ЖОҒАРЫ МАТЕМАТИКАœатематика каз.pdf · 8.8. Экономикалық...
TRANSCRIPT
ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖƏНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
Еуразиялық нарық институты
А.Ə.БАЙМҰХАМЕТОВ, Қ.А.ҚАРАЖАНОВА
ЖОҒАРЫ МАТЕМАТИКА
(ЭКОНОМИСТЕРГЕ АРНАЛҒАН ДƏРІСТЕР)
1 бөлім
Оқулық
Алматы 2005
УДК 517 Баймұхаметов А.Ə., Қаражанова Қ.А. Жоғары математика (экономистерге арналған дəрістер). 1 б.: Оқулық.- Алматы: ЕурАзНИ, 2005.- 92 б. Лекция материалдары бірінші семестрдің жоспарына сəйкес келетін экономистерге арналған математика курсы. Онда «Сызықты алгебра аналитикалық геометрия элементтерімен», «Векторлық жəне аналитикалық геометрия элементтері», «Бір айнымалы дифференциалдық есептелуі», «Интегралдық есептеу», «Дифференциалдық теңдеулер жəне қатарлар» бөлімдерінен негізгі ұғымдар мен теоремалардың тұжырымдары түсінікті деңгейде жазылған. Библиогр. – 15 аталымдар. Рецензент – Отарбаев Ж.О., техника ғылымдарының докторы, профессор (ҚазҰТУ) Еуразиялық нарық институттың ғылыми кеңесінде 2005 жылғы наурыздың 29-шы жұлдызында басылымға бекітілген ISBN
МАЗМҰНЫ
Кіріспе І Дəріс. Сызықтық алгебра 1.1. Матрицалар (тікшемдер). 2-ші, 3-ші ретті анықтауыштар. Анықтауыштардың қасиеттері 1.2. Минорлар мен алгебралық толықтауыштар 1.3. Матрицаларға амалдар қолдану 1.4. Матрица рангі
2 Дəріс. 2.1. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі (САТЖ) Матрицалық əдіс жəне Крамер ережесі 2.2. САТЖ зерттеудің жəне оның шешімін табудың Гаусс əдісі 3 Дəріс. 3.1. Көпсалалы экономиканың Леонтьев моделі (баланстық талдау) 4 Дəріс. Векторлық алгебра жəне аналитикалық геометрия элементтері 4.1. Векторлар жəне оларға қолданылатын амалдар 4.2. Векторлық кеңістік базисі. Вектор координаталары 4.3. Векторлардың түзуге проекциясы. Векторлардың скаляр көбейтіндісі жəне оның қасиеттері 5 Дəріс. 5.1. Жазықтықтағы түзу 5.2. Жазықтық теңдеуі 5.3. Кеңістіктегі түзу 5.4. Жазықтықтағы екінші ретті қисықтар 6 Дəріс. 6.1. Сызықты операторлар. Сызықты оператордың меншікті векторлары жəне меншікті мəндері 6.2. Квадраттық формалар. Айнымалыларды ерекше емес сызықты түрлендірудегі квадраттық формалар 6.3. Алмастырудың сызықты моделі 6.4. Сызықты теңсіздіктер жүйесі 7 Дəріс. Математикалық талдауға кіріспе 7.1. Функциялар 7.2. Шектер 8 Дəріс. Бір айнымалы функцияның дифференциалдық есептеуі 8.1. Туынды 8.2. Туындының механикалық, геометриялық жəне экономикалық мағынасы
8.3. Дифференциалдау ережелері
8.4. Функция дифференциалы
8.5. Жоғары ретті туындылар мен дифференциалдар 8.6. Лопиталь ережесі 8.7. Туындылардың көмегімен функцияларды зерттеу 8.8. Экономикалық теорияда туындыны қолдану 9 Дəріс. Көп айнымалы функциялар 9.1. Көп айнымалы функциялар. Анықталу аймағы
9.2. Функцияның дербес жəне толық өсімшелері. Шек жəне үзіліссіздік 9.3. Туындылар мен дифференциалдар 9.4. Жоғары ретті дербес туындылар мен толық дифференциалдар.
9.5. Көп айнымалы функциялардың экстремумдері
10 Дəріс. Ең кiшi квадраттар əдiсi 10.1. Ең кiшi квадраттар əдiсi 11 Дəріс. 11.1. Экономикалық ізденістерде дербес туындыларды қолдану 11.2. Функцияның икемділігі 12 Дəріс. Анықталмаған жəне анықталған интегралдар 12.1. Анықталмаған интеграл. Интегралдар кестесі 12.2. Интегралдау əдістері 12.3. Анықталған интеграл анықтамасы, қасиеттері 12.4. Интегралдан оның жоғары шегі арқылы туынды алу. Ньютон-Лейбниц формуласы 12.5. Анықталған интегралда айнымалыны алмастыру жқне бөлектеп интегралдау. 12.6. Меншіксіз интегралдар 13 Дəріс. Дифференциалдық теңдеулер 13.1. Жалпы түсініктер 13.2. Интегралданатын бірінші ретті дифференциалдық теңдеулердің негізгі класы 13.3. Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер 14 Дəріс. 14.1. Сызықты жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер 14.2. Тұрақтыларды вариациалау əдісі (Лагранж əдісі) 14.3. Сызықты біртекті коэффициенттері тұрақты 14.4. Оң жақ бөлігі арнайы түрде берілген сызықты, біртекті емес, коэффициенттері тұрақты теңдеулердің дербес шешімі 15 Дəріс. Қатарлар 15.1. Сандық қатарлар жəне оларға амалдар қолдану 15.2. Теріс емес мүшелі қатарлар 15.3. Лейбниц қатары. Абсолютті (дəйекті) жинақты жəне шартты жинақты қатарлар 15.4 Функциялық қатарлар 15.5.Дəрежелік қатарлар. Тейлор қатары
Əдебиеттер тізімі
Əр ғылымда сонша шындық бар, онда қанша математика болса
Леонардо да Винчи
КІРІСПЕ
Математика – нақты өмірдегі сандық қатынастар мен кеңістіктік формалар туралы ғылым. Математикада математикалық модельдер зерттеледі. Ол нақты құбылыстардың тура математикалық модельдері болуымен қатар осы модельдерді зерттеуге арналған (структуралар) объект болуы мүмкін. Бір математикалық модель тура мазмұны жағынан бір-бірінен қашық жатқан нақты құбылыстардың қасиеттерін көрсетуі мүмкін. Мысалы, бір дифференциалдық теңдеу халықтың өсу процессін де жəне макроэкономикалық динамикасын да көрсетеді. Математика үшін қарастырылып отырған объектілердің табиғи мəні емес, олардың арасындағы қатынастардың маңызы зор. Математика жаратылыс ғылымдарында, инженер-техникалық жəне гуманитарлық зерттеулерде маңызды роль атқарады. Ол көптеген білім бөлімдерінде тек қана сандық есептеу жасау үшін ғана емес, сонымен қатар дəлірек зерттеудің тəсілі жəне ұғымдар мен проблемалардың шекті тура тұжырымдарын беру құралы болады. Адам өміріндегі əртүрлі салалардағы прогресс жетілдірілген логикалық жəне есептеу аппараты бар қазіргі замандағы математикасыз мүмкін емес. Математика қолданбалы есептерді шешуге арналған күшті құрал жəне ғылымның əмбебап тілі ғана емес, сонымен қатар ол негізгі мəдениеттің элементі де болып есептеледі. Сондықтанда математикалық білім осы заманға экономистерді фундаментальды дайындау жүйесіндегі маңызды бөлім болады. Өткен ғасырлардағы көрнекті математиктер қатарында: Архимед, Р.Декарт, И.Ньютон, Г.Лейбниц, Л.Эйлер, Ж.Лагранж, К.Гаусс, О.Коши. Орыс математиктері: Н.И.Лобачевский, М.В.Остроградский, П.Л.Чебышев, А.А.Марков, А.М.Ляпунов. Осы замандағы математиктер: А.Д.Александров, П.С.Александров. В.И.Арнольд, С.Н.Бернштейн, Н.Н.Боголюбов, И.Н.Векуа, И.М.Виноградов, В.М.Глушков, Л.В.Канторович, М.В.Келдыш, А.Н.Колмогоров, М.А.Лаврентьев, Ю.В.Линник, А.И.Мальцев, П.С.Новиков, Ю.В.Прохоров, В.И.Смирнов, С.Л.Соболев, А.Н.Тихонов.
І ДƏРІС. СЫЗЫҚТЫҚ АЛГЕБРА
1.1. Матрицалар (тікшемдер). 2-ші, 3-ші ретті анықтауыштар.
Анықтауыштардың қасиеттері Анықтама. nm× өлшемді матрица деп
( )ijij
mnm
n
mnm
n
aaaa
aa
aa
aaA ==
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
==L
LLLL
L
K
LLLL
K
1
111
1
111
(1)
түріндегі m – жол (жатық жол) жəне n – бағаннан (тік жолдан) тұратын ija – түріндегі сандар кестесін айтады.
ija - сандары оның элементтері деп аталады. Мұндағы 1 - ші индекс осы элемент тұрған жол нөмірін, ал 2 -ші индекс баған нөмірін білдіреді. nm = болса (1) квадрат матрица деп аталады, бұл жағдайда m (немесе n ) саны оның ретін көрсетеді. n - ші ретті квадрат матрица 2n элементтен тұратыны түсінікті.
Матрица - ғылыми-техникалық жəне экономикалық есептерде кестелік ақпараттарды жазу үшін қолданылады; бағдарламалау саласында матрицаларды екі өлшемді массивтер деп атайды.
Кейде ыңғайлы болу үшін матрицаның өлшемін индекске жазады: nmA × . nm× өлшемді )( ijnm aA =× жəне )( ijnm bB =× матрицаларының сəйкес элементтері тең болса
( ijij ba = ), онда олар тең матрицалар деп аталады да BA = деп белгіленеді. Квадрат матрица үшін осы матрицадан алынған анықтауыш матрица
анықтауышы деп аталатын ija санын қарастыруға болады. Кейде анықтауыш Adet
ағыл. детерминант (анықтауыш) немесе Δ арқылы белгіленеді. 2 - ші ретті матрица анықтауышы деп
211222112221
1211 aaaa aa
aa−= (2)
санын айтады. 3 - ші ретті матрица анықтауышы деп
332112322311312213322113312312332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
−−−++= (3)
санын айтады. (3) анықтауышты мына үшбұрыш ережесі арқылы есептейік. Оны еске ұстау үшін келесі схемалық жазу пайдаланылады:
=A + + + - - _
332211 ,, aaa ( элементтері орналасқан кесінді анықтауыштың бас диагоналі, ал
312213 ,, aaa ( элементтері орналасқан кесінді оның қосымша диагоналі деп аталады.
Анықтама. A матрицасының жолдарын сəйкес бағандар етіп орнын алмастырудан алынған TA матрицасы A матрицасының транспонирленген матрицасы деп аталынады.
A мен TA матрицаларының элементтері бас диагоналға салыстырғанда симметриялы орналасқан.
Жолдарды бағандармен алмастыру амалы транспонирлеу деп аталады. Δ aнықтауышынан транспонирлеу арқылы алынған анықтауышты ∗Δ арқылы
белгілейтін боламыз. Енді анықтауыштардың қасиеттерін қарастырайық. Түсінікті болу үшін оларды 3 -ші
ретті анықтауыштар үшін тұжырымдаймыз, алайда бұл қасиеттер реті кез келген анықтауыш үшін орындалады.
Кейбір жағдайларда сөйлем ықшамырақ болу үшін “жол немесе баған” деген сөзді “қатар” деп атайтын боламыз.
1. Транспонирленген анықтауыштың мəні өзгермейді: ∗Δ=Δ ,
яғни
332313
322212
312111
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
=
2. Анықтауыштың екі параллель қатарының орнын алмастырғаннан (бұл амал екі параллель қатарды транспозициялау деп аталады) анықтауыштың таңбасы өзгереді.
3. Параллель екі қатары бірдей (сəйкес элементтері тең) анықтауыш нөлге тең. 4. Егер қандай да бір қатардың барлық элементтері k санына көбейтілсе, анықтауыш
мəні k санына көбейтіледі, басқаша айтқанда, қатардың ортақ көбейткішін анықтауыш таңбасының алдына шығаруға болады.
Салдар. Егер екі параллель қатарлардың сəйкес элементтері пропорционал болса, онда анықтауыш нольге тең.
5. Егер анықтауыштың қандай да бір қатарының барлық элементтері нөлге тең (нөл қатар) болса, онда анықтауыш мəні нольге тең.
∇ Бұл қасиет 4 - тен 0=k үшін алынады. 6. Егер анықтауыштың белгілі бір қатарының əрбір элементі екі қосылғыштың
қосындысы етіп берілсе, онда анықтауыш екі анықтауыштың қосындысына тең. Бірінші анықтауыштың сəйкес қатары бірінші қосылғыштардан, ал екінші анықтауыштың сəйкес қатары екінші қосылғыш-тардан тұрады да, бұл екі анықтауыштың қалған сəйкес қатарлары өзара тең элементтерден тұрады.
7. Егер анықтауыштың қандай да бір қатарының барлық элементтеріне осы қатарға параллель қатардың сəйкес элементтерін кез келген k санына көбейтіп қосса, анықтауыш мəні өзгермейді.
∇ Бұл қасиеттің дұрыстығын 6, 4 жəне 3 қасиеттерді қолдана отырып көз жеткізуге болады. Δ
1.2. Минорлар мен алгебралық толықтауыштар
Анықтауышты жол немесе баған элементтері бойынша жіктеу. Анықтама. A квадрат матрицасының ija ( элементінің миноры деп ija элементі
тұрған жол мен бағанды алып тастап A матрицасының қалған қатарларынан құралған матрицаны айтады.
n -ші ретті A матрицасының ija элементінің миноры реті “ 1−n ”-ге тең квадрат
матрица болады. Oны ijMA арқылы белгілейміз.
Минор түсінігін анықтауыштар үшін де қолданады. Анықтауыштың ija элементінің
минорын ijM арқылы белгілесек, онда ijM = ijMA .
Мысалы:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A болса, онда
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
3331
131122
aaaa
MA
311333113331
131122
aaaa
aaaa
M −== .
Анықтама. ija элементінің алгебралық толықтауышы немесе адъюнкті деп
ijji
ij MA +−= )1( санын айтады.
8. Анықтауыштың қандай да бір қатарының элементтері мен олардың алгебралық толықтауыштарының көбейтінділерінің қосындысы осы анықтауыш шамасына тең:
,22111
ininiiii
n
kikik AaAaAaAa +++=∑=Δ
=L ,,...,2,1 ni = (1)
,22111
nknkkkkk
n
iikik AaAaAaAa +++=∑=Δ
=L .,...,2,1 nk = (2)
(1) - қосынды анықтауыштың i - ші жол элементтері бойынша жіктелуі, ал (2) қосынды анықтауыштың k - ші баған элементтері бойынша жіктелуі деп аталады.
9. Анықтауыштың қандайда бір қатар элементтерімен осы қатарға параллель басқа бір қатардың сəйкес элементтерінің алгебралық толықтауыштарының көбейтін-ділерінің қосындысы нөлге тең.
1.3. Матрицаларға амалдар қолдану
Матрицаларға жасалатын келесі амалдарды қарастырамыз: санға көбейту, қосу,
көбейту жəне кері матрица табу. Алдымен келесі түсініктерді енгізейік. Квадрат матрицаның бас диагоналінің сыртындағы (бас диагональ элементтерінен
басқа) элементтердің барлығы нөлге тең болса оны диагональдік матрица дейді. n -ші ретті диагональдык матрицаны келесі түрде жазуға болады
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
nd
dd
0 0
0 00 0
2
1
K
KKK
K
K
.
Егер мұнда dddd n ==== K21 болса, онда 1=d жəне 0=d үшін диагональдык матрица сəйкес бірлік матрица жəне нөлдік матрица деп аталады:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
1 0 0
0 1 00 0 1
K
KKK
K
K
E ,
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
0 0 0
0 0 00 0 0
0
K
KKK
K
K
.
Ескерту. Нөлдік матрица түсінігі кез келген тік бұрышты (квадрат емес) матрицалар үшін де енгізіледі.
Анықтама. ),( ijaA = ;,,2,1 mi K= nj ,,2,1 K= матрицасы мен λ санының
көбейтіндісі )( Aλ деп əрбір элементі ijij aс ⋅=λ тең ),( ijcC = ;,,2,1 mi K= nj ,,2,1 K= матрицасын айтады.
Бұл амал үшін келесі қасиеттер орындалады: 1) )()( AA μλλμ = – сандық көбейткіштерге қатысты ассоциативті; 2) AAA μλμλ +=+ )( – сандарды қосуға қатысты дистрибутивті. Сонымен бірге ,1 AA =⋅ ,)1( AA −=⋅− 00 =⋅ A теңдіктері орындалады. Анықтама. Бірдей өлшемді A мен B матрицаларының қосындысы деп əрбір
элементі ijijij bac +=)( тең, өлшемі A немесе B өлшеміндей BAcC ij +== )( матрицасын айтады.
Матрицаларды қосу амалы үшін келесі қасиеттер орындалады: 1) ABBA +=+ – коммутативтік; 2) )()( CBACBA ++=++ – ассоциативтік; 3) BABA λλλ +=+ )( ( матрицаларды қосуға қатысты дистрибутивтік. Анықтама. )( ijnm aA =× жəне )( ijpn bB =× матрицаларының көбейтіндісі деп
элементтері
,1∑==
n
kkjikij bac ;,,2,1 mi K= ,,2,1 pj K= (1)
яғни i - ші жол мен j - ші баған қиылысуындағы ijc элементі A матрицасының i - ші жолымен B матрицасының j -ші бағанының сəйкес элементтерінің қос-қостан көбейтінділерінің қосындысына тең болатын ABC pm =× матрицасын айтады.
Ескерту. Анықтамадан 1-ші матрицаның бағандар саны 2-ші матрицаның жолдар санына тең болатын матрицаларды ғана көбейтуге болатынын көреміз.
Бұл мысалдан BAAB ≠ , яғни матрицаларды көбейту коммутативті емес екені көрінеді.
Матрицаларды көбейту амалы келесі қасиеттерге ие: 1) )()( BCACAB = ассоциативті; 2) BCABCBA +=+ )( жəне матрицаларды қосуға қатысты дистрибутивті; 3) Квадрат матрицалар үшін ,detdet)det( BAAB ⋅= яғни көбейтінді анықтауышы
көбейткіштер анықтауыштарының көбейтіндісіне тең.
Сонымен бірге кез келген квадрат A матрица үшін ,AEAAE == 000 =⋅=⋅ AA ,
яғни бірлік матрица E бірлік сан сияқты, ал нөлдік матрица нөл саны сияқты роль атқарады.
Анықтама. Егер .11 EAAAA == −− ( E - бірлік матрица) теңдіктері орындалса, онда 1−A матрицасы A матрицасына кері деп аталады.
Анықтама. Анықтауышы нөлге тең емес квадрат матрица нұқсансыз (невырожденной), ал анықтауышы нөлге тең квадрат матрица нұқсанды (вырожденной) деп аталады.
Ескерту. “Нұқсанды” немесе “нұқсансыз” түсініктері тек қана квадрат матрицалар үшін ғана қолданылатынын ескертеміз.
1detdetdet 1 ==⋅ − EAA теңдігінен нұқсанды матрица үшін кері матрица болмайтыны шығады ( 1det0 1 ≠⋅ −A ).
Анықтама. )( ijnn aA =× квадрат матрицасы берілсе, оның ija элементтерінің
алгебралық ijA толықтауыштарынан құралған
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=∗
nnn
n
AAA
AAAAAA
A
21n
22212
n12111
K
KKKK
K
K
матрицасын тіркелген матрица деп атайды. Тіркелген матрицаны алу үшін A матрицасының əрбір элементін оның алгебралық
толықтауышымен ауыстырып, алынған матрицаны транспонирлеу керек. Кері матрица туралы Теорема. Нұқсансыз матрицалардың, тек қана солардың кері матрицалары бар жəне
кері матрица
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⋅=⋅= ∗−
nnnn
n
n
AAA
AAAAAA
AA
AA
det1
det1
21
22212
12111
1
K
KKKKK
K
K
(2)
формуласы бойынша табылады.
1.4. Матрица рангі Анықтама. A матрицасының k - ші ретті миноры деп A матрицасының кез
келген k жолы мен кез келген k бағандарының қиылысуындағы элементтерінен құралған матрицаны айтады.
Анықтама. A матрицасының рангі деп осы матрицаның нұқсансыз минорларының ең үлкен ретін айтады да )(Ar немесе Ar немесе rangA символдарының біреуімен белгілейді.
Нөлдік матрица рангі нөлге тең деп есептеледі. Егер A n – ші ретті нұқсансыз квадрат матрица болса, онда nAr =)( ; 0det =A
болса, онда 0≠A үшін nAr <≤ )(1 ; A nm× өлшемді матрица болса, онда { }nmAr ,max)( ≤ . Матрица рангін табу үшін оның 1 - ші ретті минорынан бастап барлық минорларын
нұқсансыздыққа зерттесе болғаны.
2 ДƏРІС. 2.1. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі (САТЖ) Матрицалық əдіс жəне
Крамер ережесі Анықтама. n белгісізі бар m сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі (САТЖ)
келесі түрде жазылады
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+++
=+++=+++
....
,,...
2211
22222121
11212111
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxa...xaxabxaxaxa
LLLL (1)
Мұнда nxxx ,...,, 21 айнымалылары жүйенің белгісіздері, ija ,
njmi ,...,2,1 ;,...,2,1 == жүйе коэффициенттері; ал ib , mi ,...,2,1= бос мүшелер деп аталады. Жүйенің барлық теңдеулерін тепе-теңдікке айналдыратын nxxx ,...,, 21 сандары жүйенің шешімі деп аталады. Егер жүйенің шешімі бар болса ол үйлесімді, ал шешімі болмаса үйлесімсіз жүйе деп аталады.
(1) -дегі белгісіздер коэффициенттерінен құралған nm× өлшемді матрицаны A арқылы (оны жүйе матрицасы деп атайды)
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
mnmm
n
n
aaa
aaaaaa
A
...
......
21
22221
11211
LLL,
бос мүшелері бағанын B арқылы,
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
mb
bb
BL
2
1
,
ал белгісіздер бағанын X арқылы
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
nx
xx
XL
2
1
белгілейік.
Онда (1) САТЖ матрицалық түрде жазуға болады (тексеріңіз):
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
mnmnmm
n
n
b
bb
x
xx
aaa
aaaaaa
.........
......
2
1
2
1
21
22221
11211
LLL,
немесе қысқаша BAX = . (2)
Егер A квадрат матрица болса жүйенің матрицалық түрінен кері матрицаны пайдаланып оның шешімін табуға болады.
Теорема. САТЖ - нің матрицасы нұқсансыз болса, онда оның жалғыз шешімі бар жəне ол келесі формуламен есептеледі:
BAX 1−= . (3)
САТЖ -сін (3) формула арқылы шешу матрицалық əдіс деп аталады. Жүйенің Крамер ережесі деп аталатын басқа да түрде шешуді көрсетейік. (1) - С.А.Т.Ж. n - ші ретті квадрат матрицасының детерминанты нөлге тең емес: 0det ≠=Δ A болсын. Онда (1) -жүйенің жалғыз шешімі бар жəне ол келесі формулалар арқылы табылады:
nix ii ,...,2,1 , =
ΔΔ
= . (4)
Мұндағы Δ−Δ i анықтауышынан оның i -ші бағанын жүйенің бос мүшелер бағанымен ауыстыру арқылы алынатын анықтауыш.
2.2. САТЖ зерттеудің жəне оның шешімін табудың Гаусс əдісі
Матрицалық əдіс пен Крамер ережесінің негізгі екі кемшілігі бар. Біріншіден - оларды
нұқсансыз матрицалары бар теңдеулер жүйесіне ғана қолдануға болады; екіншіден - сандық теңдеулер жүйесін шешуде тиімсіз, өйткені ол əдістерді қолдану, Гаусс схемасына қарағанда, n2 есеге жуық есептеу амалдарын жасауды керек етеді. Мысалы, n=10 болса, онда бұл əдістерді қолдану мүмкіндігі тіпті аз. Элементар түрлендіру (Гаусс) əдісі кез келген тік бұрышты (квадрат қана емес) матрицалары бар теңдеулер жүйесін зерттеп жəне шешімін табуға (жүйенің шексіз көп шешімі бар жағдайда да) мүмкіндік береді. Теңдеулер жүйесін зерттеу оның үйлесімді, немесе үйлесімсіз екенін, ал егер үйлесімді болса, онда жүйе шешімінің қанша болатынын анықтау.
Анықтама. САТЖ -нің кеңейтілген матрицасы деп жүйе матрицасының оң жағынан бос мүшелер бағанын тіркеп жазу арқылы алынған матрицаны айтады (тіркелген бос мүшелерді əдетте вертикаль сызықпен бөліп қояды).
Мысалы (1) - САТЖ матрицасы nmA × өлшемді болса, онда оның кеңейтілген
матрицасы )1( +× nmA өлшемді болады:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
mmnmm
n
n
b
bb
aaa
aaaaaa
ALLLL
2
1
21
22221
11211
...
......
.
Олардың рангтерінің екі жағдайы: )()( ArAr = немесе ( )Ar)A(r > болуы мүмкін.
Келесі теорема теңдеулер жүйесін зерттеуге мүмкіндік береді. Теорема (Кронекер-Капелли). Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің матрицасы
мен кеңейтілген матрицасының рангілері тең болса, ))()(( ArAr = жүйе үйлесімді болады.
Енді теңдеулер жүйесін Гаусс схемасы бойынша зерттеу жəне шешу сұрақтарын қарастырайық.
