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신호와 시스템 제1장

신호와 시스템의 개념

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1.1 신호의 개념

1.2 신호 해석을 위한 용어 정의

1.3 신호의 유형 분류

1.4 시스템의 개념

1.5 시스템의 유형 분류

1.6 신호와 시스템의 해석 방법

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신호(signal)의 정의

• 어떤 물리적 현상이 담고 있는 정보를 구체화한 것으로서,

• 한 개 또는 그 이상의 독립변수의 함수로 정의

신호의 예

• 음성 신호, 영상 신호, 회사의 월간 판매 실적

신호의 독립변수:

• 음성 신호: 독립변수 한 개(시간)

• 영상 신호: 수평 및 수직 방향의 거리를 독립변수로 사용

• 동영상 신호: 2차원 평면의 위치를 나타내는 두 개의 독립변수와 시간을 더하여 3 개의 독립변수

신호의 개념

( ), ( , ), ( , , )s t s x y s x y t

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시 평균 (time average)

직류 값 (dc value)

• 유한 시구간 에서의 직류 값

용어 정의

/2

/2

1[ ] lim [ ]

T

TTdt

T

/2

dc/2

1( ) lim ( )

T

TTx x t x t dt

T

1 2t t t

2

12 1

1( )

t

tx t dt

t t

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전력 (power): 전기 회로의 경우

• 부하의 소비 전력

순간 전력 (instantaneous power)

– 부하가 저항 값 R을 가진 저항이라면

– 만일 R = 1 ohm이라면

평균 전력(average power)

용어 정의

( ) ( ) ( )p t v t i t

부하

( )v t

( )i t

( ) ( ) ( )P p t v t i t

22 ( )

( ) ( ) ( ) ( )v t

p t v t i t i t RR

2 2( ) ( ) ( )p t i t v t

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전력 (power): 신호 해석의 경우

• 신호 해석에서는 정규화된(normalized) 전력의 개념 사용

즉, 저항 값이 이라고 가정한 전력의 정의가 사용됨

통신/신호처리에서는 신호나 잡음의 절대 전력이 중요한 것이 아니라

신호전력 대 잡음전력의 비(Signal to Noise Ratio: SNR)가 중요하다.

따라서 SNR 산출에서 저항 값이 상쇄되므로 정규화된 전력을

사용해도 된다.

• 신호 x(t)의 전력

순간 전력 (instantaneous power)

평균 전력 (average power)

용어 정의

2( ) ( )p t x t

1R

/22 2

/2

1( ) lim ( )

T

TTP x t x t dt

T

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RMS 값(root mean square value)

• rms value와 평균전력의관계

에너지(energy)

용어 정의

2

rms ( )x x t

/2 2

/2lim ( )

T

TTE x t dt

2

rms , rmsx P P x

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데시벨(decibel)

• 두 전력의 비율(ratio)을 로그 값으로 표현한 것

• 예: 입력의 전력 레벨 대 출력의 전력 레벨의 비율

[정의] 데시벨 이득 (decibel gain)

• 여기서 Pin은 입력의 평균 전력이고, Pout은 출력의 평균 전력

• 데시벨 이득을 신호의 rms 값으로 표현하면

• 만일 dB 값을 알고 있다면 입력과 출력의 전력 비는 다음과 같이

구할 수 있다.

용어 정의

out

in

dB 10logP

P

rms out

rms in

dB 20logx

x

dB/10out

in

=10P

P

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신호의 유형 분류

• 연속시간 신호와 이산시간 신호

• 아날로그 신호와 디지털 신호

• 주기 신호와 비주기 신호

• 에너지 신호와 전력 신호

• 결정 신호와 랜덤 신호

신호의 유형

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연속시간(CT) 신호 x(t)와 이산시간(DT) 신호 x[n]

• 독립변수인 시간이 연속적인 값을 갖는지 이산적인 값을 갖는지에

의하여 구분

• CT 신호 x(t): 독립변수 t는 연속적인 시간축 상의 위치를 나타냄

• DT 신호 x[n]: 독립변수 n은 불연속적인 혹은 이산적인 시간축 상의

위치(시간 인덱스)를 의미

n은 integer로서 시간 자체가 아니라 단위 시간(Ts)이 n 번 지난 후의

시간(즉 t = nTs)을 나타낸다.

