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Corriente Alterna

La corriente alterna debe su nombre aque su forma de onda es sinusoidal,como se muestra en la figura. Estoimplica que la seal crece desde cerohasta un mximo positivo, luegocomienza a decrecer pasando por ceroy llegando a un mximo negativo. Luegovuelve a crecer hasta llegar a cerocompletando un ciclo.

De all se inicia un nuevo ciclo el que serepetir indefinidamente.

La caracterstica de la corrientealterna es que no tiene un valorconstante, sino que vara cclica operidicamente.

1

Algunos valores tpicos de seales sinusoidales

Valor instantneo: Magnitud de una forma de onda en algn instante de tiempo.Se denota por letras minsculas (e1, i2).

Amplitud peak o pico: Valor mximo de una forma de onda medido a partir de suvalor promedio o medio. Se denota por letras maysculas (Vm, Im)

Valor peak o pico: Valor mximo instantneo de una funcin medido a partir delnivel cero.

Valor peak to peak: Denotado por Vp-p o Ep-p, es valor entre los peak positivo ynegativo de la forma de onda

Las ecuaciones de onda del voltaje y la corriente sinusoidales son

v(t) = Vmax sen (t) o i(t) = Imax sen (t)Donde:v(t); i(t) = valores instantneos de voltaje (corriente)Vmax; Imax = valor mximo o amplitud de voltaje (corriente)= frecuencia angular (rad/seg)t = tiempo (seg) 2

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Las ondas de voltaje o corrientessinusoidales son seales que no sedetienen despus de completar un ciclo,sino que continan repitindose mientrasel generador est funcionando.As, cuando se cierra el interruptor en elcircuito de la figura, el valor de la onda devoltaje que se aplica depende del valorinstantneo de la seal de voltaje en elmomento en que se cierra el interruptor.Este instante se toma como tiempo cero yel ste se mide a partir de ese momento.

Angulo de fase inicial

3

e(t) = Emx sen (t)

e(t) = Emx sen (t + )

e(t) = Emx sen (t )

Las ecuaciones anteriores difieren en elngulo que es el ngulo dedesplazamiento respecto al valor cero dela onda. Este ngulo recibe el nombre dengulo de fase inicial o fase de la onda.

Si el desplazamiento es hacia la izquierda,el ngulo de fase es positivo.

Si el desplazamiento es hacia la derecha,el ngulo de fase es negativo.

Angulo de fase inicial

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3

En un circuito elctrico se pueden medir y calcular distintos voltajes ycorrientes, los que pueden estar en fase o desfasados.Dos seales estn en fase si sus ngulos de fase inicial son iguales.Dos seales estn desfasadas si sus ngulos de fase inicial son diferentes.El ngulo de desfase entre dos seales desfasadas es el ngulo relativo entreellas.

Seales elctricas en fase y desfasadas

Seales en fase.Diagrama fasorial ygrfica en el dominio deltiempo

Seales desfasadas.Diagrama fasorial ygrfica en el dominio deltiempo

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Cuando existe un desfase entre dos seales, entonces es posible establecer lacondicin de adelanto o de atraso de una seal respecto de la otra.Si se tienen tres seales desfasadas, su grfica en el dominio del tiempo ser:

Condicin de atraso o adelanto de una seal respecto a otra

Observando la grfica se puede decirque:a) La seal v3(t) est adelantada

(parte antes) respecto a las sealesv2(t) y v1(t)

b) La seal v2(t) est atrasadarespecto de v3(t) y adelantadarespecto de v1(t)

c) La seal v1(t) est atrasadarespecto a las otras dos seales

Dibujando el diagrama fasorial, las sealesquedarn representadas como:Un observador vera pasar primero al fasorv3(t), luego a v2(t) y finalmente a v1(t) , lo queconcuerda con la grfica anterior. 6

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Algebra ComplejaEl lgebra compleja es una herramienta muy til para analizar circuitoselctricos en estado estacionario. Esta lgebra simplifica la operacinmatemtica de las cantidades sinusoidales.

El lgebra compleja est relacionada con los nmeros complejos, los queinvolucran los nmeros reales e imaginarios.