Гаусс əдісімен A жəне A матрицаларының рангілерін анықтау үшін A – кеңейтілген матрицасын жазып алып (соңғы бос мүшелер бағанын өзгертпей) элементар түрлендірулер арқылы A матрицасы трапеция тəріздес матрицаға келтіріледі. Егер бұл түрлендірулерде бағандар орын алмасқан болса, оларды өздеріне сəйкес белгісіздермен белгілеп отырады.
Трапеция тəріздес матрица рангісі туралы жоғарыда қарастырғанбыз. Сонымен )(Ar жəне )(Ar анықталды делік.
Келесі жағдайлар болуы мүмкін.
1) )()( ArAr > . Бұл жағдайда Кронекер-Капелли теоремасы бойынша теңдеулер жүйесі үйлесімсіз.
2) rArAr == )()( . Бұл жағдайда сол теорема бойынша теңдеулер жүйесі үйлесімді сонымен бірге:
а) егер nr = болса, яғни матрицалардың рангілері белгісіздер санына тең болса, онда жүйе шешімі жалғыз болады;
б) егер nr < болса, онда теңдеулер жүйесінің rn − параметрлеріне ),...,,( 21 rnccc − тəуелді шексіз көп шешімі болады.
Ескерту. Қолданылған элементар түрлендірулер жүйенің шешімдер жиынын өзгертпейді, яғни жүйе бастапқы жүйеге мəндес болып қалады.
2.3. Біртекті сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі
Анықтама. Егер бос мүшелерінің барлығы нольге тең болса САТЖ -сі біртекті, ал
бос мүшелер бағаны нөл емес САТЖ -сі біртекті емес деп аталады. Біртекті САТЖ-сін келесі түрде жазуға болады.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+++
=+++=+++
,0... . . . .
,0...,0...
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxaxaxaxa
немесе матрицалық түрде 0=AX . Мұнда
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
0...00
0 – нөл баған.
Біртекті жүйе əрқашанда үйлесімді, өйткені оның тривиал деп аталатын 0 ..., ,0 ,0 21 === nxxx шешімі бар.
Матрицалық əдіс жəне Крамер ережесін біртекті жүйені шешуге қолданудың реті жоқ. Өйткені, егер 0det ≠A болса, онда nArAr == )()( )( AA = болады да жүйенің жалғыз тривиал шешімі бар; ал егер 0det =A болса, онда бұл əдістер жарамайды.
Сондықтан мұндай жағдайда біртекті жүйелерді шешудің Гаусс схемасын қолданамыз.
Мысал. Аяқ киім фабрикасы үшін экономикалық есепті қарастырамыз
Шикі зат түрлері
Бір парға шартты бірлік кететін норма
Аяқ киім түрлерінің көлемі
Х1 Х2 Х3
1 күнде кететін
шикі зат шартты бірлігі
S1 5 3 4 2700 S2 2 1 1 900 S3 3 2 2 1600
Аяқ киімнің əр түрінен күнделікті қанша көлемде шығарылуын, яғни х1, х2, х3 –терді табу керек. Келесі жүйені құрастырамыз:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=++=++=++
16002239002
2700435
321
321
321
xxxxxx
xxx
Крамер əдісін қолданамыз:
( ) ( )
2003 ,3002 ,2000 0 200- 1 1 900 0 1- 900
)2(
)4(
2 2 16001 1 9004 3 2700
2003
3002
2001
1100 1- 1- 3
110 0 1- 1 1 2 0 1- 3
)2(
)4(
2 2 31 1 2
4 3 5
1
3
2
1
32
=Δ=Δ=−
=−
=Δ
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
=ΔΔ
=
=ΔΔ
=
=ΔΔ
=
=−−=−
−⋅=−
=−
=Δ +
x
x
x
Гаусс əдісі:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−=−
−=−−
=++
⇒
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=++
⇒
⇒
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=++=++
=++
⇒⎪⎭
⎪⎬
⎫
=++=++=++
××
2052
51
18053
51
54054
53
162016005
122592
1080900581
561
54054
53
(-3) 1600223(-2) 9002
54054
53
16002239002
2700435
32
32
321
32
32
321
3 ,2/
321
321
321
321
321
3215:
xx
xx
xxx
xx
xx
xxx
xxxxxx
xxx
xxxxxx
xxx
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
==−=−=
=−−=−−=
⇒
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−=−=+
=++
⇒
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−=−=+
=++
⇒
200300200
Ответ
2003006009003900
20016018054054
53540
100059003
54054
53
(-1) 10029003
54054
53
3
2
1
3
32
321
3
32
321
32
32
321
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxxx
xxx
3 ДƏРІС.
3.1. Көпсалалы экономикадағы Леонтьев моделі (баланстық талдау)
Баланс қатынасы келес теңдеумен көрсетіледі
( )∑=
=+=n
jiiji niyxx
1,.....2,1 ,
Онда ix - жалпы (жалпы табыс) i -нші саланың өндіріс көлемі, ijx - i -нші саланың өнімін j -нші салада жұмсау, iy - i -нші саланың өндіріске жұмсалмайтын соңғы өнімнің көлемі
( )nji
xx
aj
ijij ,.....2,1, ==
теңдеуі тура шығын коэффициенттерін анықтайды, яғни i -нші саланың өнімінің j -нші саланың бір өніміне кететін шығын. Онда бағалық өндіріс салалар арасындағы баланс түрі мынадай болады
( )∑=
=+=n
jijiji niyxax
1,.....2,1
Осы жүйені матрицалық түрде жазуға болады:
..
,.
,...............
онда , 2
1
2
1
21
22221
11211
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=+=
nnnnnn
n
n
y
yy
Y
x
xx
Xaaaaaaaaa
AYAXX
Өндіріс салалар арасындағы баланстың негізгі мақсаты тура шығын матрицасы А белгілі болғанда соңғы өнім векторы Y-ті қанағаттандыратын жалпы өнім векторы Х-ті табу болады. Соңғы матрицалық теңдеудің шешімі:
( ) YAEX 1−−= болады.
Матрица ( ) 1−−= AES толық шығын матрицасы деп аталады. Егер кез келген вектор Y ≥0 сəйкес Х ≥0 шешімі бар болса, онда А матрицасы мен Леонтьев моделі тиімді деп аталады. А матрицасының тиімділік критерийлері келесілер:
- оның бағандарының элементтерінің қосындыларының максимумы 1 ден асады; - кемінде бір бағанының элементтерінің қосындысы қатаң түрде бірден кіші. Мысал: Жауапты аралықта балансты орындау шартты ақша бірлігі арқылы таблица түрінде берілсін.
Пайдалану Сала Энергетикада
Машина жасауда
Соңғы өнім
Жалпы өндіріс
Энерге- тика
7 21 72 100 Өндіріс
Машина жасау
12 15 123 150
Егер энергетика саласында соңғы пайдалану екі рет өссе, ал машина жасау
саласында бұрыңғы деңгейде қалғанда, онда əр саланың жалпы өнімінің қажетті көлемі қандай болу керегін есептеу керек.
Шешуі: Берілгені
.123 ,72 ,15 ,12 ,21 ,7 ,150 ,100 212221121121 ======== yyxxxxxx
Тура шығын коэффициенттерін табамыз:
0,115015 0,12;
10012
0,1415021 0,07;
1007
2
2222
1
2121
2
1212
1
1111
======
======
xxa
xxa
xxa
xxa
Сонда А матрицасының түрі мынадай болады:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
0,1 12,00,14 07,0
A
Өнімділік критериі қанағаттандырылады:
{ } { } 124,00,24 ;19,0max0,10,14 ;12,007,0 max ∠==++ Сондықтан кез келген соңғы өнім векторы У үшін қажетті жалпы өнім Х-тің
көлемін мына формуламен табуға болады:
( ) YAEX 1−−=
Жалпы шығын матрицасы ( ) 1−−= AES - табамыз:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=−
0,90 0,12-0,14- 93,0
AE . Оның анықтауышы 08202,0 ≠=− AE . Онда кері
матрица: ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=−= −
0,93 0,120,14 90,0
8202,011AES .
Есептің шарты бойынша соңғы өнім векторы ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
123144
Y .
Онда жалпы өнім векторы үшін табамыз:
,5,1600,179
123144
0,93 0,120,14 90,0
8202,01
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=X яғни
энергетика саласында жалпы өнімді 179,0 ш.бірлікке дейін өсіру керек, ал машина 160,5 шартты бірлікке дейін өсіру қажет.
4 ДƏРІС. ВЕКТОРЛЫҚ АЛГЕБРА ЖƏНЕ АНАЛИТИКАЛЫҚ ГЕОМЕТРИЯ ЭЛЕМЕНТТЕРІ
4.1. Векторлар жəне оларға қолданылатын амалдар Анықтама. Вектор деп бас нүктесі A соңғы нүктесі (ұшы) B болатын өзіне өзін
параллель жылжытуға болатын, бағытталған AB кесіндісін айтады. Сонымен, ұзындықтары тең ( )11BAAB = жəне бағыттары беттесетін екі AB жəне
11BA кесіндіні жалғыз ғана a векторын анықтайды деп есептеп
11BAABa == жазады (1-сурет). Бұдан, вектор басы етіп кез келген нүктені алуға болатыны шығады.
Егер A мен B нүктелері беттесе, онда ол 0== AAAB арқылы белгіленеді де нөл вектор деп аталады. AB векторының
модулі (ұзындығы) AB
деп AB кесіндісінің ұзындығын айтады.
Кейде ABAB = деп те жазыла береді. Нөл вектордың модулі нөлге тең ( )00 = , оның
бағыты болмайды. Бір түзуде немесе параллель түзулерде жататын векторлар коллинеар деп аталады.
Нөл вектор кез келген векторға коллинеар деп есептеледі. Коллинеар векторларды 21 || aa
арқылы белгілейді. a векторына коллинеар модулі a тең, бағыты a вектор бағытына
қарама-қарсы бағытталған вектор a векторына қарама-қарсы вектор деп аталады да a− арқылы белгіленеді (1-сурет). Анықтама. ar векторы мен α санының көбейтіндісі )( arα деп 1) модулі aa αα = тең;
2) aa ||α ;
3) 0>α болса, a - векторымен бағыттас, ал 0<α болса, a - векторына бағыты қарама-қарсы aα векторын айтады.
0=α болса, онда 0=aα . Анықтама. a мен b векторларының қосындысы ba + деп, b векторының басы a
векторының ұшымен беттестірілген жағдайда, a векторының басынан b векторының ұшына бағытталған bac +=
r векторын айтады (2 - сурет).
1-сурет
2-сурет
3-сурет
ar
br
barr
−
a мен b векторларының қосындысын табу үшін “үшбұрыш ережесін” пайдалануға
болады: кез келген A нүктесіне aAB = жəне bBC = векторларын тұрғызса
ACBCABba =+=+ шығады; немесе “параллелограмм ережесін” пайдалануға
болады; a мен b векторларын ортақ A басына келтіреді де ( )bADaAB == , оларды
қабырғалары етіп параллелограмм тұрғызады, оның A нүктесінен шығатын AC
диоганалі ba + болады.
Бірнеше n,...,2,1i ,ai = векторларды қосу үшін əрбір ке-лесі ia векторының басын
алдыңғы 1ia − векторының ұшы-мен түйістіріп бірінші 1a векторының басы мен соңғы
na векторының ұшын қосып ∑==
n
1iiaa векторын тұрғызады (3 - сурет)
Бұл амалдар үшін келесі қасиеттер орындалады: 1(. ( ) ( )aa rr βαβα = – ассоциативті (сандық көбейткіш-терге қатысты); 2(. ( ) aaa rrr βαβα +=+ – дистрибутивті (сандарға қосуға қатысты);
3(. abba rrrr+=+ – коммутативті;
4(. ( ) ( )cbacba rrrrrr++=++ – ассоциативті;
5(. ( ) babarrrr ααα +=+ - дистрибутивті (векторларды қосуға қатысты).
Анықтама. a мен b векторларының айырымы barr
− деп b векторымен қосындысы a векторына тең болатындай bax
rrr−=
векторын айтады, яғни axb rrr=+ болса, онда bax
rrr−= .
Бір нүктеден шығатын a мен b векторының айырымын baxrrr
−= салу үшін b векторының ұшын a векторының ұшымен қосатын вектор тұрғызса болғаны немесе
BAOBOAba =−=−rr
(4 - сурет). babarrrr )1(−+=− – теңдігінің дұрыстығын тексеру
қиын емес. Анықтама. naaa rrr ,...,, 21 век-торларының сызықтық комби-нациясы деп
∑=+++=
n
iiinn acacacac
12211 ... rrrr
векторын айтады. Мұндағы
4-сурет
nici ,...,2,1 , = – сандар. Анықтама. Бір жазықтыққа параллель naaa rrr ,...,, 21 векторлары компланар деп
аталады.
4.2. Векторлық кеңістік базисі. Вектор координаталары
Векторлық кеңістік деп кез келген сызықтық комбинациясы осы кеңістікте жататын векторлар жиынын айтады. Кез келген векторлық кеңістікте бірнеше векторларды таңдап алып осы кеңістіктің əрбір векторын, осы векторлардың бір мəнді сызықтық комбинациясы арқылы жазуға болады. Мұндай векторларды базистік деп атайды. Қысқа болу үшін түзу, жазықтық жəне кеңістік деп сəйкес векторлық түзу, векторлық жазықтық жəне векторлық кеңістіктерді атайтын боламыз.
Анықтама. Түзудегі əрбір нөл емес er векторы түзу базисі деп аталады. Кез келген коллинеар емес },{ 21 ee rr
векторлар жұбы жазықтық базисі деп аталады. Кез келген компланар емес { }321 ,, eee rrr
векторлар үштігі кеңістік базисі деп аталады. Базис туралы теорема. Кеңістіктің əрбір аr векторы 321 ,, eee rrr
базистік векторлардың сызықтық комбинациясы болады жəне ол вектор үшін мұндай комбинация жалғыз ғана болады:
321 ezeyexa rrrr++= . (1)
Анықтама. Егер 0...2211
rrrr=+++ nnaaa ααα (() теңдігінен 0...21 ==== nααα
шықса, онда naaa rrr ,...,, 21 векторлар жүйесі сызықтық тəуелсіз деп аталады. Егер (() теңдігі орындалатындай барлығы бірдей бір мезгілде нөл емес nααα ,...,, 21
сандары бар болса, онда naaa rrr ,...,, 21 векторлар жүйесі сызықтық тəуелді деп аталады. Анық болу үшін 0≠kα деп алсақ, онда
nk
n
kkk aaaa rrrr
αα
−−αα
−αα
−= ...22
11 .
Сонымен, егер n векторлар жүйесі сызықтық тəуелді болса, онда олардың бірі қалған векторлардың сызықтық комбинациясы болады.
Ескерту. Базистік векторлар туралы теорема дəлелдемесінен: базистік векторлар жүйесі сызықтық тəуелсіз болатынын көреміз.
(1) теңдікті ar векторының 321 ,, eee rrr базисі бойынша жіктелуі деп атайды да, zyx ,, -
сандарын ar векторының 321 e,e,e rrr базисіндегі координаталары деп атайды жəне
{ }z,y,xa =r
деп жазады. 1-теорема. Векторларды қосқанда олардың сəйкес координаталары қосылады, ол
векторды санға көбейткенде оның барлық координаталары осы санға көбейтіледі. 2 -теорема. Екі вектор тең болуы үшін олардың сəйкес координаталарының тең
болуы қажетті жəне жеткілікті, яғни }z,y,x{b },z,y,x{a bbbaaa ==rr
болса, онда
bababa zz,yy,xxba ===⇔=rr
. 3 - теорема. (Координаталы векторлардың коллинеарлық белгісі)
},,{ aaa zyxa =r
жəне },,{ bbb zyxb =r
)( oa rr≠ берілсін. Онда
λ===⇔a
b
a
b
a
b
zz
yy
xxa||b rr
,
яғни barr, векторлары коллинеар болуы үшін олардың сəйкес координаталарының
пропорционал болуы қажетті жəне жеткілікті.
Кеңістікте OXYZ тік бұрышты декарт координаталар жүйесі берілсін. Бұл жүйемен байланыста болатын, сəйкес ОХ, ОY, OZ өстерінің бойында орналасқан kji
rrr,, бірлік векторлары
( )1kji ===rrr кеңістік базисін құрайды (5 - сурет).
Оларды сəйкес ОХ, ОY, OZ өстерінің орттары деп атайды.
Кеңістіктің кез келген A нүктесін алайық. OA векторы (басы координаталар бас нүктесінде, ұшы A нүктесі болатын) A - нүктесінің радиус-векторы деп аталады. Егер },,{ zyxA = болса, онда
)z,y,x(kzjyixaOA =++==rrrr
тең-дігін жаза аламыз. Шынында да, ),0 0, 1,(=i
r ),0 1, 0,(=jr
),1 0, 0,(=kr
болғандықтан
),,(),0,0()0,,0()0,0,( zyxkyxkzjyix =++=++rrr
. Тік бұрышты координаталар жүйесінде },,{ aaa zyxA = , },,{ bbb zyxB = нүктелері
берілсе, онда
),,( ababab zzyyxxAB −−−= . Расында да,
),,( ababab zzyyxxOAOBAB −−−=−= .
4.3. Векторлардың түзуге проекциясы. Векторлардың скаляр көбейтіндісі жəне оның қасиеттері
Кейде },,{ kjirrr
базисіндегі вектор координаталарын проекция ретінде жазу ыңғайлы.
ABa =r
векторының бағытталған L түзуіне проекциясы )( aПр Lr
деп BA ′′ векторын айтады, мұндағы A′ , B′ нүктелері A мен B нүктелерінің L түзуіне проекциялары (6(сурет).
ABПрBA L=′′ .
BA ′′ векторының екі түрлі ғана бағыты бар: егер ar мен L -дің арасындағы бұрыш сүйір, яғни or 90),(0 <∠=< Laω болса, онда оның бағыты L түзуінің бағытымен беттеседі де, ал доғал,
oo r 180),(90 <∠=< Laω болса, онда BA ′′ векторы L түзуінің бағытына қарама(қарсы болады. Сондықтан, ar векторының бағытталған L түзуіне проекциясын келесі түрде анықтайды.
Анықтама. ABa =r
векторының L – бағытталған түзуге проекциясы деп ar вектор ұзындығының ar векторы мен L – түзуінің бағыты арасындағы ω бұрышының косинусына көбейтіндісін айтады:
5-сурет
πωω ≤≤∠==Π 0 ),L,a(cosacosaapLrrrr . (1)
barr, векторларының берілген бағытқа проекциялары келесі қасиеттерге ие:
1. bpapbap LLL
rrrrΠ+Π=+Π )( ; (2)
2. apap LLrr
Π=Π )( αα (3)
bpapbap LLL
rrrrΠ−Π=−Π )( (4)
аламыз. Анықтама. ar мен b
r векторларының скаляр көбейтіндісі деп осы векторлардың
ұзындықтары мен олардың арасындағы ω бұрышының косинусының көбейтіндісіне тең ),( barr
, немесе ar br
санын айтады:
)b,a(cosbacosba)b,a(barrrrrrrrrr
∠⋅=⋅== ω . (5)
(1) – теңдікті ескеріп (5) – теңдікті келесі түрде де жаза аламыз: apbbpaba barrrrrr
rr Π=Π= . (6) Скаляр көбейтіндінің келесі қасиеттері бар:
),(),( abba rrrr= , (7)
),(),(),( cabacba rrrrrrr+=+ , (8)
),(),( babarrrr αα = . (9)
Нөл емес barr, векторлары үшін:
1) 2
),(0),( π=∠⇔= baba
rrrr ( barr , векторлары ортогональ);
2) ),( ;2
),(00),( bababarrrrrr
∠<∠<⇔>π – сүйір бұрыш;
3) ),( ;),(2
0),( bababarrrrrr
∠<<⇔< ππ – доғал бұрыш.
Кез келген ar векторы үшін 2),( aaa rrr
= . (10) Тік бұрышты декарт координаталар жүйесінің координаттық орттары kji
rrr,, үшін
1),(),(),( === kkjjiirrrrrr
, (11)
0),(),(),( === kjkijirrrrrr
. (12)
Егер },,{ kjirrr
базисінде ),,( 111 zyxa =r
, ),,( 222 zyxb =r
векторлары берілсе, онда
212121),( zzyyxxba ++=rr
. (13)
6-сурет
Дербес жағдайда barr
= болса, онда (10) жəне (13) теңдіктерден 2222 zyxaaa ++==
rrr,
бұдан kzjyixzyxarrrr
++== ),,( векторының ұзындығын аламыз: 222 zyxa +++=
r. (14)
Егер ),,( zyxa =r
, ),,( zyxb ′′′=r
берілсе, онда (14) теңдіктен А мен В нүктелерінің ара қашықтығының формуласы шығады
222 )()()( zzyyxxabAB −′+−′+−′=−=rr
(15)
),,( 111 zyxa =r
жəне ),,( 222 zyxb =r
векторларының арасындағы ϕ бұрышы
22
22
22
21
21
21
212121coszyxzyx
zzyyxx++⋅++
++=ϕ (16)
тең. (16) - теңдіктен ),,( 111 zyxa =
r жəне ),,( 222 zyxb =
r векторларының
ортогональдық )( barr
⊥ белгісін алуға болады: 0212121 =++ zzyyxx (17)
8-сурет
5 ДƏРІС. 5.1. Жазықтықтағы түзу
Түзу геометриядағы алғашқы ұғымдардың (түсініктердің) бірі.
Екі нүкте арқылы жалғыз түзу жүргізуге болатыны; түзу бойында жатқан нүкте арқылы осы түзуге перпендикуляр жалғыз түзу жүргізуге болатыны т.с.с. аксиомалар белгілі.
Мектеп курсынан L түзуінің теңдеуі lkxy += (1)
түрінде жазылатынын білеміз. Мұнда αtgk = -түзудің бұрыштық коэффициенті, ал L α түзуі мен x өсінің оң бағыты арасындағы бұрыш; l түзу мен y өсінің қиылысу
нүктесінің ординатасы )( OBl = (8 - сурет). 0=++ CByAx (2)
теңдеуін қарастырайық. Мұндағы CBA ,, белгілі сандар жəне A мен B бір мезгілде нөлге тең емес.
Егер 0≠B болса, онда (2) ден BCx
BAy −−=
түрінде немесе BAk −= ,
BCl −= арқы-лы белгілеп
lkxy += , яғни (1) теңдеу түрінде жаза аламыз. Егер 0=B болса, онда (2)- ді 0CAx =+ )0( ≠A
немесе ax = ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
ACa (3)
түрінде жазуға болады. Бұл y өсіне параллель түзу. Егер 0=A , )0( ≠B болса, онда (2)- ді
BCy −= немесе by = ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
BCb (4)
түрінде жазар едік. Бұл x өсіне параллель түзу. (3) жəне (4) теңдеулерінде 0=a жəне 0=b болса, онда 0=x жəне 0=y , сəйкес
y өсінің жəне x өсінің теңдеулері шығады. (2) -ді жазықтықтағы түзудің жалпы теңдеуі деп атайды. Келесі
,0 : 122111 =++ CxAxAL (5) ,0B : 222112 =++ CxBxL (6)
түзулерінің арасындағы ϕ бұрышы
22
21
22
21
2211cosBBAA
BABABA
BA+⋅+
+=
⋅= rr
rr
ϕ (7)
5.2. Жазықтық теңдеуі
I . Тік бұрышты ),,( 321 xxx координаталар жүйесі енгізілген 3R кеңістігінде 0 -бас
нүктеден шыққан ar векторы берілсін. ar векторының ұшы арқылы өтетін, оған перпендикуляр жазықтық жалғыз ғана болады.
pa =r
, )cos,cos,(cos 321 αααν =r
ar векторының орты 321 ,, ααα , νr векторының
сəйкес 321 ,, xxx өстерінің арасындағы бұрыштар белгілі болсын. (9 - сурет). px =),( νrr
, 0≥p (1) теңдеуін жазықтықтың векторлық теңдеуі деп атайды.
Егер оны векторлардың координаталары арқылы жазсақ, онда ол
pxxx =⋅+⋅+⋅ 332211 coscoscos ααα ,
0≥p )1( ′ түріне ие болады да, оны жазықтықтың қалыпты теңдеуі деп атайды.
.II )1( ′ - ін кез келген 0≠k санына көбейтіп, оған эквивалентті теңдеу аламыз: 0332211 =+++ BxAxAxA (2)
( ,cos ii kA α= ;3,2,1=i pkB ⋅−= ). Мұнда 023
22
21 ≠++ AAA , яғни 321 ,, AAA бір
мезгілде нөл бола алмайды. (2) - ді жазықтықтың жалпы теңдеуі деп атайды. 03322111 =+++ CxAxAx: Aα , 03322112 =+++ DxBxBx: Bα түрінде
берілген екі жазықтық арасындағы бұрыш
23
22
21
23
22
21
332211cosBBBAAA
BABABABABA
++++
++== rr
rr
ϕ (3)
5.3. Кеңістіктегі түзу
Кеңістіктегі кез келген
L түзуін қарастырамыз (10 - сурет). Ол түзуде жатқан ),,( 0
302
01
0 xxxx =r
нүктесі жəне 0xr нүктесінен шығатын L түзуінде жатқан ),,( 321 aaaa =r векторы берілсін. L түзуінде жатқан кез келген нүктені
),,( 321 xxxx =r арқылы белгілейік.
9-сурет
10-сурет
11-сурет
Онда 0xx rr− векторын atxx rrr
⋅=− 0 ( t - сан) түрінде жазуға болады. Егер t параметрі ),,( +∞−∞ аралығындағы мəндерді қабылдаса, онда atxx rrr
+= 0 нүктесі бүкіл L түзуін береді.
atxx rrr=− 0 )( +∞<<−∞ t (1)
теңдігін 0xr нүктесі арқылы өтетін жəне ar векторы бойымен бағытталған түзудің векторлық теңдеуі деп атайды.
