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0.1 Einleitung, Grundbegriffe
• Nichtlineare Physik (nichtlineare Dynamik) befasst sich nicht mit bestimmtenPhanomenen (wie Optik, Elektrodynamik,..), sondern mit Methoden und all-gemeinen Eigenschaften der Dynamik. Ahnlich wie statistische Physik, dassist ehe eine Sprache.
• Interdisziplinare Anwendungen: Schaltkreis, Josephson-Kontakte, Laser-Modell,Okologische Systeme, Neuronen-Modelle,. . .
• Historisch gesehen: Entwicklung der Mechanik, Hydrodynamik,Ingenieur-Wissenschaften (Funk), etc. Deswegen sieht man manchmal unter-schiedliche Terminologie.
0.1.1 Dynamische Systeme
Gesetze der Entwicklung sind vorgegeben. Die werden entweder durch DFGl oderdurch Abbildungen beschrieben.
Beispiel 0.1 DFGl, Oszillator mit Reibung
md2x
dt2+ b
dx
dt+ kx = 0
oder, mit x1 = x und x2 = x:
x1 = x2
x2 = − b
mx2 −
k
mx1
Dieses System ist linear.
Beispiel 0.2 Pendel ohne Reibung
x+ g/l sinx = 0
oder
x1 = x2
x2 = −glsinx1
Nichtlinear, viel schwieriger zu losen.
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Geometrische Darstellung, Phasenraum: Losung ist eine Kurve x1(t), x2(t)im Phasenraum (hier Ebene). Heufig konnen wir die Trajektorien in Phasenraumskizzieren, ohne das Gleichungssystem zu losen. Allgemein: System n-ter Ordnung:
x1 = f1(x1, . . . , xn)
x2 = f2(x1, . . . , xn)
. . .
xn = fn(x1, . . . , xn)
Beispiel 0.3 Abbildung: Diskrete ZeitOszillator, periodisch getrieben. Stroboskopische Abbildund der Phase.
0.1.2 Transiente und stationare Losungen
Pendel mit Reibung, van der Pol Gl. Stationare Zustande und Schwingungen. Irre-gulare Schwingungen.
0.1.3 Determinismus und Vorhersagbarkeit
Pierre-Simon, marquis de Laplace: “ Wir mussen also den gegenwartigen Zustanddes Universums als Folge eines fruheren Zustandes ansehen und als Ursache desZustandes, der danach kommt. Eine Intelligenz, die in einem gegebenen Augenblickalle Krafte kennte, mit denen die Welt begabt ist, und die gegenwartige Lage derGebilde, die sie zusammensetzen, und die uberdies umfassend genug ware, dieseKenntnisse der Analyse zu unterwerfen, wurde in der gleichen Formel die Bewegun-gen der großten Himmelskorper und die des leichtesten Atoms einbegreifen. Nichtsware fur sie ungewiss, Zukunft und Vergangenheit lagen klar vor ihren Augen.”
Anfangswertproblem. Genauigkeit der Anfangsbedingung.
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Beispiel 0.4 Bernoulli-AbbildungVariable x, 0 ≤ x ≤ 1.
xn+1 = 2xn mod 1
Hier y mod 1 Operation bedeutet: y > 1 → y − 1, y ≤ 1 → y.Das System ist deterministisch: x0 bestimmt eindeutig die Zukunft. Die Frage:
Sei x0 < 0.5; ist nach 200 Schritte x > 0.5 oder x < 0.5? Schreiben wir x imDualsystem (Binarsystem):
x =∞∑
i=1
ai2−i = 0.a1a2a3 . . .
mit ai = 0, 1. Dann2x = a1.a2a3 . . .
Z.Bx = 0.001100 . . . 2x = 0.01100 . . .
Hier 2x mod 1 bedeutet: a1 = 1 → a1 = 0 und a1 = 0 → a1 = 0. Eine Iteration derAbbildung = Verschiebung nach links:
0.a1a2a3 . . . → 0.a2a3a4 . . .
Nach 200 Schritte: 0.a201a202 . . .. Moderne Rechner sind nicht so prazis.
Beispiel 0.5 Chaos: Doppelpendel
0.1.4 Autonome und nichtautonome Systeme
Beispiel 0.6 Erzwungene Schwingung
md2x
dt2+ b
dx
dt+ kx = F cos t
Um eine eindeutige Losung zu bekommen, brauchen wir 3 Werte: x, x, und t =⇒Der Phasenraum ist 3-dim. Mit x1 = x, x2 = x und x3 = t
x1 = x2
x2 = − b
mx2 −
k
mx1 + F/m cos x3
x3 = 1
Das System mit der explizite Zeitabhangigkeit ist 3-dim.
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Beispiel 0.7 Van der Pol, extern getrieben. Synchronisation.
0.1.5 Bifurkationen
Abhangigkeit von einem Parameter, qualitative Anderung des Verhaltens. Beispiele:Balken - Masse, Wasserhahn...
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Kapitel 1
Phasenraum: Linie
In Mechanik: verallgemeinerte Koordinaten qi, Lagrangesche Gl
d
dt
∂L
∂qi=∂L
∂qi.
Anfangswerte: qi(0), qi(0).Allgemeines dynamisches System
x1 = f1(x1, . . . , xn)
x2 = f2(x1, . . . , xn)
. . .
xn = fn(x1, . . . , xn)
Anfangswerte: xi(0). Dis Losung kann man durch Trajektorien, die durch den n-dim.Phasenraum mit Koordinaten x1, x2 . . . , xn fliessen, darstellen.
Wir fangen mit einem 1-D System oder System der ersten Ordnung an:
x = f(x) .
x(t) ist reell, f(x) ist reell und glatt. Keine explizite Zeitabhangigkeit: das Systemf = f(x, t) ist schon ein System zweiter Ornung und wird spater behandelt.
1.1 Geometrische Darstellung
Interpretation der DfGl als Vektorfluss. Die nichtlineare Gl
x = sinx
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ist eine der wenigen, die losbar sind.
dt =dx
sinx=⇒ t = − ln
∣
∣
∣
∣
1 + cos x
sinx
∣
∣
∣
∣
+C
Anfangsbedingung: x(0) = x0
=⇒ C = ln
∣
∣
∣
∣
1 + cos x0sinx0
∣
∣
∣
∣
=⇒ t = ln
∣
∣
∣
∣
(1 + cos x0) sinx
sinx0(1 + cos x)
∣
∣
∣
∣
Exact, aber schwer zu interpretieren. ZB Frage: qualitatives Verhalten fur x0 = π/4?Was passiert wenn t → ∞? Formel hilft nicht viel, geometrisch aber sehr einfach.x > 0 =⇒ Fluss nach rechts, x < 0 =⇒ Fluss nach links. Gleichgewichte(Fixpunkte), stabile (attractors, Senken) und instabile (repellers, Quellen).
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1.2 Fixpunkte und deren Stabilitat
Allgemein, Fixpunkte werden durch f(x∗) = 0 bestimmt. Phasenportrait. Fixpunktist unstabil wenn kleine Storungen wachsen und stabil, wenn die abfallen.
Beispiel 1.1 Fixpunkte von x = x2 − 1.Lsg: x∗ = 1 instabil, x∗ = −1 stabil. Bemerkung: lokale vs. globale Stabilitat. Hier:x∗ = −1 ist nur lokal stabil.
Beispiel 1.2 Schaltkreis.
Kirchhoff’sches Gesetz:
V0 = RI +Q
CV0 = RQ+
Q
C=⇒ Q = f(Q) =
V0R
− Q
RC
Fixpunkt f(Q∗) = 0, Q∗ = CV0 ist (global) stabil.
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Beispiel 1.3 Phasenportrait fur x = x− cosx. Ein Fixpunkt, instabil.
Beispiel 1.4 Populationsdynamik
Einfachstes Model: N = rN mit r > 0, exponentiales Wachstum. So kann es nichtgehen =⇒ r soll von N abhangig sein, und zwar mit N abfallen. Logistische Gl:
N = rN(1−N/K)
mit K = const (Kapazitat der Population) (Verhulst, 1838). Die Gl. ist losbar, aberwir machen es geometrisch. Fixpunkte 0 (instabil) und K (stabil). Mit x = N/K,0 ≤ x ≤ 1 schreiben wir die Gl. um:
x = rx(1− x)
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1.3 Lineare Stabilitatsanalyze
Quantifizierung der Stabilitat. Linearisierung. Sei x∗ ein Fixpunkt und η(t) = x(t)−x∗ eine kleine Storung.