그러므로 t 의 단위는 초(sec)이나, n은 정수값을 갖는 인덱스로서

단위는 없다.

• Sampling: CT 신호를 DT 신호화

Sampling 간격을 Ts 로 하는 경우

연속시간 신호와 이산시간 신호

[ ] ( ) ( )st nT sx n x t x nT

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아날로그 신호와 디지털 신호

• Analog 신호: 신호의 크기가 연속적인 범위에서 어떠한 값도 가질

수 있는 경우

• Digital 신호: 신호 크기가 유한한 이산적인 값만 가질 수 있는 경우

디지털 신호 중에서 두 개의 준위(level) 만을 갖는 신호를 이진(binary)

신호라 하며, M 개의 준위를 갖는 신호를 M진(M-ary) 신호라 한다.

• Quantization(양자화): 아날로그 신호를 디지털 신호화

아날로그 신호와 디지털 신호

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신호의 분류

( )x t ( )x t

t t

( )x t ( )x t

t t

(a) (b)

(d)(c)

[ ]x n [ ]x n

n n

1 3 5

2 2 20 1 2

1

2

01

2

1

21

2

3

2

5

2

1 0 1 2 3 4 5

4 51 0 1 2 3

(a) 연속시간, 아날로그

(b) 연속시간, 디지털

(c) 이산시간, 아날로그

(d) 이산시간, 디지털

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Periodic signal with period T

• 어떤 신호가 주기 T를 가진 주기 신호라면, 이 신호는 또한 주기

mT(m은 자연수)를 가진 주기 신호가 된다.

• 기본주기(fundamental period) T0: minimum period

• 기본주파수(fundamental frequency) f0 = 1/ T0 [Hz]

Aperiodic (nonperiodic) signal: 주기신호가 아닌 신호

주기 신호와 비주기 신호

... ...

( )x t

t

0T0T 0

( ) ( )x t x t T

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정현파(sinusoidal) 신호: 대표적인 주기 신호

• 기본주기:

• 기본주파수: [Hz]

[rad/sec]

주기신호의 평균 전력

주기 신호

0( ) cosx t A t

0 02 /T

0 0 01/ / 2f T

0 0 02 / 2T f

( )x t

t

0T0 / 2T0

A

A

0

0

2T

0

0

/2 2

/20

1( )

T

TP x t dt

T

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Energy Signal if

Power Signal if

Note

• 에너지 신호의 전력은 0이다.

• 전력 신호의 에너지는 ∞이다.

• 에너지 신호도 아니고 전력 신호도 아닌 신호가 존재한다.

(예: )

• 주기 신호는 전력 신호이다.

에너지 신호와 전력 신호

20 ( )E x t dt

/2 2

/2

10 lim ( )

T

TTP x t dt

T

( ) or ( ) tx t t x t e

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Example


( )x t

0t

A tAe

(a)

22 2 2

0( )

2

0 Energy signal

t AE x t dt A e dt

E

/2 /22 2 2

/2 0

/22 2

2

0

1 1lim ( ) lim

1lim lim 0

2 2

Not power signal

T Tt

TT T

T

t

T T

P x t dt A e dtT T

A Ae

T T

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Example


02 2 2 2

0( ) Not energy signaltE x t dt A dt A e dt

/2 2

/2

0 /22 2 2

/2 0

22

1lim ( )

1 1lim lim

1lim 0 Power signal

2 2

T

TT

Tt

TT T

T

P x t dtT

A dt A e dtT T

T AA

T

( )x t

0t

AtAe

(b)