(1) -ді координаталар бойынша келесі үш теңдеу жүйесі түрінде жазуға болады:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−
=−
=−
.
,
,
3033
2022
1011
taxx
taxx
taxx
(2)
Бұл теңдеуді түзудің кеңістіктегі параметрлік теңдеуі деп атайды. (2) - ден t параметрін шығарып, оны келесі түрде жазуға болады:
3
033
2
022
1
011
axx
axx
axx −
=−
=− ( 02
322
21 ≠++ aaa ) )2( ′
)2( ′ -ін түзудің канондық (дағдылы) теңдеулері дейді. ),,( 321 aaaa =r
векторын L түзуінің бағыттаушы векторы деп атайды.
Екі жазықтықтың теңдеулері жалпы түрде берілсін: 0321 =+++ CzAyAxA , (3) 0321 =+++ DzByBxB . (4)
(3) пен (4) жазықтықтар параллель болмаса түзу бойымен қиылысады жəне (3) жəне (4) теңдеулер кеңістіктегі түзудің жалпы теңдеулері деп аталады.
0DCzByAx : =+++p жазықтығы мен
nzz
myy
lxxL 000 : −
=−
=−
түзуінің арасындағы ϕ
бұрышын (11-сурет)
ψϕ cossin222222=
++⋅++
++=
nmlCBACnBmAl (5)
формуласымен табуға болады.
5.4. Жазықтықтағы екінші ретті қисықтар
Жазықтықтағы тік бұрышты координаталар жүйесінде екінші дəрежелі айқындалмаған теңдеумен анықталған қисық берілсін:
0222 22 =+++++ FEyDxCyBxyAx , (1)
мұндағы FEDCBA ,,,,, -берілген нақты сандар жəне 0222 ≠++ CBA . Бұл қисықты екінші ретті қисық деп атайды.
Эллипс. 12
2
2
2
=+by
ax
, 0>≥ ba . (2)
12-сурет
ba > болсын, 22 bac −= арқылы белгілейік. x өсінен эллипстің фокустары деп аталатын )0,(1 cF − жəне )0,(2 cF нүктелерін белгілейік.
Анықтама. 21, FF фокустарына дейінгі қашықтықтарының қосындысы тұрақты a2 тең болатын нүктелердің геометриялық орны эллипс деп аталады (12- сурет).
(2) - ді эллипстің канондық (дағдылы) теңдеуі дейді, ал a мен b эллипстің сəйкес үлкен жəне кіші )( ba > жарты өстері деп аталады.
Егер 0=y болса, онда ax = , яғни эллипс графигі x өсін
ax = , ax −= нүктелерінде қияды. 0=x болса, онда by = яғни эллипс графигі y өсін by −= , by = нүктелерінде қияды. Бұл нүктелерді эллипстің төбелері деп атайды.
x - ті )( x− -ке, y -ті )( y− -ке ауыстырсақ (2) теңдеу өзгермейді, демек, эллипс y өсіне жəне x өсіне салыстырғанда сəйкес симметриялы, сондықтан ox жəне oy өстері эллипстің симметрия өстері деп аталады, эллипстің фокустері арқылы өтетін өс фокальдік (тоғысты) өс деп аталады.
aba
ace
22 −== - санын эксцентриситет деп атайды. Эллипс эксцентриситеті үшін
10 <≤ e теңсіздіктері орындалады.
c
aeax
2
== теңдеулерімен анықталатын (фокальдік өске перпендикуляр) түзулер
эллипстің директрисалары деп аталады. Эллипс теңдеуін параметрлік түрде
⎩⎨⎧
<≤==
.20 ,sin,cos
πθθθ
byax
(3)
деп жазады. Шынында да
1sincossincos 222
22
2
22
2
2
2
2
=+=+=+ θθθθb
ba
aby
ax
,
яғни (3) - теңдіктерімен анықталған ),( yx нүктесі кез келген θ үшін (2) - гі эллипске жатады.
Гипербола.
0, ,12
2
2
2
>=− baby
ax
. (4)
22 baс += деп алып x - өсінің бойынан (4) - гипербола фокустері деп аталатын )0,(1 cF − , )0,(2 cF нүктелерін белгілейік (13 сурет).
Анықтама. 1F жəне 2F фокустарға дейінгі қашықтықтарының айырымы тұрақты a2 тең нүктелердің геометриялық орны гипербола деп аталады.
(4) - теңдеу гиперболаның канондық (дағдылы) теңдеуі деп аталады. (4) - теңдеуден гипербола x өсіне де y өсіне де салыстырғанда симметриялы
болатынын байқаймыз. Мұнда x - өсіндегі ];[ aa− кесіндісі жəне y - өсіндегі ];[ bb− кесіндісі гиперболаның сəйкес нақты жəне жорамал өстері деп аталады.
14-сурет
13-сурет
Егер 0=y болса, онда axax −== , , яғни гипербола x
- өсін )0;( a− жəне )0,(a нүктелерінде қияды. Осы нүктелерді гиперболаның төбелері дейді.
Егер 0=x болса, онда 12
2
=−by , ал бұл теңдеудің нақты
түбірі жоқ, демек гипербола y - өсімен қиылыспайды. Эллипстегі сияқты, O - нүктесі гипербола центрі деп аталады.
Гиперболаның эксцентриситеті, директрисалары элллипстегі сəйкес анықтамалар арқылы анықталады. Гипербола
үшін 1>e .
Суретте xaby ±= теңдеуімен екі түзу сызылған. Олар гипербола асимптоталары
деп аталады. Асимптота анықтамасы ілгеріде математикалық талдау курсында қарастырылады.
Парабола
0 ,22 >= ppxy . (5)
x - өсінде парабола фокусі деп аталатын ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 0,
2pF нүктесін белгілеп, парабола
директрисасы деп аталатын 2px −= түзуін жүргіземіз (14 - сурет).
Анықтама. Фокус пен директрисадан бірдей қашықтықта орналасқан ),( yxA нүктелердің геометриялық орны парабола деп аталады
5-ші теңдеуді параболаның канондық (дағдылы) теңдеуі дейді, ал 0>p санын оның параметрі деп атайды. O - нүктесін парабола төбесі дейді. Ox өсі параболаның симметрия өсі деп аталады.
Парабола эксцентриситеті бірге тең )1( =e деп есептеледі.
6 ДƏРІС.
6.1. Сызықты операторлар
Анықтама. A~ операторы деп кез келген nRx ∈r векторына сəйкес жалғыз mRy∈r
векторын қоятын заңды айтады, яғни ( )xAy rr ~= .
yr - xr векторының бейнесі,
xr - yr векторының алғашқы бейнесі. Оператор сызықты деп аталады, егер келесі қасиеттер орындалса:
- ( ) ( ) ( )yAxAyxArrrr ~~~
+=+ - аддитивтік;
- ( ) ( )xAxArr ~
~
λλ = - біртектілік. Əр сызықты операторға берілген базистегі матрица сəйкес келеді жəне кез келген n -ретті матрицаға n - өлшемді кеңістіктегі сызықты оператор сəйкес келеді, яғни ( )xAy rr ~
= теңдеуін матрицалық түрде келесі теңдеумен көрсетуге болады AXY = . Мысал. A~ операторы 321 , , eee rrr
базисінде келесі матрицаға берілсін
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=
2 8 1 6 5 14 2 3
A .
AXY = формуласы бойынша
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
1813
10
13
4
2 8 1 6 5 14 2 3
3
2
1
yyy
.
Ендеше 321 181310 eeey rrrr
−−=
Сызықты оператордың меншікті векторлары мен меншікті мəндері
Анықтама. Сызықты оператор A~ ның меншікті векторы деп ( ) xxA rr ~ λ= орындалатын
немесе матрицалық түрде белгілі бір сан λ үшін XAX λ= орындалатын xr векторын айтады. Анықтама. λ саны A~ операторының ( A - матрицасының) xr векторына сəйкес болатын меншікті мəні деп аталады. Анықтама. 0 =− EA λ , онда EA λ− - анықтауыш, теңдеуі A~ операторының немесе A - матрицасының мінездеме теңдеуі деп аталады.
Мысал. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
1 9 4 1
A матрицасымен берілген A~ сызықты оператордың меншікті
мəндерімен меншікті векторларын табыңыз.
Шешуі. Мінездеме теңдеу құрамыз:
7 ,5 03520-1 94 1
212 =−=⇒=−−⇒=
−=− λλλλ
λλ
λ EA - меншікті мəндері.
5 1 −=λ үшін меншікті ( ) ( )211 , xxx =
r векторын келесі теңдеуден табамыз:
( )
1221
21
21
21
2
1
2
11
5,1023023
069046
00
6 94 6
0
xxxxxx
xxxx
xx
xx
EA
−=⇒⎭⎬⎫
=+=+
⇒⎭⎬⎫
=+=+
⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⇒=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=− λ
cx =1 десек, ( ) ( )ccx 5,1 ;1 −=r
векторын аламыз.
Сол сияқты 7 2=λ меншікті вектор ( ) .,
32
112 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= ccxr
6.2. Квадраттық формалар
Анықтама.
( )
∑∑= =
− =++
++++=n
i
n
jjiijnnn
nnnn
xxaxxaxxa
xxaxaxaxaxxxL
1 1113113
211222
222211121
2...2
2....,.....,
өрнегі квадраттық форма
деп аталады.
Мұндағы jiij aa = - нақты сандар. Осы коэффициенттерден құрастырылған матрица
,...............
21
22221
11211
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
nnnn
n
n
aaaaaaaaa
A квадраттық форманың матрицасы деп аталады.
Квадраттық форма матрицалық түрде көрсетілуі мүмкін:
( )⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=′=
nnnnn
n
n
n
x
xx
aaaaaaaaa
xxxAXXL...
...............
,...., 2
1
21
22221
11211
21 .
Мысал. Квадраттық форманы ( ) 23
223121
21321 310124,, xxxxxxxxxxL −+−−=
матрицалық түрде жазыңыз.
Шешуі. ,a ;a ;a ;a 122314 12332211 −=−=== яғни ;a 612 −= ,a 102 13 −= яғни
,a ;a 025 2313 =−= яғни 023 =a екені белгілі. jiij aa = болғандықтан
0 ,5 ,6 323121 =−=−= aaa .
Сондықтан ( ) . 3- 0 5-0 1 6-5- 6- 4
,,
3
2
1
321⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
xxx
xxxL
Айнымалыларды нұқсансыз сызықты түрлендіргендегі квадраттық формалар
CYX = - нұқсансыз сызықты түрлендіру болсын. Онда квадраттық форма ( ) ( ) ( ) ( ) ,)( YACCYCYACYCYACYAXXL ′′=′′=′=′=
яғни квдраттық форма мынадай болады ACCA ′=*.
Анықтама. Квадраттық форманың
∑=
=++=n
iiiinnn xaxaxaxaL
1
222222
2111 .... бұл түрі канондық деп аталады.
Теорема. Кез келген квадраттық форма айнымалыларды нұқсансыз сызықты түрлендіру арқылы канондық түрге келтіріледі.
Мысал. ( ) 23323121
21321 243,, xxxxxxxxxxxL +++−= квадраттық форманы
канондық түрге келтіру керек.
Алдымен 1x арқылы, содан соң 2x арқылы толық квадраттарды бөлсек:
( ) ( ) ( )
.937
916
492
233
81256
49
81256
932
492
2338
492
23
2432143
2143
212
23
2
32
2
32123
23
23322
2
3212332
22
2
321
2332
2
32
2
3232121
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxL
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=−⋅+
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=−+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=
=++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=
Сызықты түрлендірулер 333223211 ,9
16 ,223 xyxxyxxxy =−=+−= канондық
түрді береді: ( ) 23
22
21321 9
3749,, yyyyyyL +−= .
Анықтама. Егер ( )nxxxL ,...., 21 >0 айнымалылардың барлық мəнінде, онда L - оң
анықталған деп аталады. Ал ( )nxxxL ,...., 21 <0 болса, онда теріс анықталған болады. Сильвестр критериі. Оң анықталған болу үшін квадраттық форманың матрицасының басты емес минорлары 1Δ >0, 2Δ >0, ….. nΔ >0 оң болулары қажетті жəне жеткілікті.
6.3. Айырбастаудың сызықты моделі
Айырбастаудың сызықты моделі (халықаралық сауда моделі) – ол матрицаның меншікті векторы мен меншікті мəнін табуға арнлаған есепке байланысты экономикалық процесстің математикалық моделі.
nSSS n - ,....., , 21 ел болсын; nxxx ,...., 21 -олардың ұлттық табысы болсын; ija -
jS - нші елдің бұйымын сатып алуға кеткен iS елдің ұлттық табысының бөлігі жəне
( )njan
iij ,....,2,1 1
1==∑
=, яғни елдің ұлттық табысы, сол ел ішіндегі бұйымды
сатып алуға, не сырт елден импорт сатып алуға шығындалады.
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
nnnn
n
n
aaaaaaaaa
A...............
21
22221
11211
сауданың структуралық матрицасы деп аталады, мұндағы кез
келген бағаның элементтерінің қосындысы 1-ге тең. Кез келген ( )niSi ,....,2,1 = ел үшін ішкі жəне сыртқы саудадан түскен табыс
niniii xaxaxap ... 2211 +++= .
Əр iS ел үшін сауда дефицитсіз болу үшін сауданың балансы болу қажет, ол
ii xp = теңдігімен анықталады немесе матрицалық түрде XAX = . Осы A матрицасының меншікті мəні 1=λ сəйкес меншікті векторды іздеуге арналған есеп. Мысал. 321 , , SSS үш елдің саудаларының структуралық матрицасы берілген:
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
0 41
31
21
21
31
21
41
31
A .
Сауда балансы болу үшін осы елдердің ұлттық табыстарын табыңыз. Шешуі. 1=λ меншікті мəн үшін меншікті xr векторын мына теңдеуден табамыз: 0)( =− XEA , яғни
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−
000
1 41
31
21
21-
31
21
41
32
3
2
1
xxx
немесе
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=−+
=+−
=++−
041
31
021
21
31
021
41
32
321
321
321
xxx
xxx
xxx
.
Осы жүйені Гаусс əдісімен шешсек: , ,2 ,23
321 cxcxcx === яғни меншікті вектор
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= cccx ,2 ,
23r болады. Осыдан осы елдердің ұлттық табыстары 1:2:
23 қатынасындай
немесе 2:4:3 .
6.4. Сызықты теңсіздіктер жүйесі
Сызықты теңсіздіктер жүйесі берілген:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤+≥+−≥−
42221
yxyx
yx
1-ші теңсіздік 1−≥− yx ді қарастырайық. Оған сəйкес 1−=− yx теңдеуі жазықтықты екі жарты жазықтыққа бөлетін түзуді анықтайды жəне олар үшін жалпы шекара болады, ал теңсіздік осы жарты жазықтықтардың біреуін анықтайды. Қай жарты жазықтықты анықтайтынын білу үшін теңсіздіктің сол жағына шекарада жатпайтын кез келген нүктенің координаттарын қлю керек. Егер осы алынған нүктенің координаттары теңсіздікті қанағаттандыратын болса (көбінесе бас нүкте), онда осы нүкте жатқан жарты жазықтық іздестіріп отырған болады; керісінше болса, онда басқа жарты жазықтық шешімі. Сонымен 1−≥− yx үшін 10 −≥ , яғни дұрыс теңсіздік. Ондаша, іздеп отырған жарты жазықтық бас нүкте ( )0,0 O жатқан жарты жазықтық.
22 ≥+ yx үшін 20 ≥ - дұрыс емес теңсіздік. Ондаша іздестіріп отырған жарты жазықтық ( )0,0 O нүктесі жатпайтын жарты жазықтық.
Сол сияқты 42 ≤+ yx үшін 40 ≤ - дұрыс теңсіздік. Онда, іздестіріп отырған жазықтықта бас нүкте жатады.
Берілген жүйенің шешімі осы табылған үш жарты жазықтардың қиылысуларының ортақ бөлігі. Чертежде ол область штрихталған.
x 1 2 0 -1
-1
-4
y
7 ДƏРІС. МАТЕМАТИКАЛЫҚ ТАЛДАУҒА КІРІСПЕ.
7.1. Функциялар
1. Функция. Оның берілуі. D мен E сандар жиыны болсын. Əрбір Dx∈ санына E жиынының Ey∈ санын
сəйкес қоятын f ережесі D жиынында берілген сандық функция деп аталады жəне ол ),(xfy = Dx∈ немесе EDf →:
деп жазылады. D функцияның анықталу аймағы (облысы), ал }),(:{ DxxfyRyE ∈=∈= функцияның мəндер аймағы деп аталады. x аргумент
немесе тəуелсіз айнымалы шама, ал аргументтің берілген 0x мəніне сəйкес келетін )( 00 xfy = саны 0xx = нүктесіндегі функция мəні деп аталады жəне оны кейде
0)(
xxxf
= арқылы да белгілейді.
Функция түсінігі қарастырылған сандық функциялармен ғана шектелмейді. D мен E кез келген жиындар болсын.
Анықтама. Əрбір Dx∈ элементіне жалғыз Exfy ∈= )( элементін сəйкестендіретін бейнелеуді D жиынында анықталған функция деп атайды. E - оның мəндер аймағы деп аталады.
Сандық функцияларды түрлі тəсілдермен беруге болады.
Кестелік. Функция кесте түрінде берілуі мүмкін.
Бұл тəсіл функцияны толық сипаттай алмайды, өйткені кестеге функцияның анықталу аймағындағы барлық нүктелерді кіргізу мүмкін емес.
1. Графиктік тəсіл. OXY жазықтығының Dx∈ жəне )(xfy = болатын ),( yx нүктелер жиыны )(xfy = функциясының графигі деп аталады. График функция түрін өрнекті сипаттайды.
2. Аналитикалық тəсіл. Мұнда формула көмегімен x аргументінің əрбір мəні үшін )(xfy = функциясының сəйкес келетін мəнін есептеу алгоритмі нақты көрсетіледі. Бұл
жағдайда əдетте функцияның D анықталу аймағы деп осы берілген формуланың мағынасы бар x аргументінің жиынын айтады.
Функция аналитикалық тəсілмен берілсе, онда оны кесте жəне графиктік түрде де беруге болады.
:f ED → функциясы ,, 21 Dxx ∈∀ 21 xx ≠ мəндеріне )()( 21 xfxf ≠ шарты орындалатындай мəндерді сəйкестендіре-тін функция болсын. Онда əрбір Ey∈ санына
yxf =)( болатындай қандай да бір анықталған Dx∈ санының сəйкес қойылуы мүмкін.
Осылай анықталған жаңа DEf →− :1 функция берілген f функциясына кері функция деп аталады.
YXf →: жəне ZYg →: функциялары берілсе, онда олардың композициясы немесе күрделі функциясы деп )),(()( xfgxh = Xx∈ теңдігімен анықталған
ZXfgh →= :o
функцияны айтады.
Егер )(xfy = функциясының ""D анықталу аймағы 0=x нүктесіне салыстырғанда симметриялы жəне
Dx∈∀ ( )()( xfxf =− ,( Dx∈∀ ))()( xfxf −=−
теңдігі орындалса, онда )(xf жұп (тақ) функция деп аталады.
Егер Rx∈∀ , )()( xfTxf =+ теңдігі орындалатындай T – оң саны табылса, онда функция периодты (периоды T тең) деп аталады.
Егер 21 xx < болатын )(21 fDxx ∈∀ сандары үшін:
)()( 21 xfxf ≤ орындалса, онда )(xfy = кемімейтін;
)()( 21 xfxf ≥ орындалса, онда )(xfy = өспейтін;
)()( 21 xfxf < орындалса, онда )(xfy = өспелі;
)()( 21 xfxf > орындалса, онда )(xfy = кемімелі
функция деп аталады.
X жиынында осы төрт қасиеттің тек біріне ғана ие болатын функцияны X -жиынында монотонды деп атайды.
2. Элементар функциялар
Cy = , C -тұрақты, αxy = )0( ≠α - дəрежелік, xay = , ( ,0>a )1≠a -көрсеткіштік, xy alog= ( ,0>a )1≠a - логарифмдік, ,sin xy = ,cos xy = ,tgxy =
ctgxy = - тригонометриялық функциялары негізгі элементар функциялар деп аталады.
Бұл функцияларға ақырлы санды арифметикалық амалдар мен функциядан функция алу (суперпозиция) амалдарын қолдана отырып элементар функцияларды аламыз.
7.2. Шектер
1. Нақты сандар тізбегі жəне оның шегі
Анықтама. Нақты сандар тізбегі деп натурал сандар жиынында анықталған RNf →: функциясын айтады. Мұндай функцияның мəндерін Nnnfxn ∈= ),(
немесе nn ba , т.с.с. арқылы белгілейді де оларды тізбек мүшелері немесе элементтері, n санын nx мүшесінің нөмірі деп атайды.
Тізбекті { } ,...x,x ;x,...,x,x ;x 21n21n { } ;Nn ,x ;x n1nn ∈∞= ,...2,1n ,xn = символдарының
бірімен белгілейтін боламыз.
Анықтама. Егер əрбір (кез келген) 0>ε саны арқылы барлық εnn > нөмірлері үшін
ε<− axn (1) теңсіздігі орындалатындай εn оң саны (ε санына тəуелді) табылса, онда ""a саны { }nx тізбегінің шегі деп аталады да
axlim nn
=∞→
немесе axn =lim немесе )( ∞→→ naxn
арқылы белгіленеді жəне “{ }nx тізбегінің айнымалысының “а”санына тең шегі бар” немесе “{ }nx тізбегі ""a -ға ұмтылады” немесе “{ }nx тізбегі айнымалысы ""a санына жинақталады” дейді.
Егер axNn n =∈∀ , болса, онда aaxnn==
∞→limlim екені анық.
2. Функцияның шегі
)( xfy = функциясы а нүктесінің қандайда бір )( aU маңайында анықталған болсын. ( ""a -нүктесінде функция анықталмауы да мүмкін).
1 - анықтама. Егер кез келген 0>ε саны үшін f функциясының анықталу жиынында жататын жəне )( 0 εδ<−< ax
теңсіздіктерін қанағаттандыратын барлық x сандары үшін ε<− Axf )(
теңсіздігі орындалатын 0)( >εδ саны табылса, онда А саны )(xf функциясының ""a нүктесіндегі шегі деп аталады да
( ) AxfaxaxAxfAxfax
→⇒→→→=→
)( ; )( ;)(lim
символдарының бірімен белгіленеді. 2- анықтама. Егер кез келген 0>ε саны үшін
( )axaaxa <<−+<< δδ теңсіздіктерін қанағаттандыратын барлық x үшін
ε<− Axf )(
теңсіздігі орындалатындай 0)( >εδ саны табылса, онда "" A саны )(xf
функциясының ""a нүктедегі оң жақ (сол жақ) шегі деп аталады да Axf
ax=
+→)(lim ; Axf
axax
=>→
)(lim , Aaf =+)( ,
Axfax
=−→
)(lim , Axfaxax
=<→
)(lim , Aaf =−)(
символдарының бірімен белгіленеді. Теорема. )(lim xf
ax→ шегі бар болуы үшін )(lim xf
ax +→ пен )(lim xf
ax −→ шектері бар
жəне олардың өзара тең болуы қажетті жəне жеткілікті, яғни Axfxf
axax==
−→+→)(lim)(lim Axf
ax=⇔
→)(lim (2)
3- анықтама. Егер axNn n ≠∈∀ , шартын қанағаттандыратын ""a
санына жинақталатын əрбір { }nx )( fD⊂ тізбегіне сəйкес келетін { })( nxf
тізбегінің шегі бар жəне ол ""A санына тең болса, онда ол ""A саны функцияның ""a нүктедегі шегі деп аталады. Сонымен
Axf nanxanx
=≠→
)(lim ( немесе ( )axAxf nn →→ )(
Мұнда да жоғарыдағыдай бір жақты шектер ұғымын анықтауға болады.
(1) жəне (2) анықтамалар эквивалентті. Біз мұнда оның дəлелдеуіне тоқталмаймыз. 1 жəне 2 -анықтамаларды сəйкес Коши жəне Гейне анықтамасы дейді.
Ескерту. “функцияның ""a нүктедегі шегі” деген сөйлемді көбінесе “х а - ға ұмтылғанда функцияның шегі”, немесе қысқаша “ ax → функция шегі ” деп айтады.
4-анықтама. Егер кез келген 0>ε саны үшін )(εδ>x теңсіздігін қанағаттандыратын барлық Xx∈ үшін
ε<− Axf )(
теңсіздігі орындалатындай 0)( >εδ саны табылса, онда ∞→x ке ұмтылғанда )(xf функциясының шегі бар жəне ол ""A санына тең дейді де
Axfx
=∞→
)(lim немесе ( )∞→→ xAxf )(
символдарының бірімен белгілейді. 3. Шексіз аз жəне шексіз үлкен шамалар Қарастырылатын функциялар ""a нүктесінің қандай да бір )(aU маңайында
анықталған (оның ""a нүктенің өзінде анықталуы шарт емес). Анықтама. Егер 0)(lim =
→xf
ax, онда )(xf функциясы x a - ға ұмтылғанда
шексіз аз (ш.а.) деп аталады. 1-теорема. Axf
ax=
→)(lim теңдігі орындалуы үшін )()( xAxf α+=
( axx )(α -ға ұмтылғанда (ш.а.) теңдігі орындалуы қажетті жəне жеткілікті. Сонымен, Axf
ax=
→)(lim ( )axxxAxf →→+=⇔ 0)( ),()( αα
2-теорема. Егер ax → )(),...,(),( 21 xxx nααα шексіз аз болса, онда олардың қосындысы мен көбейтіндісі шексіз аз болады.
