第三节

导数的应用

2.3.1 洛必达法则

2.3.2 函数的单调性与凹凸性

主要内容：

2.3.3 函数的极值与最值

第 2.3.1 节

计算不定式极限的一般方法

洛必达法则

一、两个基本类型不定式

主要内容:

二、其他类型的不定式

在第一章介绍极限时,曾用特定的办法

计算过简单的两个无穷小量（无穷大量）

之比的极限，而无一般法则.本节将以导

数为工具，给出计算不定式极限的一般

方法，该方法称为洛必达（L Hospital,

法国人，1661 — 1704）法则.

( )

( ) , ( )

( )( ) 0, , lim

( )

, .

0, , .

0

x ax

x a x f x

f xg x

g x→→

→ →

如果当 或 时 两个函数 与

都趋于 或都趋于 那么极限

可

不定式

能存在 也可能不存在 通常将这种极限叫作

分别记为

一、两个基本类型不定式

如果函数 和 满足

或 时

存在 且 （ ）

存在（或 ）

那么

定

是

理 ( ) ( )

(1) ( ) , ( ) 0, ( ) 0;

(2) ( ), ( ) , 0;

( )(3) lim ,

( )

( ) ( )lim lim .

( ) ( )

f x g x

x a x f x g x

f x g x g x

f x

g x

f x f x

g x g x

→ → → →

=

01.

0型不定式

如果 仍属 型，且 满足定

理的条件，可以继续使用洛必达法则，即

( ) 0( ), ( )

( ) 0

f xf x g x

g x

( ) ( ) ( )lim lim lim .

( ) ( ) ( )

f x f x f x

g x g x g x

= = =

0

12.37 lim .例 求

x

x

e

x→

−

0

0解 这是 型不定式，符合洛必达法则条件，

应用法则 得I

0 0

1lim lim 1

1

x x

x x

e e

x→ →

− −= = −

20

1 cos2.38 lim .例 求

x

x

x→

−

0

0解 这是 型不定式，符合洛必达法则条件，

应用法则 得I

20 0 0

1 cos sin cos 1lim lim lim

2 2 2x x x

x x x

x x→ → →

−= = =

3

3 21

3 22.39 lim .

1例 求

x

x x

x x x→−

− −

+ − −

0

0解 这是 型不定式，符合洛必达法则条件，

应用法则 得I

3 2

3 2 21 1 1

3 2 3 3 6 3lim lim lim

1 3 2 1 6 2 2x x x

x x x x

x x x x x x→− →− →−

− − −= = =

+ − − + − +

2. 型不定式

如果函数 和 满足

或 时

存在 且 （ ）

存在（或

定理

是 ）

那么

( ) ( )

(1) ( ) , ( ) , ( ) ;

(2) ( ), ( ) , 0;

( )(3) lim ,

( )

( ) ( )lim lim .

( ) ( )

f x g x

x a x f x g x

f x g x g x

f x

g x

f x f x

g x g x

→ → → →

=

2

ln2.40 lim .例 求

x

x

x→+

解 这是 型不定式，符合洛必达法则条件，

应用法则 得

2 2

1

ln 1lim lim lim 0

2 2= =

x x x

x x

x x x→+ →+ →+=

3

2.41 lim .+

例 求x

x

x

e→

解 这是 型不定式，符合洛必达法则条件，

应用法则 得

3 23 6 6

lim lim lim lim 0+ + + +x x x x

x x x x

x x x

e e e e→ → → → = = = =

arctan 222.42 lim .

1例 求

x

x

x

→+

−

0

0解 这是 型不定式，符合洛必达法则条件，

应用法则 得

22

2

2

2arctan 2

21 (2 )2lim lim lim1 1 1 4+x x x

xxx

x

x x

→+ →+ →+

−−+

= =

−

化为 型不定式，应用法则 得

arctan 24 12lim lim

1 8 2x x

xx

x

x

→+ →+

−

= =

前述 型和 型是两种 的不定式，

除此之外，还有 和 等类

型的不定式，这些不定式都可以通过适当

的变形化

最基本

为 型和 型

0 00 , ,1 , 0

.0

0

0

0

−

二、其他类型的不定式

x与cot 2x，哪部分做分母，要以转化后极

限易算为准则.

