Тольятти 2006

Министерство образования Российской федерации Тольяттинский Государственный Университет

Кафедра «Высшая математика и математическое моделирование»

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА часть I

Методическое пособие для преподавателей

2

УДК 51(075.8) ББК 22.1я.73 В 93

Научный редактор д.т.н., профессор П.Ф.Зибров

Рецензенты: к.п.н, доцент Пивнева С.В.;

к.п.н, доцент, член-корреспондент академии пед.наук Ахметжанова Г.В.

В-93 Высшая математика: Методическое пособие для преподавателей. Часть I. Сост.:

Калукова О.М., Кошелева Н.Н., Никитина М.Г., Павлова Е.С., - Тольятти: ТГУ, 2005.- 23 стр. Методическое пособие соответствует курсу «Высшая математика». Данное пособие – эта

помощь преподавателю в подготовке к лекционным занятиям по курсу «Высшая математика». В пособии представлены модули: Линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия и введение в анализ. Рекомендовано преподавателям, работающим со студентами нематематических специальностей, обучающихся по технологии 30/70.

Утверждено научно-методическим советом факультета математики и информатики

Тольяттинского государственного университета. Подписано в печать 8.09.2005. Формат 60×84/16 Печать оперативная. Усл. п. л. 1,5. Уч.-изд. л. 1,4 Тираж 10 экз.

УДК 51(075.8) ББК 22.1я173

© Тольяттинский Государственный Университет

3

Содержание Введение ............................................................................................................................................................................4 Структура дисциплины «Высшая математика» I семестр.............................................................................................5 Рейтинг дисциплины «Высшая математика» .................................................................................................................6 Модуль №1. Линейная алгебра ........................................................................................................................................8 Модуль №2. Векторная алгебра.......................................................................................................................................9 Модуль №3. Аналитическая геометрия» ......................................................................................................................10 Модуль №4. Введение в анализ .....................................................................................................................................12 Банк контрольных тестов ...............................................................................................................................................13

Тест-тренинг №1 для самоконтроля по модулю «Линейная алгебра» .................................................................13 Тест-тренинг №2 для самоконтроля по модулю «Векторная алгебра» ................................................................17 Тест-тренинг №3 для самоконтроля по модулю «Аналитическая геометрия»....................................................20 Тест-тренинг №4 для самоконтроля по модулю «Введение в анализ» ................................................................23

Список литературы и электронных пособий ................................................................................................................26 Приложение. Технологическая карта дисциплины «Высшая математика» на I семестр .........................................27

4

Введение Целью изучения дисциплины «Высшая математика» является обучение основным

математическим методам, необходимым для анализа и моделирования устройств, процессов и явлений при поиске оптимальных решений, выбору рациональных способов реализации этих решений методом обработки и анализа результатов численных и натуральных экспериментов.

Знания математики необходимы для успешного усвоения общетеоретических и специальных дисциплин в области техники, информационных технологий.

Основные задачи дисциплины состоят в том, чтобы 1) продемонстрировать студентам на примерах математических понятий и методов действие

законов диалектики, сущность научного подхода, специфику математики и её роль в развитии; 2) развивать у студентов умение самостоятельно расширять и углублять математические

знания. 3) усилить прикладную направленность курса для изучения специальных дисциплин

учебного плана; 4) использовать математические методы для решения самых разнообразных задач техники,

планирования и прогнозирования, анализа инженерной деятельности. Математическое образование современного специалиста включает: 1) базовую подготовку, состоящую из общего курса математики и специальных

математических курсов. 2) общий курс формирует у студентов умение исследовать математические модели и решать

задачи, обрабатывать и анализировать экспериментальные данные; 3) математические методы ориентированы на построение математических моделей,

реализуемых на ЭВМ, проведение численных экспериментов, построение оптимальных решений.

После освоения математической программы студент должен знать: 1) основные математические понятия такие как, функция, предел, производная, интеграл,

дифференциальные уравнения, ряды и методы для решения инженерных задач такие как", дифференцирование, интегрирование, представление функций с помощью рядов, уметь:

2) правильно задавать цель тому или иному процессу, определять условия и ограничения в достижении цели, выбирать критерии оптимальности, проводить натурные эксперименты, формулировать задания, проигрывать на моделях возможные ситуации и получать оптимальные решения с помощью математических методов.