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Example: 평균전력을 구하라


( )x t

t

0T0

2

T0

A

A

03

2

T

( )x t

t

0T0

2

T0

A

A

03

2

T

( )x t

t

0T0

2

T0

A

A

03

2

T

0

0

0

0

/22 2

/20 0

2/2

/20 0

2

1 2sin

1 41 cos

2

2

T

T

T

T

tP A dt

T T

A tdt

T T

A

0

0

2 20 /2

2 2

/2 00 0

2

1 1( )

2 2

T

T

A AP A dt A dt

T T

A

0

22

/4

00 0

4 4

3

T At AP dt

T T

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Deterministic Signal

• 신호를 표현함에 있어서 불확실성이 없어서 수식이나 그래픽

형태로 신호에 대한 물리적인 기술을 완전히 할 수 있는 신호

• 예:

Random Signal

• 신호의 파라미터에 불확실성이 있어서 확률적으로만 표현할 수

있는 신호

• 예:

결정 신호와 랜덤 신호

( ) 10cos(20 / 6)x t t

( ) 10cos(20 )

with a random variable dstributed in (0,2 )

x t t

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System의 정의

• 신호의 형태나 속성을 변화시켜서 다른 신호를 만들어내는 개체

• Input 신호를 처리하여 output 신호(또는 response)를 만들어냄

• 예: 자동차 운전

핸들의 조작이나 가속기에 가하는 압력이 입력 신호가 되며, 자동차의

주행 궤적이나 속도는 출력이 된다.

• 예: 전기 회로

전원(전압소스 또는 전류소스)이 입력, 특정 소자(저항, 캐패시터,

인덕터)의 전류 또는 전압이 출력이 된다.

• 예: 전기 통신

선로가 시스템이 되며(“통신 채널”), 송신 신호와 수신 신호가 각각

입력과 출력이 된다.

시스템의 개념

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연산자(operator)로 본 시스템의 개념:

• 연산자 는 함수 를 또 다른 함수 로 변환

CT system과 DT system

• CT system

• DT system

시스템의 개념

( )T

( )T ( )x ( ) ( )y T x

[ ] [ ]y n T x n

( ) ( )y t T x t

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시스템과 입출력 신호의 관계

(a) 연속시간(CT) 시스템 (b) 이산시간(DT) 시스템

시스템의 개념

( )T ( )x ( )y

입력 신호

( )y t

t

( )x t

t0

1

0

CT 시스템

[ ]y n

n

[ ]x n

n0

1

0

DT 시스템

( )x t ( )y t

[ ]x n [ ]y n

(a)

(b)

출력 신호시스템

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전기 회로

• 만일 입출력 미분방정식을 알고 있다면 임의의 입력에 대해

미분방정식의 해를 구함으로써 출력을 구할 수 있다.

시스템의 표현 예

( )Cv t

R C

( )Ri t

( )Ci t

( )si t

( ) ( ) ( ) c Cs R C

v dvi t i t i t C

R dt

( ) ( ), ( ) ( )s ci t x t v t y t

( ) 1 1( ) ( )

dy ty t x t

dt RC C

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시스템의 표현 방법

• 입출력 미분방정식이 시스템을 표현하는 유일한 수단이거나 항상

최선의 방법인 것은 아님

• 표현 방법을 크게 분류하면 시간 영역 방법과 주파수 영역(또는 s-

영역) 방법이 있음

• 시간 영역 표현 방식: 입출력 관계를 시간 영역에서 표현(3장)

입력-출력 미분방정식(differential equation)

상태 변수를 사용한 표현(상태방정식: state equation)

임펄스 응답과 컨볼루션 적분(convolution integral)

• 주파수 영역 표현 방식: Fourier 변환과 Laplace 변환 사용(4~6장)

주파수 응답(또는 전달함수)

시스템의 표현

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시스템의 표현 방법 (DT system의 경우)

• 시간 영역 방법과 주파수 영역(또는 z-영역) 방법이 있음

• 시간 영역 표현 방식: 입출력 관계를 시간 영역에서 표현(7장)

입력-출력 차분방정식(difference equation)

상태 변수를 사용한 표현(상태방정식: state equation)

임펄스 응답과 컨볼루션 합(convolution sum)

