Квантовая экономика

В.П.Маслов

В статье приводится краткое изложение математической концепции, применимойк экономике.

1 Нелинейное осреднение по КолмогоровуПоследовательность функций Mn определяет регулярный тип среднего, если удовлетворяютсяследующие условия (Колмогоров):

I. M(x1, x2, . . . , xn) непрерывна и монотонна по каждому переменному. Дляопределенности будем считать, что M возрастает по каждому переменному.

II. M(x1, x2, . . . , xn) – симметрическая функция 1.III. Среднее от одинаковых чисел равно их общему значению: M(x, x, . . . , x) = x.IV. Можно заменить некоторую группу значений их собственным средним, не

меняя общего среднего:

M(x1, . . . , xm, y1, . . . , yn) = Mn+m(x . . . , x, y, . . . , yn),

где x = M(x1, . . . , xn).

Теорема 1 (Колмогоров)При выполнении условий I-IY среднее M(x1, x2, . . . , xn)имеет вид

M(x1, x2, . . . , xn) = ψϕ(x1) + ϕ(x2) + . . . + ϕ(xn)

n, (1)

где ϕ – непрерывная строго монотонная функция, а ψ – обратная к ней.

Доказательство теоремы см. в работе [1].

2 Основная аксиома осредненияДля устоявшейся системы довольно очевидно, что должна быть выполнена следующаяаксиома.

Если к xk прибавить одну и ту же величину ω, то среднее увеличится на ту жевеличину ω.

Очевидно, что нелинейное осреднение xi в нормальных условиях также должноувеличиться на эту величину. Мы примем этот факт как аксиому 5.

Эта аксиома приводит к однозначному решению в нелинейном случае, т.е. ейудовлетворяет естественно линейный случай (арифметическое среднее) и единственнаяс точностью до одной и той же константы, на которую мы можем умножить вседоходы xi, нелинейная функция.

1В нашем случае симметрия следует из бозе-статистики денежных купюр

1

На самом деле доходы xi исчисляются в какой-либо валюте и, вообще говоря,должны умножаться на некоторую величину β, которая отвечает покупательнойспособности этой валюты, так что указанная константа (параметр β) изначальнодолжен входить в определение дохода. А следовательно мы утверждаем, что существуетединственная нелинейная функция, которая удовлетворяет аксиоме 5.

Функция f(x) имеет вид

f(x) = C exp(Dx) + B, (2)

где C,D �= 0, B — числа, независящие от x.

3 Полукольцо, пример линейного самосопряженногооператора

Рассмотрим полукольцо, порожденное нелинейным средним и пространство L2 созначениями в этом полукольце.

Вначале рассмотрим уравнение теплопроводности вида

∂u

∂t=

h

2

∂2u

∂x2. (3)

Здесь h – малый параметр, малость которого мы пока не будем использовать.Уравнение (3) линейно. Это означает, как известно, что если u1 и u2 его решения,

то линейная комбинацияu = λ1u1 + λ2u2 (4)

является его решением. Здесь λ1 и λ2 – константы.Теперь сделаем следующую замену. Положим

u = e−wh . (5)

Тогда для новой неизвестной функции w(x, t) получим нелинейное уравнение

∂w

∂t+

1

2

(∂w

∂x

)2

− h

2

∂2w

∂x2= 0. (6)

Это известное уравнение иногда называют уравнением Бюргерса 2.Решению u1 уравнения (3) отвечает решение w1 = −h ln u1 уравнения (6), а

решению u2 уравнения (3) отвечает решение w2 = −h ln u2 уравнения (6). Решению(4) уравнения (3) отвечает решение w = −h ln(e−

w1+µ1h +e−

w2+µ2h ), где µi = −h lnλi, i =

1, 2.Отсюда следует, что уравнение (6) тоже линейно, но линейно в пространстве

функций, где введены следующие операции:операция суммы a⊕ b = −h ln(e

−ah + e

−bh );

и операция умножения a� λ = a + λ.При этом замена w = −h ln u нуль переводит в бесконечность, а единицу в нуль.

