البرمجة الخطية linear...
TRANSCRIPT
Linear Programming الخطية رمجةبلا
واالقتصادية اإلدارية للمشاكل الرياضي التحليل وسائل متدقت وقد الوسائل هذه إحدى الخطية البرمجة وتعتبر كبيرا تقدما
الموارد استغالل إلى تهدف داهأك Programming كلمة استخدمة ربكا لتحقيق الخ أولية ومواد عاملة قوة من للمنشاة المتاحة
ممكن. عائد
الرياضي التحليل باسلوب اإلجابة إلى الخطية البرمجة دفوته أو ممكن ربح اكبر يحقق بما المشاكل وحل األسئلة بعض علىالقائمة. والمحددات القيود ظل في ةممكن تكلفة اقل
وعم ذاته حد في يعني الوسائل بأفضل عمل أي أداء فان وما المشكلة تتعلق وى. فعندماصقلا أو الدنيا الحدود عن البحث
وإذا األدنى الحد إلى الوصول يكون ادةع الهدف فان بالتكاليف الحد إلى الوصول هو يكون الهدف فان باألرباح األمر تعلق
أقصى.ال
المشكلة: غةايص كالمية. وتحدد صورة في تاتي ما غالبا االمثلية شكالتملا
يعبر ياضير جنموذ شكل في المشكلة تصوير في الحل طريقة
1
المختلفة. باالساليب النموذج هذا يحل ثم ومن المشكلة، عنالرياضي. النموذج بناء في التالية الخطواط اتباع ويمكن
مثلى. وعرفها قيم الى تحتاج التي الكميات ددح(1 x1, x2, …, xn الرموز لتاخذ كمتغيرات
عنه وغبر المشكلة هدف عرف(2 باستخدام رياضيا. المتغيرات
ستخداماب وذلك متباينات صورة في القيود ومثل ددح(3المتغيرات.
السالبية) ان عدم شرط الرياضي النموذج الى فضا(4 تساوي او من اكبر نتكو ان يجب المتغيرات جميع
الصفر(.
: 1 ل ا ث م ولحم بقhhري لحم من بتكhhوين اللحم شhhطائر بعمل جhhزار موقhhي
يكلفو ن دهو20% و لحم80% على البقر لحم ماعز. يحتhhوي و محل 68% ىلع اعزمhhلا محل ان حين يف كيلو لكhhل جنيه24 من حمللا كمية كيلو. ماهي لكل يهنج 18 ويكلف ونهد %32 شhhhطائر من كيلو كل في المحل يسhhhتخدمها ان يجب نhhhوع كل
علي والمحافظة التكhhhhhhاليف تخفيض يجب انه متلع اذا اللحم
2
؟25% عن اليذيد الدهون. بحيث نسبة
ل: الح: راتيغمتلا
X= الكيلو في المستخدم البقر لحم نزو ان ضرفنY= الكيلو في مستخدملا اعزملا لحم نزو ان ضنفر
:دفهلا ةلادMin Z = 24X + 18Yتصغير
يود:قلا من هوندلا نم X 0.20 علي كيلو كل تويحي: االول يدقلا اال جبيو المhhhاعز لحم نم الhhhدهون من0.32Y و البقر محل
. 0.25 عن الشطيرة في لدهونا دتزي
0.20 X + 0.32 Y ≤ 0.25
المhاعز لحم و البقر لحم وزن يكhون ان ب: ويجانيثhلا يدقلاواحد. كيلو هو الشطائر نم كيلو لك في مجتمعين
X + Y = 1
السالبية عدم ديق: الثثلا يدقلاX ≥ 0و Y ≥ 0
الرياضي: موذجنلاMin Z = 24X + 18Y تصغير
3
بان X + 0.32 Y ≤ 0.25 0.20: علما
X + Y = 1
X ≥ 0و Y ≥ 0
4
1 رقم للمثال البياني ل ح ل ا الخطوات اتباع يتم للمشكلة الممثل الباني السم علي صولحلل