• 주파수 영역 표현 방식: DT Fourier 변환과 Z-변환 사용(7~10장)

주파수 응답(또는 전달함수)

시스템의 표현

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Linear if

• Additive:

• Homogeneous:

Linearity를 위한 필요충분 조건: 중첩의 원리 성립

Nonlinear system: 선형 시스템이 아닌 시스템

• Additivity나 homogenity 중 어느 하나라도 만족이 안 되는 시스템

Linear System vs. Nonlinear System

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )T x t x t T x t T x t

1 1( ) ( )T x t T x t

1 2 1 2[ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )]T x t x t T x t T x t

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Principle of superposition


( )T

t0

1 1( )x t1( )y t

1( )x t

t0

1( )y t

( )T t

0

2 ( )x t2 ( )y t

2 ( )x t

t0

2 ( )y t

( )T

t0

11 2

( )

( ) ( )

x t

x t x t

1 2

( )

( ) ( )

y t

y t y t

1 2( )x t x x

t0

1 2( )y t y y

( )T

t0

1

( )

( )

x t

x t

1

( )

( )

y t

y t

1( )x t x

t0

1( )y t y

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Equivalence of linear system


( )T ( )y t

1( )x t 1x

x

2 ( )x t 2x1 2x x

( )T

( )y t

1( )x t 1y

2y

1y

( )T 2 ( )x t 2y

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[예제 1.3] Linear system인지 판정하라.


2

0

( )(a) ( )

(b) ( ) ( )

(c) ( ) 2 ( ) , 0

(d) ( ) ( )

( )(e) 3 ( ) ( )

tt

dx ty t K

dt

y t x t

y t x t d d

y t e x d

dy ty t x t

dt

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Time Invariant (TIV: 시불변) 시스템의 개념

• 시스템의 속성이 시간에 따라 변하지 않는 시스템

• 시스템이 동작하는 시점에 상관 없이 항상 같은 출력을 발생시키는

시스템

Time Varying (TV) 시스템

• TIV 시스템이 아닌 시스템(속성이 시간에 따라 변하는 시스템)

TIV 시스템의 정의

• 입력 x(t)에 대한 출력을 y(t)=T[x(t)]라 하자.

• 이 입력을 t0초 후에 가하는 경우, 즉 x1(t)=x(t-t0)를 가하는 경우

출력이 y1(t)=y(t-t0)가 된다면, 즉 t0 초 후에 동일한 파형의 출력이

나온다면 이 시스템을 시불변 시스템이라 한다. 즉

TIV System vs. TV System

0 0[ ( )] ( )T x t t y t t

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TIV 시스템


( )T

t0

1( )x t ( )y t

( )x t

t0

( )y t

( )T

t0

11

0

( )

( )

x t

x t t

1( )x t

t0

1( )y t

0t 0t

1

0

( )

( )

y t

y t t

0 t 만큼 이동 0 t 만큼 이동

0 0[ ( )] ( )T x t t y t t

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[예제 1.4] 시불변 시스템인지 판정하라.

[Note]

• 입출력 미분방정식으로 표현된 시스템에서 미분방정식의 계수가

상수인 경우 시스템은 시불변이며, 계수가 시간의 함수인 경우에는

시스템이 시변이다.


( )(a) ( )

(b) ( ) ( )

( )(c) ( ) ( )

( )(d) 2 ( ) ( )

x ty t e

y t t x t

dy tt y t x t

dt

dy ty t x t

dt

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Causal (인과) System의 개념

• 아직 들어오지 않은 미래의 입력은 현재의 출력에 영향을 미치지

않는 시스템, 즉 원인(cause)이 있어야 결과(effect)가 있는 시스템의

속성을 인과적(causal)이라 한다.

• 시각 t0에서 시스템의 출력 y(t0)이 현재와 과거의 입력, 즉 t ≤ t0 의

입력에 의해서만 결정되는 시스템

Noncausal (비인과) System

• t > t0 의 입력이 y(t0)에 영향을 미치는 시스템

Causal System vs. Noncausal System

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Causal System의 정의

• 임의의 두 개 입력 x1(t)와 x2(t) 가 다음과 같은 경우

• 대응하는 출력 y1(t)와 y2(t)도 역시

를 만족한다면 이 시스템을 인과적이라 한다.