η =d
dt(x− x∗) = x = f(x) = f(x∗ + η)
Taylor-Reihe:f(x∗ + η) = f(x∗) + ηf ′(x∗) +O(η2)
Fur Fixpunkt f(x∗) = 0 =⇒
η = ηf ′(x∗) +O(η2)
Wenn f ′(x∗) 6= 0 dann η wachst (fallt ab) fur positive (negative) f ′(x∗). 1/f ′(x∗) istdie charakteristische Zeit.
Beispiel 1.5 x = sinxFixpunkte x∗ = kπ. f ′(x∗) = cos kπ, gerade k: instabil, ungerade k: stabil. Stimmtmit der geometrischen Uberlegung uberein.
Beispiel 1.6 Logistische Gl.Hier f(N) = rN(1−N/K) mit Fixpunkten N∗ = 0 und N∗ = K.
f ′(N) = r − 2rN/K f ′(0) = r f ′(K) = −r =⇒
N∗ = 0 ist instabil, N∗(K) ist stabil. Charakteristische Zeit 1/|f ′(N∗)| = 1/r.
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Beispiel 1.7 Fall f ′(x∗) = 0Was kann man uber Stabilitat eines Punktes sagen, falls f ′(x∗) = 0 ist? Allgemeinnichts. Beispiele:
(a) x = −x3 (b) x = x3 (c) x = x2 (d) x = 0
1.4 Existenz und Eindeutigkeit
Anfangswertproblem:x = f(x) x(0) = x0
Theorem: Sei f(x) und f ′(x) stetig im Intervall und sei x0 ein Punkt im offenenIntervall. Dann Anfangswertproblem hat eine Losung im Intervall (−τ, τ) um t = 0,und diese Lsg ist eindeutig.
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Beispiel 1.8 2 Losungen
x = x1/3 x0 = 0
f ′(0) → ∞ =⇒ keine Eindeutigkeit. x(t) = 0 und (2t/3)3/2 sind Lsg.
Beispiel 1.9 Blow-upTheorem besagt nicht, dass die Lsg immer existiert.
x = 1 + x2 x0 = 0∫
dx
1 + x2=
∫
dt =⇒ arctan x = t+ C
Mit x0 = 0 =⇒ C = 0 =⇒ x(t) = tan(t).Die Lsg existiert nur fur −π/2 < t < π/2, weil x → ±∞ fur t → ±π/2. Blow-upEffekt.
1.5 Keine Schwingung in einer Dimension
Nur Fixpunkte, monotone Bewegung zum Fixpunkt. Keine gedampfte oder un-gedampfte Schwingung.
1.6 Potential
Andere Darstellung: Teilchen im Potential; starke Dampfung. Potential
f(x) = −dVdx
dV
dt=dV
dx
dx
dt
dx
dt= f(x) = −dV
dx=⇒ dV
dt= −
(
dV
dx
)2
≤ 0
Das Teilchen bewegt sich immer zum Minimum des Potentials.
Beispiel 1.10 Doppelmuldepotential
x = x− x3 =⇒ V = −1
2x2 +
1
4x4 +C
C ist unbedeutend, also C = 0. x = ±1: stabile Gleichgewichtlage; x = 0: instabileGleichgewichtlage. Das System ist bistabil.
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Kapitel 2
Bifurkationen
Abhangigkeit der Dynamik vom Parameter. Bifurkation: qualitative Anderung derDynamik. Entsprechende Parameterwerte: Bifurkationspunkte.
Beispiel 2.1 Beugung eines Balken.
2.1 Sattel-Knoten Bifurkation
Erzeugung und Vernichtung von Fixpunkten. Sei r ein Parameter und
x = r + x2
Fixpunkte x = ±√−r fur r < 0. Bifurkationsdiagramm.
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Beispiel 2.2 x = r − x2
Fixpunkte x∗ = ±√r. Lineare Stabilitat: f ′(x∗) = −2x∗ =⇒ x∗ =
√r ist stabil
und x∗ = −√r ist instabil.
Beispiel 2.3 x = r − x− e−x
Geometrische Betrachtung. Bifurkationspunkt aus der Bedingung:
e−x = r − x undd
dxe−x =
d
dx(r − x) =⇒
=⇒ −e−x = −1 =⇒ x = 0 =⇒ r = 1
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2.1.1 Normalform
Die Bespiele x = r±x2 sind typisch. Nah zur Bifurkation ist die Kurve≈ parabolisch:
x = f(x, r) = f(x∗, rc)+(x−x∗) ∂f∂x
∣
∣
∣
∣
(x∗,rc)+(r−rc)
∂f
∂r
∣
∣
∣
∣
(x∗,rc)+1
2(x−x∗)2 ∂
2f
∂x2
∣
∣
∣
∣
∣
(x∗,rc)
+. . .
Erste zwei Terme verschwinden (Fixpoint, Minimum):
x = a(r − rc) + b(x− x∗)2 + . . .
mit a =∂f
∂r
∣
∣
∣
∣
(x∗,rc)und b = 1
2
∂2f
∂x2
∣
∣
∣
∣
∣
(x∗,rc)
. Wir nehmen an, dass a, b 6= 0 (das wahre
ein Sonderfall).
2.2 Transkritische Bifurkation
Fixpunkt existiert immer, aber deren Stabilitat kann geandert werden. Z.B., in derlogistischen Gl. x = rx(1−x) ist x = 0 immer die Lsg, kann aber stabil oder instabilsein. Normalform
x = rx− x2 , Fixpunkte x∗ = 0 x∗ = r .
Beispiel 2.4 Gl. x = x(1− x2)− a(1− e−bx)Zu zeigen ist, dass die Gl. eine transkritische Bif. um x = 0 hat, wenn a, b bestimm-te Bedingung erfullen. Diese Bedingung bestimmt die Bifurkationskurve in der a, bEbene.
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x = 0 ist ein Fixpunkt fur alle a, b. Fur kleine x
1− e−bx = 1− [1− bx+1
2b2x2 +O(x3)] = bx− 1
2b2x2 +O(x3)
x = x− a(bx− 1
2b2x2) +O(x3) = (1− ab)x+
ab2
2x2 +O(x3)
Trkr. Bif. findet bei ab = 1 statt. Zweiter Fixpunkt ist die Lsg der Gl
1− ab+ab2
2x ≈ 0 =⇒ x∗ ≈ 2(ab− 1)
ab2
Das stimmt nur fur kleine x∗, also when ab nah zu 1 ist.
Beispiel 2.5 Gl. x = r lnx+ x− 1Zu zeigen ist, dass die Gl. eine transkritische Bif. um x = 1 hat.
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x = 1 ist Fixpunkt fur alle r. Neue (kleine) Variable: u = x− 1
u = x = r ln(1 + u) + u = r[u− 1
2u2 +O(u3)] + u ≈ (r + 1)u− 1
2ru2 +O(u3)
Trkr. Bif. findet bei rc = −1 statt.Wir bringen die Gl. zur Normalform. Sei u = aν (a noch unbekannt).
ν = (r + 1)ν − ra
2ν2 +O(ν3)
Wir wahlen: a = 2/r, dann:
ν = (r + 1)ν − ν2 +O(ν3)
Mit R = r + 1 und X = ν = u/a = 12r(x − 1) wir bekommen X ≈ RX − X2.
Bemerkung: man kann auch die Transformation zur Normalform exakt finden.
2.2.1 Schwelle der Lasergeneration
Einfaches Modell von H. Haken (1983). Optisches Pumpen (optische Anregung).Ubergang: Lampe → Laser.
Sei n(t) Anzahl von Photonen im Laserfeld und sei N(t) Anzahl von angeregtenAtomen. Stimulierte Emission ∼ nN .
n = gain − loss = GnN − kn
Hier G, k sind positive Konstanten. Annahme: Ohne Laserstrahlung wahre N = N0
wegen Pumpen. Wegen Radiation wird N kleiner:
N(t) = N0 − αn
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wobei α > 0 die Rate der Emission bestimmt. Dann
n = Gn(N0 − αn)− kn = (GN0 − k)n− (αG)n2
Die ubliche 1D Gl, aber nur n > 0 eine physikalische Bedeutung hat.Fur N0 < k/G Fixpunkt n∗ = 0 ist stabil, d.h. keine stimulierte Emission.