التالية:
موضح هو كاYلراسياو X العمودي محوري مسر.1 < التالي رسملاب
يلي: كما القيود مسر.2
: االول يدقلا ,0)) النقطة على صلحن Y = 0.78 ان دجن X= 0 ان ضرفب
0.78
)) النقطة على لصحن X = 1.25 ان دجن Y = 0 ان رضفب1.25 ,0
الرسم. يلع 0, 1.25)) و 0.78, 0)) النقتطين عنوق
: الثاني يدقلا1, 0)) النقطة على صلحن Y = 1 ان دجن X= 0 ان ضرفب
0, 1)) طةقنلا على لصحن X = 1 ان دجن Y = 0 ان رضفب
الرسم. يلع 0, 1)) و 1, 0)) النقتطين عنوق
:المعادلتين لحب5
0.20 X + 0.32 Y ≤ 0.25 و X + Y = 1
6
على: لنحص
X* = 7/12 , Y* = 5/12
في عويضتبال Z ان دجن Z = 24 )7/12) + 18) 5/12)= 21
لحم نم7/12 يستخدم ان يجب المحال ان بعني امم تكلفة اقل يحقق وذلك الماعز لحم نم 5/12 والباقي البقرللكيلو. يهنج 21 تساوي والتي
2 ل ا ث م الرسم طريقة باستخدام اليةتلا الخطية البرمجة لحالبياني
Min Min zz = 5 = 5XX + 2 + 2YY صغرصغر s.t. 2 s.t. 2XX + 5 + 5YY >> 10 10 44XX - - YY >> 12 12 XX + + YY >> 4 4 XX, , YY >> 0 0
يود:يود:ققللاا ممسسرر
4X - Y > 12 :ولألا يدقلا
7
X = 0 ان نفرض ندماعو X = 5 ان دجن ,Y = 0 ان ضرفب Y = 2 ان دجن
(2,0) و( 0,5) النقتطين وصل اذاX + Y > 4 الثاني: يدقلا
X = 0 ان نفرض ندماعو X = 3 ان دجن ,Y = 0 ان ضرفب نفرض لذلك لذلك الرسم على ليست لتياو Y = -12 ان دجن
Y = 8 ان دجن X = 5 ان(5,8) و( 3,0) النقتطين وصل اذا
X + Y > 4الثالث: يدقلا X = 0 ان نفرض ندماعو X = 4 ان دجن ,Y = 0 ان ضبفر
Y = 4 ان دجن(4,0) و( 0,4) النقتطين لصو اذإ
8
4X - Y > 12
X + Y > 4
2X + 5Y > 1010
55
44
33
22
11
Y
X
منطقة الحلول
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 66
الهدف: دالة رسم 20 وليكن اختياري رقم أي تساوي الهدف دالة ان ضرفا , 5X + 2Y = 20 اذا Y = 10 اذا, X = 0 اندمع. X = 4 اذا, Y= 0 دمانعو(.0,10) و ( 4,0) النقتطين لصو أخر ىلإ تصل حتى القيمة تصغير اتجاة في الهدف دالة كرحدين.يق رخأب المحددة الحلول منطقة في طةقن
9
1 2 3 4 5 6
Min z = 5X + 2Y
4X - Y > 12
X + Y > 4
2X + 5Y > 10
X
5
4
3
2
1
Y
عليهاعليها يقعيقع التيالتي الحاكمةالحاكمة للقيودللقيود التقاطعالتقاطع نقطنقط للححالحلالحل
, , 44XX - - YY = 12 = 12 XX+ + YY = 4 = 4
ان:ان: نجدنجد السابقتينالسابقتين المعادلتينالمعادلتين للححبب
55XX = 16 or = 16 or XX = 16/5 = 16/5..YY = 4/5 = 4/5 انان ددججنن XX + + YY = 4 = 4 فيفي تعويضتعويضللاابب
10
يلي:يلي: كماكما الهدفالهدف دالةدالة فيفي تعويضتعويضبالبالzz = 5 = 5XX + 2 + 2YY = 5)16/5( + 2)4/5( = 88/5 = 5)16/5( + 2)4/5( = 88/5..