Таким образом обобщенным нулем в этом новом пространстве будет ∞ : Ø = ∞, аобобщенной единицей будет обычный нуль: 1 = 0. Пространство функций, в которомвведены операции ⊕ и � с присоединенным к пространству нулем Ø и единицей

2Обычное уравнение Бюргерса получается из этого дифференцированием по x и заменой v = ∂w∂x .

2

1 изоморфно обычному пространству функций с обыкновенным умножением исложением.

Можно себе представить таким образом, что где-то на другой планете людипривыкли именно к вновь введенным операциям ⊕ и � и с их точки зрения уравнение(6) является линейным.

То, что здесь было описано, разумеется, тривиально, и людям нашей планеты нетсмысла переучивать арифметические операции, поскольку можно заменой функцииперейти от уравнения (6) к уравнению (3), линейному в привычном для нас смысле.Однако "королевство кривых зеркал", которое дает это полукольцо, оказывается,связано с "капиталистической"экономикой.

В пространстве функций со значениями в кольце a⊕b = −h ln(e−ah +e−

bh ), λ�b =

λ + b введем скалярное произведение

(w1, w2) = −h ln

∫e

w1+w2h dx.

Покажем, что оно обладает в этом пространстве билинейными свойствами, а именно:(a⊕ b, c) = (a, c) ⊕ (b.c), (λ� a, c) = λ� (a, c). Действительно,

(a⊕ b, c) = −h ln

(∫exp

(−(−h ln(e

−ah + e

−bh ) + c)

h

)dx

)=

= −h ln

(∫(e

−ah + e

−bh )e

−ch dx

)= −h ln

(∫e−

a+ch dx +

∫e−

b+ch dx

)= (a, c) ⊕ (b, c),(7)

(λ� a, c) = −h ln

∫e−

a+λh e−

chdx =

= −h ln

(e−

λh

∫e−

a+ch dx

)= λ + ln

∫e−

a+ch dx = λ� (a, c).

Приведем пример самосопряженного оператора в этом пространстве. Рассмотримоператор

L : W −→ W � (−h ln

((W ′)2

h2− W ′′

h

).

А теперь проверим самосопряженность:

(W1, LW2) = −h ln

∫e−

W1+LW2h dx = (8)

= −h ln

∫exp

[−

(W1 + W2 − h ln

(W ′

2)2

h2− W ′′

2

h

))/h

]dx =

= −h ln

∫e

−W1h e

−W2h

((W ′

2)2

h2− W ′′

2

h

)dx = −h ln

∫e

−W1h

d2

dx2e

−W2h dx =

= −h ln

∫d2

dx2e

−W1h e

−W2h dx = −h ln

∫e

−W1h

((W ′

1)2

h2− W ′′

1

h

)e

−W2h dx =

= −h ln

∫exp

[−

(W1 − h ln

((W ′

1)2

h2− W ′

2

h

))/h

]dx =

= −h ln

∫e−

LW1+W2h dx = (LW1,W2).

Также легко проверить линейность.

3

Построим разрерающий оператор уравнения Бюргерса: L : W0 → W , где W -решение уравнения (6), удовлетворяющее начальному условию W |t=0 = 0.

Решение уравнения (3), удовлетворяющее условию u|t=0 = u0, имеет вид

u =1√2πh

∫e−

(x−ξ)2

2th u0(ξ)dξ.

Учитывая, что u = e−Wh , W = −h ln u, получаем разрешающий оператор Lt

уравнения Бюргерса

LtW0 = − h√2πh

ln

∫e−

((x−ξ)2

2th+

w(ξ)h

)dξ. (9)

Lt самосопряжен в новом скалярном произведении.

4 Энтропия для производителя и потребителя; условиедохода производителя и траты потребителя. Производствои потребление. Равновесные цены

Рассматривается большая группа производителей, которые производят товары Mвидов. Соответствующая структура производства характеризуется вектором ωN =

〈K1, . . . , KM〉, где Ki число товаров i-го вида, i = 1, . . . ,M , при этомM∑i=1

Ki = N .