Trnskr. Bif. findet um N0 = k/G statt. Fur N0 > k/G gibt es ein stabiler Fixpunktn∗ = (GN0 − k)/αG > 0.
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2.3 Pitchfork-Bifurkation (Gabelbifurkation)
Typisch in physikalischen Systemen mit Symmetrie. Zwei Typen. Bsp: Balken-Masse.
2.3.1 Superkritische Bifurkation
Normalform:x = rx− x3
Wichtig: diese Gl. ist invariant bezuglich Reflektion x→ −x.
Ursprung ist stabil fur r < 0. Fur r = 0 immer noch stabil, aber die Storungenfallen langsam ab (nicht exponentiell). Fur r > 0 zwei stabile Fixpunkte x∗ = ±√
r.Bif. diagramm.
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Beispiel 2.6 Gl. x = −x+ β tanhxDiese Gl. findet man in der stat. Mech. (Modellen von Magnetismus) und in derTheorie der neuronalen Netzen
tanhx =ex − e−x
ex + e−x= 1− 2
e2x + 1=⇒ → ±1 fur x→ ±∞
Ableitung im Nullpunkt:
tanhx =sinhx
cosh x=⇒ d(tanh x)
dx=
1
cosh2 x
Steigung im Nullpinkt ist 1 =⇒ Bifurkation fur β = 1. Um Fixpunkte zu finden,
betrachten wir x∗ als unabh. Variable, dann β = x∗/ tanh x∗. Bif.diagramm:
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2.3.2 Subkritische Bifurkation
x = rx+ x3
Bif.diagramm: Nicht-triviale Fixpunkte x∗ = ±√−r existieren nur fur r < 0 und
sind instabil. Fur r > 0 die Lsg → ±∞. In Realitat wirken dann die hohere Terme.Unter Bedingung der Symmetrie x→ −x, schreiben wir:
x = rx+ x3 − x5
Bemerkungen:
1. Im Intervall rs < r < 0 gibt es 3 Lsg. =⇒ Multistabilitat. Fixpunkte sindnur lokal stabil.
2. Hysteresis. Sprunge.
3. Sattel-Knoten Bif. um rs.
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2.4 Uberdampfte Masse auf dem rotierenden Kreis
Sehr starke Reibung. Rotation um die vertikale Achse, Rotationsgeschw. ω.
mrφ = −bφ−mg sinφ+mrω2 sinφ cos φ
Das ist die Gl. zweiter Ordnung, aber wenn die Reibung stark ist, dann wird dieseGl. vereinfacht.
2.4.1 Dimensionslose Formulierung
Wenn alle Terme dimensionslos sind, dann ist es klar, welche klein sind (≪ 1). Wirwollen auch die Anzahl von Parameters reduzieren. Man kann es unterschiedlichmachen, es ist nicht immer sofort klar, wie man das am besten macht. Neue Zeit:
τ =t
T
wobei T eine frei wahlbare Zeitskala ist. Dann
φ =dφ
dτ
dτ
dt=
1
T
dφ
dτund φ =
1
T 2
d2φ
dτ2
Die Gl. wird jetzt:
mr
T 2
d2φ
dτ2= − b
T
dφ
dτ−mg sinφ+mrω2 sinφ cosφ
21
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Dividieren durch mg
(
r
gT 2
)
d2φ
dτ2= −
(
b
mgT
)
dφ
dτ− sinφ+
(
rω2
g
)
sinφ cosφ
Alle Koeff. sind jetzt dimensionslos. Wir wahlen
T =b
mg=⇒ b
mgT= 1
Dann:r
gT 2=r
g
(
mg
b
)2
= ε b2 ≫ m2gr =⇒ ε≪ 1
εd2φ
dτ2= −dφ
dτ− sinφ+ γ sinφ cosφ
mit γ = rω2/g. Grenzfall ε→ 0: wir bekommen 1D-system
dφ
dτ= f(φ) = sinφ(γ cosφ− 1)
2.4.2 Analyze des 1D-Systems
φ∗ = 0 und φ∗ = π sind immer Fixpunkte. Nichttriviale Fixpunkte:
φ∗ = ± arccos(g/rω2) = ± arccos(1/γ)
existieren wenn γ > 1. Graphische Losung der Gl.:
Superkritische Pitchfork-Bifurkation um γ = 1. Symmetrie-Brechung.
22
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2.4.3 Diskussion: Schnelle und langsame Bewegung
Volles 2D System braucht 2 Anfangsbediengungen; reduziertes System aber nur eine.Ist es ein Widerspruch?
Betrachten wir das volle 2D System εφ′′ = −φ′ + f(φ). Sei φ′ = dφ/dτ = Ω.Dann die Gl ist εΩ′ = f(φ)− Ω, wir schreiben die als 2D System
φ′ = Ω
Ω′ = (f(φ)− Ω)/ε
Losung:
Schnelle und langsame Bewegung. Kurve C : f(φ)− Ω = 0, oder φ′ = f(φ) (1DDynamik). Sei f(φ)− Ω ≈ O(1), dann Ω′ = O(1)/ε ≫ 1.
23
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2.5 Imperfekte Bifurkationen und Katastrophen
Pitchfork-Bifurkation findet in Systemen mit Symmetrie statt. Was passiert wenndie Symmetrie nicht perfekt ist?
x = h+ rx− x3
Hier h charakterisiert wie perfekt das System ist. Wir analysieren die Gl. graphisch.Sattel-Knoten Bif. auftritt, wenn die Linie y = −h tangential zu y = rx − x3 ist.
Stelle des Maximums:
d
dx(rx− x3) = r − 3x2 = 0 =⇒ xmax =
√
r/3
Funktion an dieser Stelle:
rxmax − (xmax)3 =
2r
3
√
r/3
Fur Minimum das gleiche mit Minus.Also, die Sattel-Knoten Bif findet statt wenn h = ±hc(r) mit
hc =2r
3
√
r/3
D.h., die Gl hat 3 Fixpunkte fur |h| < hc und 1 Punkt fur |h| > hc.Bifurkationslinien in r, h-Ebene, Stabilitatsdiagramm. Cusp-Point. Kodimension-
2 Bif.Bif.diag. x∗ vs. r fur h = const.Bif.diag. x∗ vs. h fur r = const.Katastrophen.
24
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Beispiel 2.7 Masse auf der schragen StangeSei L0 die entspannte Lange der Feder.
Sei zuerst θ = 0 (perfekte Symmetrie), dann x = 0 ist immer ein Fixpunkt.Wenn L0 < a ist, dann ist der Punkt stabil, sonst instabil. Dann gibt es auch zweisymmetrische stabile FP. Wir erhohen langsam θ. Sei die Masse ursprunglich links,dann wenn θ gross genug ist, springt die runter.
2.6 Insekten-Population. Insektenpest
Ludwig et al 1978, 79 (J. Anim. Ecoll, J. Math. Biol.) East Kanada. Spruce budworm,balsam fir tree. Pest: fast alle Baume sterben in ca. 4 Jahren. Das Modell:
N = RN(1−N/K)− p(N)
p(n) beschreibt wie viele Insekten von Vogel gefressen werden. Ludwig et al. habenangenommen:
p(N) =BN2
A2 +N2
Insekten: schnelle Anderung; Wald: langsame Anderung. Wir zeigen, dass bei lang-samer Variation eines Parameters die Anzahl von Insekten sprunghaft grosser wird.
2.6.1 Einheitsfreie Formulierung
Wir dividieren durch B und setzen x = N/A. Dann
A
B
dx
dt=R
BAx(1−Ax/K)− x2
1 + x2
27
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Wir nehmen zuerst K = const (langsame Zeitskala). Umskalieren der Zeit: τ = BA t
(τ ist einheitsfrei). Einheitsfreie Konstanten
r =RA
Bk =
K
A
Danndx
dτ= rx(1− x/k) − x2
1 + x2
Hier r und k sind einheitsfreie Wachstumrate und Kapazitat.
2.6.2 Fixpointsanalyse
Einfach zu zeigen: x∗ = 0 ist immer instabil. Andere Fixpunkte:
r(1− x/k) =x
1 + x2
Rechte Seite ist parameterfrei - das war die Idee der Umschreibung der Gleichung.Fur kleine k gibt es nur eine Lsg. Fur grossere k kann 1,2, oder 3 Lsg geben.
