«ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ...

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г. Белинского

Кафедра теории и методики обучения математике

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКСПО ДИСЦИПЛИНЕ

«ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ»

Специальность 050202.00– информатика с дополнительной специальностью

Пенза-2007

2

Требования ГОС по дисциплине и квалификационные требования.

Специальность утверждена приказом Министерства образования РФ №686

от 02.03.2000 г. Квалификация выпускника – учитель информатики и математики. Нормативный срок освоения основной образовательной программы по

специальности 050202 Информатика с дополнительной специальностью при очной форме обучения 5 лет.

Квалификационная характеристика выпускника.

Выпускник, получивший квалификацию учитель информатики и

математики (в соответствии с дополнительной специальностью), должен быть готовым осуществлять обучение и воспитание обучающихся с учетом специфики преподаваемого предмета; способствовать социализации, формированию общей культуры личности, осознанному выбору и последующему освоению профессиональных образовательных программ; использовать разнообразные приемы, методы и средства обучения; обеспечить уровень подготовки обучающихся, соответствующий требованиям Государственного образовательного стандарта (2005); осознавать необходимость соблюдения прав и свобод учащихся, предусмотренных Законом РФ «Об образовании», Конвенцией о правах ребенка, систематически повышать свою профессиональную квалификацию, участвовать в деятельности методических объединений и в других формах методической работы, осуществлять связь с родителями (лицами, их заменяющими), выполнять правила и нормы охраны труда, техники безопасности и противопожарной защиты, обеспечивать охрану жизни и здоровья учащихся в образовательном процессе.

Область профессиональной деятельности: среднее общее (полное) образование.

Объект профессиональной деятельности: обучающийся. Виды профессиональной деятельности: учебно-воспитательная, социально-

педагогическая, культурно-просветительная, научно-методическая, организационно управленческая.

Требования к обязательному минимуму содержания дисциплины теория и

методика обучения математике.

Математика как наука и учебный предмет в школе. Методическая система обучения математике в школе, общая характеристика ее основных компонентов. Цели и задачи обучения математике в школе. Методика базового образования основной школы. Общая начальная математическая подготовка в 1-5 классах. Пропедевтическая математическая подготовка в 5-6 классах. Основной систематический курс математики в 7-9 классах (основная школа). Основные блоки: алгебра и геометрия (планиметрия). Методика изучения курса математики в старших классах средней школы (10-11 классы). Блоки алгебра, начала анализа и геометрия (стереометрия). Дифференцированное изучение курса математики. Методика обучения математике на профильном уровне. Предпрофильная подготовка. Индивидуальные особенности и способности школьников в контексте изучения курса математики.

Аудиовизуальные технологии обучения математике.

3

Интерактивные технологии обучения. Дидактические принципы построения аудио-, видео- и компьютерных учебных пособий. Типология учебных аудио-, видео- и компьютерных пособий и методика их применения. Банк аудио-, видео- и компьютерных учебных материалов.

Использование современных информационных и коммуникационных технологий в учебном процессе. Основные понятия и определения предметной области – информатизации образования. Цели и задачи использования информационных и коммуникационных технологий в образовании. Информационные и коммуникационные технологии в реализации информационных и информационно-деятельностных моделей в обучении. Информационные и коммуникационные технологии в активизации познавательной деятельности учащихся. Информационные и коммуникационные технологии в реализации системы контроля, оценки и мониторинга учебных достижений учащихся.

Методы анализа и экспертизы для электронных программно-методических и технологических средств учебного назначения. Методические аспекты использования информационных и коммуникационных технологий в учебном процессе.

Цели и задачи изучаемой дисциплины.

Курс теории и методики обучения математике является одним из основных

курсов, которые решают задачу подготовки специалистов - учителей информатики и математики, сочетающих глубокие фундаментальные знания и серьезную практическую подготовку. Для решения этой задачи необходимо:

- раскрыть значение математики в общем и профессиональном образовании; - обеспечить обстоятельное изучение студентами школьных программ,

учебников и учебных пособий по математике, понимание заложенных в них методических идей;

- выработать у студентов умения применять на практике современные методы, приемы, формы и средства обучения математике;

- обеспечить овладение системой знаний о методологических и теоретических основах методики обучения математике;

- выработать у студентов умения разрабатывать учебно-программную документацию и использовать ее в учебной практике.

Место дисциплины в профессиональной подготовке студента.

Теория и методика обучения математике относится к блоку

общепрофессиональных дисциплин, изучается в 7 семестре, опирается на изучаемые дисциплины этого блока (педагогика и психология) а также на дисциплины блока предметной подготовки. Расширением и углублением вопросов, изучаемых в курсе теории и методики обучения математике, являются дисциплина регионального компонента актуальные вопросы теории и методики обучения математике и курсы по выбору блока общепрофессиональных дисциплин.

4

Распределение учебного времени по семестрам и видам учебных занятий для специальности «Информатика» с дополнительной

специальностью для очной формы обучения:

СЕМЕСТР 7 сем. Всего Общая трудоем-кость, всего часов

60 60

Аудитор-ные занятия (АЗ)

30 30

Лекции (Л) 15 15 Практичес-кие занятия (ПЗ)

-

Лаборатор-ные занятия (ЛЗ)

15 15

Самостоя-тельная работа (СР)

30 30

Контроль-ная работа 1 1

Компью-терное тестирова-ние

1 1

Форма итогового контроля (зачет, экзамен)

зачет зачет

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ДЛЯ ОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ

Очная форма обучения АЗ № Наименование разделов и тем

ЛК ПЗ ЛЗ СР

1 2 3 4 5 6 I Общая методика 6 - 4 10

1 Предмет теории и методики обучения математике. История её развития и

современное состояние. Цели обучения математике в школе.

1 1

2 Содержание школьного курса математики. Анализ школьных

программ и учебников. Гос.стандарт по 1 1

5

математике. 3 Аксиомы, теоремы и методика работы с

ними. 1 1 1

4 Задачи в обучении математике. Методика работы с задачей. 1 1 1

5 Дифференциация в обучении математики и её виды. Профильное

обучение. Формы организации внеклассной работы по математике. Кружки, факультативы, элективные

курсы.

1 2

6 Информатизация образования. Краткая характеристика предметной области, основных понятий и определений.

Цели и задачи использования информационных и коммуникационных

технологий обучения математике.

1 1

7 Использование информационных и коммуникационных технологий

обучения математике при организации изучения нового материала.

1 1

8 Методика создания банка аудио-, видео- и компьютерных учебных материалов

по математике. Методика использования этих заданий на уроках

алгебры и геометрии.

1 2

Контрольная работа №1 II Методика алгебры и алгебры и

начал анализа 4 - 6 10

1 Методика изучения числовых систем. Методические особенности изучения

натуральных и дробных чисел. 1 1

2 Методика изучения тождественных преобразований 1

3 Методика изучения линейной функции, прямой и обратной

пропорциональностей, xy . 1 1 1

4 Методика изучения квадратичной функции 1

5 Методика изучения показательной и логарифмической функций 1 1

6 Методика изучения производной и ее приложений. Методика изучения

первообразной и интеграла в курсе алгебры и начала анализа.

1 1

7 Методика изучения уравнений и их систем (линейные, квадратные, и

дробно-рациональные уравнения). 1 1

8 Методика изучения логарифмических, показательных и тригонометрических

уравнений и их систем 1 1

6

9 Методика изучения неравенств и их систем. Метод интервалов в курсе

алгебры 7-9 классов и алгебры и начал анализа 10-11 классов.

1 1 1

10 Использование информационных и коммуникационных технологий

обучения математике в организации системы контроля, оценки и

мониторинга уровня обученности учащихся.

1 1

III Методика геометрии (планиметрии и стереометрии) 5 5 10

1 Логическое строение школьного курса геометрии. Основные понятия, аксиомы

и методика их введения. 1 1

2 Структура курса геометрии. Методика первых уроков курса геометрии

(планиметрия и стереометрия). Развитие пространственных представлений на

уроках геометрии.

2 1

3 Методика изучения взаимного расположения прямых и плоскостей. 1 1

4 Методика изучения многоугольников в курсе планиметрии. Методика изучения многогранников в курсе стереометрии.

1 1

5 Методика изучения геометрических преобразований и векторов в курсе

планиметрии и в курсе стереометрии. 1 1

6

Геометрические построения в курсах планиметрии и стереометрии. Методика обучения решению задач на построение

в курсе геометрии.

1 1

7 Методика изучения тем «Окружность и круг» в курсе планиметрии. Изучение тел вращения в курсе стереометрии.

2 1

8 Геометрические величины в школьном курсе и методика их изучения. 1 1

9

Активизация познавательной деятельности учащихся на уроках

геометрии средствами информационных и коммуникационных технологий

обучения.

1

Контрольная работа№2 1

СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ И ТЕМ ДИСЦИПЛИНЫ

Общая методика

Математика как наука и учебный предмет в школе. Методическая система обучения математике, общая характеристика ее основных компонентов.

Цели и задачи обучения математике в современной школе. Гуманизация и гуманитаризация математического образования.

7

Содержание и структура школьного курса математики. Анализ школьных программ, учебников и учебных пособий по математике (включая соответствующую литературу для классов с углубленным изучением математики и коррекционно-развивающих классов). Проблема преемственности в обучении математике.

Взаимодействие обучения и развития в процессе обучения математике. Различные технологии развивающего обучения математике.

Дидактические принципы и особенности их реализации в обучении математике в современных условиях. Дифференцированное изучение курса математики. Уровневая и профильная дифференциация. Методика обучения математике на профильном уровне. Предпрофильная подготовка. Учет индивидуальных особенностей и способностей школьников в контексте изучения курса математики.

Методы обучения математике. Наблюдение. Опыт. Сравнение, аналогия, обобщение и конкретизация. Анализ и синтез. Индукция и дедукция. Многоаспектность их проявления в обучении математике. Отражение в обучении математических методов изучения реального мира (построение математических моделей). Репродуктивные и продуктивные методы обучения математике. Проблемное обучение. Использование компьютеров в обучении математике.

Математические понятия. Содержание и объем, классификация, способы определения математических понятий. Методика введения и формирования понятий.

Математические предложения. Аксиомы и теоремы. Виды теорем. Необходимое и достаточное условия. Доказательство теорем. Методика работы с аксиомами и теоремами.

Задачи в обучении математике. Функции задач в обучении. Роль задач в развитии учащихся. Обучение математике через задачи. Организация обучения решению математических задач. Обучение приемам поиска решения задач. Методические требования к системе задач по теме.

Современные педагогические технологии в математическом образовании (модульное обучение, дифференцированное обучение и учет индивидуальных особенностей, укрупнение дидактических единиц обучения и другие). Критическое осмысление методического опыта; педагогический эксперимент.

Организация обучения математике. Специфика урока математики; его структура; основные требования к уроку. Особенности различных типов уроков математики и их структурных компонентов (объяснения нового материала, систематизации и обобщения знаний по математике, организация самостоятельной работы, формы и методы диагностики математических знаний и умений и другие). Подготовка учителя к уроку и системе уроков; анализ урока математики.

Средства обучения математике. Учебники и учебные пособия, дидактические материалы, учебно-методическая литература. Технические средства обучения. Компьютер как средство обучения математике и дидактические возможности современных информационных технологий.

Формы и методы внеклассной работы по математике. Особенности организации работы кружков и факультативов на различных этапах школьного математического образования.

Аудиовизуальные технологии обучения математике. Интерактивные технологии обучения. Дидактические принципы построения

аудио-, видео- и компьютерных учебных пособий. Типология учебных аудио-, видео- и компьютерных пособий и методика их применения. Банк аудио-, видео- и компьютерных учебных материалов.

8

Использование современных информационных и коммуникационных технологий в учебном процессе. Основные понятия и определения предметной области – информатизации образования. Цели и задачи использования информационных и коммуникационных технологий в образовании. Информационные и коммуникационные технологии в реализации информационных и информационно-деятельностных моделей в обучении. Информационные и коммуникационные технологии в актуализации познавательной деятельности учащихся. Информационные и коммуникационные технологии в реализации системы контроля, оценки и мониторинга учебных достижений учащихся.

Методы анализа и экспертизы для электронных программно-методических и технологических средств учебного назначения. Методические аспекты использования информационных и коммуникационных технологий в учебном процессе.

Специальная методика Методика обучения геометрии

Логическое строение школьного курса геометрии. Различные возможные подходы к построению школьного курса геометрии, их сравнительный логико-методический анализ.

Сущность аксиоматического построения школьного курса геометрии. Основные понятия, аксиомы и методика их введения. Характеристика систем аксиом в действующих школьных учебниках. Роль наглядности: использование моделей, технических средств обучения при изучении аксиом.

Элементы геометрии в 5-6-х классах. Первые уроки систематического курса планиметрии.

Краткая характеристика содержания геометрического материала в начальном звене (1-4) и пропедевтическая подготовка в 5-6 классах. Роль пропедевтического курса геометрии. Основные методические особенности изучения этих вопросов. Роль средств наглядности, практических и лабораторных работ при изучении геометрического материала в 5-6 классах. Трудности усвоения учащимися первых разделов курса планиметрии и пути их преодоления. Методика обучения первым доказательствам теорем курса планиметрии.

Взаимное расположение прямых на плоскости. Анализ содержания материала. Роль данной темы для последующего

изучения курса геометрии. Методика изучения понятийного материала темы; аксиомы параллельности и смежных вопросов. Роль и особенности системы задач и упражнений по данной теме. Укрупнение дидактических единиц при изучении признаков и свойств параллельных прямых.

Методика изучения геометрических построений в курсе планиметрии. Роль задач на построение в курсе планиметрии. Анализ школьных программ

и учебников. Методика обучения основным построениям в 7-м классе. Методика введения понятия геометрического места точек (ГМТ) и методика обучения решению задач на построение методом ГМТ.

Использование геометрических преобразований и алгебраического метода при решении задач на построение. Геометрические построения во внеклассной работе.

Методика изучения многоугольников. Различные содержательные трактовки понятия многоугольника. Анализ

школьной программы и учебников. Методика изучения треугольников и признаков равенства треугольников. Четырехугольники в 8 классе. Проблемный подход к изучению признаков и свойств параллелограмма. Роль наглядности при изучении правильных многоугольников, вписанных и описанных

9

многоугольников. Геометрические преобразования в школьном курсе (на плоскости и в

пространстве). Роль и место данной темы в школьном курсе. Различные содержательные

подходы к изучению геометрических преобразований. Методика изучения понятия движения, его основных свойств и частных видов. Методика изучения преобразования подобия и гомотетии. Роль практических и лабораторных занятий при формировании метода геометрических преобразований. Возможности использования аналогии при изучении преобразований в пространстве.

Методика изучения темы "Векторы" (на плоскости и в пространстве). Место темы в программе. Возможности различного подхода к определению

вектора. Сравнительная характеристика изложения данной темы в учебниках. Методика изучения основных понятий и операций над векторами. Формирование векторного метода решения задач и его роль в школьном курсе.

Методика изучения темы "Метод координат". Декартовы координаты на плоскости в курсе геометрии. Уравнения

окружности и прямой, методика введения основных формул. Формирование координатного метода решения задач в школе. Использование аналогии при введении декартовых координат в пространстве.

Особенности построения и изучения первых разделов курса стереометрии. Аксиоматическое построение курса стереометрии. Методика введения

первых аксиом и изучение следствий из них. Трудности изучения первых разделов. Развитие пространственных представлений при изучении стереометрии. Роль наглядности и ТСО при изучении первых разделов стереометрии.

Методика изучения взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве.

Различные случаи расположения прямых и плоскостей в пространстве. Роль чертежей и моделирования при изучении основных теорем раздела. Методика изучения параллельного проектирования и его свойств. Требования к чертежам в курсе стереометрии.

Методика обучения решению задач на построение в курсе стереометрии. Особенности задач на построение в пространстве. Методика обучения

решению задач на "воображаемые построения". Методика обучения решению задач на проекционном чертеже. Состав системы обучающих задач и упражнений по теме.

Изучение многогранников и тел вращения в курсе стереометрии. Определение и свойства многогранников в старших классах средней школы.

Методика обучения решению задач на сечения многогранников. Тела вращения (цилиндр, конус, шар) и особенности изучения этих вопросов. Использование опыта передовых учителей по построению системы уроков по данным темам.

Геометрические величины (длины, площади, объемы) на различных этапах школьного математического образования и методика их изучения.

Методика обучения арифметике, алгебре, алгебре и началам анализа

Числовые системы. Теоретические особенности изучения понятия числа в школьном курсе

математики. Методика изучения натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел в средней школе. Основные пути формирования вычислительной культуры учащихся.

Преобразования выражений. Обсуждение понятийного аппарата. Различные способы доказательства

тождеств. Методика формирования навыков преобразований алгебраических и

10

трансцендентных выражений на различных этапах изучения школьной математики.

Уравнения, неравенства и их системы. Различные трактовки понятий уравнения и неравенства в школьном курсе

математики. Особенности изучения уравнений и неравенств в 1 – 6 классах. Вопросы равносильности. Методика изучения уравнений, неравенств и их систем в 7-9 и 10-11 классах. Метод интервалов и особенности его использования при изучении неравенств различных классов.

Функции. Генетическая и теоретико-множественная трактовки понятия функции.

Функциональная пропедевтика в 5 - 6 классах. Методика введения понятия функции в 7 классе. Особенности сочетания наглядно-графического и аналитического подходов при изучении алгебраических и трансцендентных функций на различных этапах школьного математического образования.

Числовые последовательности в школьном курсе математики. Возможности применения сравнения и аналогии при изучении арифметической и геометрической прогрессий.

Начала анализа. Методические особенности изучения элементов анализа в средней школе.

Формально-содержательный и наглядно-интуитивный подходы при изучении понятий предела и непрерывности функции в точке.

Производная. Методика введения понятия производной на основе рассмотрения физической и геометрической моделей. Основные теоремы о вычислении производных и методические особенности из изучения. Применение производной к исследованию функций.

Первообразная и интеграл. Логический и исторический подходы к их изучению. Приложения интеграла для вычисления площадей и объемов фигур.

Требования к уровню освоения программы.

В результате изучения данной дисциплины студент должен знать: - основы общей и специальных методик в объеме, необходимом для

решения типовых задач профессиональной деятельности; - основные направления и перспективы развития образования; - школьные программы и учебники; - средства обучения и их дидактические возможности; - требования к оснащению и оборудованию учебных кабинетов. уметь: решать типовые задачи профессиональной деятельности соответствующие его квалификации: в области учебно-воспитательной деятельности: - осуществление процесса обучения математике в соответствии с

образовательной программой; - планирование и проведение учебных занятий по математике с учетом

специфики тем и разделов программы и в соответствии с учебным планом;

- использование современных научно обоснованных приемов, методов и средств обучения математике, в том числе, в том числе технических средств обучения, информационных и компьютерных технологий;

- применение современных средств оценивания результатов обучения; - воспитание учащихся как формирование у них духовных, нравственных

ценностей и патриотических убеждений в процессе обучения

11

математике; - реализация личностно-ориентированного подхода к образованию

обучающихся с целью создания мотивации к обучению; - работа по обучению и воспитанию с учетом коррекции отклонений в

развитии; в области социально-педагогической деятельности: - оказание помощи учащихся; - проведение профориентационной работы; - установление контакта с родителями учащихся, оказание им помощи в

семейном воспитании; в области культурно-просветительской деятельности: - формирование общей культуры учащихся; в области научно-методической деятельности: - выполнение научно-методической работы, участие в работе научно-

методических объединений.

Вопросы к зачету ОЧНАЯ ФОРМА ОБУЧЕНИЯ

1. Предмет методики преподавания математики. Цели обучения математике. Стандарт среднего математического образования.

2. Содержание школьного курса математики. Анализ школьных программ по математике. Школьные учебники.

3. Дидактические принципы обучения и особенности их реализации в обучении математике.

4. Научные методы в обучении математике. Наблюдение, опыт, сравнение, обобщение, абстрагирование, конкретизация.

5. Сравнение и аналогия в обучении математике. 6. Математические понятия (содержание, объем, определения понятия,

классификация). 7. Методика введения и формирования математических понятий. Примеры. 8. Понятия. Способы определения понятий. Требования к определению понятий. 9. Анализ в обучении математике. Применение анализа при поиске решения

задач и доказательстве теорем. 10. Синтез в обучении математике. 11. Математические предложения. Теоремы, их виды. Необходимые и

достаточные условия. Доказательство теорем. Виды доказательств. 12. Методика изучения теорем. Примеры. 13. Индукция и дедукция. Их использование на уроках математики. 14. Задачи в обучении математике. Функции задач в школьном курсе математики.

Классификация школьных математических задач. 15. Основные этапы работы над задачей в школьном курсе математики. Показать

их реализацию на конкретном примере. 16. Алгоритмы и правила в школьном курсе математики. Методика их изучения. 17. Организация обучения математике. Специфика урока математики. Требования

к уроку. Типы уроков математики. 18. Уроки – лекции, практикумы, семинары, консультации, зачеты … 19. Внеклассная и внешкольная работа по математике. Цели и формы внеклассной

и внешкольной работы по математике. 20. Дифференциация и индивидуализация обучения математике. 21. Диагностика и контроль на уроках математики. ЕГЭ.

12

22. Методика изучения числовых систем в школьном курсе. Изучение натуральных чисел.

23. Методика изучения целых, рациональных, действительных чисел. 24. Функции в школьном курсе математики. Различные подходы к определению

понятия функции. Функциональная пропедевтика в 5-6 классах. Основные этапы изучения функций в школьном курсе.

25. План изучения функций в основной 9 – летней школе. Показать его реализацию на примере изучения конкретной функции.

26. Методика введения понятия «функция». 27. Методика изучения показательной и логарифмической функций в школьном

курсе математики. 28. Уравнения и неравенства в школьном курсе математики. Анализ школьных

программ. Методика введения важнейших понятий. 29. Методика введения и изучения производной в школьном курсе алгебры и

начала анализа. 30. Применение производной в школьном курсе алгебры и начала анализа. 31. Методика изучения первообразной и интеграла. 32. Методика изучения тригонометрических функций. 33. Логическое строение школьного курса геометрии. Методика изучения аксиом

в школьном курсе. 34. Цели изучения геометрии в школе. Методические особенности изучения

пропедевтического курса геометрии. Первые уроки систематического курса планиметрии и стереометрии.

35. Методика изучения параллельности прямых на плоскости; прямой и плоскостей в пространстве.

36. Методика изучения перпендикулярности прямых и плоскостей. 37. Методика изучения векторов в школьном курсе геометрии. 38. Методика изучения многоугольников. 39. Методика обучения изображению плоских и пространственных фигур на

плоскости. 40. Геометрические построения на плоскости и в пространстве. Методика их

изучения. 41. Методика изучения гомотетии и подобия. 42. Геометрические преобразования. Методика изучения движения и его свойств. 43. Методика формирования понятия «подобие фигуры». Признаки подобия

треугольников. 44. Методика изучения многогранников. 45. Методика изучения тем «Окружность. Круг. Тела вращения». 46. Общая характеристика линии тождественных преобразований. Методика

изучения тождественных преобразований на уроках алгебры. Примеры.

13

Основная литература

1. Виноградова Л.В. Методика преподавания математики в средней школе. Ростов на Дону, 2005.

2. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: Учебное пособие для студентов пединститутов/ Под ред. Е.И. Лященко. - М.,1988.

3. Математика: Хрестоматия по истории, методологии, дидактике / сост. Г.Д. Глейзер. – М.: УРАО, 2001.

4. Методика обучения геометрии /под редакцией Гусев В.А., Орлов В.В. и др. – Москва, 2004.

5. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов /под редакцией Н.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой. – М.: Дрофа, 2005. – 416 с.

6. Метельский Н.В. Дидактика математики. - Минск, 1982. 7. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика / В.А.

Оганесян, Ю.М. Колягин, В.Я. Саннинский, Г.Л. Луканкин. - М., 1980. 8. Методика преподавания математики в средней школе: Частные методики /

Ю.М. Колягин, В.А. Мокрушин, В.Я. Саннинский, ГЛ. Луканкин. - М., 1979.

9. Методика преподавания математики: В двух частях /сост. Ляпин Е.Е.-Л., Учпедгиз, 1956.

10. Методика преподавания математики: Общая методика / сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. - М., 1985.

11. Методика преподавания математики: Частная методика /сост. В.И. Мишин. - М., 1987.

12. Новые педагогические и информационные технологии в системе образования: Учебное пособие для студентов педвузов и системы повышения квалификации педагогических кадров (под редакцией Е.С. Полат, М.Ю. Бухарнина и др.) - М:, 2002.

13. Практикум по методике преподавания математики в средней школе. – М.: Просвещение, 1993.

14. Программа по математике для средних общеобразовательных учреждений. - М., Просвещение, 2002.

15. Полат Е.С. Педагогические технологии 21 века// Современные проблемы образования. – Тула 1997.

16. Саранцев Г.И. Общая методика преподавания математики. - Саранск, 1999. 17. Саранцев Г.И. Сборник упражнений по методике преподавания математики в

средней школе. - М.,1983. 18. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. - М., 1995. 19. Столяр А.А. Педагогика математики. Минск, 1986. 20. Тихонов Ю.М. Информационное общество: философские проблемы науки и

образования. – М.,1998. Учебники и учебно-методические пособия по математике для школ;

журналы: «Математика в школе»; приложение к газете «1 сентября» «Математика»; «Математическое образование»; «Квант».

14

Дополнительная литература

1. Балк М.Б., Балк Г.Д. Математика после уроков. - М.,1971. 2. Бескин Н.М. Методика геометрии. - М., 1947. 3. Болтянский В.Г. Как устроена теорема 4. Гаврилова М.А., Пономарева Т.Х, Родионов М.А., Садовников Н.В.

Лабораторные работы по методике преподавания математики (Общая методика).-Пенза, 1997.

5. Гаврилова М.А., Яремко Н.Н. Тестирование как проблема теоретического и прикладного исследования. Пенза, 2001.

6. Глейзер Г.И. История математики в средней школе. – М., 1971. 7. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики.-М.,

1990. 8. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики:

Книга для учителя. - М., 1990. 9. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. М.: 1996. 10. Диков А.В. Основы компьютерной технологии для учителя математики. Ч.1,

Ч.2, Пенза,2003-2004. 11. Епишева О.Е., Крупич В.И. Учить школьников учиться математике. -М., 1990. 12. Интернет в образовании/ под. Ред Е.С.Полат. – М.,2000. 13. Каштан B.C., Рузин Н.К., Столяр А.А. Методы обучения математике./Под

ред. А.А. Столяра. - Минск, 1981. 14. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике: В 2 ч. - М., 1977. 15. Леонтьев А.Н. Деятельность. Сознание. Личность. М.: Политиздат, 1977. 16. Манвелов С.Г. Конструирование современного урока математики

//Математика в школе, № 5, 1995, №4, 2004. 17. Моисеева М.В. Введение в компьютерные телекоммуникации // Информатика

и образование, 1999, №4. 18. Оборудование кабинета математики/В.Г. Болтянский и др. - М., 1981. 19. Обучение и развитие /под редакцией Занкова Л.В. – М.: Педагогика, 1975. 20. Окунев А.А. Спасибо за урок, дети! О развитии творческих способностей

учащихся: Книга для учителя. - М., 1988. 21. Пойа Д. Как решать задачу. - М., 1961. 22. Пойа Д. Математическое открытие. - М., 1976. 23. Родионов М.А. Мотивация учения математике и пути ее формирования.-

Саранск, 2001. 24. Родионов М.А., Садовников Н.В. Взаимосвязь теоретических и практических

аспектов использования задач в обучении математике.-Пенза, 1997. 25. Рупасов К.Л., Никитин Н.В. Определение математических понятий в курсе

средней школы. Пособие для учителей. М.: Учпедгиз, 1963. 26. Самостоятельная деятельность учащихся при обучении математике

(формирование умений самостоятельной работы)/Сост. С.И. Демидова, Л.О. Денищева.-М., 1985.

27. Саранцев Г.И. Методология методики обучения математике. - Саранск, 2001. 28. Саранцев Г.И. Обучение доказательным рассуждениям. - М., 2000. 29. Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний. М.: Изд-во МГУ,

1975. 30. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи. - М., 1989. 31. Энциклопедический словарь юного математика. - М., 1985. 32. Эрдниев П.М., Эрдниев В.П. Укрупнение дидактических единиц в обучении

математике: Книга для учителя. - М., 1986.

15

Сведения о переутверждении программы на очередной учебный год и регистрации изменений по схеме:

Номера листов (страниц) Учебный

год Решение кафедры

(№ протокола, дата, подпись

зав.кафедрой)

Внесенные изменения Заме-

ненных Новых Ану-

лиро-ванных

17

Материалы для проведения лекционных занятий по теории и методике обучения математике.

Раздел. Общая методика.

Лекция 1. Методическая система «обучения математике».

Общая характеристика её основных компонентов. Деятельностный подход в обучение математике.

Дифференциация обучения математике План лекции:

1. Предмет теории и методики обучения математике. 2. Задачи школьного курса математики в общей системе

образования. 3. Три фундаментальных комплексных проблемы теории и

методики обучения математике. 4. Процесс обучения математике в школе с точки зрения

теории деятельности. В данной лекции раскрываются цели, задачи и содержание

курса теории и методики обучения математике, его связь с другими дисциплинами. Раскрываются значения школьного курса математики в системе образования, показывается связь его с практикой. Особо рассматриваются проблемы содержания школьного курса математики, проблема структуры этого курса и проблема методов обучения.

Раскрываются основные положения теории деятельности. Показывается, что деятельность осуществляется через совокупность действий. Приводятся примеры деятельности учеников при усвоении курса математики. Особое внимание уделено мотивам деятельности и ориентировочной основе деятельности.

В качестве способа выполнения действия рассматривается приём, приводятся примеры приёмов, которые находят эффективное применение в школьном курсе математики.

Контрольные вопросы:

1. Что является предметом курса теории и методики

обучения математике? 2. В чём состоит сущность системного подхода в обучении

математике? 3. Выделите основные компоненты структуры деятельности. 4. Приведите примеры различных форм материализации

умственных действий при изучении понятий, теорем.

18

5. Можно ли считать, что обучение математике – это обучение математической деятельности?

6. Что такое приёмы выполнения действий? 7. Какие основные задачи решаются в курсе теории и

методики обучения математике? Литература: Основная Дополнительная литература3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 14, 15, 16, 17 14, 16, 22, 23 Лекция 2. Математические предложения. Методика изучения

теорем и обучение их доказательству.

План лекции: 1. Суждение и их виды. Теоремы и их место в школьном

курсе математики. 2. Теоретические сведения о теоремах. 3. Приёмы, способствующие формированию у учащихся

потребности в доказательстве математических предложений. 4. Организация работы с учащимися по изучению теорем. 5. Методика обучения доказательству теорем. 6. Роль упражнений на основных этапах изучения теорем.

Контрольные вопросы: 1. Какие математические предложения рассматриваются в

школе? 2. Поясните необходимость аксиом при формальном

построении теории. 3. Какие виды теорем Вы знаете? Привести примеры. 4. Как с условием и заключением теоремы связаны

необходимые и достаточные условия? 5. Какие виды доказательств теорем встречаются в

школьном курсе? 6. Перечислите основные этапы в изучении теорем. 7. Раскройте суть этапа по раскрытию содержания теоремы.

Какие приёмы можно использовать? 8. Какими приёмами можно облегчить учащимся этап

поиска пути доказательства теоремы? 9. В чём суть этапа закрепления формулировки теоремы и

доказательства теоремы?