1 2 0( ) ( ),x t x t t t

1 2 0( ) ( ),y t y t t t

1( )x t

t0t

2 ( )x t

1 2( ) ( )x t x t

1( )y t

t0t

2 ( )y t

1 2( ) ( )y t y t

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[예제 1.5] 다음 시스템의 causality 여부를 판별하라.


( )

4

0

0

(a) ( ) 3 ( ) 1

(b) ( ) 3 ( 1)

1(c) ( ) ( ) , 0

2

(d) ( ) ( ) ( ) , 0

(e) ( ) ( ) ( ) , 0

(f) ( ) ( )

tt

y t x t

y t x t

y t e x d t

y t h x t d t

y t h x t d t

y t x t

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선형 시스템의 인과성 조건

(a)

(b)

Linear System의 Causality

0 0( ) 0 ( ) 0x t t t y t t t 이면

( ) 0 for 0h t t

( )y t

t

( )x t

t0t 0t

Causal linear( )x t ( )y t

system

( ) 0x t ( ) 0y t

Causal linear( )t ( )h t

system

( )t

t0

( )h t

0t

( ) 0h t

(a)

(b)

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BIBO Stability

• 시스템에 임의의 유한한 크기의 입력을 가했을 때, 출력이 무한한

크기로 발산하지 않는다면 그 시스템을 BIBO (bounded input

bounded output) 안정 시스템(stable system)이라 한다.

• 즉 모든 t 에서

와 같이 크기가 유한한 임의의 입력에 대해, 출력이 모든 t 에서

을 만족시킨다면 이 시스템은 BIBO 안정하다.

Unstable System

• 입력의 크기가 유한한 값을 넘지 못하게 제한하더라도 출력이

발산하는 시스템

Stable System vs. Unstable System

( ) xx t B

( ) yy t B

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[Note]

• BIBO 안정성을 증명하려면 크기가 제한된 모든 종류의 입력

신호에 대해 출력 신호의 크기가 제한된다는 것을 보여야 한다.

• 불안정성을 증명하는 경우에는 출력 신호가 발산하게 되는 제한된

크기의 입력 신호의 예를 하나만 제시해도 충분하다.


( )x t

1( )y t안정

시스템

불안정

시스템2 ( )y t

t0

xB

( )x tt

0

yB

1( )y t

xB

t0

2 ( )y t

(a)

(b)

yB

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[예제 1.6] 시스템의 stability를 판별하라.


2

( )

(a) ( ) ( )

(b) ( )

(c) ( ) ( )

(d) ( ) ( )

x t

t

y t x t

y t e

y t t x t

y t x d

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무기억 (memoryless) 시스템

• 어떤 시스템의 현재 출력 값이 오직 현재의 입력 값에만 관계된다면

그 시스템을 무기억(memoryless) 시스템이라 한다.

• 과거나 미래의 입력이 현재의 출력에 영향을 주지 않음

• 시스템 구현 시 기억 소자 불필요

• 예:

기억(memory) 시스템

• 과거의 입력이 현재의 출력에 영향을 주는 시스템

• 시스템 구현 시 기억 소자 필요

• 예:

기억 System vs. 무기억 System

2 2( ) ( ), ( ) 2 ( ) ( )ty t e x t y t x t x t

2( )

0( ) ( 1), ( ) ( ) , ( ) ( )

t tty t x t y t x d y t e x d

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가역성 (invertible) 시스템

• 시스템의 출력을 관측함으로써 입력 신호를 결정할 수 있을 때 그

시스템을 가역성 시스템이라 한다.

• 가역성을 위해서는 입력과 출력이 일 대 일 관계가 성립해야 한다.

• 가역성인 경우 역 시스템(inverse system)을 시스템 출력에 직렬로

연결하면 원래의 입력 신호를 복원할 수 있다.

