ سم٣ سم٤

سم٥

سم٤

و

د

ا

ج ن ه ب

م

٥١

حیث با ت د، مثلث ابج )٧(با

دا

٥

٢جبهد ، رسم جا فقطع //

هبود ، رسمه فى . سم ٣.٦ = وهفإذا كان . و فى ها فقطع //

] سم ٩ سم ، ٢.٤: اإلجابة . [جه،وا أوجد طول كل من

دا فقطع جه ، رسم با ـ ه ، اب ت ه متوازى أضالع ، ابجد )٨(

أثبت أن . فى م دب ، و فى وم

مج

جم

هم.

: فى الشكل المقابل) ٩(

دبها جهوا ، // //

:أنأثبت

هد

دج

وب

هب

:فى الشكل المقابل) ١٠(

ودجد //

:أثبت أن

: أوال دا

مد

ها

جه

: ثانیا دم

دب

وج

وب ثالثا :

بد

دا

جو

وب

اه

هج =١

بحیث باتد مثلث فیھ ابج) ١١(بد

دا

٥

٣ بحیث باـه ، ابته ،

با

ها

٢

١ على ص ، س فى جا ویقطعان جب یوازیان صه،سد ، رسم

] سم٢٨ ، ١٠.٥ [جا،سا سم فأوجد طول كل من ١٤ = اصالترتیب ، فإذا كان

فقطعتا ود،هد ، رسمت جبتو ، باته متوازى أضالع فیھ ابجد) ١٢(

جاوهاثبت أن . صج = اسفإذا كان . رتیب فى س ، ص على التجا //.

و

ا ه

د

ج

ب

ب

ا

ج

د ه

و

م

٥٢

جبدا شبھ منحرف فیھ ابجد) ١٣( ، رسم با ت و ، ه أخذت النقطتان //

على الترتیب ، فإذا كان ص ، س فى جدان ویقطعجب یوازیان صو ، سه

: سم فأوجد طول كل من ٢٠ = أب وكان ٥ : ٣ : ٢ = صج : سص : دس

] سم ١٠ سم ، ٦ سم ، ٤: اإلجابة . [وب،وه،ها

ینصف دا سم ، ١٥ = بج سم ، ١٢ = اج سم ، ٨ = اب مثلث فیھ ابج) ١(

ابهد فى د ، ثم رسم جب ویقطع اآ ، أوجد طول كل ه فى جا ویقطع //

]٧.٢ ، ٦: الجواب [ . هج،دب من

بمنصف القى ابج ، نصفت زاویة سا رسمت جبت س مثلث فیھ ابج) ٢(

جبعص ثم رسم ص فى سا أثبت أن . ع فى جا ویالقى //سب

با

جع

عا

سم فأوجد ١٤ = اج سم ، ٧ = اس سم ، ٨ = سب سم ، ٦ = اب ، وإذا كان

] سم ٨ ، سم ٣: اإلجابة [ . جع ، صا طول

: فى الشكل المقابل) ٣(

حیث بجتد ، اج = اب فیھ ابجإ

،ابجآ ینصف سب ، جد = بج

اجدآ ینصف صج

دجصسن أثبت ا //.

، نصفت ه فى با بمنصف قطع ادبآ ، نصفت ابج متوسط فى المثلث دا) ٤(

جبوهأثبت أن ،وه ، رسم و فى جا بمنصف قطعادجآ //.

هب ، جو = بج بحیث جبـو ، جبتو ، اج = اب مثلث فیھ ابج) ٥(

. طفى وا ویقطعاجوآ ینصف طج ، ه فى جا ویقطع ابجآ ینصف

وجطه اثبت أن //.