Литература:

19

Основная Дополнительная литература1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 15, 16, 17 14, 16, 18, 27

Лекция 3. Задачи в обучении математике. Методика обучения решения математических задач.

План лекции:

1. Понятие задачи. Роль задач в обучении математики. 2. Функции задач в обучении математики. Классификация

задач. 3. Алгоритмические методы решения задач. 4. Эвристические приёмы при решении задач. 5. Методика обучения решению задач. В лекции рассматриваются различные подходы к определению

задачи, изменение роли и места задач в обучении математике. Подробно раскрывается подход «обучение через задачи». Приведены различные классификации задач и рассмотрены их функции в обучении. Задачи рассматриваются как средства обучения и как цели обучения. Так как термин «задача» понимается широко, то есть включает и все типы упражнений, то подробно рассмотрены алгоритмические и эвристические (через приёмы) методы решения задач.

Рассматривая методику обучения решению задач выделяют основные этапы (4 этапа), действия адекватные этими этапами и методику формирования этих действий, даётся сравнительный анализ аналитического и синтетического метода поиска решения задачи. Выделяются общие умения решения задач и специальные умения при решении задач по алгебре и по геометрии. Поиск решения задачи – это построение математической модели реальной ситуации.

Контрольные вопросы:

1. Укажите функции задач в обучении. 2. Какие виды задач выделяются в курсе математики

основной и средней школе? 3. Что значит обучать математике через решение задач? 4. В решение каких задач чаще всего используется

алгоритмический подход? 5. В каких задачах в основе поиска решения используется

эвристические приёмы? Перечислите их. 6. Раскройте этапы обучения различным эвристикам. 7. Какие этапы выделяют в обучение школьников решению

задач?

20

8. Перечислите различные способы записи условия задачи. 9. Что наиболее важно в деятельности учащихся на каждом

этапе решения задачи? 10. Какими достоинствами и недостатками обладают

аналитический и синтетический способы поиска решения задачи? 11. Как отличить синтетический путь поиска плана решения

от аналитического? 12. Укажите формы проверки идеи решения задачи. Литература: Основная Дополнительная литература1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 15, 16, 17, 12,

13 2, 5, 7, 9, 12, 15, 16, 18, 19, 20

Лекция 4. Аудиовизуальные технологии обучения

математике. План.

1.Интерактивные технологии обучения. 2.Дидактические принципы построения аудио-, видео- и

компьютерных учебных пособий. 3.Типология учебных аудио-, видео- и компьютерных учебных

пособий. 4.Банк аудио-, видео- и компьютерных учебных материалов.

Основное содержание. 1. Внедрение новых информационных технологий в образование

привело к появлению новых образовательных технологий и форм обучения, базирующихся на электронных средствах обработки и передачи информации. Появление мощных компьютерных мультимедиа систем и интерактивных компьютерных программ стало основой интенсивного развития дистанционного обучения (ДО). Но, несмотря на разнообразие технических средств и технологий, использующихся в учебном процессе, следует отметить, что качество обучения зависит прежде всего от совершенства учебного материала, формы его представления и организации учебного процесса. Поэтому, даже в традиционной схеме обучения, возникает много проблем, связанных с постоянно нарастающим потоком новой информации, усложнением знаний, отсутствием иллюстративного материала. В этих условиях акцент на интенсивную самостоятельную работу не дает положительных результатов по тем же причинам.

Появление мультимедиа средств и технологий позволяет решить эти проблемы. Внедрение компьютера в учебный процесс не только освобождает преподавателя от рутинной работы в организации учебного процесса, оно дает возможность создать богатый справочный и иллюстративный материал, представленный в самом разнообразном виде: текст, графика, анимация, звуковые и видеоэлементы. Интерактивные компьютерные программы

21

активизируют все виды деятельности человека: мыслительную, речевую, физическую, перцептивную, что ускоряет процесс усвоения материала. Компьютерные тренажеры способствуют приобретению практических навыков. Интерактивные тестирующие системы анализируют качество знаний. Одним словом, применение мультимедиа средств и технологий позволяет построить такую схему обучения, в которой разумное сочетание обычных и компьютерных форм организации учебного процесса дает новое качество в передаче и усвоении системы знаний. Особенно актуальны такие технологии в дистанционном обучении, где реализуется возможность получения качественного образования из удаленных образовательных центров.

В последнее время появилось достаточно литературы, посвященной компьютерным учебным средствам [1-4]. В большинстве своем авторы этих книг уделяют внимание вопросам методического и дидактического характера, которые являются общими для любого учебного средства. Практически нет анализа использования электронных учебных средств в учебном процессе. Авторы данной работы имеют многолетний практический опыт создания электронных средств учебного назначения и представляют свой взгляд на проблему разработки электронных дидактических средств и использования их в обучении.

2. Обучение, основанное на компьютерных технологиях, в значительной степени базируется на технической инфраструктуре: компьютере (как инструменте для размещения и представления учебной информации) и компьютерных сетях (как средстве доступа к ней). Поэтому в качестве одного из принципов, которые необходимо учитывать при создании электронных курсов, является принцип распределенности учебного материала.

Информационные учебные ресурсы могут быть разделены на две группы: находящиеся непосредственно у обучаемого (локальные компоненты) и размещаемые на компьютерах учебного центра (сетевые компоненты). Способ размещения информации накладывает определенные требования на технологии создания ресурсов и доступа к ним.

Компьютерные обучающие программы используются в образовании как дополнительные учебные средства также достаточно давно. Однако при дистанционном обучении компьютер становится основным дидактическим инструментом и вместо разрозненных обучающих программ нужен цельный интерактивный курс, с достаточной полнотой представляющий всю учебную информацию. Принцип интерактивности учебного материала - второй важный принцип, который следует учитывать при разработке учебно-методического обеспечения дистанционного образования.

Большой объем информации требует использования соответствующего носителя. Хорошо отработанная и широко

22

распространенная технология CD-ROM вполне подходит для мультимедиа курсов. Интерактивный мультимедиа курс дает возможность интегрировать различные среды представления информации - текст, статическую и динамическую графику, видео и аудио записи в единый комплекс, позволяющий обучаемому стать активным участником учебного процесса, поскольку выдача информации происходит в ответ на соответствующие его действия. Использование мультимедиа позволяет в максимальной степени учесть индивидуальные особенности восприятия информации, что чрезвычайно важно при опосредованной компьютером передаче учебной информации от преподавателя студенту. Таким образом, третий принцип, который следует учитывать при созданнии электронного курса - принцип мультимедийного представления учебной информации.

Принимая решение о предоставлении учебных материалов через Интернет, необходимо учитывать, что долгое ожидание реакции сервера, разрыв соединения и тому подобные ситуации, связанные с использованием on-line технологий при плохом качестве телекоммуникационных каналов, нарушают нормальный ход учебного процесса и негативно влияют на отношение учащегося к сетевому доступу. Кроме того, использование браузеров для просмотра накладывает дополнительные ограничения на характер представления учебной информации.

Основная проблема на пути оптимизации обучения с точки зрения сохранности и развития адаптационных резервов - оценка и коррекция состояния человека в процессе получения новых знаний [12]. Отсюда следует четветый принцип, который следует учитывать при разработке электронного курса - принцип адаптивности к личностным особенностям обучаемого.

Несмотря на определяющую роль самостоятельной работы в обучении с применением компьютерных технологий, основными субъектами учебного процесса являются студент и преподаватель. Соучастие студента в познавательной деятельности наравне с преподавателем есть одно из условий качественного образования как в традиционной системе, так и в ДО. Поэтому основным требованием к технологиям дистанционного обучения является сохранение преимуществ очного обучения на расстоянии. Использование сформулированных выше принципов при разработке учебно-методического обеспечения позволяет в максимальной степени удовлетворить этим требованиям.

3. Содержание всех учебных изданий в комплексе отражает необходимый и достаточный уровень знаний и навыков, которыми должен овладеть выпускник вуза, получивший высшее профессиональное образование по данному направлению или специальности.

23

Исходя из описанных в современной литературе и общероссийских стандартах критериев, электронные средства учебного назначения следует различать:

по функциональному признаку, определяющему значение и место ОЭИ в учебном процессе;

по структуре; по организации текста; по характеру представляемой информации; по форме изложения; по целевому назначению; по наличию печатного эквивалента; по природе основной информации; по технологии распространения; по характеру взаимодействия пользователя и

электронного издания. В настоящее время утвердилась определенная типологическая

модель системы учебных изданий для вузов, которая включает четыре группы изданий, дифференцированных по функциональному признаку, определяющему их значение и место в учебном процессе [3]:

программно-методические (учебные планы и учебные программы);

учебно-методические (методические указания, руководства, содержащие материалы по методике преподавания учебной дисциплины, изучения курса, выполнению курсовых и дипломных работ);

обучающие (учебники, учебные пособия, тексты лекций, конспекты лекций);

вспомогательные (практикумы, сборники задач и упражнений, хрестоматии, книги для чтения).

Информационные технологии позволяют выделить по этому критерию пятую группу:

контролирующие (тестирующие программы, базы данных)

По форме изложения материала учебные издания могут быть разделены на следующие группы:

конвекционные учебные издания, которые реализует информационную функцию обучения;

программированные учебные издания, которые, по существу, и представляют собой в этой классификации электронные издания;

проблемные учебные издания, которые базируются на теории проблемного обучения и направлено на развитие логического мышления;

24

комбинированные, или универсальные учебные издания, которые содержат отдельные элементы перечисленных моделей.

Все представленные принципы классификации позволяют учесть отдельные характеристики электронных средств учебного назначения. Можно использовать и другие критерии классификации, однако, вне зависимости от назначения, методики использования или технологии реализации, основой любого дидактического средства является учебный материал изучаемой предметной области. Отбор этого материала (который осуществляется исходя из дидактических задач и методических принципов) никто, кроме преподавателя, провести не может. По этой причине компьютерный курс должен быть не конгломератом разнородных модулей, а цельной многокомпонентной системой, отражающей научные и методические взгляды автора.

Задания для самостоятельной работы. 1. Во время педагогической практики в школе

проанализировать и сравнить уроки, проведенные на основе использования различных технологий обучения.

2. Изучить имеющиеся электронные ресурсы учебного назначения (программы, электронные учебники, тесты, справочники и выделить их достоинства и недостатки.

Вопросы для самопроверки: 1. Охарактеризовать интерактивные технологии обучения. 2. Выделить основные дидактические принципы построения

компьютерных учебных материалов. 3. Назвать основные типы компьютерных учебных материалов. Лекция 5. Информатизация математического образования.

Технология создания мультимедийной поддержки курса математики средней школы.

План. 1. Проектирование курса с целью создания мультимедийной

поддержки. 2. Подготовка материалов для содержательного наполнения

курса математики; 3. Компоновка материалов в единый программный

комплекс. Основное содержание.

1. Проектирование электронного курса является основополагающим этапом. Именно на этой стадии, на основании соотнесения имеющихся средств и ресурсов с затратами на издание курса делается вывод о реальности проекта [17].

Начальным этапом проектирования мультимедиа курса является разработка педагогического сценария.

25

Педагогический сценарий - это целенаправленная, личностно-ориентированная, методически выстроенная последовательность педагогических методов и технологий для достижения педагогических целей и приемов [18].

Педагогический сценарий курса дает представление о содержании и структуре учебного материала, о педагогических и информационных технологиях, используемых для организации учебного диалога, о методических принципах и приемах, на которых построен как учебный материал, так и система его сопровождения.

При этом под педагогическими технологиями дистанционного обучения понимаются технологии педагогического общения, способы организации познавательной деятельности учащихся. Под информационными технологиями дистанционного обучения понимаются технологии создания, передачи и хранения учебных материалов, организации и сопровождения учебного процесса дистанционного обучения.

Педагогический сценарий отражает авторское представление о содержательной стороне курса, о структуре мультимедиа курса, необходимого для его изучения.

Затем определяется набор технологий и инструментальных средств, необходимых для создания курса.

2. Различные компоненты курса, независимо от способа доступа и назначения, содержат в себе информацию различной природы: символьную (тексты, числа, таблицы), графическую (рисунки, чертежи, фотографии), мультимедиа (анимация, аудио- и видеозаписи). Подготовка различных компонент имеет как общие черты, связанные с характером информации, так и специфические, связанные с ее назначением.

Однако, в отличие от традиционного учебного курса, исходный материал для которого находится на "бумажном носителе", т.е. в рукописном, машинописном или полиграфическом виде, материал для мультимедиа курса должен быть представлен в форме, которая делает возможной его обработку с помощью компьютера. Поскольку процессор компьютера может работать только с двоичными числами, то и вся информация должна быть переведена в цифровую форму (такой процесс называется двоичным кодированием или оцифровкой). В зависимости от вида информации (текст, графика, мультимедиа) меняется и технология оцифровки.

Подобранная автором первичная учебная информация, предоставленная в электронном виде, при подготовке мультимедиа курса должна быть скомпонована в соответствии с идеями автора в интерактивные учебные кадры так, чтобы, с одной стороны, обучаемый имел возможность сам выбирать темп и, в определенных пределах, последовательность изучения материала, а с другой стороны - процесс обучения оставался управляемым. Этот этап -

26

построение детального технологического сценария курса - является наиболее ответственным, т.к. именно он позволяет найти оптимальное соединение педагогических задач и наиболее целесообразных для них технологических решений.

Приступая к созданию технологического сценария мультимедиа курса, основанного на принципах гиперактивности и мультимедийности, следует учитывать, что в мультимедиа курсе вся учебная информация, благодаря гипертекстам, распределяется на нескольких содержательных уровнях [19].

Смысловые отношения между уровнями могут быть выстроены различными способами.

Наиболее распространенный способ структурирования линейного учебного текста при переводе его на гипертекстовую основу предполагает размещение на 1-ом уровне - основной информации, на 2-ом уровне - дополнительной информации, содержащей разъяснения и дополнения, на 3-ем уровне - иллюстративного материала, на 4-ом уровне - справочного материала (при этом 4-ый уровень может отсутствовать, а справочный материал - быть переведен в структуру мультимедиа курса отдельным элементом).

Более эффективным представляется такой способ структурирования линейного учебного текста, который ориентирован на различные способы учебно-познавательной деятельности. В этом случае 1-ый уровень может определить как иллюстративно-описательный, 2-ой уровень - репродуктивный, 3-ий уровень - творческий.

Единицей представления материала становится кадр, который может содержать несколько гиперссылок, может быть дополнен графикой, анимацией и другими мультимедиа приложениями. Информация, размещенная на 1 кадре, должна быть цельной и представлять собой некоторый завершенный смысл. Исходя из смысловой ценности кадра, следует определять его внутреннюю структуру, ограничивать количество гиперссылок 2-го и 3-его уровней.

Несколько кадров, составляющих 1 модуль (раздел) курса, организуются по принципу линейного текста с помощью специальных навигационных кнопок. Такой материал можно листать, подобно страницам книги.

Необходимость включения в электронные средства учебного назначения статических иллюстраций связана, прежде всего, с их методической ценностью. Использование наглядных материалов в процессе обучения способствует повышению уровня восприятия, формированию устойчивых ассоциативных зрительных образов, развитию творческих способностей обучаемых.

27

Статические иллюстрации - рисунки, схемы, карты, репродукции, фотографии и т.п., сопровождающие текстовый материал, даже в их "классическом" понимании могут существенно облегчить восприятие учебной информации. Компьютерные технологии позволяют усилить эффекты использования наглядных материалов в учебном процессе. Так, в отличие от книги, где иллюстрации должны присутствовать всегда одновременно с текстом, в компьютерной версии они могут вызываться по мере необходимости с помощью соответствующих элементов пользовательского интерфейса. Следует заметить, что качество электронных иллюстраций во много раз превосходит качество книжных иллюстраций. Кроме того, компьютерная иллюстрация, как и компьютерный текст, может быть сделана интерактивной. Поэтому автор электронного курса испытывает гораздо меньше ограничений в изобразительных средствах.

При подборе иллюстративного материала важно соблюдать стилевое единство видеоряда (особенно если используются материалы из разнородных источников) и избегать раздражающей пестроты. Не менее важно обеспечить и высокое качество иллюстраций. Компьютерные технологии обработки изображений позволяют существенно улучшить качество исходного материала.

Для того чтобы обеспечить максимальный эффект обучения, необходимо учебную информацию представлять в различных формах. Этому способствует использование разнообразных мультимедиа приложений. Мультимедиа - это объединение нескольких средств представления информации в одной системе. Обычно под мультимедиа подразумевается объединение в компьютерной системе таких средств представления информации, как текст, звук, графика, мультипликация, видеоизображения и пространственное моделирование. Такое объединение средств обеспечивает качественно новый уровень восприятия информации: человек не просто пассивно созерцает, а активно участвует в происходящем. Программы с использованием средств мультимедиа многомодальны, т.е. они одновременно воздействуют на несколько органов чувств и поэтому вызывают повышенный интерес и внимание у аудитории.

Содержание мультимедиа приложений продумывается автором еще на этапе создания педагогического сценария и конкретизируется при разработке технологического сценария. Если текст и статическая графика - традиционные средства представления учебной информации, имеющие многовековую историю, то опыт использования мультимедиа исчисляется годами, что усложняет для преподавателя подготовку материалов к электронному изданию.

3. Подобранная автором и переведенная в электронную форму первичная учебная информация (текст, графика и мультимедиа) должна быть скомпонована в соответствии с идеями автора в

28

интерактивные учебные кадры так, чтобы, с одной стороны, обучаемый имел возможность сам выбирать темп и, в определенных пределах, последовательность изучения материала, а с другой стороны - процесс обучения оставался управляемым. Этот этап - построение технологического сценария курса - является наиболее ответственным.

Компьютерный учебник можно рассматривать как сложный граф, узлами которого являются отдельные блоки учебной информации, а связи между блоками определяют возможные учебные траектории. Схематическое представление курса в виде графа может облегчить его кодирование и впоследствии изучение курса студентом. Как уже отмечалось выше, в сценарии реализуется взгляд автора на содержание и структуру курса, его методические принципы и приемы. Авторское представление о курсе отражает и пользовательский интерфейс - визуальное представление материала и организацию доступа к информации разного уровня.

В результате кодирования педагогического сценария, т.е. объединения предметного материала и пользовательского интерфейса с помощью соответствующего инструментального средства программирования, порождаются соответствующие программные модули, с которыми и предстоит работать обучаемому. В зависимости от педагогических задач, на них возлагаемых, эти модули могут быть размещены либо непосредственно на компьютере ученика или сервере локальной сети периферийного центра (локальные компоненты), либо на сервере Центра ДО базового университета (удаленные компоненты). Место размещения и способ доступа к материалу в значительной степени определяют выбор инструментария кодирования.

Продуманный интерфейс существенно облегчает работу с программой, а использование определенных стандартов избавляет пользователя от необходимости тратить дополнительное время на его освоение. Современные программы для компьютеров, работающих на платформе Intel, используют, как правило, интерфейсные решения Windows'95. Появление новых версий Windows (98, Me, XP) не привело к существенному изменению интерфейса.

Использование стандарта при построении пользовательского интерфейса гарантирует, что его основные элементы не изменятся кардинальным образом при переходе от программы к программе и пользователю не придется осваивать интерфейс нового приложения "с нуля". Если сравнить, например, интерфейсы текстового процессора Microsoft Word 97 и системы программирования Visual Basic 5.0, то можно убедиться, что, несмотря на существенное различие в функциях текстового процессора и системы программирования, их интерфейсы имеют много общего.

29

Заметим, что, в отличие от программных пакетов, ориентированных на создание новых объектов (документов, программ и т.п.), электронный курс предназначен для изучения уже созданных объектов (учебных кадров), поэтому его интерфейс будет иметь свои особенности. Дополнительные особенности интерфейса могут порождать и особенности изучаемой предметной области. Тем не менее, при разработке интерфейса не следует использовать слишком "оригинальные" решения. Кроме традиционного для справочных гипертекстовых систем интерфейса ключевых слов, активация которых вызывает либо переход к другому документу, либо вывод краткого "всплывающего" (pop-up) текста-комментария, инструментальные средства позволяют создавать и другие активные элементы - командные кнопки, снабженные надписями или пиктограммами, надписи и изображения, реагирующие на щелчок или перемещение мыши, кнопки-переключатели и многое другое. Знание автором возможных интерфейсных решений позволяет ему при написании педагогического и технологического сценариев наиболее эффективно структурировать учебную информацию и максимально задействовать все каналы восприятия информации. В любом случае необходимо, чтобы пользовательский интерфейс был интуитивно понятен студенту и не требовал специальных инструкций по работе.

Задания для самостоятельной работы. 1. Ознакомиться с различными мультимедийными

материалами. Проанализировать их структуру, пользовательский интерес, набор мультимедиа эффектов.

2. На примере одной из тем школьного курса математики продумать и предложить содержание и структуру мультимедиа поддержки.

3. Разработать сценарий математического вечера (викторины) для учащихся двух школ, проводимого в интерактивном режиме.

4. Ознакомиться с информационными и коммуникационными технологиями обучения математике на примере работы школы и определенных учителей.

5. Выделить этапы проектирования мультимедийных ресурсов. 6. Выделить основные особенности подготовки текстового,

табличного материала, статичных и динамичных иллюстраций. 7. Какие черты познавательной деятельности учащихся

возможно развивать эффективно с использованием медиа- технологий.

8. Какие новые возможности предоставляет компьютер для организации контроля, оценки и мониторинга учебных достижений учащихся.

30

Раздел. Специальная (частная) методика алгебры, алгебры и начал

анализа

Государственный образовательный стандарт полной средней школы определяет основные задачи курса алгебры (7-9 класс) и курса алгебры и начал анализа (10-11 класс):

«1. развитие представлений о числе и роли вычислений в практике; формирование практических навыков вычислений и вычислительной культуры;

2. формирование формально-оперативных алгебраических умений и применение их к решению математических и внематематических задач;

3. изучение элементарных функций и использование графических представлений для описания и анализа реальных зависимостей;

4. ознакомление с элементами дифференциального и интегрального исчисления как аппаратом исследования функций и решения прикладных задач;

5. формирование представлений обучаемых понятиях и методах как важнейших средств математического моделирования реальных процессов и явлений, о математике как элементе человеческой культуры, о ее применении в практике и научном познании;

6. развитие интеллектуальных и речевых умений». При любом изменении содержания школьного математического

образования в нем должно оставаться «ядро» из тех тем, без которых учащиеся не смогут получить представление о математике и ее методах. Совокупность таких тем составляет содержательно-методических линий школьного курса математики. Эти темы также выделяются стандартом математического образования.

В курсе алгебры, алгебры и начал анализа к ним относятся: «Числа и вычисления», «Выражения и их преобразования», «Уравнения и неравенства», «Функции».

Эти темы остаются неизменными а «изменяются» темы так называемой стохастической линии. Они могут вводится в содержание школьного курса или исключаться из нее. Это зависит от потребностей и динамично меняющихся условий современного общества.

Исходя из выше сказанного, в курсе лекций по теории и методике обучения математике раскрываются именно основные содержательные линии школьного курса математики.

31

Содержание выделенных линий курса невозможно изучить в пределах одного класса, одной темы, так как их изучение должно пройти несколько этапов:

- пропедевтический; - изучение основного содержания; - углубление, обобщение и систематизация изученного. При чтении лекций по основным содержательным линиям

реализуется схема: 1. проводится логико-математический анализ изучаемого

материала; 2. определяется место данного математического содержания в

школьной программе и учебниках; 3. определяются цели и задачи каждой содержательной линии; 4. выделяются основные типы математических задач и

обобщенные приемы их решения; 5. рассматриваются методы и приемы обучения, которые

можно использовать для изучения отдельных тем или разделов данной содержательно-методической линии.

Лекция 1. Развитие понятия числа в школьном курсе математики.

План лекции: I. Изучение числовых систем в школьном курсе математики,

место темы в программе. II. Методика изучения натуральных и дробных чисел. III. Методика изучения рациональных чисел. IV. Некоторые вопросы изучения действительных чисел в

курсе средней школы. Содержание лекции

I. Дается краткий логико-математический анализ линии числа в школьном курсе. Особое внимание уделено сравнению последовательностей расширения понятия числа в научных курсах и в историческом аспекте. Исходя из целей изучения числовых систем в школьном курсе обосновывается использование одной из последовательностей в школе расширения понятия числа. Далее подробно анализируется программа с 1 по 11 классы. На примерах изучения конкретных числовых множеств показываются два пути введения нового числового множества.

Вводится общая методическая схема, используемая на любом этапе расширения понятия числа и показываются основные условия, влияющие на ее использование на разных возрастных этапах.

II. Рассмотрение второго вопроса начинается с обзора знаний, умений и навыков с которыми в 5 класс приходят ученики после начальной школы. Затем выделяются сведения из раздела «Натуральные числа», которые необходимо переосмыслить и

32

обобщить в курсе 5 класса и более подробно рассматривается методика изучения вопросов «новых» для учащихся, относящихся к теме «Делимость натуральных чисел, а именно понятий делителя и кратного числа, НОК, НОД, признаков делимости чисел. Уделяется внимание практическим приложениям изучаемых вопросов. Заканчивая с учениками изучение натуральных чисел, учитель должен до четкого их понимания довести тот факт, что на множестве натуральных чисел (N) всегда выполнимы операции сравнения, сложения и умножения и они подчиняются определенным законам.

В курсе 5 класса ученики встречаются с первым расширением понятия числа. Следуя исторической схеме, множество натуральных чисел расширяется до множества положительных рациональных чисел, то есть появляются дробные числа (для краткости – дроби).

Необходимо показать студентам, что в пропедевтическом плане знакомство с дробными числами произошло в начальной школе. Выделяются же сведения о дробях, которые им известны.

Далее, используя метод целесообразных задач, решается одна методическая задача – показывается целесообразность расширения множества натуральных чисел. В отличии от начальной школы этот процесс связывается с невозможностью решения уравнения типа

bха (или невыполнимостью операции деления) на множестве натуральных чисел.

Затем рассматриваются возможные последовательности изучения обыкновенных и десятичных дробей, анализируются школьные учебники.

После введения понятия дробного числа переходим к методике изучения операций на множестве Q+, то есть раскрываем вторую методическую задачу – показать целесообразность изучения операций на множестве Q+ и ввести их. С введением операций сложения, вычитания, умножения и деления связано и изучение законов арифметических действий.

III. Рассмотрение третьего вопроса лекций начинается с введения отрицательного числа. Целесообразность его введения можно показать двумя путями: формально-логическим (связать с невыполнимостью операции вычитания на множестве N) или реально-конкретным (рассматриваются величины, изменение которых проходит в двух противоположных направлениях.

Методика обучения – метод целесообразных задач. Затем показывается методика изучения операций на множестве Q и рассматриваются все законы арифметических действий.

IV. Изучение множества действительных чисел начинается в курсе 8 класса с повторения всех сведений о рациональных числах, затем рассматривают две задачи: задачу, связанную с извлечением квадратного корня (х2=а), или задачу, связанную с измерением отрезков, выделяя случай несоизмеримости длины отрезка с

33

выбранной единицей измерения. Эти задачи приводят к появлению иррационального числа.

Далее отмечается, что строгая теория действительного числа в школьном курсе недоступна учащимся, поэтому изложение материала идет индуктивно, опираясь на предшествующие знания.

Заканчивая, среднюю школу, ученик должен уметь охарактеризовать известные ему числовые множества:

N – бесконечное упорядоченное, дискретное с начальным элементом и без конечного элемента. Замкнутое относительно операций сложения и умножения;

Z – бесконечное, упорядоченное, дискретное, без начального и конечного элементов. Замкнутое относительно операций сложения, вычитания, умножения;

Q – бесконечное, упорядоченное, без начального и конечного элементов, всюду плотное. Замкнутое относительно операций сложения, вычитания, умножения, деления;

R - бесконечное, упорядоченное, без начального и конечного элементов, плотное, непрерывное.

Закончить лекцию необходимо краткими сведениями об изучении комплексных чисел.

Вопросы для самопроверки: 1. Что вы понимаете под расширением понятия числа? 2. Цели изучения чисел и вычислений в школьном курсе? 3. Распределение материала по классам. В чем различие в

учебниках разных авторов? 4. В чем суть основных методических задач на каждом этапе

расширения понятия числа? 5. Перечислите сведения известные учащимся из курса

начальной школы о числах и операциях над ними. 6. В чем заключается преемственность в методике изучения

натуральных и дробных чисел между начальной школой и 5-6 классами?

7. Что вы можете сказать о порядке изучения обыкновенных и десятичных дробей?

8. Охарактеризуйте 2 подхода к введению отрицательного числа.

9. В чем заключается суть метода целесообразных задач? Показать его реализацию на примере введения любой операции на множестве целых чисел.

10. Основные подходы к введению иррационального числа? 11. Почему в школьном курсе нельзя дать строгую теорию

действительного числа? 12. Где, когда и как в школьном курсе проходит знакомство с

комплексными числами?

34

Лекция 2. Линия уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

План лекции: I. Цели изучения уравнений и неравенств в школьном курсе.

Место темы в программе. II. Логико-математический анализ основного понятийного

аппарата темы. Различные трактовки понятия уравнения и неравенства в школьных учебниках.

III. Основные этапы в изучении уравнений и неравенств. IV. Методика изучения уравнений и неравенств в 5-6 классах. V. Методика изучения уравнений, неравенств и их систем в

7-9 классах. VI. Изучения вопросов равносильности уравнений,

неравенств и их систем в школьном курсе математики. VII. Изучение уравнений, неравенств и их систем в старших

классах (обзор материала). VIII. Решение текстовых задач в курсе алгебры 7-9 классов

(самостоятельное изучение по книге «Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики. /Составитель Мишин В.И.: М.: Просвещение, 1987 г. Стр. 137-151)

Содержание лекции: I. Материал линии уравнений и неравенств составляет

значительную часть школьного курса математики. Это определяет и цели их изучения:

1. через них проходит ознакомление учащихся с основами наук; 2. их решение способствует развитию логического мышления,

формирует и закрепляет вычислительные навыки; 3. они находят широкое применение при изучении многих тем

школьного курса математики; 4. они позволяют реализовать межпредметные связи; 5. уравнения и неравенства позволяют закрепить, углубить и

повторить пройденный материал. Используются при решении практических задач.

В изучении линии уравнений и неравенств можно выделить три основных направления ее развертывания в школьном курсе математики:

1) прикладная направленность – раскрывается при изучении алгебраического метода решения текстовых задач.

2) теоретико-математическая – раскрывается в двух аспектах: а) в изучении наиболее важных классов уравнений, неравенств и

их систем, б) в изучении обобщенных приемов и методов решений. Распределение изучения по классам определяется тематическим

планированием и выбранным учебником.

35

II. Основной понятийный аппарат этой содержательной линии: понятие уравнения, неравенства, равносильность уравнений и неравенств, определение частных видов уравнений и неравенств.

Далее рассматриваются различные трактовки понятия уравнения и неравенства в научных курсах и как это влияло и влияет на их определения в школьных учебниках. Дается краткая историческая справка и останавливаемся на трактовке основных понятий в действующих учебниках.

III. Подробно изложены основные направления в изучении уравнений и неравенств на этапах:

1. пропедевтическом (начальная школа и курс математики 5-6 классов),

2. основном (курс алгебры 7-9 классов), 3. завершающем (курс алгебры и начал анализа 10-11 классов). Выделяются типы уравнений и неравенств на каждом этапе,

показывается на какие теоретические сведения опираются на каждом из этих этапов.