Sattel-Knotten Bif. Falls die Parameter sich andern und Fixpunkt a verschwindet,dann springt x zu c (Katastrophe). Hysteresis: sogar wenn die Parameter werdenruckwerts variiert, bleibt das System im Zustand c.
2.6.3 Bifurkationskurven
Parametrische Darstellung k(x), r(x), wobei x alle positive Werte annehmen kann.Bedingung der Sat-Kn-Bif:
r(1− x/k) =x
1 + x2
28
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undd
dx[r(1− x/k)] =
d
dx
x
1 + x2
Das gibt:
− rk=
1− x2
(1 + x2)2
Wir setzen r/k in die erste Gl ein:
r =2x3
(1 + x2)2
Jetzt ersetzen wir r in der Gl fur r/k:
k =2x3
x2 − 1
29
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k soll > 0 sein, =⇒ x > 1. Wir plotten jetzt k(x), r(x) fur x > 1 in der (k, r)Ebene.
30
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Kapitel 3
Phasenraum: Kreis
Vorher: x = f(x), Phasenraum war eine Gerade. Jetzt sei θ = f(θ), mit 0 ≤ θ ≤ 2π.Phasenraum: Kreis. Einfachstes Modell eines Oszillators.
Beispiel 3.1 θ = sin(θ)
Fixpunkte θ∗ = 0 (instabil) und θ∗ = π (stabil). Wir haben fruher x = sinx, das
ist gleich, aber einfacher zu interpretieren.
Beispiel 3.2 θ = θWarum kann man die Gl
θ = θ
nicht als Vektorfluss langs einen Kreis betrachetn? Geschw. θ nicht eindeutig defi-niert.
Vektorfluss langs einen Kreis soll eindeutig die Geschw. zu jedem Punkt desKreises zuordnen. Das bedeutet: f(θ + 2π) = f(θ).
31
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Beispiel 3.3 Schwingung
Sei θ = ω. Man kann θ als Phase interpretieren.
Beispiel 3.4 SchwebungZwei Joggers, A und B, Kreisstaduim. Umlaufperioden T1 < T2. Starten gleichzeitig,wann treffen sie wieder? Phasendifferenz φ = θ1 − θ2, φ = ω1 − ω2.
TS =2π
ω1 − ω2=
(
1
T1− 1
T2
)−1
Modell der Schwebung.
Beispiel 3.5 θ = ω − a sin θ mit ω > 0, a > 0Sattel-Kn-Bif um a = ω. Fixpunkte:
32
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sin θ∗ = ω/a =⇒ f ′(θ∗) = −a cos θ∗ = ∓√
1− (ω/a)2
Fixpunkt mit cos θ∗ > 0 ist stabil.
Beispiel 3.6 Periode der Schwingung fur a < ω.
T =
∫
dt =
∫ 2π
0
dt
dθdθ =
∫ 2π
0
dθ
ω − a sin θ
Mit der Substitution u = tan θ/2, sin θ = 2 tan(θ/2)/(1 + tan2(θ/2))
T =2π√
ω2 − a2
Fur a = 0, T = 2π/ω und T → ∞ wenn a→ ω. Fur a ≈ ω
√
ω2 − a2 ≈√2ω
√ω − a =⇒ T ≈
(
π√2√ω
)
1√ω − a
∼ (ac − a)−1/2
mit ac = ω.
3.0.3.1 Allg. Skalierunggesetz
θ ist parabolisch in der Nahe des Minimums. Dann haben wir Normalform der Sat-Kn-Bif:
x = r + x2
mit 0 < r ≪ 1.
Tbottleneck ≈∫ ∞
−∞
dx
r + x2=
π√r
(mit x =√r tan θ und 1 + tan2 θ = 1/ cos2 θ).
33
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Beispiel 3.7 Periode fur θ = ω − a sin θ im Grenzfall a→ ωWir schatzen Periode fur θ = ω − a sin θ im Grenzfall a → ω mit der Hilfe vonNormalform. Engpass (Bottleneck) um θ = π/2. Sei φ = θ − π/2. Taylor-Reihe:
φ = ω − a sin(φ+ π/2) = ω − a cosφ = ω − a+1
2aφ2 + . . .
Mitx = (a/2)1/2φ, r = ω − a
wir bekommen(2/a)1/2x ≈ r + x2
Dann
T ≈ (2/a)1/2∫ ∞
−∞
dx
r + x2= (2/a)1/2
π√r
Mit r = ω − a und 2/a = 2/ω (weil a→ ω)
T ≈(
π√2√ω
)
1√ω − a
Beispiel 3.8 Theta-NeuronErregbare Systeme, Aktionspotential.
θ = 1− cos θ + (1 + cos θ)I(t)
Sei I = const. Dann fur I < 0, |I| < 1 gibt es zwei Fixpunkte. Fur |θ| ≪ 1 und|I| ≪ 1 wir bekommen
θ ≈ 2I +θ2
2
34
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Sat.-Kn. Bif.
Beispiel 3.9 Uberdampftes PendelKonstantes Drehmoment Γ. Winkel θ zwischen vertikale Linie und Pendel. Newt.
35
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Gesetz:mL2θ + bθ +mgL sin θ = Γ
Grenzfall: sehr starke Dampfung: wir vernachlassigen den Tragheitsterm.
bθ +mgL sin θ = Γ
Wir entdimensionalisieren die Gl:
b
mgLθ =
Γ
mgL− sin θ
Sei
τ =mgL
bt γ =
Γ
mgL
dannθ′ = γ − sin θ
mit θ′ = dθ/dτ .γ > 1 bedeutet, dass Drehmoment Γ > als Drehmoment der Schwerekraft: das
Pendel rotiert. Mit γ = 1 wir haben θ∗ = π/2, und dann 2 Fixpunkte, wenn γ < 1.
3.1 Synchronisation
Z.B. Gluhwurme, . . . . Periodische Stimulation (Kraft) Θ = Ω. Einfachstes Modell:
θ = ω +A sin(Θ− θ)
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mit < θ >= ν. Phasendifferenz:
φ = Θ− θ φ = Θ− θ = Ω− ω −A sinφ
Mit
τ = At µ =Ω− ω
Aφ′ = dφ/dτ
wir bekommen die Adler-Gl.:φ′ = µ− sinφ
Phase locking. Intervall der Synchronisation: |µ| < 1, ω − A ≤ Ω ≤ ω + A. Skizze
ν − Ω vs. ω. Phasendifferenz:
sinφ∗ =Ω− ω
A− π/2 ≤ φ∗ ≤ π/2
Fur µ > 1:
TS =
∫
dt =
∫ 2π
0
dt
dφdφ =
∣
∣
∣
∣
∫ 2π
0
dφ
Ω− ω −A sinφ
∣
∣
∣
∣
=2π
√
(Ω − ω)2 −A2
Fur Ω− (ω +A) = r ≪ 1 wir haben Ωs =√
(Ω− ω)2 −A2 ≈√2Ar.
37
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3.2 Josephson-Kontakte
Elektronische Elemente, Supraleitung, Hochfrequenz-Schwingungen ca. 1010 Hz. Die-nen als Verstarker, Sensoren, etc.
Zwei Supraleiter und schwache Verbindung (Isolator oder Halbleiter oder Metal).Supraleiter: Elektronen bilden Cooper-Paaren, die sind Bosonen. Niedrige Tempe-raturen: Grundzustand, nur eine Wellenfunktion reicht fur die Beschreibung. Wel-lenfunktionen ψ1e
iφ1 und ψ2eiφ2 .