= اه بحیث كان باته شكل رباعى ابجد) ٦(٥

٢داوه ، رسم اب //

. سم ٦ = جد سم ، ٩ = بج سم ، ١٠ = بد فى و ، فإذا كان دب ویالقى

.بجدآ ینصف وجأثبت أن : ثانیا . ود،وبجد طول كل من أو : أوال

× × × ×

/ \

ا

د ج ب

س ص

× ×

٥٣

سم ٤= دا سم ، ٦ = جد سم ، ٩= بج سم ،٦ = ابشكل رباعى فیھ ابجد) ٦(

.ه فى دب ویقطع اآ ینصف ها ،

.بجدآ ینصف هج ، ثم أثبت أن هد : به: یمة أوجد ق

بحیث كان ه تقاطع قطراه فى اد = اب شكل رباعى فیھ ابجد) ٧(

هب

با

هد

دا . جد = بجاثبت أن.

، هدـ ، سهدتس تقعان خارج المثلث بحیث ص ، س مثلث ، النقطتان دهو) ٨(

ن بمنصفین تقاطعا فى هوص ، سوهنصفت الزاویتان ود ـ، ص ودتص

. هدو ینصف زاویة ند: أثبت أن

، رسم اب = جد ، جبـد حیث جب على دأخذت نقطة ، مثلث ابج) ٩(

ادهج جبوه ، رسم ه فى با ویقطع // .و فى جا ویقطع //

.ابجآ ینصف وب أثبت أن

ینصف سمرسم ، م فى دب،جاوازى أضالع تقاطع قطراه متابجد) ١٠(

ویقطعبمجآ ینصف صم ، ع فى دج ، س فى با ویقطع امبآ

. متوازى أضالع سصعنأثبت أن الشكل . ن فى دا ، ص فى جب

:فى الشكل المقابل) ١١(

اج = اب ، د فى اب مماس للدائرة قطع دج

: أثبت أن دا

دج

با

بج.

جبدا ، اج = اب مثلث فیھ ابج) ١٢( ، باته، } د{ = جب ثدا

، ٥ : ٣ = وج : او بحیث جاتو ، ٢ : ١ = هب : اه بحیث

. ٩ : ٨ = ون : هنأثبت أن . }ن{ = دا ثوه

/ \

د ا

ج ب

٥٤

)١(

)٢(

)٣( : فى الشكل المقابل) ٤(

. رباعى دائرى ابدج أثبت أن الشكل

: فى الشكل المقابل) ٥(

د مماسة لھا عند دا، r دائرة نصف قطرھا م

و ، جیقطعان الدائرة فى ها،ما رسم

:أثبت أن . ما منتصف ب على الترتیب ،

] سم r ٣ : ب الجوا[ . r بداللة دامقدار ثابت ، ثم أوجد طول = او . اه

)٦( :أوجد قیمتى س ، ص فى كل شكل من األشكال اآلتیة ) ٧(

ا •

د

م ب ج

و

ه

م

ا

ب

ج

د

ه و

٥٥

:أكتب أصغر قیاس سالب للزوایا التى قیاساتھا الموجبة كاآلتى ) ١(

) جـ( ٢٤٠) ب( ٧٦ ٢٤) أ (٤

٥ ٠.١٢٥b) د (

:أكتب أصغر قیاس موجب للزوایا التى قیاساتھا السالبة كاآلتى ) ٢(

-) ب ( ١٣٠ ٣٤ ١٦-) أ (٥

٣-) جـ (

٩

٧

ر سالب لزاویتین كل منھما یكافئ الزاویة التى عین قیاسین أحدھما موجب واآلخ) ٣(

) أ( : قیاسھا كاآلتى ٤

) ب (

٦

١١) جـ (

٥

٩ ) د (

٦

١٣

:اآلتى القیاس الدائرى للزوایا التى قیاساتھا كطأوجد بداللة ) ٤( ٣٩٠) ه (٣٠٠) د( ١٣٥ -) ج ( ٢٤٠) ب ( ٢٢٥) أ (

:أوجد القیاس الدائرى للزوایا التى قیاساتھا ) ٥( ١٦٠ ٥٠ ٤٨) ج( ٢٥ ١٨ ) ب( ٥٦.٦) أ (