3-теорема. ax → шексіз аз бен шектелген функцияның көбейтіндісі ax → шексіз аз болады.
Анықтама. Егер əрбір 0>ε саны арқылы( εδ<−< ax0 теңсіздіктерін
қанағаттандыратын x -тер үшін ε>)(xf теңсіздігі орындалатындай 0>εδ саны бар
болса( онда )(xf функциясы ax→ шексіз үлкен функция немесе қысқаша ax→ шексіз үлкен деп аталады да
∞=→
)(lim xfax
немесе ∞→)(xf )( ax →
символдарының бірімен белгіленеді. Егер ∞=
→)(lim xf
ax жəне a нүктесінің қандай да бір маңайында 0)( >xf
)0)(( <xf болса, онда
+∞=→
)(lim xfax
( )−∞=→
)(lim xfax
деп жазады.
4-теорема. Егер a нүктесінің қандай да бір )(aU маңайында 0)( >> Mxf
жəне ∞=→
)(lim xaxϕ ( )axx ≠≠ ,0)(ϕ болса, онда
∞=⋅→
)()(lim xxfax
ϕ .
5-теорема. Егер кез келген ax ≠ нүктелерінде 0)( ≠xϕ болса, онда
∞=⇔=→→ )(
1lim 0)(limx
xaxax ϕ
ϕ .
6-теорема. ax → ұмтылғанда бірдей таңбалы шексіз үлкен функциялардың қосындысы осы таңбамен алынған шексіз үлкен болады.
7-теорема. ax → ұмтылғанда шексіз үлкен функциясы мен a нүктесінің маңайында шектелген функция қосындысы ax → ұмтылғанда шексіз үлкен функция болады.
4. Функциялардың үзіліссіздігі Анықтама. Егер )(xfy = функциясы:
1. 0x нүктесінде анықталған;
2. 0x нүктесінің қандай да бір )( 0xUδ маңайында анықталған;
3. )()(lim 00
xfxfxx
=→
(3)
болса, онда ол 0x нүктесінде үзіліссіз функция деп аталады. Бұл анықтаманы кванторларды пайдаланып былайша жазуға болады:
)(xf функциясы 0x нүктеде үзіліссіз ⇔
εδε δ <−⇒∈∀>∃>∀⇔ )()()(:0 ,0 00 xfxfxUx . (1) теңдікті
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=
→→xfxf
xxxx 00lim)(lim (4)
деп те жазуға болады. Бұдан үзіліссіз функция белгісінің астына шекке өтуге болатынын көреміз.
Анықтама. Егер )(xfy = функциясы:
1. 0x нүктесінде анықталған;
2. 0x нүктесінің қандай да бір ),(( 000 δδ +=+ xxxU оң жақ маңайында
)),(( 000 xxxU δδ −=−( сол жақ маңайында) анықталған;
3. )()(lim 0xfxfoxx
=+→
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ =
−→)()(lim 0xfxf
oxx
болса, онда ол 0x нүктесінде оң жағында (сол жағында) үзіліссіз функция деп аталады.
)(xfy = функциясы 0x нүктесінде үзіліссіз болуы үшін ол 0x нүктесінің оң жағында жəне сол жағында үзіліссіз болуы қажетті жəне жеткілікті:
)(lim)()(lim 0 xfxfxfoxxoxx −→+→
== .
1 - теорема (монотонды функцияның үзіліссіздігі туралы). [ ]ba, - кесіндісінде )(xfy = монотонды жəне [ ])(),( bfaf кесіндісіндегі барлық мəндерді қабылдайтын
функция болса, онда ол ),( ba аралығының əрбір нүктесінде үзіліссіз, ал ""a мен ""b нүктелерінің, сəйкес оң жəне сол жақтарында үзіліссіз болады.
2 - теорема. Егер )(xf жəне )(xg функциялары 0x - нүктесінде үзіліссіз болса , онда
)()( ),()( xgxfxgxf ⋅±
функциялары, ал 0)( 0 ≠xg , онда )()(
xgxf функциясы 0x нүктесінде үзіліссіз болады.
3 - теорема (күрделі функцияның үзіліссіздігі). Егер )(xfy = 0x - нүктесінде
үзіліссіз жəне )( 00 xfu = , ал )(ugz = 0u - нүктесінде үзіліссіз болса, онда
[ ])(xfgz = күрделі функция 0x - нүктесінде үзіліссіз болады. 5. Екі тамаша шек
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
00 жəне ( )∞1 түріндегі анықталмағандықтарды ашуға көбінесе келесі екі мысалды
пайдалануға болады:
1sinlim .10
0 =→ x
xx
(бірінші тамаша шек). (5)
)1(lim .20
0 xx
+→
ex =1
(екінші тамаша шек). (6)
6. Шексіз аз жəне шексіз үлкен шамаларды салыстыру a нүктесінің қандайда бір )(aU маңайында анықталған ( a - нүктесінде
анықталмаса да болады) )(xα пен )(xβ функцияларынан қарастырамыз. Анықтама. Егер
)()()( xxx βγα ⋅= , axaUx ≠∈ ),( , жəне 0)(lim =→
xaxγ (7)
шарттары орындалатындай )(aU маңайында анықталған )(xγ функциясы
табылса, онда ax → (ұмтылғанда) )(xα функциясы )(xβ – функциясына салыстырғанда шексіз аз деп аталады да
)),((0)( xx βα = ax → (8) арқылы белгіленеді жəне “ ax → (ұмтылғанда) )(xα функциясын )(xβ - пен
салыстырғанда 0 кішкене” немесе, қысқаша, “ a - да )(xα , )(xβ - қа қарағанда 0 кішкене” деп оқылады.
Егер 0)(),( ≠∈∀ xaUx γ болса, онда
(16) 0)()(lim =⇔
→ xx
ax βα
.
Егер (17) қатыста ax → (ұмтылғанда) )(xβ шексіз аз, яғни 0)(lim =→
xaxβ болса,
онда “ ax → (ұмтылғанда) )(xα функциясы )(xβ - пен салыстырғанда жоғарғы ретті шексіз аз” деп, ал )(xα пен )(xβ , ax → (ұмтылғанда) шексіз үлкен, яғни
∞=∞=→→
)(lim ,)(lim xxaxaxβα болса, онда “ ax → (ұмтылғанда) )(xα функциясы
)(xβ - пен салыстырғанда төменгі ретті шексіз үлкен” деп аталады.
Егер 1)()(lim =
→ xx
ax βα
(9)
теңдігі орындалса, онда “ ax → (ұмтылғанда) )(xα функциясы )(xβ - ке эквивалентті (асимптоталық тең)” деп аталады да
axxx → ),(~)( βα немесе axxx →≈ ),()( βα . (10) арқылы белгіленеді.
Теорема. Егер ,),(~)( 1 axxx →αα
онда [ ] [ ])()(lim)()(lim 1 xxxx
axaxαβαβ ⋅=⋅
→→, (11)
)()(lim
)()(lim
1 xx
xx
axax αβ
αβ
→→= (12)
12. Үзіліс нүктелері жəне олардың түрлері f функциясы ax = нүктесінде жəне оның қандайда бір )(aU маңайында
анықталған, сонымен бірге )( +af мен )( −af шектері бар жəне )()()( −=+= afafaf (13)
теңдіктері орындалса, онда f ax = нүктесінде үзіліссіз функция деп аталатын еді. Егер +af ( )=A., −af ( )=B, A≠ B болса, онда х=а нүктесі бірінші текті үзіліс нүктесі
деп аталады. Егер )( +af , )( −af шектері бар, бірақ (22) - теңдіктердің ең болмағанда біреуі
орындалмаса, онда f ax = нүктесінде бірінші текті үзілісті функция деп аталады. Егер )( +af , )( −af біржақты шектерінің ең болмағанда біреуі жоқ болса немесе
шексіздікке ),,( −∞+∞∞ тең болса, онда ax = нүктесі екінші текті үзіліс нүктесі деп аталынады.
8 ДƏРІС. БІР АЙНЫМАЛЫ ФУНКЦИЯНЫҢ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ЕСЕПТЕУІ
8.1. Туынды
)(xfy = 0x нүктесінде жəне оның қандайда бір маңайында анықталған функция
болсын. 0x - нүктесіндегі аргумент өсімшесі 0xxx −=Δ , ал оған сəйкес келетін функция өсімшесі )x(f)xx(f)x(f)x(f)x(fy 0000 −+=−== ΔΔΔ
арқылы белгіленсін.
Анықтама. Егер 0
000
00
)()(lim
)()(limlim
0 xxxfxf
xxfxxf
xy
xxxx −−
=Δ−Δ+
=ΔΔ
→→Δ→Δ шегі бар болса, онда бұл сан
)x(fy = функциясының 0x - нүктесіндегі туындысы деп аталады да
dxxdy
dxxdf
xfxy)(
,)(
),( ),( 0000 ′′
символдарының бірімен белгіленеді. Сонымен,
0
00
)()(lim)(
0 xxxfxf
xfxx −
−=′
→
немесе xxf
xfx Δ
Δ=′
→Δ
)(lim)( 0
00 (1)
Егер (1) - шек ∞−∞+ , немесе ∞ болса, онда f функциясының 0x - нүктеде шексіз туындысы бар дейді.
Егер (1) - теңдіктегі шектер 0,0 >Δ→Δ xx немесе 00 , xxxx >→ жағдайында
қарастырылса, онда шек (егер ол бар болса) f функциясының 0x нүктесіндегі оң жақ туындысы, ал 0,0 <Δ→Δ xx немесе 00, xxxx <→ жағдайында қарастырылса, онда сол жақ туындысы деп аталады да, олар сəйкес )( ),( 000 xfxf c′′ арқылы белгіленеді.
Функцияның 0x нүктесінде туындысы бар болуы үшін:
1) )( ),( 000 xfxf c′∃′∃ ; 2) )()( 000 xfxf c′=′ шарттарының орындалуы қажетті жəне жеткілікті. Онда
)()()( 0000 xfxfxf c ′=′=′ . (2)
Ескерту. Функция нүктеде үзіліссіз болса да, оның бір жақты туындылары болмауы да мүмкін.
Сонымен, функция нүктеде үзіліссіз болғанымен, ол нүктеде функцияның туындысы болмауы мүмкін екен.
Ал бұған кері тұжырым үшін олай емес: x нүктесінде туындысы бар функция осы x - нүктесінде үзіліссіз болады.
Бұл кері тұжырым біржақты туындылар жағдайында да орындалады.
Салдар. Егер 0x нүктесі f функциясының үзіліс нүктесі болса, онда осы нүктеде f - тің шектелген туындысы болмайды.
8.2. Туындының механикалық, геометриялық жəне экономикалық мағынасы
Лездік жылдамдық. )(tfS = нүктенің түзудегі қозғалысының заңдылығын өрнектейтін функция болсын.
15-сурет 16-сурет
t - уақыт кезіндегі лездік жылдамдық )(lim0
tftSv
t′=
ΔΔ
=→Δ
.
Туындының геометриялық мағынасы
),( ba аралығында үзіліссіз )(xfy = функциясы берілсін. Оның Γ - графигінен ))(,( xfxA = нүктесін белгілеп (15 – 16 суреттер) осы нүктедегі қисыққа жүргізілген
жанаманы анықтайық. Ол үшін Γ - қисығынан басқа ))(,( xxfxxB Δ+Δ+= нүктесін
аламыз (15 - суретте 0>Δx , ал 16 - суретте 0<Δx жағдайы көрсетілген). A мен B нүктелері арқылы өтетін, x - тің өсу жағына қарай бағытталған S түзуін қиюшы деп атаймыз. Оның x - өсінің оң бағытымен арасындағы бұрышын β деп белгілейік жəне
βπβπ tgxyCByACx =
ΔΔ
=Δ=Δ<<− , , ,22
.
Егер 0→Δx , онда 0→Δy жəне В нүктесі Γ қисығы бойымен A - нүктесіне
ұмтылады. Осыдан β бұрышы қандайда бір α мəніне ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −≠≠
2,
2παπα ұмтылса, онда
αβαβ
tgtgxy
x==
ΔΔ
→→Δlimlim
0
шегі бар жəне ол f функциясының x нүктесіндегі туындысына тең:
αtgxf =′ )( .
Керісінше, егер )(xf ′ туындысы бар болса, онда
)(xfarctg ′=→αβ .
Анықтама. Γ - қисығының ))(,( xfxA = нүктесіндегі жанамасы деп ГA∈ жəне ГxxfxxB ∈Δ+Δ+= ) )(,( нүктелері арқылы өтетін ( x - тің өсу жағына қарай
бағытталған) S - қиюшының 0→Δx - ғы ұмтылатын T - түзуін айтады.
Аналитикалық геометриядан ),( 00 yx нүктесі арқылыөтетін бұрыштық
коэффициенті αtgk = , ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ <<−
22παπ тең түзу теңдеуі
)( 00 xxkyy −⋅=−
түрінде жазылатыны белгілі. Олай болса, )(xfy = қисығының ),( 00 yxA нүктесіндегі жанама теңдеуі
))(( 000 xxxfyy −′=− (3)
түрінде, ал ),( 00 yxA нүктедегі нормаль теңдеуі түрінде жазылады.
( )00
0 )(1 xxxf
yy −′
−=− (4)
Туындының экономикалық мағынасы
Өндірілген өнім көлемінен уақыт арқылы алынған туынды u’(t) t уақыт сəтіндегі
еңбек өнімділігін көрсетеді.
8.3. Дифференциалдау ережелері
x нүктесінде шектеулі туындысы бар функция дифференциалданатын функция деп аталады.
1-теорема. Егер )(),( xvxu x -нүктесінде дифференциалданатын функциялар болса, онда осы нүктеде олардың қосындысы, көбейтіндісі жəне бөліндісі ( )0)( ≠xv дифференциалданады жəне
1) ( ) vuvu ′±′=′± ;
2) ( ) vuvuvu ′+′=′⋅ ;
3) 2v
vuvuvu ′−′
=′
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ .
Енді туынды формулаларын жинақтайық. Негізгі элементар функциялардың
туындыларының кестесі: 1. 0=′c ;
2. ( ) ( ) ;2
1 ;11 ;1 , 21
xx
xxxaxx aa =
′−=
′⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=′=
′ −
3. ( ) ,1,0 ,ln ≠>=′ aaaaa xx ( ) xx ee =
′;
4. ( )x
xaaax
xa1)ln( ,1,0 ,
ln1log =′≠>=′ ;
5. ( ) xx cossin =′ ; 6. ( ) ;sincos xx −=′
7. ( )x
tgx 2cos1
=′ ; 8. ( )x
ctgx 2sin1
−=′ ;
9. ( )21
1arcsinx
x−
=′ ; 10. ( )21
1arccosx
x−
−=′ ;
11. ( ) 211
xarctgx
+=′ ; 12. ( ) 21
1x
arctgx+
−=′ ;
13. ( ) chxshx =′ ; 14. ( ) shxchx =′ ;
15. ( )xch
thx 2
1=′ ; 16. ( )
xshcthx 2
1−=′ ;
8.4. Функция дифференциалы
Анықтама. Егер f функциясының x - нүктесіндегі yΔ - өсімшесін
0)(0
→ΔΔ+Δ⋅=Δx
xxAy (6) түрінде жазылатын болса, онда берілген )(xf функциясы x
- нүктесінде дифференциалданады деп атайды ( xAΔ -ке тəуелді емес, бірақ x - ке тəуелді).
Теорема. xf - нүктесінде дифференциалданатын функция болу үшін x - нүктесінде функцияның ақырғы туындысының болуы қажетті жəне жеткілікті.
(6) – теңдіктегі бірінші қосылғыш xΔ - ке пропорционал жəне оған сызықты
тəуелді, ал екінші қосылғыш ( )xx
Δ→00 xΔ - ке салыстырғанда жоғары ретті шексіз аз
( )0→Δx , яғни ( ( )0≠A болса) 0→Δx - да екінші қосылғыш бірінші қосылғышқа қарағанда жылдамырақ нөлге ұмтылады. Осыған байланысты ( ) xxfxA Δ′=Δ шамасын ( 0→Δx ұмтылғанда) функция өсімшесінің бас мүшесі дейді жəне ол функцияның дифференциалы деп аталады да dy арқылы белгіленеді.
Сонымен, dxxfxdfdy )()( ′== . (5)
Егер )( ),( xxu ν x -нүктесінде дифференциал-данатын функциялар болса, онда ( ) νν dduud ±=± ; ( ) duudud ννν +=⋅ ; ( ) cducud = , c - тұрақ-ты сан;
0 ,2 ≠−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ν
ννν
νudduud . жуық теңдігін жазуға болады жəне оны жуықтап
есептеулерге қолданылады.
8.5. Жоғары ретті туындылар мен дифференциалдар
Жоғары ретті туындылар. f функцияның ),( ba аралығында туындысы бар болса, онда )(xf ′ белгілі функция болады. Өз кезегінде бірінші туындының да ),( ba аралығында туындысы болуы мүмкін. Бұл жағдайда оны f функциясының екінші
ретті туындысы дейді жəне ( )′′==′′ )()()( )2( xfxfxf немесе )( ′′=′′ yy арқылы белгілейді.
Жалпы f - тің 1−n ретті туындысының туындысы f функцияның n - ші ретті
туындысы деп атайды да ( ))()( )1( xfxf nn −= немесе ( )′= − )1()( nn yy деп белгілейді.
n - рет дифференциалданатын )(xu жəне )(xν функцияларының қосындысы мен көбейтіндісі үшін келесі дифференциалдау ережесі орындалады:
1. )()()()( nnn uu νν +=+ ;
2. Лейбниц формуласы:
∑=
−− ⋅++′+⋅==⋅n
k
nnn
nkknkn
n uuCuuCu0
)()1(1)()()()( ...)( ννννν . (Л.ф.)
Мұнда 1!1!0 ,)!(!
!==
−=
knknC k
n . Бұл теңдіктерді математикалық индукция
əдісін пайдаланып дəлелдеуге болады.
Жоғары ретті дифференциал. f(x) ),( ba аралығында n -рет дифференциалданатын функция, x -тəуелсіз айнымалы. Онда f функциясының x нүктесіндегі dxxfdy )(′= бірінші дифференциалынан алынған дифференциал f
функциясының екінші дифференциалы деп аталады да )(2 dydyd = арқылы
белгіленеді. Ол =′== ]dx)x(f[d)dy(dyd 2
2dx)x(fdx)x(fdx)]x(f[ddx ′′=′′⋅=′⋅= тең.
)(xfy = функциясының n - ретті дифференциалы деп f функциясының )1( −n - ретті дифференциалының дифференциалын айтады жəне оны келесі түрде белгілейді.
).( 1 yddyd nn −= n – ші ретті дифференциал үшін
,)()( nnn dxxfyd = (6) теңдігі орындалады. n – ші ретті дифференциалдар үшін келесі ережелер орындалады:
1) ;)( vdudvud nnn +=+
2) .)(0
vdudCvud kknn
k
kn
n ⋅∑=⋅ −
=
8.6. Лопиталь ережесі
Лопиталь ережесі ∞∞ ;
00 жəне т.б. анықталмаған өрнектердің шегін функциялардың
туындыларының қатынасының шегі арқылы есептеуге əкеледі. Теорема (Лопиталь ережесі). )(xf пен )(xg ax = нүктесінің маңайында ( a –
нүктесі алынып тасталуы да мүмкін ) анықталған, дифференциалданатын жəне 0)(lim)(lim ==
→→xgxf
axax (немесе ∞==
→→)(lim)(lim xgxf
axax), a – нүктесінің маңайында
,0)( ≠xg ,0)( ≠′ xg шарттары орындалатын функциялар болсын. Онда егер )()(lim
xgxf
ax ′′
→
шегі бар болса, онда )()(lim
xgxf
ax→ шегі де бар жəне
)()(lim
)()(lim
xgxf
xgxf
axax ′′
=→→
. (7)
теңдігі орындалады.
Егер )()(
xgxf
′′ өрнегі де
00 түріндегі анықталмағандық болып
(x)g ),( ′′ xf функциялары теорема шартын қанағаттандырса, онда
.)()(lim
)()(lim
)()(lim
xgxf
xgxf
xgxf
axaxax ′′′′
=′′
=→→→
(8)
,0 ∞⋅ ,00 ,0∞ ,∞−∞ ∞1 түріндегі анықталмағандықтар алгебралық түрлендірулер
арқылы 00 немесе
∞∞ анықталмағандығына келтіріледі.
а) ∞⋅0 aнықталмағандығын ( ) x,g(x) 0,f(x) ),()( axgxf →∞→→⋅
)(1
)()()(
xg
xfxgxf =⋅ түрлендіруі ,00
ал
)(1
)()()(
xf
xgxgxf =⋅
түрлендіруі ∞∞ түріне əкеледі.
б) ,1∞ 00 ,0 ∞ ( ))()( xgxf анықталмағандықтарын түрлендірулер арқылы ∞⋅0 түріне ( a - жағдайына) келтіруге болады.
в) ∞−∞ ))( g ,f ),()(( axxgxf →+∞→+∞→− анықталмағандығын ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
00 түріне
келтіруге болады: .00
g1
f1
f1
g1
g11
f11gf ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅
−=−=−
8.7. Туындылардың көмегімен функцияларды зерттеу
1. Функциялардың локальді экстремумі Функцияның локальді экстремумдерінің анықтамаларын еске түсірейік. Егер
),c ,( δδ +−∈∀ cx 0)()( ≤− cfxf . (1) (сəйкес 0)f(c)-f(x) ),c ,( ≥+−∈∀ δδcx . (2)
теңсіздігі орындалатындай 0>δ саны бар болса, онда )(xfy = функциясы c – нүктесінде локальді максимумге (сəйкес локальді минимумге) ие болады дейді.
Егер (1) жəне (2) шарттарды ),c ,( δδ +−∈∀ cx 0)()( <− cfxf , )1( ′
(сəйкес ),c ,( δδ +−∈∀ cx 0)()( >− cfxf ), )2( ′ шарттарымен ауыстырсақ, онда c – локальді қатаң максимум (сəйкес( локальді қатаң минимум) нүктесі деп аталады.
Анықтама. Егер 0x – нүктесінде )( 0xf – үзіліссіз, 0)( 0 =′ xf немесе )( 0xf ′ туындысы болмайтын болса, онда 0x – f – функциясының күдікті нүктесі деп аталады.
1-теорема. (экстремумның жеткілікті шарты). )(xfy = функциясы ] ,[ 00 δδ +− xx кесіндісінде үзіліссіз жəне ) ,( 00 xx δ− мен ) ,( 00 δ+xx
аралықтарда дифференциалданатын болсын. Егер ) ,( 00 xx δ− мен ) ,( 00 δ+xx аралықтарында )(xf ′ туындысының
таңбалары қарама-қарсы болса, онда 0x экстремум нүктесі. Атап айтқанда: a) егер ∈∀x ) ,( 00 xx δ− 0)( >′ xf ал ∈∀x ) ,( 00 δ+xx , 0)( <′ xf болса,
онда 0x локальді максимум нүктесі; б) егер ),( 00 xxx δ−∈ ,0)( <′ xf ал ),,( 00 δ+∈ xxx 0)( >′ xf болса, онда 0x
локальді минимум нүктесі; в) ) ,( 00 xx δ− жəне ) ,( 00 δ+xx аралықтарында )(xf ′ таңбасы бірдей болса,
онда 0x нүктесінде локальді экстремум жоқ. 2-теорема. )(xf фунциясының 0x нүктесінде екінші туындысы бар жəне
0)( 0 =′ xf болсын. Онда 1) егер 0)( 0 >′′ xf болса, онда 0x локальді минимум нүктесі; 2) егер 0)( 0 <′′ xf болса, онда 0x локальді максимум нүктесі; 3) егер 0)( 0 =′′ xf болса, онда 0x нүктесі экстремум нүктесі болуы да болмауы да
мүмкін. Функциялардың кесіндідегі ең үлкен жəне ең кіші мəндері
],[ ba кесіндісінде үзіліссіз f функциясының ең үлкен (ең кіші) мəнін табу керек болсын. Оның қандай да бір ],[0 bax ∈ нүктесінде болатыны белгілі.
Ендеше тек келесі үш жағдай болуы мүмкін: 1) ax =0 , ,0 bx = ).,,(0 bax ∈ Егер )b,a(x0 ∈ болса, онда 0x локальді экстремум нүктесі екені түсінікті. Егер аталған нүктелер mxxx ,,, 21 K жинақты жиын құраса, онда
)}(,),(),(),(max{)(max 1],[ mbaxxfxfbfafxf K=
∈
)}.(,),(),(),(min{)(min 1],[ mbaxxfxfbfafxf K=
∈ (3)
2. Функцияның дөңестігі. Иілу нүктелері
)(xf функциясы I – аралығында берілсін. Анықтама. Егер )(xf – тің графигінің кез келген ))(,( 111 xfxA
жəне ))(,( 222 xfxA екі нүктесінің арасындағы доға осы доғаны керетін хордадан жоғары жатпаса, онда )(xf – функциясы І аралығында дөңестігі төмен бағытталған, қысқаша ойыс функция деп аталады (17сурет).
Егер )()( xfxg −= функциясы І аралығында ойыс болса, онда )(xf – функциясы І аралығында дөңестігі жоғары бағытталған, қысқаша дөңес функция деп аталады (18сурет).
Əрине )(xf ойыс функция болса, онда )(xf− дөңес болады.
1 - теорема. Егер )(xf функциясының І аралығында туындысы бар болса, онда )(xf ойыс (дөңес) функция болу үшін )(xf ′ функциясы І аралығында кемімейтін (өспейтін) функция болуы қажетті жəне жеткілікті.