IV. Начинаем с повторения сведений из курса начальной школы, затем, используя игровые ситуации, метод целесообразных задач, подводим к определению понятия уравнения и соответствующих понятий. По мере появления отрицательных чисел в неявном виде начинаем использовать равносильные преобразования при решении уравнений. Решаются линейные уравнения с одной переменной.

V. На основном этапе вводятся соответствующие термины: линейное уравнение с одной переменной, с двумя переменными и их системы. Рассматриваются приемы по созданию проблемных ситуаций на уроках при введении квадратных уравнений, рациональных уравнений, дробно-рациональных уравнений. По аналогии рассматриваются решение неравенств, начиная с 8 класса. Как итог рассматриваются суть алгебраического метода решения уравнений и неравенств и графического метода. При первом подходе, равносильные преобразования уравнений и неравенств к простейшим можно разделить на две группы:

1) общие для всех видов уравнений и неравенств – следствия из теорем о равносильности,

2) специальные, основанные на свойствах функций f(х) и g(х), если уравнение записано как f(х) = g(х).

Следовательно необходимо рассмотреть вопросы равносильности уравнений и неравенств.

VI. К рассмотрению понятий равносильности уравнений и неравенств и их систем подходим по разному. Это зависит от определений уравнений и неравенств в школьном курсе. Если уравнение определялось как предложение с переменной, то и равносильность так же определялась через это родовое понятие. В

36

действующих учебниках уравнения называются равносильными, если они имеют одни и те же корни (аналогично неравенства). Далее формулируются три основных теоремы, позволяющие перейти от уравнения к равносильному и показывается как их смысл в школьных учебниках раскрывается через свойства равенств и неравенств. Используются конкретно-индуктивный путь изучения многих вопросов и метод целесообразных задач. Функциональный подход к обоснованию решения уравнений и неравенств рассматривается в 10-11 классах при решении иррациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений.

VII. В этой лекции более подробно рассматривается методика изучения иррациональных уравнений и их систем, даются основные методы решения. Подробнее останавливаются на решении уравнений степени выше второй, отрабатываются метод интегралов. Изучение показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений и неравенств более подробно рассматривается при изучении соответствующих функций. Закончить лекцию можно таблицей классификации уравнений и неравенств в связи с классификацией выражений и классификацией функций.

Таблица

37

Вопросы для самопроверки:

1. Раскрыть цели изучения уравнений и неравенств в средней школе.

2. Что влияло на подходы в определении уравнений и неравенств в школьных учебниках?

3. Какие этапы можно выделить в изучении уравнений и неравенств?

4. Что лежит в основе решения уравнений в начальной школе и в 5 классе? В 6 классе?

5. Как определяется понятие уравнения в 5 классе и в 7 классе? 6. Какие виды уравнений изучаются в алгебре 7-9 классов? В

10-11 классах? 7. Что общего в методике изучения линейных уравнений и

квадратных уравнений.

Уравнения и неравенства с переменной

алгебраические

целые

линейные

квадратные

высших степеней

дробные

иррациональные

показательные

логарифмические

трансцендентные


38

8. Перечислите свойства числовых неравенств, изучаемых в 8 классе?

9. Как можно создать проблемную ситуацию при введении способа решения линейного уравнения с двумя переменными?

10. Какие способы решения систем уравнений изучаются в школе?

11. Какие подходы Вы можете изложить при рассмотрении равносильности уравнений и неравенств в 5-9 классах и в 10-11 классах?

12. Почему метод интервалов изучается после изучения квадратичной функции?

13. В чем отличие графического способа решения неравенств от графической иллюстрации решения неравенств и их систем?

14. Что лежит в основе решения дробно-рациональных уравнений в школе?

15. Почему решение показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений и неравенств в основном рассматривают в 10-11 классах?

Лекция 3. Функциональная линия в курсе математики

основной школы. План лекции:

I. Логико-математический анализ функциональной линии. II. Место функций в программе. Этапы в изучении функций

в средней школе. III. Функциональная пропедевтика в 5-6 классах. IV. Методика введения понятия функций в 7 классе. Область

определения и область значения функций. V. Изучение элементарных функций: линейной,

квадратичной, степенной в 7-9 классах. Содержание лекции:

I. Основным понятием функциональной линии является

понятие функции, которое Ф. Клейн считал центральным понятием всей математики. Затем остановиться на различных подходах к определению функции и связать их с «изменением» этого определения в курсе математики средней школы. С понятием функции связана система понятий: область определения, область значения, графика функции и других. Уже к XVII веку были достаточно хорошо изучены так называемые элементарные функции – класс функций, включающий в себя многочлены и рациональные функции, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.

Их изучением и занимаются в школьном курсе математики.

39

II. Охарактеризовать цели изучения функций в школе. Выделяют следующие этапы в изучении функций:

1. пропедевтический (5-6 классы), 2. основной – изучения понятия функции и изучение

элементарных функций, когда исследование проводится элементарными средствами (7-10 классы),

3. завершающий – исследование функций проводится с помощью производной (10-11 классы).

Распределение по классам дает тематическое планирование программы и соответствующий учебник, выбранный учителем.

III. Подготовительная работа на первом этапе заключается в рассмотрении зависимостей величин и результатов действий от изменения компонентов. Этот материал входит во все темы 5-6 классов, где рассматриваются выражения, содержащие буквы.

Рассматривается прямоугольная система координат, координаты точки, примеры графиков.

IV. В курсе 7 класса вводят через систему целесообразных задач основной понятийный аппарат и способы задания функций. В 8 и 9 классах при рассмотрении конкретных функций вводят понятия, связанные с исследованием функции: возрастание, убывание и так далее. В курсе 9 класса, а затем в 10 классе уточняется понятие числовой функции.

V. Изучение линейной функции у=кх+b и функции у=х2 проходит по единому плану: рассматриваются конкретные задачи, подводящие к функциональной зависимости, выраженной определенной формулой (мотивация) и вводят определение. По точкам строят график этой функции и из графика получают свойства функции. Заканчивается изучение решением практических задач на применение свойств изучаемой функции. Подробно остановиться на изучении функции у=кх+b, затем рассмотреть частный случай у=кх+b

и сравнивая зависимости у=кх+b и хку рассмотреть функцию

ху 1 .

По аналогии на практическом занятии рассмотреть изучение функций у=ах2.

VI. Функцию 2ху ( 0х ). В курсе 9 класса обобщаются все сведения об изученных

функциях, дается, через их рассмотрение, схема исследования функции элементарными способами.

Изучение показательных, логарифмических и тригонометрических функций отнесено к курсу «Алгебры и начал анализа». Этому посвящены следующие лекции.

40


1. Перечислите цели изучения функций в средней школе? 2. В чем сходство и различие в «традиционном» и

«современном» подходе к понятию функции? 3. Какие видоизменения претерпело понятие функции в школе?

Дайте определение функции в школе? Дайте определение этого понятия в действующих учебниках.

4. Охарактеризуйте три основных этапа в изучении функций. 5. Что общего в подходе к изучению функций

хухухуbкху , , , 32 в основной школе? 6. Почему курс алгебры 9 класса можно считать одним из

значимых этапов в изучении функций? 7. Почему функциональная линия в школьном курсе

«связывает», объединяет другие основные линии школьного курса? 8. В чем заключается необходимость III этапа в изучении

функций? 9. Какие функции изучаются в курсе алгебры и начал анализа? 10. В чем Вы видите реализацию межпредметных связей при

изучении функций?

Лекция 4. Методика изучения производной и ее приложений. Изучение первообразной и интеграла в школьном

курсе математики. План.

1. Пропедевтика понятия производной. 2. Методика введения понятия производной. 3. Приложения производной. 4. Различные подходы к изложению теории интегралов в школе. 5. Методика введения понятий первообразная и интеграла. 6. Применение интегралов к решению задач.

Содержание лекции

1. Приступая к изучению понятия производной, целесообразно:

а) повторить все вопросы, связанные с линейной функцией и элементарными функциями, так как основная идея дифференциального исчисления – представление о функции как о линейной в достаточно малой окрестности некоторой точки; б) отработать такие понятия как приращение функции и приращение аргумента. Это понятие иллюстрируется с помощью графиков

41

функций; в) важно не просто ввести понятие приращения, но выработать у учащихся твердые навыки в их нахождении, с этой целью можно предложить учащимся ряд задач по нарастанию трудности; г) выяснить геометрический смысл отношение приращения функции к приращению аргумента, ввести понятие касательной к кривой как предельного положения секущей. После того как эти понятия отработаны. Переходят к введению понятия производной.

2. В предыдущих учебных пособиях введение этого понятия начинали с решения задач физического содержания и необоснованно отрывали геометрический смысл от производной. Лучший вариант – это рассмотреть задачу о мгновенной скорости, о геометрическом смысле производной именно на этапе введения производной. Затем, на следующем уровне, обобщая способы решения этих задач, обратим внимание на то, что этим способом решается ряд других задач в физике, технике: о теплоемкости тела при данной температуре, о мгновенной величине силы тока в данный момент времени и др.

Введение понятия производной необходимо связать с основной проблемой дифференциального исчисления – проблемой исследования процесса изменения функции.

Также необходимо знание правил, позволяющих этот процесс облегчить. В виде теорем рассматриваются производная суммы двух функций, производная, частного и степенной функции (последняя – без доказательства.

3. Вопросы приложения производной в школе оправдано лишь в том случае, если оно применяется. Основные направления применения: к решению задач на отыскание наименьшего и наибольшего значения функции на интервале, к исследованию функций, к решению физических задач, к приближенным вычислениям, к построению касательной.

Перед введением геометрического смысла производной необходимо повторить материал: линейная функция, ее угловой коэффициент, понятие производной, рассмотренные ранее задачи о мгновенной скорости, о касательной к графику функции. Эти задачи позволяют убедится в значимости нового понятия – производной, а перед рассмотрением ее геометрического смысла – выполняют и новую дидактическую функцию – являются средством подготовки учащихся к новому осознанию понятия производная.

Методика изучения применения производной к исследованию функций.

Этот раздел имеет большое значение для многих классов функций, реализует межпредметные связи. Но он вызывает и ряд трудностей. Необходимо выбрать минимум материала. В различных учебниках имеются различные подходы к изложению этого материала, но стремление единое – найти приемы изложения, которые

42

сводили бы недосказанные факты к минимуму. Таким материалом, в частности, является теорема Лагранжа.

Изложение вопросов связанных с исследованием функции на экстремум обычно начинают с доказательства достаточных признаков возрастания и убывания функций, затем теоремы Ферма (необходимое условие существования экстремума), затем достаточные условия существования экстремума, общая схема исследования функций и задачи на наибольшее и наименьшее значения функции на интервале.

Перед изучением этих вопросов целесообразно повторить понятие возрастающей и убывающей функций, определение производной, ее геометрический смысл, понятие касательной, угловой коэффициент, условие параллельности прямых, графики известных функций.

Кроме того, ученик должен иметь представление о непрерывных функциях.

Начальные сведения об интегральном исчислении вводятся в 11 классе в курсе алгебры и начал анализа» в теме «Первообразная и интеграл».

1. Роль этой темы: Вместе с дифференциальным исчислением интегральное делает школьный курс логически стройным, шире, и глубже раскрывает значение математики для изучения других наук, способствует формированию у школьников диалектико-материалистического мировоззрения, облегчает изучение некоторых вопросов физики, геометрии.

Интегральное исчисление повышает научный уровень всего курса, помогает привести его по возможности в соответствие с современным состоянием науки, повышает математическую культуру выпускников школы.

Цель изучения данной темы – познакомить учащихся с интегрированием как операцией, обратной дифференцированию, показать применение интеграла к решению геометрических задач.

Данная тема включает в себя следующие вопросы: первообразная, основное свойство первообразной, три правила нахождения первообразных, площадь криволинейной трапеции, интеграл, формула Ньютона – Лейбница, применение интеграла.

2. В учебно-методической литературе наметились два основных способа построении теории интегралов:

I подход. На основе решения конкретных задач вводятся понятия интегральной суммы и определенного интеграла, рассматриваются некоторые его свойства и теорема существования. Далее доказывается, что производная определенного интеграла с переменным верхним пределом равна значению подинтегральной функции от верхнего предела. Вводится понятие первообразной, неопределенного интеграла и получают формулу Ньютона-Лейбница

43

для вычисления определенного интеграла. Заканчивают изложение применением интегрального исчисления к решению задач.

II подход. Сначала вводят понятие первообразной функции, неопределенного интеграла, изучаются его свойства и теоремы существования (без доказательства), устанавливают связь первообразной с площадью под графиком функции. Затем вводят понятие определенного интеграла (или как предела интегральных сумм, или как приращения первообразной), в конце – применение интеграла.

Школьный вариант расположен между ними, но ближе ко II подходу.

Достоинства I подхода – всестороннее выяснение идейного смысла определенного интеграла. Вначале изучения интегрального исчисления при решении различных задач учащиеся овладевают искусством перехода от равномерных процессов к неравномерным, составлением интегральных сумм, перехода от нее к интегралу.

Недостатки: Неоправданно большой разрыв во времени между введением понятия интеграла и его вычислением. Учащиеся сначала изучают задачи, приводящие к понятию интеграла, его свойства, только в конце темы занимаются непосредственным интегрированием. Это приводит к тому, что у них теряется интерес к изучению теории, а это влияет на отработку навыков решения задач.

Достоинства II подхода: 1) Ранее ознакомление школьников с основной задачей интегрального исчисления – нахождением по данной функции f (х) ее первообразной F(х) и овладение аппаратом для решения. 2) Обеспечение возможности вычислять интегралы, следовательно, прививать им навыки интегрирования в ходе изучения темы. 3) Результатом является лучшая подготовленность к решению задач геометрии и физики.

Недостатки: Определение определенного интеграла как приращения первообразной не позволяет полно раскрыть идейную сторону.

3. Перед изучением темы в 11 классе необходимо повторить предел функции, непрерывность и производную, физический и геометрический смысл производной. Целесообразно обратиться к таблице, в которой записаны функции и их производные, чтобы воспользоваться ею для отыскания функции, производная которой задана. Изучение новой темы можно начать с решения конкретных задач, в которых показывается, что произвольная постоянная имеет реальный смысл, учащиеся подводятся к определению первообразной, заполняется таблица первообразных. На первых порах правильность решения проверяется дифференцированием. Затем изучают основное свойство первообразной. Рассматриваются три правила нахождения первообразных, которые легко доказываются, опираясь на определение первообразной.

44

Следующим важным вопросом в данной теме является понятие криволинейной трапеции и нахождение ее площади. Перед его рассмотрением необходимо вспомнить все о площадях из геометрии и поставить проблему, как можно найти площадь произвольной фигуры Ф. Этот вопрос решается двояко: 1. Доказывается теорема о площади криволинейной трапеции: сначала вводится функция, затем доказывается, что она является первообразной. 2) Второй подход к нахождению площади криволинейной трапеции, образованный графиком непрерывной и неотрицательной функции и прямыми.

4. Применение интегралов рассматриваются при решении задач: на нахождение площади плоской фигуры; на вычисление пройденного пути за данный промежуток времени, на нахождение силы давления жидкости, работы переменной силы, на нахождение объемов тел.

Наиболее трудным является вопрос об объеме пирамиды. Возможны различные варианты: 1) по учебнику А.В. Погорелова сначала доказываем равновеликость треугольных пирамид с равновеликими основаниями и равными высотами, затем доказываем, что наклонная треугольная призма состоит из трех равновеликих пирамид. В учебнике Киселева А.П. подход аналогичен «Погореловскому» но при этом еще показывается, что за объем пирамиды принимается число, которое больше суммы объемов входящих призм и меньше суммы объемов выходящих призм. В учебном пособии Н.А. Глаголева – находится предел последовательности сумм объемов входящих призм при бесконечном возрастании их числа, этот предел и принимают за объем пирамиды. 2) изложение этого вопроса с использованием интегрального исчисления. Этот подход можно использовать и при выводе объема пирамиды, считая, что объем пирамиды существует и нужно доказать, что он является первообразной для функции S(х). Методическая особенность такого подхода состоит в том, что вывод объема пирамиды является базовым доказательством, оно обслуживает и объемы фигур вращения.

Как указывалось выше, ряд тем вынесено на самостоятельное

изучение. Для ориентации студентов дается подробный план их изучения.

Тема 1. Тождественные преобразования в курсе математики

средней школы. План изучения:

1. Тождественные преобразования выражений – одна из основных линий школьного курса математики. Цели их изучения.

2. Основной понятийный аппарат. Логико-математический анализ.

45

3. Место выражений и их преобразований в школьной программе.

4. Методические особенности изучения преобразований числовых выражений в 5-6 классах.

5. Пропедевтика изучения алгебраических целых выражений в 5-6 классах.

6. Методика введения основных понятий в алгебре 7 класса. 7. Методика изучения преобразований целых алгебраических

выражений. Что лежит в их основе? 8. Методика изучения преобразований дробно-рациональных

выражений. 9. Изучение преобразований выражений, содержащих

радикалы. На чем основаны эти преобразования? 10. Методика изучения преобразований выражений, содержащих

тригонометрические функции. 11. Методика изучения преобразований выражений, содержащих

логарифмы. 12. Основные типы упражнений при изучении преобразований

алгебраических выражений. 13. Привести примеры использования тождественных

преобразований выражений при решении уравнений, неравенств, при изучении функций.

Тема 2. Тригонометрические функции и методика их

изучения. 1. Логико-математический анализ основных понятий. 2. Цели изучения тригонометрических функций в средней

школе. Роль и место в школьной программе. 3. Сравнительный анализ действующих школьных учебников. 4. Различные подходы в изучении тригонометрических

функций. 5. Методика изучения основных понятий в курсе геометрии. 6. Изучение тригонометрических функций в курсе 9 класса

алгебры. 7. Методика изучения тригонометрических функций и их

свойств в курсе алгебры и начал анализа в 10 классе. 8. Применение свойств тригонометрических функций к

решению тригонометрических уравнений и неравенств.

46

Раздел. Специальная (частная) методика геометрии: планиметрии и

стереометрии.

Тема 1. Логическое строение школьного курса геометрии. План.

1. Цели изучения и структура школьного курса геометрии. 2. Содержание пропедевтического курса геометрии в 5-6

классах. 3. Различные подходы к построению школьного курса

геометрии (логическое строение). Содержание лекции:

Изучение геометрии в школе преследует все цели обучения математике (обучающие, воспитательные, развивающие), но при этом выделяются некоторые специфические цели:

1) ознакомление учащихся с основными геометрическими фигурами и их свойствами;

2) показ практического приложения изучаемого материала к реальной действительности;

3) развитие логического мышления и пространственного воображения;

4) овладение навыками использования чертежных инструментов и развитие способности к техническому творчеству.

Структура школьного курса геометрии. 1 ступень (1-4 классы) – изучение отдельных элементов

геометрии. 2 ступень (5-6 классы) – пропедевтический курс геометрии. 3 ступень (7-9 классы) – систематический курс планиметрии. 4 ступень (10-11 классы) – систематический курс стереометрии. На второй ступени в пропедевтическом курсе математики 5-6

класса доля геометрического материала составляет приблизительно 1/3 часть курса.

В 5 классе основное внимание отводится рассмотрению элементарных геометрических фигур, вводимых преимущественно через наглядное их описание: отрезок и его длина; прямая; луч; угол; многоугольник; ломанная; прямоугольный параллелепипед; куб и их объем.

В 6 классе ведущая роль отводится элементарным геометрическим построениям: построение треугольника по трем данным элементам; построение окружности; параллельных и перпендикулярных прямых с помощью треугольника и линейки; построение фигур, симметричных относительно точки, относительно прямой. Также рассматривают круг и шар. Без доказательства вводят формулы длины окружности, площади круга.

47

Традиционный курс геометрии в школе сложился на основе «Начал Евклида» в то же время претерпевает постоянные изменения в отношении объема, так и в отношении содержания, так как реализация традиционного строго дедуктивного изложения курса на основе той или иной аксиоматики все время находится в диалектическом противоречии с принципом доступности обучения.

До 1968 года школьный курс геометрии (учебники Киселева, Глаголева, Никитина) был изложен на основе аксиоматики Гильберта. Но она была представлена неполно: в наиболее полном виде рассматривались аксиомы принадлежности и параллельности. Вообще не были представлены аксиомы конгруэнтности и порядка (на интуитивном уровне).

В соответствии с требованиями в 1968 году в процессе коренной реорганизации математического образования была поставлена задача разработки такой аксиоматики, которая была бы немногочисленной, доступной для учащихся, наглядной и в то же время логически строгой. При том должна учитываться как сама логика построения курса на основании выделенной аксиоматики, так и возможности осознания учащимися идем такого построения.

Были предложены несколько путей. 1. Изложение, приближенное к алгебре (на основе метода

координат, векторного аппарата). При этом курс планиметрии строился на традиционной основе, а стереометрии – на основе аксиоматики Вейля.

2. Изложение на теоретико-множественной основе, предложенное А.Н. Колмогоровым. Основным аппаратом решения задач является аппарат геометрических преобразований. Система аксиом геометрических преобразований. Система аксиом немногочисленна, достаточно наглядна для учащихся.

3. Аксиоматика, построенная на основе аксиоматики Евклида-Гильберта, но более полная по отношению к предложенному курсу. Система аксиом представлена в явном виде уже в начале курса (§1). Данный подход предложен А.В. Погорелов; но он не стыковался с принятой теоретико-множественной основой.

Задания для самостоятельной работы. (завести тетрадь для самостоятельной работы или продолжить

тетрадь за 3 курс) 1) Выделить основные особенности становления и развития

российского геометрического образования: а) с древних времен до 17 века; б) в 17 веке; в) в 18 веке; г) в 19

веке, д) в 20 веке по учебному пособию «Методика обучения геометрии» /В.А. Гусев, В.В. Орлов, и др., М.: Академия, 2004. (с.8-36 – а, б, в, г; с. 31-58 – д).

48

2) Выделить основные тенденции эволюции зарубежного геометрического образования по этому же учебному пособию (с.58-70).

Вопросы для самопроверки: 1) Сформулируйте основные цели изучения школьного курса

геометрии? 2) Какова структура курса геометрии, изучаемого в средней

школе? 3) Каковы особенности содержания пропедевтического курса

геометрии в 5-6 классах? 4) В чем суть подходов к построению курса геометрии в

основных действующих школьных учебниках? Литература: 4, 6, 14, 16

Тема 2. Изучение взаимного расположения прямых на плоскости и в пространстве.

Параллельность и перпендикулярность прямых. План.

1. Цели изучения параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

2. Методика изучения параллельности прямых на плоскости в школьном курсе.

3. Изучение перпендикулярности прямых в курсе планиметрии и стереометрии.

Содержание лекции: 1. Выделим следующие основные цели изучения параллельности и

перпендикулярности прямых в школьном курсе: 1) через аксиому параллельных в школьный курс вводится

евклидова геометрия; 2) материал о параллельности и перпендикулярности

необходим в дальнейшем для изучения тем «Четырехугольники», «Координаты», «Векторы», «Геометрические преобразования» и др.

3) позволяет более глубоко осознать роль аксиом при построении курса геометрии;

4) большое практическое значение (самостоятельно привести примеры).

2. В настоящее время практикуются два варианта изложения вопросов о параллельности и перпендикулярности.

1 вариант (учебник Л.С. Атанасяна – 7 класс). Вначале рассматривается частный случай пересечения прямых –

перпендикулярность прямых, затем в отдельную главу вынесен материал о параллельных.

2 вариант (учебник А.В. Погорелова). Вопросы о параллельности и перпендикулярности прямых

рассматриваются вперемежку друг с другом:

49

а) аксиома параллельных (§1), б) перпендикулярные прямые (§2), в) параллельные прямые, признаки параллельности прямых,

свойства параллельных прямых, сумма углов треугольника (§4), г) существование и единственность перпендикуляра к прямой

(§4), д) построение перпендикулярной прямой (§5), е) 8 класс, тема «Четырехугольники» (§6), параллельный

перенос – в теме «Движение» (§9). При любом варианте изложения данного материала следует

начать с вопроса о взаимном расположении двух прямых на плоскости. Это можно осуществить в виде эвристической беседы:

1. Могут ли две прямые иметь одну общую точку? 2. Могут ли две прямые иметь две общие точки? 3. Могут ли иметь бесконечное множество общих точек? 4. Могут ли не иметь общих точек? Само определение параллельных прямых встречается в двух

вариантах: 1) А.Н. Колмогоров: прямые параллельны, если они не

пересекаются либо совпадают. Погорелов, Атанасян: прямые параллельны, если они не

пересекаются. После введения определения необходимо доказать существование параллельных прямых. В различных учебниках теорема существования рассматривается по-разному.

Колмогоров: после введения параллельных прямых доказывается теорема: «Центрально-симметричные прямые параллельны», а затем – аксиома параллельных.

Погорелов: в §4, сумма углов треугольника после признаков параллельности, сопоставляя утверждение задачи 8, решение которой рассматривается в учебнике и аксиомы IХ (акс. параллельных), приходят к выводу: «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую, и только одну».

В задаче 8 даны «прямая АВ и точка С, не лежащая на этой прямой. Докажите, что через точку С можно провести прямую, параллельную прямой АВ».

Атанасян: В вопросе о перпендикулярных прямых до аксиомы параллельности рассматривается важное следствие: «две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, не пересекаются». Таким образом, доказывается существование параллельных прямых.

Аксиома параллельных также формулируется по-разному. Если у Погорелова – «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной», а затем доказывается, что такая прямая есть, то у Атанасяна сразу принимается за аксиому, что через точку можно провести

50

единственную прямую, параллельную данной, что является более целесообразным вариантом, поскольку это интуитивно и так понятно.

Методика изучения признаков параллельности прямых. Вначале целесообразно выяснить вопрос: зачем нужны

признаки параллельности? Дело в том, что определение не дает возможности проверки (установления) параллельности прямых. Невозможно на бесконечности проверить пересекаются ли прямые или нет. Поэтому и нужны специальные признаки, по которым можно судить о параллельности.

Первый признак – две прямые, параллельные третьей, параллельны» не вызывает сложностей у школьников.

Вспомнив необходимый материал, учащиеся решают задачу на построение двух прямых b и с, параллельных данной прямой а. выясняется, как соотносятся между собой прямые b и с. предположение противного сразу приводят к противоречию с аксиомой параллельных.

Следующие признаки связаны с рассмотрением углов, получаемых при пересечении двух прямых третьей.

После доказательства одного из признаков формулируются все остальные в виде самостоятельного задания для школьников (или устно).

Задачный материал по теме «Признаки параллельности прямых» целесообразно дополнить поисковыми заданиями без заранее данного чертежа, смысл которых состоит в правильности представления той или иной конфигурации, взгляд на проблему «со стороны». Их выполнение может быть осуществлено в виде лабораторной работы.

Например, задача. 1) .120 ,80 ВСDАВС Могут ли прямые АВ и СD

быть параллельными? Ответ объяснить. 2) Внутренние односторонние углы при двух прямых а и b

и секущей с равны α и 180 . Могут ли а и b быть параллельны? 3) Прямые АВ и СD – параллельны. АВС . Чему равен

ВСD ? Возможно использование более свободных по характеру

выполнения заданий на составление задач по чертежу. Например: используя рисунок, составьте несколько задач. 1) 2)

c

b

а α

А

В

К

С

Е

D F

51

По рис.2: а) СЕ=ЕD, ВЕ=ЕF; FDЕВСЕ б) FDЕВСЕ ; FDЕСВЕ в) FDЕВСЕ ; АDВС // г) Как построить сумму АD+ВС?

Вопросы для самопроверки: 1. Какова роль материала о параллельных и

перпендикулярных прямых в школьном курсе планиметрии? 2. С чего целесообразно начинать изучение этого материала

в школьном курсе геометрии? 3. Какие варианты определения параллельных прямых

встречаются в школьных учебниках? 4. Как решается вопрос о существовании параллельных

прямых в действующих школьных учебниках геометрии? 5. Какие идеи лежат в основе доказательства признака

параллельности прямых (через равенство накрест лежащих углов) в школьных учебниках?

Литература: 4, 6, 7, 14, 16, 17

Изучение параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в курсе стереометрии.

I. Изучение параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в курсе стереометрии может осуществляться в различной последовательности (сначала перпендикулярность, а затем параллельность и наоборот).

В настоящее время их изучение в школе начинается с аффинной ее части – с параллельности. Это дает возможность пораньше познакомить учащихся с изображением пространственных фигур на плоскости, позволяет показать роль аксиом при изложении этого раздела, развивать конструктивные навыки учащихся в процессе решения позиционных задач. Тема играет важную роль в процессе формирования пространственных представлений учащихся, обобщаются известные из планиметрии сведения о параллельности и перпендикулярности прямых. Основная цель изучения – дать учащимся систематические знания о параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве.

II. Всю тему «параллельность в пространстве» можно разделить на 4 блока:

1) параллельность прямых в пространстве; 2) параллельность прямой и плоскости; 3) параллельность плоскостей в пространстве; 4) параллельная проекция и ее свойства. Изображение

пространственных фигур на плоскости. Для новых трех блоков можно выделить общий план изучения: 1) определение;

52

2) признак; 3) вопрос существования и единственности; 4) свойства (для параллельных плоскостей). Всю тему «перпендикулярность в пространстве» можно условно

разделить на три части: 1) перпендикулярность прямых в пространстве; 2) перпендикулярность прямой и плоскости; 3) перпендикулярность плоскостей. Содержание темы: 1) перпендикулярность прямых; 2) перпендикулярность прямой и плоскости, признак

перпендикулярности прямой и плоскости; перпендикуляр, наклонная, проекция наклонной на плоскость; расстояние точки до плоскости, теоремы о параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости;

3) перпендикулярность плоскостей; теоремы о параллельности и перпендикулярности плоскостей; расстояние от прямой до параллельной ей плоскости; расстояние между параллельными плоскостями.

I. 1. При изучении взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве широко используются стереометрический ящик, геометрия «классной комнаты», «подручные» средства (журнал, книга, ручка, мел и т.д.), аналогия с планиметрией.

1. При изучении понятий данной темы можно придерживаться следующей методологической схемы:

1) формулировка определения учителем; 2) иллюстрация понятия на модели куба (параллелепипеда),

геометрии «классной комнаты»; 3) логический анализ формулировки определения; 4) упражнения на распознавание понятия; приведение примеров

из окружающей обстановки с соответствующим обоснованием. 3. При изучении теорем, выражающих признаки параллельности

или перпендикулярности прямых и плоскостей, целесообразно придерживаться такой методической схемы:

1) мотивация изучения признака; 2) раскрытие содержания теоремы на стереометрическом ящике,

на реальных объектах; 3) формулировка признака; 4) сообщение идеи доказательства, совместное составление

плана доказательства; 5) оформление доказательства в соответствии с принятыми

требованиями; 6) показ применимости признака на простейшей модели; 7) закрепление при решении задач.

53

4. Остановимся на роли задач при изучении вопросов параллельности и перпендикулярности в пространстве.

Сначала, как известно, вводится – определяется перпендикулярность (параллельность), затем рассматривается вопрос о существовании такого расположения, тесно связанный с признаками перпендикулярности (параллельности) и конструктивными задачи, т.е. воображаемыми построениями перпендикулярных (параллельных) прямых и плоскостей. Эти построения весьма разнообразны.

5.Со второй половины темы «перпендикулярность в пространстве» акцент делается уже на практические стереометрические задачи. Это обусловлено тем, что введено понятие перпендикулярности, понятие «расстояние» и рассмотрена теорема о трех перпендикулярах, дающая основную конфигурацию – классический прямоугольный треугольник (перпендикуляр, наклонная, проекция наклонной).