Josephson-Effekt: Strom ohne angelegte Spannung wegen Tunneling von Cooper-Paaren. Wenn Gleichstrom 0 < I < Ic ist angelegt, dann gibt es keine Spannung(Widerstand Null). Josephson Strom-Phase-Relation fur φ = φ2 − φ1:
I = Ic sinφ
Also, φ = const.Fur I > Ic stimmt Josephson Voltage-Phase-Relation
V =h
2eφ
Also Strom hat jetzt zwei Komponenten: Suprastrom und Normalstrom. Idee derHerleitung: Wellenfkt kann man als koordinatenunabh betrachten. Dann
ih∂Ψ1
∂t= U1Ψ1 ih
∂Ψ2
∂t= U2Ψ2
(hier U1,2 = 2eV1,2 ist pot. Energie pro Cooper-Paar). Mit Ψ1,2 ∼ eiφ1,2
−φ1 = U1/h − φ2 = U2/h
Dannφ = φ2 − φ1 = (U1 − U2)/h = 2eV/h
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mit V = V1 − V2.Equivalente Schema: noch Kapazitat und Widerstand. Kirchhoff-Gl:
CV +V
R+ Ic sinφ = I
Mit Voltage-Phase-Relation:
hC
2eφ+
h
2eRφ+ Ic sinφ = I
zu vergleichen mitml2θ + bθ +mgL sin θ = Γ
Analogie:Pendulum Josephson-KontaktWinkel θ Phasendifferenz φWinkelgeschw. θ Spannung h
2e φMasse m Kapazitat CDrehmoment Γ Stromstarke IDamphung b Leitfahigkeit 1/RMax. Drehmoment mgL Kritische Stromstarke Ic
Wir dividieren mit Ic:
hC
2eIcφ+
h
2eRIcφ+ sinφ = I/Ic
Dimesionslose Zeit:
τ =2eIcR
ht
hC
2eIc
(
2eIcR
h
)2
φ′′ + φ′ + sinφ = I/Ic
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McCumber-Parameter β = (2eIcR2C)/h
βφ′′ + φ′ + sinφ = I/Ic
Praktisch 10−6 < β < 106. Grenzfall β ≪ 1:
φ′ = I/Ic − sinφ
Wenn I < Ic, dann stabiler Fixpunkt. Wenn I > Ic, dann ist φ periodisch.
3.2.1 Strom-Spannung-Kennlinie
Wir suchen 〈V 〉 als Funktion von I. Spannung 〈V 〉 = (h/2e)〈φ〉.
〈φ〉 = 〈dφdt
〉 = 〈dτdt
dφ
dτ〉 = 2eIcR
h〈φ′〉
〈V 〉 = IcR〈φ′〉Zwei Falle:
1. I ≤ Ic: Fixpunkt φ∗ = arcsin(I/Ic), −π/2 ≤ φ∗ ≤ π/2. Dann φ′ = 0 und
〈V 〉 = 0.
2. I > Ic: periodische Losung mit
T =2π
√
(I/Ic)2 − 1
(Zeit ist in Einheiten von τ .)
〈φ′〉 = 1
T
∫ T
0
dφ
dτdτ =
1
T
∫ 2π
0dφ =
2π
T
Dann〈V 〉 = IcR
√
(I/Ic)2 − 1
Zusammenfassung:
〈V 〉 = 0 I ≤ Ic
〈V 〉 = IcR√
(I/Ic)2 − 1 I > Ic
Ohmisches Verhalten V = IR fur I ≫ Ic.Dynamik ist viel mehr kompliziert wenn β nicht Null ist. Hysterese wegen Tragheit.
Mathematisch: Fixpunkt ko-existiert mit der periodischen Losung (weiter).
40
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41
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Kapitel 4
Dynamik in zwei Dimensionen.Lineare Systeme
4.1 Grundbegriffe und Beispiele
2D lineares System:
x = ax+ by
y = cx+ dy
mit Parameter a, b, c, d. Matrizen-Form x = Ax mit
A =
(
a bc d
)
x =
(
xy
)
Beispiel 4.1 Harmonischer Oszillator
x+ ω2x = 0
oder
x = y
y = −ω2x
Phasenportraits: Ellipsen ω2x2 + y2 = C.
42
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Beispiel 4.2 System mit
A =
(
a 00 −1
)
x = ax
y = −y
Losung
x(t) = x0eat
y(t) = y0e−t
Knoten, Stern, Linie of Fixpunkten, Sattel. Stabile und instabile Mannigfaltig-keit.
43
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4.2 Stabilitat: Definitionen
x∗ ist anziehend (= ist ein Attractor) wenn ∃ δ > 0 sodass fur
|x(0) − x∗| < δ =⇒ limt→∞
x(t) = x∗
Falls das fur ∀ δ > 0 stimmt, dann auch global anziehend.x∗ ist Lyapunov stabil wenn fur ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 sodass fur |x(0) − x∗| < δ und∀ t > 0 |x(t)− x∗| < ε.Wenn Fixpunkt ist anziehend und Lyapunov-stabil, dann nennen wir den asym-
ptotisch stabil.
Fig. 5.1.5d: Lyapunov-stabil aber nicht anziehend: Neutrale Stabilitat. Kannauch umgekehr sein: Fixpunkt anziehend, aber nicht Lyapunov-stabil. Bsp.: θ =1− cos θ (Fig. 5.1.6) Fig. 5.1.5e: Fixpunkt ist instabil.
4.3 Lineare Systeme: Klassifizierung
Lsg in der Formx(t) = eλtv
44
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Einsetzen in x = Ax:Av = λv
Eigenwertproblem. Charakteristische Gl
λ2 − τλ+∆ = 0
mit τ = a+ d (Spur) und ∆ = ad− bc (Determinante). Vieta Theorem: τ = λ1+λ2,∆ = λ1λ2.
λ1,2 =τ ±
√τ2 − 4∆
2Typisch λ1 6= λ2, dann Eigenvektoren v1,2 sind linear unabh. und die allg Lsg ist
x(t) = c1eλ1tv1 + c2e
λ2tv2
Beispiel 4.3 System x = x+ y, y = 4x− 2y, Anfangsbed. x0 = 2, y0 = −3Eigenwerte: λ1 = 2, λ2 = −3. Eigenvektoren: v1 = (1, 1) und v2 = (1,−4).
x(t) = c1
(
11
)
e2t + c2
(
1−4
)
e−3t
Anfangsbed.:
2 = c1 + c2
−3 = c1 − 4c2
Die Lsg ist c1 = 1, c2 = 1. Also,
x(t) = e2t + e−3t
y(t) = e2t − 4e−3t
Phasenportrait: Sattel (Fig. 5.2.2)
Beispiel 4.4 Phasenportrait fur λ2 < λ1 < 0Kurven kommen zum Fixpunkt tangential zur langsamen Eigenrichtung. (Fig. 5.2.3)
Beispiel 4.5 Komplexe EigenwerteFalls τ2 − 4∆ < 0, dann
λ1,2 = α± iω
mit α = τ/2 und ω = 0.5√4∆− τ2. Dann
x(t) = c1eαteiωtv1 + c2e
αte−iωtv2
Falls α = 0: Zentrum (entspricht harm. Osz), neutrale Stabilitat. Falls α < 0:gedampfte Schwingung, stabile Spirale. Falls α > 0: instabile Spirale.
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4.3.1 Gleiche Eigenwerte
Sei λ1 = λ2 = λ. Zwei Falle.
Unabh. Eigenvektoren. Dann jeder Vektor x0 ist Eigenvektor mit Eigenwert λ.Wir schreiben x0 = c1v1 + c2v2. Dann
Ax0 = A(c1v1 + c2v2) = c1λv1 + c2λv2 = λx0
Dann
A =
(
λ 00 λ
)
Lsg sind gerade Linien, Stern.
Ein Eigenvektor. Knoten ist entartet.
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4.3.2 Klassifizierung
Charakteristische Gl in der Form
(λ− λ1)(λ− λ2) = λ2 − τλ+∆ = 0
Dann τ = λ1 + λ2, ∆ = λ1λ2. Falle:
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1. ∆ < 0: Eigenwerte reell, untersch. Vorzeichen =⇒ Sattel.
2. ∆ > 0:
(a) Eigenwerte reell, gleiche Vorzeichen =⇒ Knoten.
(b) Eigenwerte complex =⇒ Spiralen, Zentren
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Kapitel 5
Phasen Ebene
5.1 Phasenportraits
Allgemeine Form:x = f(x)
2D-Systeme. Phasenebene. Jeder Punkt kann als Anfangsbedingung ausgewalt wer-den =⇒ Ebene ist dicht mit Trajektorien. Analytische Lsg. ist fast immer nichtmoglich. Wir versuchen eine qualitative Beschreibung zu finden. Oder kann man dasnumerisch machen.
Beispiel 5.1 2D System: Sehr viele Varianten.
1. Unterschiedl. Fixpunkte f(x∗) = 0.
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2. Geschlossene Trajektorien, periodische Bewegung
3. Fixpunkte und geschl. Orbiten konnen stabil oder instabil sein.
5.1.1 Isoklinen (Nullklinen)
Isoklinen helfen Phasenportraits zu skizzieren. Definition (Steigung Null): Kurven,wo x = 0 oder y = 0, also Fluss vertikal oder horizontal ist.
