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第三章 导数的应用第三章 导数的应用第一节 微分中值定理

第二节 洛必达法则

第三节 泰勒公式

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性

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第七节 曲率

第六节 函数图形的描绘

第五节 函数的极值与最大值最小值

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第一节 微分中值定理

一、罗尔定理

二、拉格朗日中值定理

三、柯西中值定理

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一、罗尔一、罗尔 (Rolle)(Rolle) 定理定理0x )( 0xu

0x费马引理 设函数 f(x) 在点 的某领域 内有定义，并且

在 处可导，如果对任意的 ，有)( 0xux ))()(()()( 00 xfxfxfxf 或

那么 0)( 0 xf

证 不妨设 时， （如果可类似的证明） . 于是，对于 ，有

)( 0xux )()( 0xfxf )()( 0xfxf )( 00 xuxx

)()( 00 xfxxf

从而当 时，0x

;0)()( 00

x

xfxxf

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当 时0x

0)()(

lim)()(

0)()(

lim)()(

00

000

00

000

x

xfxxfxfxf

x

xfxxfxfxf

x

x

;0)()( 00

x

xfxxf

根据函数 f (x) 在 可导的条件极限的保号性，便得到0x

0)( 0 xf所以

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罗尔（Rolle）定理 如果函数 (1) )(xf 在闭区间 ],[ ba 上连续, (2)在开区间 ),( ba 内可导, (3)且在区间端点的函数值相等，即 )()( bfaf ,那末在

),( ba 内至少有一点 )( ba ,使得函数 )(xf 在该点的导数等于零，

即 0)(' f

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几何解释 :

a b1 2 x

y

o

)(xfy

.

,

水平的在该点处的切线是点

上至少有一在曲线弧C

AB C

例如 , 32)( 2 xxxf ).1)(3( xx

,]3,1[ 上连续在 ,)3,1( 上可导在 ,0)3()1( ff且

))3,1(1(,1 取 .0)( f

),1(2)( xxf

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证

.)1( mM 若

,],[)( 连续在 baxf .mM 和最小值必有最大值

.)( Mxf 则

.0)( xf由此得 ),,( ba .0)( f都有.)2( mM 若),()( bfaf

.取得最值不可能同时在端点),(afM 设

.)(),( Mfba 使内至少存在一点则在),()( fxf

,0)()( fxf

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,0x若 ;0)()(

x

fxf则有

,0x若 ;0)()(

x

fxf则有

;0)()(

lim)(0

x

fxff

x

;0)()(

lim)(0

x

fxff

x,)( 存在f

).()( ff .0)( f只有

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)11()( 3

2

xxxf例

例

0 , 1

0 , sin)(

x

xxxf

上例说明罗尔定理的条件是结论成立的充分条件 , 但不是必要条件 .

2) 罗尔定理的结论中不是唯一的 .

1) 罗尔定理的三个条件对于结论的成立都是重要的 .

关于罗尔定理的几点说明

3) 将罗尔定理的条件 1.2. 换为 [a,b] 上可导 , 结论仍成立 .

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例 1.1

0155

的正实根有且仅有一个小于证明方程 xx

证 ,15)( 5 xxxf设 ,]1,0[)( 连续在则 xf

.3)1(,1)0( ff且 由介值定理.0)(),1,0( 00 xfx 使 即为方程的小于 1 的正实根 .

,),1,0( 011 xxx 设另有 .0)( 1 xf使,,)( 10 件之间满足罗尔定理的条在 xxxf

使得之间在至少存在一个 ),,( 10 xx.0)( f

)1(5)( 4 xxf但 ))1,0((,0 x 矛盾 ,.为唯一实根

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拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f(x)

(1) 在闭区间 ],[ ba 上连续;

(2) 在开区间 ),( ba 内可导,

那末在 ),( ba 内至少有一点 )( ba ，使等式

))(()()( ' abfafbf 成立.

