1

Министерство образования и науки ЛНРГОУ СПО ЛНР “Краснодонский промышленно-экономический колледж”

РАССМОТРЕНОна заседании

УТВЕРЖДАЮ

цикловой комиссии Заместитель директоракомпьютерных дисциплин по учебной работе«__»_________________г. _______________ О. Н. КарандаПротокол №_____________ «___»________________г.Председатель ЦК ______________Т. А. Матвеева

МЕТОДИЧСКИЕ УКАЗАНИЯ

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ ПРЕДМЕТА

В Ы С Ш А Я М А Т Е М А Т И К А

для студентов 2 курса специальностей«Электроснабжение»

«Технология подземной разработки»«Эксплуатация и ремонт горного электромеханического оборудования и

автоматических устройств»«Обслуживание компьютерных систем и сетей»

Составил преподаватель:

Прилипа А.С.

КраснодонЗМІСТ

2

1. Вступ

2. Методичні рекомендації для самостійного вивчення модуля «Лінійна

алгебра та аналітична геометрія»

3. Методичні рекомендації для самостійного вивчення модуля «Комплексні

числа. Основи диференціального числення»

4. Методичні рекомендації для самостійного вивчення модуля «Інтегральне

числення. Диференціальні рівняння»

5. Вимоги щодо виконання контрольної роботи

6. Література

7. Питання до іспиту (заліку).

3

Вступ

Курс “ Вища математика ” є з’єднувальною ланкою між основним курсом

математики і спеціальними дисциплінами, складовою частиною професійного навчання

студентів. Обсяг і зміст цього курсу визначаються потребами спеціальності.

Курс “ Вища математика ” передбачає розвиток та поглиблення деяких тем і

питань, що вивчаються в основному курсі. Базові предмети становлять теоретичну основу

спеціальної підготовки студентів. Математичні моделі широко застосовуються для

спеціальної підготовки молодших спеціалістів.

Розглянуті приклади та підібрані задачі можливість вивчити і закріпити матеріал,

що викладається.

При виконанні контрольної роботи з дисципліни “Вища математика” студенти

повинні закріпити отримані знання при вивченні лекційного курсу, а також приділити

увагу вивченню розділів математичного аналізу, аналітичної геометрії, лінійної алгебри.

В результаті вивчення дисципліни студенти повинні знати:

- векторну алгебру та її застосування до задач аналітичної геометрії;

- лінії та поверхні другого порядку; розв’язування СЛАР; елементи матричної алгебри;

елементи лінійної алгебри; границі та неперервність функції; диференціальне числення

функції однієї та декількох змінних;

- неозначений інтеграл; подвійний інтеграл та його застосування;

- диференціальні рівняння першого порядку, вищих порядків, що допускають пониження

порядку, а також лінійні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами та їх

системи; ряди та їх застосування до наближених обчислень;

вміти:

- складати та аналізувати математичні моделі простих реальних інженерних задач;

- підбирати дані, необхідні для побудови розв’язків задач та оцінювати їх необхідну

точність;

- вибирати наперед не заданий метод дослідження;

- виводити аналітичні залежності в процесі розв’язання задач;

- розв’язувати простіші механічні та економічні задачі;

- доводити розв‘язки задач до практично придатних результатів та контролювати

правильність розв’язків;

- оперувати з розмірними величинами.

4

Методичні рекомендації для самостійного вивчення модуля «Лінійна алгебра та аналітична геометрія»

Теми для самостійного вивчення.1.Матриці та дії над ними.2.Визначники та їх властивості.3.Обернена матриця. Ранг матриці4.Системи лінійних рівнянь. Формули Крамера. Матричний запис системи лінійних рівнянь.5.Системи лінійних рівнянь Метод Гаусса.6.Вектори і лінійні дії з ними. Скалярні і векторні величини.7.Декартова та прямокутна системи координат. Лінійна залежність векторів.8.Вектори в системі координат.9.Скалярний та мішаний добуток векторів.10.Лінії на площині та їхні рівняння11.Пряма на площині.12.Кут між двома прямими. Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих. Відстань від точки до прямої.13.Площина в просторі14.Пряма лінія в просторі. Пряма і площина.15.Поняття лінії другого порядку. Коло. Еліпс.16.Лінії другого порядку. Гіпербола. Парабола.

Термінологічний словник.Дії над векторами1. Додавання векторів 2. Віднімання векторів

3. Множення на число (приклади)

Вектори у декартовій системі координат

a=ax⋅i+a y⋅j+az⋅k=(ax ; ay ;az ) ,AB=(x B−x A ; yB− y A ; z B−z A ) .

Довжина вектора | a |=√ax

2+a y2+az

2.

Напрямні косинуси cos α=

ax

| a | , cos β=

ay

| a | , cos γ=

az

| a | .Дії над векторами, заданими у координатній формі

a + b=( ax+bx ; a y+by ; az+bz ) , a − b=( ax−bx ; a y−b y ; az−bz ) ,

5

λ a=( λ ax ; λ a y ; λ az ) .

Умова колінеарності векторів

ax

bx=

a y

b y=

az

bz .

Скалярний та векторний добутки векторівдобуток скалярний векторнийпозначення a⋅b , ( a , b ) a× b , [ a , b ]тип величини число векторозначення |a| |b|cos ( a , b ) c= a× b , якщо:

1) c перпендикулярний

векторам a и b ;

2) трійка векторів a ,b ,c − права;

3) |c|=|a| |b|sin ( a , b )властивості a⋅b= b⋅a

( λ a )⋅b=a⋅( λ b )=λ ( a⋅b )( a+ b )⋅c=a⋅c+ b⋅ca⋅a=| a |2

a× b=−b×a( λ a )× b=a×(λ b )=λ (a×b )( a+b )× c=a× c+b× ca× a=0

добутки ортів i⋅i= j⋅ j= k⋅k=1i⋅k= j⋅i= k⋅j=0

i× i= j× j= k×k=0→+ i j k i j ←−

обчисленняв ДСК

a⋅b=ax bx+a y by+az bz

a× b=|i j kax a y az

bx b y bz

|

основнізадачі

довжина вектора

| a |=√ a⋅aкосинус кута між векторами

cos ( a ,b )= a⋅b

| a || b |

проекція вектора на інший вектор

пр b a= a⋅b

| b |умова перпендикулярності

a⋅b=0

площа паралелограма, побудованого на векторахa та b

S=| a× b |площа трикутника

SΔ=

| a×b |2

висота паралелограма

h a=

S| a |

=| a×b || a |

висота трикутника

h a=2 SΔ

| a |=| a× b || a |

6

Мішаний добуток векторів

позначення a b c або ( a , b , c )означення ( a ×b )⋅c

властивості a b c= b c a=c a b=− a c b=− c b a=−b a c

обчисленняу ДСК

a b c=|ax ay az

bx b y bz

cx c y cz

|

основні задачі

умова компланарності трьох векторів

a b c=0орієнтація трійки векторів:

a b c>0 − права трійка ;

a b c<0 − ліва трійкаоб’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах

a , b , c V паралелепіпеда=| a b c |

об’єм піраміди, побудованої на векторах a , b , c

V піраміди=

16| a b c |

ПРЯМА НА ПЛОЩИНІ

Найпростіше рівняння Рівняння з кутовим коефіцієнтом

A (x−x0 )+B ( y− y0)=0 . y=kx+b , k=tg ϕ .

Загальне рівняння Рівняння прямої, яка проходить у

A x+B y+C=0 . заданому напряму (рівняння в’язки)

y− y0=k (x−x0) .

Канонічне рівняння Рівняння у відрізках на осях

x−x0

l=

y− y0

m .

xa+ y

b=1

.

7

Нормальне рівняння

x cosα+ y sin α−p=0 .

Рівняння прямої, яка проходить через дві точки

x−x1

x2−x1=

y− y1

y2− y1 ; k=

y2− y1

x2−x1 .

Умова паралельності прямих k 2=k1 .

Умова перпендикулярності прямих k 2=−

1k1 .

Кут θ між прямими (гострий) tg θ=|

k2−k1

1+k1 k2|.

Відстань від точки М до прямої d (M )=| x M cos α+ y M sin α−p | ,

або d (M )=

| A xM+B y M+C |

√A2+B2 .

КРИВІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

Еліпс та гіпербола

крива Еліпс з фокусамина вісі Ох

Гіпербола з фокусамина вісі Ох

рівняння x2

a2+y2

b2=1, a>b

x2

a2−y2

b2=1

піввісі(2а, 2b – вісі)

a – великаb –мала

a – дійснаb – уявна

відстань від центра до фокусів c=√a2−b2 c=√a2+b2

координати фокусів

F1(c; 0); F2(-c; 0) F1(c; 0); F2(-c; 0)

ексцентриситетε= с

a (ε<1 )ε= с

a (ε>1 )рівняння директрис x=±a

ε (x=±a2

c ) x=±aε (x=±a2

c )рівняння асимптот

–– y=±ba

x

8

відстані від точки М до фокусів

F1 M=r1=a−ε xMF2 M=r2=a+ε xM

F1 M=r1=|a−ε x M|F2 M=r2=|a+ε xM|

рисунок

Параболи, симетричні відносно осі Ох

рівняння y2=2 px y2=− 2 pxкоординатифокуса F ( p

2; 0 ) F (− p

2; 0 )

рівняннядиректриси x=− p

2x= p

2

рисунок

Параболи, симетричні відносно осі Оу

рівняння x2=2 py x2=−2 pyкоординатифокуса F ( 0 ; p

2 ) F ( 0 ; − p2 )

рівняннядиректриси y=− p

2y= p

2

рисунок

9

Зсунені криві

Коло (x−x0 )2+( y− y0 )

2=R2

Еліпс

(x−x0)2

a2 +( y− y0 )

2

b2 =1 Гіпербола

(x−x0)2

a2 −( y− y0)

2

b2 =1

Параболи (x−x0 )2=2 p ( y− y0 ) (x−x0 )

2=− 2 p ( y− y0)

( y− y0)2= 2 p (x−x0 ) ( y− y0)

2=− 2 p ( x−x0)

ПРЯМІ ТА ПЛОЩИНИ У ПРОСТОРІ

10

Будь-яке лінійне рівняння зі змінними x, y, z можна розглядати як рівняння у декартових координатах площини у просторі. Різні форми рівняння площини наведені у таблиці 1.

Таблиця 1

Назва Загальний вигляд Геометричний зміст параметрівканонічне(рівнянняплощини,якапроходитьчереззадануточку)

A (x−x0 )+B ( y− y0 )+C ( z−z0)=0 А, В, С-координати вектора нормалі до площини;x0 , y0 , z0 - координати точки, яка належить площині

загальне Ax+By+Cz+D=0 А, В, С-координати вектора нормалі до площини

у відрізкахна осях

xa+ y

b+ z

c=1 a , b , c - координати точок

перетину площини з осями Ox ,Oy та Oz відповідно

нормальне x cosα+ ycos β+z cosγ− p=0 α , β , γ - кути, які створює нормаль проведена з початку

координат з осями Ox ,Oy та Oz

рівнянняплощини, якапроходитьчерез три точки

|x−x1 y− y1 z−z1

x2−x1 y2− y1 z2−z1x3−x1 y3− y1 z3−z1

|=0(x1 , y1 , z1) , (x2 , y2 , z2) та (x3 , y3 , z3) - координати трьох точок, які належать площині

Якщо у рівнянні відсутній доданок з якою-небудь змінною, то площина паралельна відповідній координатній осі; наприклад, площина, яку задано рівнянням Ax+Cz+D=0 , паралельна осі Oy .