)(xf функциясының Ι аралығында екінші ретті туындысы бар болса, онда )(xf ′ функциясы Ι аралығында кемімейтін (өспейтін) болуы 0)( , ≥′′Ι∈ xfx ( )0)( , ≤′′Ι∈ xfx шарттарымен пара-пар болғандықтан, келесі теоремаға келеміз.
2 - теорема. Егер Ι аралығында )(xf функциясының екінші ретті туындысы бар болса, онда )(xf ойыс (дөңес) функция болуы үшін əрбір Ι∈x үшін 0)( ≥′′ xf ( )0)( ≤′′ xf теңсіздігі орындалуы қажетті жəне жеткілікті.
Ойыс (дөңес) функциялардың геометриялық сипаты келесі теоремадан көрінеді.
Теорема. )(xf ),( ba - аралығында дифференциалданатын функция болса, онда )(xf - ойыс (дөңес) функция болуы үшін, оның графигі өзінің əрбір жанамасынан төмен (жоғары) жатпауы қажетті жəне жеткілікті.
Анықтама. )(xf функциясы ),( ba аралығында анықталған жəне үзіліссіз болсын. Егер ),(0 bax ∈ нүктесінің белгілі бір оң жəне сол жақты маңайларында )(xf
функциясының дөңестігі қарама-қарсы бағытталған болса, онда ( ))(, 00 xfx нүктесі )(xf - тің графигінің иілу нүктесі деп аталады. 3 - теорема (иілу нүктесінің қажетті шарты). ),( ba аралығында )(xf
дифференциалданатын, ал 0x - нүктесінде екінші ретті туындысы )( 0xf ′′ бар функция
болсын. Егер ( ))(, 00 xfx иілу нүктесі болса, онда 0)( 0 =′′ xf .
4 - теорема (иілу нүктесінің жеткілікті шарты). Егер )(xf функциясы 0x
нүктесінің белгілі бір δ - маңайында үзіліссіз болып, ( )00 , xx δ− аралығында туындысы
бар жəне ол кемімейтін (өспейтін), ( )δ+00 , xx аралығында туындысы бар жəне ол
өспейтін (кемімейтін) болса, онда ( ))(, 00 xfx - иілу нүктесі.
Басқаша айтқанда, ( x - өсу бағытында) 0x - нүктесінен өткенде )(xf ′′ - екінші ретті
туындының таңбасы өзгерсе, онда ( ))(, 00 xfx - иілу нүктесі болады.
17-сурет 18-сурет
Сонымен, функцияның иілу нүктелерін тек қана 0)( 0 =′′ xf орындалатын немесе
)(xf ′′ - болмайтын нүктелердің (ондай нүктелерді функцияның екінші ретті күдікті нүктелері деп те атайды) ішінен іздеу керек.
3. Функция графигінің асимптоталары Анықтама. Егер )(xfy = функциясының графигіндегі ))(,( xfxM нүктесі
координата бас нүктесінен шексіз алшақтағанда осы M нүктесінен bkxy += түзуіне дейінгі қашықтық нөлге ұмтылса, bkxy += түзуі )(xf - тің графигінің асимптотасы деп аталады.
Мұнда екі жағдай болуы мүмкін: 1) ))(,( xfxM нүктесінің абциссасы x ақырлы a санына ұмтылады. Онда
0 , >= yax немесе 0 , <= yax жартылай түзуі вертикаль асимптота болады; 2) ))(,( xfxM нүктесінің абциссасы +∞→x немесе −∞→x ұмтылады. Онда
bkxy += көлбеу асимптота деп аталады. 1 - теорема (вертикаль асимптота туралы). ax = түзуі вертикаль асимптота
болуы үшін )(lim
0xf
ax +→ немесе )(lim
0xf
ax −→
шектерінің ең болмағанда біреуі шексіз үлкен болуы қажетті жəне жеткілікті.
Ескерту. Вертикаль асимптотаны анықтайтын ax = саны функциясының үзіліс (екінші ретті) нүктелерінің ішінде.
Егер )(xfy = - үзіліссіз функция болса, онда вертикаль асимптота жоқ. 2 - теорема (көлбеу асимптота туралы). bkxy += түзуі )(xfy = функциясының
көлбеу асимптотасы болуы үшін
xxfk
x
)(lim∞→
= жəне [ ]кх)x(flimbx
−=∞→ (4)
шектерінің бар болуы қажетті жəне жеткілікті.
(мұнда +∞→x ұмтылғандағы шек оң жақ көлбеу асимптота, ал −∞→x ұмтылғандағы шек сол жақ көлбеу асимптота үшін қарастырылады).
4. Функцияны зерттеу схемасы жəне оның графигін салу
Функцияны зерттеп, оның графигін салу жұмысын келесі ретпен жүргізуді ұсынуға
болады.
1. Функцияның анықталу аймағын анықтау. Оны жұп, тақ, периодтылықты зерттеу. Графиктің координата өстерімен қиылысу нүктелерін табу;
2. Функцияны үзіліссіздікке зерттеу. 3. Функцияның асимптоталарын табу. 4. Өсу, кему аралықтарын, экстремумдерді табу. 5. Ойыс, дөңес аралықтарын, иілу нүктелерін табу. 6. Табылған үзіліс нүктелерін, күдікті нүктелерді олардың арасындағы аралықтарды
(интервалдарды) көрсетіп кесте (таблица) салу. Əрбір аралықта функцияның сипаты көрсетіледі.
7. Қажет болған жағдайда (дəлірек график үшін) функцияның аралық мəндерін таба отырып функция графигінің эскизін салу.
8.8. Экономикалық теорияда туындыны қолдану
Экономикалық теорияның негізгі заңдары - өндіріс жəне тұтыну
теориясының заңдары, сұраныс жəне ұсыныс заңдары дифференциалдық есептеу теоремаларының салдарлары болып табылады.
Ферма теоремасының экономикалық интерпретациясы
Ферма теоремасы бойынша: дифференциалданатын функция өзінің ең үлкен жəне
ең кіші мəндерін туынды нольге тең нүктелерде қабылдайды. Өндіріс теоремасының негізгі заңын қарастырайық – оптималдық деңгей заңы. Теорема. Өндірушіге бұйым шығарудың оптималдық деңгейін шекті шығын мен
шекті табыстың теңдігі анықтайды. MS - шекті шығын, MD - шекті табыс, ox -өнімнің оптималды деңгейі болсын. Онда
( ) ( )oo xMDxMS = . Осы заң –Ферма теоремасының салдары. Шынында, егер пайда функциясын ( )xC деп белгілесек, онда ол табыс пен шығынның айырымына ( ) ( ) ( )xSxDxC −= тең. Өндіріс деңгейі оптималды деп есептеледі, егер пайда максималды
болса. Ол ( )xC функциясының экстремумының болуын көрсетеді. Ферма теоремасы бойынша ( )xC -тің ең үлкен мəні болады оның туындысы ( ) 0=′ xC нүктесінде, ондаша
( ) ( ) 0=′−′ oo xSxD , яғни ( ) ( )oo xMSxMD = .
Орташа шығындар заңы
Өндіріс экономды болуы осы өндірісте орташа шығындардың минималды болуымен анықталатын заңды қарастырайық. Теорема. Өндірістің экономды болуының ең үлкен деңгейі орташа жəне шекті шығындардың тең болуымен анықталады.
Бұл заң да Ферма теоремасының салдары болып табылады.
( )xAS - орташа шығын болсын, яғни ( ) ( )xxSxAS = - бұйым шығаруға кеткен
шығынның оның көлеміне қатынасына тең. Ферма теоремасы бойынша функцияның минимумы күдікті нүктеде болады. Онда
( ) 02 =−⋅′
=′x
SxSxSA болады. Осыдан 0=−⋅′ SxS немесе xSS =′ , яғни ( ) ( )xASxMS = .
Кемімелі табыс заңы
Өндірісті өсіру мен қатар ресурстың (еңбек, технологиялық жəне т.б.) əр жаңа бірлігіне сəйкес алынған қосымша өнім бір моменттен бастап азая бастайды.
Кемімелі пайдалық заңы
Бұйым мөлшерін өсірумен қатар оның əр жаңа бірлігінің пайдалылығы бір сəттен бастап кеми бастайды.
9 ДƏРІС. КӨП АЙНЫМАЛЫ ФУНКЦИЯЛАР
9.1. Көп айнымалы функциялар. Анықталу аймағы
Анықтама. D жиынында реттелген ( )y ,x сандар жұбының жиыны берілсін. Егер əрбір D)y,x( ∈ сандар жұбына z шамасының анықталған бір мəні сəйкес келсе, онда z тəуелсіз екі x пен y айнымалыларының функциясы жəне ол D жиынында берілді дейді.
D жиыны функцияның анықталу аймағы деп аталады; екі айнымалы функция
)y,x(fz = , )y,x(Fz = жəне т.с.с.
белгіленеді.
Екі айнымалы функция кесте немесе аналитикалық тəсіл - формула түрінде берілуі мүмкін.
Екі айнымалы функция анықтамасын үш немесе одан да көп айнымалылар үшін жалпылауға болады.
Анықтама. Егер əрбір D)x ,...,x ,x(P n21 ∈ нүктесіне қандай да бір анықталған )x ,...,x ,x(f)P(f n21= нақты саны сəйкес қойылса, онда D жиынында
n21 x ,...,x ,x - n айнымалы
RR :f n →
сандық функциясы берілді дейді.
D жиыны )x ..., ,x ,x(fw n21= функциясының анықталу аймағы, ал
{ }DP ),P(fw :RwE ∈=∈=
жиыны оның мəндер аймағы деп аталады.
0, 21 =)wx...,,x,x(F n жазуы w ,x ..., ,x ,x n21 шамаларының арасында функциялық байланыс бар екенін жалпы түрде көрсетеді, яғни осы шамалардың қандай да біреуі, мысалы w , қалғандарының айқын емес функциясы екенін білдіреді.
9.2. Функцияның дербес жəне толық өсімшелері. Шек
жəне үзіліссіздік
)y,x(fz = функциясы берілсін. Егер y аргументіне тұрақты 0y мəнін беріп тек x -ті ғана өзгертіп отырсақ, онда z тəуелсіз бір айнымалы x -тің функциясы болар еді:
)y ,x(fz 0= . Бұл функцияға бір айнымалы функцияны зерттеудің белгілі əдістерін қолданып, z шамасының x ке тəуелді өзгеру сипатын ала аламыз: )y,x(fz = беті мен OXZ ке параллель 0yy = жазықтығының қиылысу сызығы PS (1сурет). x ке
xΔ өсімшесін берейік.
Онда оған сəйкес z те өсімшеге ие болады. Оны z тің x бойынша дербес өсімшесі дейді де zxΔ арқылы белгілейді (1 суретте SS ′ кесіндісі):
)y,x(f)y,xx(fzx −Δ+=Δ .
Осы сияқты x ке тұрақты 0x мəнін беріп z тің y ке тəуелді өзгеру сипатын алуға болады: )y,x(fz = беті мен OYZ ке параллель 0xx = жазықтығының қиылысу сызығы. y ке yΔ өсімшесін берсек, онда z y бойынша zyΔ дербес өсімшеге ие
болады (1суретте TT ′ кесіндісі):
)y ,x(f)yy ,x(fzy −Δ+=Δ .
Ал егер x пен y аргументтеріне сəйкес xΔ жəне yΔ өсімшелерін берсек, онда z үшін жаңа zΔ өсімшесін аламыз. Ол z функциясының толық өсімшесі деп аталады:
)y,x(f)yy,xx(fz −Δ+Δ+=Δ .
Жалпы жағдайда толық өсімше дербес өсімшелердің қосындысына тең емес:
zzz yx Δ+Δ≠Δ .
Ескерту. 3n ≥ айнымалы функциясының толық жəне дербес өсімшелері осы сияқты анықталады.
Тұрақты мəнді тəуелсіз y,x айнымалыларының біріне емес, z функциясының өзіне бере отырып та
),( yxfz = функциясын зерттеуге болады. 0zz = деп алсақ
0z)y,x(f = (1)
теңдеуі ( z функциясының тұрақты 0z мəнін сақтай отырып) x пен y айнымалыларының арасындағы
тəуелділікті береді.
Бұл жағдайда )y,x(fz = беті мен OXY ке параллель 0zz = жазықтығының L қиы-лысу сызығын аламыз (2 сурет).
20-сурет
1-сурет
2-сурет
OXY жазықтығында (1) теңдеу 0),( =yxf түріне ие болды жəне бұл теңдеу L сызығының OXY жазықты-ғындағы l проекциясын анықтайды. Координаталары yx, болатын нүкте l қисығының бойымен қозғалғанда, z функциясы тұрақты 0z мəнін сақтайды.
Анықтама. )y,x(fz = функциясының деңгей сызығы деп ) l∈̀,( yx
нүктелерінде функция тұрақты мəн сақтайтын OXY⊂l қисығын айтады.
Қолданбалы ғылымда деңгей сызығын зерттелетін екі айнымалы функцияны көз алдымызға елестету үшін жиі қолданады. Мысалы, жер нүктесінің теңіз деңгейінен биіктігін екі айнымалы функция ретінде қарастырып, картаға осы функцияның деңгей сызықтарын салады. Оларды топографияда горизонтальдар (жатық сызықтар) деп атайды. Жатық сызықтардың орналасуына қарай жер биіктігінің өзгеруін көруге болады.
Анықтама. )y,x(f функциясы ),( 000 yxP нүктесінің қандай да бір )( 0PU маңайында анықталған болсын (оның ),( 000 yxP нүктесінің өзінде анықталмауы да мүмкін, яғни 0xx ≠ немесе 0yy ≠ ).
Егер əрбір 0>ε саны арқылы δ<−< ),(),(0 00 yxPyxP теңсіздігін
қанағаттандыратын барлық )y,x(P нүктелері үшін
ε<− APf )(
шарты орындалатындай 0>δ саны бар болса, онда A саны f функциясының 0P нүктесіндегі шегі деп аталады да
Ayxfyyxx
=→→
),(lim00
немесе APfPP
=→
)(lim0
(2)
деп жазылады. n тəуелсіз айнымалы функция шегі де дəл осылай анықталады. Егер A саны ),()( yxfPf = функциясының ),( 000 yxP нүктесіндегі шегі болса,
онда A сан )( 0 hPf + функциясының h бойынша нөл нүктесіндегі шегі:
AhPfh
=+→
)(lim 00,
жəне керісінше болатыны айқын көрініп тұр. Анықтама. Егер ),()( yxfPf = функциясы ),( 000 yxP нүктесінің қандайда бір
маңайында жəне осы ),( 000 yxP нүктесінде анықталып
)()(lim 00
PfPfPP
=→
немесе ),(),(lim 00
00
yxfyxfyyxx
=→→
(3)
теңдігі орындалса, онда ),()( yxfPf = функциясы ),( 000 yxP нүктесінде үзіліссіз деп аталады.
f функциясының 0P нүктесіндегі үзіліссіздік шартын оған пара-пар
)()(lim 000PfhPf
h=+
→ (4)
түрінде жазуға болады, яғни, )( 0 hPf + функциясы h бойынша 0=h нүктесінде
үзіліссіз болса, онда )(Pf функциясы 0P нүктесінде үзіліссіз.
Егер xxx Δ+= 0 , yyy Δ+= 0 деп алсақ, онда (3) теңдікті
),() ,(lim 0000
00
yxfyyxxfyyxx
=Δ+Δ+→Δ→Δ
немесе [ ] 0),() ,(lim 0000
00
=−Δ+Δ+→Δ→Δ
yxfyyxxfyyxx
(5)
түрінде де жазуға болады. Бұл теңдік ),( 00 yx нүктеде үзіліссіз функцияның осы нүктедегі шегі функцияның ),( 00 yx нүктесіндегі мəніне тең болатынын көрсетеді.
Егер 22 )()( yx Δ+Δ=ρΔ деп алсақ, онда 0()0( →Δ⇒→ρΔ x жəне )0→Δy
жəне, керісінше 0)0 ,0( →ρΔ⇒→Δ→Δ yx .
Олай болса (5) теңдігін
0lim0
=Δ→ρΔ
z , 22 )()( yx Δ+Δ=ρΔ (6)
түрінде жазуға болады. Аймақтың əрбір нүктесінде үзіліссіз болатын функция осы аймақта үзіліссіз деп
аталады. Шектің қасиеттерінен: ),( 000 yxP нүктесінде үзіліссіз ),( yxf , ),( yxϕ
функцияларының қосындысы, айырмасы, көбейтіндісі жəне 0),( 00 ≠ϕ yx болса бөліндісі үзіліссіз функция болатыны шығады.
1 - ескерту. Екі айнымалы функцияның үзіліс нүктелері тұтас сызықтарды құрауы да мүмкін.
2 - ескерту. Айнымалылары кез келген сан болатын функция үзіліссіздігі де дəл осы сияқты анықталады.
9.3. Туындылар мен дифференциалдар
1. Дербес туындылар. ),( yxf функциясының ),( yxP нүктесіндегі x бойынша
дербес туындысы деп zxΔ дербес өсімшесінің xΔ өсімшесіне қатынасының 0→Δx (ұмтылғандағы) шегін (егер ол шек бар болса) айтады да
xz′ , ),( yxf x′ , xz∂∂
, xf∂∂
символдарының біреуімен белгілейді:
xyxfyxxf
xz
xz
x
x
x Δ−Δ+
=ΔΔ
=∂∂
→Δ→Δ
),(),(limlim00
.
),( yxf функциясының ),( yxP нүктесіндегі y бойынша дербес туындысы да дəл осылай анықталады жəне ол
yz′ , ),( yxf y′ , yz
∂∂ ,
yf∂∂
символдарының біреуімен белгіленеді:
yyxfyyxf
yz
yz
y
y
y Δ−Δ+
=Δ
Δ=
∂∂
→Δ→Δ
),(),(limlim00
Бұл анықтамадан дербес туындыларды есептеу ережелері бір айнымалы функцияның туындыларын есептеу ережелерімен бірдей екенін көреміз. Əрине, бұл жағдайда дербес туынды айнымалылардың қайсысы бойынша ізделініп отырғаны есте тұру керек, ал қалған айнымалылар тұрақты сан ролін атқарады.
2. Толық дифференциал. 2RG ⊂ ашық жиында ),( yxfz = функциясы берілсін жəне оның Gyx ∈),( нүктесінде үзіліссіз дербес туындылары бар болсын. Бұдан
),( yx нүктесінің қандай да бір маңайында осы дербес туындылар бар болатыны
(олар ),( yx тен басқа нүктелерде үзілісті болса да) шығады. ),( yx ΔΔ өсімшесін
δ<Δx , δ<Δy шартын қанағаттандыратындай, ал 0>δ санын ,( xx Δ+ )yy Δ+ нүктесі жоғарыдағы көрсетілген маңайдан шығып кетпейтіндей жеткілікті аз етіп алып, осы ),( yx ΔΔ өсімшеге сəйкес келетін f функциясының өсімшесін қарастырайық:
)y,x(f)yy,xx(fz −Δ+Δ+=Δ 1-теорема. Егер ),( yxfz = функциясының ),( yx нүктесінде үзіліссіз дербес
туындылары бар болса, онда оның осы нүктедегі жеткілікті аз ( yx ΔΔ , ) ке сəйкес өсімшесін келесі формула түрінде жазуға болады
)( ρΔ+Δ∂∂
+Δ∂∂
=Δ oyyfx
xfz , 022 →Δ+Δ=ρΔ yx (1)
(1) теңдіктегі дербес туындылар yx ΔΔ , ке тəуелді емес. Сондықтан теорема шартынан функция өсімшесін келесі формула түрінде жазуға болатыны шығады:
)( poyBxAz Δ+Δ+Δ=Δ , 0→ρΔ (2) Анықтама. Егер f функциясының ),( yx нүктедегі өсімшесін жеткілікті аз ),( yx ΔΔ
үшін (2) теңдік түрінде жазуға болатын болса, онда f функциясы ),( yx нүктесінде дифференциалданады дейді.
2-теорема. f функциясы нүктеде дифференциалдануы үшін оның осы нүктеде дербес туындыларының болуы қажетті, ал оның осы нүктеде үзіліссіз дербес туындыларының болуы жеткілікті.
Анықтама. Егер f функциясы ),( yx нүктеде дифференциалданса, онда оның өсімшесінің осы нүктедегі сызықты бас бөлігі f функциясының толық дифференциалы деп аталады, dz немесе df арқылы белгіленеді:
yyfx
xfdf Δ
∂∂
+Δ∂∂
= , (3)
yx ΔΔ , тəуелсіз айнымалылар өсімшелерін x пен y тəуелсіз айнымалыларының дифференциалдары деп атайды да оларды dx жəне dy арқылы белгілейді. Онда толық дифференциал келесі түрге ие болады:
dyyfdx
xfdz
∂∂
+∂∂
= (4)
9.4. Жоғары ретті дербес туындылар мен толық
дифференциалдар.
1. Жоғары ретті дербес туындылар. ),( yxfz = функциясының Gyx ∈),( нүктелерінде дербес туындылары:
),( yxfxz
x′=∂∂ , ),( yxf
yz
y′=∂∂
бар болса, онда бұл туындыларды G жиынында берілген жаңа функциялар деп қарастыруға болады.
Осы функциялардан алынған дербес туындылар ),( yxf функциясының екінші ретті дербес туындылары деп келесі түрде белгіленеді (олар төртеу):
,2
2
xxxx zfx
zxz
x′′=′′=
∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
∂∂
xyxy zfyxz
xz
y′′=′′=
∂∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
∂∂ 2
,2
yxyx zfxyz
yz
x′′=′′=
∂∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
yyyy zfy
zyy
′′=′′=∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
2
2.
xyf ′′ жəне yxf ′′ ( туындылары аралас деп аталады; оның біріншісі алдымен x , содан соң y бойынша, ал екіншісі, керісінше, алдымен y , содан соң x бойынша дифференциалдау арқылы алынған.
Егер Gyx ∈),( нүктелерінде екінші ретті туындылар (барлығы немесе қандай да біреуі) бар болса, онда үшінші ретті туындылардың бар болуы туралы сұрақ туады.
Жалпы, n - ші ретті дербес туынды деп қандай да бір )1( −n ші ретті туындының кез келген бір айнымалысы бойынша дербес туындысын айтады. Мысалы,
yxf
yxf
x ∂∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂∂
3
4
2
3
.
yf
xf
∂∂
∂∂ , бірінші ретті дербес туындылар, ал f функциясының өзін нөлінші ретті
дербес туынды деп атайды.
Дифференциалдау нəтижесі дифференциалдау ретіне тəуелді ме деген сұрақ тууы мүмкін.
Теорема (аралас туындылар туралы). Функция ),( yxfu = пен оның дербес
туындылары xyf
yxf
yf
xf
∂∂∂
∂∂∂
∂∂
∂∂ 22
, , ,
),( 000 yxP нүктесінің қандай да бір маңайында анықталсын. Егер yxf∂∂
∂ 2 жəне
xyf∂∂
∂ 2
0P нүктесінде үзіліссіз болса, онда
yxf∂∂
∂ 2
=xyf∂∂
∂ 2
, (1)
яғни, дифференциалдау нəтижесі дифференциалдау ретіне тəуелді болмайды.
Ескерту. Егер үзіліссіздік шарты орындалмаса, онда 0P нүктесінде аралас туындылар өзара тең болмауы да мүмкін.
2. Жоғары ретті дифференциал. ),( yxfz = функциясының бірінші ретті дербес туындылары GyxP ∈= ),( нүктесінде үзіліссіз болсын. Онда оның толық дифференциалы
dyyzdx
xzdyyxfdxyxfdz yx ∂
∂+
∂∂
=′+′= ),(),( (2)
түрінде жазылады. Мұнда dz тəуелсіз айнымалы x пен y ке жəне олардың дифференциалына dydx , тəуелді Р(х,у) нүктесінде үзіліссіз дербес туындылары болатын кез келген ),( yxuu = жəне ),( yxvv = функциялары үшін келесі қасиеттер орындалады:
dvduvud ±=± )( ,
vduudvvud +=⋅ )( ,
0 ,2 ≠−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ v
vudvvdu
vud ,
сонымен бірге, жақшадағы функциялардың дербес туындылары Р(х,у) нүктесінде үзіліссіз болады.
Енді ),( yxfz = функциясының екінші ретті дербес туындылары үзіліссіз
болсын. Анықтама бойынша оның екінші ретті дифференциалы деп бірінші ретті dz толық дифференциалдың толық дифференциалын айтады жəне мұнда dx пен dy
тұрақты, яғни x пен y ке тəуелсіз деп саналады. Сонымен, осы айтқандарды
пайдалансақ:
22
222
2
22 2 dy
yzdxdy
yxzdx
xzzd
∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
= (3)
болады.
Дəл осылайша
33
32
2
32
2
33
3
33 33 dy
yzdxdy
yxzdydx
yxzdx
xzzd
∂∂
+∂∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
= (4)
Математикалық индукция əдісін қолданып, n -і ретті дифференциалды жазуға болады. Оны біз символ арқылы жазайық:
zdyy
dxx
zdn
n
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∂∂
+∂∂
= . (5)
Біз мұнда алдымен өрнекті n дəрежеге дəрежелейміз де, содан соң n∂ символының астына z жазамыз.
9.5. Көп айнымалы функциялардың экстремумдері
1. Экстремумнің қажетті, жеткілікті шарттары Анықтама. Егер ),( 00 yx нүктесі үшін ),(),( 00 yxUyx ∈∀ , )y,x(f)y,x(f 00≤
( )),(),( 00 yxfyxf ≥ теңсіздігі орындалатындай ),( 00 yxU маңайы табылса, онда ),( yxfz = функциясы
),( 00 yx нүктесінде локальдік (төңіректік) максимумге (минимумге) ие болады дейді.