02.43 lim cot 2 .例 求

xx x

→

0lim

0(

an)

0t 2x

x

x→=解 原式

)0(

0

( )lim

(tan 2 )x

x

x→

=

20

1 1lim .

2sec 2 2x x→= =

1. 0 型

步骤： 或1 1

0 , 0 00

)0(

提示与分析：

)0(

整理一下

原式0

( )0

lim

cot2

x

x

x→

−=

π

π解

( )lim

(cot )2

x

x

x→

−=

π

π

22 lim sin

2x

x

→=

π

2

1lim

1csc

2 2

x x→

−=

− π

2.=

2.44 lim( )tan .2

例 求x

xx

→−

0

lim. 5 l2 4 n+

例x

x x→

0解 ，可以化为 ，运用

则求解

这是 型不定式

洛必达法

0 0 0 0

2

1

lnlim ln lim lim lim 0

1 1+ + + += = =-

-x x x x

x xx x x

x x

→ → → →=

2. 型 −

步骤：1 1 0 0

.0 0 0 0

− − −

0

sin 0( )0

limsinx

x x

x x→

−=

解 原式

0

sinlim

2cos sinx

x

x x x→=

−

)( −0

1 12.46 lim( ).

sin例 求

x x x→−

0

1 coslim

sin cos

0( )0x

x

x x x→

−=

+

( )

( )

( )

( )

0.=

2

2.47 lim tan sec .例 求 （ - ）x

x x

→

0

0解 ，可以化为 ，运用

则求解

这是 - 型不定式

洛必达法

2 2

2 2

sin 1lim tan sec lim

cos cos

sin 1 coslim lim 0.

cos sin

（ - ）= （ - ）

=

x x

x x

xx x

x x

x x

x x

→ →

→ →

−= =

−

步骤:

0 03. 0 ,1 , 型

取对数

0

0

1 ln

0 ln

0 0

1

ln 0

⎯⎯⎯→

.0

)0(0

解 原式 e ln

0

limx x

x +→= e 0

lim lnx

x x+→=

e01.= =

e0

lnlim

1x

x

x

+→

=

0

2.48 lim .例 求 x

x

x+

→

(0 )

幂函数与对数函数相乘，将幂函数放在分母运算简便.

洛必达法则

02

1

lim1x

x

x

+→ −0

lnlim

1x

x

x

+→= = 0,

0

limx

x

x+→

ex是连续函数

1

lnlim

1x

x

x→ −

)1(

解

1

1

12.49 lim .例 求 x

xx −

→

原式 1

1 1ln lim ln

1 1

1lim x

x xx x

x

→− −

→= =e e

1

1

lim 1.1x

x→

= = −−

0( )

0

洛必达法则

( )

( )

e

1.=

1

1

1lim x

xx −

→

ex是连续函数

整理

)(0

1

ln

02.50 lim(cot ) .例 求 x

xx

+→

解 原式 e1

ln(cot )ln

0

limx

x

x +

→=

(0 ) 0

ln(cot )lim

lnx

x

x+→=

e 0

1lim ln(cot )

lnx

xx+→

=0

1lim ln(cot )

lnx

xx+→

0

1lim ln(cot )

lnx

xx+→ ( )

2

0

1( csc )

cotlim1x

xx

x

+→

−

=

( )

[ ]

0

limcos sinx

x

x x+→= − 1.= −

e1

1ln

0

lim(cot ) .x

x

x+

−

→ =

复合函数求导

洛必达法则失效

注意：洛必达法则的使用条件．

cos2.51 lim .例 求

x

x x

x→

+

极限不存在

解 原式1 sin

lim lim(1 sin ).1x x

xx

→ →

−= = −

利用无穷小量的性质求解：

coslimx

x x

x→

+1.=

( )

无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量.