Якщо у рівнянні відсутні доданки з двома змінними, то площина паралельна відповідній координатній площині; наприклад, площина, яку задано рівнянням Ax+D=0 , паралельна площині Oyz .

Якщо у загальному або у нормальному рівнянні площини відсутній вільний член,

тобто рівняння має вигляд Ax+By+Cz=0 , площина проходить через початок координат.

11

Наведемо рівняння координатних площин :Oxy – z=0 ; Oyz – x=0 ; Oxz – y=0 .

Кут між площинами α та β дорівнює гострому куту між їх нормалями Nα та N β , тобто

cos (α ; β )=|Nα N β||Nα||N β|

=|Aα Aβ+Bα Bβ+CαC β|

√ Aα2+Bα

2+Cα2⋅√Aβ

2+Bβ2+C β

2.

Умовою паралельності двох площин є колінеарність їх нормалей :

α||β⇔ Nα ||N β , тобто

Aα

A β=

Bα

Bβ=

Cα

Cβ .Умовою перпендикулярності двох площин є перпендикулярність їх нормалей :

α⊥ β⇔ Nα ⊥ Nβ ,тобто Nα⋅ N β=0 .Відстань від точки М до площини, заданої за допомогою рівняння

Ax+By+Cz+D=0 , обчислюється за формулою

d (M )=|Ax M+ByM+CzM+D|

√A2+B2+C2 .

Пряму у просторі ми будемо розглядати як лінію перерізу двох площин; лінію, будь-які точки якої задають вектор, колінеарний заданому, або траєкторію руху зі сталою швидкістю заданої точки. Різні форми рівнянь прямої наведені у таблиці 2.

Таблиця 2Назва Загальний вигляд рівнянь,

рисунокГеометричний зміст параметрів

загальні {A1 x+B1 y+C1 z+D1=0A2 x+B2 y+C2 z+D2=0

Пряма розглядається як лінія перерізу двох площин з нормалями N1=(A1 ; B1 ; C1 ) та N2=(A2 ; B2 ; C2)

12

канонічні x−x0

l=

y− y0

m=

z−z0

nl ,m, n - координати напрямного вектора прямої;(x0 , y0 , z0 )- координати точки, яка належить прямій

параметричні

{ x=x0+l ty= y0+m tz=z0+n t

l ,m, n - координати напрямного вектора

прямої; (x0 , y0 , z0 )- координати точки, яка належить прямій.

рівнянняпрямої, якапроходитьчерез двіточки

x−x1

x2−x1=

y− y1

y2− y1=

z−z1

z2−z1

(x1 , y1 , z1) та (x2 , y2 , z2) - координати двох точок, які належать прямій

Кут між двома прямими – це гострий кут, який створено напрямними векторами цих прямих

cos (s1 ; s2)=|S1⋅S2||S1||S2| .

Умовою паралельності двох прямих є колінеарність їх напрямних векторів :

s1||s2⇔S1 ||S2 , тобто

l1

l2=

m1

m2=

n1

n2 .Умовою перпендикулярності двох прямих є перпендикулярність їх напрямних

векторів :s1⊥ s2⇔S1 ⊥S2 ,тобто S1⋅S2=0 .

Гострий кут , який створений нормаллю до площини,

заданої рівнянням Ax+By+Cz+D=0 , та напрямним вектором прямої, доповнює кут між прямою та площиною

до 900:

13

sin θ=cosϕ=|S⋅N||S||N|

=|A⋅l+B⋅m+C⋅n|

√A2+B2+C2√ l2+m2+n2.

Умовою перпендикулярності прямої та площини є колінеарність нормалі до площини та напрямного вектора прямої :

s⊥α⇔S ||N , тобто

lA=m

B= n

C .

Умовою паралельності прямої та площини є перпендикулярність нормалі до площини та напрямного вектора прямої :

s||α⇔S ⊥N ,тобто

S⋅N=0 .

Правило Крамера.Це правило можна застосувати, якщо кількість рівнянь і кількість невідомих

співпадають. Невідомі визначають за формулами

( ), де визначник системи і його складають з коефіцієнтів при невідомих, а у визначниках коефіцієнти при відповідних невідомих замінені вільними членами.

Матричний спосіб. Запишемо систему у матричному вигляді. Для цього введемо матриці виду:

.Запишемо систему у матричному вигляді . Розв’язок цього рівняння має вигляд

, де є оберненою матрицею до матриці .

Метод Гауса. Ідея методу Гауса полягає у зведенні розширеної матриці системи за допомогою

елементарних перетворень матриці до трикутної матриці.

14

Варіанти індивідуальних завдань.

Завдання №1. Подані матриці А та В, числа α та β. Знайти:а) С=αА + βВ; б) D = А · ВТ ; F = ВТ · А.У кожному варіанті перша матриця– А, друга – В, перше число – α, друге – β.

1.[−1 2 03 1 −2 ], [

3 −1 1−1 2 −1 ] , 2, 3 2.[

2 −2 3−1 1 2 ], [

−1 0 −13 2 −1 ] , -1, 2

3.[−1 1 13 −2 1 ] , [

−2 1 23 0 1 ] , 2, 2 4.[

−2 0 10 −1 2 ], [

−1 −1 −2−3 2 1 ] , 4, 3

5.[3 −1 2−2 −1 2 ], [

−1 0 −23 0 −1 ] , -1, -2 6.[

4 −1 1−1 2 −2 ], [

−1 −1 3−3 2 0 ] , -3, 1

7.[1 1 1−2 3 −2 ] , [

−1 −1 34 −2 −1 ], 3, 2 8.[

0 2 −30 −1 −2 ] , [

−3 1 −23 0 −1 ] , -2, 3

9.[−2 −3 1−1 2 −1 ] , [

−1 2 −3−5 1 −1 ] , -2, 4 10.[

−1 3 −32 −1 −1 ], [

−1 1 −2−3 3 −1 ] , 2, -2

11.[1 2 3−2 −1 −3 ] , [

−1 0 53 −1 −1 ] , 4, 4 12.[

−1 0 20 −2 −1 ], [

−1 0 20 −2 −1 ] , 4, -2

13.[0 −2 4−3 2 −1 ] , [

−2 1 31 0 −2 ] , 2, 3 14.[

−1 2 00 −1 3 ] , [

3 −1 −10 4 −2 ] , 3, 2

15.[1 −1 −22 2 −1 ], [

−2 2 −11 −3 4 ] , -3, -1 16.[

2 −1 0−2 3 −2 ], [

3 −2 −1−1 0 0 ], 3, 3

17.[0 2 −46 −8 −2 ] , [

−1 −1 −32 −2 4 ] , 4,2 18.[

1 −2 −2−2 −3 3 ] , [

−3 0 −1−2 −2 3 ] , -2, 4

19.[5 3 −10 −2 3 ] , [

−1 −2 44 3 −3 ] , 2, -4 20.[

−1 0 12 −2 −1 ], [

2 −1 −3−1 2 −4 ], 3, -5

21.[2 1 −2−2 3 −1 ] , [

0 −3 10 −1 1 ] , 4, -3 22.[

2 −1 −25 −3 −1 ] , [

−3 −2 02 −1 1 ] , -1, -2

23.[−1 −3 25 −1 −5 ] , [

2 −2 −21 −1 2 ], 2, -2 24.[

−1 −1 3−3 −1 2 ] , [

9 −1 −3−4 0 −2 ] , 2, 4

15

25.[2 1 −34 −5 −3 ] , [

0 1 24 −1 −1 ] , 2, 3 26.[

−1 −3 53 −4 1 ], [

2 2 4−1 −2 3 ], 3, -4

Завдання №2.Обчислити визначник матриці двома засобами:а) розкладенням за елементами рядка чи стовпця;б) методом трикутників;в) методом Саррюса.

Завдання №3.Знайти матрицю А-1, якщо матриця А дорівнює:Вар і ант и за в дан ня 2 та 3.

1.[ 2 −2 3

1 −1 2−2 1 −2 ] 2.

[−3 −1 12 −1 20 2 −1 ] 3.

[1 −2 30 1 −12 2 −1 ]

4.[−1 1 1

2 −2 34 −3 0 ] 5.

[2 1 23 −1 −10 1 −1 ] 6.

[−1 1 −22 −2 33 1 −1 ]

7.[1 2 −33 2 −42 −1 0 ]

8.[1 1 11 −1 24 1 4 ] 9.

[2 −1 13 4 −21 −3 1 ]

10.[2 1 15 1 32 1 2 ] 11.

[ 7 2 35 −3 2

10 −11 5 ] 12.[1 2 −13 4 15 1 −3 ]

Завдання №4.Задана матриця А. Знайти її ранг за допомогою елементарних перетворень.

1.[−2 3 −1 0

0 −1 2 −23 −4 −1 1 ] 2.

[−1 0 −1 12 −2 3 −10 −2 1 1 ] 3.

[1 −1 −3 22 3 −1 12 0 1 −1 ]

4.[ 2 1 3 −3

4 2 6 −6−6 −3 −9 9 ] 5.

[ 2 1 −2 0−1 3 2 10 7 2 2 ] 6.

[2 3 −1 04 2 1 −11 −3 0 1 ]

7.[ 0 3 2 1−4 1 −3 12 3 2 −1 ] 8.

[ 2 −3 −1 −2−1 1 2 −23 5 0 −6 ] 9.

[ 1 −1 0 −2−3 2 −2 31 −3 2 1 ]

16

10.[2 −2 3 −31 0 −1 11 −2 4 −4 ] 11.

[−2 3 −1 34 −6 2 −66 9 3 −9 ] 12.

[ 1 −2 0 42 1 −3 1−1 7 −3 −11 ]

13.[−1 0 1 −2

2 −3 2 −10 1 −2 −1 ] 14.

[2 2 −3 24 −4 6 −82 −6 9 −10 ] 15.

[−1 2 3 −10 −1 −2 22 3 −1 2 ]

16.[ 2 −3 −1 0−4 6 2 01 −3 1 2 ] 17.

[2 1 −3 43 −2 1 −20 1 2 −1 ] 18.

[ 1 −1 0 10 2 −1 2−1 3 2 1 ]

19.[ 1 0 2 −2−3 −1 1 4−2 −1 3 2 ] 20.

[ 3 −1 2 −2−3 0 1 22 2 −2 4 ] 21.

[−2 3 2 −43 −1 −3 51 2 0 2 ]

22.[ 2 4 6 8−3 6 −9 3−5 2 −15 −5 ] 23.

[1 3 −1 02 −2 1 23 1 0 −1 ] 24.

[1 −1 0 42 3 −2 −30 5 −2 −11 ]

25.[−1 0 1 2

3 1 0 12 −1 −2 −3 ]

Завдання №5.Розв’язати систему лінійних рівнянь двома засобами:а) по правилу Крамера;б) матричним засобом.