),( 00 yx нүктесін локальдік максимум (минимум) нүктесі, ал функцияның ол нүктеге сəйкес мəнін функцияның максимум (минимум) мəні деп атайды. Локальдік максимум мен минимум мəндері жалпы атаумен локальдік экстремум деп аталады. Экстремум анықтамасынан ),( 00 yx нүктесінің жеткілікті шағын (аз) маңайында функция өсімшесі: ),(),( 00 yxfyxff −=Δ таңбасын өзгертпейтінін көреміз:
локальдік максимум (max) үшін 0≤Δf ; локальдік минимум (min) үшін 0≥Δf . Енді, алдымен, экстремумнің қажетті шартын дифференциалданатын функциялар
үшін қарастырамыз. Теорема (экстремумнің қажетті шарты). Егер дифференциалданатын ),( yxfz =
функциясының ),( 000 yxP нүктесінде экстремумі бар болса, онда оның осы нүктедегі дербес туындылары нөлге тең:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=∂
∂
=∂
∂
.0),(
,0),(
00
00
yyxx
xyxz
(1)
Салдар. Егер ),( 000 yxP нүктесінде дифференциалданатын ),( yxfz = функциясы осы 0P нүктеде экстремумге ие болса, онда
0)( 0 =Pdf немесе 0)( 0 =Pgradf . 1 - Ескерту. f функциясының ),( 000 yxP нүктесінде экстремумі болуы үшін (1) шарт
жеткілікті бола алмайды. Егер f функциясының үзіліссіз дербес туындылары үшін ),( 000 yxP нүктесінде 1
шарт орындалса, онда 0P ),( yxf функциясының стационар нүктесі деп аталады. 2 - ескерту. Берілген нүктелерде үзіліссіз функцияның дифференциалы жоқ болса да
ол нүктелер экстремум нүктелері болуы мүмкін. f функциясының стационар нүктелері мен оның дифференциалданбайтын нүктелерін
критикалық (күдікті) нүктелер деп жалпы түрде атайды. Экстремумнің жеткілікті шартын жалпы жағдайда келесі түрде тұжырымдауға
болады.
),( 000 yxP нүктесі ),( yxfz = функциясының стационар нүктесі, ал функция 0P нүктесінің қандайда бір маңайында екі рет дифференциалданып 0P нүктесіндегі барлық екінші ретті дербес туындылары үзіліссіз болсын. Онда:
1) егер ),,( 02 yxPzd ΔΔ екінші ретті дифференциал yx ΔΔ , өсімшелерінің функциясы
ретінде, бір мезгілде нөлге тең емес yx ΔΔ , тің барлық мəндер жиынтығында тұрақты таңба сақтаса, онда ),( yxfz = 0P нүктесінде экстремумге ие болады, атап айтқанда,
0),,( 02 <ΔΔ yxPzd болса, максимум, 0),,( 0
2 >ΔΔ yxPzd болса, минимум қабылдайды;
2) егер ),,( 02 yxPzd ΔΔ yx ΔΔ , тің таңба айнымалы функциясы болса, онда 0P
нүктесінде функция экстремум қабылдамайды; 3) егер 0),,( 0
2 ≥ΔΔ yxPzd немесе 0),,( 02 ≤ΔΔ yxPzd болып, екінші дифференциал
нөлге тең болатын yx ΔΔ , мəндер жиынтығы ( yx ΔΔ , ) (бір мезгілде нөлге тең емес) бар болса, онда қосымша зерттеу қажет болады.
10 ДƏРІС. ЕҢ КIШI КВАДРАТТАР ƏДIСI
10.1. Ең кiшi квадраттар əдiсi
Айталық, x пен y айнымалылардың арасындағы тəуелдiлiк əйтеуiр бiр əдiспен белгiлi болсын: )x(y ϕ= . Бірақ, бұл функциялық тəуелдiлiкке қатынасатын k21 a,...,a,a параметрлер белгiсiз болсын. Осы параметрлердi айқындау үшiн x пен y айнымалыларына тəжiрибе жүргiзелiк. Сонда ( ) ( ) ( )nn2211 y,x,...y,x,y,x мəндерi пайда болды делiк. Егер )x(ϕ функцияны
)nk()a,...a,a,x(y k21 <ϕ= түрiнде жазатын болсақ, онда мынадай есеп шығаруымыз керек:
Параметрлер k21 a,...,a,a -лардың қандай мəндерiнде мына қосындының
[ ]∑=
=ϕ−=n
1i
2k11i mina,...a,a,x(yz
беретiнiн анықтау керек.
Математика курсында экстремум табу үшiн n21 a
z,...,az,
az
∂∂
∂∂
∂∂ дербес туындыларын
тауып, оларды нольге теңестiруiмiз керек. Сонда k21 a,...,a,a параметрлер табу үшiн k теңдеуден тұратын жүйе шығады. Осы жүйеден жоғарыдағы параметрлер табылады.
Осылай табылған параметрлердi ең кiшi квадраттар əдiсi арқылы анықталған дейдi. 1. baxy += сызықтық тəуелдiлiгiнде a жəне b параметрлердiң мəндерiн
( ) ( ) ( )nn2211 y,x...,,y,x,y,x эксперименталдық берiлгендерi бойынша анықтау керек. Мұнда
∑=
−−=n
1i
2ii )baxy(Z деп алып,
bz;
az
∂∂
∂∂ дербес туындыларын табамыз жəне
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=⋅−−−=∂∂
=⋅−−−=∂∂
∑
∑
=
=n
1iii
n
1iiii
01)baxy(2bz
0x)baxy(2az
жүйеге келемiз. Бұл жүйенi мына түрде жазуға болады
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=+⋅
=+⋅
∑ ∑
∑ ∑ ∑
= =
= = =n
1i
n
1iini
n
1i
n
1i
n
1iiii
2i
ybxa
yxxbxa
Осыдан a жəне b -ны тауып, сызықтық тəуелдiлiкке келемiз. 2. ( ) ( ) ( )nn2211 y,x...,,y,x,y,x эксперименталдық берiлгендерi бойынша cbxaxy 2 ++= үш
мүшелiгiнiң b,a жəне c параметрлерiн ең кiшi квадраттар əдiсi арқылы мына жүйеден табамыз:
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=++⋅
=++⋅
=++⋅
∑∑ ∑
∑∑ ∑ ∑
∑∑ ∑ ∑
== =
== = =
== = =
n
1ii
n
1i
n
1ii
2i
n
1iii
n
1i
n
1i
n
1ii
2i
3i
n
1ii
2i
n
1i
n
1i
n
1i
2i
3i
4i
ycnxbxa
yxxcxbxa
yxxcxbxa
Осы жүйеден b,a жəне c -ны тауып, cbxaxy 2 ++= үшмүшелiкке қоямыз. Мысал. x (ақша бірл.) саналатын мұнай бағасының келесі мəндері бар жəне y
(шартты бірлік) есептелетін мұнай компанияларының акцияларының индекстері бар.
x 17,28 17,05 18,30 18,80 19,20 18,50
y 537 534 550 555 560 552 Ең кіші квадраттар əдісімен baxy += эмпирикалық формуласын табу керек. Кесте құрастырамыз:
ix iy ix iy 2ix
17,28 537 9279,36 298,5984 17,05 534 9104,70 290,7025 18,30 550 10065,00 334,89 18,80 555 10434,00 353,44 19,20 560 10752,00 368,64 18,50 552 10212,00 342,25
∑:109,13
3288
59847,06
1988,5209
Келесі қалыпты теңдеулер жүйесін жазамыз:
⎩⎨⎧
=+=+
3288613,10906,5984713,10952,1988
baba
Жүйені Крамер əдісімен шығарып, аламыз:
25,328 08,12 1,71443288 13,109
59847,06 52,1988
92,2626 3288
13,109 06,59847 764,21
6 13,10913,109 52,1988
=ΔΔ
==ΔΔ
===Δ
==Δ==Δ
bba ab
a
Сонымен 25,32808,12 += xy , мұнайдың бағасы 1 ақша бірлігіне өскенде акцияның
индексі орташа 12,08 бірлікке өседі.
11 ДƏРІС
11.1. Экономикалық зерттеулерде дербес туындыларды қолдану
Кобба – Дугластың өндірістік функциясын қарастырамыз:
( ) αα −= 12121 , xxAxxf ,
мұнда 1x - капитал, 2x - еңбек. Онда
- 1x арқылы дербес туынды
11
1211
21
11
xf
xxAx
xxAxf ααα
αααα ===
∂∂ −
−−
капиталдың шекті өнімін көрсетеді;
- 2x арқылы дербес туынды
22
121
212
)1(
)1( )1(xf
xxAx
xxAxf ααα
αααα −=−=−=
∂∂ −
−
еңбектің шекті өнімін көрсетеді. Сонымен қатар
( )1
21 ,x
xxf - капиталдың орташа өнімділігі,
( )
2
21 ,x
xxf - еңбектің орташа өнімділігі.
11.2. Функцияның икемділігі
y функциясының x аргументі арқыы икемділігі деп функцияның салыстырмалы өсімшесінің аргументтің салыстырмалы өсімшесіне қатынасының 0→Δx ұмтылғандағы шегін айтады, яғни
( )dxdy
yx
xy
yx
xx
yy
yExx
x limlim00
=ΔΔ⋅=
Δ
Δ
=→Δ→Δ
Икемділік x -тің өсімшесі 1% болғанда y -тің қанша процентке өскенін көрсетеді.
( )nxxxfy ,...,, 21= көпайнымалы функциясының бір аргументі арқылы алынған дербес икемділігі келесі формуламен анықталады:
( )fx
xffE i
ixi
∂∂
=
Олардың қосындысы өндірістің икемділігін береді, яғни
( ) ( )fx
xffEfE i
i
n
i
n
ixx i
1 1 ∂
∂== ∑ ∑
= =
f сұраныстың i -ші бұйымға айқасқан икемділігі j -нші бұйымның бағасы 1
процентке өзгергенде мына формуламен табылады:
( ) j
ii x
ffxfE
j ∂∂
=
1 мысал.
Автомобильге сұраныс функциясы YPPQ бa 1,0431240 +−−= берілген, онда 200=aP - автомобиль бағасы,
100=бP - бензин бағасы, 100=Y - тұтынушы табысы. Табу керек: а) aP бойынша дербес икемділікті,
б) Y жəне бP арқылы айқасқан икемділіктерді ( )QEY жəне ( )QEб .
Шешуі. 250100012501040060012401001,0100420031240 =−=+−−=⋅+⋅−⋅−=Q берілген.
( ) ( ) ( ) 4,25
123543
250200 −=−=−=−=
∂∂
=a
aa P
QQP
QE , яғни автомобиль бағасы 1%-ке
өзгерсе, онда сұраныс 2,4%-ке азаяды.
( ) 04,0251
250101,0
250100 ===⋅=
∂∂
=YQ
QYQEY , яғни егер табыс 1%-ке өзгерсе, онда
сұраныс 0,04%- ке өседі.
( ) ( ) ( ) ( ) 6,1584
524
25104
250100 −=−=−=−=−=
∂∂
=б
бб P
QQP
QE , яғни егер бензин 1%-
ке қымбаттаса, онда сұраныс 1,6%-ке азаяды.
2 мысал. Берілгені: xP =12000 – автобус бағасы yP =18000 – автомобиль бағасы
( ) 22 22, yxyxyxTC ++= - шығын функциясы, мұнда x -автобустар саны, y - автомобильдер саны. Табу керек: 1) TR –автобус пен автомобильдер өндірушінің жалпы табысы 2) PR – жалпы пайда 3) xMC - автобус өндірісінің шекті шығыны yMC - 1000 автобус пен 2000 автомобильдер шығаруға кеткен шекті шығын 4) maxPR болғандағы автомобильдер мен автобустардың оптималды саны. Шешуі.
1) табыс yxyPxPTR yx 1800012000 +=+=
2) пайда ( )yxyxyx
yxyxyxTCTRPR180001200022
22180001200022
22
++−−−=
=++−+=−=
3) шекті шығын
( )
( ) 90002000 ,1000 ,4
60002000 ,1000 ,4
=+=∂∂
=
=+=∂∂
=
yy
xx
MCyxy
TCMC
MCyxx
TCMC
4) ⎩⎨⎧
==
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+−−=∂∂
=+−−=∂∂
40002000
0180004
0120004
yx
yxy
PR
yxx
PR
4 ,1 ,42
22
2
2
−=∂∂
=−=∂∂
∂=−=
∂∂
=yPRC
yxPRB
xPRA
151162 =−=−=Δ BACA >0 – экстремум бар,
4−=A <0, сондықтан max
( ) 480000004000 ,2000 max == PRPR .
3 мысал. xyU = пайдалылық функциясы берілген, онда x -көкөніс өнімінің саны,
y -сүт өнімдерінің саны.
Табу керек: maxU болу үшін 600=Y у.е. шектелген бюджетте x пен y -тің оптималды мəндерін, егер бағалар xP =2 у.е. жəне yP =3 у.е. берілген болса.
Шешуі. 60032 =+ yx болғанда шартты экстремумды іздестіреміз.
Лагранж функциясы: ( )60032 −++= yxxyF λ
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−=−=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−−−=−=
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=+
=+=∂∂
=+=∂∂
y.e. 15000150100
5032
60066
32
60032
03
02
maxUxy
xy
xy
yx
xyF
yxF
λλλ
λλλλ
λ
λ
12 ДƏРІС.
АНЫҚТАЛМАҒАН ЖƏНЕ АНЫҚТАЛҒАН ИНТЕГРАЛДАР
12.1. Анықталмаған интеграл. Интегралдар кестесі Біз бұрын берілген функция бойынша оның туындысын табу есебімен айналыстық.
Енді оған кері есеппен айналысамыз: берілген функцияның туындысы бойынша осы функцияның өзін қалай табуға болады? Бұл механикалық тұрғыдан материалдың нүкте қозғалысының белгілі жылдамдығы бойынша оның қозғалыс заңын табу екенін білдіреді.
Анықтама. Егер )(xF функциясы Δ аралығында дифференциалданса жəне )()( xfxF =′ , Δ∈∀x
орындалса, онда )(xF )(xf (функциясының Δ аралығындағы алғашқы функциясы деп аталады.
(Бұдан əрі ),( ba=Δ деп аламыз. Басқа жағдайлар болса, атап көрсетеміз). Егер )(xF )(xf (функциясының Δ аралығындағы алғашқы функциясы болса, онда
кез келген C тұрақтысы үшін CxF +)( функциясы да )(xf үшін Δ да алғашқы функция болады:
Δ∈∀x , ( ) )()()( xfCxFCxF =′+′=′+ . Анықтама. f функциясының Δ аралығында анықталған барлық алғашқы
функциялардың жиынтығы f функциясының Δ аралығындағы анықталмаған интегралы деп аталады жəне
dxxf∫ )( символымен белгіленеді: ∫ интеграл белгісі, ал )(xf интеграл астындағы функция,
dxxf )( интеграл астындағы өрнек деп аталады. Егер )(xF )(xf функциясының қандай да бір алғашқы функциясы болса, онда
CxFdxxf +=∫ )()( (1) деп жазу қалыптасқан.
Анықталмаған интегралдың негізгі қасиеттерін көрсетейік. 01 . ∫ += CxFxdF )()( . 0
2 . ∫ = .dx)x(fdx)x(fd 03 . а) CdxxfAdxxfA +∫=⋅∫ )()( , A тұрақты, C таңдалып алынған тұрақты
сан; б) Cdxxgdxxfdxxgxf +∫+∫=+∫ )()()]()([ , C таңдалынған тұрақты сан
б)теңдігі интегралдың )(xf функциясына қатысты аддитивтілігі деп аталады. 04 . Егер )(xF )(xf функциясының алғашқы функциясы болса, онда )(1 baxF
a+
)( baxf + (функциясының алғашқы функциясы болады, яғни,
CbaxFa
dxbaxf ++∫ =+ )(1)( .
Дифференциалдау формуласынан шығатын интегралдар кестесін келтірейік. 1. Cdxo =∫
2. Cxdxx ++
=∫+
1
1
α
αα , 1−≠∀α .
3. Cxx
dxdxx +=∫=∫ − ln1 , 0≠∀x .
4. Caln
adxax
x +=∫ , 0>a , 1≠a .
Дербес жағдайы )( ea = Cedxe xx +=∫ . 5. Cxxdx +−=∫ cossin , Cxxdx +=∫ sincos .
6. Ctgxx
dx+=∫ 2cos
, Cctgxx
dx+−=∫ 2sin
,
(интеграл астындағы функциялар нөлге тең емес аралықтарда). 7. Cchxdxshx +=∫ , Cshxdxchx +=∫ ,
мұнда 2
xx eeshx−−
= , 2
xx eechx−+
= .
8. Cthxxch
dx+=∫ 2 ,
9. Ccthxxsh
dx+−=∫ 2
(интеграл астындағы функциялар нөлге тең емес аралықтарда).
10. Caxarctg
aaxdx
+=∫+
122 .
11. Caxax
aaxdx
++−
=−∫ ln
21
22 , ax ≠ .
12. Cax
xadx
+=∫−
arcsin22
, ax < .
13. Caxxax
dx+++=∫
+2
2ln , 02 >+ ax , 0≠a .
12.2. Интегралдау əдістері 1. Ауыстыру (айнымалыны алмастыру) əдісі. Интегралдық есептеулерде айнымалы ауыстыру формуласы ерекше орын алады. Теорема. (интегралдау формулаларының инварианттылығы). )(xu ϕ= кез
келген дифференциалданатын функция болсын. Егер CxFdxxf +=∫ )()( ,
онда CuFduuf +=∫ )()( , )(xu ϕ= (1)
немесе CxFxdxf +=∫ )]([)()]([ ϕϕϕ .
Егер )(tx ϕ= қандай да бір аралықта үзіліссіз дифференциалданатын функция болса, онда
Cdtttfdxxf +′∫=∫ )()]([)( ψψ . (2) 2. Бөліктеп интегралдау. Егер )(xu жəне )(xv функция-лары үзіліссіз
дифференциалданатын функциялар болса, онда Cduvuvdvu +∫−=∫ (3)
немесе (басқа түрде) ∫ ∫ +′−=′ Cdxuvuvdxvu . (4)
Бұл формулалардағы C тұрақтысын (бізге белгілі себептерге байланысты) жазбайды. (3) немесе (4) формулаларын қолданып есептеу бөліктеп интегралдау əдісі деп
аталады.
12.3. Анықталған интеграл анықтамасы, қасиеттері
Анықтама. ],[ ba кесіндісінде )(xfy = функциясы берілсін. а) ],[ ba кесіндісін кез келген
bxxxxa n =<<<<= ...210 нүктелерімен ],[ 1+jj xx , 1,...,1,0 −= nj бөліктерге бөлеміз (оны R бөліктеуі деп атайық);
б) Əрбір ],[ 1+jj xx бөліктен кез келген ],[ 1+∈ξ jjj xx нүктелерін алып f функциясының R -бөліктеуіне сəйкес интегралдық қосындысы деп аталатын
jj
n
jR xff Δξ∑=δ
−
=)()(
1
0, jjj xxx −=Δ +1
қосындыны құрамыз; в) 0max
1,...,1,0
→Δ−= nj
jx ұмтылдырып интегралдың қосындының шегін аламыз.
Егер бұл шек бар болса, онда ол f функциясының ],[ ba кесіндісіндегі анықталған интегралы деп аталады да келесі түрде белгіленеді
∑∫−
=−=→Δ
Δ=1
01,...,00max
)(lim)(n
jjj
njx
b
a
xfdxxfj
ξ , )( ba < . (1)
a мен b сандары анықталған интегралдың, сəйкес, төменгі жəне жоғары шегі деп аталады.
Анықтамада айтылған ],[ ba кесіндісін бөліктеу тəсілі де, ξ нүктесін алу тəсілі де шексіз көп. f функциясының интегралдық қосындысының шегі бар болса, ол осы тəсілдерге тəуелсіз. Басқаша айтқанда, кез келген R -бөліктеу мен ξ -нүктелері үшін алынған шек бір ғана санға тең. Бұл жағдай, əрине, f функциясының сипатына байланысты. Мысалы, f ],[ ba -кесіндісінде үзіліссіз болса, онда оның интегралдық қосындысының шегі бар.
2. Анықталған интегралдардың қасиеттері 10. Егер ],[ bax∈∀ үшін 1)( ≡xf болса, онда
abdxb
a−=∫ . (2)
20. f жəне g ],[ ba кесіндісінде интегралданатын функциялар, BA , -кез келген сандар болса, онда
∫ ∫+∫=⋅+⋅b
a
b
a
b
adxxgBdxxfAdxxgBxfA )()()]()([ (3)
Анықтама бойынша
0)( =∫ dxxfа
a
, (4)
∫−=∫a
b
b
adxxfdxxf )()( , (5)
деп аламыз. 30. Анықталған интегралдың аддитивтік (қосымдылық) қасиеті. Егер кез келген cba ,, сандары үшін f əрбір ],[ ba , ],[ ca жəне ],[ bc кесінділерінде
интегралданатын функция болса, онда келесі теңдік орындалады
∫+∫=∫b
c
c
a
b
adxxfdxxfdxxf )()()( . (6)
40. Егер f пен g ],[ ba кесіндісінде интегралданатын функциялар болса жəне ],[ bax∈∀ , )()( xgxf ≤
теңсіздігі орындалса, онда
∫ ∫≤b
a
b
adxxgdxxf )()( , ba ≤ . (7)
50. Егер f пен f ],[ ba кесіндісінде интегралданатын функциялар болса, онда
dxxfdxxfb
a
b
a∫≤∫ )()( (8)
60. Орта мəн туралы теорема. [a,b] кесіндісінде үзіліссіз )(хf функциясы үшін
,))(()(∫ −=b
a
bafdххf ξ ),( ba∈ξ . (9)
12.4. Интегралдан оның жоғары шегі арқылы туынды алу. Ньютон-Лейбниц формуласы
1-теорема. Егер f ],[ ba кесіндісінде интегралданатын функция болса, онда
∫=x
adu)u(f)x(F
функциясы кез келген ],[ bax∈ нүктесінде үзіліссіз болады. 2-теорема. Егер f ],[ ba кесіндісінде интегралданатын жəне ],[ bax∈ нүктесінде
үзіліссіз функция болса, онда осы x нүктесінде )(xF ′ - туындысы бар жəне
)x(fdu)u(f)x(Fx
a=
′
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∫=′ (1)
Басқаша айтқанда, ],[ ba кесіндісінде үзіліссіз )(xf функциясының осы кесіндіде алғашқы функциясы бар болатыны шығады жəне ол алғашқы функцияның бірі ретінде
∫=x
adu)u(f)x(F алуға болады:
∫ +=∫x
aCdu)u(fdx)x(f , ],[ bax∈ . (2)
f ],[ ba -кесіндісінде үзіліссіз функция, ал )(хΦ оның осы кесіндідегі қандай да бір алғашқы функциясы болса, онда
b
a
b
a
xabdххf∫ Φ=Φ−Φ= )()()()( (3)
теңдігі орындалады. (3) ол Ньютон-Лейбниц формуласы деп аталады. 12.5. Анықталған интегралда айнымалыны алмастыру
жəне бөліктеп интегралдау. 1-теорема (айнымалыны алмастыру туралы). Егер )t(ϕ функциясы ],[ dc
кесіндісінде үзіліссіз дифференциалданатын жəне )(ca ϕ= , )(db ϕ= болып, сонымен бірге )(xf ],[ ba кесіндісінде үзіліссіз функция болса, онда келесі теңдік орындалады
dtttfdxxfd
c
b
a)()]([)( ϕϕ ′∫=∫ (1)
2-теорема. Егер )(xu пен )(xv ],[ ba кесіндісінде үзіліссіз дифференциалданатын функциялар болса, онда келесі бөліктеп интегралдау формуласы орындалады:
∫∫ −=b
a
b
a
b
a
vduuvudv (2)
12.6. Меншіксіз интегралдар
1. Бірінші жəне екінші текті меншіксіз интегралдар. Біз осыған дейін анықталған
интегралдар туралы айтқанда интегралдау аралығы шектелген жəне интеграл астындағы функция осы аралықта шектелген деп қабылдадық. Бірақ анықталған интеграл анықтамасын шексіз интегралдау аралығы үшін жəне шектелмеген функция жағдайына арнап зерттеу қажеттігі жиі кездеседі. Енді осы сұрақтарды қарастырайық.
I. а) f функциясы ),[ +∞a аралығында берілсін; б) f - кез келген ақырлы ],[ ba ′ кесіндісінде (мұндағы ),( +∞∈′ ab
интегралданатын болсын.
Егер dx)x(flimb
ab∫′
∞→′ болса, онда ол шек f функциясының ),a[ ∞ аралығындағы
(бірінші текті) меншіксіз интегралы деп аталады да келесі түрде белгіленеді
dx)x(flimdx)x(fb
aba∫=∫′
∞→′
∞ , (1)
II. а) f шекті ),[ ba аралығында берілген жəне b - нүктесінің маңайында шектелмеген функция;
б) f кез келген ],[ ba ′ кесіндісінде )( bba <′< интегралданатын функция болсын.
Егер ∫′
→′
b
abbdx)x(flim
(2) шегі болса, онда ол шек f функциясының ],[ ba кесіндісіндегі (екінші текті) меншіксіз интегралы деп атайды да оны
∫=∫→′
b
abb
b
adx)x(flimdx)x(f
деп жазылады. (1) жəне (2) интегралдарды жинақты деп атайды.
Егер f функциясы үшін І немесе ІІ шарттың тек бірі ғана орындалса, онда
∫b
adxxf )( (3)
өрнегін жалғыз ерекшелігі b -нүктесінде болатын интеграл деп атайтын боламыз. Осы сияқты жалғыз ерекшелігі a -нүктесінде болатын интегралды да анықтауға
болады. Бұл жағдайда І жəне ІІ шарттар келесі түрде тұжырымдалады: I. а) f функциясы ];( a−∞ аралығында берілген б) f - кез келген ақырлы ],[ ba′ кесіндісінде )( aa <′<−∞ интегралданатын
функция. II. а) f - шекті ],( ba аралығында берілген жəне a -нүктесінің маңайында
шектелмеген функция; б) f - кез келген ],[ ba′ кесіндісінде )( baa <′< интегралданатын функция.