:القیاس الستینى للزوایا التى قیاساتھا أوجد ) ٦(

٠.٤٩) أ (

٢.٢٧) ب (

) ج (٥

٢٣

) ه(

٩

٤

:ل وتحصر قوسا طولھ نصف قطرھا فى دائرة طولزاویة مركزیة إذا كانت ھـ ) ٧( .ل أوجد ٨٢ ١٠ ٢٥= سم ، ھـ ٢٢ = إذا كان ) ا(

.ل أوجد ٧٨ ١٥ ٢٠= سم ، ھـ ٢٠ = إذا كان ) ب ( . أوجد ٧٨ ٠ ٢٤= سم ، ھـ ٢٧.٣ = لإذا كان )ج (

] سم ٢٠.٠٥ سم ، ٢٧.٣٢ سم ، ٣١.٥٥: اإلجابة [ سم ، احسب طول ١١ وتحصر قوسا طولھ ١٥٠زاویة مركزیة قیاسھا ) ٨(

] سم ٤.٢: اإلجابة [ . نصف قطر دائرتھا اویة المركزیة التى تقابل قوسا طولھ أوجد القیاس الدائرى والقیاس الستینى للز) ٩(

٢.١٧٥: اإلجابة [ . سم ٤ سم فى دائرة طول نصف قطرھا ٨.٧

،١٢٤ ٣٧ ٦ [

= وقیاس زاویة أخرى منھ ٦٠مثلث قیاس إحدى زوایاه ) ١٠(٤

أوجد القیاس

١.٣٠٨٩٩٧ ، ٤٥: اإلجابة [ . اویتھ الثالثة الدائرى والقیاس الستینى لزد

[ أوجد القیاس الستینى ٧ : ٤ : ٣النسبة بین قیاسات زوایا مثلث كنسبة ) ١١(

. والقیاس الدائرى لكل زاویة من زوایاه ٠.٦٧٣١ ،، ٩٠ ، ٥١ ٢٦ ، ◌ ٣٨ ٣٤: ة اإلجاب [

، ٨٩٧٦٨

، ١.٥٧٠٧٩٦

[

٥٦

زاویتان مجموع قیاسیھما ) ١٢(٩

١١ أوجد قیاس كل ٦٠ ، والفرق بین قیاسیھما ط

،، ٨٠ ، ١٤٠: اإلجابة [ . منھما بالتقدیرین الستینى والدائرى ٩ ، ط٧

٩ ]ط٤

سم ٣٠= بندول بسیط طول قوس مسار طرفھ األسفل بین نقطتى سكونھ ) ١٣( ] سم ٢٤[ لأوجد طول البندو. ٧١ ◌ ٣٧ ١١= وقیاس زاویة الذبذبة الواحدة

٣٠ المحیطیة التى قیاسھا ج ب آ سم ، رسمت ٤ نصف قطرھا مدائرة ) ١٤(

: اإلجابة [ $ جا أوجد طول القوس األصغر ٣

ط٤ ] سم

:فى الشكل المقابل) ١٥(

= $اب طول القوس ٣

ط٨ سم ، نصف قطر

] ٣٠ [المحیطیة ) اجبآ(قأوجد سم ، ٨ الدائرة یساوى

)باجآ( قبحیث كان جا سم ، رسم الوتر ٢٤قطر فى دائرة طولھ با) ١٦(

.] سم ١٦.٧٥٥: اإلجابة [ . $اج أوجد طول القوس األصغر ٥٠ تساوى :لفى الشكل المقاب) ١٧(

القائم ماب إذا كان مساحة سطح المثلث

سم٣٢ = م الزاویة فى ٢

فأوجد محیط الناتجا الجزء المظلل فى الشكل مقرب

] سم ٢٨.٥٧: اإلجابة [ . ألقرب رقمین عشریین

:فى الشكل المقابل) ١٨(

، م مماسان للدائرة جا،با

، ٦٠= )جابآ(ق أوجد ألقرب عدد صحیح . سم ١٢ = ب

] سم ٢٩ : ةاإلجاب[ . $بج طول القوس األكبر

= إذا كانت ظا) ١(١٢

٥ ] حیث

٢

، ] فأوجد جا جتا ، ]