1.{2 х1−2 х2+3 х3=−1 , ¿ {х1−х2+2 х3=−1 , ¿¿¿¿

2.{−3 х1−х2+х3=−6 ,¿ {2х1−х2+2 х3=5 , ¿¿¿¿

3.{х1−2 х2+3 х3=0 , ¿ {х2−х3=1 ,¿ ¿¿¿

4.{−х1+х2+ х3=−1 , ¿ {2х1−2х2+3х3=7 , ¿ ¿¿¿

5.{2 х1+х2+2 х3=2, ¿ {3 х1−х2−х3=−6 , ¿ ¿¿¿

6.{−х1+х2−2 х3=−2, ¿ {2х1−2 х2+3 х3=3 , ¿ ¿¿¿

7.{−2 х1+х3=−3 , ¿ {−2 х1−2 х2+3 х3=−5 , ¿¿¿¿

8.{3 х1−2 х2+х3=8 , ¿ {х1+х3=4 , ¿ ¿¿¿

9.{−х2−2 х3=1 , ¿ {2 х1+3 х2−2 х3=5 , ¿¿¿¿

17

10.{х1−2х2+ х3=−2 , ¿ {2х1−3 х2=−5 , ¿ ¿¿¿

11.{3 х1−х2+2х3=4 , ¿ {−х1+2х2−2 х3=−3 , ¿ ¿¿¿

12.{2 х1−х2−2 х3=0 ,¿ {−3 х1+2 х2−х3=−4 ,¿ ¿¿¿

13.{3 х1−х2−2 х3=−2 ,¿ {−2 х1+х2+2 х3=3 , ¿ ¿¿¿

14.{2 х1−2 х2−х3=−4 , ¿ {−2 х1+3 х2−2 х3=−1 , ¿ ¿¿¿

15.{−х1+2 х2+х3=2 , ¿ {2 х1−х2+2 х3=3 , ¿¿¿¿

16.{х1−х2+2 х3=1 , ¿ {3х1+х2=−3 , ¿¿¿¿

17.{−х1+х2+2 х3=1 ,¿ {−х2−3 х3=−4 , ¿ ¿¿¿

18.{3 х1+4 х2+5 х3=11 ,¿ {−х1+х3=−1 ,¿ ¿¿¿

19.{2 х1−2 х2+2 х3=3 ,¿ {−3 х1−3х2−3 х3=2 , ¿ ¿¿¿

20.{х1−2х2+3 х3=−1 , ¿ {4 х1−х2−3 х3=3 , ¿ ¿¿¿

21.{−х1+3 х2+5 х3=−2 ,¿ {4 х1−х2+2х3=8 , ¿ ¿¿ ¿

22.{х1+2 х2−3 х3=0 , ¿ {−4 х1+ х3=−3 , ¿ ¿¿¿

23.{х1+2 х2+4 х3=−1, ¿ {−х1+3 х2+х3=−4 ,¿ ¿¿¿

24.{3 х1−х2=4 , ¿ {2 х1−2х2+4 х3=8 , ¿¿¿¿

25.{−3 х1+4 х2+5 х3=−6 , ¿ {6х1+2 х3=−8 , ¿ ¿¿¿

26.{−2х1+2 х3=−6 ,¿ {3 х1−х2+2 х3=12 ,¿ ¿¿¿

27.{х1−х2+2 х3=6 ,¿ {3 х1+4 х2−х3=−3 , ¿¿¿¿

28.{х1−х2−5 х3=1 , ¿ {4 х1−3 х2+х3=5 ,¿ ¿¿¿

29.{2 х1+х3=1, ¿ {3 х1+2 х2−2 х3=3 , ¿ ¿¿¿

30.{3 х1+2 х2+х3=−1 ,¿ {−х1+2 х3=2, ¿ ¿¿¿

Завдання 6. Задано координати вершини піраміди:

1. A1 (1 ;3 ;6 ) , A2 (2;2 ;1 ) , A3 (−1; 0;1 ) , A4 (−4 ;6 ;−3 ) .

2. A1 (−4 ;2 ;6 ) , A2 (2;−3 ;0 ) , A3 (−10 ;5 ;8 ) , A4 (−5 ;2 ;−4 ) . 3. A1 (7 ;2 ;4 ) , A2 (7 ;−1 ;−2 ) , A3 (3 ;3 ;1 ) , A4 (−4 ;2 ;1 ) .

4. A1 (2,1,4 ) , A2 (−1,5 ,−2 ) , A3 (−7 ,−3,2 ) , A4 (−6 ,−3,6 ) . 5. A1 (−1 ,−5,2 ) , A2 (−6,0 ,−3 ) , A3 (3,6 ,−3 ) , A4 (−10 , 6,7 ) .

6. A1 (0 ,−1 ,−1 ) , A2 (−2,3,5 ) , A3 (1 ,−5 ,−9 ) , A4 (−1 ,−6,3 ) . 7. A1 (5,2,0 ) , A2 (2,5,0 ) , A3 (1,2,4 ) , A4 (−1,1,1 ) .

8. A1 (2 ,−1 ,−2 ) , A2 (1,2,1 ) , A3 (5,0 ,−6 ) , A4 (−10 ,9 ,−7 ) . 9. A1 (−2,0 ,−4 ) , A2 (−1,7,1 ) , A3 (4 ,−8 ,−4 ) , A4 (1 ,−4,6 ) .

18

10. A1 (14 , 4,5 ) , A2 (−5 ,−3,2 ) , A3 (−2 ,−6 ,−3 ) , A4 (−2,2 ,−1 ) .

Знайти: 1. Довжину ребра A1 A2

.

2. Кут між ребрами A1 A2

та A1 A4

.

3. Площу грані A1 A2 A3

.

4. Об’єм піраміди.

5. Зробити креслення.

Завдання №7.

Відомі координати точок А, В, С та D.1. Знайдіть координати векторів а=АВ, b=CD.2. Знайдіть їх довжину (абсолютну величину).3. Знайдіть координати вектора d=2a-b та його абсолютну величину.4. Знайдіть скалярний добуток векторів а та b.

Дані за варіантами.

1 варіант А(12; 5) В(11; 4) С(1; 1) D(9; 0)2 варіант А(12; 13) В(4; 12) С(7; 0) D(1; 7)3 варіант А(0; 2) В(8; 3) С(5; 3) D(5; 0)4 варіант А(11; 4) В(5; 1) С(3; 8) D(2; 5)5 варіант А(8; 13) В(8; 12) С(5; 9) D(8; 4)6 варіант А(7; 9) В(1; 2) С(2; 7) D(5; 5)7 варіант А(4; 5) В(7; 1) С(1; 6) D(1; 4)8 варіант А(10; 8) В(9; 2) С(4; 2) D(4; 7)9 варіант А(13; 7) В(1; 0) С(1; 3) D(5; 5)10 варіант А(7; 6) В(0; 13) С(8; 9) D(3; 7)11 варіант А(1; 3) В(6; 3) С(7; 9) D(7; 2)12 варіант А(1; 9) В(4; 2) С(7; 4) D(5; 2)13 варіант А(12; 8) В(2; 2) С(5; 8) D(6; 3)14 варіант А(9; 5) В(8; 14) С(8; 1) D(1; 8)15 варіант А(11; 14) В(6; 2) С(1; 9) D(3; 3)16 варіант А(1; 2) В(4; 14) С(1; 9) D(3; 5)17 варіант А(3; 7) В(6; 13) С(5; 5) D(5; 7)18 варіант А(5; 5) В(12; 9) С(5; 1) D(1; 6)19 варіант А(13; 0) В(4; 11) С(0; 9) D(5; 8)20 варіант А(11; 4) В(6; 8) С(2; 2) D(1; 6)21 варіант А(13; 14) В(5; 0) С(1; 2) D(8; 2)22 варіант А(11; 14) В(6; 6) С(4; 8) D(0; 0)23 варіант А(10; 1) В(1; 7) С(7; 5) D(9; 3)24 варіант А(9; 10) В(9; 6) С(6; 2) D(3; 2)25 варіант А(7; 3) В(10; 14) С(1; 2) D(7; 6)

Завдання №8. Дано координати вершин деякого трикутника АВС. Знайти:

19

а) рівняння сторони ВС;б) довжину сторони ВС; в) рівняння висоти, проведеної з точки А;г)довжину висоти, проведенної з точки А;д) рівняння медіани, проведенної з вершини С;е) площу трикутника АВС;ж) кут В (у радіанах з точністю до двох знаків).Зробити малюнок!

1. А(-10; 5) В(14; -2) С(-4; 22)2. А(-10;10) В(14;; 3) С(-4; 27)3. А(-20; 1) В(4; -6) С(-14; 18)4. А(-15; -7) В(9; -14) С(-9; 10)5. А(-20; 4) В(4; -3) С(-14; 21)6. А(-10; 12) В(14; 5) С(-4; 29)7. А(5; 3) В(29; -4) С(11; 20)8. А(-8; 4) В(16; -3) С(-2; 21)9. А(-13; 5) В(11; -12) С(-7; 12)10. А(5; 4) В(-4; 8) С(-9; -2)11. А(4; 6) В(-4; 0) С(-1; 4)12. А(-1; 2) В(3; -1) С(0; 4)13. А(3; 2) В(5; -2) С(1; 0)14. А(10; 6) В(-2; 2) С(4; -6)15. А(2; -1) В(-1; 3) С(2; 4)16. А(-26; -10) В(22; 24) С(-14; 24)17. А(-3; 3) В(6; -9) С(12; 9)18. А(1; -1) В(-2; 1) С(3; 5)19. А(8; 4) В(-4; -4) С(12; 8)20. А(6; 7) В(-5; 9) С(-10; -3)21. А(3; 1) В(-5; 8) С(-10; -2)22. А(4; -4) В(6; -10) С(10; 14)23. А(6; -9) В(9; -6) С(-6; 30)24. А(-4; 8) В(12; -4) С(0; 16)25. А(2; 1) В(-1; 1) С(3; 2)

Завдання №9. Задано координати вершини піраміди. Знайти: 1. Рівняння грані A1 A2 A3 . 2. Рівняння ребра A1 A2 .

3. Кут між ребром A1 A4 і гранню A1 A2 A3 .

4. Рівняння та довжину висоти A4 D , яка опущена з вершини A4 на грань A1 A2 A3 .

1. A1 (1 ;3 ;6 ) , A2 (2;2 ;1 ) , A3 (−1; 0;1 ) , A4 (−4 ;6 ;−3 ) .

2. A1 (−4 ;2 ;6 ) , A2 (2;−3 ;0 ) , A3 (−10 ;5 ;8 ) , A4 (−5 ;2 ;−4 ) . 3. A1 (7 ;2 ;4 ) , A2 (7 ;−1 ;−2 ) , A3 (3 ;3 ;1 ) , A4 (−4 ;2 ;1 ) .

4. A1 (2,1,4 ) , A2 (−1,5 ,−2 ) , A3 (−7 ,−3,2 ) , A4 (−6 ,−3,6 ) . 5. A1 (−1 ,−5,2 ) , A2 (−6,0 ,−3 ) , A3 (3,6 ,−3 ) , A4 (−10 ,6,7 ) .

6. A1 (0 ,−1 ,−1 ) , A2 (−2,3,5 ) , A3 (1 ,−5 ,−9 ) , A4 (−1 ,−6,3 ) .

20

7. A1 (5,2,0 ) , A2 (2,5,0 ) , A3 (1,2,4 ) , A4 (−1,1,1 ) . 8. A1 (2 ,−1 ,−2 ) , A2 (1,2,1 ) , A3 (5,0 ,−6 ) , A4 (−10 ,9 ,−7 ) .

9. A1 (−2,0 ,−4 ) , A2 (−1,7,1 ) , A3 (4 ,−8 ,−4 ) , A4 (1 ,−4,6 ) . 10. A1 (14 ,4,5 ) , A2 (−5 ,−3,2 ) , A3 (−2 ,−6 ,−3 ) , A4 (−2,2 ,−1 ) .

11. A1 (1 ;3 ;6 ) , A2 (2;2 ;1 ) , A3 (−1; 0;1 ) , A4 (−4 ;6 ;−3 ) . 12. A1 (−4 ;2 ;6 ) , A2 (2;−3 ;0 ) , A3 (−10 ;5 ;8 ) , A4 (−5 ;2 ;−4 ) .