13 ДƏРІС. ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР
13.1. Жалпы түсініктер
Көп жағдайларда физикалық құбылыстарды зерттеу кезінде x -тəуелсіз айнымалы мен y -ізделініп отырған функцияны байланыстыратын заңдылық тікелей табыла бермейді, бірақ осы функция мен оның туындыларының арасындағы байланысты алуға болады. x тəуелсіз айнымалы, y -ізделінетін функция мен оның туындылары:
)(,..., nyyy ′′′ арасындағы тəуелділікті дифференциалдық теңдеу деп атайды. Егер ізделінетін функция жалғыз айнымалыға тəуелді болса, онда дифференциалдық
теңдеу жай (қарапайым) деп аталады, ал функция бірнеше айнымалыға тəуелді болса, онда ол дербес туындылы дифференциалдық теңдеу деп аталады. Біз тек жай дифференциалдық теңдеулерді қарастырамыз, сондықтан да “жай”, “қарапайым” деген сөздерді қосып айтпаймыз.
Кез келген n -ші ретті дифференциалдық теңдеу келесі түрде жазылады 0),...,,,( )( =′ nyyyxF (1)
Мұндағы F -берілген )2( +n -айнымалы, үзіліссіз, дифференциалданатын функция, ал )(xyy = -дифференциалдық теңдеудің шешімі.
Егер (1) теңдеуді жоғары ретті туындыға қатысты шешуге болатын болса, онда
),...,,,( )1()( −′= nn yyyxfy (2) қалыптанған дифференциалдық теңдеу аламыз.
(1)-дифференциалдық теңдеудің, немесе (2)- дифференциалдық теңдеудің шешімі деп қандай да бір ),( ba аралығында n -ші ретке дейінгі ( n -ді қоса алғанда) )(xy′ ,
)(xy ′′ , )()( xy n туындылары бар жəне осы теңдеуді қанағаттандыратын )(xy функциясын айтады.
n -ші ретті дифференциалдық теңдеудің шешімі анықтама бойынща « n » -ретті
туындыларымен бірге қандай да бір ),( ba аралығында үзіліссіз жəне n -ші ретті туындысы бар )(xy -функциясы екен. Біз функцияның n -ші ретті туындысы да ),( ba -да үзіліссіз деп санайтын боламыз.
n -ші ретті дифференциалдық теңдеудің шешімінің сызбасын (графигі) осы теңдеудің интегралдық қисығы деп атайды.
Дифференциалдық теңдеулердің шешімін табу интегралдау процесі арқылы жүретін болғандықтан, дифференциалдық теңдеуді интегралдау деген термин жиі қолданылады.
Дербес жағдайда 1=n болса, онда бірінші ретті дифференциалдық теңдеуді 0),,( =′yyxF (3)
аламыз.
Бұл теңдеу y′ қатысты шешілетін болса, онда келесі қалыптанған бірінші ретті дифференциалдық теңдеуді аламыз:
),( yxfy =′ (4) Теорема (Коши есебінің шешімінің бар жəне оның жалғыз болуы туралы). Егер
),( yxfy =′ , Gyx ∈),(
қалыпты дифференциалдық теңдеудегі ),( yxf функциясы жəне оның yf∂∂
-дербес
туындысы Gyx ∈),( 00 нүктесін қамтитын G -аймағында үзіліссіз болса, онда бұл теңдеудің 0xx = , 0yy = шартын қанағаттандыратын жалғыз )(xy ϕ= шешімі бар.
Бұл теоремадан дифференциалдық теңдеудің (шексіз санды) əр түрлі шешімдері болатынын көреміз: 0xx = болса y -функциясы берілген 0y санына тең болу шартын (алғашқы немесе бастапқы шартты) көбінесе
00
yyxx=
=
түрінде жазады.
),( cxy ϕ= (5) функциясын (3) дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі деп атайды. Мұндағы C параметрдің кез келген мəніне сəйкес алынған )(xyy = функциясы (3)-дифферен-циалдық теңдеудің шешімі болады.
13.2. Интегралданатын бірінші ретті дифференциалдық
теңдеулердің негізгі класы 1. Дифференциал арқылы жазылған дифференциалдық теңдеу. ),( yxM жəне
),( yxN функциялары ),( yx жазықтығының қандай да бір аймағында үзіліссіз болсын. 0),(),( =+ dyyxNdxyxM , ∈),( yx G (1)
өрнегі бірінші ретті дифференциалдық теңдеу деп аталады. Бұл өрнек )(xy функциясына қатысты жəне )( yx функциясына қатысты екі бірінші
ретті дифференциалдық теңдеулерді біріктіріп тұр. 2. Айнымалылары ажыратылған дифференциалдық теңдеулер. Бұл теңдеулер келесі
түрде жазылады dyydxx )()( ψϕ = , ),( ),,( dcybax ∈∈ , (2)
мұндағы )(xϕ пен )(xψ - үзіліссіз функциялар. (2)-түрдегі теңдеулердің жалпы интегралы
∫ ∫ += cdyydxx )()( ψϕ (3) болады.
3. Айнымалылары ажыратылатын теңдеулер. Келесі теңдеуді:
0)()()()( 2211 =+⋅ dyyxdxyx ψϕψϕ (4) айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеу деп атайды. Бұл теңдеудің екі жағын 0)()( 12 ≠⋅ yx ψϕ болатын ),( yx -нүктелерінде )()( 12 yx ψϕ ⋅ көбейтіндісіне бөлсек айнымалылары ажыратылған дифференциалдық теңдеу аламыз:
0)()(
)()(
1
2
2
1 =+ dyyydx
xx
ψψ
ϕϕ .
4. Біртекті теңдеулер. Егер кез келген yx, жəне 0>t үшін
),(),( yxMttytxM m=
теңдігі орындалса, ),( yxM функциясы m -дəрежелі (немесе m -өлшемді) біртекті функция деп аталады.
Егер 0=+ NdyMdx (5) дифференциалдық теңдеуіндегі ),( yxM жəне ),( yxN функциялары бірдей m -дəрежелі біртекті функциялар болса, онда (5)-біртекті дифференциалдық теңдеу деп аталады.
Біртекті (5)-дифференциалдық теңдеуді келесі теңдеуге түрлендіруге болады.
)(xyf
dxdy
= . (6)
Жалпы жағдайда біртекті дифференциалдық теңдеулердің айнымалылары ажыратылмайды. Бірақ оны
uxy= немесе xuy =
алмастыруы арқылы көмекші )(xu функциясын енгізу арқылы айнымалылары ажыратылатын теңдеуге түрлендіруге болады.
Шынында да, dxduxu
dxdy
+=
болады да (6) дифференциалдық теңдеу
)(ufdxduxu =+
немесе uufdxdux −= )( түріне келеді.
5. Сызықтық теңдеулер. )(),( xfxp -функциялары ),( ba аралығында үзіліссіз, ізделінетін функция мен оның туындысына қатысты сызықты,
)()( xfyxpdxdy
=+ , ),( bax∈ (7)
түріндегі теңдеу сызықты дифференциалдық теңдеу деп аталады.
Егер 0)( ≡xf болса, онда
0)( =+ yxpdxdy
(8)
дифференциалдық теңдеуі сызықтық біртекті деп аталады.
Осыған байланысты (7)-біртекті емес дифференциалдық теңдеу деп аталады.
Біртекті дифференциалдық теңдеу айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеу:
dyxpy
dy )(−= , 0≠y ,
∫−= dxxpcy )(ln , 0≠c
∫−⋅= dxxpecy )( , 0≠c .
Бұл жалпы шешіммен бірге 0=y функциясы да (8)-біртекті дифференциалдық теңдеудің шешімі болатынын көру қиын емес. Олай болса, (8)-дифференциалдық теңдеудің шешімдері жалпы шешімдегі 0≠c шартын алып тастау арқылы өрнектелінеді:
∫−= dxxpcey )( (9)
(7)-түрдегі біртекті емес дифференциалдық теңдеу əдетте Бернулли əдісімен шығарады. Бұл əдіс бойынша, ізделінетін )(xy функцияны келесі екі функцияның көбейтіндісі түрінде іздейді:
)()()( xvxuxy ⋅= .
Жалпы шешімі
( )=∫ +=⋅= ∫∫− Cdxexfevuy dxxpdxxp )()( )(
∫ ⋅+⋅= ∫∫∫ −− dxxpdxxpdxxp ecdxexfe )()()( )( (10)
тең болады.
Егер 0=c деп алсақ, онда (10)-тен (7)-біртексіз дифференциалдық теңдеудің дербес шешімін алар едік:
∫= ∫∫− dxe)x(fey dx)x(pdx)x(pg .
Олай болса, біртексіз теңдеудің жалпы шешімі осы теңдеуге сəйкес біртекті дифференциалдық теңдеудің (8) жалпы шешімі мен біртексіз дифференциалдық теңдеудің дербес шешімінің қосындысына тең болады екен.
Ескерту. (7)-біртексіз дифференциалдық теңдеуді тұрақ-тыны вариациалау əдісімен де шығаруға болады. Ол үшін (8)-біртекті теңдеудің (9)-жалпы шешіміндегі c -тұрақтысын x -тің функциясы деп есептеп, оны
∫−= dxxpexcy )()(
өрнегі (7)-біртексіз дифференциалдық теңдеудің шешімі болатындай етіп іздейміз. Бірақ бұл
)(xcu = , ∫−= dxxpev )(
деп алғандағы Бернулли əдісінің өзі болып шығады.
13.3. Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер
1. Жалпы түсініктер мен анықтамалар. n -ші ретті
0),...,,,( )( =′ nyyyxF (1) дифференциалдық теңдеуді қарастырамыз.
(1)-теңдеуді жоғары туындыға қатысты шеше отырып ),...,,,( )1()( −′= nn yyyxfy (2)
аламыз.
Теорема (шешімнің бар жəне оның жалғыз болуы туралы). (2)-теңдеудің оң жағындағы )1( +n -айнымалы )1(,...,,,( −′ nyyyxf ) функциясы жəне оның
)1(,..., , −∂∂
′∂∂
∂∂
nyf
yf
yf -
дербес туындылары ),...,,,( )1(0000−′ nyyyx нүктесінің қандай да бір маңайында үзіліссіз
болсын. Онда ),( ba аралығы жəне осы аралықта анықталған n -рет үзіліссіз
дифференциалданатын, (2)-теңдеуді жəне 00 )( yxy = , )1(
00)1(
00 )(,...,)( −− =′=′ nn yxyyxy (3) бастапқы шарттарды қанағаттандыратын )(xy функциясы табылады. Осы көрсетілген қасиеттерге ие болатын )(xyy = функциясы жалғыз. Сонымен )( xy - дифференциалдық теңдеудің, (3)-бастапқы шарттарды қанағаттандыратын шешімі.
(1) немесе (2)-дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі деп nCCC ,...,, 21 параметрлерінің кез келген мəндерінде ∈),...,,,(( 21 nCCCx () осы дифференциалдық теңдеудің шешімі болатын ),...,,,( 21 nCCCxy ϕ= функциясын айтады.
Жалпы шешімді айқын емес функция ретінде анықтайтын 0),...,,,,( 21 =Φ nCCCyx
теңдеуін дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралы деп атайды. 2. Ретін төмендетуге болатын дифференциалдық теңдеулер. Көп жағдайларда n -
ретті дифференциалдық теңдеулерді жаңа белгісіз функцияларды енгізу арқылы реті төмендетілген дифференциалдық теңдеулерге келтіруге болады. Осындай теңдеулердің кейбір түрлерін қарастырамыз. Алдымен а) )(xfy n = түріндегі, жалпы шешімі n -рет тікелей интегралдау арқылы алынатын теңдеуді атап өтейік:
nnnn
n
CxCxCxCdxdxdxxfy +++++∫ ∫ ∫= −−−
12
21
1 ......)(...321
б)
Ізделінетін функция мен оның )1( −k -ретке дейінгі туындылары құрамында айқын түрде болмайтын:
0),...,,,( )()1()( =+ nkk yyyxF
түріндегі теңдеулердің ретін )()( xpy k = алмастыруы арқылы k -бірлікке төмендетуге болады:
0),..,,,( )( =′ −knpppxF Егер соңғы алынған теңдеудің жалпы шешімі
),...,,,()( 21 knCCCxxp −=ϕ
болса, онда ),...,,,( 21)(
knk CCCxy −=ϕ , яғни,
а) түрдегі тікелей k -рет интегралдау арқылы шешілетін теңдеуге келеміз. в) Құрамында тəуелсіз айнымалы айқын түрде қатыспайтын:
0),...,,( )( =′ nyyyF теңдеуі )(ypy =′ алмастыруы арқылы реті бірге төмендетілген теңдеуге келеді. Бұл
алмастыру үшін dydpp
dxdy
dydpy =⋅=′′ ,
2
22
2
2
2
dypdp
dydpp
dxdy
dypdp
dydp
dxdy
dydpy +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=⋅⋅+⋅⋅=′′′ т.с.с.
орындалады.
14 ДƏРІС. 14.1. Сызықты жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер
1. Негізгі түсініктер. Сызықты жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер келесі
түрде жазылады )()()(...)( 01
)1(1
)( xfyxpyxpyxpy nn
n =+′+++ −− , bxa << (1)
Мұндағы )(xf , ),(xPi 1,...,1,0 −= ni - ),( ba аралығында берілген үзіліссіз функциялар (1)-теңдеудегі ізделінетін )(xy функциясы мен оның туындыларының:
)1(,...,, −′′ nyyy дəреже көрсеткіштері бірге тең, яғни теңдеу )1(,...,, −′ nyyy айнымалыларына қатысты сызықты. (1)-теңдеудің сол жақ бөлігін ][][ yLyLn ≡ арқылы:
yxpyxpyxpyyLyL nn
nn )()(...)(][][ 01
)1(1
)( +′+++≡≡ −−
белгілейік. Оны n -ші ретті дифференциалдық оператор деп атайды. ][ yL -операторы үшін келесі екі қасиет орындалады:
01 . Кез келген C -тұрақты үшін, ][][ ycLcyL = -оператордың біртектілігі; 02 . 21, yy∀ , ][][][ 2121 yLyLyyL +=+ - оператордың аддитивтілігі.
Біртекті жəне аддитивті оператор сызықты оператор деп аталады. Енді (1) теңдеуді келесі ықшам түрде жаза аламыз:
)(][][ xfyLyL n =≡ , bxa << . )1( ′ Егер 0)( ≡xf болса, онда келесі теңдеуді:
0)()(...)( 01)1(
1)( =+′+++ −
− yxpyxpyxpy nn
n , bxa << (2)
немесе 0][ =yLn , bxa << )2( ′
сызықты біртекті n -ші ретті дифференциалдық теңдеу деп аталады (ол )(,...,, nyyy ′ айнымалыларына қатысты біртекті). Осыған байланысты (1)- немесе )1( ′ -теңдеу біртекті емес деп аталады.
1-теорема. Егер myy ,...,1 функциялары (2) - біртекті дифференциалдық теңдеудің
шешімдері болса, онда олардың сызықтық комбинациясы да: k
m
kkmm yCyCyC ∑=++
=111 ...
осы (2) дифференциалдық теңдеудің шешімі болады. Векторлар жүйесіндегі сияқты функциялардың сызықты тəуелділігі туралы
түсінікті енгізейік.
Егер )(),...,(1 xyxy m функцияларының біреуі қалған функциялардың ),( bax∈∀ нүктесінде сызықтық комбинациясы болса, онда бұл функциялар ),( ba аралығында сызықты тəуелді деп аталады. Басқаша айтқанда,
0)(...)(11 ≡⋅++ xyxy mmαα , bxa << (3) тепе-теңдігі орындалатындай, ең болмағанда біреуі нөлге тең емес яғни,
0... 222
21 >+++ mααα
теңдігі орындалатындай mααα ,...,, 21 сандары табылатын болса, онда )(),...,(1 xyxy m функциялары ),( ba аралығында сызықты тəуелді деп аталады.
Егер (3) - тепе-теңдігі тек барлық 0=iα , mi ,...,1= болғанда ғана орындалса, онда
myy ,...,1 - функциялары ),( ba -аралығында сызықты тəуелсіз деп аталады. )(xpi , 1,...,1,0 −= ni -коэффициенттері ),( ba аралығында үзіліссіз (2)-біртекті n -
ші ретті дифференциалдық теңдеудің ),( ba -аралығында сызықты тəуелсіз болатын
)(),...,(),( 21 xyxyxy n шешімдер жүйесін осы теңдеудің фундаментальды (іргелі) шешімдер жүйесі дейді.
2. Функциялардың сызықты тəуелсіздігінің белгілері. Дифференциалдық теңдеулердің жалпы шешімдерінің құрылымы.
2-теорема. Егер )(),...,(1
xyxy m функциялары ),( ba аралығында сызықты
тəуелді жəне олардың )1( −m -ші ретке дейінгі туындылары бар болса, онда Вронский анықтауышы немесе вронскиан деп аталатын келесі m -ші ретті анықтауыш
0
)( ... )(................................)( ... )()( ... )(
)1()1(1
1
1
=′′
−− xyxy
xyxyxyxy
mm
m
m
m
, ),( bax∈∀ (4)
Бұл анықтауыш ],...,[)( 1 myyWxW ≡ символымен белгіленеді. Егер ( ),( ba аралығының ең болмағанда бір ),( baxo ∈ нүктесінде
0),...,,(10
≠yyx mW болса,онда yy m
,...,1
функциялары ),( ba аралығында сызықты
тəуелсіз. Енді сызықты жоғары ретті дифференциалдық теңдеулердің жалпы шешімдерінің
құрамын қарастырайық.
0)()(...)(][ 01)1(
1)( =+′+++= −
− yxpyxpyxpyyL nn
nn , bxa << (2)
біртекті теңдеудің )(xpi -коэффициенттері ),( ba - аралығында үзіліссіз болсын. 3-теорема (біртекті теңдеудің шешімі туралы). Егер nyyy ,...,, 21 функциялары (2)-
біртекті теңдеудің ),( ba -аралығында сызықты тəуелсіз шешімдері, яғни, іргелі шешімдер жүйесі болса, онда
∑=
⋅=n
kkk xyCxy
1)()( , bxa << (5)
kC -кез келген сандар) функциясы осы (2)-теңдеудің жалпы шешімі болады. 4-теорема (біртекті емес теңдеудің жалпы шешімі туралы).
)(][ xfyLn = , bxa << (1) біртекті емес теңдеудің жалпы шешімі осы біртекті емес теңдеудің қандай да бір 0y -дербес шешімі мен 0][ =yLn , bxa << біртекті теңдеудің жалпы шешімінің қосындысына тең:
∑+≡+==
n
kkk yCyxyxyxy
10 )()()( (6)
Мұндағы )(xy - (1)-біртекті емес теңдеуінің қандай да бір дербес шешімі; )(0 xy - біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі.
14.2. Тұрақтыларды вариациалау əдісі (Лагранж əдісі) Біртекті емес сызықты n -ші ретті дифференциалдық теңдеуді:
)()()(...)(][ 01)1(
1)( xfyxpyxpyxpyyL n
nn
n =+′+++= −− (1)
арастырайық. Мұндағы 1,...,1,0),( −= nixpi жəне )(xf функциялары ),( ba -аралығында үзіліссіз.
Егер (1)-теңдеуге сəйкес біртекті 0][ =yLn (2)
теңдеудің іргелі шешімдер жүйесі: nyyy ,...,, 21 белгілі болса, онда (1)-біртекті емес теңдеудің дербес шешімін тұрақтыларды вариациялау əдісі (Лагранж əдісі) бойынша табуға болады. Бұл əдісті сызықты үшінші ретті )3( =n теңдеуге қатысты келтірейік. (1)-теңдеуді 3=n үшін жазайық: )()()()(][ 01̀23 xfyxpyxpyxpyyL =+′+′′+′′′= . (3)
Бұл теңдеуге сəйкес біртекті 0][3 =yL теңдеудің іргелі 321 ,, yyy шешімдері арқылы алынған жалпы шешімі
)()()( 332211 xyCxyCxyCy ++= (4) түрінде жазылатыны белгілі.
(3)-біртексіз теңдеудің шешімін (4)-қосындыдағы 321 ,, CCC - тұрақтыларын қандай да бір үзіліссіз дифференциалданатын )(1 xC , )(2 xC , )(3 xC функциялары ретінде алып осы функцияларды табайық. Ол үшін осы үш белгісіз )(),(),( 1
312
11 xСxСxС функцияларға
қатысты үш теңдеу жүйесін аламыз.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=′′′+′′′+′′′=′+′′+′′
=′+′+′
).(,0
,0
332211
32211
332211
xfyCyCyCCyCyC
yCyCyC (5)
Бұл жүйенің анықтауышы 321 ,, yyy -сызықты тəуелсіз функцияларының Вронскианы, сондықтан ол нөлге тең емес. Демек (Кронекер-Капелли теоремасы) (5)-жүйесінің
321 ,, CCC ′′′ -белгісіздеріне қатысты жалғыз шешімі бар: )(11 xC ϕ=′ , )(22 xC ϕ=′ , )(33 xC ϕ=′ .
Мұндағы )(xiϕ ),( ba -аралығында үзіліссіз функциялар. Бұл туындылардан
∫= dxxxC ii )()( ϕ , 3,2,1=i
аламыз (дербес шешім үшін мұндағы 3,2,1 ,0~ == iCi ). Бұл табылған функцияларды (4)-ке қойып (3)-біртекті емес дифференциалдық теңдеудің дербес шешімін аламыз.
Ескерту. n -ші ретті (1)-дифференциалдық теңдеу үшін (4) жəне (5) қатыстар сəйкес келесі түрде жазылады
)()(1
xyxCy i
n
ii∑=
=; )4( ′
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=′
=′′
=′
∑
∑
∑
=
−
=
=
n
i
nii
n
iii
n
iii
xfxyxC
xyxC
xyxC
1
)1(
1
1
),()()(
..........................
,0)()(
,0)()(
)5( 1
14.3. Сызықты біртекті коэффициенттері тұрақты
n -ші ретті дифференциалдық теңдеулердің жалпы шешімі
Бізге сызықты біртекті ip коэффициенттері тұрақты сандар болатын
0...][ 01)1(
1)( =+′+++= −
− ypypypyyL nn
nn , ∞<<∞− x (1)
түріндегі n -ші ретті дифференциалдық теңдеу берілсін. Бұл теңдеудің дербес шешімдерін kxey = , k -тұрақты сан, түрінде іздейміз. Онда
kxey = , kxkey =′ , ,...,2 kxeky =′′ kxnn eky =)( болады. Бұл мəндерді (1)-теңдеуге қойып
0]...[][ 011
1 =++++= −− pkpkpkeeL n
nnkxkx
n аламыз. Бұдан 0≠kxe болғандықтан
0...)( 011
1 =++++≡ −− pkpkpkkR n
nn
n (2)
шығады. Егер k саны осы алгебралық теңдеудің түбірі болса, онда kxey = - (1)-
дифференциалдық теңдеудің шешімі жəне керісінше kxey = -(1)-дифференциалдық теңдеудің шешімі болса, онда k -саны (2)-алгебралық теңдеудің түбірі болатынын көреміз. (2)-алгебралық теңдеу (1)-теңдеуді сипаттаушы теңдеу деп аталады. Сипаттаушы теңдеуді алу үшін (1)-дифферен-циалдық теңдеудегі )(iy - туындыларын
сəйкес ik -дəрежелерімен алмастырса болғаны )0(( yy ≡ деп есептелген-діктен y -ті
10 =k -ге алмастырады). Керісінше (2)-сипаттаушы теңдеу бойынша (1)-біртекті дифференциалдық теңдеуді тұрғызуға болады. (2)-алгебралық теңдеудің түбірлерінің саны еселігімен қоса алғанда n -ге (теңдеудің үлкен дəреже көрсеткішіне) тең екенін білеміз.
01 . Сипаттаушы (2)-теңдеудің nkkk ,...,, 21 түбірлері əр түрлі (өзара тең емес) сандар болсын. Онда келесі n функциясының:
,11
xkey = ,...,22
xkey = xnkn ey = (3)
əрбіреуі (1)-дифференциалдық теңдеудің дербес шешімі жəне (3)-функциялар );( +∞−∞ аралығында сызықты тəуелсіз болады, олай болса олар (1)-біртекті дифференциалдық теңдеудің шешімдерінің іргелі жүйесін құрайды. Бұл жағдайда (1)-дифференциалдық
теңдеудің жалпы шешімі келесі түрде жазылады xikn
ii eCy ∑=
=1.
(4) Егер ip -коэффициенттері нақты сандар болып (2)-сипаттаушы теңдеудің түбірлерінің
ішінде қандай да бір түбір ik комплекс сан болса: βα iki += , онда қалған түбірлердің
ішінде оған түйіндес βα ikS −= комплекс түбір болуы тиіс. Онда бұл түбірлерге сəйкес келетін
xii ey )( βα+= ,
xiS ey )( βα −=
функциялары (1)-дифференциалдық теңдеудің шешімдері. Сонымен бірге бұл екеуінің кез келген сызықты комбинация-сы да осы (1)-дифференциалдық теңдеудің шешімі болатындықтан
xeeeeeeyy xxixi
xxixiSi βα
ββαβαβα cos
2][
21
21
21 )()( =
+⋅=+=+
−−+ , (5)
xeieeeee
iy
iy
ix
xixixxixi
Si βαββ
αβαβα sin2
][21
21
21 )()( =
−⋅=−=−
−−+ (6)
функциялары да (1)-дифференциалдық теңдеудің шешімдері.