Цель данного пособия – помощь преподавателю в подготовке к лекционным занятиям по «Высшей математике» в первом семестре.

5

Структура дисциплины «Высшая математика» I семестр Линейная алгебра Матрицы, их виды и действия над ними. Определители и их свойства. Обратная матрица.

Ранг матрицы. Матричный метод решения систем уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Исследование систем линейных уравнений. Однородные системы.

Векторная алгебра Векторные пространства и линейные отображения. Основные алгебраические структуры.

Понятие линейного и векторного пространства. Булевы алгебры. Евклидово пространство. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве. Векторы и их равенство, линейные операции над ними. Линейно-независимые системы векторов. Базис, разложение по базису. Проекции и координаты вектора. Линейные отображения. Линейные операции в координатной форме. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, их свойства и выражение через координаты сомножителей. Длина вектора, угол между векторами. Условие перпендикулярности, коллинеарности и компланарности векторов.

Аналитическая геометрия 1) Г е ом е т р и я н а п л о с к о с т и Понятие об уравнении линии на плоскости и поверхности в пространстве. Уравнения

окружности и сферы. Уравнение плоскости, угол между плоскостями. Прямая на плоскости в пространстве. Векторные и канонические уравнения прямой. Расстояние от точки до прямой и плоскости. Общее уравнение кривых второго порядка.

2) Мно г о у р о в н е в а я Е в к л и д о в а г е о м е т р и я Канонические уравнения эллипса, гиперболы, исследование их геометрических свойств.

Поверхности второго прядка, их канонические и Квадратичные формы, приведенные к их каноническому виду. Применение к упрощению уравнений кривых второго порядка.

3) Дифф е р е н ц и а л ь н а я г е о м е т р и я к р и вы х и п о в е р х н о с т е й Элементы топологий. Кривые на евклидовой плоскости. Касательная, нормаль, особые

точки. Кривизна кривой. Огибающая семейства плоских кривых. Кривые в трехмерном евклидовом пространстве. Подвижный треугольник. Формулы Френе. Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве. Касательная плоскость и нормаль. Дифференциал длины дуги и элемент площади.

4) Ди с к р е т н а я м а т е м а т и к а Элементы теории множеств. Основные сведения о логических исчислениях. Теория

алгоритмов, языки и грамматика, автоматы. Элементы теории графов, их применение. Виды графов. Основные понятия комбинаторики. Комплексные числа

Введение в математический анализ Функция, её предел и непрерывность. Вещественные числа, свойства их абсолютных

величин. Числовая последовательность, её предел. Предел монотонной ограниченной последовательности. Число «е», натуральные логарифмы. Предел функции в точке и в бесконечности. Ограниченность функции, имеющей предел. Предел промежуточной функции. Непрерывность функции. Непрерывность основных элементарных функций (доказательство для одной из них). Замечательные пределы. Бесконечно малые функции, их свойства. Предел суммы, произведения и частного. Бесконечно большие функции, их неограниченность и связи с бесконечно малыми. Сравнение бесконечно малых. Свойства непрерывных в точке функций: непрерывность суммы, произведения и частного; предел и непрерывность сложной функции; непрерывность элементарных функций; устойчивость знака. Односторонние пределы и непрерывность функции. Точки разрыва, их классификация. Непрерывность функции на отрезке, её свойства; ограниченность, существование наибольшего, наименьшего и промежуточных значений.

6

Рейтинг дисциплины «Высшая математика» За временную единицу учебного процесса принимается семестр. Семестровый цикл обучения по дисциплине «Высшая математика» оценивается в 160

баллов (при полном выполнении всего объема теоретического обучения и практических заданий).

Рейтинг студента по дисциплине в семестре в любой отчетный момент времени равен сумме баллов, набранных в процессе текущего контроля, а на завершающем этапе – полной сумме баллов, включая баллы, набранные в процессе итогового контроля.

Итоговая оценка студента по дисциплине по окончании семестра определяется по таблице1. Таблица 1

Сумма баллов Оценка От 138 и выше Отлично От 110-137 Хорошо От 82- 109 Удовлетворительно Меньше 82 Неудовлетворительно

Студент, имеющий итоговый рейтинг по дисциплине менее 82, считается неуспевающим по

этой дисциплине, к сессии не допускается и обязан ликвидировать академические задолженности и повысить свой рейтинг до уровня не менее 82.