13. A1 (7 ;2 ;4 ) , A2 (7 ;−1 ;−2 ) , A3 (3 ;3 ;1 ) , A4 (−4 ;2 ;1 ) . 14. A1 (2,1,4 ) , A2 (−1,5 ,−2 ) , A3 (−7 ,−3,2 ) , A4 (−6 ,−3,6 ) .

15. A1 (−1 ,−5,2 ) , A2 (−6,0 ,−3 ) , A3 (3,6 ,−3 ) , A4 (−10 , 6,7 ) . 16. A1 (0 ,−1 ,−1 ) , A2 (−2,3,5 ) , A3 (1 ,−5 ,−9 ) , A4 (−1 ,−6,3 ) .

17. A1 (5,2,0 ) , A2 (2,5,0 ) , A3 (1,2,4 ) , A4 (−1,1,1 ) . 18. A1 (2 ,−1 ,−2 ) , A2 (1,2,1 ) , A3 (5,0 ,−6 ) , A4 (−10 ,9 ,−7 ) .

19. A1 (−2,0 ,−4 ) , A2 (−1,7,1 ) , A3 (4 ,−8 ,−4 ) , A4 (1 ,−4,6 ) . 20. A1 (14 ,4,5 ) , A2 (−5 ,−3,2 ) , A3 (−2 ,−6 ,−3 ) , A4 (−2,2 ,−1 ) .

1. Рівняння грані A1 A2 A3 . 2. Рівняння ребра A1 A2 .

3. Кут між ребром A1 A4 і гранню A1 A2 A3 .

4. Рівняння та довжину висоти A4 D , яка опущена з вершини A4 на грань A1 A2 A3 .

Завдання №10. Встановити, яка лінія задана даним рівнянням, та привести його до канонічного виду. Зробити малюнок.

1. х2+у2+10х-6у+25=0; 2. 4х2+у2+2х-14у+14=0;3. 8х2+24х+12у+11=0; 4. 9х2-16у2-18х+32у+137=0;5. у2+2х-10у+31=0; 6. 16х2+4у2+64х+8у+4=0;7. 25х2+4у2-50х+24у+111=0; 8. у2-8х+4у+12=0;9. -16х2+25у2+128х+50у-631=0; 10. 4х2+4у2+64х-4у+253=0;11. 36х2-144у2-360х-1152у-6588=0; 12 .х2+6х-10у+19=0;13. 9х2+9у2-12у-32=0; 14. 4х2+9у2-16х+36у+16=0;15. 64х2-49у2+384х+490у+2487=0; 16. 45х2+45у2+30х-13=0;17. 121х2+9у2-968х+36у+883=0; 18. у2+8х+12у+76=0;19. 49х2-169у2-294х-2028у+2638=0; 20. х2+8х-5у+21=0;21. 144х2-441у2+864х-62215=0; 22.144х2+49у2-288х-6912=0;23. х2-4х-3у-2=0; 24. 16х2+121у2-96х-1792у=0;25. 256х2-225у2-1800у-58500=0; 26. 4х2+81у2+810у+1701=0;27. у2-3х-10у+31=0; 28. 2х2+2у2-2х+4у-7=0;29. у2-5х-2у-14=0; 30. 289х2-225у2+1156х+900у+65281=0.

Питання для самоконтролю.1. Поняття визначників другого та третього порядків.

21

2. Влавтивості визначників.3. Методи обчислення визначників.4. Що називається мінором та алгебраїчним доповненням визначника?5. Матриці. Види матриць.6. Операції над матрицями.7. Обернена матриця. Алгоритм знаходження оберненої матриці.8. Елементарні перетворення матриць.9. Що називається рішенням СЛАР?10. Рішення систем рівнянь за правилом Крамера. 11. Рішення СЛАР методом Гауса. 12. Рішення СЛАР за допомогою оберненої матриці.13. Поняття вектора. 14. Скалярний, мішаний, векторний добутки векторів. 15. Види рівнянь прямої.16. Парабола, її параметри, канонічне рівняння.17. Гіпербола, її параметри, канонічне рівняння.18. Еліпс, його параметри, канонічне рівняння.

22

Методичні рекомендації для самостійного вивчення модуля «Комплексні числа. Основи диференціального числення»

Теми для самостійного вивчення.1.Дії над комплексними числами та їх геометрична інтерпритація.2.Тригонометрична форма комплексного числа.3.Показникова форма комплексного числа.4.Дійсні числа. Функція5.Границя функції.6.Обчислення границь функцій.7.Неперервність функції.8.Диференціювання функцій.9.Диференціал10.Похідні та диференціали вищих порядків11.Монотонність функції. Локальний екстремум функції.12.Найбільше і найменше значення функції.13.Опуклість і вгнутість кривих. Точки перегину. Асимптоти кривої.14.Схема дослідження функції та побудова її графіка.15.Частинні похідні. Повний диференціал функції16.Деякі застосування частинних похідних.

Термінологічний словник.

Алгебраїчна форма комплексного числа: z=x+iy

Модуль комплексного числа: r=√x2+ y2

Аргумент комплексного числа:

ϕ=Arg z=¿ {arctg yx

, якщо a>0 ,¿ {arctg yx+π , якщо a<0 , ¿ {π2 , якщо a=0 , b>0 ,¿ ¿¿¿

Дії над комплексними числами в алгебраїчній формі:

1) ( x1+iy1 )+(x2+ iy2 )=( x1+x2 )+i( y1+ y2 );2) ( x1+iy1 )−( x2+iy2 )=( x1−x2 )+ i( y1− y2 ) ;

3) ( x1+iy1 )⋅( x2+iy2 )=(x1 x2− y1 y2)+i( x1 y2+x2 y1);

4)

x1+iy1

x2+iy2=( x1+ iy1 )( x2−iy2 )( x2+iy2 )( x2−iy2)

=x1 x2+ y1 y2

x22+ y2

2 +i−x1 y2+x2 y1

x22+ y 2

2, при умові, що

x2+iy2≠0 .

Тригонометрична форма: z=r (cosϕ+isin ϕ )Дії над комплексними числами в тригонометричній формі:

1) r1 (cosϕ1+i sin ϕ1 )⋅r2(cos ϕ2+i sin ϕ2)=r1 r2 (cos( ϕ1+ϕ2 )+i sin( ϕ1+ϕ2 )) ;

23

2) [r (cos ϕ+ isin ϕ ) ]n=r n(cos nϕ+i sin nϕ ) ;

3)

r1(cos ϕ1+i sin ϕ1)r2(cos ϕ2+i sin ϕ2)

=r1

r2(cos (ϕ1−ϕ2 )+i sin( ϕ1−ϕ2))

;

4)

n√r (cos ϕ+i sin ϕ )=n√r (cos ϕ+2 kπn

+ isin ϕ+2kπn ) , k=0,1, . .. , n−1

.

Показникова форма: z=re iϕ

Дії над комплексними числами в показниковій формі:

1) r1 eiϕ1⋅r2 e

iϕ2=r1r2 ei(ϕ1+ϕ2 )

;

2)

r1 eiϕ1

r 2eiϕ2=

r1

r2e

i( ϕ1−ϕ2)

;

3) (reiϕ )n=rn e inϕ

;

Перша важлива границя limx→ 0

sin xx=1

.

Друга важлива границя limx→ ∞ (1+ 1

x )x=e

. limx→ 0

(1+x )1

x=e .

Правила диференціювання

Якщо.u( x ) та v (x ) - диференційовані функції, то

1.

2.

3.

4.

Таблиця похідних

1. (const { )'=0¿ .

2. ( xn )'=nxn−1

.

3. (ex )'=e x

.

4. (ax )'=ax ln a .

5.( loga x )′= 1

x ln a .

6.( ln x )′=1

x .

7. (sin x )′=cos x .

9.( tgx )′= 1

cos2 x .

10.(ctgx )′= 1

sin2 x .

11.(arcsin x )′= 1

√1−x2.

12.(arccos x )′=− 1

√1−x2.

13.(arctgx )′= 1

1+x2.

24

8. (cos x )′=sin x .14.

(arcctgx )′=− 11+x2

Похідна складної функціїПохідна складної функції y=f (u( x ) )дорівнює добутку похідної цієї функції за проміжною змінною и на похідну проміжної змінної и за змінною х. Тобто,

y '= f ' (u )⋅u' ( x )k=tg α= y ' (M 0 ) - геометричний зміст похідної

y− y0= y ' (M 0 )( x−x0) - рівняння дотичної

y− y0=−1

y ' (M 0)(x−x0 )

- рівняння нормалі.

ЕКСТРЕМУМ ФУНКЦІЇДля дослідження функції і побудови її графіка студент повинен добре знати, що

при зростанні функції - y'>0 , при спаданні - y

'<0 і розуміти різницю між необхідною та достатньою умовами існування екстремума функції а також необхідною і достатньою умовами існування точок перетину.y ' ( x0)=0 або не існує – необхідна умова існування екстремуму;y ' ' (x0 )=0 або не існує – необхідна умова існування точок перетину.

Із цих умов знаходяться критичні точки.

Достатня умова для існування екстремуму в т.M 0 або точки перегину – зміна знака відповідно першої і другої похідної при переході через критичну точку.

y '>0 – функція зростає ↗ ; y'<0 – функція спадає ↘ ;

y ' '>0 – функція вгнута ∪¿

+

¿ ; y' '<0 – функція опукла

¿− .

Диференціювання складних функцій з кількома змінними

1. z=f (U ,V ) , де {U=U ( x , y ) ¿ ¿¿¿

, то z x

' =∂ z∂ x=∂ z∂u⋅∂u∂ x+ ∂ z∂ v⋅∂v∂ x ,

z y

' = ∂ z∂ y=∂ z∂u⋅∂u∂ y+ ∂ z∂ v⋅∂v∂ y .

2. z=f (U ,V ) , де {U=U ( x ) ¿ ¿¿¿

, то

dzdx=∂ z∂ u⋅∂u∂ x+ ∂ z∂ v⋅∂ v∂ x .

3. z= f (x , y ) , де y=f ( x ) , то

dzdx=∂ z∂ x+ ∂ z∂ y⋅∂ y∂ x .

25

4. z= f (x , y ) , dz= ∂ z

∂ x⋅dx+ ∂ z

∂ y⋅dy

.

5.

∂2 z∂ x ∂ y

= ∂2 z∂ y ∂ x , у точках неперервності.

Варіанти індивідуальних завдань.

Завдання №1.Записати в тригонометричній та показниковій формах комплексні числа z1

і z2 . Обчислити z3 .

№ z1 z2 z3 z4 № z1 z2 z3 z4

1.1. 2−2i −√3−i z1 z2z

12+ z22 1.11 −4+4 i 2−√12 i z1 z2 ( z1−z2 )

1.2.2−2i −√3−i

z12

z2

( z1−z2 ) 1.12 4−4 i −2+√12 iz

13 z2

2z

12−z22

1.3.2+2 i −√3+i

z13 z2

2( z1+z2) 1.13 −4+4 i 3+√27 i

z12

z2

( z1+z2)

1.4.−2−2i −√3+i ( z1

z2)2

z1+z2 1.14 4+4 i 3−√27 iz1 z

23

2z

12+ z22

1.5.3+3 i 1−√3 i

z22

z1

z12−z

22 1.15 −4−4 i −3+√27 i z1 z2z

12+ z22

1.6.−3+3 i 1+√3 i ( z2

z1)

4

z1−2 z2 1.16 5−5i −3−√27 iz

12

z2

( z1−z2 )

1.7.3−3i 1+2 i

z1 z23

2( z1−z2 ) 1.17 3−3i −2−√8 i

z13 z2

2( z1+z2 )

1.8.5+5 i 1−√3 i z1 z2

z12−z

22 1.18 5+5 i −4−4 i ( z1

z2)2

z1+z2

1.9.5+5 i 7√3−7 i

z12

z2

( z1+z2 ) 1.19 1−i 3+√27 iz

22

z1

z12−z

22

1.10.4+4 i −2−√12 i

z13 z2

2z

12+ z22 1.20 2−2i −5−√125 i ( z2

z1)

4

z1−2 z2

Завдання 2. Знайти область визначення функцій.