Аналогичным образом рассматривается структура потребления. Пусть товары i-го

вида стоят εi. Доход от реализации N единиц товара равен E =M∑i=1

εiKi.

В основе введенных далее понятий находится нелинейное среднее доходов отреализации N единиц товаров по всем возможным вариантам структуры производстваωN при заданном положительном значении параметра β

MN =1

βlog

(1

L

∑K1+···+KM=N

2β

n∑i=1

εiKi

). (10)

Подробно о нелинейном осреднении см. [2].

4.1 Психология рядового вкладчика. Психологический законсохранения status quo

Отметим, что проигрыш 100 тысячи долларов по своей психологической "стоимости"многобольше, чем выигрыш этой же суммы. Это значит, что обычный человек предпочитаетсохранять статус кво, т.е. не рисковать проиграть 100 тыс. долларов. Поэтому если онраскладывает по банкам некоторую сумму N и хочет, как рантье, жить на проценты,то он должен сосчитать, какая сумма ему достаточна, чтобы сохранить статус кво,и в соответствии с этим разложить деньги в банки, чтобы не подвергаться риску ине потерять свой статус.

Этот чисто психологический момент должен лечь в основу проводимых математическихвычислений. Отметим, что сумма дохода вполне поддается расчетам рядовоговкладчика, тогда как экспертный расчет надежности банка, предлагающего большой

4

процент, может быть обычному вкладчику не под силу. Поэтому в приведенныхформулах свободный параметр β может быть определен через указанную суммудохода, и тогда мы получим графики зависимости вкладов в банки ni от априорнозаданного дохода.

Вопрос о "вероятности выживания", близкий к "закону сохранения статус кво",обсуждался матэкономистами.

Если принять в качестве независимой переменной необходимый доход∑

niλi = E,то нелинейное осреднение в силу аксиом Колмогорова и дополнительной аксиомы,предложенной автором, будет единственным (требуемая доходность -required rate ofreturn RRR).

Предположим, что производитель должен получить доход∑n

1 εiNi большийили равный по крайней мере величине E1, чтобы его производство развивалосьнормально. Потребитель не имеет возможности потратить более чем E2 =

∑n1 εiN2

(потребительский бюджет – budget restraint BR). Рассмотрим "энтропии"производителяи потребителя H1(ε1, · · · , εn, E1) – логарифм по основанию 2 от числа вариантовпродаж на сумму не меньшую E1; H2(ε

′1, · · · , ε′n, E2– логарифмы по основанию 2 от

числа вариантов покупок на сумму не большую, чем E2.Пусть M сумма (16) при β < 0, а θ = 1

β.

Уравнение∂M

∂θ= H1

позволяет определить θ = θ1(H1), а уравнение

∂M

∂θ= H2

позволяет определить θ = θ2(H1).Выберем случайным образом k возможных вариантов покупок.Оказывается, для большинства из них сумма денег, потраченных на покупку

товаров цены εi, будет "почти"равна

∂M

∂εi

|θ=θ1

(аналог закона больших чисел; точные оценки такие же, как в обычном законебольших чисел).

Аналогичное утверждение имеет место для продавца. Равновесные цены устанавливаютсяиз соотношения

∂M

∂εi

|θ=θ1(ε) =∂M

∂εi

|θ=θ2(ε), i = 1, · · · , n.Таким образом вертикаль ресурсы–производитель–потребитель и т.д. разбиваетсяна пары, в каждой из которых фигурирует два новых числа RRR и BR. Энтропия(колмогоровская сложность) и степень риска "спрятаны"в промежуточных вычислениях.Так изменяется обычная модель экономического равновесия (general equilibrium).

Модели динамического равновесия (межвременное -intertemporal g.e.) изменяютсяаналогично с помощью формулы (41) [3], с.276.