Если по дисциплине рейтинг студента в конце семестра больше 138 баллов, то он получает оценку «отлично». При рейтинге от 110 до137 студенту выставляется оценка «хорошо»

При рейтинге 82 до 109 студенту ставится оценка «удовлетворительно» Рейтинг студента определяется из представленных ниже таблиц: Тест по модулю

Выполнение(%) Рейтинг (баллы) 100 % 20 95 % 19 90% 18 85% 17 80% 16 75% 15 70% 14 65% 13 60% 12 55% 11 50% 10

Промежуточный тест по модулю

Выполнение(%) Рейтинг (баллы) 100% 10 95% 9,5 90% 9 85% 8,5 80% 8 75% 7,5

7

70% 7 65% 6,5 60% 6 55% 5,5 50% 5

Проверка дом задания в каждом модуле

Выполнение(%) Рейтинг (баллы) 0-49% незачет

50-100% зачет (2,5 б)

Итоговый тест за семестр

Выполнение( %) Рейтинг (баллы) 100% 20 95% 19 90% 18 85% 17 80% 16 75% 15 70% 14 65% 13 60% 12 55% 11 50% 10

8

Модуль №1. Линейная алгебра Лекция 1. Матрицы. Основные понятия 1. Основные понятия темы 2. Действия над матрицами Произведение двух матриц Сложение матриц Свойства сложения матриц Умножение матрицы на число Свойства умножения матриц Вычитание матриц Равенство матриц Лекция 2. Определители и их свойства Понятия определителя Определение минора Алгебраическое дополнение (адъюнкт) Вычисление определителей Свойства определителей Лекция 3. Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений 1. Обратная матрица. Свойства обратных матриц 2. Решение систем линейных уравнений 2.1 Система линейных уравнений. 2.2. Решение систем линейных уравнений матричным методом 2.3. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера Лекция 4. Исследование систем линейных уравнений 1. Теорема Кронекера – Капелли 2. Метод Гаусса На самостоятельное изучение выносятся следующие темы: Ранг матрицы Решение однородных систем

9

Модуль №2. Векторная алгебра Лекция 5. Основные понятия векторной алгебры 1. Основные определения и свойства векторов. 2. Линейная зависимость векторов Лекция 6. Скалярное произведение векторов 1. Основные определение и свойства 2. Геометрический смысл скалярного произведения векторов Лекция 7. Векторное и смешанное произведение векторов 1. Векторное произведение 2. Смешанное произведение векторов 3. Геометрический смысл векторного и смешанного произведения векторов На самостоятельное изучение выносятся следующие темы: Декартова система координат элементы комбинаторики Элементы математической логики

10

Модуль №3. Аналитическая геометрия» Лекция 8 Понятие линии на плоскости Уравнение линии на плоскости Уравнение прямой на плоскости Уравнение прямой по точке и вектору нормали. Уравнение прямой, проходящей через две точки Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту Уравнение прямой по точке и направляющему вектору Уравнение прямой в отрезках Нормальное уравнение прямой Угол между прямыми на плоскости Расстояние от точки до прямой Лекция 9. Плоскость и прямая в пространстве Общее уравнение плоскости Уравнение поверхности в пространстве Уравнение плоскости, проходящей через три точки Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам, коллинеарным плоскости Уравнение плоскости по точке и вектору нормали Уравнение плоскости в отрезках Уравнение плоскости в векторной форме Расстояние от точки до плоскости Уравнение линии в пространстве Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки Общие уравнения прямой в пространстве Угол между плоскостями Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей Угол между прямыми в пространстве Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве Угол между прямой и плоскостью Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве Лекция 10. Кривые второго порядка Окружность Эллипс Гипербола Парабола Лекция 11. Поверхности второго порядка 1. Цилиндрические поверхности эллиптический цилиндр гиперболический цилиндр параболический цилиндр 2. Поверхности вращения

11

Сфера Трехосный эллипсоид эллипсоид вращения параболоид вращения двуполостный гиперболоид вращения однополостный гиперболоид вращения Конус второго порядка На самостоятельное изучение выносятся следующие темы: Квадратичные формы Собственные значения и собственные вектора Элементы топологии Дискретная математика