1. y= lg 2+x

2−x;

2. y = √ x−x2; 3. y =√−x+ 1√2+x

;

4. y =

√ x√x2−5 x+6

; 5. y = lg

x2−5 x4

; 6.y = √ x+1− 4√2x−1;

26

7. y = √ x+1 lg (2 x−3 ); 8. y =

√x−1x2−4

; 9. y =

x−1x2−5 x+6

;

10. y = arccos

1−2 x3

; 11. y = √4+x+√3−x ; 12. y =

√x+2lg ( x+1)

;

13. y = arccos(2x-3) + √4−x ; 14. y = 21

1−x + arcsin

x−32−lg( 4−x );

15. y = eч

12−25

;

16. y = arcsin

x−32−lg ( 4−x );

17. y =

1√5−3 x

+log3 (8-4x); 18. y = √ x2−5 x+6+ 3√ x−7 ;

19.y = arccos

2 x−45

; 20. y =

√ x−2log 2(2 x−2)

; 21. y = log5

x2−6 x2

;

22. y = arccos

2 x+83

; 23. y =√ x+1+√10−3 x ; 24. y =

1√4−2x

+log3 (x

2−3 x+2 );

25. y = √2x−8−21

x−6; 26. y =

√2 x+6x2−3 x+2

; 27. y =

1√x2+3x−4

+arcsin

x−23

;

28. y = ex2

1−4 x

+√ x−3 ; 29.y =

arccos(2 x+3)lg ( x2−4 x−5)

; 30. y = log2

x−5x2−3

+√ x .

Завдання 3. Обчислити границі функцій не використовуючи правило Лопіталя:Вар а) б) в) г)

1 limx→ ∞

3+x+5 x4

x4−12 x+1lim

x→−3

x2+4 x+32 x2+9 x+9

limx→ 0

√1+x−√1+x2

2 x−3 x2limx→0

1−cos xx2

2 limx→ ∞

8 x2−6 x+75 x2−9

limx→ 3

4 x2−5 x−212 x2−3 x−9

limx→ 5

√x−1−2x−5

limx→0

xtgx1−cos2 x

3 limx→ ∞

x2+2 x+13 x2+x−1

limx→ 3

4 x2−14 x+6x2−4 x+3

limx→ 4

x2−16√x−2

limx→0

x sin 3 x1−cos 4 x

4 limx→ ∞

2 x2+7 x−13 x2+x+4

limx→−4

2 x2+5 x−122 x2+6 x−8

limx→ 3

√ x+1−2√x−2−1

limx→0

1−cos2 x4 x2

5 limx→ ∞

x3+13 x3−7 x+2

limx→ 1

3 x2−x−22x2+5 x−7

limx→ 10

√ x−9−1x2−9 x−10

limx→0

cos x−cos2 xx sin2 x

6 limx→ ∞

1+4 x−x2

2+3 x+2 x2 limx→ 2

x2−43 x2−5 x−2

limx→ 0

√3−x−√3+x5 x

limx→0

sin2 5 xx2

7 limx→ ∞

2 x2−14 x2−x+5

limx→−1

x2−1x2+3 x+2

limx→ 4

√ x−22 x2−5 x−12

limx→0

2 xsin2 12 x

8 limx→ ∞

2 x2−3 x+16 x2+3x−5

limx→−2

x2+3 x+22 x2+5 x+2

limx→ 3

√2 x−2−2√ x+1−2

limx→0

tg2 x2sin 3 x

9 limx→ ∞

(x+1 )2

2 x2 limx→ 0

(1+x )3− (1+3 x )2 x2+5 x5 lim

x→ 3

√x+13−2√x+19−x2

limx→0

tgx−sin xx3

10 limx→ ∞

( x−1 )3

2 x3−3 x+2lim

x→−1

3 x2+4 x+111 x2+9 x−2

limx→ 1

1−x2

√x2−3 x+3−1limx→0

x sin 4 x1−cos2 x

27

11 limx→ ∞

2−3 x2 x+1 lim

x→−3

x2−12 x2−x−1

limx→ 7

√ x−5−√2x2−49

limx→0

1−cos23x9 x2

12 limx→ ∞

2+3x− x3

2 x+3 x2−4 x3 limx→−2

x2+8 x+123x2+5 x−2

limx→ 3

√x+1−2x−3

limx→0

sin 2 x5x

.

13 limx→ ∞

4 x2+x−13+x2−x

limx→ 5

2 x2−11 x+55 x2−24 x−5

limx→ 0

√4+ x−2x

limx→0

tg 4 xsin 3 x

.

14 limx→ ∞

7 x4−8 x2+6x4+3 x−3

limx→ 2

x2−5 x+6x2−12 x+20

limx→ 25

√ x−5625−x2

limx→0

sin 8 xctg3 x

15 limx→ ∞

13 x2−x+426 x2+5 x+1

limx→ 5

3 x2−14 x−52 x2−11 x+5

limx→ 0

2 x−6 x2

√3−x−√3limx→0

1−cos 4 xx sin 3 x

16 limx→ ∞

5 x3+5 x2−7 x+12 x3−x−3

limx→−2

3x2−x−14x2+8 x+12

limx→ 3

√x+13−2√x+12 x2−9 x+9

limx→0

1−cos 4 x1−cos 8x

17 limx→ ∞

6 x3−4 x2+12 x3+2x2−3

limx→ 2

2 x2−3 x−2x2+6 x−16

limx→ 0

√7−x−√7+x2 x

limx→0

sin 5 x−sin 3 xsin x

18 limx→ ∞

8x4−4 x 2+82x4+1

limx→ 6

2 x2−72x2−7 x+6

limx→−4

√ x+12−√4−xx2+2 x−8

limx→0

ctg 5xsin 3 x

.

19 limx→ ∞

x3+97 x3+10 x+5

limx→−4

5 x2+9 x−442x2+5 x−12

limx→ 4

2 x2−7 x−4√4+x−√2 x

limx→0

x2

sin2 6 x

20 limx→ ∞

4 x3+6 x2−x+45 x3−3 x2+2 x+1

limx→ 5

20+x−x2

3 x2−11 x−20lim

x→−5

√3 x+17−√2 x+12x2+8 x+15

limx→0

5 x2

1−cos2 x

Завдання 4. Дослідити на неперервність функцію та класифікувати точки розриву:

1).

y={x+1 , якщо : x ¿−1 ;x2 , якщо : −1< x ¿2 ;4 , якщо : x ¿2 .

2).

y={x+4 , якщо : x ¿0;

tg x , якщо : 0≤ x ¿ π4

;

1 , якщо : x ¿ π4

.

3).

y={1−x , якщо : x ¿0 ;

sin x , якщо : 0≤ x ¿ 3π2

;

−1 , якщо : x ¿ 3π2

.4).

y={x , якщо : x ¿0 ;

ctg x , якщо : 0< x ¿ π2

;

3 , якщо : x ¿ π2

.

5).

y={cos x , якщо : x ¿0 ;ex , якщо : 0< x ¿3 ;1 , якщо : x ¿3 .

6).

y={x , якщо : x ¿0 ;1x

, якщо : 0< x ¿1 ;

1 , якщо : x ¿1.

28

7).

y={ 0 , якщо : x ¿−2 ;3−x2 , якщо : −2≤ x ¿1;x+1 , якщо : x ¿2 . 8).

y={ x2 , якщо : x ¿0 ;−x , якщо : 0≤ x ¿2 ;−1, якщо : x ¿2.

9).

y={ 2 , якщо : x ¿−1 ;x2−2 , якщо : −1≤ x ¿2 ;

x , якщо : x ¿2 . 10).

y={ 2 , якщо : x ¿0 ;x2 , якщо : 0≤ x ¿1;

(x−2)2 , якщо : x ¿1 .

11).

y={cos x , якщо : x ¿0 ;1 , якщо : 0≤ x ¿3 ;

x+2 , якщо : x ¿3 .

12).

y={ −1 , якщо : x ¿−π2

;

sin x , якщо : −π2≤ x ¿ π

2;

π2−x , якщо : x ¿ π

2.

13).

y={−x−2, якщо : x ¿−2 ;−x2 , якщо : −2< x ¿0 ;

sin x , якщо : x ¿0 . 14).

y={−2 x , якщо : x ¿0 ;2 , якщо : 0< x ¿3 ;

5−x , якщо : x ¿3 .

15).

y={−4−x , якщо : x ¿0 ;

ctg x , якщо : 0< x ¿ π2

;

x− π2

, якщо : x ¿ π2

. 16).

y={x−3 , якщо : x ¿−1;x2+1 , якщо : −1< x ¿1;3−x , якщо : x ¿1 .

17).

y={ x , якщо : x ¿ 0;2 x+1, якщо : 0≤ x ¿2;7−x2 , якщо : x ¿2 . 18).

y={ −2 x , якщо : x ¿0 ;2 x2−1 , якщо : 0< x ¿1 ;

1 , якщо : x ¿1 .

19).

y={−4−x , якщо : x ¿−2 ;x , якщо : −2≤ x ¿0 ;1x

, якщо : x ¿0 .20).

y={ −2 , якщо : x ¿ 0;x3 , якщо : 0≤ x ¿2;

10−x , якщо : x ¿2 .

21).

y={x−1 , якщо : x ¿0 ;−x2 , якщо : 0≤ x ¿2 ;−4 , якщо : x ¿2 .

22).

y={sin x , якщо : x ¿0 ;

tg x , якщо : 0≤ x ¿ π2

;

2, якщо : x ¿ π2

.

29

23).

y={−3 , якщо : x ¿− π2

;

sin x , якщо : −π2≤ x ¿π ;

x−π , якщо : x ¿ π .24).

y={ 2 , якщо : x ¿−2 ;x2−4 , якщо : −2≤ x ¿2 ;(x−2)2 , якщо : x ¿2.

25).

y={x=1, якщо : x ¿ π4

;

ctg x , якщо : π4< x ¿ π ;

x , якщо : x ¿π . 26).

y={x+4 , якщо : x ¿−2 ;−x , якщо : −2< x ¿ 0;1x

, якщо : x ¿0 .

27).

y={ x , якщо : x ¿1 ;(x−2)2 , якщо : 1≤ x ¿3 ;

x−1 , якщо : x ¿3. 28).

y={cos x , якщо : x ¿0 ;−x2 , якщо : 0≤ x ¿2;x−6 , якщо : x ¿2 .

29).

y={ x+3 , якщо : x ¿−1 ;2 , якщо : −1≤ x ¿2 ;

1x−2, якщо : x ¿2.

30).

y={ x2 , якщо : x ¿0 ;x−1 , якщо : 0≤ x ¿1;ln x , якщо : x ¿1.

Завдання 5. Знайти похідні даних функцій:Частина 1.