Beispiel 5.2 x = x+ e−y , y = −yFixpunkt:
x+ e−y = 0 , −y = 0 =⇒ x∗ = −1, y∗ = 0
Stabilitat: aus der zweiten Gl y = y0e−t. Also, y → 0 und e−y → 1 mit t → ∞.
Dann fur x haben wirx ≈ x+ 1
Oder: Anfangsbedingung y = 0, dann x = x + 1. Also, diese Richtung ist instabil.Isokline y = 0 =⇒ y = 0. Fluss nach rechts, wo x = x + 1 > 0, also furx > −1, und umgekehr. Zweite Isokline: Fluss nach unten, wo y > 0, und umgekehr.
5.2 Linearisierung
5.2.1 Linearisiertes System
Wir betrachtenx = f(x, y) y = g(x, y)
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Sei (x∗, y∗) Fixpunkt, d.h.
f(x∗, y∗) = 0 g(x∗, y∗) = 0
Kleine Abweichung:u = x− x∗ v = y − y∗
u = x = f(x∗ + u, y∗ + v) = f(x∗, y∗) + u∂f
∂x+ v
∂f
∂y+O(u2, v2, uv)
Die Ableitungen werden um (x∗, y∗) berechnet! Also,
u = u∂f
∂x+ v
∂f
∂y+O(u2, v2, uv)
v = u∂g
∂x+ v
∂g
∂y+O(u2, v2, uv)
Jacobi-Matrix
A =
∂f
∂x
∂f
∂y∂g
∂x
∂g
∂y
(x∗,y∗)
Linearisiertes System(
uv
)
= A
(
uv
)
5.2.2 Einfluss von nichtlinearen Glieder. Hyperbolische Fixpunkte
Gibt die Linearisierung die richtige Antwort? Ja, fur Sattel, Knoten und Fokus(Strudel). Nein, fur Grenzfalle (Zentren, Sterne, entartete Knoten, nicht-isolierteFixpunkte).
Falls Re(λ1,2) 6= 0, dann Stabilitatseigenschaften werden bei Nichtlinearitat nichtbeeinflusst. Die FP heissen hyperbolische FP.Hartman-Grobman-Theorem: Pha-senportait des Systems und des linearisierten Systems sind lokal topologisch equiva-lent (Homomorphismus).
Grenzfalle (mindestens fur ein Eigenwert Re(λ) = 0) verlangen weitere Analyse.Strukturelle Stabilitat: kleine Storung andert Phasenportrait nicht.
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Beispiel 5.3 Beispiel eines Grenzfalles
x = −y + ax(x2 + y2)
y = x+ ay(x2 + y2)
a ist Parameter.Lineare Analyse: Fixpunkt ist (0, 0) =⇒ u = x , v = y. Lineari-
siertes System x = −y , y = x. Jacobian:
A =
0 −1
1 0
Spur τ = 0, Determinante ∆ = 1 > 0, also Zentrum.Nichtlineare Analyse: Polarkoordinaten x = r cos θ, y = r sin θ.
x2 + y2 = r2 =⇒ rr = xx+ yy
rr = x(−y + axr2) + y(x+ ayr2) = ar4
r = ar3
θ = arctan(y/x) =⇒ θ =xy − yx
r2
Einsetzen x, y:θ = 1
Gl. sind losbar: a = 0, Zentrum, a 6= 0, Spiralen.
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5.3 Lotka-Volterra Modell
Anzahl von Kaninchen x, von Schafen y. Wenn es keine Wechselwirkung zwischenPopulationen gabe:
x = rxx(1− ax) y = ryy(1− by)
Wegen Konkurrenz: Terme ∼ −xy. Wir nehmen an: Reproduktionsrate von Kannist hoher, Konkurrenz beeinflusst die starker.
x = x(3− x− 2y)
y = y(2− x− y)
Fixpunkte aus der Bedingung x = y = 0 =⇒ (0, 0), (0, 2), (3, 0), (1, 1).Jacobian:
A =
∂x
∂x
∂x
∂y∂y
∂x
∂y
∂y
=
3− 2x− 2y −2x
−y 2− x− 2y
Wir klassifizieren FP:
1. (0, 0)
A =
3 0
0 2
Eigenwerte: λ1,2 = 3, 2: Knoten, instabil. Trajektorien um 0 tangential zum Ei-genvektor fur λ = 2, v = (0, 1) (allg: tangential zum langsamen Eigenvektor),Fig. 6.4.1.
2. (0, 2)
A =
−1 0
−2 −2
Eigenwerte: λ1,2 = −1,−2: Knoten, stabil. Trajektorien tangential zum lang-samen Eigenvektor fur λ = −1, v = (1,−2), Fig. 6.4.2
3. (3, 0)
A =
−3 −6
0 −1
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Eigenwerte: λ1,2 = −3,−1: Knoten, stabil.Trajektorien tangential zum Eigen-vektor fur λ = −1, v = (3,−1), Fig. 6.4.3
4. (1, 1)
A =
−1 −2
−1 −1
Eigenwerte: λ1,2 = −1±√2, τ = −2, ∆ = −1: Sattel, Fig. 6.4.4
Wir kombinieren letzte vier Bilder und berucksichtigen, dass Axen sind geradli-nige Bahnen (weil x = 0 wenn x = 0 und y = 0 wenn y = 0). Wir bekommen Fig.6.4.5. Es ist vernuftig zu annehmen, dass Phasenportrait so aussieht (Fig. 6.4.8).Bestatigung durch die Komputersimulation: Wir sehen, dass entweder gibt es Scha-fe, oder Kann., aber nicht gleichzeitig.
Das Konkurrenzausschlussprinzip (Gause-Gesetz) ist ein Begriff der Theoreti-schen Biologie der in der Okologie und Evolutionsbiologie Anwendung findet. Der
54
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Begriff besagt, dass zwei Arten nicht gleichzeitig die identische okologische Nischebesetzen konnen, ohne in eine Konkurrenz einzutreten, durch welche sich schliesslichnur die konkurrenzstarkere behaupten kann.
Einzugsgebiete, Separatrissen.
5.4 Konservative Systeme
mx = −dVdx
Totale Energie ist erhalten. Allg: das System ist konservativ wenn es eine reelle FktE(x) gibt, die langs jede Trajektorie konstant ist und nicht konstant in jeder offenenMenge ist (sonst kann man eine triviale Fkt E(x) = 0 nehmen, dann ist aber jedesSystem konservativ).
5.4.1 Eigenschaft
Konservatives System hat keine anziehende FP. Beweis: sei x∗ ein attraktiver FP.Dann alle Punkte im Einzugsbereich sollen die gleiche Energie haben: Widerspruch.Es kann nur Sattelpunkten und Zentren geben.
Beispiel 5.4 DoppelmuldepotenzialTeilchen Masse m = 1 im Doppelmuldepotenzial V (x) = −x2/2 + x4/4, x = x− x3
x = y
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y = x− x3
Gleichgewichte: (0, 0), (±1, 0). Jacobian:
A =
0 1
1− 3x2 0
FP (0, 0): ∆ = −1, Sattelpunkt.FP (±1, 0): τ = 0, ∆ = 2, Zentren.
Warnung: wir haben schon gesehen, dass Nichtlinearitat kann Zentrum in Fokusumwandeln. Aber nicht im konservatives System! Hier sind die Bahnen geschlosseneKurven (wegen Energieerhaltung):
E = T + V = y2/2− x2/2 + x4/4
2 FP, periodische Bahnen und 2 besondere homoklinische Trajektorien. Hom. Tr.
ist nicht periodisch: die Zeit → ∞.Das kann man auch als Theorem beweisen: sei x∗ ein isolierter FP eines konser-
vativen Systems. Falls x∗ ein Extremum (lokal) der Energie-Fkt ist, dann sind alleTrajektorien in der kleinen Umgebung geschlossene Kurven.
5.4.2 Reversibilitat
Symmetrie t→ −t, z.B. Film eines Pendels.
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Beispiel 5.5 Reversibles System: mx = F (x)ist unverandert unter Transformation t→ −t.
x = y
y = F (x)/m
Die Gl bleiben unverandert unter Transformation t → −t, y → −y. =⇒ JedeTrajektorie hat einen “Zwilling”.