١٣٥ ،

١٣١٢[

] حیث ھـ ٠.٨ = إذا كانت جا ) ٢(٢

، ] فأوجد قا ، قتا ظتا ،

]- ٣٥ ،

٤٥ ، -

٤٣[

٦٠ م

ب

ج ـ

ج

م

ب

؟

ب ا

م

٥٧

= إذا كانت جتا) ٣(٢٥

٧ ] حیث

٢

٣ ، ٢ ]فأوجد جا -قا ظتا ]

٦٠٠٤٩[

النقطة إذا عینت الزاویة الموجھة فى الوضع القیاسى والتى قیاسھا ) ٤(

فأوجد قیمة المقدار ٠ > ١٢ ( ، - ، ٥ (ب قا + ظا

قتا + ظتا -: اإلجابة [

١٥٢ [

١= ٣٥ جتا ٥٥جا + ٥٥ جتا ٣٥جا : أثبت أن ) ١( : فأوجد ٩٠ < < ٠حیث ) ٢٠ + ( جا ) = ٤٠ - ( إذا كانت جتا ) ٢(

) i ( قیاس زاویة ٠.٩٦ ، ٥٥: اإلجابة [ بالتقدیرین الستینى والدائرى

[

) ii ( أوجد قیمة المقدار ظا) - ٢( جتا ) ١٠ + اإلجابة [ ) ١٠ :- ٢١[

) ١٥+ س ٢( قتا = أوجد قیمة س التى تحقق العالقة قا س ) ٣(

، ٢٥[ ) ٥ – س ٢( ، ثم أوجد قیمة جا ٩٠< س < ٠ حیث ١

٢ [

+ س ٢( إذا كان ظا ) ٤(٣٦

+ س ٣( ظتا ) =

١٨

، ٠ ] حیث س )

٢

]

(جا س جا ٢: فأوجد قیاس زاویة س ثم أوجد قیمة المقدار ٢

[) س -

١٢ ،

٢١[

:أوجد قیمة ما یأتى) ٥(

: اإلجابة [ ٩٠جا + ٣١٥ا ظ- ٤٢٠ جا ٢١٠ جتا ) ا (٤٥[

: اإلجابة [ ٧٥٠ جا ٣٠٠جتا + ١٢٠ظتا ) ٦٠ -(جا ) ب (٤٣[

: اإلجابة [ ٣٣٠جا ) ٣٠٠- ( قا- ٢٤٠ جتا ٢٢٥ظا ) ج (٢١[

]١: اإلجابة [ ٢٤٠ جتا ٢١٠ جا ) + ٦٩٠ -( جتا ٤٢٠ جا ) د ( ] صفر: اإلجابة [ ٣٠٠ جا ٣٣٠ جتا- ٤٢٠ جا ١٥٠ جتا ) ه ( ]١ -: اإلجابة [ ٢١٠جا ) ٤٨٠-(تا ج- ١٠٥٠ جتا ٩٦٠جا ) و (

)٦ ( )٧(

٥٨

)٨( )٩(

)١٠(

= إذ كان جا ھـ ) ١() ١١(٢

١ ) هآ( أحسب قیاس ١٨٠< ھـ < ٠ حیث

] ١٥٠ ، ٣٠: اإلجابة [

) هآ(أحسب قیاس [ ط ٢ ، ٠ ] حیث ھـ ٠= ٣ + جتا ھـ ٢إذا كان ) ١٢(

، ) هآ( أوجد قیاس ١٨٠< ھـ < ٠ حیث ٣ = ھـ ٢ جتا ٢إذا كانت ) ١٣(

: اإلجابة[ ھـ ٣ أوجد قیمة جا ثم ١

٢ [

: حیث جـ زاویة حادة موجبة فأوجد قیمة المقدار ٠ = ٣ - ظا جـ ٤إذا كان ) ١٤(

: اإلجابة [ جتا جـ + جا جـ ٥٧[

)١٥( )١٦ (