Вопросы для самопроверки.

1. Какова основная цель изучения параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в курсе стереометрии?

2. Какие блоки можно выделить в материале о параллельности прямых и плоскостей в пространстве, перпендикулярности прямых и плоскостей.

3. Какую методическую схему изучения понятий этой темы можно использовать?

4. Какую методическую схему можно предложить для изучения теорем, выражающих признаки параллельности (перпендикулярности) прямых и плоскостей?

5. Какие задачи преобладают в учебниках при изучении данной темы?

Литература: 4, 6, 7, 14, 16.

Тема 3. Методика изучения многоугольников в школьном курсе планиметрии.

План. 1. Роль материала о многоугольниках в обучении математике. 2. Обзор содержания материала о многоугольниках в школьном

курсе математики. 3. Методические рекомендации по изучению многоугольников.

Содержание лекции: Роль темы «Многоугольники» в обучении обусловлена

следующим:

54

1. Многоугольники и их свойства непосредственно являются основным объектом изучения геометрии, позволяющим развить воображение учащихся.

2. Знания, умения и навыки, связанные с данной темой, необходимы для изучения смежных дисциплин (физики, черчения, труда и других) и в реальной жизни.

3. Учение о многоугольниках дает основу для использования соответствующего аппарата решения задач и доказательства теорем школьного курса стереометрии и естественным образом способствует развитию логического мышления.

4. Многоугольники являются полигоном для раскрытия материала о декартовых координатах, геометрических преобразованиях, векторах и др.

5. Материал важен в мировоззренческом аспекте, в историческом и прикладном ракурсах.

В систематическом курсе планиметрии материал о многоугольниках можно разбить на 3 основных блока.

1. Учение о треугольниках (7-8 классы) является базовым материалом всей темы, поскольку дальнейшее ее изучение основывается на применении различных свойств треугольников (в частности используются цепочки равных треугольников для доказательства равенства каких либо отрезков, углов при изучении многоугольников. К этому блоку относится следующий материал:

1) определение треугольника, сопутствующих понятий, 2) равнобедренный треугольник, 3) равенство треугольников, аксиома существования

треугольника, равного данному, 4) зависимость между элементами треугольника, 5) подобие треугольников, 6) площадь треугольника, 7) комбинации треугольника с окружностью. 2. Учение о четырехугольниках (8 класс): 1) определение четырехугольника и сопутствующих понятий, 2) частные виды четырехугольников и их свойства

(параллелограмм и его виды: прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция),

3) площади четырехугольников. 3. Учение о многоугольниках (9 класс). 1) общее понятие о многоугольниках, 2) правильные многоугольники и их построение, 3) комбинации правильных многоугольников с окружностью. В учебнике А.В. Погорелов: сначала треугольники (7 класс),

четырехугольники (8 класс), многоугольники (9 класс). Происходит постепенное обобщение материала, позволяющее учащимся

55

последовательно установить естественные взаимосвязи между предыдущим и последующими темами.

В учебнике Л.С. Атанасяна смешанный подход: треугольники (7 класс), многоугольники (обзор, 8 класс), четырехугольники, правильные многоугольники (9 класс).

Само определение многоугольника (и его частных видов) производится в основном с двух позиций:

а) как одномерного объекта – простая замкнутая ломанная, б) как двумерного объекта – плоского многоугольника,

включающего в себя кроме простого многоугольника его внутреннюю область.

Оба подхода имеют как достоинства, и так и недостатки. Если мы вводим понятие многоугольника как одномерного объекта, то здесь имеем возможность вывести данное определение из основных понятий – точек и отрезков прямой, то есть четко показать преемственность вводимых понятий. Определяя же многоугольник как плоский, мы имеем возможность в дальнейшем рассмотреть сопутствующие элементы – медиану, высоту и биссектрису треугольника как объекты, принадлежащие треугольнику, а так же ввести понятие площади многоугольника.

Методические особенности изучения многоугольников рассмотрим на примере наиболее характерной темы данного материала «Четырехугольники»

Схема изучения данной темы: 1. Определение четырехугольника и выделение различных их

видов. 2. Доказательства существования каждого вида. 3. Свойства и признаки каждого вида. 4. В конце изучения – классификация. Изучение признаков и свойств параллелограмма связано с

формулировкой необходимого и достаточного условия того, что четырехугольник является параллелограммом. Данный материал в учебнике А.В. Погорелова изучается вперемежку, по учебнику Л.С. Атанасяна сначала рассматриваются свойства, а затем признаки, как обратные теоремы. Свойства параллелограмма обычно вводятся с помощью практической работы вида: начертить ряд параллелограммов, измерить противолежащие стороны и углы. Сделать вывод.

В конце изучения темы целесообразно провести классификацию выпуклых четырехугольников, изучаемых в школе. Данная классификация зависит от того, как определить трапецию. Возможны два подхода:

1) трапеция, есть четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие непараллельны (Киселев, Погорелов,

56

Атанасян). Здесь понятия трапеции и параллелограмма – несовместимы (объемы этих понятий не пересекаются)

2) трапеция, есть четырехугольник, у которого две стороны параллельны (Бескин Н.М.). здесь параллелограмм является одним из видов трапеции. Первое определение не позволяет последовательно рассмотреть цепочку частных видов четырехугольников, классификация четырехугольников при этом менее четкая логически.

При изучении материала о многоугольниках важное место занимает теорема о сумме углов выпуклого n – угольника.

В действующих школьных учебниках при доказательстве предлагают обычно разбить данный многоугольник на треугольники, соединив диагоналями одну из вершин (фиксированную) со всеми остальными вершинами.

Учитель может предложит другой способ разбиения n – угольника на треугольники , взяв точку О внутри многоугольника и соединив ее со всеми вершинами многоугольника.

Методически оправданы такие подходы при доказательстве теорем, которые отличны от подходов, используемых в действующих школьных учебниках.

Вопросы для самопроверки: 1. Каково значение темы «Многоугольники» в школьном курсе

геометрии? 2. Какие три содержательных блока можно выделить в данной

теме? 3. Какие подходы к определению понятия «многоугольник»

существуют в учебно-методической литературе? 4. Какую методическую схему изучения темы

«Четырехугольники» можно составить? 5. Каковы методические особенности изучения признаков и

свойств параллелограмма? 6. Приведите различные доказательства теоремы о сумме

углов n – угольника и обоснуйте методическую ценность каждого из доказательств. Литература: 4, 6, 7, 10, 14, 16, 17.

Методика изучения многогранников, фигур вращения в школьном курсе стереометрии.

I. Темы «Многогранники» и «Тела и вращения» являются центральными в курсе стереометрии средней школы.

1) В процессе их изучения систематизируются знания учащихся их планиметрии: о многоугольниках, окружностях и круге, вписанном и описанном многоугольниках и их основных свойствах, а также знания о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве из курса стереометрии 10-го класса.

57

2) В процессе изучения многогранников и тел вращения продолжается работа по дальнейшему развитию пространственных представлений и воображение учащихся.

3) Знакомство с многогранниками и телами вращения играет важную роль в подготовке учащихся к практической жизни, к труду (например, многие детали машин, приборов, архитектурные сооружения, предметы быта имеют форму тел вращения).

4) Дальнейшие развитие получает при изучении этого материала логическое мышление учащихся (вводится много новых понятий, теорем)

Основная цель – дать учащимся систематические сведения об основных видах многогранников, познакомить с простейшими телами вращения и их свойствами.

II. Тему «Многогранники» можно разделить на следующие части: 1. Многогранник. Элементы многогранника. Выпуклый многогранник. 2. Призмы. Параллелепипеды. 3. Пирамиды. Усеченные пирамиды. 4. Правильные многогранники. 5. Объемы многогранников. Последовательность изложения и место этих вопросов в действующих учебниках А.В. Погорелова и Л.С. Атанасяна (раздел о сечениях.).

Весь круг вопросов по теме «Тела вращения» можно условно разделить на 2 группы:

1. Цилиндр и конус: а) определение, поверхность, симметрия, касательная плоскость, сечение осевое и перпендикулярное оси, вписанные и описанные многогранники; б) объем; в) площадь боковой поверхности.

2. Шар и сфера: а) определение, симметрия, сечение, касательная плоскость; б) объем шара; в) площадь сферы.

III. Рассмотрим некоторые методические особенности изучения геометрических тел в школьном курсе стереометрии:

1. Изучение данного материала начинается с введения понятия многогранника. Существуют различные подходы к его определению. Чаще многогранник трактуется как ограниченное геометрическое тело с определенными характерными свойствами (Погорелов, Клопский, Скопец; Александров и др.). (Например, в учебнике А.В. Погорелова – многогранник – это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.)

В учебнике Атанасяна многогранник рассматривается как поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. Правда, в дальнейшем добавлено, что

58

«тело, ограниченное многогранником, часто называют также многогранником».

Руководясь принципом педагогической целесообразности, понятие многогранника можно вводить без предварительного введения формально-логических определений понятий «геометрического тела», «поверхности», считая их интуитивно ясными для учащихся из их опыта и наглядных представлений.

2. Изложение материала о каждом геометрическом теле осуществляется по единому плану:

1) Определение, сопутствующие элементы и некоторые простейшие свойства, вытекающие сразу из определения.

2) Через построение изображения тела показывается его существование. (Предупреждать возможные ошибки в изображениях пространственных фигур).

3) Рассматриваются сечения многогранника или тела вращения (начинать с наглядных пособий, кодограмм).

4) Частные виды, их свойства и классификация (для многогранников).

5) Рассмотрение площади поверхности и объема данного тела.

3. При изучении большинства вопросов необходима постоянная актуализация ранее изученного материала, широкое использование пространственно-плоскостного аналога.

Например, свойства параллелограмма – свойства параллелепипеда, площадь прямоугольника – объем прямоугольного параллелепипеда и т.д.

4. Широко используются модели геометрических тел и другие средства наглядности. Легко организовать работу учащихся по их изготовлению во внеурочное время. Помимо положительного влияния на усвоение курса математики такая работа содействует развитию творческих способностей учащихся, расширяет кругозор, содействует повышению эффективности урока.

К 11 классу уже нельзя злоупотреблять демонстрацией наглядных пособий.

5. Большинство задач по данным темам – вычислительного характера, решение которых сводится к последовательному решению цикла элементарных планиметрических задач. Активно используются свойства треугольника, четырехугольника, комбинации треугольников с окружностью.

Можно выделить следующие виды задач: – на нахождение элементов геометрических тел (длин отрезков,

углов) – построение сечений геометрических тел и нахождение

площади сечения.

59

– нахождение площадей поверхностей и объемов многогранников и тел вращения.

6. Наиболее сложным является материал (задачи) о комбинациях многогранников и тел вращения. Теоретический материал в основном рассматриваются на наглядно-интуитивном уровне, не ставится задача обучения школьников построению изображения комбинаций. Поэтому необходимо больше использовать готовые чертежи той или иной комбинации и соответствующие модели. На основе их анализа учащиеся должны уметь выделять необходимые для решения сечения данной комбинации и строить их на «выносном» чертеже. Часто вместо комбинаций геометрических тел получаем на таком чертеже известные планиметрические комбинации (треугольник вписанный или описанный около окружности, прямоугольник вписанный или описанный около окружности и т.д.)

Вопросы для самопроверки. 1. Какова роль материала о геометрических телах в школьном

курсе геометрии? 2. Основная цель изучения этого материала. 3. Какие вопросы рассматриваются в действующих школьных

учебниках? 4. Какие подходы к определению понятия «многогранник»

можно выделить? 5. По какому единому плану осуществляется изложение

материала о каждом геометрическом теле? 6. Выделить основные виды задач, имеющиеся в школьных

учебниках по данной теме? Литература: 4, 6, 7, 14, 16, 17.

Тема 4. Геометрические преобразования и векторы в школьном курсе геометрии.

План. 1. Общая характеристика материала. Различные подходы к

изучению геометрических преобразований в школе. 2. Методические особенности изложения отдельных вопросов. 3. Метод геометрических преобразований и возможности его

использования при решении задач. Содержание лекции:

1. Применение преобразований (а частности, движений) к установлению геометрических фактов связывают с именем Фалеса Милетского. Фалес с помощью перегибаний и поворотов чертежа показал справедливость таких фактов, как равенство вертикальных углов, равенство вписанного угла, опирающегося на диаметр окружности, прямому углу и т.д.

Мощный толчок развитию идеи геометрических преобразований, дал немецкий математик Феликс Клейн в своей

60

Эрлангенской программе. По Клейну предмет геометрии составляет теория инвариантов некоторой группы геометрических преобразований каждой из которых соответствует своя ветвь геометрии.

С этих позиций геометрия, определяемая группой преобразований подобия, и является предметом изучения в средней школе.

Впервые значительное внимание этому материалу было уделено известным отечественным математиком и методистом А.Н. Колмогоровым. В его курсе геометрии (1968-1980) преобразования занимали центральное место и служили основой доказательства многих теорем.

В учебниках Погорелова и Атанасяна движения и преобразования подобия стали рассматриваться скорее как объект изучения, чем универсальный аппарат для решения задач.

Роль материала: 1) Введение в школьный курс линии геометрических

преобразований позволило дать «аппаратное», «рабочее» истолкование равенства и подобия фигур. Если в учебнике Погорелова первоначально вводятся равные треугольники через равные элементы, то аналогичное определение равенства (подобия) для произвольных фигур ввести затруднительно – нужны геометрические преобразования. По Атанасяну же равенство вводилось через наложение, что не давало эффективного аппарата для решения задач на построение.

2) Геометрические преобразования позволили ввести в школьный курс динамику, преодолеть некоторую статичность традиционного синтетического подхода. При этом появилась возможность уделить особое внимание развитию определенных сторон пространственного воображения школьников.

3) Геометрические преобразования дают новый эффективный метод решения задач, позволяющий во многих случаях облегчить доказательство теорем и решения задач.

4) Геометрические преобразования способствуют реализации внутрипредметных связей с алгеброй (функциональная зависимость, преобразования графиков функций), межпредметных –с физикой (механическое поступательное движение и т.д.). отметим, что в физике исследуется в основном сам процесс движения, в геометрии – фиксированные положения фигуры, подвергшейся движению (исходное, конечное и иногда промежуточное).

5) Геометрические преобразования привносят в школьную математику эстетику, изящество. Идея симметрии – орнаменты, снежинки, архитектурные сооружения являются воплощением этой идеи, являясь одним из важнейших средств гуманитаризации обучения математике.

61

Теория геометрических преобразований в школе может быть построена традиционным – синтетическим, а так же аналитическим методами. Наибольшее распространение получил смешенный: аналитико-синтетический подход, использующийся в действующих учебниках. Это позволяет упростить изложение, а так же формировать у школьников представление о возможности использования различных способов задания геометрических преобразований.

В учебнике Погорелова (теоретико-групповой подход) материал представлен в виде двух отдельных тем: «Движения» (8 кл.) и «Преобразования подобия» (9 кл.). Обе темы начинаются с общих вопросов: вводится общее понятие, дается два общих групповых свойства, рассматриваются свойства этих видов преобразований, их виды и специфические свойства каждого вида.

Учебник Атанасяна (реально-практический подход) предусматривает вначале описательное знакомство с симметрией (8 кл.). В конце 9 класса рассматривается общее понятие движения и его свойства, затем отдельно изучаются параллельный перенос и поворот.

2. Рассмотрение частных видов движений осуществляется по следующему примерному плану:

1. Выполняется построение и одновременно проговаривается определение того или иного вида движений (определение – генетическое); вводятся сопутствующие понятия.

2. Предлагаются задания на построение фигур, полученных путем, воздействия движением на данные фигуры.

3. Неявно вводится тождественное преобразование как преобразование, переводящее фигуру саму в себя.

4. Упражнения на распознавание. 5. Доказательство того, что данное преобразование является

движением (преобразованием подобия) обычно предваряется задачей на построение и последующее измерение или вычисление расстояний.

6. Доказательство специфических свойств данного вида преобразований.

При изучении преобразований подобия и признаков подобия треугольников можно порекомендовать использование аналогии с движениями. Это можно реализовать на вводной лекции введения понятия преобразования подобия и гомотетии. Одновременно повторяя пройденный материал по теме «Движения» и «Признаки равенства треугольников», учащиеся формулируют соответствующие утверждения, относящиеся к теме «Подобие». Все сведения заносятся в таблицу, и соответствующие факты затем доказываются.

С материалом о геометрических преобразованиях тесно связано рассмотрение признаков подобия треугольников, являющихся основой для решения большого количества задач в синтетической геометрии. Формулировка признаков подобия аналогична формулировке признаков равенства и может быть дана самими

62

учениками в процессе выполнения соответствующих заданий исследовательского характера.

По учебнику Погорелова доказательство признаков подобия треугольников основывается на свойствах гомотетии и допускает использование одного и того же чертежа. Работа по доказательству всех признаков может осуществляться относительно единовременно, крупноблочно, со значительным участием самих учеников. Доказательство признаков подобия треугольников осуществляется последовательно (один признак вытекает из другого).

В частности, выписав соответствующие формулы для всех углов, получим пропорциональность соответствующих сторон.

Еще один подход, в соответствии с которым признаки подобия могут быть доказаны на основе теорем косинусов и синусов.

3. Геометрические преобразования лежат в основе мощного метода, значительно упрощающего решение многих задач планиметрии и стереометрии. Овладение этим методом предполагает сформированность у учащихся умений выполнять ряд специфических действий.

Умения: 1) Строить образы фигур при том или ином геометрическом

преобразовании. 2) Распознавание точек и фигур, определяющих это

преобразование. 3) Использование свойств преобразований для обоснования

наличия определенного соотношения между рассматриваемыми геометрическими фигурами.

4) Выбор вида преобразования, который целесообразно использовать при решении данной конкретной задачи.

Овладение методом геометрических преобразований предусматривает несколько этапов:

1) подготовительный, 2) ознакомительный, 3) формирующий; 4) совершенствующий.

Задания для самостоятельной работы: 1) Обоснуйте выбор геометрического преобразования для

решения следующих задач, и решить задачу выбранным методом. 2) Доказать признаки подобия треугольников с

использованием теорем синусов и косинусов и продумать возможность использования данного подхода применительно и действующим школьным учебникам.

Вопросы для самопроверки: 1. В чем суть Эрлангенской программы Ф. Клейна? 2. Что является предметом изучения геометрии в средней

школе с точки зрения Эрлангенской программы? 3. Какова роль материала о геометрических преобразованиях в

школьном курсе?

63

4. Как представлена данная содержательная линия в действующих учебниках по геометрии?

5. Какова методическая схема изучения частных видов движений в школьном курсе?

6. Каковы методические особенности изучения преобразований подобия?

7. Опишите возможную методику изучения всех признаков подобия треугольников на одном уровне.

8. Докажите признаки подобия треугольников с использованием подходов, отличных от имеющихся в действующих учебниках.

9. Какие этапы овладения методом геометрических преобразований можно выделить? В чем суть каждого из этих этапов? Литература: 4, 6, 7, 10, 14, 16, 17.

1. Понятие вектора является одним из фундаментальных в

современной математике. Важность этого понятия для геометрии была показана Германом Вейлем, предложившим в 1918 году векторную аксиоматику евклидовой геометрии.

Материал о векторах стал изучаться в школьном курсе сравнительно недавно. Необходимость его включения в содержание курса геометрии следовала из следующих соображений.

1. Изучение векторной алгебры важно с точки зрения обогащения идейного содержания учебного курса, приближая его к современной геометрической науке.

2. Знакомство с векторами необходимо ученикам для изучения смежных курсов: физики, астрономии, химии, географии.

3. Векторы дают эффективный и компактный метод решения различных геометрических (аффинных и метрических) задач и доказательства ряда теорем.

4. Углубляется представление учащихся о величинах в том плане, что вектор выступает как связывающее звено между метрикой и направлением.

5. Происходит обобщение знаний учащихся об арифметических и алгебраических операциях.

Рассматриваются 4 варианта введения понятия вектора в школьном курсе:

1) Модернистский Ввести вектор, наряду с точкой и прямой как основное понятие, описываемое соответствующей системой аксиом (по Вейлю). При этом курс геометрии строится на полностью векторной основе.

2) Вектор рассматривать как одно из геометрических преобразований, отождествить ею с параллельным переносом (А.Н. Колмогоров).

64

3) Рассмотреть вектор как направленный отрезок (А.В. Погорелов, Л.С. Атанасян).

4) Ввести вектор как порядочную пару чисел, то есть на чисто координатной основе (свести геометрию к алгебре), все действия над векторами сводились бы к действиям над числами.

Определение вектора как направленного отрезка было значительно более наглядным для школьников и больше подходила к физическим представлениям о векторе, поэтому в некоторых учебниках используется именно такое определение.

При изложении материала о векторах большое значение имеет обеспечение необходимого «равновесия» между наглядно-геометрическим и координатным подходами к данному вопросу. Если наглядно-геометрический подход более характерен для стиля изложения геометрического материала, то координатный метод упрощает многие доказательства, способствует достижению краткости изложения материала.

В учебнике Погорелова изучение векторов относится к концу 8 класса. Перед этим рассматриваются темы «Движения» и «Декартовы координаты на плоскости». изучение векторов идет по следующему плану: понятие вектора, абсолютная величина и направление вектора, равенство векторов, координаты вектора, операции над векторами, разложение вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам.

Основное понятие для векторов в пространстве рассматриваются аналогично.

В учебнике Атанасяна метод координат рассматривается уже позже введения понятия вектора, поэтому большой блок материала дается на чисто геометрической основе. В большой мере используется наглядно-геометрический подход, чем координатный.

2. При введении понятия «вектор» обычно рассматривают физическую ситуацию.

Учащимся предлагается подействовать на вектор различными движениями и выяснить, изменилось ли направление и абсолютная величина вектора при применении того или иного движения. Делается вывод, что в случае параллельного переноса абсолютная величина и направление не меняются. То есть, если векторы совмещаются параллельным переносом, их называют равными, при этом их абсолютная величина и направления совпадают. Отметим, что здесь возникает кажущееся противоречие с определением равных фигур. Это объясняется тем, что век5тор характеризуется не только своим числовым значением, но и направлением, которое сохраняется только при параллельном переносе.

Центральным вопросом является введение координат вектора. Можно предложить следующую схему: 1) В системе координат с нанесенной координатной сеткой

рассмотрим несколько вопросов: Какие из изображенных векторов

65

равны? Как можно показать, не измеряя отрезков и углов? Попробуйте посчитать клеточки при движении от начала к концу этих векторов (3 клеточки вправо и 2 вверх). Таким образом, мы определили координаты векторов.

2) Задание: В тетрадях постройте точки А (2, 3) и В (4, 7). Аналогично определите координаты вектора АВ и выясните связь между координатами вектора АВ и соответствующими координатами его начала и конца.

3) Итог – определение координат вектора. 4) Далее закрепляем определение на примерах. 5) Переходим к доказательству этого факта.

Скалярное произведение векторов. Материал, связанный с векторами разделяется на две большие

группы вопросов: 1. Вопросы аффинной геометрии. Здесь в основном решаются

задачи на установление параллельности, выполнение отношения отрезков, параллельный перенос, гомотетия, принадлежность трех точек одной прямой, принадлежность четырех точек одной плоскости и т.д.

2. Описывает метрическую часть темы. Это скалярное произведение векторов и его свойства. Здесь решаются задачи на вычисление расстояний, углов, нахождение множества точек.

Таким образом, без изучения скалярного произведения векторов из поля зрения учащихся выпадает большое количество метрических задач и в значительной мере теряется эффективность применения векторного метода..

Однако, скалярное произведение векторов совсем недавно стало изучаться в планиметрии в силу следующих трудностей:

1. Учащиеся привыкли, что умножение –есть операция, ставящая в соответствие двум элементам одного множества элемент того же множества. Скалярное же произведение векторов – есть число, то есть элемент множества, совершенно отличного от множества векторов.

2. Свойства скалярного произведения весьма отличны от свойств ранее изученных произведений.

3. Само определение скалярного произведения громоздко: либо это сумма произведений двух пар соответствующих координат, либо – произведение длин двух векторов на косинус угла между ними.

3. Аксиоматика школьного курса планиметрии не

предопределяет строго логическую структуру курса стереометрии, то есть аксиоматика стереометрии может по своему характеру отличаться от планиметрической. Соответственно делались попытки изложить курс стереометрии на основе более современных математических методов, в частности, на векторном. При этом бы

66

появилась возможность объединить курсы геометрии и алгебры на координатно-векторной основе. Однако, данный вариант пока не реализован в силу ряда субъективных трудностей:

1) Алгебраизация геометрии не способствует развитию пространственных представление школьников, их геометрической интуиции, не способствует их реальным представлениям.

2) В среднем звене трудно воспитать у школьников высокую алгебраическую культуру и дать четкие представления об аксиоматическом методе, которые необходимы для изучения стереометрии на векторной основе.

3) Не разработана в должной мере соответствующая методика преподавания.

Согласно действующей программе векторы рассматриваются в курсе стереометрии и как объект изучения и как аппарат доказательства теорем и решения задач. Место данной темы в курсе стереометрии может быть различным: 1) изучение векторов идет после параллельности до перпендикулярности в пространстве (Колмогоров, Скопец); 2) векторы рассматриваются после параллельности и перпендикулярности и используются в основном при решении задач на «Многогранник», «Тела вращения» (Погорелов); 3) в конце курса, появляется возможность показать преимущества векторного метода по сравнению с традиционным – геометрическим при решении стандартных задач, однако, теряется возможность использования векторов для первичного доказательства теорем.

Усвоение понятийного аппарата, связанного с векторами, создает предпосылки для овладения учащимися векторным методом решения задач, включающим в себя следующие компоненты:

1. Перевод условия задачи на векторный язык и разложение введенных векторов по базисным (если необходимо).

2. Составление векторного равенства и его преобразование. 3. Замена векторного равенства алгебраическим уравнением и

его решение. 4. Объяснение геометрического смысла найденного решения.

Задания для самостоятельной работы. 1. Показать реализацию компонентов векторного метода на

примере решения задачи: Найти один из углов между диагональю куба и диагональю какой – либо грани куба.

Вопросы для самопроверки: 1. Чем вызвана необходимость и целесообразность изучения

векторов в школьном курсе? 2. Какие возможности введения понятия вектора в школьном

курсе можно выделить? 3. Каково содержание данной темы в школьных учебниках? 4. Методика введения понятий «вектор» и «равные векторы».

67

5. Методика изучения координат вектора и операций над ними. 6. Каковы методические особенности изучения скалярного

произведения векторов? 7. Какие варианты изучения векторов возможны в курсе

стереометрии? Положительные и отрицательные стороны этих вариантов.

8. Каковы основные компоненты, из которых состоит овладение векторным методом? Литература: 4, 6, 7, 8, 10, 14, 16, 17.

Методика изучения координат, векторов и геометрических преобразований в пространстве в школьном курсе стереометрии.

Попытки введения более современных, чем традиционный синтетический, методов в курс стереометрии неоднократно предпринимались с конца 19 века в силу следующих соображений:

1) применение более современных методов позволяет существенно упростить и алгоритмизировать решение стереометрических задач и доказательство теорем.

2) необходимо было осовременить школьный курс стереометрии, приблизить его к насущным проблемам действительности.

3) большая прикладная значимость и многообразие межпредметных связей соответствующих разделов: векторы – в физике, координаты – в алгебре, геометрические преобразования – в картографии.

В XX веке были созданы новые курсы геометрии, сориентированные на преимущественное использование алгебраического метода (геометрия Шоке), метода геометрических преобразований – учебное пособие Колмогорова, векторный метод – пособие под ред. Скопеца и др. Но введение в школу этих учебников не увенчались успехом из-за:

1) отрицательного влияния на развитие пространственных представлений школьников, их геометрической интуиции;

2) сложности перехода к новой аксиоматике (векторной или метрической);

3) не совсем достаточно удачного методического решения проблемы создания новых учебников, а также неподготовленности учителей к этому переходу.

В силу указанных причин авторы действующих в настоящее время учебников попытались найти оптимальное сочетание традиционно-синтетических и более современных подходов. При этом координаты, векторы и преобразования стали рассматриваться скорее как объекты изучения, чем как мощные методы решения задач и доказательства теорем.

68

Место данной темы в курсе стереометрии может быть различным:

а) В начале курса. При этом существенно облегчаются доказательства многих теорем традиционных разделов.

б) После рассмотрения параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве. Основное применение в темах многогранниках и телах вращения. (Как в учебнике Погорелова и частично в учебнике Атанасяна).

в) В конце курса стереометрии. При этом появляется возможность показа преимущества рассматриваемых методов перед традиционным при решении задач.

Однако, как правило, здесь не хватает времени на вторичное прохождение материала и возникает опасность путаницы в понятиях.

В учебнике Л.С. Атанасяна: полигон аппарат векторы координаты преобразования (движения) В учебнике Л.С. Атанасяна наименьшее внимание уделено

геометрическим преобразованиям, в учебнике А.В. Погорелова – векторам.

II. Материал о координатах, векторах и преобразованиях в

стереометрии подчеркнуть повторяет соответствующий планиметрический материал в действующих учебниках. При этом повторение планиметрии затруднено из-за недостатка времени. Следовательно, такое повторение целесообразно осуществлять в процессе ознакомления с соответствующими стереометрическими фактами и их доказательстве.

Например, при выводе формулы расстояния между точками, как в планиметрии, так и в стереометрии строится прямоугольный треугольник и применяется теорема Пифагора.

Таким образом, в стереометрии эти вопросы изучаются аналогично + этап сведения к планиметрическому аналогу. Поэтому можно использовать следующую методическую схему ее вида этой формулы:

1) Актуализация планиметрической формулы и идеи ее вывода. 2) При решении стереометрической задачи на интуитивном

уровне записывается пространственный аналог. 3) Обсуждается возможность переноса идеи вывода

планиметрической формулы на стереометрический факт. 4) Сведения пространственной конфигурации к плоскостной. 5) Осуществление доказательства по составленному плану:

а) сведения к планиметрическому анализу; б) применение планиметрической идеи; 6)Закрепление доказательства в соответствии с известными этапами.

69

В действующих учебниках рассматриваются по существу только основной аппарат метода координат и векторной алгебры. При этом возможности применения этих методов при решении содержательных стереометрических задач и задач из других разделов весьма незначительны, и это оказывает отрицательное воздействие на осознание сущности данных методов в целом.

Учителю необходимо на материале стереометрии закрепить приобретенные ранее представления о существующих методах и их компонентах на основе использования системы специальных упражнений.

В конце изучения данной темы «Координаты, векторы, преобразования» целесообразно провести спаренный урок-семинар (лучше урок-практикум) по одновременному решению задач всеми методами и их сопоставительному анализу.

При этом отдельным группам учеников может быть предложена задача, которую необходимо решить одним из методов (либо на уроке, либо как домашнее задание). В процессе обсуждения решения со всем классом выделяются критерии применимости того или иного метода в данной ситуации, а также его плюсы и минусы.

На практике при решении содержательных стереометрических задач чаще приходится пользоваться более универсальным координатно-векторным методом.

Его использование наглядно можно увидеть при решении следующей задачи:

В треугольной пирамиде ДАВС плоские углы при вершине Д равны по 90 0. Боковые ребра ДА = 6, ДВ = 8, ДС = 24. точка М равноудалена от всех вершин пирамиды. Найти расстояние ДМ. (Решать самостоятельно).

Задания для самостоятельной работы: 1. Провести сравнительный анализ содержания данного

материала по учебникам: а) А.В. Погорелова; б) Л.С. Атанасяна и др.; в) И.М. Смирновой и В.А. Смирнова.

