Самоподготовка по Математика за

7 клас,02.06 - вторник

Деца, за да се справите с предизвикателството ,което ви

предстои, трябва да се научите ,да прилагате при решаване на

задачите, следните знания включващи основни понятия

,определения и формули,както следва:

1. Едночлен :

Едночлен е всеки цял рационален израз ,който

е произведение от числа и променливи

Примери за едночлени:

3хy; 19x2; 2xy3; −3xy2⋅(23) ⋅4x3; 5,9 xn y n

(n∈N)

Едночлените могат да са само числа или само

променливи

Примери: 0.12 ; 3 ; −0,5 ; x ; y ; b2 ; z n (n∈N)

Целите изрази 2a+3b; 2x−5d ; (2y+3) 2 НЕ са

едночлени,защото ,те не са само произведение от

числа и променливи

а) нормален вид;

В едночлена 2xy3 е записано едно число и

всяка буква се среща само по веднъж

Всеки едночлен записан по този начин казваме,че е

записан в нормален вид

Нормален (стандартен) вид има всеки

едночлен записан :

само с един числов множител ,който е пред

другите множители

произведението от еднаквите букви и променливи е

записано като степен

Всеки едночлен може да се приведе в нормален

вид ,като :

намерим произведението на всички числови

множители и го запишем на първо място

като умножим всички степени с равни основи

б) коефициент на едночлен ;

ЧИСЛОВИЯТ МНОЖИТЕЛ на всеки едночлен записан в нормален

вид наричаме КОЕФИЦИЕНТ НА ЕДНОЧЛЕНА

Вторият едночлен −5x.y2⋅(32) .y3.4x3 не

е приведен в нормален вид .

Той има коефициент −5.(32) .4=-180

Тогава нормалният вид на едночлена е −5x.y2⋅(32) .y3.4x3 =-180 y2+3х1+3 = -180.y5 .х4

в) степен на едночлен;

СБОРЪТ от степенните показатели на ПРОМЕНЛИВИТЕ в даден

едночлен се нарича степен на едночлена

Примери :

−x4y5 е едночлен от 9-та степен ,защото 4+5 =9 ;

−3xy5z6 е едночлен от 12 -та

степен,защото 1+5+6 =12 ;

10z e едночлен от първа степен ;

0,02 е едночлен от нулева степен

15bxy6 ,където b е параметър е от 7 степен ,защото

1+6=7

Примери :В дадената таблица всички букви са

променливи .

Едночлен Нормален

вид Коефициент

Степен

6x2y(−2)

3xy

4 -48x

3y

5 -48 8

а2b

4bcа ; а

3b

5c 1 9

-2y.(0,5y) -y2 -1 2

5.20 100 100 0

г) действия с едночлени .

ЕДНОЧЛЕНИ ,които имат един и същ нормален вид,или се

различават само по коефициентите си се наричат ПОДОБНИ

ЕДНОЧЛЕНИ

Подобни са едночлените :

12х и 15х

3yх3 и 15yх3

3xcxc и 3x 2c 2 ;

9 и −9;

Не са подобни едночлените : 3a2b и 12ab2

Ако два подобни едночлена имат равни

коефициенти ,то те се наричат равни едночлени

Примери : 2х2 и 2хх

Ако два подобни едночлена имат противоположни

коефициенти ,то те се наричат противоположни

едночлени

Примери : - 2а2 и 2а2; : - 3n и 3n ;- xy и xy

Подобни едночлени събираме или изваждане

като :

Първо - съберем или извадим коефициентите на

едночлените ;

Второ - запишем променливите без промяна

Примери :

2х+3х =(2+3)х = 5х

7х2 +0,5 х2 = (7+0,5) х2 = 7,5 х2

10х-3х =(10-3)х = 7х

23х2 -21 ,5 х2 = (23-21,5) х2 = 2,5 х2

Сборът на два противоположни едночлена е

нула

Примери :

х2 - х2 = 0 ;

2y -2y =0

ВАЖНО! :Правилата за разкриване на скоби са

същите ,както при действия с рационални числа

Примери :

х +(−)5х = х - 5х = -4х

х −(−)2х =х+2х =3х

ДЕЙСТВИЕТО събиране или изваждане на подобни едночлени се

нарича ПРИВИДЕНИЕ

Задача 7.Извършете означените действия

А) 2х +(−)6х +х

Б) 3ах +5ах – 8ах

В)−2х2k−(−0,7х2k)−0,2х2k

Решение

А) Разкриваме скобите и получаваме :

2х +(−)6х +х =

2х −6х +х =

(2-6+1)х

=-3х

Б) 3ах +5ах – 8ах

= (3+5-8)ах

=0.ах

=0

В)−2х2k−(−0,7х2k)−0,2х2k

=−2х2k+0,7х2k−0,2х2k

=(-2 +0,7-0,2) х2k

=-1,5х2k

С привидение на подобни едночлени намираме неизвестно число в

дадено равенство

2. Многочлен :

СБОРЪТ ОТ ЕДНОЧЛЕНИ СЕ НАРИЧА МНОГОЧЛЕН

(ПОЛИНОМ)

Примери за многочлени : -4x ; 5x +1 ; 3x3-

3x2-5xy +x3 ; yx3 – x2 –yx3 +1 ; z2x – z4

1

СЪБИРАМЕ ИЛИ ИЗВАЖДАМЕ ПОДОБНИТЕ

ЕДНОЧЛЕНИ

От нормалният вид на многочлена 7xy2 + xz + 20y,

намираме,че неговите коефициенти са -

7; 1 ; 20 .Даденият многочлен е от 3-та степен

(едночлена с най-висока степен е 7xy2 )

2.задача .Приведете многочленът

b6 +7ab +8b6+2x+ab в нормален вид .Намерете

неговите коефициенти и определете неговата

степен.