هو:هو: االمثلاالمثل الحلالحل انان ددججنن XX = 16/5; = 16/5; YY = 4/5; = 4/5; z z = 88/5= 88/5
التالي بالرسم موضح هو امك
11
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6
Min z = 5X + 2Y
4X - Y> 12
X + Y > 4
2X + 5Y > 10
Optimal: X = 16/5
Y = 4/5
الخطية رمجةالبالسمبلكس طريقة ستخدامبا
Linear Porogramming Using Simplex Method
من كhhثرأل حتصل ال البيhhاني بالرسم الحل طريقة الن ارظhhن المشhhhكالت الي نظرنا لو وكhhhذلك متغhhhيرات ثالث او اثhhhنين
تحتhhوي العملي الواقع في المشhhكالت معظم ان نجد الواقعية الطhhhرق اسhhhتخدام يصhhhعب مما المتغhhhيرات من عديدلا على
للتعامل اخhhري طرق وجود استلزم ثم الحل. ومن في البيانية تصhhلح والhhتي الطhhرق هhhذه بين المشكالت. ومن هذة مثل مع
سhhhhمبلكسال طريقة الخطية برمجةلا مشhhhhكالت مع للتعاملSimplex Method .مع للتعامل الطريقة هذة لصالحية الضافةاب
من الكثhhير يوجد فانه العhhدد كثhhيرة المتغيرات ذات المشكالت والhhتي الطلريقة هhhذه وفق تعمل الhhتي االلي الحاسب بhhرامج االبعhhاد ذات الخطية البرمجة مشhhاكل لحل تسhhتخدم ان يمكن
القيhhود( من كبhhير ددوعhh المتغhhيرات من كبhhير د) عد الكبhhيرة كثhhير علي وتجيب جhhدا صhhغيرة اوقات في حلول تعطي والتى
لو مhhاذا ب يعhhرف ما التسائالت تلك اشهر ومن التسائالت منwhat if qustions .الرئيسية الخطوات نعرض سوف يلي يمافو
12
السمبلكس. لطريقة
13
السمبلكسالسمبلكس قةقة طريطري
الحل ىال لوصhhhللو التالية واتطhhhالخ اتبhhhاع يمكن يلي مايفوالسمبلكس. طريقة استخدام خالل من االمثل
1.hhالبة قيمة اعلى ددحhhفلي الصف في سhhدول من السhhج العمhhود على االخhhير, ويطلق مhhودعلا سhhتثناءاب السhhمبلكس
تسhhاوي حالة العمhhل. في عمود القيمة هذة فيه تظهر الذياحداهما. اختار قيمة من اكثر
عمhhود في جبةموال القيم قسhhمة خالل من نسhhبا كhhون.2 وذلك عمhhhhhhود اخر في لها المنhhhhhhاظرة القيم علي العمل
عمhhhود في موجبة قيم يوجد لم صhhhف. وان اخر باسhhhتثناءحل. لها ليس المشكلة فان العمل
اقل له لذياو العمل عمود الي تميني الذي العنصر اراخت.3المحوري( العنصلر )يسمى نسبة
الى المحhhوري العنصر لتحويل االولية تاالعمليhh خدماست.4اصفار. العمود وبقي صحيح واحد
االول والعمhhhود المحhhhور صف يف x المتغhhhير بدلاست.5 )عمhhhود المحhhhور وعمhhhود االول الصف يف x بhhhالمتغيراالساسية(. المتغيرات
14
به ليس جhhدول على تحصل حتى5-1 من الخطوات ررك.6.االخير مودعلا ثناءتباس االخير الصف في سالبة اعداد
يف كل تخصhhhhيص خالل من االمثل الحل على لصhhhhحن.7 . االول العمhhود في له المنhhاظر والمتغhhير االخhhير العمhhود
للهhhدف المثلي لقيمةاو صhhفر. قيمة تاخذ المتغيرات وباقيz* دد يهhhود العhhير الصف في الموجhhود االخhhير والعمhhاالخ
في العhhدد لهhhذا السhhالبة التعظhhييم. والقيمة حالة في وذلكلتصغيير. ا حالة
3 ل ا ث مMax Z = x1 + 9x2 + x3 تعظيم
بان x1 + 2x2 + 3 x3 ≤ 9: علما
3 x1 + 2x2 + 2 x3 ≤ 15
x1 , x2 , x3 ≥ 0
ل: ح ل ايالي: كما القياسية الصيغة الي المتباينات يلوحت
Max Z = x1 + 9x2 + x3+ x4 + x5
بان + x1 + 2x2 + 3 x3= 9: علما
15
x4
3 x1 + 2x2 + 2 x3 + x5 = 15
x1 , x2 , x3, x4 , x5 ≥ 0
صيغة القياسية كما يالي:ل ا منين جدول السمبلكسوكت
x5
0
x4
0
x3
1
x2
9
x1
1
9013*210x4
15102230x5
000-1-9-1zj-cj
مايلي: تطبيف يمكن السابق الجدول من االخير الصف ابسحل
Zj =رب صلاحhود قيم ضhاني العمhhاظرة القيم في الثhhلها المن العمود. قيم لجميع الضرب حاصل جمع ثم االعمدة باقي في
zj-cj = المحسوبة قيملا في للعمhود المناظرة قيمةال – سابقااالول. الصف