12

Модуль №4. Введение в анализ Лекция 12. Введение в анализ Числовая последовательность Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Предел функции в точке Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности Основные теоремы о пределах Лекция 13. Бесконечно-малые и бесконечно- большие функции Бесконечно малые функции Свойства бесконечно малых функций Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми Сравнение бесконечно малых функций Свойства эквивалентных бесконечно малых Некоторые замечательные пределы Лекция 14. Непрерывность функции Непрерывность функции в точке Свойства непрерывных функций Непрерывность некоторых элементарных функций Непрерывность функции на интервале и на отрезке Свойства функций, непрерывных на отрезке На самостоятельное изучение выносятся следующие темы: Точки разрыва Полярная система координат Комплексные числа

13

Банк контрольных тестов

Тест-тренинг №1 для самоконтроля по модулю «Линейная алгебра» 1. Какие из нижеперечисленных видов матриц существуют? 1) квадратная, 2) прямоугольная, 3) единичная, 4) нулевая, 5) положительная, 6) отрицательная 7) диагональная, 8) обратная, 9) перевернутая

2. Какова размерность матрицы⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−113754

? 1) 3×2 2) 4×2 3) 2×3 4) 2×4 5) 2×5 3. Какая из матриц является квадратной?

1)⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

111111

А;

2)⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

021654310

В

;

3)⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

443322

C

; 4)⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

086543219764

М

;

5) ( )09753=Т 4. Какие из нижеперечисленных преобразований матриц эквивалентные? 1) перестановка местами любых двух строк матрицы;

2) умножение какой-нибудь строки матрицы на ноль;

3) прибавление к какой-нибудь строке другой строки; 4) исключение из матрицы нулевого столбца;

5) добавление в матрицу столбца из единиц

5. Какая из матриц является суммой матриц ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=5310

31А

и⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

463110

В

14

1)⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

=13

4121

C

; 2)⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−=5611

30Р

; 3) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

992141

Т

;

4)⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

132121

М

; 5)⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

192141

К

6. Выберите из нижеперечисленных единичную матрицу.

1)⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

300020001

А

; 3)⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

100010001

С

2)⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

011101110

В

7. Какие из произведений нижеперечисленных матриц возможны?

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=

212060433121

А

; ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

328721

В

; ⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

5112

0120

С

; ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

16012053

Р

1) ВС, АР, РС 2) АВ, РС 3) АР, ВР, РС 4) ВС, РА 5) АС, ВР, СР, РС 8. Какая из данных матриц не является ступенчатой?

1)⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

421003002301

А

; 2)⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=

400003002301

В

;

4) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

200310233

Р

; 3) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=

010033202304

С

;

5)⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=

100220123

Е

15

9. Какая из матриц является произведением матриц

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

21201315

А и

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

=

231

1

В

1)⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=

23121042

С; 2)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=513

Р;

3) ⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

=

2915

Е

;

4) ⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

=

223110

15

М

; 5) ⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−−

=

21604320133102915

К

10. Определите ранг матрицы ⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

=

100053001420

00003231

А

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5 11. Какие пункты в определении ступенчатой матрицы лишние? 1) все нулевые строчки, если они есть, расположены выше ненулевых;

2) все нулевые строчки, если они есть, расположены ниже ненулевых;

3) если в какой-нибудь строке ведущий элемент расположен на катом месте, то во всех последующих строках матрицы на первых на местах расположены нули

12. Какое из нижеследующих выражений является определителем

матрицы А=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2221

1211

aaaa

?

1) 22211211 аааа + 2) 22111221 аааа + 3) 22122111 аааа −

4) 21122211 аааа + 5) 21122211 аааа −

16

13. Вычислите определитель матрицы М=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

245563132

1) -17 2) -23 3) 32 4) 6 5) -25 14. Какие из перечисленных свойств определителя справедливы? 1) если в определителе есть строчка из нулей, то такой определитель равен нулю;

2) если в определителе есть столбец из нулей, то такой определитель равен нулю;

3) определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю;

4) если в определителе элементы какой-то строчки имеют общий делитель, то он равен нулю;

5) определитель, содержащий две пропорциональные строчки, равен нулю.

15. Минором элемента 12а определителя 876540321

является?

1) 8650

; 2) 5031

; 3) 8631

; 4) 7641

; 5) 8754

№ задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

ответ 1,2,3,4,7,8 3 2 4 3 3 7 1 2 4 1 5 2 5 1

17

Тест-тренинг №2 для самоконтроля по модулю «Векторная алгебра»

1. Какой вектор является суммой векторов АВ______

и ⎯ АС______

.?