2. Составить конспект статьи А.Д. Александрова «Так что же такое вектор?» «Математика в школе», № 5 – 1984г., с.39-46.

3. Показать суть координатно-векторного метода при решении задачи:

4. В треугольной пирамиде ДАВС плоские углы при вершине Д равны по 90 0. Боковые ребра ДА = 6, ДВ = 8, ДС = 24. точка М равноудалена от всех вершин пирамиды. Найти расстояние ДМ.

Вопросы для самопроверки: 1. Чем вызвана необходимость введения новых

содержательных линий в школьный курс стереометрии? 2. Почему их введение в школьный курс завершилось

неудачей?

70

3. Какие схемы изучения координат, векторов и геометрических преобразований реализованы в действующих учебниках?

4. Какую методическую схему введения фактов аналитической геометрии в пространстве целесообразно использовать в курсе стереометрии?

5. Как осуществить аналогию при изучении данного материала в курсе стереометрии с планиметрией?

Лекция 5. Методика изучения геометрических величин

в школьном курсе математики. План.

1. Некоторые методические замечания. 2. Место и значение темы в школьном курсе математики.

Изучение скалярных геометрических величин в младших классах. 3. Методические особенности изучения систем скалярных

геометрических величин в средних и старших классах. 4. Различные подходы к изучению объёмов многогранников

и тел вращения. 5. Методические особенности изучения площадей

поверхностей тел вращения. Содержание лекции:

1. Предметом изучения данной лекции являются скалярные геометрические величины – длина, площадь, объём, мера угла. Под системой скалярных величин по А.Н. Колмогорову понимается определённое множество

S={a, b, c, ….}, удовлетворяющее системе аксиом (10 аксиом).

Самостоятельное задание: Выписать эти аксиомы. Любая скалярная величина по отношению к конкретному объекту обладает свойством быть измеренной, то есть охарактеризованным числом. При этом фактически задаётся соответствие между множеством фигур и множеством положительных действительных чисел так, что выполняются следующие свойства:

1) Равные фигуры имеют равные величины (инвариантность, относительно движения);

2) Величина фигуры, являющая объединением нескольких фигур без общих внутренних точек, равные сумме величин этих фигур (аддитивность);

3) Существует фигура (единичный отрезок, единичный квадрат, единичный куб), величина которого равна 1 (нормированность).

Скалярные геометрические величины могут вводиться либо: 1) аксиоматически, как функции, обладающие указанными выше свойствами:

71

а) Предполагая существование этой функции, выводят формулы для величин ломаных, многоугольников, многогранников. Показывается возможность вычисления величины произвольных многоугольных и многогранных фигур путём их разбиения на треугольники и тетраэдры и независимость их от способа разбиения, то есть

( n

ii hQSфV1

*)(31

)( )

теорема о существовании и единственности на классе многоугольных (многогранных) фигур.

б) Вводится множество квадрируемых (кубируемых) фигур, спрямляемых дуг и доказывается существование и единственность рассматриваемой величины на этом множестве.

2.) конструктивно (идём в обратном направлении). Строится функция, обладающая свойствами 1) -3) с помощью описания процесса нахождения по фигуре F её величины:

1 способ: Рассматривается множество многоугольниках (многогранниках) фигур и показывается возможность их разбиения на треугольники (тетраэдры). Доказывается, что произведение основания на высоту треугольника (тетраэдра) не зависит от высоты основания. Без доказательства принимаются формулы для S треугольника и V тетраэдра. Доказывается, что введение, таким образом, функция обладает свойствами 1)-3). Далее данная функция распространяется на класс квадрируемых (кубируемых) фигур и опять доказываются указанные свойства.

Данный подход редко используется в силу его психологической неубедительности (без доказательства принимаются формулы S треугольника, V тетраэдра), а также довольно сложного доказательства основных свойств площади и объёма.

1 способ: Естественный. Он позволяет ввести систему скалярных геометрических величин сразу для классов многоугольниках, многогранных фигур путём разбиения прямой, плоскости или пространства точками, прямыми или плоскостями. Получаем масштабную сетку, состоящую из квадратов со сторонами 1, 1/10, 1/100, … 1/10n.

Пусть в заданной фигуре F содержится n квадратов со стороны 1|10n , а сама фигура F содержится в n квадратов со стороны 1/10n. Положим за Sn - число n/10n, за Sn – число n/10n

(число единиц площади, содержащихся в F и содержащих F). Если существует единственное число, заключённое между всеми числами Sn и всеми числами Sn, то фигура F называется квадрируемой (кубируемой). Для отрезков получается что-то типа теории сечений. Дедекинда (теория действительного числа).

72

В школьных курсах основным путём введения геометрических величин является аксиоматический путь, подкрепляемый особенно на первых этапах изучения материала конструктивными соображениями, связанными с использованием транспортира, линейки, палетки и кубической масштабной сетки, как средствами измерения.

Изложение теории площадей многоугольников и объёмов многогранников существенно опирается на понятие равносоставленности многоугольников и многогранников.

Из свойств скалярных величин вытекает, что равносоставленные фигуры равновелики. Это позволяет ввести простой способ вычисления площадей (использовавшийся ещё Евклидом).

Укажем два важных факта, позволяющие понять логику построения соответствующего школьного материала.

1. Теорема Бойяи – Гервина: Два равновеликих многоугольника равносоставлены. Из этой

теоремы вытекает, что достаточно знать формулу для S прямоугольника, чтобы легко вывести площади других многоугольников.

2. Аналогичная теорема для многогранников, сформулированная впервые Д.Гилабертом (1900 г., 3-я проблема) вообще несправедлива. Это следует из результатов Дена (1901 г.), который, в частности, показал, что правильный тетраэдр не равносоставлен с кубом того же объёма.

Именно поэтому при изучении объёмов многогранников недостаточно формулы объёма прямоугольного параллелепипеда, а приходится ещё использовать неэлементарные методы для нахождения объёмов тетраэдра. Однако, для некоторых видов многогранников (например призм) рассматриваемый факт справедлив.

2. Важность линии геометрических величин определяется следующими моментами.

1) В реальной действительности мы постоянно сталкиваемся с необходимостью измерения и оценки расстояний, площадей и объёмов фигур. (Примеры подобрать самостоятельно).

2) На основе материала данной темы осуществляется знакомство школьников с важными идеями, понятиями и методами метрической геометрии, расширяются возможности применения аналитического метода.

3) Реализуются внутрипредметные и межпредметные связи на основе взаимодействия аксиоматического метода, теории действительного числа, инфинитезимальных методов (бесконечно малых), метода координат и т. д.

4) Совершенствуются вычислительные навыки, навыки тождественных преобразований и решения уравнений и неравенств.

73

5) На данном материале, как правило, реализуется метод опорного элемента при решении задач

cpbpappbahaS sin**

21

*21

В школьном курсе математики изучаются следующие скалярные величины: длина отрезка, мера угла, площади многоугольника и круга, объёмы многогранников и тел вращения, длина окружности, площадь поверхности тел вращения.

Изучение скалярных геометрических величин в школе осуществляется концентрически: 1 концентр – 1 – 6 классы - пропедевтический, 2 концентр – 7-11 классы – основной.

1этап. В курсе 1-4 классов у школьников развивается наглядно-интуитивное представление о величинах и их практическом измерении. Здесь они знакомятся с различными единицами измерения длины и площади, основными соотношениями между ними; измеряют и сравнивают длин отрезков и площади фигур, составленных из единичных отрезков и квадратов, с помощью линейки и палетки вычисляют периметр многоугольника, а также площадь прямоугольника (по формуле). Уже здесь учащиеся начинают производить действия с именованными числами: + и – величин, * и : величин на число, а также сравнение величин.

2 этап. В 5-6 классе представления о геометрических величинах систематизируются и углубляются. В частности, если в начальной школе отрезок и его длина воспринимаются как один и тот же объект, то в 5-ом классе учащиеся получают возможность установить различие между фигурой и её величиной, записываемой в виде числа с наименованием.

Это достигается на основе сопоставления результатов выполнения двух основных задач: построения отрезка заданной длины и измерения длин данного отрезка. Если в первом случае ответ неоднозначен, то во втором результат однозначен.

При изучении площадей и объёмов реализуется тот же план, что и при изучении длин отрезков: а) определение площади и объёма не даётся, а лишь поясняется, что для величин различных поверхностей и вместимостей сосудов надо знать площадь или объём соответствующих фигур; б) на конкретных примерах вводятся свойства площадей и объёмов, единицы их измерения, обращается внимание на то, что в отличие от длины и мер углов равенство площадей или объёмов фигур вовсе не означает равенство этих фигур; в) вводятся и наглядно обосновываются формулы для площади прямоугольника и объёма прямоугольного параллелепипеда. Решаются соответствующие текстовые задачи.

В 6 классе обоснование вводятся важные в практическом отношении формула для длин окружности и площади круга.

74

3 Основной этап изучения геометрических величин 7-11 классов.

На этом этапе происходит переход от вычислительно-прикладного аспекта к формально-логическому.

В учебнике А.В. Погорелова в §1 в явном виде вводятся аксиомы откладывания и измерения отрезков и углов. Вопрос об измерении отрезков и углов. Вопрос об измерении отрезков и углов в практическом плане не ставится.

В учебнике Л.С. Атанасяна изложение связано с практическими измерениями. Описывается процесс измерения, на наглядном уровне поясняются свойства длины отрезков и градусных мер углов, описываются приборы для измерения расстояний и углов на местности. В аксиоматике (в Приложении 1) есть только аксиомы измерения и откладывания отрезка (аксиом измерения углов нет).

Понятие о площадях и объёмах в учебнике А.В. Погорелова вводится также аксиоматически. Площадь простой фигуры (объём простого тела) – это положительная величина, численное значение которой обладает свойствами: 1)-3).

В учебнике Л.С. Атанасяна и др. площадь определяется как величина части плоскости, занимаемой многоугольником, измерения площадей и объектов с помощью единичных квадратов и кубов и обосновываются основные свойства площадей и объёмов.

В основу изучения площадей плоских фигур и объёмов многогранников в школьных курсах геометрии кладутся формулы S прямоугольника (S квадрата) и V прямоугольного параллелепипеда. (Можно и S треугольника и V тетраэдра и другие).

Можно выделить следующие четыре подхода к изучению площадей:

1. Сравнение площадей (подход Адамара) В основе подхода - теорема о том, что площади (или объёмы) 2-

х прямоугольников (прямоугольных параллелепипедов), имеющих равные основания, относятся между собой как их высоты.

Данный способ обладает достаточной общностью и вместе с тем не согласуется с известными с 5-6 классов способом измерения и имеет чересчур формальный для школы характер. Этот переход использован в учебнике А.В.Погорелова.

2. Традиционный подход (учебники Килелёва, Фетисова 1957 г., Атанасяна). После рассмотрения основных допущений о площадях вводится понятие об измерении площади прямоугольника при помощи сетки квадратов последовательно для случаев, когда обе стороны выражаются через единичный отрезок как:

1.) натуральное число; 2.) конечная десятичная дробь (рациональное число); 3.) бесконечная десятичная дробь (иррациональное число).

75

3. В 3-ем наиболее сложном случае площадь определяется либо как предел последовательности площадей прямоугольников, длины сторон которого выражаются рациональными числами, либо через введение двух последовательностей приближённых рациональных значений площади по недостатку и по избытку.

4. (на основе равносоставленности) – учебник Глагольева, 1954 г.

В явном виде рассматривается понятие равносоставленности. Определяются условия, при которых параллелограммы и прямоугольники равносоставлены. Рассматривается вывод формулы площади прямоугольника (прямоугольного параллелепипеда) для натуральных и рациональных измерений, а для иррациональных измерений формулы даются без доказательства. Данный подход также громоздок и не обладает достаточной психологической убедительностью в силу последнего допущения.

Наиболее оптимальным в настоящее время учителя считают классический подход (2-й подход) без рассмотрения третьего случая, либо принятие формулы площади квадрата за аксиому.

После доказательства (вывода) формулы площади прямоугольника, пользуясь элементарными методами (теоремой Бойяи-Гервина – 12 равновеликих многоугольника равносоставлены) выводят формулы для площадей остальных прямоугольников, либо разбивая, либо дополняя новый многоугольник.

В основе изложения теории объёмов многогранников лежит формула для объёма прямоугольного параллелепипеда, доказываемая совершенно аналогично формуле для площади прямоугольника.

В силу равносоставленности равновеликих призм вывод формул для объёмов наклонных параллелепипедов и призм можно осуществить элементарными методами. Соответствующие соображения иллюстрируются на наглядных моделях, а выводы аналогичны тем, которые применялись в планиметрии.

Основная методическая проблема при выводе формул для объёмов многогранников является соответствующая формула для тетраэдра (теорема Дена). По этой теореме для вывода этой формулы необходимо использовать неэлементарные методы, связанные с операцией интегрирования (явно или неявно). Подход, при этом используемый, как правило, отражается и на методике изложения теории объёмов тел вращения.

1 подход – метод исчерпывания («чёртова лестница») (учебники Киселёва, Погорелова) осуществляется в двух вариантах: Первый вариант - косвенный.

1 этап – лемма. Две треугольные пирамиды с равными площадями оснований и равными высотами равновелики.

76

Разбив высоту на n частей, проводим плоскости, параллельные плоскости основания. Получим разбиение пирамид на слои. Через вершины сечений призмы проводим n прямых, параллельных какому – либо ребру призмы.

Получаем два ступенчатых многогранника, состоящих из входящих в первую пирамиду и содержащих эту пирамиду призм. Их суммарные объёмы отличаются на объём призмы последнего от вершины слоя S

nH (S - площадь основания, H - высота, n - номер

слоя).

212122

11.)(.)(

VVn

SНVVступVVступVV

пр

пр

, (n – любое n )

(см. п. 198 учебник Погорелова) Аналогично: V2 V1 V2= V1 2 этап: Треугольная пирамида дополняется до призмы путём

присоединения к ней ещё двух пирамид. Все три пирамиды по предыдущей лемме – равновелики Vпир= 3

1 Vпризмы

Второй вариант – прямой. (уч. Глаголева) является модификацией предыдущего варианта.

1 этап: Для пирамиды строится двоякая последовательность призм. Показывается, что Vпирамиды является общим пределом последовательности объёмов ступенчатых многогранников при неограниченном увеличении количества составляющих призм:

21 limlim VVVnn

Значит, достаточно вычислить объём ступенчатой фигуры. 2 этап: Объём ступенчатой фигуры вычисляется как сумма

объёмов и подобных призм. 2 вариант психологически убедительней, но требует

дополнительного времени для формул суммы квадратов натуральных чисел.

Объёмы тел вращения при данном подходе определяются как пределы соответствующих последовательностей объёмов вписанных и описанных многогранников (призм и пирамид). Основную сложность в данном случае составляет вычисленные объёмы шара. Здесь приходится вводить формулу для объёма тела вращения через определённый интеграл.

Третий подход – вычисление объёмов тел с помощью определённого интеграла (уч. Атанасяна и Александрова).

1 Для объёма простого тела рассматривается общий подход:

V= b

аS (х) dx,

77

где S (х) – площадь сечения тела плоскости, перпендикулярной оси абсцисс.

2.) Объём наклонной призмы и пирамиды. 3.) Объёмы тел вращения.

Четвертый подход – через принцип Кавальери (итальянский математик 17 века, аббат монастыря). Две фигуры с равными высотами равновелики, если равны любые их сечения, приведённые параллельно основаниям на одинаковой высоте от них. Данный принцип принимается за дополнительную аксиому объёмов (для площадей и объёмов).

1ff =

1dd =

1SS

Для объёмов – аналогично. 1 вариант. Из принципа Кавальери напрямую следует лемма о

равновеликости пирамид, и таким образом, существенно облегчается вывод для объёма пирамиды; можно вычислить и объёмы тел вращения. В частности при выводе формулы Vшара рассматривается полушар и конус, вписанный в центр.

Площади сечений полушара и второй фигуры равны:

33

322..

......

1122

.

222..

34

3222

232

31

)..(

.

RRV

VVRRRRRVVV

SSКавальерипринципупоSS

нныйравнобедреВААктdRS

dRrS

ф

полушарашараконцф

шпффшп

ф

шп

2 вариант. Вычисление объёма пирамиды (Виленкин) а) Vкуба = 8 Н3

Vпир = 6

8 3Н = 34 Н3 = 4Н2

31 Н =

31 S Н

б) Берём произвольную пирамиду с площадью основания S и выстой Н. По принципу Кавальери объём 4-угольной правильной пирамиды и данной равны. Следовательно, формула верна для любой пирамиды.

Данный подход в настоящее время считается наиболее приемлемым в силу достаточной простоты (предельный переход уходит в доказательство принципа Кавальери).

Четвертый подход – формула Симпсона (Том Симпсон – английский математик 18 века).

Если в пространственной фигуре основания параллельны и площади сечений, параллельны основанию, удовлетворяют условию

78

S(х) = ах2 + вх + с, где S (х) – функция от расстояния между сечением и основанием фигуры, то объём фигуры может быть найден по формуле:

V = 6Н (Q0 + 4Qср + Q),

где Н – высота, Q0 и Q – площади оснований, Qср – площадь среднего сечения. Для конуса, пирамиды Q = 0, для шара Q0 =Q=0, а плоскость оснований считаются параллельными.

Доказательство формулы Симпсона достаточно громоздкое и,

как правило, опускают. (На основе интегральной формулы: V = в

а

Q

(х) dх (кв. ед.) (см. уч. Ю.М. Колягина). Достоинства метода – его универсальность, недостаток – формальное введения. Самостоятельное задание: Выписать формулы для сечений конуса, шара, пирамиды и цилиндра как функций от расстояния между сечением и основанием фигуры.

Sсеч. пир. = 2HS х2 , Sсеч.кон. = π 2

2

HR х2 , Sсеч ш. = (R2 – х2), Sсеч цил. = πR2.

5. Площадь поверхностей фигур вращения в школе могут

рассматриваться на различных уровнях строгости в зависимости от авторских установок и специфики контингента.

1. Общий подход по Минковскому (немецкий математик). Площадь произвольной выпуклой поверхности определяется таким

образом:

hVS h

h 2lim

0 , где Vh – объём фигуры Fh,

наглядно предоставляемый как двойной слой толщиной 2h, покрывающий с обеих сторон.

Далее на основе соответствующего определения вводились формулы для площади поверхности шара, конуса и цилиндра.

Данный подход был использован в ранних изданиях учебника Погорелова и не оправдал себя в силу формального характера и необходимости применения довольно изощренных оценок. (см. В. Дубровский Площадь поверхности по Минковскому – Квант 1979, № 4.)

2. Основан на идеи исчерпывания (уч. Киселёва, Погорелова (новое издание)).

79

Цилиндры и конусы «исчерпываются» призмами и пирамидами, а поверхность сферы рассматривается через поверхность, полученную при вращении ломаной, вписанной в большую полуось круга.

Тогда площадь этой поверхности будет равна пределу площади поверхности тела при неограниченном увеличении сторон ломаной.

По доказанной ранее лемме Sn = 2π АВ rn – для конуса, усечённого конуса, цилиндра и шара.

Для шара 20

422lim RRRSS nh

3. Основан на развёртках (уч. Атанасяна). При этом используется допущения о сохранении величин площади

при «развёртывании» поверхности вращения. Данный подход неприемлем для площади поверхности сферы, не имеющей плоской развёртки.

Однако, в некоторых учебниках (Погорелов) сделана попытка приближенного представления участков сферы в виде многоугольников, являющихся гранями многогранника, описанного около сферы.

4. Формальный подход. За площадь поверхности фигуры, полученной при вращении

вокруг оси ОХ графика функции у = f (х), имеющей на а, b непрерывную произвольную, принимается число:

S = 2 π в

а

f (х) 2(sin)1 dх

В учебнике А.В. Погорелова используется модификация подходов 2 и 3, взяв за основу идею исчерпывания шара пирамиды с вершиной в центре шара с последующим предельным переходом, соответствующим неограниченному уменьшению размеров граней многогранника, описанного около шара.

Vвпис. ш. Vмногогр. Vопис. ш.

34 πR3 .

31 S R

34 П (R+Е)3

площадь поверхности

4π R2 S `R

R 3)(4 , при ε 0

4π R2 S 4 π R2 Siшара = 4π R2

80

Задание для самостоятельной работы. Выписать систему аксиом для определения систем скалярных величин по А.Н. Колмагорову их учебного пособия (4).

Вопросы для самопроверки: 1. Перечислите основные скалярные геометрические величины,

изучаемые в школьном курсе. 2. Что такое величина? Какими свойствами обладает любая

скалярная величина? 3. В чём суть аксиоматического введения скалярных

геометрических величин и конструктивного? И какой путь является основным в школьном курсе?

4. Какую роль играет понятие равносоставленности в теории площадей и объектов?

5. Каковы основные цели изучения линии геометрических величин в школьном курсе?

6. Что известно учащимся о геометрических величинах из пропедевтического курса математики?

7. Каковы методические подходы к изучению длин отрезков в школьном курсе?

8. Какие 4 основных подхода можно выделить при изучении площадей в школьном курсе геометрии? Суть каждого из этих подходов?

9. Какие подходы используются в основной школе при изучении длины окружности и площади круга?

10. В чём суть метода исчерпывания при построении теории объёмов многогранников?

11. Интегральный подход к нахождению объёмов геометрических тел.

12. Нахождение объёмов с помощью принципа Кавальери и формулы Симпсона.

13. Каковы возможные подходы к построению теории площадей поверхностей тел вращения в школьном курсе? Литература: 4, 6, 7, 10, 14, 16, 17.

81

Раздел. Специальная (частная)

методика алгебры, алгебры и начал анализа

Государственный образовательный стандарт полной средней

школы определяет основные задачи курса алгебры (7-9 класс) и курса алгебры и начал анализа (10-11 класс):

«1. развитие представлений о числе и роли вычислений в практике; формирование практических навыков вычислений и вычислительной культуры;

7. формирование формально-оперативных алгебраических умений и применение их к решению математических и внематематических задач;

8. изучение элементарных функций и использование графических представлений для описания и анализа реальных зависимостей;

9. ознакомление с элементами дифференциального и интегрального исчисления как аппаратом исследования функций и решения прикладных задач;

10. формирование представлений обучаемых понятиях и методах как важнейших средств математического моделирования реальных процессов и явлений, о математике как элементе человеческой культуры, о ее применении в практике и научном познании;

11. развитие интеллектуальных и речевых умений». При любом изменении содержания школьного математического

образования в нем должно оставаться «ядро» из тех тем, без которых учащиеся не смогут получить представление о математике и ее методах. Совокупность таких тем составляет содержательно-методических линий школьного курса математики. Эти темы также выделяются стандартом математического образования.

В курсе алгебры, алгебры и начал анализа к ним относятся: «Числа и вычисления», «Выражения и их преобразования», «Уравнения и неравенства», «Функции».

Эти темы остаются неизменными а «изменяются» темы так называемой стохастической линии. Они могут вводится в содержание школьного курса или исключаться из нее. Это зависит от потребностей и динамично меняющихся условий современного общества.

Исходя из выше сказанного, в курсе лекций по теории и методике обучения математике раскрываются именно основные содержательные линии школьного курса математики.

82

Содержание выделенных линий курса невозможно изучить в пределах одного класса, одной темы, так как их изучение должно пройти несколько этапов:

- пропедевтический; - изучение основного содержания; - углубление, обобщение и систематизация изученного. При чтении лекций по основным содержательным линиям

реализуется схема: 6. проводится логико-математический анализ изучаемого

материала; 7. определяется место данного математического содержания в

школьной программе и учебниках; 8. определяются цели и задачи каждой содержательной линии; 9. выделяются основные типы математических задач и

обобщенные приемы их решения; 10. рассматриваются методы и приемы обучения, которые

можно использовать для изучения отдельных тем или разделов данной содержательно-методической линии.

Лекция 1. Развитие понятия числа в школьном курсе математики.

План лекции: V. Изучение числовых систем в школьном курсе математики,

место темы в программе. VI. Методика изучения натуральных и дробных чисел. VII. Методика изучения рациональных чисел. VIII. Некоторые вопросы изучения действительных чисел в

курсе средней школы. Содержание лекции

V. Дается краткий логико-математический анализ линии числа в школьном курсе. Особое внимание уделено сравнению последовательностей расширения понятия числа в научных курсах и в историческом аспекте. Исходя из целей изучения числовых систем в школьном курсе обосновывается использование одной из последовательностей в школе расширения понятия числа. Далее подробно анализируется программа с 1 по 11 классы. На примерах изучения конкретных числовых множеств показываются два пути введения нового числового множества.

Вводится общая методическая схема, используемая на любом этапе расширения понятия числа и показываются основные условия, влияющие на ее использование на разных возрастных этапах.

VI. Рассмотрение второго вопроса начинается с обзора знаний, умений и навыков с которыми в 5 класс приходят ученики после начальной школы. Затем выделяются сведения из раздела «Натуральные числа», которые необходимо переосмыслить и

83

обобщить в курсе 5 класса и более подробно рассматривается методика изучения вопросов «новых» для учащихся, относящихся к теме «Делимость натуральных чисел, а именно понятий делителя и кратного числа, НОК, НОД, признаков делимости чисел. Уделяется внимание практическим приложениям изучаемых вопросов. Заканчивая с учениками изучение натуральных чисел, учитель должен до четкого их понимания довести тот факт, что на множестве натуральных чисел (N) всегда выполнимы операции сравнения, сложения и умножения и они подчиняются определенным законам.

В курсе 5 класса ученики встречаются с первым расширением понятия числа. Следуя исторической схеме, множество натуральных чисел расширяется до множества положительных рациональных чисел, то есть появляются дробные числа (для краткости – дроби).

Необходимо показать студентам, что в пропедевтическом плане знакомство с дробными числами произошло в начальной школе. Выделяются же сведения о дробях, которые им известны.

Далее, используя метод целесообразных задач, решается одна методическая задача – показывается целесообразность расширения множества натуральных чисел. В отличии от начальной школы этот процесс связывается с невозможностью решения уравнения типа

bха (или невыполнимостью операции деления) на множестве натуральных чисел.

Затем рассматриваются возможные последовательности изучения обыкновенных и десятичных дробей, анализируются школьные учебники.

После введения понятия дробного числа переходим к методике изучения операций на множестве Q+, то есть раскрываем вторую методическую задачу – показать целесообразность изучения операций на множестве Q+ и ввести их. С введением операций сложения, вычитания, умножения и деления связано и изучение законов арифметических действий.

VII. Рассмотрение третьего вопроса лекций начинается с введения отрицательного числа. Целесообразность его введения можно показать двумя путями: формально-логическим (связать с невыполнимостью операции вычитания на множестве N) или реально-конкретным (рассматриваются величины, изменение которых проходит в двух противоположных направлениях.

Методика обучения – метод целесообразных задач. Затем показывается методика изучения операций на множестве Q и рассматриваются все законы арифметических действий.

VIII. Изучение множества действительных чисел начинается в курсе 8 класса с повторения всех сведений о рациональных числах, затем рассматривают две задачи: задачу, связанную с извлечением квадратного корня (х2=а), или задачу, связанную с измерением отрезков, выделяя случай несоизмеримости длины отрезка с

84

выбранной единицей измерения. Эти задачи приводят к появлению иррационального числа.

Далее отмечается, что строгая теория действительного числа в школьном курсе недоступна учащимся, поэтому изложение материала идет индуктивно, опираясь на предшествующие знания.

Заканчивая, среднюю школу, ученик должен уметь охарактеризовать известные ему числовые множества:

N – бесконечное упорядоченное, дискретное с начальным элементом и без конечного элемента. Замкнутое относительно операций сложения и умножения;

Z – бесконечное, упорядоченное, дискретное, без начального и конечного элементов. Замкнутое относительно операций сложения, вычитания, умножения;

Q – бесконечное, упорядоченное, без начального и конечного элементов, всюду плотное. Замкнутое относительно операций сложения, вычитания, умножения, деления;

R - бесконечное, упорядоченное, без начального и конечного элементов, плотное, непрерывное.

Закончить лекцию необходимо краткими сведениями об изучении комплексных чисел.

Вопросы для самопроверки: 13. Что вы понимаете под расширением понятия числа? 14. Цели изучения чисел и вычислений в школьном курсе? 15. Распределение материала по классам. В чем различие в

учебниках разных авторов? 16. В чем суть основных методических задач на каждом этапе

расширения понятия числа? 17. Перечислите сведения известные учащимся из курса

начальной школы о числах и операциях над ними. 18. В чем заключается преемственность в методике изучения

натуральных и дробных чисел между начальной школой и 5-6 классами?

19. Что вы можете сказать о порядке изучения обыкновенных и десятичных дробей?

20. Охарактеризуйте 2 подхода к введению отрицательного числа.

21. В чем заключается суть метода целесообразных задач? Показать его реализацию на примере введения любой операции на множестве целых чисел.

22. Основные подходы к введению иррационального числа? 23. Почему в школьном курсе нельзя дать строгую теорию

действительного числа? 24. Где, когда и как в школьном курсе проходит знакомство с

комплексными числами?

85

Лекция 2. Линия уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

План лекции: IX. Цели изучения уравнений и неравенств в школьном курсе.

Место темы в программе. X. Логико-математический анализ основного понятийного

аппарата темы. Различные трактовки понятия уравнения и неравенства в школьных учебниках.

XI. Основные этапы в изучении уравнений и неравенств. XII. Методика изучения уравнений и неравенств в 5-6 классах. XIII. Методика изучения уравнений, неравенств и их систем в

7-9 классах. XIV. Изучения вопросов равносильности уравнений,

неравенств и их систем в школьном курсе математики. XV. Изучение уравнений, неравенств и их систем в старших

классах (обзор материала). XVI. Решение текстовых задач в курсе алгебры 7-9 классов

(самостоятельное изучение по книге «Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики. /Составитель Мишин В.И.: М.: Просвещение, 1987 г. Стр. 137-151)

Содержание лекции: VIII. Материал линии уравнений и неравенств составляет

значительную часть школьного курса математики. Это определяет и цели их изучения:

6. через них проходит ознакомление учащихся с основами наук; 7. их решение способствует развитию логического мышления,

формирует и закрепляет вычислительные навыки; 8. они находят широкое применение при изучении многих тем

школьного курса математики; 9. они позволяют реализовать межпредметные связи; 10. уравнения и неравенства позволяют закрепить, углубить и

повторить пройденный материал. Используются при решении практических задач.

В изучении линии уравнений и неравенств можно выделить три основных направления ее развертывания в школьном курсе математики:

3) прикладная направленность – раскрывается при изучении алгебраического метода решения текстовых задач.

4) теоретико-математическая – раскрывается в двух аспектах: а) в изучении наиболее важных классов уравнений, неравенств и

их систем, б) в изучении обобщенных приемов и методов решений. Распределение изучения по классам определяется тематическим

планированием и выбранным учебником.

86

IX. Основной понятийный аппарат этой содержательной линии: понятие уравнения, неравенства, равносильность уравнений и неравенств, определение частных видов уравнений и неравенств.

Далее рассматриваются различные трактовки понятия уравнения и неравенства в научных курсах и как это влияло и влияет на их определения в школьных учебниках. Дается краткая историческая справка и останавливаемся на трактовке основных понятий в действующих учебниках.

X. Подробно изложены основные направления в изучении уравнений и неравенств на этапах:

4. пропедевтическом (начальная школа и курс математики 5-6 классов),

5. основном (курс алгебры 7-9 классов), 6. завершающем (курс алгебры и начал анализа 10-11 классов). Выделяются типы уравнений и неравенств на каждом этапе,

показывается на какие теоретические сведения опираются на каждом из этих этапов.