Se define la unidad imaginaria como j = -1 y los nmeros imaginarios se escribenusando esta notacin:

22;1 jj

Se define un eje imaginario sobre el cualse ubican los nmeros imaginarios. Deesta forma, los nmeros complejos seescriben en un plano cartesiano como elde la figura:

93;42 jj

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Algebra ComplejaUn nmero complejo es de la forma z = a + jb. EL componente a se denominaparte real y el componente b se denomina parte imaginaria. Si la parte real escero, entonces el nmero es imaginario puro y si la parte imaginaria es cero,entonces el nmero es real puro.Cualquier nmero complejopuede ser representado enel plano cartesiano, planoortogonal, plano rectangularo plano complejo, ubicandola parte real en el ejehorizontal y la partecompleja en el eje vertical.De esta forma el ejehorizontal se denomina ejereal, y el eje vertical sedenomina eje imaginario.

Ejemplos:Z1 = 4 + j3Z2 = -3 + j2Z3 = 0 + j4Z4 = 2 + j0

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Distintas representaciones de un nmero complejoSi tenemos un nmero complejo de la forma z = a + jb y su representacin en elplano complejo, entonces puede ser definido un vector desde el origen hasta elpunto z. Este vector tiene una longitud (mdulo) y un ngulo respecto del ejereal.

Aunque el vector puede representarse en distintas formas, se usarn slo dos deellas: forma polar y forma rectangular:

z = a + jb = r/Dondea = componente real del nmero complejob = componente imaginaria del nmero complejor= mdulo del nmero complejo = ngulo del nmero complejo, en grados o radianes

Las relaciones entre ellos son:22 bar

abtg 1

cosra

senrb 9

Operaciones aritmticas con nmeros complejosLas operaciones aritmticas posibles de realizar con nmeros complejoscorresponden a la suma, resta, multiplicacin y divisin.

SUMA Y RESTA DE NUMEROS COMPLEJOSPara sumar y restar nmeros complejos, stos se deben representar en su formarectangular.

Sean los nmeros complejos z1 = a1 + j b1 y z2 = a2 + jb2

La suma es: z3 = (a1 + a2) + j(b1 + b2)

y la resta es: z4 = (a1 - a2) + j(b1 - b2)

En consecuencia, para sumar (o restar) nmeros complejos se procede de lasiguiente manera: Sumar (o restar) reales con reales e imaginarios conimaginarios.

Ejercicios: Sumar y restar los nmeros complejos:a) z1 = 2 + j4 y z2 = 5 + j1b) z3 = -3 + j8 y z4 = 2 j3

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Operaciones aritmticas con nmeros complejosMULTIPLICACION Y DIVISION DE NUMEROS COMPLEJOSPara multiplicar y dividir nmeros complejos, stos se deben representar en suforma polar.

Sean los nmeros complejos z1 = r1 /1 y z2 = r2 /2

La multiplicacin es z3 = z1 * z2 = (r1 * r2) /1 + 2

Y la divisin es: z4 = z1/z2 = (r1/r2) /1 - 2

En consecuencia, para multiplicar nmeros complejos se procede de la siguientemanera: Se multiplican los mdulos y se suman los ngulos.Para dividir nmeros complejos se procede de la siguiente manera: Se dividenlos mdulos y se restan los ngulos.

Ejercicios: Multiplicar y dividir los nmeros complejos:a) z1 = 5 /45 y z2 = 8 /72b) z3 = 3 /-37 y z4 = 12 /43

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Respuesta de los elementos pasivos (R, L y C) a corrientes alternas

En un circuito elctrico, siempre existirn elementos activos (denominadasfuentes, ya sean de corriente o de voltaje) que proporcionan energa o potenciaal circuito y elementos pasivos que consumen esta energa o disipan estapotencia. Los elementos pasivos elctricos son la Resistencia (R), la Inductancia(L) y la Capacitancia (C).

Cuando se aplica una seal elctrica de entrada a un elemento, como por ejemplouna corriente, se podr obtener una respuesta de ste en forma de un voltaje.De la misma forma si se aplica un voltaje, la respuesta ser una corriente.

En adelante veremos las distintas respuestas de los elementos pasivos a sealessinusoidales o corrientes alternas. 12

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Respuesta de R a corrientes alternasSi aplicamos una corriente de la forma i = I cos (t + ) a una Resistencia, surespuesta ser

RivR

Tanto el voltaje v como la corriente i tienen lamisma forma de onda, con los mismos ngulos, loque se conoce como v e i en fase. (Se sabe quetienen la misma forma de onda y los mismosangulos, ya que el argumento del coseno es igualtanto para la i como para el vTambin se puede dibujar fasorialmente de laforma:

tRI cos

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Respuesta de L a corrientes alternasCuando aplicamos una corriente de la forma i = I cos (t + ) a una Bobina, lafem de autoinduccin o Inductancia se opondr a las variaciones de la corriente,producindose un desfase entre la corriente y el voltaje.