1lim(1 cos )x

xx→

= +

第 2-3-2 节

用导数研究函数的性质

函数单调性和函数凹凸性

主要内容:

一、函数的单调性

二、函数的凸凹性

本小节将以导数为工具，讨论函数

的单调性和凹凸性。下一小节给出寻

找函数的极值、极值点与最值的方法，

这个方法既简便又具有一般性.

一、函数的单调性

函数的单调性与导数符号之间的关系:

观察右图 y

xo

( )y f x=

上升

锐角

是锐角

tan 0

( ) 0.f x

( ) ( ) 0.f x f x 单调增加函数 ，

y

xo

( )y f x=

下降是钝角

tan 0

( ) 0.f x

( ) ( ) 0.f x f x 单调减少函数 ，

下面我们来看另外一种情况:

钝角

观察右图

导数符号的几何意义：

x

y

o

)( xfy =

( ) 0f x x

y

o

)( xfy =

( ) 0f x

( ),

( ).

对于某区间上的函数 导数为正，曲线

上升；导数为负，曲线下降；导数为零，

曲线不升不降 水平曲线

f x

)( xfy =

( ) 0f x =x

y

o

( ) ( , )

( ) ( , ) ( )

( ) 0( ( ) 0),

( , ), ( ) 0 .

设函数 在区间 内可导，则

函数 在区间 内单调 单调

的充

个别

减

分必要条件是：

而 只在

定理

点

加

成

增

处 立

少

f x a b

f x a b

f x f x

x a b f x

=

注意:函数的单调性是一个区间上的性质，

要用导数在这一区间上的符号来判定，而不

能用一点处的导数符号来判别一个区间上的

单调性．

( )

( ) 0 ( )

( )

, .

（1）确定函数 的定义域；

（2）求方程 的根及 不存在的点；

（3）用驻点和不可导点来划分函数 的定义

区间 然后判断每个开区间内导数的符号

f x

f x f x

f x

=

求 单 调 区 间 的 方 法 ：

函数的 和不可导点，可能是函数

单调区

驻点

间的分界点.

.2.52 2 2 10确定函数 的单调区间例 xy e x= − +

( , )解 - +函数的定义域为 ，求函数的导数

( ) 2=2 xf x e −

( ) 0

(0, ) ( ) 0 (0, )

( ,0) ( ) 0 ( ,0)

.

.

令 ，得

当 时， ，函数在 上单调增加；

当 时， ，函数在 上单调

=0 =

+ +

- - 减少

f x x

x f x

x f x

2

32.53 .确定函数 间例 的单调区y x=

3

( , ) 0

2 1( ) .0

3

解 函数的定义域为 ，当 时，

；当 时，函数的导数不存在

- +

= =

x

f x xx

(0, ) ( ) 0 (0, )

( ,0) ( ) 0 ( ) .,0

当 时， ，函数在 上单调增加；

当 时， ，函数在

+ +

调- 上单 减少-

x f x

x f x

2

3( ) 图像如下：f x x=

3 2( )f x x=

尖点

2

3 (

[0, )

( ) ,

.

0]单调 区间为 ，减

单调 间增区

f x x −

+

=

21.2.53 ln(1 )

2证明：当 时例 （0， ） ，x x x x − +

21( ) ln(1 ) ( )

2

(0, ) 且满足

证明 设 ，- +

+

因为

在 内可导，

f x x x x f x= +

2

1( ) 0.

1 1= -1+ =

xf x x

x x

+ +

.( ) (0, ) 0

( ) (0) 0

所以，函数 在 内单调增加 故当

时， ，即

+f x x

f x f

=

21ln(1 ).

2x x x− +

在研究函数特性时往往需要知

道函数的直观图形，利用函数

的一阶、二阶导数可以绘制出

函数的较精细的图形.下面将简

单探讨这个问题.