Условие равновесия цен определяется из следующих соотношений

∂M

∂εi

|θ=θ1(ε,E1) =∂M

∂εi

|θ=θ2(ε,E2) (11)

5

.В силу закона "пар"производная по "температуре"θ от осреднения есть энтропия,

а производная по цене есть величина товара. Равенство (11) хорошо известно влинейном случае. Мы обобщаем его здесь на нелинейный. Это обобщение позволяетучитывать колмогоровскую сложность, а значит и энтропию как важнейшее понятиев экономике. Сопряженная ей пара - температура определяет степень риска, а иногдаволотильность. Но те переменные, которые участвуют в окончательных формулах,содержат лишь легко вычислимые доходы RRR и расходы BR. Так что H и θвыступают здесь как "скрытые параметры".

5 Туннельный канонический оператор в экономикеРавновесные цены определяются из условия равенства спроса и предложения покаждому продукту и ресурсу. Аналогично определяются следующие пары: потокипродуктов и услуг – цены; потоки труда разных видов – ставки зарплаты; потокиприродных ресурсов – ренты; процент – объем ссуд.

Асимптотика M и M дается туннельным каноническим оператором в фазовомпространстве пар.

Мы будем рассматривать фазовое пространство R2n, где интенсивные величиныбудут играть роль координат, а экстенсивные – импульсов. В экономике рользначений случайной величины λi могут играть цены соответствующих товаров, аNi – например, число проданных. т.е. число людей, купивших данный товар, илипроцент, выплачиваемый i-тым банком и т.д. Очевидно, что цена зависит от спроса,т.е. λi(Ni) в двухмерном фазовом пространстве – это кривая. В двухмерном фазовомпространстве каждой точке (вектору) λi, i = 1, . . . , n отвечает некоторый векторNi(λ1, . . . , λn), i = 1, . . . , n. В более общем случае это N−мерное многообразие(поверхность), где "координаты"и "импульсы"локально зависят от n-параметров,при этом выполняется некоторое условие: скобки Лагранжа от "координат"и "импульсов"поэтим параметрам равны нулю. Поэтому автор назвал такое многообразие лагранжевым.По-другому можно сказать, что форма

∑Nidλi замкнута (см. Послесловие [4] и [5]).

Значит∫Nidλi не зависит от пути и в механике как

∫pdq (p - импульс, q- координата)

называется действием.Производитель приобретает ресурсы и преобразовывает вектор затрат ресурсов

в вектор выпусков потребительских благ. Потребитель приобретает эти блага.Соответственно определяются вышеизложенными равенствами равновесные ценына ресурсы и цены на потребительские блага.

Кроме таких равновесных цен, могут еще образовываться вертикальные парына отдельные потребительские блага и пары продавец-покупатель, т.е. постоянныйпродавец – постоянный покупатель, и соответственно образовываются цены, связанныес этими парами. Аналогом в квантовой статистике являются куперовские пары.

Эта конструкция требует привлечение метода ультравторичного квантования вабстрактной алгебраической форме, которая могла бы быть применима в экономике.Эта теория приводит и к образованию "вертикальных"кластеров.

Таким образом мы находим параметр β, и задача полностью определена.Пример. Ниже покупателя акций будем называть игроком. Пусть существует

всего два типа акций, первый условно будем называть "дешевыми"акциями, а второй— "дорогими". Будем считать, что игрок покупает пакет из N акций, в которомколичество дешевых акций равно N1, а количество дорогих акций соответственно

6

равно N2 = N − N1. Игрок тратит деньги на покупку акций, при этом покупаемоеколичество акций оказывает влияние на цену акций обоих типов. В частности, чембольше дорогих акций покупает игрок, тем дешевле их ему продадут. Поэтому далеебудем считать, что расход игрока на пакет акций зависит от количества купленныхдешевых и дорогих акций нелинейно. Например, квадратичным образом:

E(N1) = λ1N1 + λ2N2 − γN21

2N− γN2

2

2N= λ2N − γN

2+ (λ1 − λ2 + γ)N1 − γN2

1

N, (12)

где числа λ1, λ2, γ удовлетворяют условиям:

γ

2< λ1 < λ2, λ2 − λ1 < γ < 2(λ2 − λ1). (13)

Из условий (13) следует, что функция (12) при N1 = 0, 1, . . . , N имеет глобальныйминимум при N1 = N и локальный минимум при N1 = 0.