).()(: bfaf 去掉了与罗尔定理相比条件中注意

).()()( f

ab

afbf

结论亦可写成

二、拉格朗日二、拉格朗日 (Lagrange)(Lagrange) 中值定理中值定理

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a b1 2x xo

y)(xfy

A

BC

DN

M几何解释 :

.

,

AB

C

AB

线平行于弦在该点处的切一点

上至少有在曲线弧

证 分析 : ).()( bfaf 条件中与罗尔定理相差

弦 AB 方程为 ).()()(

)( axab

afbfafy

,)( ABxf 减去弦曲线

., 两端点的函数值相等所得曲线 ba

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作辅助函数

)].()()(

)([)()( axab

afbfafxfxF

,)( 满足罗尔定理的条件xF

.0)(,),( Fba 使得内至少存在一点则在

0)()(

)(

ab

afbff即

).)(()()( abfafbf 或

注意 : 拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系 .

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,),(],[)( 内可导在上连续，在设 babaxf

).10()()()( 000 xxxfxfxxf

则有),,(, 00 baxxx

).10()( 0 xxxfy也可写成

拉格朗日中值定理又称有限增量定理 .

拉格朗日中值公式又称有限增量公式 .

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拉格朗日中值公式的几种表达形式

))(()()()1 abfafbf

ab

afbff

)()()()2

)( 之间与在 ba

)( 之间与在 ba

)10( ))](([)()()3 ababafafbf

)10( )()()()4 xxxfxfxxf

.)(

,)(

上是一个常数在区间那末上的导数恒为零在区间如果函数

Ixf

Ixf推论

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例 2 ).11(2

arccosarcsin

xxx证明

证 ]1,1[,arccosarcsin)( xxxxf设

)1

1(

1

1)(

22 xxxf

.0

]1,1[,)( xCxf

0arccos0arcsin)0( f又2

0

,2

.2

C即

.2

arccosarcsin

xx

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例 3 .)1ln(1

,0 xxx

xx

时证明当

证 ),1ln()( xxf 设,],0[)( 上满足拉氏定理的条件在 xxf

)0(),0)(()0()( xxffxf ,

1

1)(,0)0(

xxff

由上式得 ,1

)1ln(

x

x

x0又 x 111 ,11

1

1

1

x,

11x

x

x

x

.)1ln(1

xxx

x

即

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柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 )(xf 及 )(xF

(1) 在闭区间 ],[ ba 上连续;

(2) 在开区间 ),( ba 内可导;

(3) 且 )(' xF 在 ),( ba 内每一点处均不为零，

那末在 ),( ba 内至少有一点 )( ba ,使等式

)()(

)()()()(

'

'

Ff

aFbFafbf

成立.

三、柯西三、柯西 (Cauchy)(Cauchy) 中值定理中值定理

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几何解释 :

)( 1F )( 2F xo

y

)(

)(

xfY

xFX

)(aF

A

)(bF

BC

D

)(xF

N

M

.

)),(),((

AB

fFC

AB

弦该点处的切线平行于

在一点上至少有在曲线弧

证 作辅助函数)].()([

)()(

)()()()()( aFxF

aFbF

afbfafxfx

,)( 满足罗尔定理的条件x

.0)(,),( 使得内至少存在一点则在 ba

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,0)()()(

)()()(

FaFbF

afbff即

.)(

)(

)()(

)()(

F

f

aFbF

afbf

.0)(,),( 使得内至少存在一点则在 ba

,)( xxF 当 ,1)(,)()( xFabaFbF

)(

)(

)()(

)()(

F

f

aFbF

afbf).(

)()(

fab

afbf

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例 4)].0()1([2)(),1,0(

:,)1,0(,]1,0[)(

fff

xf

使至少存在一点证明内可导在上连续在设函数

证 分析 : 结论可变形为

2

)(

01

)0()1( fff.

)(

)(2

xx

xf ,)( 2xxg 设

,]1,0[)(),( 条件上满足柯西中值定理的在则 xgxf

有内至少存在一点在 ,)1,0(

2

)(

01

)0()1( fff)].0()1([2)( fff 即