二、曲线弯曲方向 凹凸性

观察右图：

x

y

o

)( xfy =

) 0(f x

当 从小变大时，

也从小变大.( )

x

f x

( )f x 的图像为凹弧

单调增加( )f x

切线的斜率越来越大

二阶导数为正，曲线开口向上，是凹弧；

二阶导数为负，曲线开口向下，是凸弧；二

阶导数为零，且两侧异号，是拐点.

观察右图：

x

y

o

)( xfy =

) 0(f x

( )

x

f x

当 从小变大时，

从大变小.

( )f x 的 图 像 为 凸 弧

单调减少( )f x

切线的斜率越来越小

n2.54 l .例 判定曲线 的凹凸性y x=

解

ln [0, )因此曲线 在 为凸的.y x= +

( ) ,0函数的定义域 ，+ 2

1 1,而 = =-y y

x x

32.55 .例 讨论曲线 的凹凸区间y x=

解

( ,0) (0, )因此 为曲线的凸区间， 为曲线的 .凹区间− +

,( , )函数的定义域 − + 2,而 =3 =6 ；y x y x

0 .0 0 0当 时， ；当 时，x y x y

23( 15 .2. 6 ) 讨论曲线 的凹凸性例 及拐点y x x= −

解 23 ( ,( )1)函数 定义 在 域 内连续.y x x − += −

( )2 1 1

3 3 3

1 4 4

3 3 3

5 2 15 2

3 3 3

10 2 10 1.

9

,

9 9 5

而 y x x x x

y x x x x

− −

− − −

= − = −

= + = +

1

0 , 05

.当 时， 都不存在；当 时，x y y x y = = − =

x

1, -

5

−

5

1-

1,0

5

−

0 ( )+,0

y 凸 拐点 凹 非拐点 凹

( ,0) (0, )因此 为曲线的凸区间， 为曲线的 .凹区间− +

主要内容：

一、函数极值及其求法二、最值问题

第 2-3-3 节

用导数研究函数的性质

函数的极值和最值

0x

( )f x0 0( )f x =

一、函数的极值

如 何 利 用 导 数 求 函 数 的 极 值 呢 ？

下 面 我 们 来 介 绍 两 种 判 别 方 法

费马定理告诉我们，可导函数 在点

取得极值的必要条件是

0

0

( )

( ) 0 .

y f x x

f x

=

=

x0是驻点

驻点中哪些是极值点呢？

0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0

( )

(1)

(2) ( ) 0,

1 ( ) ,

( ) , ( )

2 ( ) ,

( ) , ( )

3 ( ) , ( )

.

0

0

f x

x

f x

x f x x

f x f x

x f x x

f x f x

x f x f x

=

。

。

。

设函数 满足

在点 的邻域内可导；

那么，

若在 侧附近 在 侧附近

则 为极 值；

若在 侧附近 在 侧附近

则 为极 值；

若在 左、右两

侧附近 同号 则

小

大

不

左 右

左 右

是极值点

( )判别法则I 第一充分条件

0x x

y

O

( ) 0f x ( ) 0f x

极小值

0x

( ) 0f x ( ) 0f x

xO

y

极大值

求极值的步骤:

( ) ( );2 求导数 f x

( ) ( ) 0 ;3 求方程 的根及导数不存在的点f x =

( ) ( )4 检查 在驻点两侧的符号，判断是否是

极值点，进而计算极值.

f x

(1) 确定函数的定义域；

1 2( ) 0 0, 1.f x x x = = =驻点令 ，得 列表讨论

x ( ,0)− (1, )+(0,1)0 1

( )f x

( )f x

+ +

0 0

极小值

不是极值

极小值 1

(0) .3

f = −

3 157 ( ) ( 1) ( ) .