2000 4000 6000 8000 10000

200000

400000

600000

800000

1 1061.2 106

Рис. 1: График E(N1) при T = 0

Если в начальный момент игроку досталось N1 дешевых акций и N2 - дорогих,причем N1 < λ1−λ2+γ

γN , то продавая по одной акции и покупая по одной акции

дешевых и дорогих так, чтобы E(N2) уменьшилось, он придет к локальному минимумуN1 = 0, т.е. купит все дорогие акции. Если же ему досталось N1 > λ1−λ2+γ

γN, то он

придет в результате монотонного процесса к тому, чтобы купить все дешевые акции.Рассмотрим теперь локальные финансовые осреднения дохода игрока. Будем

считать, что дешевые акции игрок может купить у G1 дилеров, а дорогие — у G2

дилеров. В таком случае количество разных способов, которым игрок может купитьпакет акций равно

Γ(N1) =(N1 + G1 − 1)!

(G1 − 1)!N1!

(N −N1 + G2 − 1)!

(G2 − 1)!(N −N1)!. (14)

Замечание. Вместо введения разных дилеров можно было бы считать, что самихдешевых и дорогих акций соответственно G1 и G2 разных типов, которые стоятодинаково.

Предположим, что при β = ∞ игрок находится на локальном минимуме N1 = 0.Поскольку он пробует менять попарно и постепенно (монотонно) акции так, чтобы

7

его расход не увеличивался 3, то осреднение мы можем рассматривать лишь вокрестности точки локального минимума (локальное финансовое осреднение). Еслиβ медленно меняется, а N → ∞, то асимптотика Mβ при N → ∞ вновь будетотвечать локальному минимуму

E(N1) = β(λ1N1 + λ2N2 − γN21

2N− γN2

2

2N) +

+ ln(N1 + G1 − 1)!

(G1 − 1)!N1!

(N −N1 + G2 − 1)!

(G2 − 1)!(N −N1)!. (15)

200 400 600 800 1000

100

200

300

400

500

600

Рис. 2: График E(N1) T = 5, G2 = 30, γ = 1.5

На рисунке 3. изображена зависимость энтропии от температуры и локального иглобального минимумов.

В точке T ≈ 40 кривая обрывается. В этой точке производная ∂S∂T

обращаетсяв бесконечность, и модификация метода Лапласа, который можно было применитьдля асимптотики локального Mβ в других точках, не применима в окрестностиэтой точки. И подсчет локального минимума на компьютере дает неустойчивое"разбалтывание". Оказывается, асимптотика вблизи этой точки выражается черезфункцию Эйри от мнимого аргумента, и этот факт снимает все вышеперечисленныепроблемы.

При T > 40 равновесия при малом изменении покупки-продажи нет. Поэтому,чтобы попасть на точку равновесия, образованную в результате изменения локальногоосреднения вблизи другого локального минимума, надо сразу поменять большоеколичество акций (см. рис.3).

Аналогичная ситуация возникает, когда κ = 1 и игрок хочет как можно большевыиграть. Тогда минимальные точки заменяются на максимальные, между которымипри квадратичной зависимости от N1 и N2 имеется минимум. При изменении T отнуля до некоторого T0, при котором исчезает локальный максимум, происходитскачок, который можно трактовать как пробой курса акций. В нашем случае игрок,

3принцип наименьшего риска в экономике

8

20 40 60 80 100

3500

4000

4500

Рис. 3: Жирная линяя – локальный минимум, под ним глобальный минимум. В точкеT = 40 локальный минимум и глобальный максимум совпадают и при T > 40 непродолжаются.

если совершит быструю одновременную продажу большого числа одних и покупкубольшого числа других акций, то попадет снова на точку равновесия.