اكhhبر صhhاحب النه ارظن x2 العمود يكون المحوري العمود ياراختقيمة
16
على االخhhير العمhhود قيم جميع بقسhhمة المحhhوري الصف يhhاراخت كمhhايلي: النسب لتكhhوين وذلك الموجبة المحhhوري العمhhود قيم9/2 , 15/2
2 العنصر الي تنتمي لhhتياو 9/2 وهي ليكhhون نسhhبة اقل تيارخا السابق الجدول * في ب الموضح
hhدولانشhhات اال اء الجhhتخدام العمليhhالي باسhhت بيةولالتhhبيقط صل على الجدول التالي: لنح 5 و 4الخطوة
x5
0
x4
0
x3
1
x2
9
x1
1
9/201/23/211/29x2
61-1-1020x5
81/209/225/207/2zj-cj
hhير الصف الن رانظhhدول في االخhhابق الجhhموجبة قيم كله الس يلي: كما وهو االمثل الحل الى وصلنا قد اننا على يدل فانه
x*2 = 9/2 , x*1 = x*3= x*4= x*5 = 0 ,
يه.نج 81/2 اجمالي ربح يعطي كلذو
17
18
االلي الحاسب على يقبطتComputer Applications
واحد لمنتج اإلنتاج يططخت الدورين، تاذ أتوبيسات بستة طلبا السيارات مصانع أحد ىقلت
اشهر الثالثة خالل مرة كل في اثنين بتسليم بقوم أن على شهر نفس نهاية في للعميل األتوبيسات تسليم التالية. يتم
الشهر في الرود 3000 بتكلفة الشركة لدى تخزينه أو ، التجميع مخزون يوجد . ال التالي الشهر خالل لتوريدها أتوبيس لكل
جودو في يرغب وبيسات. والتألا هذه نم الصانع لدى حاليالعرض. استكمال بعد المدة نهاية في مخزون
شهرألا
123 العادية اإلنتاجية اقةطلا
بالوحدة102030
اإلضافية اإلنتاجية اقةطلابالوحدة
202020
العادية اإلنتاج فةلكتللوحدة دوالر1000
354340
19
اإلضافية اإلنتاج فةلكتلوحدةل ر دوال1000
394745
البرمجة نموذج بناء يمكن المشكلة هذه مثل مع عاملللتيلي: كما التالي الخطية
أن ضرفن Xij في إنتاجها المطلوب الوحدات عدد ثلمي العادية. طاقةلاب jالشهر في وريدهاتل i الشهر
أن ضرفن Yij في إنتاجها المطلوب الوحدات عدد ثلمي اإلضافية. لطاقةاب j رهشلا في وريدهاتل i الشهر
واحد لمنتج اإلنتاج يط لتخط الرياضي موذج ن ل ا الهدف: ة ل ا د
عليها المتعاقد لألتوبيسات إنتاج خطة إلى صولولا نة( ممك تخزين + تكلفة تصنيع فةلكت) تكلفة ل ق أ ب .
Min Z = 35 X11 +)35+3) X12 +)35+6) X13 +43 X22 +)43+3) X23
+ 40 X33 + 39Y11 +)39+3) Y12 + )39+6) Y13 +47 Y22+
)47+3) Y23 +45Y33
Min Z = )35 X11 + 38 X12+ 41 X13+ 43 X22+ 46 X23 +40 X33) +
)39Y11 + 42Y12 + 45 Y13 +47 Y22+ 50 Y23 +45 Y33)
20
العادية اإلنتاجية الطاقات د و ي ق
X11 + X12+ X13 <= 10 هرشلا
األول
X22+ X23 <= 20 هرشلا
يناثال
X33 <= 30 هرشلا
الثالث
اإلضافية اإلنتاجية الطاقات د و ي ق
Y11 + Y12 + Y13 <= 20 هرشلا
األول
Y22+ Y23 <= 20 الثاني هرشلا
Y33 <= 20 هرشلا
الثالث
التوريد د و ي ق
X11 + Y11 >= 20 هرشلا
األول
21
X12+Y12+ X22 + Y22 >= 20 هرشلا
يناثال
X13 + Y13 +X23 + Y23 + X33 + Y33 >= 20 هرشلا
الثالث
السلبية عدم د و ي ق
X11, X12, X13, X22, X23, X33, Y11, Y12, Y13, Y22, Y23, Y33 >= 0
) يقوم الصفر تساوي أو من اكبر الكميات عيمجقيد(لا اهذ بوضع الحاسب
22
الرياضي النموذج حل^وذج هذا يحل نأ يمكن اآللي الحاسب ستخدامابو النم
تحقق ال^^تي اإلنتاجية الخطة على للحص^^ول الرياضيكالتالي: المفروضة القيود ظل في ممكنة تكلفة اقل
X11 = 10 , Y11 = 10 , Y12 = 10 , X22 = 10 , X33 = 20
دوالر( فلأ 2390) إجمالية لفةكتب
يلي: فيما اإلنتاج ةخط تلخيص كنميو
وريدتب للوفاء ولألا الشهر في ةسيارا ثالثون عدد اجتنإ على وذلك الثاني للشهر سيارات10 وتخزين األول الشهرالتالي: النحو
ادية،علا بالطاقة سيارات10 ددع
ضافية.إلا بالطاقة سيارة20 ددع
العادية. بالطاقة الثاني الشهر في سيارات10 اجتنإ
العادية بالطاقة الثالث الشهر يف سيارة20 عدد اجتنإ.