В

А

Р

С

1) ВС______

2) СВ______

3) АР______

4) ВР______

5) СР______

2.Какое из свойств векторного произведения верно?

1) abba ×=× 2) abba ×−=× 3. Какое из выражений означает скалярное произведение векторов m и n ?

1) nm × 2) nmпр + 3) ( )nm , 4) nm 5) n

4. По какой формуле вычисляется угол между векторами a и b ?

1) )bacos(ba ∧

2) )basin(ba ∧

3)

ba)b,a(arccos

4) ba

)ba(arcsin∧

5) ba

)ba(cos∧

5. Чему равно скалярное произведение двух перпендикулярных векторов? 1) 0 2) 1 3) не существует

6.Выразить через единичные векторы i и j вектор АВ, если A(-2,-1), B(4,-3)

1) 2 i -4 j 2) -6 i -4 j 3) 6 i -4 j

4) 6 i -2 j 5) 2 i +2 j

7.Найти скалярное произведение векторов a =(2,-3,1); b =(3,0,-4) 1) -4 2) 10 3) 6 4) 3 5) 2

18

8.Найти векторное произведение векторов a = 2 i +3 j +5 k , b = i +2 j + k

1) -7 i +3 j + k 2) 13 3) -7 i -3 j + k

4) 2 i +6 j +5 k 5) -7 i -3 j - k

9. Найти длину вектора a =(4,5,3)

1) 52 2) 25 3) 7 4) 51 5) 53

10. Найти проекцию вектора a +b на вектор c , если a =(2,3,4), b =(-1,0,1), c =(3,4,1) 1) 4

2) 2025

3) 5

4) 2620

5) 265

11. Найти вектор c =4 a -3b , если a =(1,3,0); b =(-2,4,3) 1) (-2,24,9) 2) 14 3) (10,0,-9) 4) 12 5) (2,12,0)

12. Коллинеарны ли векторы a =(2,5,3) и b =(4,10,6)? 1) Да 2) Нет

13. Компланарны ли векторы a =(1,0,2), b =(3,-1,4), c =(1,-1,0)? 1) Да 2) Нет

14. Найти орт вектора b =(4,3,1)

1) 264

; 2) 263

; 3) 261

; 4) 261

; 5) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛261;

263;

264

15. Найти смешанное произведение векторов a = i +2 k , b =3 i - j +4 k , c = i - j

1) 8 2) -4 3) 0 4) 10 5) -8

№ задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

19

ответ 3 2 3 3 1 4 5 1 2 4 3 1 1 5 3

20

Тест-тренинг №3 для самоконтроля по модулю «Аналитическая геометрия» 1. Общее уравнение прямой имеет вид

1) 0 СВуАх =++ 2) bkxy +=

3) 1

by

ax =+

4) 0 pуosсхcos =++ βα

5) ⎩⎨⎧

+=+=

tayytaxx

20

10

2. Как проходит прямая, заданная уравнением 2у = 0? 1) пересекает ОХ и ОУ 2) параллельно ОХ 3) параллельно ОУ 4) совпадает с ОХ 5) совпадает с ОУ

3. Уравнение прямой, заданное начальной точкой )y;x(M 000 и нормальным вектором n (А, В) имеет вид

1) 0CByAx 00 =++ 2) 0)yy(B)xx(A 00 =−+−

3) B)yy(

A)xx( 00 −=−

4) )xx(B)yy( 00 −=−

5) A)yy(

B)xx( 00 −=−

4. Координаты точки, делящей отрезок в данном отношении, вычисляются по формуле

1) 2

122

12 )yy()xx( −+− 2) ( ) ( )

2yyy;

2xxx 2121 +=+=

3) 1212 yyy;xxx −=−= 4) 2121 yyy;xxx +=+=

5)

1 ;

12121

λλ

λλ

++=

++= yyyxxx

5. Угол между двумя прямыми находится по формуле

1) 22

22

21

21

2121

BABA

BBAAarccos

+⋅+

+

2) 2

1

AAcos

3) 21

21

aaaa

cos⋅⋅

4) 2

1

BBcos

21

5) 21

21

kk1kk1

+−

6. Уравнение плоскости, проходящей через точку )z;y;x(M 0000 и перпендикулярной вектору N (А, В, С)