Решение

Той има коефициенти - 9; 2 ; 8 и е от степен 6-

та

3.Задача Приведете многочлените в нормален вид .

а) 2,5 .4х + 9х +1 ;

б) 5х5 +3х2 – х5 + 2х2 – 6х +х - 2

в) 0,9х5 +3х2 – х5 + 2х2 + 4х – х

4.задача Приведете многочлените в нормален вид и

намерете числената им стойност за x= 3 , y = -2

а) х5 +4y2 – х5– 3y2 – 2х +х – 2y

б) 0,2 х3- 9y2 – х3 + 10y2 + 0,8х3 – х

5.задача Приведете многочлените в нормален вид и

намерете числената им стойност за а= 2 , b= -0,5

а) 2а5b5 - аb(-5а4b4) + 4а3 + а3;

б)-2a2b.(-3ab2) - 6a3b3+ 30b2 -70b2;

1

1

а) нормален вид;

НОРМАЛЕН ВИД НА многочлен е такова представяне на

многочлена , при което :

ВСЕКИ ОТ ЕДНОЧЛЕНИТЕ е приведен в

нормален вид

МЕЖДУ ЕДНОЧЛЕНИТЕ няма подобни

едночлени

Примери за многочлени приведени в нормален вид

:

5x + 4y -6

3x3-3y2-5y - x

4z2 -3z4 +x3 -2

x4 + x3 – x2 – x +1

Примери за многочлени , които не са приведени

в нормален вид :

x - 4x –1

3y2-5yy - x2

z2 -3z4 +z4 -2

x4 + x3 – 2x3 – х2x2 +1

1

б) коефициенти на многочлен ;

КОЕФИЦИЕНТИТЕ НА ЕДНОЧЛЕНИТЕ В НОРМАЛНИЯТ ВИД

СЕ НАРИЧАТ КОЕФИЦИЕНТИ НА МНОГОЧЛЕНА

В зависимост от броя на едночлените в нормалният

вид на многочлена ,то многочлените се делят

на едночлени,двучлени,тричлени и т.н.

Примери :

Многочле

н

Нормале

н вид Вид

Коефициенти

Степен на

многочлен

а

-x2х -x

3 Едночлен -1 3

а2b

4 – 2b

2

+ 4a

2b

4 ;

5а2b

4 –

2b2

Двучлен 5 ; -2 6

-2y7 +3y

4 +

y4 +y +1

-

2y7 +4y

4 +

y +1

Четиричле

н -2;4;1;1 7

Коефициента ,на които променливата е от нулева

степен се нарича свободен член .

в) степен на многочлен;

НАЙ-ВИСОКАТА от степените на едночлените на eдин

многочлен се нарича СТЕПЕН на многочлена .

1.задача .Приведете многочленът xy2 +xz

+10y+y+6xy2+9y в нормален вид .Намерете

неговите коефициенти и определете неговата

степен.

Решение

ПОДЧЕРТАВАМЕ ПОДОБНИТЕ ЕДНОЧЛЕНИ С

РАЗЛИЧНИ ЧЕРТИ

г) действия с едночлени и многочлени.

МНОГОЧЛЕНИ СЕ СЪБИРАТ ИЛИ ИЗВАЖДАТ по правилата

за събиране и изваждане на едночлени .Ако има скоби ,разкриваме

скобите и извършваме приведение на подобните едночлени

3. Формули за съкратено умножение.

Ако имаме сбор(разлика) от две числа на степен

втора и трябва да премахнем скобите

използаме формулите за съкратено умножение:

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2

(x - y)2 = x2 - 2xy + y2

Примери: ако x = 10, y = 5a

(10 + 5a)2 = 102 + 2.10.5a + (5a)2 = 100 + 100a +

25a2

(10 - 4)2 = 102 - 2.10.4 + 42 = 100 - 80 + 16 = 36

Разбира се обратното също е вярно: 25 + 20a + 4a2 = 52 + 2.2.5 + (2a)2 = (5 + 2a)2

Следствие от по-горните формули:

(-x + y)2 = (y - x)2 = y2 - 2xy + x2

(-x - y)2 = (-(x + y))2 = (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

Формули от 3-та степен:

(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

(x - y)3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3

Пример: (1 + a2)3 = 13 + 3.12.a2 + 3.1.(a2)2 + (a2)3 = 1 + 3a2 + 3a4 + a6

(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz

(x - y - z)2 = x2 + y2 + z2 - 2xy - 2xz + 2yz

x2 - y2 = (x - y)(x + y)

x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy

или

x2 + y2 = (x - y)2 + 2xy.