XI. Начинаем с повторения сведений из курса начальной школы, затем, используя игровые ситуации, метод целесообразных задач, подводим к определению понятия уравнения и соответствующих понятий. По мере появления отрицательных чисел в неявном виде начинаем использовать равносильные преобразования при решении уравнений. Решаются линейные уравнения с одной переменной.

XII. На основном этапе вводятся соответствующие термины: линейное уравнение с одной переменной, с двумя переменными и их системы. Рассматриваются приемы по созданию проблемных ситуаций на уроках при введении квадратных уравнений, рациональных уравнений, дробно-рациональных уравнений. По аналогии рассматриваются решение неравенств, начиная с 8 класса. Как итог рассматриваются суть алгебраического метода решения уравнений и неравенств и графического метода. При первом подходе, равносильные преобразования уравнений и неравенств к простейшим можно разделить на две группы:

3) общие для всех видов уравнений и неравенств – следствия из теорем о равносильности,

4) специальные, основанные на свойствах функций f(х) и g(х), если уравнение записано как f(х) = g(х).

Следовательно необходимо рассмотреть вопросы равносильности уравнений и неравенств.

XIII. К рассмотрению понятий равносильности уравнений и неравенств и их систем подходим по разному. Это зависит от определений уравнений и неравенств в школьном курсе. Если уравнение определялось как предложение с переменной, то и равносильность так же определялась через это родовое понятие. В

87

действующих учебниках уравнения называются равносильными, если они имеют одни и те же корни (аналогично неравенства). Далее формулируются три основных теоремы, позволяющие перейти от уравнения к равносильному и показывается как их смысл в школьных учебниках раскрывается через свойства равенств и неравенств. Используются конкретно-индуктивный путь изучения многих вопросов и метод целесообразных задач. Функциональный подход к обоснованию решения уравнений и неравенств рассматривается в 10-11 классах при решении иррациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений.

XIV. В этой лекции более подробно рассматривается методика изучения иррациональных уравнений и их систем, даются основные методы решения. Подробнее останавливаются на решении уравнений степени выше второй, отрабатываются метод интегралов. Изучение показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений и неравенств более подробно рассматривается при изучении соответствующих функций. Закончить лекцию можно таблицей классификации уравнений и неравенств в связи с классификацией выражений и классификацией функций.

Таблица

Уравнения и неравенства с переменной

алгебраические

целые

линейные

квадратные

высших степеней

дробные

иррациональные

показательные

логарифмические



88

Вопросы для самопроверки: 16. Раскрыть цели изучения уравнений и неравенств в средней

школе. 17. Что влияло на подходы в определении уравнений и

неравенств в школьных учебниках? 18. Какие этапы можно выделить в изучении уравнений и

неравенств? 19. Что лежит в основе решения уравнений в начальной школе и

в 5 классе? В 6 классе? 20. Как определяется понятие уравнения в 5 классе и в 7 классе? 21. Какие виды уравнений изучаются в алгебре 7-9 классов? В

10-11 классах? 22. Что общего в методике изучения линейных уравнений и

квадратных уравнений. 23. Перечислите свойства числовых неравенств, изучаемых в 8

классе? 24. Как можно создать проблемную ситуацию при введении

способа решения линейного уравнения с двумя переменными? 25. Какие способы решения систем уравнений изучаются в

школе? 26. Какие подходы Вы можете изложить при рассмотрении

равносильности уравнений и неравенств в 5-9 классах и в 10-11 классах?

27. Почему метод интервалов изучается после изучения квадратичной функции?

28. В чем отличие графического способа решения неравенств от графической иллюстрации решения неравенств и их систем?

29. Что лежит в основе решения дробно-рациональных уравнений в школе?

30. Почему решение показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений и неравенств в основном рассматривают в 10-11 классах?

Лекция 3. Функциональная линия в курсе математики

основной школы. План лекции:

VI. Логико-математический анализ функциональной линии. VII. Место функций в программе. Этапы в изучении функций

в средней школе. VIII. Функциональная пропедевтика в 5-6 классах.

89

IX. Методика введения понятия функций в 7 классе. Область определения и область значения функций.

X. Изучение элементарных функций: линейной, квадратичной, степенной в 7-9 классах.

Содержание лекции:

VII. Основным понятием функциональной линии является понятие функции, которое Ф. Клейн считал центральным понятием всей математики. Затем остановиться на различных подходах к определению функции и связать их с «изменением» этого определения в курсе математики средней школы. С понятием функции связана система понятий: область определения, область значения, графика функции и других. Уже к XVII веку были достаточно хорошо изучены так называемые элементарные функции – класс функций, включающий в себя многочлены и рациональные функции, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.

Их изучением и занимаются в школьном курсе математики. VIII. Охарактеризовать цели изучения функций в школе.

Выделяют следующие этапы в изучении функций: 4. пропедевтический (5-6 классы), 5. основной – изучения понятия функции и изучение

элементарных функций, когда исследование проводится элементарными средствами (7-10 классы),

6. завершающий – исследование функций проводится с помощью производной (10-11 классы).

Распределение по классам дает тематическое планирование программы и соответствующий учебник, выбранный учителем.

IX. Подготовительная работа на первом этапе заключается в рассмотрении зависимостей величин и результатов действий от изменения компонентов. Этот материал входит во все темы 5-6 классов, где рассматриваются выражения, содержащие буквы.

Рассматривается прямоугольная система координат, координаты точки, примеры графиков.

X. В курсе 7 класса вводят через систему целесообразных задач основной понятийный аппарат и способы задания функций. В 8 и 9 классах при рассмотрении конкретных функций вводят понятия, связанные с исследованием функции: возрастание, убывание и так далее. В курсе 9 класса, а затем в 10 классе уточняется понятие числовой функции.

XI. Изучение линейной функции у=кх+b и функции у=х2 проходит по единому плану: рассматриваются конкретные задачи, подводящие к функциональной зависимости, выраженной определенной формулой (мотивация) и вводят определение. По точкам строят график этой функции и из графика получают свойства

90

функции. Заканчивается изучение решением практических задач на применение свойств изучаемой функции. Подробно остановиться на изучении функции у=кх+b, затем рассмотреть частный случай у=кх+b

и сравнивая зависимости у=кх+b и хку рассмотреть функцию

ху 1 .

По аналогии на практическом занятии рассмотреть изучение функций у=ах2.

XII. Функцию 2ху ( 0х ). В курсе 9 класса обобщаются все сведения об изученных

функциях, дается, через их рассмотрение, схема исследования функции элементарными способами.

Изучение показательных, логарифмических и тригонометрических функций отнесено к курсу «Алгебры и начал анализа». Этому посвящены следующие лекции.


11. Перечислите цели изучения функций в средней школе? 12. В чем сходство и различие в «традиционном» и

«современном» подходе к понятию функции? 13. Какие видоизменения претерпело понятие функции в школе?

Дайте определение функции в школе? Дайте определение этого понятия в действующих учебниках.

14. Охарактеризуйте три основных этапа в изучении функций. 15. Что общего в подходе к изучению функций

хухухуbкху , , , 32 в основной школе? 16. Почему курс алгебры 9 класса можно считать одним из

значимых этапов в изучении функций? 17. Почему функциональная линия в школьном курсе

«связывает», объединяет другие основные линии школьного курса? 18. В чем заключается необходимость III этапа в изучении

функций? 19. Какие функции изучаются в курсе алгебры и начал анализа? 20. В чем Вы видите реализацию межпредметных связей при

изучении функций?

Лекция 4. Методика изучения производной и ее приложений. Изучение первообразной и интеграла в школьном

курсе математики. План.

91

7. Пропедевтика понятия производной. 8. Методика введения понятия производной. 9. Приложения производной. 10. Различные подходы к изложению теории интегралов в школе. 11. Методика введения понятий первообразная и интеграла. 12. Применение интегралов к решению задач.

Содержание лекции

4. Приступая к изучению понятия производной, целесообразно:

а) повторить все вопросы, связанные с линейной функцией и элементарными функциями, так как основная идея дифференциального исчисления – представление о функции как о линейной в достаточно малой окрестности некоторой точки; б) отработать такие понятия как приращение функции и приращение аргумента. Это понятие иллюстрируется с помощью графиков функций; в) важно не просто ввести понятие приращения, но выработать у учащихся твердые навыки в их нахождении, с этой целью можно предложить учащимся ряд задач по нарастанию трудности; г) выяснить геометрический смысл отношение приращения функции к приращению аргумента, ввести понятие касательной к кривой как предельного положения секущей. После того как эти понятия отработаны. Переходят к введению понятия производной.

5. В предыдущих учебных пособиях введение этого понятия начинали с решения задач физического содержания и необоснованно отрывали геометрический смысл от производной. Лучший вариант – это рассмотреть задачу о мгновенной скорости, о геометрическом смысле производной именно на этапе введения производной. Затем, на следующем уровне, обобщая способы решения этих задач, обратим внимание на то, что этим способом решается ряд других задач в физике, технике: о теплоемкости тела при данной температуре, о мгновенной величине силы тока в данный момент времени и др.

Введение понятия производной необходимо связать с основной проблемой дифференциального исчисления – проблемой исследования процесса изменения функции.

Также необходимо знание правил, позволяющих этот процесс облегчить. В виде теорем рассматриваются производная суммы двух функций, производная, частного и степенной функции (последняя – без доказательства.

6. Вопросы приложения производной в школе оправдано лишь в том случае, если оно применяется. Основные направления применения: к решению задач на отыскание наименьшего и

92

наибольшего значения функции на интервале, к исследованию функций, к решению физических задач, к приближенным вычислениям, к построению касательной.

Перед введением геометрического смысла производной необходимо повторить материал: линейная функция, ее угловой коэффициент, понятие производной, рассмотренные ранее задачи о мгновенной скорости, о касательной к графику функции. Эти задачи позволяют убедится в значимости нового понятия – производной, а перед рассмотрением ее геометрического смысла – выполняют и новую дидактическую функцию – являются средством подготовки учащихся к новому осознанию понятия производная.

Методика изучения применения производной к исследованию функций.

Этот раздел имеет большое значение для многих классов функций, реализует межпредметные связи. Но он вызывает и ряд трудностей. Необходимо выбрать минимум материала. В различных учебниках имеются различные подходы к изложению этого материала, но стремление единое – найти приемы изложения, которые сводили бы недосказанные факты к минимуму. Таким материалом, в частности, является теорема Лагранжа.

Изложение вопросов связанных с исследованием функции на экстремум обычно начинают с доказательства достаточных признаков возрастания и убывания функций, затем теоремы Ферма (необходимое условие существования экстремума), затем достаточные условия существования экстремума, общая схема исследования функций и задачи на наибольшее и наименьшее значения функции на интервале.

Перед изучением этих вопросов целесообразно повторить понятие возрастающей и убывающей функций, определение производной, ее геометрический смысл, понятие касательной, угловой коэффициент, условие параллельности прямых, графики известных функций.

Кроме того, ученик должен иметь представление о непрерывных функциях.

Начальные сведения об интегральном исчислении вводятся в 11 классе в курсе алгебры и начал анализа» в теме «Первообразная и интеграл».

1. Роль этой темы: Вместе с дифференциальным исчислением интегральное делает школьный курс логически стройным, шире, и глубже раскрывает значение математики для изучения других наук, способствует формированию у школьников диалектико-материалистического мировоззрения, облегчает изучение некоторых вопросов физики, геометрии.

Интегральное исчисление повышает научный уровень всего курса, помогает привести его по возможности в соответствие с

93

современным состоянием науки, повышает математическую культуру выпускников школы.

Цель изучения данной темы – познакомить учащихся с интегрированием как операцией, обратной дифференцированию, показать применение интеграла к решению геометрических задач.

Данная тема включает в себя следующие вопросы: первообразная, основное свойство первообразной, три правила нахождения первообразных, площадь криволинейной трапеции, интеграл, формула Ньютона – Лейбница, применение интеграла.

2. В учебно-методической литературе наметились два основных способа построении теории интегралов:

I подход. На основе решения конкретных задач вводятся понятия интегральной суммы и определенного интеграла, рассматриваются некоторые его свойства и теорема существования. Далее доказывается, что производная определенного интеграла с переменным верхним пределом равна значению подинтегральной функции от верхнего предела. Вводится понятие первообразной, неопределенного интеграла и получают формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла. Заканчивают изложение применением интегрального исчисления к решению задач.

II подход. Сначала вводят понятие первообразной функции, неопределенного интеграла, изучаются его свойства и теоремы существования (без доказательства), устанавливают связь первообразной с площадью под графиком функции. Затем вводят понятие определенного интеграла (или как предела интегральных сумм, или как приращения первообразной), в конце – применение интеграла.

Школьный вариант расположен между ними, но ближе ко II подходу.

Достоинства I подхода – всестороннее выяснение идейного смысла определенного интеграла. Вначале изучения интегрального исчисления при решении различных задач учащиеся овладевают искусством перехода от равномерных процессов к неравномерным, составлением интегральных сумм, перехода от нее к интегралу.

Недостатки: Неоправданно большой разрыв во времени между введением понятия интеграла и его вычислением. Учащиеся сначала изучают задачи, приводящие к понятию интеграла, его свойства, только в конце темы занимаются непосредственным интегрированием. Это приводит к тому, что у них теряется интерес к изучению теории, а это влияет на отработку навыков решения задач.

Достоинства II подхода: 1) Ранее ознакомление школьников с основной задачей интегрального исчисления – нахождением по данной функции f (х) ее первообразной F(х) и овладение аппаратом для решения. 2) Обеспечение возможности вычислять интегралы, следовательно, прививать им навыки интегрирования в ходе изучения

94

темы. 3) Результатом является лучшая подготовленность к решению задач геометрии и физики.

Недостатки: Определение определенного интеграла как приращения первообразной не позволяет полно раскрыть идейную сторону.

3. Перед изучением темы в 11 классе необходимо повторить предел функции, непрерывность и производную, физический и геометрический смысл производной. Целесообразно обратиться к таблице, в которой записаны функции и их производные, чтобы воспользоваться ею для отыскания функции, производная которой задана. Изучение новой темы можно начать с решения конкретных задач, в которых показывается, что произвольная постоянная имеет реальный смысл, учащиеся подводятся к определению первообразной, заполняется таблица первообразных. На первых порах правильность решения проверяется дифференцированием. Затем изучают основное свойство первообразной. Рассматриваются три правила нахождения первообразных, которые легко доказываются, опираясь на определение первообразной.

Следующим важным вопросом в данной теме является понятие криволинейной трапеции и нахождение ее площади. Перед его рассмотрением необходимо вспомнить все о площадях из геометрии и поставить проблему, как можно найти площадь произвольной фигуры Ф. Этот вопрос решается двояко: 1. Доказывается теорема о площади криволинейной трапеции: сначала вводится функция, затем доказывается, что она является первообразной. 2) Второй подход к нахождению площади криволинейной трапеции, образованный графиком непрерывной и неотрицательной функции и прямыми.

4. Применение интегралов рассматриваются при решении задач: на нахождение площади плоской фигуры; на вычисление пройденного пути за данный промежуток времени, на нахождение силы давления жидкости, работы переменной силы, на нахождение объемов тел.

Наиболее трудным является вопрос об объеме пирамиды. Возможны различные варианты: 1) по учебнику А.В. Погорелова сначала доказываем равновеликость треугольных пирамид с равновеликими основаниями и равными высотами, затем доказываем, что наклонная треугольная призма состоит из трех равновеликих пирамид. В учебнике Киселева А.П. подход аналогичен «Погореловскому» но при этом еще показывается, что за объем пирамиды принимается число, которое больше суммы объемов входящих призм и меньше суммы объемов выходящих призм. В учебном пособии Н.А. Глаголева – находится предел последовательности сумм объемов входящих призм при бесконечном возрастании их числа, этот предел и принимают за объем пирамиды. 2) изложение этого вопроса с использованием интегрального исчисления. Этот подход можно использовать и при выводе объема

95

пирамиды, считая, что объем пирамиды существует и нужно доказать, что он является первообразной для функции S(х). Методическая особенность такого подхода состоит в том, что вывод объема пирамиды является базовым доказательством, оно обслуживает и объемы фигур вращения.

Как указывалось выше, ряд тем вынесено на самостоятельное

изучение. Для ориентации студентов дается подробный план их изучения.

Тема 1. Тождественные преобразования в курсе математики

средней школы. План изучения:

14. Тождественные преобразования выражений – одна из основных линий школьного курса математики. Цели их изучения.

15. Основной понятийный аппарат. Логико-математический анализ.

16. Место выражений и их преобразований в школьной программе.

17. Методические особенности изучения преобразований числовых выражений в 5-6 классах.

18. Пропедевтика изучения алгебраических целых выражений в 5-6 классах.

19. Методика введения основных понятий в алгебре 7 класса. 20. Методика изучения преобразований целых алгебраических

выражений. Что лежит в их основе? 21. Методика изучения преобразований дробно-рациональных

выражений. 22. Изучение преобразований выражений, содержащих

радикалы. На чем основаны эти преобразования? 23. Методика изучения преобразований выражений, содержащих

тригонометрические функции. 24. Методика изучения преобразований выражений, содержащих

логарифмы. 25. Основные типы упражнений при изучении преобразований

алгебраических выражений. 26. Привести примеры использования тождественных

преобразований выражений при решении уравнений, неравенств, при изучении функций.

Тема 2. Тригонометрические функции и методика их

изучения. 9. Логико-математический анализ основных понятий.

96

10. Цели изучения тригонометрических функций в средней школе. Роль и место в школьной программе.

11. Сравнительный анализ действующих школьных учебников. 12. Различные подходы в изучении тригонометрических

функций. 13. Методика изучения основных понятий в курсе геометрии. 14. Изучение тригонометрических функций в курсе 9 класса

алгебры. 15. Методика изучения тригонометрических функций и их

свойств в курсе алгебры и начал анализа в 10 классе. 16. Применение свойств тригонометрических функций к

решению тригонометрических уравнений и неравенств.

Материалы для проведения лабораторных занятий по теории и методике обучения математике

Раздел. Общая методика.

Занятие 1. Цели обучения математике. Содержание, анализ программ и учебников. Госстандарт.

Цели изучения темы: Проанализировать программу средней школы по математике, охарактеризовать цели и содержание курса математики. Познакомить студентов с комплектом учебников по математике, рекомендованных Федеральным агентством по образованию, с госстандартом, методической литературой, используемой учителями.

Теоретическая часть. 1. Какими государственными документами определяется

содержание и уровень математической подготовки школьников? 2. Охарактеризуйте структуру программы по математике. 3. Что представляет собой госстандарт?

Практическая часть. 1. Каковы цели обучения математике в школе? Соотнесите цели

обучения математике на определенной ступени (например, в 5-6, в 7-9, в 10-11 классах) с общими целями обучения математике в средней школе, сформулированными в объяснительной записке программы.

2. Проанализируйте разделы «Содержание обучения», «Требования к математической подготовке учащихся». Соотнесите их с содержанием и предлагающимися системами упражнений соответствующих учебников. (Задания выполняются по вариантам для различных ступеней обучения).

97

3. Сравните структуру, содержание различных учебников для определенной ступени: учебников математики для 5-6 классов, учебников алгебры для 7-9 классов, алгебры и начал анализа для 10-11 классов; геометрии для 7-9, 10-11 классов. (Задание выполняется по вариантам).

4. Сравните тематическое планирование по одной и той же теме в общеобразовательном курсе и курсах А и В. Сделайте выводы.

5. Познакомьтесь с методическими пособиями для учителя, с журналами «Математика в школе». Чем, на Ваш взгляд, они помогают учителю?

Занятие 2. Математические предложения. Методика изучения

аксиом и теорем, обучение доказательству теорем. Цели изучения темы: Познакомить студентов с общим приемом

выполнения логико-математического анализа математических предложений, раскрыть этапы изучения теорем.

Теоретическая часть. 1. Что называют теоремой? Аксиомой? 2. Какую структуру может иметь формулировка теоремы? 3. Виды теорем. Приведите примеры. Существует ли какая либо

зависимость между их истинностью? 4. Какие виды доказательства Вы знаете? 5. Какие подходы к введению теорем на уроке существуют?

Охарактеризуйте их. 6. Перечислите основные этапы изучения теорем.

Практическая часть. 1. Студентам предлагается определить, какую структуру имеют

перечисленные ниже теоремы, изобразить схематически структуру каждой из теорем (если нужно, осуществите переход от формулировки теоремы в категоричной форме и формулировке в импликативной форме). а) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. б) Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного

треугольника равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то какие треугольники равны.

в) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

г) Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов 1800, то прямые параллельны.

д) Диагонали прямоугольника равны. е) Сумма смежных углов равна 1800. ж) Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их

полусумме. з) Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны

двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

98

2. Группа разбивается на две подгруппы, каждой из которых дается задание сформулировать утверждение обратное, противоположное и противоположное обратному для следующих теорем.

1 подгруппа 2 подгруппа В равнобедренном треугольнике Сумма смежных

углов углы при основании равны равна 1800. На эквивалентности каких теорем основывается метод

доказательства теорем от противного? 3. Провести анализ доказательства (какой способ доказательства

используется в учебнике, сколько различных случаев рассматривается, на какие теоремы и аксиомы опирается доказательство) одной из теорем, формулировка которых анализировалась в первом задании, например, теоремы о средней линии трапеции.

4. На основе проведенного логико-математического анализа, разработать методику работы над теоремой о средней линии трапеции, обосновав выбор генетического либо догматического подхода к введению теоремы; опишите подробно каждый из этапов изучения теоремы.

5. Выберите одну из аксиом планиметрии. Продумайте, какую работу можно провести для «открытия» содержания аксиомы.

Занятие 3. Методика обучения решению сюжетных задач. Цели изучения темы. Познакомиться с функциями задач в

обучении математике; с основными этапами решения сюжетной задачи особенностями методики работы на каждом этапе.

Теоретическая часть. 1. Что понимают под задачей? 2. Каковы функции задач в обучении математике? 3. Какова структура любой задачи? 4. Перечислите этапы решения задачи. 5. Вспомните, чем характеризуется систематический и

аналитический способ поиска решения задачи. Практическая часть. 1. Проанализируйте систему задач к п.10 «Уравнение» (М – 5).

Определите, какую функцию выполняет каждая из этих задач.

2. Приведите примеры задач, для решения которых используется алгоритмический метод.

3. Какие эвристики чаще всего используются при поиске решения задач? Приведите примеры.

4. Задача (№1179, М – 5). Два поезда вышли в разное время навстречу друг другу из двух городов, расстояние между

99

которыми 782 км. Скорость первого поезда 52 км/ч, а второго 61 км/ч. Пройдя 416 км, первый поезд встретился со вторым. На сколько один из поездов вышел раньше другого? Продумайте методику работы над этой задачей

(ознакомление учащихся с содержанием задачи, поиск решения, оформление решения, проверка решения).

Задание выполняется по вариантам. I вариант – организовать поиск решения задачи

арифметическим способом (используя анализ, синтез) II вариант – организовать поиск решения алгебраическим

способом. После выполнения задания, студентам предлагается

сравнить способы поиска и решения задачи. Обращается внимание на краткую запись условия задачи, запись решения задачи. 5. Составьте и решите задачу, обратную данной, позволяющую

сделать проверку решения исходной. 6. Попробуйте по краткой записи условия задачи восстановить

ее формулировку: Цена Кол-во Стоимость

Ручки ? 3 Кисточки ? на 50 к.< 1

7. Оформите краткое условие 5 задач из учебников 5-6 классов

различными способами, которые Вы считаете наиболее удачными.

8. Подберите задачи, для поиска решения которых целесообразно использовать следующие приемы: а) переформулировка условия задачи; б) выделение подзадач либо решение серии вспомогательных задач.

Занятие 4. Сетевые технологии в обучении математике. Цели изучения темы: что такое услуга в применении к сетевым

технологиям; какие услуги в области математического образования может получить школьник, подключенный к Интернет; какую пользу могут извлечь из этих услуг школьные учителя; познакомитесь с основными видами ресурсов сети Интернет, которые могут оказаться полезными в образовательном процессе; узнаете об основных перспективах развития этой глобальной сети.

Литература: [3], [4], [5], [6], [9], [18], [19]. Теоретическая часть. В результате современного этапа развития сетевых технологий

возникло единое информационное пространство, объединенная компьютерными телекоммуникациями (КТК) (не в смысле

100

географической близости, а в смысле близости понятийной, содержательной, культурной). В этом смысле «пространством» может быть вся область той или иной дисциплины и, говоря шире, содержательных интеракций, взаимодействий, проектов, несущих как чисто научный, так и общекультурный потенциал. На уроках математики возникает возможность узнать массу новых математических фактов, задать вопросы учебно-познавательного характера и быстро получить корректные ответы на них.

Практическая часть. 1. Что такое услуга в приложении к сетевым технологиям? 2. Какие основные виды услуг оказывает Интернет учителям и

школьникам в содержательной области курса математики? 3. Какую пользу из этих услуг может извлечь школьный учитель

математики? 4. Как вы представляете для себя возможность использования

информационных ресурсов сети для подготовки проекта по курсу математики?

5. Каким образом происходит поиск нужной информации в сети Интернет?

6. Что такое гипертекст и как можно использовать возможности этой технологии при обучении математике: при работе над проектом, при подготовке и структурировании материалов «Портфеля ученика»?

Занятие 5. Компьютерные математические проекты: организация и проведение.

Цели изучения темы: Каковы основные подходы к организации компьютерных проектов; c чего при этом следует начать; на что надо обратить внимание при проведении занятий для школьников; как можно облегчить работу учащихся и учителей по поиску необходимой информации в Интернет при подготовке и реализации проекта.

Литература: [1], [8], [10], [12], [13], [14], [15], [16], [17]. Теоретическая часть. Расширение контактов во всех областях человеческой

деятельности, более свободный доступ к учебной информации, стремительное развитие компьютерных технологий образовательного назначения создают принципиально новые условия для сферы математического образования. Работа с информационными массивами, умение найти необходимую информацию, грамотно ее проанализировать и использовать в разнообразных целях познания все это, как уже неоднократно упоминалось выше, становится одним из основных видов самостоятельной познавательной деятельности учащихся при обучении математике.

Практическая часть.

101

1. С чего следует начинать организацию компьютерных проектов при обучении математике?

2. Какие вопросы необходимо обсудить при реализации компьютерных математических проектов?

3. Как целесообразно распределить обязанности для успешной организации компьютерных проектов в процессе обучения математике?

4. Стоит ли организовать локальную поисковую систему в помощь учащимся и учителям в ходе реализации учебной математической деятельности?

Творческое задание Найдите в Интернет с помощью поисковой системы несколько

проблем для участия в компьютерных проектах в рамках школьного математического содержания. Чем вас заинтересовали эти проекты? Список литературы (информационные технологии):

1. Беспалько В.П. Слагаемые педагогической технологии. - М., 1989.

2. Гершунский Б.С. Философия образования. – М., 1998. 3. Гершунский Б.С. Россия и США на пороге третьего

тысячелетия. - М.,1999. 4. Интернет в гуманитарном образовании/ Под ред. Е.С. Полат.

- М., 2000. 5. Леонтьев А.А. Психология общения. – М., 1997. 6. Материалы IX Международной конференции

«Информационные технологии» (9-12 ноября 1999 г.). – М., 1999.

7. 12-летняя школа. Проблемы и перспективы развития общего среднего образования / Под ред. В.С. Леднева, Ю. И. Дика, А.В. Хуторского. – М., 1999.

8. Леднев В.С. Содержание общего среднего образования. Проблемы структуры. – М., 1990

9. Моисеева М.В. Введение в компьютерные коммуникации // Информатика и образование, 1993, №4.

10. Новые педагогические информационные технологии в системе образования / Под ред. Е.С. Полат. – М., 1999

11. Полат Е.С. Некоторые концептуальные положения организации дистанционного обучения иностранному языку на базе компьютерных телекоммуникаций / Иностранные языки в школе, 1998, №5,6.

12. Полат Е.С. Типология телекоммуникационных проектов // Наука и школа, 1997, №4.

13. Полат Е.С. Педагогические технологии XXI века // Современные проблемы образования. – Тула, 1997.

102

14. Полат Е.С., Петров А.Е. Дистанционное обучение. Каким ему быть? // Педагогика, 1999, №7.

15. Полат Е.С. Обучение в сотрудничестве на уроках иностранного языка // Иностранные языки в школе, 2000, № 1.

16. Полат Е.С. Метод проектов на уроках иностранного языка // Иностранные языки в школе, 2000, № 2,3.

17. Современная гимназия: взгляд теоретика и практика – М., 2000.

18. Тихонов М.Ю. Информационное общество: Философские проблемы управления наукой и образованием. – М., 1998.

19. Хоффман Пол Е. Internet. Краткий справочник. – М., 1995.

Раздел. Частная методика. Методика математики 5-6 классов, алгебры 7-9

классов, алгебры и начал анализа 10-11 классов (10 ч.)

Занятие 1. Методика изучения функций в курсе алгебры 7-9 классов.

Цели изучения темы: определить содержание раздела о функциях на основе его общеобразовательной значимости; выявить состав функциональных понятий по курсу математики основной школы; рассмотреть некоторые методические особенности изучения раздела; наметить возможные пути формирования графической культуры учащихся.

Литература: [4], [5], [7], [8], [9], [10]. План. 1. Проверка домашнего задания: система вопросов и

упражнений, направленных на обобщение и систематизацию знаний учащихся о неравенствах (в конце 9 класса)

2. Выполнение и проверка задания: 1)Сравнить учебники двух авторов (Алимова и Теляковского),

рассмотрев порядок изучения темы «Функции», сопоставив основной понятийный аппарат этой темы. Выписать основные функциональные понятия (7-9кл.)

2) продумать фрагмент урока по введению понятия графика функции в 7 классе. Продумать использование на уроке средств наглядности (учебник под ред. Теляковского).

3. Задания на дом: 1) подготовить сообщение об истории возникновения понятия

функция и причинах его эволюции. Методически обработать сообщение (продумать, когда и как ее следует дать).

103

2). Составить систему задач для формирования обобщенных приемов построения и чтения графиков функций по следующему плану:

а) задачи на установление наименования функции по формуле, задающей конкретную функцию;

б) задачи на графическое изображение свойств функции, заданной словесно;

в) задачи на выявление вида графиков конкретных функций, заданных формулами;

г) задачи на установление формулы, задающей функцию, по ее графику: узнавание по графику функции свойства этой функции (данного словесно или графически);

д) задачи на построение графиков функций и чтение построенных графиков;

е) задачи на графическое решение уравнений и неравенств; ж) задачи на нахождение аналитического задания функции по ее

графику; з) выявить возможные затруднения учащихся при изучении

темы и наметить пути их устранения. 3) по учебникам А.Г. Мордковича подготовить тему «Функции»

(понятийный и содержательный аппарат) Занятие 2. Изучение неравенств в школьном курсе математики.

Цели изучения темы: выделить теоретические основы при изучении неравенств и связь этого раздела с остальным содержанием курса математики; рассмотреть методические особенности изучения неравенств на различных этапах обучения; рассмотреть различные методы решения неравенств в школе.

Литература: [4], [5]. План. 1. Анализ контрольной работы. 2. Выполнение и проверка заданий: 1) Показать, как расширяются сведения о неравенствах у

учащихся 7-9 классов 2) В чем состоит разница между графическим решением

неравенств и их систем и графическим истолкованием решения неравенств и их систем?