1) 0 DzСВуАх =+++ 2) 0

Cz

By

Ax 000 =++

3) 0)zz(C)yy(B)xx(A 000 =−+−+− 4) 0DCzByAx 000 =+++

5) 0

zC

yB

xA

000

=++

7. Условие перпендикулярности прямой 3

0

2

0

1

0

mzz

myy

mxx −

=−

=−

и плоскости 0=+++ DCzByAx

1) 0CmBmAm 321 =++ 2) 321 m

CmB

mA ==

3) Cmz

Bmy

Amх 321 −

=−

=−

4) 222

321

CBA

CmBmAm

++

++

5) 2

32

22

1

321

mmm

CmBmAm

++

++

8. Угол между прямой nzz

myy

lxx 000 −

=−

=−

и плоскостью 0=+++ DCzByAx вычисляется по формуле

1) 222 CBA

CnBmAl

++

++

2) CnBmAlcos ++

3) 222 nml

CnBmAl

++

++

4) 22

22

21

21

2121

BABA

BBAAarccos+⋅+

⋅+⋅

5) 222222 nmlCBA

CnBmAlarcsin++⋅++

++

9. Определить центр и радиус сферы 02222 =+−++ zxzyx

1) 25R);1;0;

21(O =−

2) 45R);1;0;

21(O =−

22

3) 1R);2;0;1(O =− 4) 1R);2;0;1(O −=−

5) 21R);1;0;

21(O =−

10. Определить вид поверхности 0y4zyx 222 =+++ 1) однополостный гиперболоид 2) двуполостный гиперболоид 3) эллиптический параболоид 4)сфера 5) конус № Задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Правильный ответ 1 4 2 5 1 2 2 5 1 4

23

Тест-тренинг №4 для самоконтроля по модулю «Введение в анализ» 1. Функция называется нечетной, если… 1. f(-x) = f(x) 4. f(-x) ≠ f(x) 2. f(-x) = -f(x) 5. f(-x) ≠ f(x) ≠ -f(x) 3. f(-x) = -f(x) 2. Выбрать из нижеперечисленных функций четные:

1. )xxsin()x(f += 2 4.

tgxxxx)x(f ⋅+++= 32

2. 2xetgxx)x(f −⋅= 5. tgxxsin)x(f +=

3. ( ) 2xsinarcsee)x(f xx ⋅−= −

3. Найти период функции xsinxcos)x(f 6

53 −=

: 1. π10

2. 3π

3. 310 2π

4. 6π

5. 310π

4. Прямоугольные и полярные координаты связаны формулой:

1. ϕρ sinx ⋅= 2. ϕcosx = 3. ϕρ cosx ⋅= 4. ϕsinx = 5. ρ=x

5. Записать уравнение yyx 422 =+ в полярных координатах:

1. ϕρρ cos⋅= 42 4. ϕρ cos4=

2. ϕρ sin4= 5. ϕρ 24 sin=

3. ϕϕϕ sincossin 422 =+

6. Из нижеперечисленных пределов выберите первый замечательный предел:

1. e

xlimx

x=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞→

11

4. )x(flimc)x(fclim

xxxx 00 →→=⋅

2. ( ) ealim

a

a=+

→

1

10 5.

10

=→ x

xsinlimx

24

3. )x(glim

)x(flim

)x(g)x(f

limxx

xx

xx0

0

0→

→

→=

7. Из перечисленных пределов выбрать второй замечательный предел:

1. ( ) enlim

n

n=+

∞→

1

1

4. )x(flimc)x(fclim

xxxx 00 →→=⋅

2. e

x

xlimx

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞→

11

5. 1

0=

→ xtgx

limx

3. ( ) )x(glim)x(flim)x(g)x(flim

axaxax →→→⋅=⋅

8. Вычислите предел x

xxlimn 273

143 2

31 −

+−

→:

1. 0

2. 32

3. 94

4. Не существует 5. ∞

9. Вычислить предел

62

1414 +

∞→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+ x

n xx

lim:

1. 0 2. ∞ 3.

4e 4. 2e 5. е

10. Функция )x(fy = называется непрерывной в точке х0 , если выполняется условие:

1.0

0

=→

)x(flimxn 4.

000

=→

)x(flimxn

2. )x(f)x(flim

xn0

0

=→ 5.