23
التخصيص كلمشاAssignment Problems
ومن فhhردا فhhردا العhhاملين ولةدج التخصhhيص مشhhكلة منضhhتت جبيو عمhhالألا عhhدد مسhhاويا العhhاملين عدد يكون ان المفترض
عند افيةضhhإ لمع او وهميين مليناع افةضإب الشرط هذا ضمان الhhزمن ونكhhيو شhhرط.لا هhhذا على المحافظة اجل من ةجhhالحا
j رقم العمل تمhhhامإل i رقم للعامل ازمللاcij....( )التكhhhاليفمعر األعمhhال على العمال تخصيص هو الهدف يكون ثم ومن وفا
ممكن. وقت اقل في األعمال إجمالي تتم بحيث
األعمال
n. . .321
العمال
C1n. . .C13C12C111
C2n. . .C23C22C212
C3n. . .C33C32C313
. . .. . .. . .. . .. . .. . .
Cnn. . .Cn3Cn2Cn1n
24
: الحل خطوات
هhhhذا في القيم كل نم فصhhh لكhhh في قيمة اقل حرطhhhا.1 الصف
هhhhذا في القيم كل نم دومhhhع لكhhh في قيمة اقل حاطر.2.مودعلا
3.hان ما اذا ددحhدد يوجد كhع n فار نمhال ثبحي االص hديوج الصف. او العمود نفس في نرييصف
الخطhhوط من عhhدد بأقل المصhhفوفة في االصhhفار كل طغ.4 او العمhhhود كل الخط يغطي بحيث والعرضhhhية الرئسhhhية
يكhhون ناو n من اقل الخطhhوط عدد يكون وبحيث الصفالخطوط. من ممكن عدد
وأيضا مغطhhاة الغhhير القيم من مغطى غير عدد اقل حرطا.5 قhhاطعينمت نبخطhhيي المغطhhاة القيم لىإ دللعد هhhذا أضف
وافقي( )راسي
نفس في نصhhفريي ال بحيث االصhhفار نم n عhhدد ارتhhخا.6 الي العمhhhال تخصhhhيص يكhhhون وبhhhذلك الصف او العمhhhود
دهم.نع المعاال
25
محل القيم ميعج جمع طريق عن الhhوقت مhhاليجإ بسحا.7االصفار. تلك
26
:لاثمماكينة
عامل
I II III IV V
A 15 10 25 25 10
B 1 8 10 20 2
C 8 9 17 20 10
D 14 10 25 27 15
E 10 8 25 27 12
:لحلا
الصف هhhذا في القيم كل من فصhh لكhh في قيمة اقل حرطبالتالية: المصفوفة عل صلحن
ماكينة
عامل
I II III IV V
A 5 0 15 15 0
B 0 7 9 19 1
C 0 1 9 12 2
D 4 0 15 17 5
E 2 0 17 19 4
مhhودعلا هhhذا في القيم كل نم عمود لك في قيمة اقل حرطب
27
التالية: المصفوفة عل نحصل
ماكينة
عامل
I II III IV V
A 5 0 6 3 0B 0 7 0 7 1
C 0 1 0 0 2
D 4 0 6 5 5
E 2 0 8 7 4
او صف في مشتركة وغير االصفار نم n عدد اليوجد انه حظالن من عhhدد بأقل المصفوفة في االصفار كل تغطية يجب لذا عمود
او العمhhود كل الخط يغطي بحيث لعرضhhيةوا ةالرئيسي الخطوط عhhدد يكhhون ناو n من اقل الخطhhوط عhhدد يكون وبحيث الصفالتالية: المصفوفة رظنا الخطوط من ممكن
ماكينةI II III IV V
28
عامل
A 5 0 6 3 0
B 0 7 0 7 1
C 0 1 0 0 2
D 4 0 6 5 5
E 2 0 8 7 4
القيم من ( اطرحها2) وهي مغطhhhhاة غي قيمة اقل عن ثحبن المغطhhاة القيم ( إلى2) للعhhدد هhhذا أضف وأيضا مغطhhاة الغhhير
المصhhفوفة علي ( فنحصليقفوا )راسي قhhاطعينمت نبخطhhييالتالية:
ماكينة
عامل
I II III IV V
A 5 2 6 3 0
29
B 0 9 0 7 1
C 0 3 0 0 2
D 2 0 4 3 3
E 0 0 6 5 2
االصفار نم n عدد يوجد انه نجد السابقة المصفوفة الي نظرلاب يكhhhون وبhhhذلك الصف او العمhhhود نفس في نصhhhفريي ال بحيث
التالية: صفوفةالم عندهم. انظر العمالة يلا العمال تخصيص
ماكينة
عامل
I II III IV V
A 5 2 6 3 0B 0 9 0 7 1
C 0 3 0 0 2
D 2 0 4 3 3
E 0 0 6 5 2
تلك محل القيم جميع جمع طريق عن الhhوقت إجمhhالي بسhhحايلي: كما االصفار