3例2. 求函数 的极值f x x x= − +

解 2 3 21( ) 3( 1) ( ) ( 1) 4 ( 1)

3 = − + + − = −f x x x x x x

−

图形如下：3 1( ) ( 1) ( )

3f x x x= − +

极小值

设函数 满足

在点 存在二阶导数；

若 则 为极大值；若 则

为极小值；若 则不能判别

是否为极值，

第二充分

改用

条件

判别法则I

0 0

0 0 0

0 0 0

( )

(1) (2) ( ) 0,

( ) 0, ( ) ( ) 0,

(

( ) ( ) 0

)

, ( )

.

f x

x f x

f x f x f x

f x f x f x

=

=

局部凹

用判别法则Ⅰ时，只需求函数的一阶导数，但需判

断驻点两侧导数的符号，这显得比较麻烦.于是就有

了判别法则Ⅱ，可以很方便的判断出是不是极值.

x0是驻点

判别法则Ⅱ

局部凸

x

y

O

0( ) 0f x

极大值

0x

局部凸

x

y

O

0( ) 0f x

极小值

0x

局部凹

1 2( ) 0 1, 1.f x x x = = = −驻得 点

解 2

2

3( ) 3 ,f x x

x = −

3

6( ) 6 ,f x x

x = +

( 1 ) 1 2 0 , ( 1 )f f = 是 极 小 值 ;

3 3( ) .例2.58 求函数 的极值f x x

x= +

( 1 ) 12 0 , ( 1 ) .极 大是 值f f − = − −

我们在日常的生产活动中经常会遇到这些问题：

商品经营者如何制定价格才能使利润最高；

工厂订购生产资料要考虑怎样才能使订货和贮存

费用最低；

这些问题都可归结为求解函数的最值问题.

二、最值问题

o x

y

o x

y

ba o x

y

最值来源于三种点：驻点、端点、不可导点

最值在驻点处取得

a b

最值在端点处取得

最值分别在端点和不可导点处取得

a b

求最值的步骤:

1. 求函数的定义域;

3. 求区间端点及驻点和不可导点的函数

值,比较大小,哪个大哪个就是最大值,哪

个小哪个就是最小值;

2. 求驻点和不可导点;

最值来源于三种情况：

端点、驻点、不可导点.

3( ) 4解 因为 -4 ，f x x x =

1 2 3( ) 0, 1, 0, 1.解方程 得f x x x x = = − = =

( 1) 4; (0) 5;计算 f f− = =

(1) 4; ( 2) 13 (2) 13.，f f f= − = =

( ) 4 22.59 2 5 [ 2 2]例 求函数 ＝ － ＋ 在－ ，

上的最大值与最小值．

f x x x

找出端点、驻点、不可导点的值进行比较

(x ) 2 , 2 4 .比 较 得 ， 在 - 最 值 为 1 3， 最 小 值大f

实际问题求最值应注意:

(1) 建立目标函数;

(2) 求最值;

若目标函数只有唯一 ,则 该点的

函 最

驻点

大数值即为所求的 (或最小 )值．

例2.60 用总长14.8 m的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.

( )m 0.5 m x x +解 设容器底面短边长为 ，则另一边长为 ，高为

14.8-4 4( 0.5)3.2 2

4

x xx

− += −

3.2 2 0 0, 0 1.6.x x x− 由 和 得

3 y设容器的容积为 m，则有

( +0.5)(3.2 2 ) (0 1.6)y x x x x= −

3 2-2 +2.2 +1.6y x x x=

2=0 -6 4.4 1.6 0y x x + + =令 ，有

2

1 2

415 11 4 0, 1, ( )

15x x x x− − = = = −即 解的 不合题意，舍去

31.2m故当容器的高为 时容积最大，最大容积为1.8m．

max1 2 2.2 1.6 1.8x = = − + + =当 时，y取得最大值，即y

3.2-2 1.2这时，高为 1=

课后作业习题 2.3 (pages 90-91)

1(3)(6)(10), 2(3), 4(1), 7.

https://www.math.miami.edu/~dzgao/Fall2021AB.htm

部分课后习题答案可能有错误！

1. 期中考试样题； 2. 素数定理纠错.