En la bobina aparece un efecto de oposicin ala circulacin de la corriente denominadoReactancia Inductiva (equivalente a laResistencia), que se mide en y que dependede la frecuencia angular () y de lainductancia (L) de la bobina:

Aqu, la corriente y el voltaje estndesfasados en 90, adelantndose el voltaje ala corriente.

fLLX L 2

ijXv LL 14

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Respuesta de C a corrientes alternasCuando aplicamos una corriente de la forma i = I cos (t + ) a un Condensador,la Capacitancia se opondr a las variaciones de la corriente, producindose undesfase entre la corriente y el voltaje.

En el condensador aparece un efecto deoposicin a la circulacin de la corrientedenominado Reactancia Capacitiva(equivalente a la Resistencia), que se mide en y que depende de la frecuencia angular () y dela capacitancia (C) del condensador:

Aqu, la corriente y el voltaje estn desfasadosen 90, retrasndose el voltaje con respecto ala corriente.

fCCC

X 211

ijXv CC

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Circuito RL serie

Aplicamos una corriente de la forma i = I cos (t + ) a una Resistencia en seriecon una Inductancia (Bobina)

IRVR

IXV LL LR VVV

222222 )()( LLLR XRIIXIRVVV

22LXRZ

RXtg

IRIXtg

VVtg LL

R

L 111

fLXcon L 2

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Circuito RL serieEjemplo: Si a un circuito RL serie, con R = 20 , L = 200 mH, f = 50 Hz yV = 220 V, se le aplica una corriente de la forma i = I cos (t + ),determinar: Z; VR, VL, VT, y dibujar el diagrama fasorial.

7300,6620*3365,3IRVR

9382,658319,6220 2222 LXRZ

011 3,72208319,62

tgR

Xtg L

8319,6210*200*50**22 3fLX L

AmpZVI 3365,3

9382,65220

6386,2098319,62*3365,3LL IXV

Voltaje en adelanto 18

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Circuito RC serieAplicamos una corriente de la forma i = I cos (t + ) a una Resistencia enserie con una Capacitancia (Condensador)

IRVR

CC IXV CR VVV

2222 )()( CCR IXIRVVV

22CXRIV

22CXRZ

RCXtg

IRCIXtg

RVCVtg

111

fCCX

21

19

Circuito RC serieEjemplo: Si a un circuito RC serie, con R = 20 , C = 200 F, f = 50 Hz yV = 220 V, se le aplica una corriente de la forma i = I cos (t + ),determinar: Z; VR; VC; VT; y dibujar el diagrama fasorial.

VoltsIRVR 1460,17220*6073,8

VoltsVC 9895,1369155,15*6073,8

5598,259155,1520 22Z

05,38209155,151

R

CXtg

9155,1510*200*50**2

16C

X

AmpZVI 6073,8

5598,25220

Voltaje en atraso 20

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Circuito RLC serieAplicamos una corriente de la forma i = I cos (t + ) a una Resistencia en seriecon una Inductancia y una Capacitancia

IRVR

CC IXV

2)(2 CXLXRZ RXXtg

IRXXItg

VVVtg CLCL

R

CL

111)(

2)(22)(2)(2)(2 CXLXRICIXLIXIRCVLVRVV

CLR VVVV

IXV LL

21

Circuito RLC serieEjemplo: Si a un circuito RLC serie, con R = 20 , L = 200 mH, C = 200 F,f = 50 Hz y V = 220 V, se le aplica una corriente de la forma i = I cos (t +), determinar: Z; VR; VL; VC; VT; y dibujar el diagrama fasorial.

VoltsIRVR 2720,8620*3136,4

VoltsIXV CC 6531,689155,15*3136,4

0015,512)9155,158319,62(220Z

01 9,66 R

XXtg CL

AmpZVI 3136,4

0015,51220

VoltsIXV LL 0317,2718319,62*3136,4

Voltaje en adelanto 22

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Circuito RL paralelo

Aplicamos un voltaje de la forma v = V cos (t + ) a una Resistencia eInductancia en paralelo

RV

RI

LXV

LI

22

LXV

RVI

2121

LXRVI

21211

LXRZ

LXR

tgRILItg

11

22RILII

23

Circuito RL paralelo

AmpRV

RI 0000,1120220

AmpLX

VLI 5014,38319,62

220

22

8319,621

201

21211

LXRZ

01 7,178319,622011

tgLXRtg

RILItg

Ejemplo: Si a un circuito RL paralelo, con R = 20 , L = 200 mH, se le aplicaun voltaje de la forma v = 220 cos (314t + ), determinar: Z; IR; IL; IT; ydibujar el diagrama fasorial.