A V + B III+ C IV + D II +E I= تكلفةلا لقا اليمجإ
10 + 10 +20 +10 +10=
=60
30
الحل: يصخلت
V الماكينة يلع A العامل تخصيص متي III الماكينة يلع B العامل تخصيص تمي و IV الماكينة يلع C العامل تخصيص تمي و II الماكينة يلع D العامل تخصيص تمي و I الماكينة يلع A العامل تخصيص تمي و
جنية.60= لفةكتلا لقا ماليبإج
31
الخطية البرمجة علي تمارين
:1 تمرين
أالول النوع الدرجات هياكل من نوعين بإنتاج تقدم شركه
المواد من نوعين باستخدام إنتاجها يتم والتي والثاني الفاخر
الهياكل من الوحدة ربح وكان والحديد األلومونيوم وهي الخام
بمقدار يقدم الدراجات 10الفاخرة لهياكل والثاني ، ج
بقدر ج.15المحترفين
الحديداأللومونيوم
الفاخرة 23الهياكل
الدراجات لهياكل
المحترفين42
بان علما انتاجها الشركة على يجب التي الهياكل عدد هو ما
يتعدى ال األسبوع في المستخدم األلومنيوم كجم 100إجمالي
األسبوع في المستخدم الصلب الحديد إجمالي كجم 80وان
. للمشكلة الرياضي النموذج كون الشركة ربح لتعظيم وذلكالحل
-------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
32
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
33
--------------------------------------------------------------------------
: 2 تمرين
المشكلة لحل البياني الرسم طريقة استخدمالسابق بالتمرين
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
34
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
35
--------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------
: 3 تمرين
: التالية المشكلة لحل السمبلكس طريقة استخدم
Max Z = 3x1 + 9x2 + x3 تعظيم
بان x1 + 2x2 + 3 x3 ≤ 18: علما
6 x1 + 4x2 + 4 x3 ≤ 30
x1 , x2 , x3 ≥ 0
-------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
36
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
37
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
38
: 4 تمرين
المشكلة لحل البياني الرسم طريقة استخدم
السابق بالتمرين
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
39
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
40
--------------------------------------------------------------------------
التخصيص مشاكل علي تمارين
1 تمرين
تكلف اقل يحقق والذي الماكينات مجموعة على للعمالة تخصيص أحسن احسب
: التالية المصفوفة في المتوفرة للمعلومات طبقاماكينة
عامل
M1 M2 M3 M4 M5
E1 15 10 25 25 10
E2 14 10 25 27 15
E3 8 9 17 20 10
E4 1 8 10 20 2
E5 10 8 25 27 12
الحل:
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
41
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
42
--------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------
43
2 تمرين
اقل يحقق والذي المشروعات مجموعة على المقاولون تخصيص أحسن احسب
: التالية المصفوفة في المتوفرة للمعلومات طبقا تكاليفمشروع
مقاول
P1 P2 P3 P4 P5
C1 15 10 25 25 10
C2 14 10 25 27 15
C3 8 9 17 20 10
C4 1 8 10 20 2
C5 10 8 25 27 12
الحل:
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
44
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------
45