Мы рассмотрели лишь простейшую модель. В более сложной экономическойситуации, когда задействованы массы народа, они не могут быстро перестроиться,переходя, например, от привычной потребительской корзине к другой и меняя свойобраз жизни. Тогда точки равновесия (баланса) вообще нет, и резкий дисбалансприводит к общему дефолту.

Обобщение. В нашем примере мы получили одномерную кривую, отвечающуюлокальному минимуму зависимости энтропии от "температуры"в двумерном пространствеS, T и рассматривали ее проекцию на ось T в точке T0. Эта проекция не является"хорошей", и мы говорили. что асимптотику Mβ в окрестности этой точки нужнозаменить функцией Эйри.

Какая картина возникает в общем случае, когда у нас имеются две "сопряженные"парыэнтропия-температура, и, например, число людей N , отвечающих некоторому среднемузаработку εk.

В этом случае рассматривается 4-х мерное (фазовое) пространство, где „координаты“-T, ε и „импульсы“- N,S. Поверхность, соответствующая нашей кривой, будет двумернойи (локально) может быть записана в параметрической форме

T = T (α1, α2), ε = ε(α1, α2), N = N(α1, α2), S = S(α1, α2),

где α1, α2 параметры.Поскольку она должна быть получена (по крайней мере, в простых точках

проектирования на "координатную"плоскость) из асимптотики сумм вида

Mβ =1

κβln(

eκβa + eκβb

2), κ = ±1, β > 0,

то она должна быть лагранжевым многообразием (понятие введено автором в [5]). Вточках "плохого проектирования"на плоскость T, ε асимптотика дается туннельным

9

каноническим оператором [5], а его упрощение в зависимости от вида поверхностивблизи точки "плохого проектирования"может быть получено, используя работу [6].

Эти общие соображения могут помочь сконструировать соответствующую модельданной экономической ситуации, если есть подходящие статистические данные.

6 Закон больших чиселРассматриваются продавцы, которые продают товары M видов. Соответствующаяструктура продаваемых товаров характеризуется вектором ωN = 〈K1, . . . , KM〉, где

Ki число товаров i-го вида, i = 1, . . . ,M , при этомM∑i=1

Ki ≤ N . Аналогичным образом

рассматривается структура покупаемых товаров. Пусть товары i-го вида стоят εi.

Доход от реализации K1 + · · · + Kn единиц товара равен E(ωN) =M∑i=1

εiKi.

В основе введенных далее понятий находится нелинейное среднее доходов отреализации ≤ N единиц товаров по всем возможным вариантам структуры продажитоваров ωN при заданном положительном значении параметра β

MN(β) =1

βlog

(1

L

∑ωN

2βE(ωN )

)=

1

βlog

(1

L

∑K1+···+KM≤N

2β

n∑i=1

εiKi

), (16)

где L - число слагаемых в сумме. Подробно о нелинейном осреднении см. [2]. Вэтой работе показано, что при некоторых естественных предположениях существуеттолько два способа вычисления средних - обычное линейное среднее и нелинейноесреднее типа (16).

Разделим все виды товаров на группы товаров, имеющих разную цену. Пустьимеется всего n групп таких товаров, n ≤ M . Пусть к i-ой группе относится Gi видовтоваров, имеющих общую цену λi, причем λ1 < λ2 < · · · < λn. В нашей постановкекаждое λi равно одному из εj. Обозначим λ = (λ1, λ2, . . . , λn). По определению имеемn∑

i=1

Gi = M . Пусть Ki,j - общее число единиц товара j-го вида из i-ой группы товаров

общей цены λi. Таким образом, структура продаваемых будет задаваться вектором

ωN = 〈K1,1, . . . , K1,G1 , . . . , Ki,1, . . . , Ki,Gi, . . . , Kn,1, . . . , Kn,Gn〉. (17)

Пусть Ni =Gi∑j=1

Ki,j есть число всех единиц товаров продаваемых по цене λi, а

νi = Ni/N - доля всех таких товаров в общем их числе, где i = 1, . . . , n. Ценоваяструктура продаваемых товаров характеризуется вектором 〈N1, . . . , Nn〉 или в доляхвектором