• 예를 들어 음성 부호화 시스템에서 encoder가 가역성이라면

부호화된 데이터를 복호화하여 원래의 음성을 다시 복구할 수

있으며, decoder가 역 시스템이 된다 .

예

• 가역성 시스템

• 비가역성 시스템

가역성 System vs. 비가역성 System

system( )x t

( )y t( ) ( )z t x t

inversesystem

( ) 2 ( ), ( ) ( ) , ( ) 0t

y t x t y t x d y

( ) sin ( )y t x t

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신호와 시스템 해석

• 신호와 시스템 간의 상호 작용에 대해 알아내는 과정이다.

• 시스템 유형에 따라 입출력 간의 상호 작용 특성이 다르다.

신호 처리(signal processing)

• 주어진 신호를 변화시켜 원하는 성질을 갖도록 시스템을 설계하여

그 시스템에 통과시키는 과정이라 할 수 있다.

시스템 설계

• 먼저 시스템에 대한 수학적 모델링을 하고, 원하는 신호 처리

기능이 이루어지도록 파라미터와 시스템 구조를 결정한다.

• 시스템 모델링

시스템 유형과 복잡도(예: 미분방정식 차수)를 적절히 선정해야 한다.

복잡도가 높을수록 원하는 기능이 정확히 작동하게 할 수 있으나

구현상 어려움이 있다.

설계된 시스템의 안정성 및 실현 가능성을 검증하는 것도 필요하다.

신호와 시스템의 해석

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시간 영역 vs. 주파수 영역 시스템 해석

• 시간 영역에서 할 수 있지만 다른 영역(예: 주파수 영역 또는 s-

영역)에서 하는 것이 더 쉬운 경우도 많이 있다(예: 필터 설계).

• 주파수 영역 신호 해석

시간을 독립변수로 표현한 신호 x(t) 대신 이를 푸리에 변환한 신호 즉

주파수를 독립변수로 한 함수 X() 를 사용하여 해석한다.

신호 외에 시스템 또한 주파수 영역에서의 표현이 필요하다. 이것이

주파수 응답인데, 임펄스 응답의 푸리에 변환으로 정의된다.

문제는 불안정한 시스템의 경우 푸리에 변환이 존재하지 않을 수

있다는 것인데, 이 경우 주파수 영역의 해석이 불가능해진다.

푸리에 변환을 확장한 것이 라플라스 변환(Laplace transform)으로,

주파수 영역 개념을 확장한 영역 개념을 사용하여 함수를 표현하며

푸리에 변환이 존재하지 않는 신호까지 포함하므로 불안정한

시스템까지 포함하여 해석을 할 수 있다.


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연속시간(CT) 시스템의 시간 영역 해석

• 시스템의 표현 방식

입출력 미분방정식(differential equation)

임펄스 응답(impulse response)

• 시스템의 응답(출력)을 구하는 방법

입출력 미분방정식: 방정식의 해를 구함

임펄스 응답: 입력과 임펄스 응답과의 컨볼루션 적분(convolution

integral)을 계산

연속시간(CT) 시스템의 주파수(또는 s-) 영역 해석

• 시스템의 표현 방식: Fourier 변환과 Laplace 변환 사용

주파수 응답 (전달함수): H() 또는 H(s)



1( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y H X y t F Y

( ) ( ) ( )y t h t x t

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연속시간(DT) 시스템의 시간 영역 해석

• 시스템의 표현 방식

입출력 차분방정식(difference equation)

임펄스 응답(impulse response)


입출력 차분방정식: 방정식의 해를 구함

임펄스 응답: 입력과 임펄스 응답과의 컨볼루션 합(convolution sum) 계산

연속시간(DT) 시스템의 주파수(또는 Z-) 영역 해석

• 시스템의 표현 방식: 이산시간 Fourier 변환과 Z-변환 사용

주파수 응답 (전달함수): H() 또는 H(z)



1( ) ( ) ( ) [ ] ( )Y z H z X z y n Z Y z

[ ] [ ] [ ]y n h n x n

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