Түрлерін осылай етіп өзгертіп алған (3)-функциялар жүйесі );( ∞−∞ аралығында сызықты тəуелсіз болатынын дəлелдеуге болады.
(5) пен (6) нақты функциялар болғандықтан, көбінесе xii ey )( βα+= , xi
S ey )( βα−= функцияларын осы (5) пен (6)-нақты функцияларына алмастырып отырады.
02 . Сипаттаушы теңдеудің түбірлері əр түрлі емес, олардың арасында өзара тең түбірлері бар болсын: айталық, 1k -түбірі m -еселі болсын. Онда бұларға сəйкес
функциялар xkm eyy 1
1 ... === болады да (3)-жүйе сызықты тəуелсіз бола алмайды. Бұл
жағдайда xkm
xk eyey 111 ,..., == функцияларын сəйкес
xkmm
xkxk exyxeyey 1112
11 ,..., ,..., −=== (7)
функцияларымен алмастырамыз.
(7)-функциялардың əрбіреуі (1)-дифференциалдық тең-деудің шешімі жəне барлық еселі түбірлері осылай етіп алмастырып алынған (3)-жүйе сызықты тəуелсіз болатынын дəлелдеуге болады.
14.4. Оң жақ бөлігі арнайы түрде берілген сызықты, біртекті емес, коэффициенттері тұрақты теңдеулердің дербес шешімі
)(][ xfyLn = -біртекті емес дифференциалдық теңдеудің дербес шешімдерін
табудың Лагранж əдісі бізге белгілі. Бұл əдістегі амалдар ішінде интегралдау амалы да қолданылатынын көрдік. Енді біз біртекті емес дифференциалдық теңдеудің дербес шешімін интегралдау амалын емес, дифференциалдау, сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін шешу сияқты қарапайым амалдарды қолданып табатын анықталмаған коэффициенттер əдісін қарастырамыз. Бұл əдіс біртекті емес теңдеудің оң жақ бөлігі
]sin)(cos)([)( bxxQbxxPexf mmax += (1)
түріне ие болғанда қолданылады. Мұндағы )(),( xQxP nm -сəйкес m -ші жəне n -ші дəрежелі көпмүшеліктер, a мен b - тұрақты сандар.
(1)-өрнектің кейбір дербес түрлері: ,0=a 0=b болса, )()( xPxf m= ;
0=b болса, )()( xPexf max= ;
0=a болса, bxxQbxxPxf nm sin)(cos)()( += ; 0=a , 0)( ≡xQn болса, bxxPxf m cos)()( = ; 0=a , 0)( ≡xPm болса, bxxQxf n sin)()( = , т.с.с.
Егер )(...][ 01
)1(1
)( xfypypypyyL nn
nn =+′+++= −
− , +∞<<∞− x , (2)
ip -тұрақты сандар, біртекті емес теңдеуінің оң жақ бөлігі (1)-түрде берілсе, онда осы дифференциалдық теңдеудің дербес y шешімінің құрылымы да (1) тəріздес, атап айтқанда,
]sin)(cos)([ bxxQbxxPexy SSaxr += (3)
түрінде болатыны дəлелденген. Мұндағы )( ),( xQxP SS - },max{ nmS = -дəрежелі көпмүшеліктер; r -саны 0][ =yLn біртекті теңдеудің 0][ =kRn -сипаттаушы теңдеуінің
iba+ түбірінің еселігі: егер iba + саны сипаттаушы теңдеудің түбірі болмаса, онда 0=r , iba + саны сипаттаушы теңдеудің екі еселі түбірі болса, онда 2=r т.с.с. (3) функцияда тек )( ),( xQxP SS көпмүшеліктерінің коэффициенттерін тапса
болғаны. Оларды табу үшін, y жəне оның туындыларын (2) теңдеуге қойып теңдіктің оң жəне сол жақ бөліктеріндегі ұқсас мүшелердің коэффициенттерін теңестірсек, осы белгісіз коэффициенттерді есептеуге жеткілікті сызықты алгебралық теңдеулер аламыз.
15 ДƏРІС. ҚАТАРЛАР
15.1. Сандық қатарлар жəне оларға амалдар қолдану
,...2,1,0k = индекстеріне тəуелді ku - сандарынан құралған
...uuu 210 +++ (1) өрнегі сандық қатар деп аталады.
(1) - қатарды
∑ ∑∞
=
∞=
0k 0kk uu (2)
деп те жазады. 00 uS = , , ... ,uuS 101 += n10n u...uuS +++= , ,...1,0n = сандары (1) (немесе (2)) қатардың
дербес қосындылары деп аталады. Анықтама бойынша, егер }S{ n - сандық тізбегінің ∞→n нақты мəнді шегі бар:
SSlim nn
=∞→
болса, онда (1) (немесе (2)) қатар жинақты деп аталады. Бұл жағдайда
∑∞
===+++
0kk210 Su...uuu (3)
деп жазады да S - санын қатардың қосындысы деп атайды. Сонымен, əрбір қатарға сандық тізбек сəйкес қойылады екен. Керісінше, əр берілген ∞=0nn }S{ сандық тізбегі бойынша дербес қосындылары дəл сол тізбек болатын қатар құруға
болады: 00 Su = , 011 SSu −= , ,...SSu 122 −= , ,...SSu 1nnn −−=
деп алсақ 00 Su = , 101010 S)SS(Suu =−+=+ , ,...S)SS()SS(Suuu 212010210 =−+−+=++ .
Сөйтіп, қатар дегеніміз сандық тізбектің жаңа түрі ғана. Бұдан мынадай қорытынды жасауға болады: қатар үшін айтылған əр тұжырымды тізбектер тілінде жəне керісінше, тізбектер тілінде айтылған əр тұжырымды қатарлар тілінде айтуға болады.
Коши критерииі бойынша: (1) қатар жинақты болуы үшін əрбір 0>ε саны бойынша барлық Nn > натурал сандары жəне кез келген p - натурал саны үшін
ε<+++=− ++++ pn2n1nnpn u...uuSS теңсіздігі орындалатындай N табылуы қажетті жəне жеткілікті.
Дербес жағдайда, 1p = деп алсақ, онда (1) - қатардың жинақты болуынан оның жалпы мүшесі нөлге ұмтылатыны:
0ulim nn
=∞→
(4) шығады.
(4) - шарт қатардың жинақтылығының қажетті шарты, бірақ ол жеткілікті шарт бола алмайды.
Мəселен, гармоникалық қатар деп аталатын ...
n1...
31
211
n1lim
n+++++=
∞→
қатарының жинақсыз болатынын кейінірек көрсетеміз, алайда, бұл қатар үшін (4) - шарт орындалады:
0n1lim
n=
∞→.
Сонымен, (4) - шарт орындалса, қатардың жинақты не жинақсыз болуы туралы ешнəрсе айта алмаймыз, бірақ егер берілген қатар үшін (4) - шарт орындалмаса, онда ол қатардың жинақсыз болатыны түсінікті.
Келесі қатарды қарастырайық:
∑∞
=+++ =++
1kkn2n1n u...uu . (5)
(1) мен (5) қатарлардың жинақталуының Коши шарты бірдей тұжырымдалатындықтан, олар бір мезгілде екеуі бірдей жинақталады немесе екеуі бірдей жинақталмайды.
Егер олар жинақталса, онда (5) - қатар қосындысы ( )∑
=+
∞→+
∞→−=−=
m
1knnmn
mkn
mSSSSlimulim
тең. (5) - қатар (1) - қатардың қалдығы немесе қалдық мүшесі деп аталады. Сонымен, қатардың жинақты болуы оның ақырлы санды алғашқы (бірақ негізінде кез
келген) мүшелеріне тəуелді емес. Сондықтан, қатарды жинақтылыққа зерттегенде, оның барлық мүшелерін есептеу қажет емес, оның мүшелерін “қандай да бір нөмірінен бастап” алса болғаны.
∑∞
=mnnu орнына, қысқаша ∑
nnu немесе одан да қысқа ∑ nu деп жазады.
Егер (1) - қатардың мүшелері теріс емес сандар болса, онда оның дербес қосындылары кемімейтін тізбек құрайды: ...SSS 321 ≤≤≤ , сондықтан, бұл тізбек шектелген болса: ,...2,1n ,MSn =≤ , онда (1) - қатар жинақты жəне MSSlim n
n≤=
∞→,
ал егер ол тізбек шектелмеген болса, онда +∞=∞→
nn
Slim , яғни, қатар жинақсыз болады. Бұл
жағдайда ∑∞
=∞=
0nnu деп жазады.
Қатарларға амалдар қолдану. Егер ∑∞
0ku жəне ∑
∞
0kϑ жинақталатын қатарлар, α - сан
болса, онда ∑∞
0kuα , ( )∑ ±
∞
0kku ϑ қатарлары да жинақталады жəне
∑∑∞∞
=0
k0
k uu αα , (6)
( ) ∑ ∑∑∞ ∞∞
±=±0 0
kk0
kk uu ϑϑ . (7)
Сандық қатарлардың кейбір қасиеттері 01 . Егер u0+ u1+ u2 (8)
қатары жинақты жəне оның қосындысы S болса, онда оның мүшелерінің орнын өзгертпей кез келген етіп топтастырсақ (жақшаға алсақ), (мысалы,
u0+ (u1+ u2)+ (u3+ u4+ u5) етіп), онда алынған жаңа қатар да жинақты жəне оның да қосындысы S тең болады. Өйткені, жаңа қатардың дербес қосындылары (8) - қатардың дербес қосындыларының жинақты болатын тізбегінің тізбекшесі (ішене тізбегі).
02 . Қатардың жинақты болуы үшін оның əр қалдық қатарының жинақталуы қажетті жəне жеткілікті.
15.2. Теріс емес мүшелі қатарлар
Қатарлардың жинақталуының кейбір белгілері 1 - теорема (қатарларды салыстыру белгісі). Мүшелері теріс емес
1) ∑∞
0ku , 2) ∑
∞
0kϑ
қатарлары берілсін. а) Егер kku ϑ≤ , ,...2,1,0k = ,
онда 2) қатардың жинақтылығынан 1) қатардың жинақтылығы, ал 1) қатардың жинақсыздығынан 2) қатардың жинақсыздығы шығады. б) Егер
0Aulimk
k
k>=
∞→ ϑ, (1)
онда 1) мен 2) қатарлары бір мезгілде екеуі де жинақталады немесе екеуі де жинақталмайды.
2 - теорема (Даламбер) белгілері. Оң мүшелі
∑∞
0ku (2)
қатары берілсін. а) Егер
1qu
uk
1k <=+ , ,...2,1,0k = (3)
онда (2) қатар жинақты; егер 1
uu
k
1k ≥+ , ,...2,1,0k = , (4)
онда (2) қатар жинақсыз. б) Егер q
uulim
k
1k
k=+
∞→, (5)
Онда (2) қатар 1q < болса жинақты, 1q > болса жинақсыз. 3 - теорема (Коши белгісі) Оң мүшелі (2) қатар берілсін. а) Егер
1qukk <= , K,2,1,0k = , (6)
онда (2) қатар жинақты; 1uk
k ≥ , K,2,1,0k = (7) онда (2) қатар жинақсыз.
б) Егер qulim kk
k=
∞→ (8)
да (2) - қатар 1q < болса жинақты, 1q > болса жинақсыз болады. Ескерту. Даламбер жəне Коши белгілері
1u
ulimk
1k
k=+
∞→, 1ulim k
kk
=∞→
, яғни 1q = болса жарамсыз. Бұл жағдайда қатар жинақты да
жинақсыз да бола береді. Осы мағынада бұл екі белгіге қарағанда салыстыру немесе келесі интегралдық белгісі өте қолайлы.
3 - теорема. Егер )x(f функциясы ],0[ ∞ аралығында теріс емес, үзіліссіз жəне өспейтін болса, онда
dx)x(f0∫∞
(9)
меншіксіз интегралы жəне K+++=∑
∞)(f)(f)(f)n(f 210
0 (10)
қатары бір мезгілде жинақты немесе бір мезгілде жинақсыз болады.
15.3. Лейбниц қатары. Абсолютті (дəйекті) жинақты жəне шартты жинақты қатарлар
Егер ka сандары оң: 0ak > , K,2,1,0k = , ол сандар монотонды өспейтін тізбек құраса:
1kk aa +≥ жəне 0alim kk
=∞→
болса, онда
k0k
k3210 a)1(aaaa ∑
∞
=−=+−+− K (1)
қатарын, Лейбниц қатары деп атайды. Теорема. Лейбниц қатары жинақты жəне оның қосындысы
0aS ≤ Егер қатардың мүшелері кез келген таңбалы нақты сандар болса, онда ол қатар таңба
айнымалы деп аталады. Егер қатардың кез келген екі көрші мүшелерінің таңбалары əр түрлі болса, онда оны
таңба ауыспалы қатар дейді. Мысалы, Лейбниц қатары таңбаауыспалы қатар.
Таңбаауыспалы қатар таңбаайнымалы қатардың дербес жағдайы, ал өз кезегінде таңбаайнымалы қатар мүшелері комплекс сандар болатын қатарлардың дербес жағдайы.
Мүшелері комплекс сандар болатын
∑∞
==+++
0kk210 u...uuu (2)
қатары берілсе, оның мүшелері абсолют шамаларынан
∑∞
==+++
0kk210 u...uuu (3)
қатарын құрауға болады. Егер (3) қатар жинақты болса, онда (2) - қатар абсолютті (дəйекті) жинақты қатар
деп аталады. 1-теорема. Абсолютті жинақты қатар жинақты. 2-теорема. Егер абсолютті жинақты қатардың мүшелерін кез келген ретпен орын
ауыстырсақ, онда алынған қатарда жинақты жəне қосындысы алғашқы қатардың қосындысына тең.
Егер (2) қатар жинақты, ал оның мүшелерінің абсолют шамасынан құралған (3) қатар жинақсыз болса, онда (1) берілген қатар шартты жинақты қатар деп аталады.
15.4 Функциялық қатарлар
Мүшелері функциялар (сандар емес) болатын қатарларды қарастырайық.
Анықтама. Мүшелері бір ғана аймақта анықталған (нақты мəнді) )x(ak , K,2,1,0k = функцияларынан құралған
∑∞
==+++
0kkn10 )x(a...)x(a)x(a)x(a K (1)
түріндегі өрнекті функциялық қатар дейді. x - ке белгілі бір мəн берсек, онда (1) - сандық қатарға айналады. Функциялық қатар
туралы ол "жинақты" немесе "жинақсыз" деп айтудың мағынасы жоқ. Өйткені, ол x - тің кейбір мəндерінде жинақты болса, x -тің басқа мəндерінде жинақсыз болуы мүмкін.
Анықтама. (1) - қатардағы x - тің осы қатар жинақты болатын мəндер жиыны (1) - қатардың жинақталу аймағы деп аталады.
Бұл аймақты D арқылы белгілейік. (1) - функциялық қатардың дербес қосындысы - )x(Sn , қосындысы )x(S жəне
қалдығы )x(Rn D - жинақталу аймағында анықталған функциялар. D⊂Δ D аймағындағы қандайда бір аралық болсын.
Анықтама. Егер (1) - функциялық қатардың қалдығының модулінің Δ - дағы ең үлкен мəні ∞→n (ұмтылғанда) нөлге ұмтылса: 0)x(Rmaxlim n
xn=
∈∞→ Δ, онда (1)(функциялық қатар да
бірқалыпты жинақталады дейді. Бірқалыпты жинақталатын қатарлардың қасиеттері 1 - теорема. Егер ∑
∞
=0kk )x(a функциялық қатары Δ - да бірқалыпты жинақты жəне оның
барлық )x(ak мүшелері Δ - да үзіліссіз болса, онда осы қатардың )x(S - қосындысы да Δ - да үзіліссіз.
Ескерту. )x(Rn қалдығы Δ - тың əрбір x - нүктесінде нөлге ұмтылса да, ол Δ - да бірқалыпты нөлге ұмтылмауы мүмкін.
Қатардың бірқалыпты жинақтылығын анықтама бойынша тексеру көбінесе жеңіл болмайды, сондықтан практикада функциялық қатарлардың бірқалыпты жинақтылығының белгілерін пайдаланады.
Анықтама. Егер Δ аралығының əрбір Δ∈x нүктесі үшін kk b)x(a ≤ , Δ∈x (2)
теңсіздігі орындалса, онда
∑∞
=0kkb (3)
сандық қатары )x(a
0kk∑
∞
= (4)
функциялық қатары үшін мажорлаушы (жоғарыдан шектеуші) қатар деп аталады. 2-теорема (Вейерштрасс). Егер (4) - функциялық қатары үшін Δ - да мажорлаушы
(3) қатар бар болса, онда (4) қатар Δ - да бірқалыпты жəне абсолютті жинақты болады. 3-теорема. ∑
∞
0k )x(a функция қатары ],[ βα кесіндісінде бірқалыпты жинақты жəне
оның қосындысы )x(S болсын. Егер қатардың барлық )x(ak мүшелері ],[ βα -де үзіліссіз болса, онда қатардың қосындысының ],[ βα -интегралы қатардың қосылғыштарының интегралдарының қосындысына тең:
∫ ∑ ∫∑∞∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛β
α
β
α0k
0k dx)x(adx)x(a .
4 -теорема. Мүшелері ];[ βα - де үзіліссіз дифференциалданатын ∑∞
0k )x(a функциялық
қатары ];[ βα - де жинақты, )x(S - оның қосындысы болсын. Егер бұл қатардың мүшелерінің туындыларынан құралған
∑∞
′0
k )x(a
функциялық қатары ];[ βα - де бірқалыпты жинақталатын болса, онда ол бастапқы қатардың қосындысының туындысына тең:
′⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=′ ∑∑
∞∞
0k
0k )x(a)x(a .
15.5.Дəрежелік қатарлар. Тейлор қатары
Анықтама. Əрбір мүшесі дəрежелік функция болатын
∑∞
=0k
kk xc (1)
функциялық қатарды дəрежелік қатар деп атайды. Мұндағы kc , ,...2,1,0k = сандары дəрежелік қатардың коэффциенттері деп аталады. Дəрежелік қатар 0x = нүктесінде əрқашанда жинақты. Дəрежелік қатардың жинақталу
аймағын табуға келесі теорема көмектеседі. 1-теорема. (Абель теоремасы). Егер (1) дəрежелік қатар: а) 0x - нүктесінде )0x( 0 ≠ жинақталса, онда ол
0xx < аралығында жинақталады;
б) 1x - нүктеде жинақсыз болса, онда ол
1xx > теңсіздігін қанағаттандыратын барлық x нүктелерінде жинақсыз болады.
Анықтама. (1) - дəрежелік қатар жинақты болатын )x,x( 00− аралығындағы 0x - дің ең үлкен мəні (1) қатардың жинақталу радиусі деп аталады да, ол мəнді R арқылы белгілейді, ал )R,R(− (1) - дəрежелік қатардың жинақталу аралығы деп аталады.
Абель теоремасынан, (1) қатар )R,R(− - аралығында жинақты яғни )R;( −−∞ мен );R( +∞ аралықтарында жинақсыз болатынын көреміз. Ал Rx ±= нүктелеріндегі (1)
дəрежелік қатардың жинақтылығы қосымша зерттеледі.
Егер қатар тек қана 0x = нүктеде жинақты болса, онда 0R = , ал ол x - тің барлық мəндерінде жинақты болса, онда +∞=R деп есептеледі.
Жинақталу радиусін табу үшін Даламбер мен Коши белгілерінен шығатын келесі формулаларды пайдаланады:
1k
k
k cclimR+∞→
= , (2)
k kk c
1limR∞→
= . (3)
2 - теорема. Егер ∑∞
=1k
kk xc дəрежелік қатарының жинақталу аралығы )R;R( − болса, онда
ол қатар осы аралықта жататын кез келген )R;R(];[ −⊂βα кесіндісінде абсолютті жəне бірқалыпты жинақты болады.
Бірқалыпты жинақталатын функциялық қатарлар қасиеттерін дəрежелік қатарларға арнап қарастырайық.
1) Дəрежелік қатардың )x(S - қосындысы )R;R( − - жинақталу аралығында үзіліссіз. 2) (1) - дəрежелік қатардың жинақталу аралығы )R;R( − болсын. Онда кез келген
)R,R(],[ −⊂βα кесіндісі үшін
∫ ∑ ∫ ∑∑∞
=
∞
=
++∞
= +
−==⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛β
α
β
α
αβ0k 0k
1k1k
kk
k0k
kk
1kcdxxcdxxc .
3) (1) - дəрежелік қатардың )R;R( − - жинақталу аралығында (1) - дəрежелік қатардың қосындысының туындысы ол қатардың мүшелерінің туындыларынан құралған дəрежелік қатарға тең:
∑∑∞
=
−∞
==
′⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
0k
1кk
0k
kk kxcxc .
Ескерту. Бұл теңдіктің оң жағындағы дəрежелік қатардың жинақталу аралығы алғашқы (1) - дəрежелік қатардың жинақталу аймағы )R;R( − болады.
4) (1) - дəрежелік қатардың қосындысы оның )R;R( − - жинақталу аралығында шексіз рет дифференциалданады.
Анықтама. Келесі функциялық қатарды
∑∞
=−
0k
k0k )xx(c (4)
центрі 0x нүктесі болатын, ығысылған дəрежелік қатар дейді. Егер yxx 0 =− деп алса, онда ығысылған дəрежелік қатар (1) дəрежелік қатарға
айналады:
∑∞
=0k
kk yc .
Сондықтан, (4) - қатардың жинақталу аралығын )Rx,Rx( 00 +− түрінде жазуға болады да ол осы аралықта дəрежелік қатардың барлық қасиеттеріне ие болады.
Тейлор қатары Анықтама. )x(f - функциясының
...)xx(!n
)x(f...)xx(!2
)x(f)xx(!1
)x(f)x(f)x(f n0
0)n(
20
00
00 +−++−
′′+−
′+= түрінде жазылуын, осы )x(f
функциясының Тейлор қатарына жіктелуі деп атайды. 4) - қасиетті пайдаланып
∑∞
=+−+−+=−=
0k
202010
k0k ...)xx(c)xx(cc)xx(c)x(f (5)
дəрежелік қатарды )Rx,Rx( 00 +− - жинақталу аралығында k - рет дифференциалдасақ
...)xx(c2...k)1k(c!k)x(f 01kk)k( +−⋅⋅⋅++= +
аламыз. Мұнда 0xx = деп алсақ k0)k( c!k)x(f = немесе
!k
)x(fc 0)k(
k = , ,...2,1,0k = (6)
Бұл теңдіктен )x(f функциясының жинақталу аралығында дəрежелік қатарға жіктелуі жалғыз ғана түрде болатынын көреміз.
(6) - ны (5) - ке қойсақ )x(f функциясының )xx( 0− - дəрежесі бойынша Тейлор қатарына жіктелуін аламыз:
k0
0k
0)k(
)xx(!k
)x(f)x(f −= ∑∞
=. (7)
дербес жағдайда, 0x0 = болса, онда k
0k
)k(
x!k
)o(f)x(f ∑∞
== (8)
қатары )x(f функциясының Маклорен қатары деп аталады. f - функциясының )xx( 0− - айырмасының дəрежесі бойынша Тейлор қатары, 0x -
нүктесінің қандай да бір маңайында жинақты жəне тап осы )x(f функциясының өзіне жинақты болу шартын теорема түрінде (дəлелдеусіз) келтіреміз.
Теорема. Егер )x(f - функциясының ]x,x[ 00 δδ +− кесіндісінде кез келген ретті туындылары бар жəне оның Тейлор формуласының қалдығы ∞→n (ұмтылғанда) нөлге ұмтылса
0)x(rlim nn
=∞→
, ]x,x[x 00 δδ +−∈ , (9)
онда f осы кесіндіде f функциясына жинақталатын Тейлор қатарына жіктеледі.
Əдебиеттер тізімі
1. Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш. Кремера. М.: Банки и
биржи. ЮНИТИ, 1997г.
2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. М. Наука, 1987г.
3. Кельтенова Р.Т., Утегалиева Ф.У. Руководство к решению задач по высшей
математике Алматы, Мектеп, 1989г.
4. Казешев А.К., Нурпеисов С.А. Сборник задач по курсу высшей математики для
экономических специальностей, Алматы. Научно-издательский центр «Гылым»,
2002г.
5. Тунгатаров А.Б. Экономикалық мамандықтарға арналған жоғары математика
курсы 1-2 – бөлім “Экономика баспасы”, Алматы, 2001ж.
6. Қазешев А.К., Нурпеисов С.А. Экономикалық мамандықтарға арналған жоғары
математика есептер жинағы, Алматы, «Ғылым баспа орталығы», 2003ж.
7. Теория. Методика решений задач «Математика для экономистов». Алматы,
«Экономика», 2002г.
8. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по ТВ и МС. М., ВШ., 1997г.
9. Жанбырбаев Б.С. Ықтималдықтар теориясы жəне математикалық статистика
элементтері, Алматы, мектеп, 1986ж.
10. Шипачев В.М. Высшая математика, т.1,2, М. Высшая школа, 1985г.
11. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистка. М., ВШ.,
1997г.
12. Қазешев А.Қ., Абенов М.М., Қойлыбаев У.Қ. Ықтималдықтар теориясы жəне
математика статистика элементтері. Алматы, 1996ж.
13. Қазешев А.Қ. Ықтималдықтар теориясы бойынша есептер шығару. Алматы,
1991ж.
14. Нурпеисов С.А., Сатыбалдиев О.С. Экономикалық мамандықтарға арналған
ықтималдықтар теориясы жəне математикалық статистика курсы бойынша 20
лекция, Алматы, 2003ж.
15. Такабаев М.К. Математика для экономистов в примерах и задачах. Алматы,
2003г.