1) а) y=x3−6 x2+2 x−1 , б)y=( x3+1 ) sin 3 x , в) y= 1+e x

1−ex ;

2) а) y=2 x4−5 x2+1 б)y= 1+e x

1−ex, в)y=arctg√ x2−1 ;

3) а)y=sin2 x

2 x+1 б)y=x3−6 x2+2 x−1 , в)y=√x+√ x ;

4) а) y=4 x5−6 x3+2 x б)y=( x2+1 )cos3 x в)y=arctg√ 3−x

x−2;

5) а) y=3 x5−6 x3+2 x б)y=cos x

x2 в) y=√x2+1+

3√x3+1 ;

6) а) y=4 x−x3+7 x8б)

y=arccos 1x в)

y=ln √ 1+tgx1−tgx

−x ;

7) а) y=2 x3−4 x+1 б)y=( x2+6 x−1 )e2 x в)

y= ln √ 1−sin x1+cos x ;

30

8) а)y= 4 ln x

1−ln x б)y=2 x3−4 x+1 в) y = ln(ex + √1+e2 x);

9) а)y= 4 sin 3x

x2−4 x+1 б)y= (x−1 )cos 2 x в)y= ln x√ x2−1

;

10) а)y=3 x2+7 x+1 б)y= (3 x−1 )e x в)

y= 1x+√1+x2

;

11) а) 13ln

x

xyб)

y=10+2 x3− x 4

4 в) y = tg2 (x3+1);

12) а)y=3 x3−2 x2+x−4 б)y=cos3 x

x3+x2+1 в) y = arctg 3√ 1−x

1+x.

13) а)y=3−2 x+6x3−8 x7б) xtgxy 412 в) y = arctg√ x−√ x .

14) а)y=18 x7+14 x2+8 x б)y=ex sin x в) y = sin2 3x

15) а) y=x5+6 x4−7 x б)y= (5 x+1 )arctg2 x в) y = √1+ln2 x ;

16) а)y=( x2−8 )cos3x б)y= 3 x

sin2 x в) y = arctg√ x2−1 ;

17) а)y=3−2√x+6 x3б) xtgxy 412 в)

y=ln √sin x1+2 cos x ;

18) а) y=18 x−1+14 x−2+8 x б)y=e−x sin 2 x в) y=3 3√x5+5 x4−

5x

;

19) а)y=x5+6 1

x3−7 3√x+7

б)y=(5 x2+1 )tg 2 x в) y= 1

x+√1+x2;

20) а)y=( x2+8 )√2 x+1 б)y= 3 x2

tg 2 x в) y=arccos ex

Частина 2.

1). y=3sin 2 x+ 3√2 x⋅tg 4 x ; y=(ctg x )ln x ; y= ln √ 2 x+12−x

;

y⋅sin x−cos( x− y )=0 .

2). y=3arcsin 2 x+√ x⋅ln ( 4 x ) ; y= ( tg 2 x )ln x ; y=sin√ 2x+13−x

;

x⋅sin( x− y )− y⋅cos x=0 .

3).y=2tg 3 x+4√3 x⋅sin x

2; y= (ctg x )sin x ; y=cos 3√ x

2 x−1;

eyx−3 y2 x=0 .

31

4).y=2arctg3 x+4√2 x⋅cos x

2; y= (ctg x )tg x ; y= tg 3√ x

2 x+1;

e y 2x−3 yx2 =0 .

5). y=4cos2 x+4√x3⋅ctg x ; y= (sin x )x

2

; y= tg √ 2 xx+1

;

2yx+x sin 2 y=0 .

6). y=4arccos2 x+4√3 x2⋅tg x ; y= (ctg x )x

2

; y=cos√ 2 xx−1

;

2yx− y⋅sin (2 x−1 )=0 .

7). y=5ctg x2+

3√ x2¿ sin 2 x ; y= (arccos x )x2

; y=cos√ 2 x−1x+1

;

arctg ( xy )− y2 x=0.

8).y=5arctg x2

−3√2 x2¿cos x2

; y= (sin2 x )3 x ; y=ctg √ 2 x+1x−2

;

tg ( x+2 y )+ yx2=0 .

9).y=e

tg3 x2 −3√ x⋅cos x

2; y= (ctg2 x )5 x ; y=sin 3√ x

2x−1;

arccos ( y2)+ xy=0 .

10).y=e

arctgx2−4√x⋅sin x

2; y= (tg 2x )cos x ; y= tg 3√ x

2 x+1;

arccos( xy )− y2 x=0 .

11). y=6cos x2+ 4√2 x¿ tg2 x ; y=( x2 )sin 2 x

; y=ln 3√ 2 x−1x

;

arcsin ( yx )−x2 y=0 .

12). y=6arccos x−3√3 x⋅ln (2 x ); y= (2 x−1 ) tg x ; y=cos 3√ 2 x+1x

;

sin (x2 y )+ xy2=0 .

32

13).y=2cos√x+ 3√2 x⋅ctg x

2; y= (3 x−1 )2 x2

; y=arcsin√ x+1x−2

;

x⋅tg y+sin ( x− y )=0 .

14).y=2arcsin √x−3√2 x⋅cos x

2; y= (sin3 x )x

2

; y=ctg √ x+1x+2

;

tg ( xy )+ y⋅cos x=0 .

15). y=6sin (3 x+1 )+4√x3⋅tg 2x ;

y=(cos x2 )

ctg 2 x; y=ln 3√ x

2 x−1;

e x2 y+(2 x+1 )

y=0 .

16). y=6arctg 3 x−4√x3⋅ln (2x−1 ) ; y= (ctg2 x )cos x ; y=tg 3√ x

2 x−3;

sin (x2 y )− yx=0 .

17). y=4ctg

x3+ 3√ x⋅sin 2x ; y= ( tg 3x )x

3

; y=cos√ 2 x−1x−1

;

y⋅cos 2 x+sin ( y−x )=0 .

18). y=4arctg

x2−

3√x2⋅cos2 x ; y= (tg 2 x )3 x 2

; y=ctg √ 2 x−1x+1

;

y⋅sin x+cos ( y−x )=0 .

19).y=3cos (2 x+1 )−3√4 x⋅ctg x

3; y= ( ln 2x )x

2

; y=arccos√ x−1x+1

;

e x2 y+ xy3=0 .

20). y=3arccos2 x+4√x3⋅sin 3 x ; y= ( ln 2 x )tg x ; y=cos 3√ x−1

x+1;

e xy3−x⋅tg ( y+3 )=0 .

21). y=2tg x 2+

3√x2 ¿ sin3 x ; y= (cos2x )x2

; y=arctg√ x+1x−2

;

yx 2−sin (xy2 )=0 .

22). y=2arctg x2+

3√ x2¿ctg x ; y= (cos2x )x2

; y=tg √ x+1x−2

;

arcsin ( yx )+ y3 x2=0 .

33

23). y=esin

x2−3√2 x⋅cos3 x ; y= (arctg x )3 x ; y= tg √ 2 x−1

x+2;

ctg ( xy )+x⋅sin y=0 .

24). y=earcsin

x2−

3√5 x2⋅tg 2x ; y= (arctg x )cos x ; y=sin√ x−1x+2

;

sin ( xy )+x⋅ctg y=0 .

25).y=5ctg√x+ 4√2 x⋅cos x

2; y= (arcsin x )2 x ; y=sin√ 2x+1

2−x;

arccos( xy )+ y2 x=0 .

26).y=5arcctg√x+ 4√3 x⋅sin x

2; y= (arctg x )2 x2

; y=ctg√ 2 x−13−x

;

arcsin ( yx )+x2 y=0 .

27). y=3 tg 2 x+4√2 x3⋅sin 3 x ; y= (arctg x )x

3

; y=cos√ x−1x+1

;

e2 x⋅ctg y+( xy )2=0 .

28). y=3arctg 2 x+3√4 x2⋅cos2x ; y= (ctg x )ln 2 x ; y=tg √ x−4

2 x+5;

e2 x⋅ctg y+( xy )2=0 .

29). y=2sin√x+4√ x3⋅ctg x ; y= ( tg x )cos x; y=ln √ 3 x

2 x+1;

x⋅e2 y+cos (x2+ y2)=0 .

30).y=2arcsin√ x+4√5 x⋅ln3 x ; y= (cos2x )sin x ; y=ctg 3√ x

2x+3;

y⋅e2 x+sin (x2+ y2)=0 .

Завдання 6. Дослідити функції за допомогою диференціального числення та побудувати їх графіки:

1). y=4 x3+9 x2−12 x−15 ;y= x3

3−x2 .

2). y=−8 x3+15 x2−6 x+3 ; y= x2−x+1x−1

.

34

3). y=−2 x3+9 x2−12 x+3 ; y=ln x−1x+2

.

4). y=x3+6 x2+9 x+10 ; y=x⋅e−x .

5). y=x3+15 x2+12 x+1 ;y= x3

2 ( x+1 )2.

6). y=2 x3+9 x2+12 x+2 ; y=x2⋅e−x .

7).y= x3

3− x2

2−6 x+2 ; y= ln x+1

x−3.

8). y=−4 x+9 x2+12 x−10 ; y=x−ln ( x+1 ) .

9). y=−x3+6 x2−9 x+4 ;y= x2

x2−1.

10).y=− x3

3+ x2

2+6 x−4 ; y= x

x2−1.

11). y=2 x3−3 x2−12 x+6 ; y= ln x−2x+3

.

12). y=2x3+3 x2−12 x−10 ; y=x−2⋅arctg x .

13). y=−x3+3 x2+9 x−12 ; y=x+ ln xx

.

14). y=x3+3 x2−9 x−10 ; y= x2+ 2

x.

15).y=− x3

5+ 6 x2

5+3 x−12 ; y=x⋅ln x .

16).y= x3

6+x2−5

2x−8 ; y=x⋅e

−x2 .

17). y=x3−3 x2+6 ; y=x √1−x .

18). y=−10x3+21x2−12x+3 ; y= x2

2+ 1

x.

19). y=−5 x3+9 x2−3 x+2 ; y= x2

x−2.

20). y=−2 x3+9 x2−13 ;y= ( x−1 )2

x2+1.

21).y=−x3+5

2x2+2 x+3 ; y=x−2⋅ln x .

22). y=8 x3+3 x2−18 x−3 ; y=x+arctg 2 x .

35

23). y=−x3+2 x2+5 ; y=3−x2

x+2.

24). y=−x3+x2+x+3 ; y= x2+x−1x+1

.

25). y=2 x3+x2−4 x+5 ;y= x

x2−4.

26). y=−4 x3+3 x2+6 x+5 ; y= x2−2 x+2x−1

.

27). y=2 x3−9 x2+12 x+12 ; y=2 x+arctg x2

.

28). y=x3−9 x2+15 x+6 ; y=x−arctg x .

29). y=−x3+3 x2+2 ; y= 2 xln x

.

30). y=x 4−8 x3+24 x2 ; y=ln (x2+1 ) .

Завдання 7.Розв’язати задачу:

1. Коштовність обладнання підприємства зменшується пропорційно швидкості зменшення коштовності обладнання. Визначте коштовність обладнання через три роки, якщо спочатку вона складала 20400 гривень2. Коштовність обладнання підприємства за п’ять років зменшилась до 20500 гривень. Обчислити, якою вона була спочатку, якщо коштовність обладнання зменшується пропорційно швидкості зменшення коштовності обладнання.3. Визначте найбільшу площу стоянки, яку можна огородити тином довжиною 200 метрів.4. Вікно має форму прямокутника, закінченим півколом. При заданому периметрі знайти такі його розміри, щоб воно пропускало найбільше світла. Р=6м.5. Необхідно зробити дерев’яну коробку з квадратним дном без кришки найбільшого об’єму. Знайдіть розміри коробки, якщо площа поверхні дерева, з якого необхідно зробити коробку складає 80см.6. Знайдіть розміри будівлі, на яку буде витрачено найменша кількість цегли, якщо висота будівлі складає 3м, площа 30м .7. Необхідно виділити прямокутну площину землі в 1024м2, огородити її тином та розділити загородкою на три рівних частини паралельно одній із сторін площини. Які потрібні розміри площини, щоб на побудову тинів пішла найменша кількість матеріалу.8. Трати на рекламу впливають на валовий прибуток R(a) відповідно закону: R(a)=R(1+a1/3)? Де R- прибуток у відсутності реклами. При яких значеннях R оптимальні трати на рекламу перебільшать прибуток за відсутністю реклами?9. Прямокутний лист жерсті має лінійні розміри 5*8дм. У чотирьох його кутах вирізають однакові квадрати і роблять відкриту коробку, загинаючи краї під прямим кутом. Яка максимально можлива місткість цієї коробки?10. Знайти вираз для об’єма реалізованої продукції у=у(t) та його значення при t=2, якщо відомо, що крива попиту має вид: p(y)=3-2y, норма акселерації 1/l=1.5, норма інвестицій m=0.6, у(0)=1.