〈ν1, . . . , νn〉. (18)

Тогда общая стоимость всех N единиц товаров равна

E(ωN) =n∑

i=1

λiNi = Nn∑

i=1

λiνi. (19)

Обозначим посредством ΞN1,...,Nn

N множество всех вариантов структуры продаваемыхтоваров при заданной их ценовой структуре 〈N1, . . . , Nn〉. Число элементов этого

10

множества равно 4

|ΞN1,...,Nn

N | =

(N1 + G1 − 1

G1 − 1

)· . . . · · · ·

(Nn + Gn − 1

Gn − 1

). (20)

В случае разделения товаров на группы сумма (16) превращается в

MN(β, λ) =1

βlog

(1

L

∑N1+···+Nn≤N

|ΞN1,...,Nn

N |2βn∑

i=1λiNi

), (21)

где L - общее число всех возможных вариантов продаваемых товаров, вторая сумма(16) берется по всем ценовым структурам 〈N1, . . . , Nn〉.

Допустим, что продавцы продали всего не более N единиц товаров разных видов.Мы рассматриваем задачу прогнозирования “наиболее ожидаемого” состава товаровдля реализации на свободном рынке необходимого для достижения среднего доходане ниже E1. Таким образом, должно выполняться неравенство

n∑i=1

λiNi ≥ E1. (22)

Кроме этого должно выполняться естественное неравенствоn∑

i=1

Ni ≤ N. (23)

Введем основные определения. Будем называть энтропией H(E1, λ,N) двоичныйлогарифм числа возможных вариантов продажи N единиц товаров, при которыхдостигается доход не менее E1, т.е. выполнено (22).

Обозначим θ(E1, λ,N) - решение относительно θ уравнения

∂MN(θ−1, λ))

∂θ= H(E1, λ,N). (24)

Решение этого уравнения существует и единственно. Это следует из монотонности.Полагаем

νi(E1, λ,N)) =1

N

∂MN

∂λi

|θ=θ(E1,λ) (25)

при i = 1, . . . , n.Введенные выше понятия носят общий характер и применимы ко всем возможным

вариантам распределения товаров. Далее мы рассмотрим некоторый частный случай,для которого найдем асимптотики введенных величин, а также докажем некоторыйпростейший вариант “закона больших чисел” при следующих условиях.

Введем обозначения νi = Ni/N и pi(N) = Gi/N при i = 1, . . . , n. Мы предполагаем,что величины pi(N) имеют предел pi при N → ∞, при этом этот предел больше нулядля всех i. Пусть также E1 = e1N. Пусть ρ = N/M - константа (можно такжепредполагать, что N/M → ρ при N → ∞).

В дальнейшем нам также потребуется ограничение e1 ≤ ρn∑

i=1

λipi на величинусреднего дохода на единицу продаваемого товара.

4|A| обозначает число элементов множества A.

11

Теорема 2 Пусть n ≥ 3. Тогда для произвольного ε > 0 доля всех вариантовраспределения продаваемых товаров (18), обеспечивающих средний доход от реализацииединицы товара не менее e1, 5 для которых |νi − νi| ≥ ε хотя бы для одного i,1 ≤ i ≤ n, не превосходит 2−cε2N , где c - константа.

В условиях теоремы имеется предположение о том, что число номенклатуртоваров, продаваемых по одной цене, достаточно велико. Можно однако объединитьгруппу товаров с разными ценами и, вычислив нелинейное среднее от этих цен,заменить в формулировке теоремы эту группу цен указанной нелинейной среднейценой.

Привожу ниже соответствующую формулу.Рассмотрим набор цен λi, где i = 1, . . . , n, и набор чисел gi, например равных

числу товаров разного типа, имеющих цену λi. Числа gi являются величинамипорядка 1. Число товаров купленных по цене λi обозначим Ni. Учитывая, что поцене λi продается gi разных товаров, количество разных способов совершить покупкуNi товаров по цене λi выражается формулой

γi(Ni) =(Ni + gi − 1)!