3) С какого класса учащиеся начинают применять графическую иллюстрацию (графическое истолкование) решения неравенств и их систем, а с какого класса – графический способ решения неравенств и их систем?

Сравнительный анализ этих вопросов по учебникам двух авторов.

4) Как при изучении свойств числовых неравенств можно использовать аналогию со свойствами равенств?

104

3. Задания на дом: 1) по теории – «метод интервалов по учебникам Теляковского и

Алимова». 2) На примере конкретного неравенства вида ax2+bx+c>0 найти

не менее 4 способов его решения аналитическим и графическими методами.

Индивидуальные задания: 1) доклад по статье «Числовые неравенства и их свойства» из

журнала «Математика в школе», 2002, №7; 3) доклад по статье «Урок – применение свойств линейных

неравенств с одной переменной» из журнала «Математика в школе», 2002, №7.

Занятие 3. Методика изучения тригонометрических функций.

Цели изучения темы: определить цели изучения тригонометрических функций в 10 классе, содержание учебного материала, связанного с изучением тригонометрических функций в курсе алгебры и начал анализа; рассмотреть различные методические аспекты изучения тригонометрических функций в 10 классе; изучить возможности применения свойств тригонометрических функций для решения уравнений, неравенств, задач.

Литература: [1], [2], [3]. План. 1. Вопросы и задания для обсуждения в аудитории: 1) Провести сравнительный анализ учебников по

местоположению и порядку изложения отдельных вопросов данного раздела в курсе алгебры и начал анализа 10-11 классов. Выделить основные содержательные линии в разделе. В чем состоит различие при введении понятий синуса и косинуса в алгебре и геометрии?

2) Используя учебник Колмогорова, провести методический анализ темы «Тригонометрические функции» по следующему плану:

а) содержание темы; б) роль темы в школьном курсе, ее внутрипредметные и

межпредметные связи; в) возможности использования технических и аудиовизуальных

средств обучения; г) наиболее трудные места в данной теме, на которые

необходимо обратить внимание с целью предупреждения возможных ошибок учащихся.

3) Разработать методику обучения решению тригонометрических уравнений и неравенств с помощью: а) единичной окружности; б) графиков тригонометрических функции; в) формул решения простейших тригонометрических уравнений.

105

4) Составить таблицу, отображающую ход исследования тригонометрических функций. Продумать, как можно использовать данную таблицу в учебном процессе.

2. Вопросы и задания для самостоятельного выполнения дома: 1) Подготовить методическую разработку по введению понятия

тригонометрических функций числового аргумента (на примере функций у=соs х, у=tg x, y=ctg x).

2) Выделить основные способы решения тригонометрических уравнений (с примерами). Выяснить, какие из них рассматриваются в школьном курсе?

3) Провести методический анализ темы «Тригонометрические функции» по учебнику Мордковича.

4) Провести методический анализ темы «Тригонометрические функции» по учебнику Виленкина.

Занятие 3. Методика изучения показательной и

логарифмической функций. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства.

Цели изучения темы: определить цели изучения логарифмической и показательной функций в школе, содержание учебного материала, связанного с изучением показательной и логарифмической функций в курсе алгебры и начал анализа; рассмотреть различные методические аспекты изучения функций; определить основные типы логарифмических и показательных уравнений и неравенств и изучить возможности применения свойств логарифмической и показательной функции для решения этих уравнений и неравенств.

Литература: [1], [2], [3], [4], [5]. План. 1. Проверка домашнего задания. 2. Вопросы и задания для обсуждения в аудитории: 1) Выделить основные типы показательных уравнений и

неравенств и способы их решения. Какие из них рассматриваются в школьном курсе? Обратить особое внимание на решение показательно-степенных уравнений.

2. Вопросы и задания для обсуждения в аудитории: 1) Провести сравнительный анализ учебников по теме

«Логарифмическая функция, решение логарифмических уравнений и неравенств».

Выделить основные содержательные линии в данной теме. Как расположен данный материал по отношению к теме

«Показательная функция, решение показательных уравнений и неравенств» в учебниках разных авторских коллективов?

В чем проявляется аналогия между рассматриваемыми темами?

106

2) Разработать методику одновременного изучения свойств показательной и логарифмической функций.

3) Проанализировать по учебникам решение логарифмических и показательных неравенств. В чем состоит сходство и принципиальное отличие в решении данных видов неравенств?

Необходимо ли обучать учащихся нахождению ОДЗ при решении логарифмических уравнений? С какой целью это можно делать?

4) Продумать методику решения логарифмических неравенств по аналогии с решением показательных неравенств.

5) Сравнить методику вывода формул вычисления производной логарифмической и показательной функций по различным учебникам. В чем состоит сходство и отличие? Чем это вызвано?

3. Вопросы и задания для самостоятельного выполнения дома: 1) Оформить решение следующих заданий: а) найти область определения функции:

2)86(log)( 2)5( xxxf x ;

б) найти область значений функции: 3

47)4(log(log)(

44

25,0

xxy .

2) Провести методический анализ темы «Предел и непрерывность функций» по учебникам Колмогорова, Башмакова, Мордковича, используя известную схему.

3) Разработать методику введения понятия непрерывности функции с использованием плакатов, изображающих различные виды функций. Где и как можно использовать эти плакаты в дальнейшем?

3. Вопросы и задания для самостоятельного выполнения дома: 1) Разработать на конкретных примерах методику решения

показательных неравенств: а) графическим способом; б) заменой и сведением к квадратичным неравенствам. В чем заключаются возможные затруднения учащихся по овладению данными способами решения показательных неравенств?

2) Разработать фрагмент урока по изучению логарифмической функции, вводя данное понятие с помощью рассмотрения понятия обратной функции.

3) Разработать тест по теме «Логарифм и его свойства».

107

Контрольная работа №2. Цели занятия: контроль и проверка знаний студентов (по темам

10-16). Литература: [4], [5]. План. Контрольная работа проводится по 2 вариантам. Каждому варианту предлагается для выполнения 3 задания: Текст контрольной работы: 1. Составить серию устных и письменных упражнений для этапа

введения: 1 вариант – метода интервалов при решении неравенств; 2 вариант – способов решения квадратичных неравенств.

2. Привести примеры использования различных средств обучения на этапе закрепления изучения функций:

1 вариант – y=ax2; 2 вариант – xy . 3. Какие вопросы необходимо повторить при изучении по

учебнику Алимова в 9 классе схемы исследования функций?

108

Задания для открытой контрольной работы (к/р № 1) 1. Для усвоения учащимися 6 класса понятия несократимой

дроби составьте серию задач на доказательство того, что: а) данная дробь не является несократимой; б) данная дробь является несократимой. Какие умения вырабатываются у учащихся в процессе решения задач указанного вида?

2. Исследуйте базу для введения десятичных дробей в 5 классе. Подберите конкретный материал и наглядные средства для раскрытия и усвоения сущности понятия десятичной дроби.

3. Подберите серии устных задач на нахождение значений выражений с применением законов действий над десятичными дробями.

4. Исследуйте вопросы возможности и необходимости использования алгоритмов для выполнения действий над обыкновенными дробями.

5. Охарактеризуйте систему работы, предлагаемую в «Математике 6» для изучения сравнения положительных и отрицательных чисел. Выявить роль числовой прямой при изучении сравнения положительных и отрицательных чисел.

6. Приступая к изучению вычитания положительных и отрицательных чисел, создайте проблемную ситуацию, которая привела бы к постановке перед учащимися проблем: а) вычесть из меньшего положительного числа большее число; б) из нуля вычесть какое-то число.

7. Где и как формируются у учащихся представления об иррациональном числе и множестве действительных чисел?

8. 1. Что из теории длин отрезков можно было бы использовать в средней школе при введении иррациональных чисел?

2.Выявите роль геометрических иллюстраций при изучении действительных чисел.

9. Дать классификацию основных случаев приведения дробей к наименьшему общему знаменателю, методику применения этой классификации при сравнении, сложении, вычитании обыкновенных дробей.

10. Подготовить фрагменты уроков: а) введение понятия отрицательного числа; б) модуля числа; в) сравнения чисел. Продумать оформление записей на доске и в тетради, использование наглядных пособий.

11. Подготовить справочные и рабочие таблицы по теме «Положительные и отрицательные числа».

12. Разработать карточки-инструкции для учеников, плохо усвоивших темы «Модуль числа», «Сложение положительных и отрицательных чисел».

109

13. Выявите особенности изучения тождественных преобразований в 5-6 классах.

14.1. Составьте перспективный план работы по обучению учащихся 7-11 классов доказывать тождества.

2. Подберите из различных разделов школьной алгебры (по различным годам обучения) характерные задачи на доказательство тождеств и дайте образцы оформления решений этих задач.

15. Ознакомление учащихся с некоторыми видами тождественных преобразований в ряде случаев целесообразно осуществлять посредством сравнения двух видов преобразований, сходных или противоположных по смыслу.

1. Приведите пример введения двух новых видов тождественных преобразований по способу: а) одновременного сопоставления; б) последовательного сопоставления; в) отсроченного сопоставления.

2. Разработайте методику одновременного введения двух видов преобразований целых выражений: раскрытия скобок и заключения в скобки.

16. 1. Укажите способы проверки и контроля правильности выполнения тождественных преобразований выражений, применяемых в школьной практике.

2. Какую роль при выполнении тождественных преобразований могут играть числовые подстановки в левую и правую части тождества?

Раздел. Частная методика.

Методика планиметрии и стереометрии Тема 1: Первые уроки систематического курса планиметрии

и стереометрии Цели изучения темы: Рассмотреть основные методические

подходы к введению определений первых понятий курса геометрии, подготовиться к работе с определениями, познакомиться с развитием понятий внутри курса геометрии; рассмотреть суть самого понятия доказательства, методику проведения и обучения первым доказательствам на уроках геометрии. Ознакомиться с особенностями методики обучения геометрии в старших классах средней школы, с принципами планирования повторения планиметрии в процессе изучения стереометрии, с методикой использования наглядных пособий и ТСО на первых уроках стереометрии, методикой введения основных понятий и аксиом стереометрии; сформировать навыки методики доказательства первых теорем и решения задач курса стереометрии Теоретическая часть

1. С какими определениями каких видов сталкиваются ученики при изучении первых разделов планиметрии в 7-ом классе?

110

2. С какими из первых понятий они уже были знакомы с 5-6-ого класса? Какое развитие они получают в 7-ом по сравнению с 5-6 классами? Результаты оформите в таблицу.

3. Что должны понимать учащиеся под «строгостью» того или иного определения?

4. Охарактеризуйте суть доказательства? Какие виды доказательств применяются в школе?

5. По материалу статьи Фроловой «Роль наглядных представлений при изучении первых разделов планиметрии» в журнале «Математика в школе» №1 1989 года привести примеры использования наглядности при изучении первых аксиом, понятий и теорем.

6. Провести сравнительный анализ изложения учебного материала по теме «Аксиомы стереометрии» в различных учебных пособиях по геометрии для 10-11-ых классов средней школы, выделив при этом систему основных понятий, аксиом и следствий из аксиом.

7. С какими трудностями могут столкнуться учитель и ученики при изучении первых уроков стереометрии? Наметьте пути преодоления указанных трудностей. Практическая часть

1. Могут ли быть в одном и том же учебнике различные определения одних и тех же понятий? Если да, то приведите примеры и объясните, почему такое происходит.

2. Составить и обосновать систему упражнений, формирующих и закрепляющих определения первых геометрических фигур (отрезок, луч, окружность, круг, расстояние, радиус, диаметр и др.). Замечание. При составлении системы упражнений следует прежде всего проанализировать систему упражнений различных учебников, выявить её сильные и слабые стороны.

3. Где и когда учащиеся сталкиваются с первыми теоремами и первыми доказательными рассуждениями? Какие трудности возникают при этом? Каковы возможные пути их преодоления? Продумайте методику постановки проблемы?

4. Для теорем, выражающих свойства смежных и вертикальных углов, оформить доказательства в виде таблицы «утверждение-обоснование» и на этой основе составить несколько карточек для проверки усвоения соответствующих доказательств.

5. Доказательство методом от противного используется уже на первых уроках геометрии, приведите примеры. Выделите действия составляющие метод доказательства от противного. Предусмотрено ли в задачах учебных пособий формирование этих действий. Возможна ли пропедевтика формирования доказательства от противного в курсе математики 5-6 класса.

6. Разработать методическую схему изучения понятий, аксиом и теорем на первых уроках стереометрии. Показать реализацию

111

данной схемы на примере одной аксиомы (1в) и одного следствия из аксиом (2в). Особое внимание уделите использованию моделей на этапе открытия новых знаний и в ходе доказательства теоремы.

7. Показать один из возможных вариантов оформления опорных записей на доске и в тетрадях учеников при изучении аксиом и следствий из них. Какую символику вы при этом использовали? (Задание выполняется по группам.).

8. Проанализировать задачный материал теме «аксиомы стереометрии», в ходе которого выяснить следующие вопросы: а) какие типы задач можно выделить; б) насколько задачи ориентированы на формирование умений выполнять и читать чертежи; в) насколько реализована связь с планиметрией? Для каждого из выбранного вами типа показать характерную задачу и методику работы с ней.

9. Можно ли не зная вопросов параллельности прямых и плоскостей в пространстве, а, зная только аксиомы и следствия из них, решить следующую задачу: «Построить сечение куба АВСDА1В1С1D1 плоскостью, проходящей через точки P, Q, M (PDD1, QСС1, МАВ). Вычислить площадь сечения, если DP и QC одну третью часть ребра куба и РМ=МQ».

10. Разработать систему заданий по готовым чертежам на построение общих точек прямой и плоскости, сечений многогранников плоскостью в простейших случаях, оценку правильности приведённых чертежей. Укажите с использованием, каких аксиом и следствий из них, решаются ваши задачи?

11. Составить или подобрать из учебников две задачи с практическим содержанием, решение которых основано на применении аксиом стереометрии и следствий из них.

Тема 2: Геометрические построения на плоскости и в пространстве

Цели изучения темы: Познакомиться с развитием конструктивных навыков учащихся в основной школе, выделить методические особенности изучения геометрических построений, рассмотреть возможные варианты организации методики формирования понятия геометрическое место точек. Рассмотреть методические особенности обучения решению задач на построение в курсе геометрии 8-9 и 10-11 классов. Рассмотреть основные методические подходы к знакомству учащихся с параллельной проекцией, изображением фигур и задачами на построение. Формирование умений в подборе задач на обучение учащихся изображению плоских и пространственных фигур на чертеже, а также решению задач на построение сечений многогранников методом следов. Ознакомиться со средствами наглядности, применяемые при изучении вопросов указанной темы.

112

Теоретическая часть 1. Охарактеризовать основные этапы изучения геометрических

построений в основной школе. 2. Какие этапы включает в себя методика решения задач на

построение? 3. Чем отличается изучение указанного учебного материала в 5-

7 и 8-9-ых классах? 4. Охарактеризуйте содержание и роль учебного материала по теме

«Параллельная проекция и её свойства» в курсе стереометрии. 5. Проведите сравнительный анализ учебников геометрии для 10-11-

ых классов с точки зрения изложения указанных вопросов. Приводится ли чёткое определение, какие сопутствующие понятия рассматриваются, какие указаны свойства?

6. Что такое внешнее и внутреннее проектирование? Рассматриваются ли эти понятия в школе?

7. Чему должны научиться учащиеся после изучения этой темы? 8. Раскройте роль чертежа при изучении а) планиметрии, б)

стереометрии. Сформулируйте основные методические требования к стереометрическому чертежу.

9. Какие типы задач на построение изучаются в курсе стереометрии? 10. Из каких этапов складывается работа с задачами на построение?

Практическая часть 1. По учебникам математики для 5-6 классов и 7-ого класса

проследить развитие конструктивных умений учащихся. Какие построения и с помощью каких инструментов выполняются школьниками соответственно в 5-6 классах и в 7-ом классе?

2. На сколько отражена в курсе геометрии 7-ого класса общая схема решения задач на построение? Когда и на какой задаче вы считаете необходимым ознакомить учащихся со всеми этапами решения задач на построение? Найти задачу, решить её и оформить, показать методику работы с ней.

3. Как в 7-ом и в 5-6-ых классах можно организовать пропедевтику этапа исследования решения конструктивных задач. В каком учебнике эта задача решается проще?

4. Разработать методику формирования понятия геометрического места точек. Какие примеры можно рассмотреть в 7-ом и 8-ом классах для иллюстрации данного понятия?

5. Выделить действия, адекватные методу геометрических мест, и разработать методику их формирования.

6. Проанализируйте задачи по теме «Четырёхугольники» по двум учебникам и выделите из них задачи на построение. На основе каких методов решаются эти задачи. Выберите ключевые.

7. Чем отличается методика работы с задачами на построение с использованием метода геометрических мест и без него. На примере одной задачи показать выделенные отличия.

113

8. Разработать таблицу с чертежами для устного решения задач на построение: а) параллелограмма, б) прямоугольника, в) ромба, г) квадрата, д) трапеции

9. Выясните, какого рода задачи на построение встречаются в темах «Движения» и «Преобразования подобия, признаки подобия треугольников»? Достаточно ли знаний и умений, приобретаемых учащимися по указанной теме в рамках программы школьного курса математики, для решения таких задач.

10. Разработать общую схему решения задач методом геометрических преобразований и проиллюстрировать её на примере.

11. Выявите характер возможных заданий для учащихся по обучению их изображениям на плоскости плоских и неплоских пространственных фигур с использованием свойств параллельной проекции. Приведите примеры таких заданий для учащихся.

12. Выявите типичные ошибки учащихся в выполнении стереометрических чертежей и наметьте пути их предупреждения.

13. Выявите задачи конструктивного характера по теме «Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве? Разработайте наиболее целесообразную последовательность предъявления выбранных вами задач учащимся. Покажите методику работы с одной из задач. Задание выполняется по группам: 1- параллельность, 2- перпендикулярность.

14. Раскройте сущность построения сечений методом следов. Разработать систему заданий для учащихся, ориентированную на поэтапное овладение построением сечений многогранников методом следов.

15. Для обучения учащихся 10-11-ых классов построениям сечений параллелепипеда (1в) и тетраэдра (2в) необходимо подобрать систему задач. Укажите принципы отбора задач и включения их в систему. Охарактеризуйте заключительный этап в решении задач разработанной вами системы.

Тема 3: Окружность и круг в основной школе. Методика изучения темы «Тела вращения» курсе стереометри

Цели изучения темы: Формирование умений в разработке уроков повторения на примере учебного материала, связанного с окружностью; умений составлять и использовать опорные конспекты с целью обобщения и систематизации знаний учащихся; умений анализировать различные варианты методики изучения одного и того же материала и выбирать наиболее приемлемый; умений подбирать и составлять самим задачи, ориентированные на ознакомление учащихся с новыми теоретическими знаниями. Показать возможность реализации развития темы задачи на примере теоремы о пропорциональности отрезков пересекающихся хорд. Раскрыть значение темы «Тела вращения» в системе знаний учащихся по курсу геометрии; показать внутри и межпредметные связи темы, ее большое

114

прикладное значение и реализовать их в обучении; познакомиться с методической литературой по теме, системой средств обучения в процессе преподавания темы в школе; показать возможности урока-лекции при изучении тел вращения. Теоретическая часть

1. Охарактеризуйте роль знаний, связанных с окружностью и кругом в курсе математики средней школы.

2. Составить перечень знаний по теме «Окружность и круг» с указанием места данного учебного материала в программе школьного курса геометрии. Чем обусловлено именно такое построение последовательности изучения материала, связанного с окружностью и кругом?

3. Где и когда учащиеся впервые сталкиваются с понятием окружности и круга? Когда этим понятиям даётся строгое определение?

4. Охарактеризовать содержание темы «Тела вращения». Перечислите основные понятия и теоремы, знакомство учащихся с которыми предусмотрено программой.

5. Провести сравнительный анализ учебников по данной теме. 6. Можно ли выделить общий план в изучении цилиндра, конуса,

шара и сферы? 7. С каким запасом знаний и умений о телах вращения учащиеся

приступают к систематическому изучению данной темы? Практическая часть 1. Разделите весь учебный материал, связанный с окружностью и

кругом, на смысловые блоки. Разработайте опорный конспект по данной теме для использования на уроке повторения в конце 9-ого класса.

2. Подготовить обзорную лекцию с целью обобщения и систематизации знаний об окружности и круге, продумать методику использования вашего опорного конспекта.

3. Какие способы задания окружности вы знаете? Когда происходит знакомство учащихся с ними? Как убедить учащихся в том, что в каждый треугольник можно вписать окружность и около каждого треугольника можно описать окружность, но аналогичные утверждения в отношении четырёхугольников неверны?

4. Выполнить анализ определения вписанного в окружность угла. Разработать методику формирования этого понятия. Формирование каких этапов предусмотрено в учебниках геометрии?

5. Составить задачу, решение которой закрепляло бы определение вписанного в окружность угла и вместе с тем позволяло бы познакомить учащихся с теоремой о вписанном в окружность угле и способом её доказательства.

6. Один учитель решил изучать теорему о вписанном угле путём объяснения, другой рассмотреть с учащимися лишь один частный случай, другие же частные случаи должны изучить учащиеся

115

самостоятельно, третий считает наиболее эффективным методом самостоятельное изучение теории по данному учащимся плану. Как вы оцениваете действия каждого из этих учителей и как бы вы поступили в этой ситуации сами?

7. В учебниках среди вопросов для повторения содержатся такие вопросы: «Что такое окружность, центр окружности, радиус?», «Что такое хорда?» Вместе с тем есть и другие: «Какая хорда называется диаметром?», «Какая окружность называется описанной около треугольника?» Чем обусловлено различие в постановке вопросов? Между тем аналогичные вопросы в некоторых других учебниках сформулированы так: «Что называется...?», «Дайте определение...». Отражает ли редакция этих вопросов точку зрения авторов или не имеет принципиального значения?

8. Разработать многовариантную самостоятельную работу на тему: «Углы, вписанные в окружность».

9. Индивидуальное задание: На примере теоремы о пропорциональности пересекающихся хорд показать реализацию различных направлений развития темы задачи.

10. Разработать содержание и продумать методику проведения урока-лекции на тему (по выбору): а) «Тела вращения»; б) «Объем тела вращения»; в) «Площадь поверхности тела вращения».

11. Составить перечень средств наглядности, которые целесообразно использовать при изучении темы. Как проиллюстрировать тот факт, что тела вращения получены при вращении некоторой плоской фигуры?

12. Раскрыть методику обучения изображению тел вращения и их сечений. Рассмотреть вопрос предупреждения распространенных ошибок учащихся в изображении конуса, шара, сферы. Составить алгоритмические предписания по изображению цилиндра, конуса и шара.

13. Охарактеризовать задачи прикладного характера, которые могут быть реализованы в процессе изучения темы. Привести примеры.

14. Оценить возможность и предложить один из вариантов методики параллельного изучения призмы и цилиндра, пирамиды и конуса.

15. Составить перечень вопросов по теме «Окружность и круг», которые рассматриваются в систематическом курсе планиметрии. Как лучше организовать (спланировать, провести) повторение свойств окружности и круга при изучении тел вращения?

116

СИСТЕМА КОНТРОЛЯ Контрольные работы по теории и методике обучения математике для студентов дневной формы обучения

Контрольные работы для студентов 4 курса.

Контрольная работа №1

Вариант № 1 1. Показать реализацию одного из подходов на примере теоремы из курса

геометрии (указать конкретную теорему). 2. Показать использование аналогии на этапе определения понятий из курса

алгебры 7 – 8 и 9 классы. Вариант № 2 1. Показать реализацию одного из подходов при изучении одного из понятий из

курса алгебры или математики 5 – 6 классов (дать конкретное понятие) 2. Подобрать вопросы и упражнения на закрепление теоремы из темы

«Четырехугольники». Вариант № 3

1. Раскрыть на примере доказательства неравенства из алгебры 8 класса

использование несовершенного и совершенного анализа. 2. Привести примеры на варьирование существенных и несущественных

признаков при изучении понятия из курса геометрии. Вариант № 4 1. На примере теоремы из курса геометрии показать использование

синтетического метода и совершенного анализа при поиске пути доказательства теоремы.

2. Привести возможные варианты классификации понятия «уравнения».

117

Открытый текст набор заданий для контрольной работы № 1

(методика алгебры 7-9 классы)

1. Для усвоения учащимися 6 класса понятия несократимой дроби составьте серию задач на доказательство того, что

а) данная дробь не является сократимой. б) данная дробь является сократимой.

Какие умения вырабатываются у учащихся в процессе решения задач указанного вида.

2. Исследуйте базу для введения десятичных дробей в 5 классе. Подберите конкретный материал и наглядные средства для раскрытия и усвоения сущности понятия десятичной дроби.

3. Подберите серии устных задач на нахождение значений выражений с применением законов действий над десятичными дробями.

4. Исследуйте вопросы возможности и необходимости использования алгоритмов для выполнения действий над обыкновенными дробями.

5. Охарактеризуйте систему работы, предлагаемую в «Математике 6» для изучения сравнения положительных и отрицательных чисел. Выявите роль числовой прямой при изучении сравнения положительных и отрицательных чисел.

6. Приступая к изучению вычитания положительных и отрицательных чисел, создайте проблемную ситуацию, которая привела бы к постановке перед учащимися проблем:

а) вычесть из меньшего положительного числа большее число. б) из нуля вычесть какое-то число. 7. Где и как формируется у учащихся представления об иррациональном числе и

множестве действительных чисел? 8. Дать классификацию основных случаев приведения дробей к наименьшему

общему знаменателю, методику этой классификации при сравнении, сложении, вычитании обыкновенных дробей.

9.Подготовить фрагменты уроков: а) введение понятия отрицательного числа. б) модуль числа.

в) сравнение чисел. Продумать оформление записей на доске и в тетради, использование наглядных

пособий. 10. Подготовить справочные и рабочие таблицы по теме «Положительные и

отрицательные числа». 11. Разработать карточки – инструкции для учеников, плохо усвоивших тему

«Модуль числа», «Сложение положительных и отрицательных чисел». 12. Ученики при выполнении преобразований допускают ошибки такого рода:

а) 5n+13=18n,

б) 26

3 xx

,

в) tzyxtzyx )(

г) 222)( baba ,

д) sin21

2sin

118

Выясните причины этих ошибок, укажите приемы их исправления. Как предупредить ошибки такого рода?

13. Выявить особенности изучения тождественных преобразований в 5-6 классах. 14. Подберите из различных разделов школьной алгебры / по различным годам

обучения/ характерные задачи на доказательство тождеств и дайте образцы оформления решения этих задач.

15. Разработать методику одновременного введения двух видов преобразований целых выражений: раскрытия скобок и заключения в скобки.

Контрольная работа №2

I вариант II вариант

I. Составить серию устных и письменных упражнений для этапа «введения»:

метода интервалов при решении

неравенств

способов решения квадратичных

неравенств

(любой учебник)

II. Привести примеры использования различных средств обучения на этапе

закрепления изучения функций:

2аху ху

(учебник Теляковского)

III. Какие вопросы необходимо повторить при изучении по учебнику Алимова

в 9 классе «схемы исследования функций».

Тексты контрольных работ для студентов 4 курса

Раздел «Методика геометрии» (планиметрия) Контрольная работа № 1 (включает: логическое строение школьного курса, первые уроки курса планиметрии, изучение признаков равенства треугольников, изучение взаимного расположения прямых на плоскости и многоугольников (четырехугольники)). Задание 1. Разработать методику изучения теоремы, исходя из того, что

организация изучения теоремы включает мотивацию, ознакомление с фактом, отраженном в теореме, усвоение содержания теоремы, поиск пути доказательства, применение, связь с раннее доказанными фактами.

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 I-й признак равенства треугольников

Один из признаков параллельности

Свойства параллелограмма

Один из признаков равенства

119

прямых прямоугольных треугольников

Задание 2. Разработать дифференцированные задания для обзорного урока по теме:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 Признаки параллельности прямых

Основные понятия. Аксиомы.

Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Свойства параллельных прямых.

Задание 3. Составить систему устных упражнений по готовым чертежам: Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 Внешний угол треугольника, его свойства.

Вертикальные и смежные углы.

Признаки параллельности прямых.

Треугольник и его виды.

Контрольная работа №2. (включает темы: метрические соотношения в

треугольнике, метод координат, геометрические преобразования, векторы, задачи на построение)

Задание 1. Разработать самостоятельную работу обучающего характера по одной

из приведенных ниже тем. Продумать: 1) цель работы, 2) место ее на уроке, 3) продолжительность, 4) как будут предъявлены задания, 5) как будет проведена проверка, 6) поведение учителя, 7) когда и как учителем будут учтены результаты этой работы.

Темы самостоятельных работ Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 Метод геометрических мест при решении задач на построение.

Теорема косинусов.

Движения и их свойства.

Векторы операции над векторами.

Задание 2. На примере решения конкретной задачи из геометрии показать, как

можно учащимся объяснить преимущества использования координатного метода. Продумать, какой можно дать ученикам план решения задач координатным методом.

Задание 3. Задание выдается на дом, его приносят на контрольную работу.

Составить справочную таблицу, содержащую 4 случая решения треугольников, выделив на чертежах по три данных основных элемента с образцами решения.

Раздел «Методика геометрии» (стереометрия)

120

Задание 1. Показать возможности параллельного изучения тем:

Вариант№1 Вариант №2 Призмы и пирамиды Цилиндра и конуса

Задание 2. Что должны знать и уметь ученики после изучения тем:

Вариант№1 Вариант №2 Цилиндра, конуса, шара Призмы, пирамиды

Задание 3. Выделить (по любому учебнику) круг опорных задач по теме:

Вариант№1 Вариант №2 Параллельность прямых и плоскостей в пространстве

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве

Раздел «Методика преподавания алгебры и начал анализа.

Вариант 1. 1) Составить серию задач по теме: «Вычисление площадей плоских фигур с

помощью интеграла» (для самостоятельной работы разноуровневого характера).

2) Разработать эскизы рисунков для наглядных иллюстраций связей между монотонностью функции и знаком ее производной.

3) Дать алгоритм и образец решения задач на максимум и минимум (геометрического содержания).

Вариант 2. 1) Охарактеризовать роль наглядности при изучении темы «Первообразная и

интеграл». Разработать эскизы таблиц, которые целесообразно использовать при изучении темы. (для самостоятельной работы разноуровневого характера).

2) Привести примеры алгоритмических предписаний при изучении темы «Производная», показав их целесообразность.

3) Дать алгоритм и образец оформления решения задач физического содержания на максимум и минимум.

Примечание. Третье задание оформляется дома.

Тест по разделу общей теории и методики обучения математике

Вариант I

Часть 1

Выбрать правильный ответ среди предложенных.