5.5 Pendel
θ + g/l sin θ = 0
Frequenz ω =√
g/L. Neue Zeit τ = ωt. Wir notieren dθ/dτ auch mit θ
θ + sin θ = 0
θ = ν
ν = − sin θ
Hier ν ist dimensionslose Winkelgeschw.FP: (0, 0) und (π, 0) (θ und θ + 2π sind equivalent). Jacobian:
A =
0 1
− cos θ 0
FP (0, 0):
A =
0 1
−1 0
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τ = 0, ∆ = 1: Lineares Zentrum. Das System ist aber konservativ:
θ(θ + sin θ) = 0 =⇒ θ2/2− cos θ = const
E(ν, θ) = ν2/2− cos θ
Fur kleine ν, θ
E ≈ 1/2(ν2 + θ2)− 1 =⇒ ν2 + θ2 ≈ 2(E + 1)
E hat lokales Minimum um 0, 0, deswegen auch nichtlineares Zentrum. Trajektorienum Zentrum sind ≈ Kreise.
FP (π, 0):
A =
0 1
1 0
λ2−1 = 0, λ1,2 = ±1. Sattel. Eigenvektoren v1 = (1,−1) und v2 = (1, 1). Libration
und Rotation. Sattel: umgekipptes Pendel.
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5.5.1 Zylindrischer Phasenraum
Jetzt Rotation entspricht einer geschlossenen Trajektorie. U -Zylinder.
5.5.2 Dampfung
θ + bθ + sin θ = 0
Zentrum wird Fokus. Mit Bilder kann man die Dynamik vollig verstehen, analytischaber sehr schwer. Auf U-Zylinder geht die Trajektorie runter:
dE
dτ=
d
dτ(1/2θ2 − cos θ) = θ(θ + sin θ) = −bθ2 ≤ 0
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5.6 Index-Theorie
Linearisierung gibt nur lokale Information. Globale liefert die Index-Theorie. Ideeist anlich zur Elektrostatik (Gaussian Oberflache). Da untersuchen wir das Feld aufder Oberflache und bekommen den Wert der Ladung ihnen.
5.6.1 Index einer geschlossenen Kurve
Sei x = f(x) Vektorfluss in der Ebene (glatt). Wir betrachten eine geschlossene ori-entierte Kurve C (nicht unbedingt eine Trajektorie!!). C geht nicht durch FP; isteinfache Kurve (ohne Schneidung mit sich selbst). Wir definieren Winkel an jedemPunkt der Kurve
φ = arctan(y/x)
Wir gehen links herum. φ andert sich kontinuierlich, weil das Feld glatt ist. Anderungvon φ nach eine Rundgang [φ]C = 2πn. Index:
IC = [φ]C/2π
Beispiel 5.6 Bsp: Hier IC = +1.
Beispiel 5.7 Bsp: Hier IC = −1.
Beispiel 5.8 Bsp: Hier IC = 0
x = x2y
y = x2 − y2
C ist Einheitskreis x2 + y2 = 1.
[φ]C = −π + 2π − π = 0
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5.6.2 Eigenschaften
1. C → C ′ so, dass wir gehen nicht durch ein FP. Dann Ic = IC′ . Beweis: StetigeFkt die nur ganzzahlig ist, muss konstant sein.
2. Keine FP drinnen: IC = 0. Beweis: wir machen C kleiner und kleiner, dannsind alle Vektoren fast gleich.
3. Sei C eine Trajektorie des Systems, dann IC = 1, weil Vektors immer tangentialsind.
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5.6.3 Index eines FP
Index eines FP ist gleich Index einer Kurve um den FP.Bsp: Index stabilen Knoten, instabilen Knoten, und Sattelpunktes. Fur Knoten I = 1(hat mit der Stabilitat nichts zu tun). Fur Sattelpunkt, I = −1 (cf. Abb 6.8.4).
Theorem: C hat n isolierte FP drinnen. Dann
IC =∑
Ik
Beweis (Idee):
Theorem: Sei C eine geschlossene Trajektorie, die hat Index +1. Dann drinnenFP mit
∑
Ik = 1Schlussfolgerung: jede geschlossene Trajektorie geht um mindestens ein FP her-
um. (Wenn es nur ein FP gibt, dann kann der nicht Sattelpunkt sein!).
Beispiel 5.9 Kanninchen-Schafen Modell
x = x(3− x− 2y)
y = y(2− x− y)
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Wir zeigen, dass periodische Lsg nicht moglich sind. Wir wissen, dass hier 4 FP
gibt (2 mal stab Knoten, instab Knoten und SP). C1 und C2 sind nicht moglich,weil I 6= +1. C3 ist nicht moglich, weil (i) physikalisch x > 0 und (ii) C3 y-Achseschneidet (es gibt Trajektorie langs diese Achse).
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Kapitel 6
Grenzzyklen
Grenzzyklus ist eine isolierte geschlossene Trajektorie. Isolierte bedeutet, dass be-nahbarte Trajektorien nicht geschlossen sind; die sind spiralformig. Zyklen sind
1. stabil (attraktive)
2. instabil (repeller)
3. halb-stabil
Selbst-erregte Systeme, Beispiele.Gibt nicht in linearen Systemen, falls x(t) eine Lsg ist, dann cx(t) ist es auch.
Beispiel 6.1 Stuart-Landau SystemPolarkoordinaten.
r = r(1− r2) θ = 1
mit r ≥ 0. Fur r haben wir 1D Gl, FP r∗ = 0 (instabil) und r∗ = 1 (stabil).θ = t+ θ0 =⇒ x(t) = r(t) cos(t+ θ0) → x(t) = cos(t+ θ0)
6.0.4 Van der Pol Gl
x− µ(1− x2)x+ x = 0
Kirchhoff Gl:
LdI
dt+RI + u =M
di(u)
dtu =
1
C
∫
Idt
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Kennlinie des Verstarkers:
i(u) = g0u− g1u3 g0,1 > 0
Cu = I einsetzen:
LCu+RCu+ u =Md(g0u− g1u
3)
dt=Mg0u− 3Mg1u
2u
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LCu+ (RC −Mg0 + 3Mg1u2)u+ u = 0
Mit ω20 = 1/(LC)
u− ω20(Mg0 −RC − 3Mg1u
2)u+ ω20u = 0
Mit
ω20(Mg0 −RC) = β
3Mg1u2
Mg0 −RC= α
u− β(1− αu2)u+ ω20u = 0
Sei x = u√α, τ = ω0t, dann
u =1√α
dx
dτ
dτ
dt=
ω0√αx′ u =
ω20√αx′′
ω20√αx′′ − βω0√
α(1− x2)x′ +
ω20√αx = 0
Mit µ = β/ω0
x− µ(1− x2)x+ x = 0
Wann gibt es die selbst-erregte Schw? Wit linearisieren die Gl: Ursprung ist instabilfalls µ > 0.
Subkrit. Bif:x− (µ + λx2 − x4)x+ x = 0
6.1 Wenn es keine Grenzzyklen gibt
Wie kann man sagen, das es keine GZ gibt? Eine Mogligkeit: Index-Theorie.
6.1.1 Gradient-Systeme
Angenommen wir konnen das System als
x = −∇V
schreiben. Hier Potentialfkt V (x) ist stetige eindeutige Fkt.Theorem: Gradient-Systeme haben keine periodische Lsg.
Beweis: Wur nehmen an, dass eine geschlossene Tr. gibt. Dann nach eine Rotationsoll ∆V = 0 sein. Aber:
∆V =
∫ T
0
dV
dtdt =
∫ T
0(∂V
∂xx+
∂V
∂yy)dt =
∫ T
0(∇V · x)dt = −
∫ T
0|x|2dt < 0
68
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(oder = 0 wenn x ≡ 0 (d.h. FP)). Widerspruch beweist das Theorem. Das Problemist dass 2D Systeme sind selten Gradient-Sys. (1D Systeme sind immer so, deswegengibt da keine Schwingungen!)
Beispiel 6.2 x = sin y , y = x cos y
V = −x sin y =⇒ x = −∂V∂x
y = −∂V∂y
=⇒
Keine Zyklen.
Beispiel 6.3 Nichtlineare Dampfung
x+ x3 + x = 0
Zu beweisen: keine periodische Lsg. Annahme: es gibt periodische Lsg x(t+T ) = x(t).Energie-Fkt
E = 1/2(x2 + x2) E(t) = E(t+ T ) =⇒ ∆E = 0
Aber
∆E =
∫ T
0Edt
E = x(x+ x) = x(−x3) = −x4 ≤ 0 =⇒ ∆E = −∫ T
0x4dt ≤ 0
Widerspruch =⇒ keine periodische Lsg.