36

11. Коштовність обладнання підприємства зменшується пропорційно швидкості зменшення коштовності обладнання. Визначте коштовність обладнання через три роки, якщо спочатку вона складала 20400 гривень12. Коштовність обладнання підприємства за п’ять років зменшилась до 20500 гривень. Обчислити, якою вона була спочатку, якщо коштовність обладнання зменшується пропорційно швидкості зменшення коштовності обладнання.13. Визначте найбільшу площу стоянки, яку можна огородити тином довжиною 200 метрів.14. Вікно має форму прямокутника, закінченим півколом. При заданому периметрі знайти такі його розміри, щоб воно пропускало найбільше світла. Р=6м.15. Необхідно зробити дерев’яну коробку з квадратним дном без кришки найбільшого об’єму. Знайдіть розміри коробки, якщо площа поверхні дерева, з якого необхідно зробити коробку складає 80см.16. Знайдіть розміри будівлі, на яку буде витрачено найменша кількість цегли, якщо висота будівлі складає 3м, площа 30м .17. Необхідно виділити прямокутну площину землі в 1024м2, огородити її тином та розділити загородкою на три рівних частини паралельно одній із сторін площини. Які потрібні розміри площини, щоб на побудову тинів пішла найменша кількість матеріалу.18. Трати на рекламу впливають на валовий прибуток R(a) відповідно закону: R(a)=R(1+a1/3)? Де R- прибуток у відсутності реклами. При яких значеннях R оптимальні трати на рекламу перебільшать прибуток за відсутністю реклами?19. Прямокутний лист жерсті має лінійні розміри 5*8дм. У чотирьох його кутах вирізають однакові квадрати і роблять відкриту коробку, загинаючи краї під прямим кутом. Яка максимально можлива місткість цієї коробки?20. Знайти вираз для об’єма реалізованої продукції у=у(t) та його значення при t=2, якщо відомо, що крива попиту має вид: p(y)=3-2y, норма акселерації 1/l=1.5, норма інвестицій m=0.6, у(0)=1.21. Коштовність обладнання підприємства зменшується пропорційно швидкості зменшення коштовності обладнання. Визначте коштовність обладнання через три роки, якщо спочатку вона складала 20400 гривень22. Коштовність обладнання підприємства за п’ять років зменшилась до 20500 гривень. Обчислити, якою вона була спочатку, якщо коштовність обладнання зменшується пропорційно швидкості зменшення коштовності обладнання.23. Визначте найбільшу площу стоянки, яку можна огородити тином довжиною 200 метрів.24. Вікно має форму прямокутника, закінченим півколом. При заданому периметрі знайти такі його розміри, щоб воно пропускало найбільше світла. Р=6м.25. Необхідно зробити дерев’яну коробку з квадратним дном без кришки найбільшого об’єму. Знайдіть розміри коробки, якщо площа поверхні дерева, з якого необхідно зробити коробку складає 80см.

Завдання 8. Перевірити слідуючи рівності.

1. y

∂2 z∂ x ∂ y

= ∂ z∂ y−∂ z∂ x

, при z = e

xy

2. x ∂ z∂ x+ y ∂ z∂ y= z

2, при z = √ x sin

yx

3. x ∂ z∂ x+ y ∂ z∂ y=xy+z ,

при z =xy+xcos y

x

37

4.

∂2 z∂ x2+

∂2 z∂ y2=0 ,

при z =arctg y

xЗнайти диференціали другого порядку від функцій:

5. z =xin y

x 6. z =

xyx2+ y2

7. z = ytg2 x

8. z = ln(x2+ y2 ) 9. z =

arctg xy 10. z = cos ( x2+ y2 )

Впевніться, що

∂2 z∂ x ∂ y

= ∂2 z∂ y ∂ x для;

11.z =( cos x+ y sin x ) 12. z =ln (x+e y ) 13. z =

x+2 y2 x+ y

14.z = arcsin ( xy ) 15. z = yln x

16. z= y2 ln x , Знайти

д2 zдz2

, дzду

17. z=arccos y / x , Знайти

дzдx

, дzду

18. z=1

2ln x

y,

Знайти

дxдx

, д2 zдz2

,

19. z= y2 x , Знайти

дzдy

, дzдx

20.z=ex2+2 y 2, Знайти

д2 zдz2

, дzду

Зайти

д2 zдx 2 ; д2 z

дxдy; д2 z

дy2 від функцій:

21. z=x sin (xy )+ ycos (xy ) 22.z=sin ( x+cos y )

23. z=ln tg ( x+ y ) 24. z= y x3−3

Питання для самоконтролю.1. Яка форма комплексного числа називається алгебраїчною (тригонометричною,

показовою)?2. Дії над комплексними числами в алгебраїчній формі.3. Що називається границею функції? Розкриття невизначеностей.4. Чудові границі.5. Яка функція називається неперервною? Класифікація точок розриву.6. Поняття похідної функції, її фізичний та геометричний зміст.7. Правила диференціювання та таблиця похідних елементарних функцій.8. Похідна другого порядку, її фізичний зміст.9. Схема дослідження функції на монотонність та екстремум функції.

38

10. Умови існування екстремуму функції.11. Схема дослідження функції на опуклість та точки перегину.12. Асимптоти та способи їх знаходження.13. Схема дослідження функції.

39

Методичні рекомендації для самостійного вивчення модуля «Інтегральне числення.»

Теми для самостійного вивчення.1.Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла. Таблиця основних інтегралів.2.Основні методи інтегрування.3.Інтегрування раціональних функцій.4.Інтегрування деяких ірраціональних функцій.5.Інтегрування тригонометричних функцій.6.Визначений інтеграл. Теорема Ньютона-Лейбніця.7.Методи обчислення визначенихінтегралів.8.Невласні інтеграли. Наближене обчислення визначених інтегралів.9.Деякі застосування визначеного інтеграла10.Диференціальні рівняння першого порядку. Задача Коші.11.Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.12.Лінійні та однорідні диференціальні рівняння першого порядку.13.Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами14.Системи лінійних диференціальних рівнянь.

Термінологічний словник.Властивості невизначеного інтеграла

1. а) (∫ f ( x ) dx )′=f ( x ).

б) d∫ f ( x ) dx= f ( x ) dx .

в) ∫ df ( x )=f ( x )+C .

2. а) ∫ Af (x ) dx=A∫ f ( x ) dx , A=const .

б) ∫ [ f 1 ( x )+ f 2 ( x ) ] dx=∫ f 1 ( x ) dx+∫ f 2 ( x ) dx.

в) ∫ f (ax+b ) dx=1

aF (ax+b )+C

, якщо ∫ f ( x ) dx=F ( x )+C .Інтегрування способом підстановки

∫ f [ ϕ ( t ) ]⋅ϕ ' (t ) dt=¿|ϕ (t )=x ¿|| dϕ ( t )=dx ¿|¿¿

¿¿.

Інтегрування способом за частинами

∫udv=u⋅v−∫ vdu .Таблиця невизначених інтегралів

1.∫ xα dx= xα+1

α+1+C , α≠−1

; 8. ∫ ctgx dx= ln|sin x|+C ;

40

2.∫ dx

x=ln|x|+C

; 9. ∫ dx

cos2 x=tgx+C

;

3.∫ ax dx= ax

ln a+C

; 10. ∫ dx

sin2 x=−ctgx+C

;

4. ∫ ex dx=e x+C ; 11. ∫ dx

x2+a2=1

aarctg x

a+C

;

5. ∫sin x dx=−cos x+C ; 12. ∫ dx√ x2±k

=ln|x+√x2±k|+C;

6. ∫cos xdx=sin x+C ; 13. ∫ dx√a2−x2

=arcsin xa+C

;

7. ∫ tgx dx=−ln |cos x|+C ; 14. ∫ dx

x2−a2= 1

2 aln|x−a

x+a|+C

.Формула Ньютона - Лейбниця для обчислення визначених інтегралів

∫a

b

f ( x ) dx=F ( x ) |ab=F (b )−F (a )

.

Спосіб підстановки у визначених інтегралах

∫α

β

f [ϕ ( t ) ] ϕ ' ( t ) dt=¿|ϕ ( t )=x ; при t=β x=ϕ ( β )=b ¿|¿¿

¿¿¿.

Спосіб інтегрування за частинами у визначених інтегралах

∫a

b

udv= (u⋅v ) |ab−∫

a

b

vdu.

Формули для розв’язування прикладних задач

1. Площа плоскої фігури

а) S=∫

a

b

f ( x ) dx ; f ( x )>0,

(криволінійної трапеції).

б) S=∫

a

b

[f 2 ( x )−f 1 ( x ) ] dx ; f 2 ( x )>f 1 (x ).

41

2. Довжина дуги

а) l=∫

b

a

√1+( yx' )2 dx , якщо y= y ( x )

.

б) l=∫

α

β

√ ( x t' )2+( yx

' )2 dt , якщо ¿ {x=x (t ) ¿¿¿.

3. Об’єм тіл обертання

V x=π∫a

b

y2 ( x ) dx;

V y=π∫c

d

x2 ( y ) dy;

V x=π∫a

b

[ f 22 ( x )−f 1

2 ( x ) ] dx , якщо f 2 ( x )> f 1 ( x );

4. Площа поверхні обертання

Px=2 π∫

a

b

y ( x ) √1+( yx' )2 dx

.

Варіанти індивідуальних завдань.Завдання1. Обчислити невизначені інтеграли.