0578,19Z

Voltaje en adelanto 24

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Circuito RC paralelo

Aplicamos un voltaje de la forma v = V cos (t + ) a una Resistencia y unaCapacitancia en paralelo

RV

RI

CXV

CI

22

CXV

RVI

2121

CXRVI

21211

CXRZ

CXRtg

RVXV

tgRICItg C 11 1

22CIRII

25

Circuito RC paralelo

22

9155,151

201

21211

CXRZ

01 5,519155,152011 tg

CXRtg

RICItg

Ejemplo: Si a un circuito RC paralelo, con R = 20 , C = 200 F, se le aplicaun voltaje de la forma v = 220 cos (314t + 30), determinar: Z; IR; IC; IT; y dibujar el diagrama fasorial.

4535,12Z

Voltaje en atraso

26

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Circuito RLC paralelo

Aplicamos un voltaje de la forma v = V cos (t + ) a una Resistencia,Inductancia y Capacitancia en paralelo

RV

RI

LXV

LI

CXV

CI

2)(2 LICIRII

211211

LXCXRZ

RZ

ZVRV

IRI cos

27

LC

L

XXRtg

RIICItg 1111

Circuito RLC paralelo

AmpRV

RI 0000,1120220

AmpLX

VLI 5014,38319,62

220

AmpCX

VCI 8230,139155,15

220

211211

CXLXRZ

RZ

IRI cos

Ejemplo: Si a un circuito RLC paralelo, con R = 20 , L = 200 mH, C = 200F, f = 50 Hz y V = 220 V, se le aplica un voltaje de la forma v = V cos (t+ ), determinar: Z; IR; IL; IC; IT; y dibujar el diagrama fasorial.

2

9155,151

8319,6212

2011

Z

5847,14Z

7292,0205847,14cos

RZ

02,43

Voltaje en atraso,pues IC > IL 28

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29

Resonancia de circuitosEn la impedancia del circuito RLC serie,

podemos encontrar tres casos:

2)(2 CXLXRZ

2)(2) CXLXRZa CL XX

2)(2) CXLXRZb CL XX

RZc CL XX )

Circuito inductivo

Circuito capacitivo

LCf

LC

CL

XX CL

21

1

1

0

2

RZc CL XX )

LCf

LC

CL

XX CL

21

1

1

0

2

En el circuito RLC paralelo,

podemos encontrar tres casos:

211211

LXCXRZ

211211)

LXCXRZXXa CL

211211)

LXCXRZXXb CL

f0 = frecuencia de resonancia

Potencia en redes con CA

En general Potencia P = V*I. En un circuito RL, RC o RLC, la potenciaes disipada por la Resistencia R, ya que la inductancia pura o lacapacitancia pura no consumen potencia.

En el diagrama podemos distinguir tres potencias diferentes:

P = VRI Potencia Activa (Watts)Q = VLI Potencia Reactiva (Volt-Amper reactivos,VAr)

(bobina, +Q) Potencia Reactiva Inductiva (VAr inductivo)(condensador, -Q) Potencia Reactiva Capacitiva (VAr capacitivo)

S = VI Potencia aparente (Volt-Amper, VA)

Si consideramos el diagrama fasorial V-I deun circuito RL serie y multiplicamos cadafasor de voltaje por el fasor corriente, eldiagrama queda como se muestra en lafigura.

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Potencia en redes con CA

Se puede ver que el ngulo se mantiene, los fasores pasan a llamarseP, Q, S y el diagrama se denomina P-Q.

En este caso queda:

P = S cos

Q = S sen

El valor cos se denomina factor de potencia

Este diagrama P-Q tambin se llamatringulo de potencias.

Podemos proyectar el fasor S,potencia aparente, sobre los ejes P yQ

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Potencia en redes con CA

Como la potencia til (que hace movermotores, encender iluminaciones, etc.),es la potencia activa, P, entonces sebusca que el ngulo sea pequeo.

La legislacin chilena (D.S. 327, Art.294) indica que el factor de potenciadebe ser mayor al 93%.

Al existir bobinas y condensadores enun circuito, aparece la potenciareactiva Q, la cual debe sercontrolada.

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