)x(flim)x(flimxnxn

000 →→

=

3. )x(f)x(flim

xn=

→0

0

11. Найти точки разрыва функции

х -1, если -1≤ x <2; 2-x , если 2 ≤ x ≤ 5.

1. Точек разрыва нет 2. х=1 3. х=0 4. х=2 5. х=5

25

№ Задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Правильный ответ 2 2;4 1 3 2 5 1;2 3 5 2 4

26

Список литературы и электронных пособий 1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры

и аналитической геометрии. - М.: Наука, 1980. -176 с. 2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.:

Наука, 1980.-432 с. 3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и

задачах. В 2-х ч. Учеб. Пособие для втузов.- 5-е изд., - М.: Высш. шк., 1999. стр. 4. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического

анализа. - М.: Наука, 1977 - 384 с. 5. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). - М.: Высшая

школа, 1983. 442 с. 6. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии.-

М.: Наука, 1980 -, 220 с. 7. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. -М.: Наука, 1987.-350 с. 8. Смирнов В.И. Курс высшей математики.- Изд. 4-е,

перераб. и доп.-М.: Высшая школа, т 1,2,3,4,5.1961-1974. 9. Шнейдер В.Е. Краткий курс высшей математики. Учеб. Пособие для втузов, М.,

«Высш.школа», 1972. стр.162-200. 10. Электронный учебник томского межвузовского центра дистанционного образования.

27

Приложение. Технологическая карта дисциплины «Высшая математика» на I семестр

Теоретический материал Практика Внеауди-торная работа

Вид контроля Неделя №

модуля Название модуля

аудиторные занятия самостоятельная работа аудиторные занятия самостоятельная

работа

1 Матрицы. Действия над ними 2 Умножение

матриц

Матрицы. Действия над ними

2 Умножение матриц

2 Определители и их свойства 2 Вычисление

определителей Определители и их свойства 2 Вычисление

определителей Промежут. тест №1

3 Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений

2 Ранг матрицы

Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений

2 Ранг матрицы

4 Исследование систем линейных уравнений. 2

Решение однородных систем

Исследование систем линейных уравнений

2 Решение однородных систем

ИДЗ

Проверка ИДЗ

5

1 Линейная алгебра

тест за модуль №1

6 Основные понятия векторной алгебры. 2

Евклидово пространство. Декартовы прямоугольные координаты

Основные понятия векторной алгебры

2 Декартовы прямоугольные координаты

Промежут. тест №2

7 Скалярное произведение векторов. 2 Элементы

комбинаторики

Скалярное произведение векторов

2 Приложение скалярного произведения

Проверка ИДЗ

8

2 Векторная алгебра

Векторное и смешанное произведение векторов 2

Элементы математической логики

Векторное и смешанное произведение векторов

2

Приложение векторное и смешанное произведение

ИДЗ

Тест за модуль №2

9 3 Аналитическая

геометрия Понятие об уравнении линии на плоскости

2 Дискретная математика

Прямая на плоскости

2 Преобразование системы координат

ИДЗ

28

(параллельный перенос, поворот , симметрия)

10 Плоскость и прямая в пространстве 2 Элементы

топологии

Плоскость и прямая на в пространстве

2 Метрические пространства

Промежут тест №3

11 Кривые второго порядка 2 Квадратичные формы

Кривые второго порядка 2

Приведение кривых второго порядка к каноническому виду

12 Поверхности второго порядка 2

Собственные значения и векторы матрицы

Поверхности второго порядка 2

Приведение поверхностей второго порядка к каноническому виду

Проверка идз

13 тест за модуль №3

14

Введение в анализ. Понятие функции и её предела. Предел последовательности, основные теоремы о пределах.

2

Построение графиков функции с помощью элементарных преобразований. Полярная система координат

Декартовая система координат

2

Построение кривых заданных в полярной системе координат

15

Замечательные пределы. Бесконечно малые и бесконечно- большие функции и их свойства и сравнение.

2 Комплексные числа

Вычисление предела функции

2 Раскрытие неопределенностей разных видов

Промежут тест №4

16 Непрерывность функции 2 Точки разрыва Исследование функции на непрерывность

2 Точки разрыва

ИДЗ

Проверка идз

17

4 Введение в анализ

тест за модуль №4

18 Итоговый тест за семестр