1.1. а)∫ (x3−6 x2+7 )dx б)∫ dx

5 x+1 в)∫ x sin xdx

1.2. а)∫ (x 4−5 x3+2 x−1 )dx б)∫ dx

(2 x−20 )3 в)∫ x cos2 xdx

1.3. а)∫ (3 x2+6 x−7 )dx б)∫ dx

(5 x−1 )3 в)∫cos2 x sin xdx

1.4. а)∫ (5 x4−6 x2+7 )dx б)∫ dx

6 x+1 в)∫ arctgxdx

1.5. а)∫ (x3−6 x5+2 x2−3 )dx б)∫ dx

(2 x−3 )4 в)∫ tg2 x dx

cos2 x

1.6. а)∫ (x8−6 x5+2 x2−3 )dx б)∫ dx

(3 x+2 )3 в)∫ arcctgxdx

1.7. а)∫ (x3−2 x2−5 x+1 )dx б)∫ dx

(5 x−4 )7 в)∫ ln xdx

1.8. а)∫ (x 4−3 x3+5 x2−6 )dx б)∫ dx

(6 x−1 )8 в)∫ x2

1−x3 dx

1.9. а)∫ (x7−3 x4+2 x+5 )dx б)∫ dx

4 x+1 в)∫ x

x2+5dx

1.10.а)∫ (x7−3 x4+2 x+3 ) dx б)∫ dx

4 x−1 в)∫3 x cos xdx

42

1.11.а)∫ (x3−2 x2+3 x+8 )dx б)∫ dx

(5 x+2 )4 в)∫ x ln xdx

1.12.а)∫ (x−3x2+5 x4 )dx б)∫ dx

(8 x−7 )3 в)∫2 xsin 2 xdx

1.13.а)∫ (x 4+6 x5−x2+2 )dx б)∫ dx

(3 x−5 )4 в)∫ x cos3 xdx

1.14.а)∫ (x6−2 x3−5 )dx б)∫ dx

(5 x−7 )4 в)∫3 x sin xdx

1.15.а)∫ (7−3 x+8 x4−6 x3)dx б)∫ dx

6 x−11 в)∫3arctg 3 xdx

1.16.а)∫ (x3+x2−7 x+9 )dx б) ∫ dx

(18 x−3 )2 в)∫ arcsin xdx

1.17.а)∫ (1+sin x−cos x )dx б)∫ dx

(2 x−1 )3 в)∫ ( x+1 ) cos xdx

1.18.а)∫ (x 4−2 x2−5 )dx б) ∫ x√ x2+1

dxв)∫ ( x+1 ) ln xdx

1.19.а)∫ (7−3 x+3 x2−6 x−3 )dx б) ∫ ln x

xdx

в)∫5arcctgxdx

1.20.а)∫ (4 x3+3 x2+3 x+1 )dx б)∫ dx

( x−3 )3 в)∫(2x+4 )cos xdxЗавдання2. Обчислити визначені інтеграли.

2.1. а)∫−1

2

(x3−6 x2+x )dxб) ∫0

π4

sin x sin 7 xdx

2.2. а)∫−1

2

(x3−x2+2 )dxб)∫0

π3

( x−1 )cos3 xdx

2.3. а)∫5

6

(x3−x2+1 )dxб)∫1

31x2 e

1x dx

2.4. а)∫−2

1

(x3−3 x+1 )dxб)∫π

4

π2

1sin2 x

dx

2.5. а)∫3

4

(x3+6 x−1 )dxб)∫1

31x2 2

1x dx

2.6. а)

∫π6

π4

sin 3 xdx

б)∫0

π

sin 3 xdx

2.7. а)∫1

2

23 x dxб)∫1

41√5 x

dx

43

2.8. а)∫−2

2

(x2+6 x−1 )dxб)∫1

e

ln xdx

2.9. а)∫−3

4

( x3−6 x+2 )dxб)∫0

1

arctgxdx

2.10.а)

∫−π

6

π4

sin 5 xdx

б)∫0

π4

x cos xdx

2.11.а)

∫−π

4

π3

cos4 xdx

б)∫−3

4

( x2+6 x−1 )dx

2.12.а)∫0

1

√x+1 dxб)∫0

1

xe− x dx

2.13.а)∫0

π2

√cos x sin xdxб)∫0

1

x2√ x3+1 dx

2.14.а)∫−2

3

(x 4−6 x+8 )dxб)∫0

√3dx

x2+1

2.15.а)∫−3

4

( x3−6 x+2 )dxб)∫1

e

ln xdx

2.16.а)∫0

1

x2√1+x3 dxб)∫π

4

π2

1sin2 x

dx

2.17.а)∫0

π2

√cos3 x sin xdxб)∫0

1

x3√ x4+1dx

2.18.а)∫−2

3

(5 x4−2 x+1 )dxб)∫−1

2

12

dx√1−x2

2.19.а)∫−3

4

(4 x3+2 x+3 )dxб)∫1

e

x ln xdx

2.20.а)∫0

1

x √1+x2 dxб)∫0

π4

1cos2 x

dx

Завдання3. Обчислити площу фігури, обмежену лініями:

3.1. y=4−x2 , y=0 ;

3.2. y=x2 , y=6−x , y=0 ;

3.3. y2=4 x , y=0 , x=4 , x=9

3.4. y=ex , y=e− x , x=1;

3.5. y=4−x2 , y=x+2 ;

3.6. y=x2 , 2 x− y+3=0 ;3.7. xy=4 , x+ y=5 ;3.8. y=x , x+ y=5 , x=4 ;

3.9.y=sin x , y=x , x= π

2 ;

44

3.10.y= x2

3, y=−2

3x2+4

;

3.11.y= tgx , x= π

3, y=0

;3.12. y=ln x , x=e , y=0 ;

3.13. y=x2−2 x+4 , x=1 , y−4=x ;3.14. x−2 y+4=0 , x+ y−5=0 , y=0 ;

3.15.y=−1

3x2+3 , y=0 , x=0 , x=3

;

3.16. y=4 x−x2 , y=0 ;

3.17. y=x2 , 5 x− y−6=0 ;

3.18.y= 1

4x2 , y=−1

2x2+3 x

;

3.19. y=−x2+6 , y=2 x+3 ;

3.20. y=x2−2 x+3 , y=0 , x=0 , x=3Завдання4. Знайти загальний розв’язок диференціальних рівнянь.

45

4.1. а)x √1+ y2+ y y ' √1+x2=0 ;

б)y '− y

x=x2

;

в)y ' '+3 y '+2 y=1−x2.

4.11а)(e x+8 )dy− yex dx=0

б)y '+(2 x2+x ) y=tgx

в)y ' '+3 y '+2 y=3cos x.

4.2.а)√4+ y2 dx− ydy=x2 ydy ;б)y '− yctgx=2 x sin x ;

в)y ' '− y '=6 x2+3 x

4.12а)x √4+ y2 dx+ y √1+ x2 dy=0 ;б)y '+ y cos x+2 sin 3 x=0

;в)y ' '+3 y '+2 y=4 x−2

.

4.3 а)√3+ y2dx− ydy=x2 ydyб)y '=( x−4 ) y+2 ctgx

в) y ' '+3 y '+2 y=2 x+1

4.13а)6 xdx− ydy= yx2 dy−3 xy2 dx ;

б)y '+ ytgx= 1

cos x в) y ' '−6 y '+10 y=3 e−x

4.4 а)x √3+ y2 dx+ y √2+x2 dy=0б)y '= yctgx+sin x

в)y ' '+3 y '+2 y=cos x

4.14 а)y y '=

(8+ y ) y3 x−4

б)y '− y sin x=sin xcos x

в)y ' '+4 y=8 e−4 x

4.5 а)(e2 x+5 )dy+ ye2 x dx=0

б)y '= y

x−4+ (x−4 )2

в)y ' '+8 y '+20 y=3 x+1

4.15а)√5+ y2+ y ' y √1−x2=0б)x2 y '+xy+1=0

вy ' '+7 y '+10 y=5 ex

4.6 а)x √5+ y2 dx+ y √4+x2 dy=0

б)y '+ 4 y

x+1=x−1

в)y ' '−6 y '+10 y=5e−3 x

4.16 а)y ln y+x y '=0

б)xy '−2 y=2x4

в)y ' '+3 y '+2 y=3cos x

4.7 а)y y '√ 1−x2

1− y2+1=0

б)y '− y cos3 x=sin 3 x

в)y ' '+3 y '+2 y=cos x

4.17а)(1+e x ) y '= yex

б)x y '− y=−x

в)y ''+3 y '+2 y=12 x3−39

4.8 а) y (4+ex )dy−e x dx=0

б)у '=4 х2 (√2 х+3 у )в)

y ' '+3 y '+2 y=3 x−2

4.18а)y y '=

( x+4 ) y3 y−1

б)x y '+ y=sin x

в)2 y ''+3 y '=6 x2+2 x+1

4.9 а)√4−x2 y '+ xy2+x=0

б)у '+3 х2 у=√хв)y ' '−2 y '+5 y=3 x+1

4.4 а)y y '=2 y2+5 y

5−x

б)x2 y '−2xy=3

в)y ' '−6 y '+10 y=5 e−x

464.10

а)2 xdx−2 ydy=x2 ydy−2 xy2 dx

б)у '=2 х ( у+х2 )

в)y ' '+7 y '+10 y=5 ex

4.20 а)y '= 2 x−4

3 y+5

б)( x+1) y '−2 y=( x+1)4

в)y ' '−6 y '+9 y=5 e3 x

Питання для самоконтролю.1. Метод інтегрування дробово-раціональних функцій.2. Метод інтегрування деяких тригонометричних функцій.3. Метод інтегрування деяких ірраціональних функцій.4. Інтегрування способом підстановки.5. Інтегрування способом за частинами.6. Означення визначеного інтеграла, його геометричний і фізичний зміст, умови існування. Обчислення визначених інтегралів за формулою Ньютона – Лейбніца. 7. Заміна змінної і інтегрування частинами у визначеному інтегралі.8 Застосування визначеного інтегралу до розв’язання деяких задач геометрії: обчислення площі плоскої фігури, довжини лінії, об’єму тіла обертання.

47

Вимоги щодо виконання контрольної роботи

1. Номер варіанта дорівнює порядковому номеру студента у академічному журналі. У кожній задачі треба обрати завдання з номером відповідним до варіанту.

2. Заповніть титульний лист.3. Контрольна робота виконується чорнилом будь-якого кольору, крім червоних у

зошиті в клітинку. У зошиті повинні бути поля для зауважень викладача. 4. Перед рішенням кожної задачі вказується її умова, замінивши загальні дані конкретними зі свого варіанта. Розташовувати задачі необхідно в порядку зростання їхніх номерів, зберігаючи нумерацію. 5. Розв’язок задач обов’язково супроводжуються поясненнями, необхідними рисунками або графіками та посиланнями на відповідні теоретичні поняття та формули. 6. Робота, виконана з якими-небудь порушеннями перерахованих вище вимог, не зараховується і повертається студенту для переробки. 7. Студент, що не виконав контрольну роботу, до іспиту (заліку) не допускається.

48Лі те ратур а з в ищ ої м атем атики , що є у б і бл іотец і коле джу .

№п/п ЛІТЕРАТУРА

ОСНОВНА ЛІТЕРАТУРА

1Сборник задач по математике для техникумов на базе средней школы: Учеб. пособие для техникумов/О.Н.Афанасьева и др.-М.: Наука, 1987- 208 с

2 Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы – 2-е издание, перераб. и доп.-М.: Наука, 1989.

3 Алгебра и начала анализа ч.I,II. учебник для техникумов/ под ред. Г.Н.Яковлева.-М.:Наука,1978

4Міхайленко В.М., Федоренко Н.Д. алгебра та геометрія для економістів: Навчальний посібник. Вид.3-є.-К.:Вид-во Європ.ун-ту фінансів, інформ. систем, менеджм. і бізнесу,2000

5 Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для економістів. Вища математика.-К.:Національна академія управління,1999

6 Пак В.В., Носенко Ю.Л. Вища математика:Підручник.-К.:Либідь, 1996

7Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/Н.Ш.Кремер, Б.А. Путко, И.М.Тришин, М.Н.Фридман; Под ред.проф.Н.Ш.Кремера.-2-е изд., перераб. и доп.-М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1998

8Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч.: Учебное пособие для втузов- 5-е изд.,испр.-М.: Высш.шк.,1999

9 Вища математика: основні розділи:Підручник:У двох книгах. Книга 1/ за ред. Г.Л.Кулініча.-К.:Либідь,1995

ДОВІДНИКИ

1 Куринной Г.Ч. Математика:Справочник.-Харьков: Фолио; Ростов н/Д: Феникс,1997

2 Цыпкин А.Г. Справочник по математике для средних учебных заведений.- 4-е изд., испр. и доп.-М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит., 1988