1. Объемы понятий составное «число» и «простое число» находятся в отношении А) включения Б) пересечения В) совпадения Г) внеположенности

121

2. Одним из существенных признаков в определении понятия «трапеция» является А) наличие пары параллельных прямых Б) наличие двух пар параллельных прямых 3. В определении понятия «правильной пирамидой называется пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник» не выполнено требование А) Указано не ближайшее родовое понятие Б) Определение несоразмерно В) В определении порочный круг Г) Это определение- отрицание 4. Покажите логическую связь теорем: «Параллельный перенос- движение», «Движение является параллельным переносом А) прямая и обратная Б) прямая и противоположная к прямой В) обратная и противоположная к ней Г) противоположная к прямой и обратная 5. В суждении «Сумма углов треугольника равна 1800» условие равенства суммы углов 1800 для треугольника является А) необходимым Б) достаточным В) необходимым и достаточным 6. Доказательство теоремы косинусов в школьных учебниках А) прямое Б) косвенное 7. При доказательстве неравенства 3(а+1)<4(2+a) целесообразнее использовать А) синтетический способ рассуждения Б) совершенный анализ В) несовершенный анализ 8. На каком этапе изучения понятия «трапеция» в курсе геометрии можно использовать наблюдение и опыт? А) раскрытие содержания понятия Б) обучение действию распознавания В) мотивации изучения понятия 9. На каком из этапов изучения признаков подобия треугольников возможно сравнение с признаками равенства треугольников? А) этап мотивации Б) раскрытия содержания теорем В) поиск пути доказательства Г) усвоение формулировок признаков 10. Формирование общего метода решения класса однотипных задач- есть цель использования А) только правил Б) только алгоритмов В) правил и алгоритмов Г) свойств Д) теорем 11. Определите, чем является следующее: чтобы перемножить два отрицательных числа, надо перемножить их модули и в произведении поставить знак «+». А) правилом Б) определением В) алгоритмом Г) теоремой 12. «Чтобы найти часть от целого, надо целое умножить на дробь, соответствующую этой части». Данное предписание является А) алгоритмом, свернутым в правило Б) правилом, но не алгоритмом 13. Вывод, сделанный на основе полной индукции можно считать

122

А) истинным Б) ложным В) требующим доказательства Г) требующим проверки 14. Метод математической индукции является примером А) дедуктивных рассуждений Б) полной индукцией В) неполной индукцией Г) аналогией 15. Процесс получения нового суждения из одного или нескольких данных суждений есть А) определение понятия Б) умозаключение В) теорема Г) высказывание Д) посылка Е) тезис

Часть 2

Установить истинно или ложно утверждение.

1. В определении понятия «смежные углы» видовые отличия связаны дизъюнктивно.

2. Определение понятия «линейное уравнение» является определением-соглашением.

3. Параллелограммом называется четырехугольник у которого пара противоположных сторон равны и параллельны.

4. Теорема «Признак параллельности прямой и плоскости» имеет прямое доказательство.

5. Ученик сформулировал теорему обратную к теореме синусов: «Если стороны пропорциональны синусам противолежащих углов, то фигура является треугольником.»

6. При решении задачи: «Будем ли треугольник со сторонами 3см, 4см и 5см прямоугольным», ученик обосновал свой ответ ссылкой на теорему Пифагора.

7. Сравнивая многогранники и многоугольники, ученик выделил у многогранников: углы, стороны и вершины.

8. На начальном этапе решения задач на построение используется совершенный анализ.

9. Используя неполную индукцию на этапе «раскрытия» содержания правила(или алгоритма), получаем вероятностный вывод.

10. Любое правило можно развернуть и считать его алгоритмом

11. Если в верной пропорции поменять местами средние члены или крайние члены, то получившиеся новые пропорции тоже верны.

12. Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел, надо: 1) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; если превратить ее в неправильную дробь, уменьшив на единицу целую часть; 2) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей.

Данное предписание является алгоритмом.

13. Теорему косинусов и теорему синусов можно вводить по аналогии.

14. Вывод, сделанный следующим образом является примером дедукции. х1+х2=-9, х1х2=20, если х1, х2- корни приведенного квадратного уравнения х2+9х+20=0 х1, х2- корни приведенного квадратного уравнения х2+11х-12=0, х1+х2=-11, х1х2=-12 Вывод: Если х1,

123

х2- корни приведенного квадратного уравнения, то сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. 15. Если хотя бы один из коэффициентов b или с квадратного уравнения ax2+bx+c=0 равен нулю, то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением. -2х2+7=0- уравнение, где b=0 3x2-10x=0- уравнение, где c=0 -4x2=0 - уравнение, где b=0, c=0 Вывод: все эти уравнения являются неполными. Вывод, сделанный таким образом есть дедуктивный.

Часть 3.

1. Учитывая уровненную дифференциацию, составить многовариативную

самостоятельную работу по теме «Решение треугольников».

2. Составить систему упражнений для 4-5-6 классов (пропедевтический курс), подготавливающих к изучению функций в 7-9 классах.

124

Вариант II Часть 1.

Выбрать правильный ответ среди предложенных.

1. Объемы понятий «пирамида» и «призма» находятся в отношении А) включения Б) пересечения В) совпадения Г) внеположенности 2. Одним из существенных признаков в определении понятия «арифметического корня n-й степени, n- четное число » является А) условие неотрицательности подкоренного выражения Б) условие положительности подкоренного выражения 3. В определении понятия «биссектрисой угла треугольника называется луч, делящий угол пополам» не выполнено требование А) Указано не ближайшее родовое понятие Б) Определение несоразмерно В) В определении порочный круг Г) Это определение- отрицание

4. Покажите логическую связь теорем: «если а≥0, b≥0, то baаb », «если

baаb , то а≥0, b≥0» А) прямая и обратная Б) прямая и противоположная к прямой В) обратная и противоположная к ней Г) противоположная к прямой и обратная 5. В суждении «На три делятся те и только те числа, сумма цифр которых делится на три» делимость суммы цифр на три является А) необходимым Б) достаточным В) необходимым и достаточным 6. Доказательство неравенства треугольника в школьных учебниках А) прямое Б) косвенное 7. При доказательстве неравенства а2-ab+b2 ≥ab целесообразнее использовать А) синтетический способ рассуждения Б) совершенный анализ В) несовершенный анализ 8. На каком этапе изучения понятия «компланарные векторы» в курсе геометрии можно использовать наблюдение и опыт? А) раскрытие содержания понятия Б) обучение действию распознавания В) мотивации изучения понятия 9. На каком из этапов изучения свойств прямоугольного параллелепипеда возможно сравнение со свойствами прямоугольника? А) этап мотивации Б) раскрытия содержания теорем В) поиск пути доказательства Г) усвоение формулировок признаков 10. Какое из перечисленных свойств не является характеристическим свойством алгоритма? А) массовость Б) результативность В) интегрированность Г) детерминированность Д) дискретность 11. Определите чем является следующее: чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак «-» А) правилом Б) определением

125

В) алгоритмом Г) теоремой 12. «Для того, чтобы выполнить умножение смешанных чисел, надо записать их в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей». Данное предписание является А) алгоритмом, свернутым в правило Б) правилом, но не алгоритмом 13. Вывод, сделанный на основе неполной индукции можно считать А) истинным Б) ложным В) требующим доказательства Г) требующим проверки 14. При введении правила сложения 2х отрицательных чисел через координатную прямую и задачи с практическим содержанием, используя жизненный опыт учащихся рассматривают несколько примеров. Затем на их основе делают вывод- правило. Этот вывод является примером А) дедуктивных рассуждений Б) полной индукции В) неполной индукции Г) аналогии 15. Умозаключение, когда общее суждение выводится из частных является А) индуктивным Б) традуктивным В) дедуктивным Г) абстрактным Д) конкретным Е) аналогичным

Часть 2. Установить истинно или ложно утверждение.

1. В определении понятия «правильная пирамида» видовые отличия связаны конъюнктивно.

2. Определение понятия «квадратное уравнение» является генетическим определением.

3. Ромб- параллелограмм у которого все стороны и углы равны.

4. Теорема «Признак параллельности прямой и плоскости» имеет косвенное доказательство.

5. Ученик сформулировал теорему обратную к теореме Пифагора: «Если стороны треугольника связаны соотношением а2+b2=c2, то треугольник прямоугольный»

6. При решении задачи: Дано: Доказать: АВ||DE ученик

обосновал свой ответ ссылкой на свойство параллельных прямых.

7. Сравнивая окружность и круг с шаром и сферой, ученик выделил у последних понятие касательной и касательной плоскости.

126

8. На втором этапе решения задач на построение используется совершенный анализ.

9. Используя полную индукцию при доказательстве теоремы о вписанном угле, получаем достоверный результат.

10. Любой алгоритм можно назвать правилом.

11. Любое натуральное число (кроме 1) либо является простым, либо его можно разложить на простые множители, причем единственным способом.

Это предложение является правилом, но не алгоритмом.

12. Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.


13. Формулировать правила умножения многочлена на многочлен можно по аналогии с правилом умножения одночлена на многочлен.

14. Вывод, сделанный следующим образом является примером дедукции. 75

73

72

,

1210

126

124

, 42

41

41

Вывод: при

сложении дробей с одинаковыми знаменателями, знаменатель остается прежним, а числители складываются.

15. -7х2-13=0- неполное квадратное уравнение, где b=0 - 8x2=0- неполное квадратное уравнение, где b=0, c=0 Квадратное уравнение, где b или(и) с равны нулю называется неполным. Это заключение является дедуктивным.

Часть 3.

1. Учитывая уровненную дифференциацию, составить многовариативную самостоятельную работу по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости».

2. Составить систему упражнений для 4-5-6 классов (пропедевтический курс), подготавливающих к изучению геометрических преобразований в 7-9 классах.

127

Вариант III

Часть 1. Выбрать правильный ответ среди предложенных.

1. Объемы понятий «прямоугольный параллелепипед» и «куб» находятся в отношении А) включения Б) пересечения В) совпадения Г) внеположенности 2. Одним из существенных признаков в определении понятия «квадратный корень» является А) условие неотрицательности подкоренного выражения Б) условие положительности подкоренного выражения 3. В определении понятия «арифметическим квадратным корнем называется число, квадрат которого равен подкоренному выражению» не выполнено требование А) Указано не ближайшее родовое понятие Б) Определение несоразмерно В) В определении порочный круг Г) Это определение- отрицание 4. Покажите логическую связь теорем: «Если четырехугольник параллелограмм, то его диагонали равны», «Если четырехугольник не параллелограмм, то его диагонали не равны» А) прямая и обратная Б) прямая и противоположная к прямой В) обратная и противоположная к ней Г) противоположная к прямой и обратная 5. В суждении «Средняя линия трапеции параллельна основаниям» условие того, что отрезок является средней линией для параллельности основаниям является А) необходимым Б) достаточным В) необходимым и достаточным 6. Доказательство признака параллельности двух плоскостей в школьных учебниках А) прямое Б) косвенное 7. При доказательстве неравенства а2+а-2≥2, если а≠0 целесообразнее использовать А) синтетический способ рассуждения Б) совершенный анализ В) несовершенный анализ 8. На каком этапе изучения понятия «пропорция» в курсе геометрии можно использовать наблюдение и опыт? А) раскрытие содержания понятия Б) обучение действию распознавания В) мотивации изучения понятия

9. На каком из этапов изучения теорем о свойствах n возможно сравнение со свойствами ? А) этап мотивации Б) раскрытия содержания теорем В) поиск пути доказательства Г) усвоение формулировок признаков 10. Это свойство алгоритма подразумевает, что процесс решения задачи строго направлен, он однозначно определяет первый шаг и каждый последующие.

а) массовость, б) результативность, в) дифференцированность, г) детерминированность, е) дискретность, ж) элементарность шагов.

11. Определите чем является следующее: чтобы сложить два числа с разными знаками, надо : 1) из большего модуля слагаемых вычесть меньший; 2) поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше.

128

а) правилом, б) определением, в) алгоритмом, г) теоремой. 12. Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, надо: 1) привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю; 2) сравнить полученные дроби.

Данное предписание является а) алгоритмом, свернутым в правило, б) правилом, но не алгоритмом.

13. Вывод, сделанный на основе дедукции можно считать А) истинным Б) ложным В) требующим доказательства Г) требующим проверки 14. При доказательстве теоремы косинусов рассматриваются случаи для острого угла треугольника, для прямого угла треугольника, для тупого угла треугольника. Вывод на основании этих случаев является А) дедуктивным Б) полной индукцией В) неполной индукцией Г) аналогией 15. Умозаключение, когда частное( или менее общее) суждение выводится из общего суждения называют А) индуктивным Б) традуктивным В) дедуктивным Г) абстрактным Д) конкретным Е) аналогичным

Часть 2.


1. В определении понятия «трапеция» видовые отличия связаны дизъюнктивно.

2. Определение понятия «четырехугольник» является описательным.

3. Угол, вершина которого лежит на окружности, называется вписанным углом.

4. Теорема «Признак параллельности плоскостей» имеет прямое доказательство.

5. Ученик сформулировал теорему обратную к теореме о средней линии трапеции: «Если средняя линия многоугольника равна полусумме оснований, то он- трапеция.»

6. При решении неравенства 3х2-7х+4<0, ученик использовал график функции у=3х2-7х+4.

7. Сравнивая прямоугольник и прямоугольный параллелепипед, ученик выделил у последнего: равенство диагоналей, центр симметрии и свойства граней, аналогичные свойствам сторон прямоугольника.

8. На третьем этапе решения задач на построение используется синтез.

9. На этапе «раскрытия» содержания теоремы: «Если обе части неравенства умножить на одно и тоже отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный», можно использовать неполную индукцию.

10. Не всякое правило является алгоритмом

129

11. Натуральное число делится на 9, если делится на 9 сумма его цифр. Это предложение является правилом, но не алгоритмом.

12. Свойства степени с целым показателем аman=am+n, am:an=am-n, (am)n=amn, (ab)n=anbn, можно доказывать по аналогии.

13. При делении чисел с разными знаками, надо: разделить модуль делимого на модуль делителя; поставить перед полученным числом знак «-».


14. Вывод, сделанный следующим образом является примером дедукции. Если х1, х2- корни квадратного трехчлена ах2+bх+с, то ах2+bх+с = а(х-х1)(х-х2)

2х2+7х-4- квадратный трехчлен.

Вывод: 2х2+7х-4 = 2(х-21

)(х+4)

15. 1. Графиком квадратичной функции является парабола 2. Функция у=ах2+b является квадратичной Умозаключение: «Графиком функции у=ах2+b является парабола» есть пример традукции.

Часть 3.

1. Учитывая уровненную дифференциацию, составить многовариативную самостоятельную работу по теме «Вычисление площадей криволинейных трапеций».

2. Составить систему упражнений для 4-5-6 классов (пропедевтический курс), подготавливающих к изучению метода координат в курсе геометрии.

130

Вариант 4.

Часть 1. Выбрать правильный ответ среди предложенных. 1. Объемы понятий «уравнение» и «тригонометрическое уравнение» находятся в отношении: А) включения Б) пересечения В) совпадения Г) внеположенности 2. Одним из существенных признаков в определении понятия «неправильной дроби» является А) условие: числитель больше знаменателя Б) наличие двух пар параллельных прямых 3. В определении понятия «квадратным уравнением называется уравнение вида ах2+bx+c» не выполнено требование А) Указано не ближайшее родовое понятие Б) Определение несоразмерно В) В определении порочный круг Г) Это определение- отрицание 4. Покажите логическую связь теорем: «Если х1+х2≠-p, x1x2≠q, то уравнение x2+px+q=0 не приведенное (х1, х2- корни уравнения)», «Если х1+х2=-p, x1x2=q, то х1, х2- корни приведенного уравнения x2+px+q=0. А) прямая и обратная Б) прямая и противоположная к прямой В) обратная и противоположная к ней Г) противоположная к прямой и обратная 5. В суждении «Любой вектор можно разложить и притом единственным образом по двум данным неколлинеарным векторам» условие неколлинеарности векторов является для разложения А) необходимым Б) достаточным В) необходимым и достаточным 6. Доказательство теоремы о соотношении сторон и углов треугольника в школьных учебниках А) прямое Б) косвенное

7. При доказательстве неравенства bb 22

1 , если b≥0 целесообразнее использовать

А) синтетический способ рассуждения Б) совершенный анализ В) несовершенный анализ 8. На каком этапе изучения понятия «десятичная дробь» в курсе геометрии можно использовать наблюдение и опыт? А) раскрытие содержания понятия Б) обучение действию распознавания В) мотивации изучения понятия 9. На каком из этапов изучения вопросов о расположении сферы и плоскости в пространстве возможно сравнение с расположением окружности и прямой на плоскости? А) этап мотивации Б) раскрытия содержания теорем В) поиск пути доказательства Г) усвоение формулировок признаков 10. Это свойство алгоритма предполагает, что с помощью данного алгоритма могут быть решены все задачи определенного типа.

а) массовость, б) результативность, в) дифференцированность,

131

г) детерминированность, е) дискретность, ж) элементарность шагов.

11. Определите чем является следующее: чтобы решить биквадратное уравнение, надо : 1) ввести новую переменную и определить ее ОДЗ; 2) решить полученное уравнение, относительно новой переменной, 3) вернуться к замене и найти корни первоначального уравнения. а) правилом, б) определением, в) алгоритмом, г) теоремой. 12. Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату его левого конца.


13. Вывод, сделанный на основе традукции можно считать а) истинным б) ложным в) требующим доказательства г) требующим проверки 14. Выстройте суждения в таком порядке, чтобы получилось дедуктивное умозаключение. Суждение1. Функция у=2х2 – квадратичная Суждение2. Графиком квадратичной функции является парабола Суждение3. Графиком функции у=2х2 является парабола. а) С1, С2, С3 б) С3, С2, С1. в) С2, С1, С3. г) С2, С3, С1 15. Умозаключение, когда рассуждения ведутся от частного к частному называют а) индуктивным б) традуктивным в) дедуктивным г) абстрактным д) конкретным

Часть 2.


1. В определении понятия «неправильная дробь» видовые отличия связаны конъюнктивно.

2. Определение понятия «прямоугольный параллелепипед в 10 классе является описательным.

3. Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются и лежат в одной плоскости..

4. Утверждение Для любых и справедливо равенство

сos(+)=cos cos –sin sin имеет косвенное доказательство.

5. Ученик сформулировал теорему обратную к теореме Виета: «Если в приведенном квадратном уравнении x2+px+q=0, х1+х2≠-p, x1x2≠q, то это не приведенное квадратное уравнение »

6. При решении задачи: «Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то она равнобедренная.», ученик обосновал свой ответ теоремой « Если сумма углов четырехугольника равна 1800, то около него можно описать окружность.»

132

7. Сравнивая а и n a , ученик выделил все свойства n по аналогии со свойствами квадратного корня.

8. На четвертом этапе решения задач на построение используется несовершенный анализ.

9. Действие «анализ теоремы» предусматривает выделение: разъяснительной части, условия, заключения, логических связок. 10. Не всякий алгоритм есть правило. 11. Чтобы сложить два отрицательных числа, надо: 1) сложить их модули; 2) поставить перед полученным числом знак «-» Это предложение является правилом, но не алгоритмом. 12. Для того чтобы решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом подстановки, надо: 1) выразить из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую; 2)подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение, 3) решить получившееся уравнение с одной переменной,4) найти соответствующее значение второй переменной. Данное предписание является алгоритмом. 13. Все три признака равенства треугольников можно доказать по аналогии друг с другом. 14. Вывод, сделанный следующим образом является примером дедукции. Суждение1. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Суждение2. Треугольник АВС прямоугольный. Умозаключение: Гипотенуза – большая сторона в прямоугольном треугольнике 15. Функция вида у=кх, к≠0 называется прямой пропорциональностью Нижеследующее определение обратной пропорциональности построено по аналогии с данным.

Функция вида хку , к≠0 называется обратной пропорциональностью.

Часть 3.

1. Учитывая уровненную дифференциацию, составить многовариативную самостоятельную работу по теме «Формулы сокращенного умножения».

2. Составить систему упражнений для 4-5-6 классов (пропедевтический курс), подготавливающих к изучению тождественных преобразований в 7-9 классах.

133

Вариант 5.

Часть 1. Выбрать правильный ответ среди предложенных. 1. Объемы понятий «биссектриса треугольника» и «высота треугольника» (в разностороннем треугольнике) находятся в отношении: А) включения Б) пересечения В) совпадения Г) внеположенности 2. Одним из существенных признаков в определении понятия «координатная прямая» является А) условие «указание единичного отрезка» Б) условие «указание единичного отрезка в 1 см» 3. В определении понятия «прямоугольным параллелепипедом называется параллелепипед, в основании которого лежит прямоугольник» не выполнено требование А) Указано не ближайшее родовое понятие Б) Определение несоразмерно В) В определении порочный круг Г) Это определение- отрицание 4. Покажите логическую связь теорем: «Если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрестлежащие углы равны, то прямые параллельны», «Если прямые параллельны, то при их пересечении третьей прямой внутренние накрестлежащие углы равны». А) прямая и обратная Б) прямая и противоположная к прямой В) обратная и противоположная к ней Г) противоположная к прямой и обратная 5. В суждении «на три делятся те и только те числа, сумма цифр которых делится на три» делимость суммы цифр на три является для делимости числа на три А) необходимым Б) достаточным В) необходимым и достаточным 6. Доказательство теоремы о сумме углов n-гольника в школьных учебниках А) прямое Б) косвенное 7. При доказательстве неравенства 233 аа , если а>0 целесообразнее использовать А) синтетический способ рассуждения Б) совершенный анализ В) несовершенный анализ 8. На каком этапе изучения понятия «иррациональное число» в курсе геометрии можно использовать наблюдение и опыт? А) раскрытие содержания понятия Б) обучение действию распознавания В) мотивации изучения понятия 9. На каком из этапов изучения теоремы о разложении вектора в пространстве по трем неколлинеарным векторам возможно сравнение с теоремой о разложении вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам? А) этап мотивации Б) раскрытия содержания теорем В) поиск пути доказательства Г) усвоение формулировок признаков 10. Это свойство алгоритма состоит в том, что при построении алгоритма выделяются отдельные законченные шаги.

а) массовость, б) результативность, в) дифференцированность,

134

г) детерминированность, е) дискретность, ж) элементарность шагов.

11. Определите чем является следующее: чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, надо : 1) умножить его целую часть на знаменатель дробной части; 2) к полученному произведению прибавить числитель дробной части; 3) записать полученную сумму числителем дроби, а знаменатель дробной части оставить без изменения.

а) правилом, б) определением, в) алгоритмом, г) теоремой. 12. Чтобы из данного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: а – б = а + (-б).


13. Вывод, сделанный на основе аналогии можно считать

а) истинным б) ложным в) требующим доказательства г) требующим проверки

14. Выстройте суждения в таком порядке, чтобы получилось дедуктивное умозаключение.

Суждение1. Графиком функции х

у 12 является гипербола.

Суждение2. Функция х

у 12 – обратная пропорциональность.

Суждение3. Графиком обратной пропорциональности является гипербола а) С1, С2, С3 б) С3, С2, С1. в) С2, С1, С3. г) С2, С3, С1

15. Умозаключение, когда рассуждения ведутся от общего к общему называют

а) индуктивным б) традуктивным в) дедуктивным г) абстрактным д) конкретным

Часть 2.


1. В определении понятия «прямоугольный параллелепипед» видовые отличия связаны конъюнктивно.

2. Определение понятия точки, симметричной данной точке относительно данной прямой является описательным.

3. Функция y=f(x) называется четной, если f(-x)=f(x).

4. Утверждение «Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке» имеет косвенное доказательство.

135

5. Ученик сформулировал теорему обратную к теореме «Признак параллельности прямых»: « Если при пересечении двух параллельных прямых третьей, накрестлежащие углы равны, то прямые параллельны.

6. При решении вопроса: «Можно ли около четырехугольника описать окружность, если суммы противоположных сторон равны», ученик обосновал свой ответ теоремой «В любом описанном четырехугольнике, суммы противоположных сторон равны».

7. Определение компланарных векторов ученик сравнил с определением коллинеарных и сделал вывод о возможности разложения любого вектора в пространстве по трем некомпланарным векторам. При этом он использовал аналогию.

8. На первом этапе решения задач на построение используется синтез.

9. При доказательстве теоремы косинусов используют полную индукцию. 10. Каждый алгоритм есть правило. 11. Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть, надо: 1) разделить с остатком числитель на знаменатель; 2) неполное частное будет целой частью; 3) остаток (если он есть) дает числитель, а делитель – знаменатель дробной части. Это предложение является правилом, но не алгоритмом. 12. Для того чтобы решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом сложения, надо: 1) умножить почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами; 2) сложить почленно левые и правые части уравнений системы; 3) решить получившееся уравнение с одной переменной; 4) найти соответствующее значение второй переменной. Данное предписание является алгоритмом. 13. Формулировать признаки подобия треугольников можно по аналогии с признаками равенства треугольников. 14. Вывод, сделанный следующим образом является примером дедукции. Суждение1. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Суждение2. В треугольнике АВС два угла равны. Умозаключение: треугольник АВС - равнобедренный 15. Если коэффициент а квадратичной функции принадлежит интервалу (-1,0) U (0,1) , то график этой функции сжат к оси ОХ. Нижеследующее свойство построено по аналогии с данным. Если коэффициент а квадратичной функции принадлежит интервалу (-∞,-1) U (1, +∞), то график этой функции растянут от оси ОХ.

Часть 3.

1. Учитывая уровненную дифференциацию, составить многовариативную самостоятельную работу по теме «Метод интервалов при решении неравенств».

2. Составить систему упражнений для 4-5-6 классов (пропедевтический курс), подготавливающих к изучению уравнений и неравенств в 7-9 классах.

Методические рекомендации к организации и выполнению тестирования студентов по

курсу теории и методики обучения математике.

Тест содержит 5 вариантов по 32 задания. Первая часть – 15 заданий с выбором ответа по всему курсу теории и методики обучения математике. При выполнении заданий первой группы из списка предложенных ответов выбирается единственный, верный по мнению респондента.

136

Вторая часть- 15 заданий по всему курсу теории и методики обучения математике, где необходимо определить истинно или ложно утверждение. При выполнении заданий этой группы требуется напротив каждого утверждения поставить метку «и»- если утверждение истинно по мнению респондента, или метку «л»- если утверждение ложно по мнению респондента. Третья часть- 2 задания творческого, практического характера. Данные задания предполагают подробные письменные ответы и выполняются на отдельных листах. На выполнение теста отводится 1час 20минут.

Критерии оценки:

Задания частей 1 и 2 (30 шт)- по одному баллу за верный ответ. Всего 30 баллов Задания части 3- 5 баллов за корректное выполнение. Итого за все задания- 35 баллов 1-16 баллов - отметка «2» (неудовлетворительно) 17-19 баллов - отметка «3» (удовлетворительно) 20-26 баллов - отметка «4» (хорошо) 27-35 баллов - отметка «5» (отлично), при условии, что выполнено хотя бы одно задание из третьей части.

При подготовке к тестированию студентам необходимо повторить основные аспекты курса теории и методики обучения математике: правило и алгоритм в курсе математики 5-6 класса, индукция и дедукция в обучении математике, понятия в школьном курсе математики, методика работы с теоремой в школьном курсе геометрии, функциональная линия в школьном курсе алгебры и т.д.. А также изучить содержание учебников по математике для средней школы авторов: Виленкин Н.Я., Мордкович А.Г., Погорелов А.В., Атанасян Л.С., Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Алимов Ш.А..

137

Методические рекомендации к организации самостоятельной работы студентов.

Список из 27 заданий для самостоятельного выполнения студенты

получают в начале семестра. Список содержит задания теоретического и практического характера.

Для выполнения заданий первого вида необходимо дать развернутую теоретическую характеристику рассматриваемого понятия, подхода, и т.д., дополнив ответ практическими примерами. Для выполнения заданий второго типа необходимо выполнить предлагаемое задание и рассмотреть теоретическое обоснование своего выполнения.

По мере изучения теоретического материала на лекциях студентам предлагаются самостоятельные задания по соответствующим темам из списка, которые выполняются при подготовке к практическим занятиям. Все задания, предложенные студентам оформляются в отдельные тетради для самостоятельной работы.

Контроль за выполнением заданий осуществляется преподавателем-лектором в двух формах: А) Проверка письменных работ Б) Индивидуальное собеседование Студенты отчитываются по выполнении перед проведением коллоквиума по теоретическому материалу.

Итоговая проверка выполнения заданий осуществляется в конце семестра. Без выполнения самостоятельных заданий студент не допускается к коллоквиуму, а затем и к сдаче зачета.

1. Охарактеризуйте структуру программ по математике для средней школы. 2. Найти в школьных учебниках примеры использования наблюдения и опыта,

сравнения, обобщения, конкретизации и абстрагирования (по 2 примера из 5-6 классов, по 2 примера из курса алгебры и геометрии 7-9 классов, по 2 примера из геометрии, алгебры и начал анализа 10-11 классы).

3. Доказать неравенство а2+в2+с2+3 2(а+в+с) используя: а) совершенный анализ, б) несовершенный анализ.

4. На примере любой теоремы из геометрии 7-9 классов показать использование синтетического способа и совершенного анализа на этапе поиска пути доказательства теоремы.

5. Из школьных учебников найти по 2 примера использования полной и неполной индукции.

6. Составить несколько дедуктивных умозаключений, используя материал учебников 5-6 классов, 7-9 классов.

7. Привести по 2 примера на использование аналогии при: а) изучение понятий; б) доказательство теорем; в) решение задач.

8. На примере понятий из курса геометрии разъясните, что такое содержание и объем понятий.

9. Приведите свои примеры на каждый из возможных отношений между объемами понятий.

10. Приведите примеры родовых и видовых понятий. 11. Изобразите кругами Эйлера объемы понятий: «призма», «параллелепипед»,

«прямоугольный параллелепипед», «куб». 12. Приведите примеры на связь между объемом и содержанием понятия.

138

13. Найдите ошибки в определении понятий и укажите их причины: 1) Квадратным уравнением называется уравнение, которое содержит

неизвестную во 2-ой степени. 2) Тупым углом называется угол больший прямого. 3) Отрезок, соединяющий середины 2 сторон трапеции и равный полусумме

оснований, называется средней линией трапеции. 4) Биссектрисой угла называется прямая, которая делит угол пополам. 5) Правильной пирамидой называется пирамида, в основании которой лежит

правильный многоугольник. 14. Какие приемы (виды) определений понятий используются в математике.

Ответы проиллюстрируйте соответствующими понятиями из математики 5-6 классов, из учебников алгебры и геометрии 7-9 классов, из учебников геометрии 10-11 классов, алгебры и начал анализа.

15. Проведите классификацию понятия «четырехугольник» по признаку параллельности сторон.

16. Проведите классификацию понятия»многогранник» по любому произвольно выбранному признаку.

17. На примере любого понятия из курса 5-9 классов показать конкретно-индуктивный путь изучения понятий.

18. На примере любого понятия из курса 10-11 классов проиллюстрировать абстрактно-дедуктивный путь изучения понятий и обосновать целесообразность выбора этого понятия.

19. На примере двух теорем из курса геометрии обосновать возможности выбора догматического или генетического подхода в изучении теорем.

20. На примере любой теоремы из курса геометрии и курса алгебры рассмотреть различные приемы, используемые учителем по раскрытию содержания теоремы.

21. Составить несколько задач, включающих элементы доказательства теоремы Фалеса.

22. На примере изучения свойств квадратичного корня и корня n – степени рассмотреть использование аналогии при изучении теорем.

23. На примере любой текстовой задачи из курса алгебры 8 класса показать реализацию всех 4 этапов при обучении решению задач.

24. Для примера хххххх

х

2

1:1 составить вопросы по анализу условия

задачи. 25. Подобрать вопросы для поиска пути решения синтетическим и аналитическим

способами для задачи: «Из 250 лошадей было 30 вороных, а 0,7 остальных лошадей табуна было серых. Кроме вороных и серых были лошади рыжей масти. Сколько было лошадей рыжей масти?»

26. На примере текстовых задач из математики 5-6 классов покажите различные способы записи: а) условия задачи, б) решения задачи.

27. Какими путями осуществляется проверка решения задачи? Приведите примеры.

«ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ...

Documents