Ni!(gi − 1)!, (26)

а количество разных способов купить набор товаров {N} = N1, . . . , Nn соответственноравно

Γ({N}) =n∏

i=1

γi(Ni) =n∏

i=1

(Ni + gi − 1)!

Ni!(gi − 1)!. (27)

Будем считать, что товары разбиваются на m ≤ n групп следующим образом.Пусть выбраны две последовательности iα и jα, где α = 1, . . . ,m, удовлетворяющиеусловиям

iα ≤ jα, iα+1 = jα + 1, α = 1, . . . ,m,

i1 = 1, jm = n, (28)

в этом случае будем говорить, что товар попадает в группу товаров с номером α, еслиего цена λi удовлетворяет условию iα ≤ i ≤ jα. Обозначим Nα — число купленныхтоваров из группы с номером α, это число выражается формулой

Nα =

jα∑i=iα

Ni. (29)

Введем wα — нелинейно усредненную цену товаров группы α:

wα =1

βNα

log

α∑{N}

jα∏i=iα

γi(Ni)2−βλiNi

− log(γα(Nα)

) , (30)

где β — экономический параметр, например волатильность, так же использованообозначение

α∑{N}

, (31)

5т.е. при ограничениях (22) и (23).

12

которое означает суммирование по всем наборам неотрицательных целых чиселNiα , . . . , Njα , удовлетворяющим условию

jα∑i=iα

Ni = Nα, (32)

а кроме того γα(Nα) задается формулой

γα(Nα) =α∑

{N}

jα∏i=iα

γi(Ni). (33)

Можно показать, что для (33) справедлива формула

γα(Nα) =(Nα + gα − 1)!

Nα!(gα − 1)!, (34)

где

gα =

jα∑i=iα

gi. (35)

Заметим, что нелинейно усредненная цена товаров группы α зависит, вообщеговоря, от β и Nα.

Рассмотрим теперь нелинейное ожидание расхода

M(β, λ,N) = − 1

βlog

′∑{N}

n∏i=1

γi(Ni)2−βλiNi

, (36)

где′∑

{N}, (37)

обозначает сумму по всем наборам неотрицательных целых чисел {N} = N1, . . . , Nn,удовлетворяющих условию

n∑i=1

Ni = N. (38)

Утверждение. Для (36) справедливо равенство

M(β, λ,N) = − 1

βlog

′∑{N}

m∏α=1

γα(Nα)2−βwαNα

, (39)

где′∑

{N}, (40)

обозначает сумму по всем наборам неотрицательных целых чисел {N} = N1, . . . , Nm,удовлетворяющих условию

m∑α=1

Nα = N. (41)

13

Справедливость этого утверждения следует непосредственно из определенийнелинейно усредненных цен (34) и нелинейного ожидания расхода (36).

Теперь

να =∂M

∂ωλ

,

и теорема о больших числах остается прежней, где να – число товаров, купленныхпо ценам λi при iα ≤ i ≤ jα.

Список литературы[1] А.Н.Колмогоров. "Избранные труды по математике и механике". 1985, с. 136-137

[2] Маслов В.П. Аксиомы нелинейного осреднения в финансовой математике идинамика курса акций // Теория вероятностей и ее применения. 2003. Т.48,вып.4. С.800–810.

[3] Маслов В.П. //Теория вероятностей и ее применения. 2004. Т.49, вып.2. С.269–296.

[4] Дж.Хединг. Введение в метод фазового интервала. М.Мир 1965 (Послесловие:В.П.Маслов. Метод ВКБ в многомерном случае)

[5] В.П.Маслов. Теория возмущений и асимптотические методы. М.:МГУ, 1965

[6] В. И. Арнольд, А. Н. Верченко, С. М. Гусейн-Заде. Особенностидифференцируемых отображений. I, II. - М.: Наука, 1982, 1984

14