Разложете на множители: 9a2 - 25b2 = (3a)2 - (5b)2 = (3a - 5b)(3a + 5b)

x3 - y3 = (x - y)(x2 + xy + y2)

x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2)

Ако n е естествено число

xn - yn = (x - y)(xn-1 + xn-2y +...+ yn-2x + yn-1)

Ако n е четно (n = 2k)

xn + yn = (x + y)(xn-1 - xn-2y +...+ yn-2x - yn-1)

Ако n е нечетно (n = 2k + 1)

xn + yn = (x + y)(xn-1 - xn-2y +...- yn-2x + yn-1)

4.Разлагане на изрази на множители

Разлагане чрез изнасяне на общ множител – Трябва да получим произведение от множители. За целта изнасяме пред скоба общ множител. Пред скоба може да се изнася:

Знак;

Число (коефициенти) – изнасяме най-големият общ делител на коефициентите на едночлените;

Буква – от едночлените изнасяме буквата с най-ниска степен;

Изрази – от едночлените изнасяме израз с най-ниската степен

Разлагане чрез формулите за съкратено умножение – За да получим произведение от множители прилагаме формулите за съкратено умножение

Разлагане чрез групиране – За да получим произведение от множители групираме едночлените в многочлена така, че да изнесем подходящ общ множите

Разлагане чрез комбинирано използване на различни методи – При разлагане на многочлени на множители понякога се налага да се използват повече от един от описаните по-горе методи. Добре е тези методи да се прилагат в следния ред (ако е възможно):

1. Изнасяне на общ множител пред скоби. 2. Формули за съкратено умножение. 3. Групиране.

Основни формули:

(1): (a + b)2 = a

2 + 2ab + b

2

(2): (a – b)2 = a

2 – 2ab + b

2

(3): (a + b)3 = a

3 + 3a

2b + 3ab

2 + b

3

(4): (a – b)3 = a

3 – 3a

2b + 3ab

2 – b

3

(5): (a – b)(a + b) = a2 – b

2

(6): (a + b)(a2 – ab + b

2) = a

3 + b

3

(7): (a – b)(a2 + ab + b

2) = a

3 – b

3

Допълнителни формули:

(8): (–a + b)2 = (b – a)

2 = (a – b)

2 = b

2 – 2ab + a

2

(9): (–a – b)2 = (a + b)

2 = a

2 + 2ab + b

2

Извеждане на формулата

(10): (–a + b)3 = (b – a)

3 = b

3 – 3b

2a + 3ba

2 – a

3

(11): (–a – b)3 = –(a + b)

3 = –a

3 – 3a

2b – 3ab

2 – b

3

Извеждане на формулата

(12): (a + b + c)2 = a

2 + b

2 + c

2 + 2ab + 2ac + 2bc

След като си прегледате и научите тези неща

спокойно можете да решите теста!

При възникване на трудности при овладяване

на учебния материал и прилагането му в

дадения тест пишете ми на адрес:

penchoyordanov@gmail.com

Приятно учене!

Решете следния тест: Зад.1 Изразът (3x-1)2 е тъждествено равен на: а ) x 2 - 6x + 1 б ) 3x2 - 6x - 1

в ) 9x2 - 6x – 1 г ) 9x2 - 6x + 1 . Зад.2 Нормалният вид на израза (3x+2)2 - (2x-3)2 е: а ) 5x2 + 24x – 5

б ) 5x2 - 5 в ) -x 2 + 24x – 5 г ) x 2 + 24x – 5 Зад.3 Степента на едночлена 7а2 х 2 у 3 ах е: а ) 7 б ) 6 в

) 9 г ) 5 . Зад.4 Коефициентът пред третата степен та х в нормалния вид на многочлена х 4+2х3 -

5ах2 -4х3 -а 3 е: а ) -2-а б ) 2 в ) -4 г ) -2 . Зад.5 Дадени са многочлените А= х2 -5 и В= 3х-7.

Намерете 2А+В а ) х 2 +3х-12 б ) 2х2 +3х-12 в ) 2х2 +3х-17 г ) х 2 +3х+2 Зад.6 Коефициента на

едночлена -4ах(-a)y е: а ) -4 б ) 4 в ) -4а г ) 4а2 . Зад.7 Направете приведение 2х-7х+3х-х+5х-х а ) х

6 б ) -2х в ) х г ) 6х . Зад.8 Нормалният вид на многочлена (x-1)(x2+x+1) е: а ) х 3 +1 б ) х 3 -1 в ) х 3

-2х-1 г ) х 3 -х 2 -1 Зад.9 Сборът от коефициента и степента на едночлена -2а(a2 x)3 x 3 y 4 а ) -

2a+10 б ) -2a7 +10 в ) -2a+12 г ) -2a+16 . Зад.10 -3х2+(-2x2 )-3x2 -(-x 2 ) = а ) -7x2 б ) -5x2 в ) -3x2 г ) -

7x8