6.1.2 Lyapunov-Fkt
Sogar fur nicht-mechanische Systeme kann man manchmal eine Energie-artige Fktfinden, die entlang Tr abfallt.
Seix = f(x)
mit FP x∗. Angenommen, wir finden Lyapunov-Fkt: stetige reelle Fkt V (x) mitEigenschaften:
1. V (x) > 0 fur alle x 6= x∗ und V (x∗) = 0 (eine positiv definite Fkt)
2. V < 0 fur alle x 6= x∗
69
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Dann x → x∗ mit t → ∞ (asympt. stabil), keine geschlossenen Tr. Leider, gibt eskeine systematischen Methoden, wie man diese Fkt findet. Heufig hilft xn + axm.
Lokale Minima der Lyapunov-Fkt.
Beispiel 6.4 x = −x+ 4y , y = −x− y3
Wir nehmenV (x, y) = x2 + ay2
mit Parameter a.
V = 2xx+ 2ayy = 2x(−x+ 4y) + 2ay(−x− y3) = −2x2 + (8− 2a)xy − 2ay4
Sei a = 4, dann
V = x2 + 4y2 > 0 V = −2x2 − 8y4 < 0
fur alle (x, y) 6= (0, 0) =⇒ V ist Lyap-Fkt, keine geschl Tr.
6.1.3 Dulac’sches Kriterium
Seix = f(x)
stetiges differenzierbares Feld im einfach zusammenhangenden Bereich R. Wenn eseine reelle stetige differenzierbare Fkt g(x) gibt, sodass ∇(gx) hat ein Vorzeichen(Plus oder Minus) im R, dann gibt es keine geschlossene Trajektorie im R.
Beweis: wir nehmen an, dass so eine Trajektorie C gibt. Green’sches Theorembesagt:
∫ ∫
A∇(gx)dA =
∮
Cgx · ndl
70
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Zirkulation ist Null, weil Normal senkrecht zur Trajektorie ist. Aber linke Seiteist nicht Null, weil ∇(gx) entweder positiv oder negativ ist, also Widerspruch.
Genauso wie mit der Lyapunov-Fkt, gibt es keine Methoden die g-Fkt zu finden.Heufig hilft g = 1, 1
xayb, eax, eay.
Beispiel 6.5 x = y, y = −x− y + x2 + y2
Wir zeigen, dass das System keine geschl. Tr hat. Sei g = e−2x. Dann ∇(gx) =−2e−2xy + e−2x(−1 + 2y) = −e−2x < 0.
6.2 Poincare-Bendixson-Theorem
Jetzt wollen wir finden, wenn periodische Lsg gibt.Angenommen:
1. R ist geschlossene beschrankte Untermenge der Ebene
2. x = f(x) ist stetig differenzierbar auf einer offenen Menge, die R einhalt
3. keine FP in R.
4. Es gibt eine Trajektorie C die bleibt in R fur t → ∞. Dann entweder ist Ceine geschl Tr, oder sie bewegt sich spiralformig zur einen geschl Tr. Also, esexistiert eine geschl. Tr. in R.
“Trapping region”In 3D stimmt das Theorem nicht: die Trajektorie kann unendlich lang im be-
grenzten Bereich wandern, ohne zu FP oder zu GZ zu kommen: Chaos.
71
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Beispiel 6.6 r = r(1− r2) + µr cos θ θ = 1Wir wissen schon, dass fur µ = 0 gibt es GZ mit r = 1. Wir zeigen jetzt, dass GZauch gibt, wenn µ klein genug ist.
Wir suchen nach einen ringformigen Bereich 0 < rmin ≤ r ≤ rmax mit r < 0 furr = rmax und r > 0 fur r = rmin. Weil θ > 0 =⇒ keine FP =⇒“trapping region”.
Wir suchen rmin: dann soll
r = r(1− r2) + µr cos θ > 0
sein. Mit cos θ ≥ −1
1− r2 − µ > 0 =⇒ rmin <√
1− µ
mit µ < 1. Genausormax >
√
1 + µ
Also, GZ existiert und ist√1− µ < r <
√1 + µ. Eigentlich, existiert auch fur µ > 1.
72
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6.2.1 Bsp.: Glykolyse
Die Glykolyse (aus dem Griechischen glykys = suß und lysis = auflosen) ist derschrittweise Abbau von Monosacchariden (Einfachzuckern) wie der D-Glucose (Trau-benzucker), von der sich auch ihr Name ableitet. Sie ist ein zentraler Prozess zurEnergiegewinnung in den Zellen.
Sel’kov-Modell (1968)
x = −x+ ay + x2y
y = b− ay − x2y
Hier x und y sind Konzentrationen und a, b > 0 sind Parameter. (x: adenosinediphosphate, ADP; y: fructose-phosphate).
Nullklinen: x = 0 =⇒ y = x/(a+x2), y = 0 =⇒ y = b/(a+x2).Uber Nullklinen x > 0 und y < 0.
“Trapping region”: auf vertikalen Linien ist es klar. Linie mit der Steigung −1:wir betrachten x, y fur grosse x. Dann
x ≈ x2y y ≈ −x2y =⇒ y/x = dy/dx ≈ −1
Wir zeigen, dass dy/dx < −1. Wir berechnen
x+ y = b− x = x− (−y)
73
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Also, −y > x, wenn x > b =⇒ dy/dx < −1.Aber es gibt ein FP. Wir sollen jetzt zeigen, dass unter bestimmten Bedingungen,
FP ein repeller ist. FP:x∗ = b y∗ = b/(a+ b2)
Jacobian:
A =
(
−1 + 2xy a+ x2
−2xy −(a+ x2)
)
Um FP:∆ = a+ b2 > 0
τ = −b4 + (2a − 1)b2 + (a+ a2)
a+ b2
FP ist instabil fur τ > 0. Bedingung τ = 0:
b2 = 1/2(1 − 2a±√1− 8a)
6.3 Lienard Systeme
Lienard Gl:x+ f(x)x+ g(x) = 0
74
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Lienard Theorem: angenommen, f(x) und g(x) erfullen die volgenden Bedingun-gen:
1. f(x) und g(x) stetige differinzierbare Fkt.
2. g(x) ist ungerade Fkt, g(−x) = −g(x).
3. g(x) > 0 fur x > 0
75
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4. f(x) ist gerade Fkt, f(−x) = f(x).
5. Ungerade Fkt F (x) =∫ x0 f(u)du hat die Nullstelle um x = a > 0, ist negativ
fur 0 < x < a, positiv und wachsend, F ′(x) ≥ 0, fur x > a, und F (x) → ∞ furx→ ∞.
Dann hat das System einen stabilen GZ.Qualitative ist das einfach zu verstehen: Kraft g(x) wirkt gegen Auslenkung.
Bedingungen fur f(x): Dampfung ist negativ fur kleine |x| und positiv fur grosse |x|.
Beispiel 6.7 Van der Pol Gl.f(x) = µ(x2 − 1) und g(x) = x erfullen 1-4.
F (x) = µ(x3/3− x) =µx
3(x2 − 3)
5 ist erullt mit a =√3.
6.4 Relaxationschwingung (Kippschwingung)
Bsp: stick-slip, Neuronen, etc. Die Fragestellung ist jetzt: falls GZ gibt, was kannman uber Periode und Form der Schwingung sagen? Wir betrachten van der Pol Gl.fur µ >> 1 und schreiben die um:
x+ µ(x2 − 1)x+ x = 0
d
dt(x+ µ(x3/3− x)) + x =
d
dt(x+ µF (x)) + x = w + x = 0
mit w = x+ µF (x). Wir haben
x = w − µF (x) w = −x
Mit y = w/µx = µ(y − F (x)) y = −x/µ
Schnelle und langsame Bewegungen.Angenommen y − F (x) ∼ O(1), dann |x| ∼ O(µ) ≫ 1 und |y| ∼ O(µ−1) ≪ 1.Uber Nullkline: y−F (x) > 0, dann x > 0. Wenn Trajektorie kommt nah zur Nullkliney − F (x) ∼ O(µ−2), dann x ∼ O(µ−1), y ∼ O(µ−1). Dann kreuzt die Trajektoriedie Nullkline von oben nach unten, geht langsam langs Nullkline und springt nachlinks.
76
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Zwei Zeitskalen: langsame Bewegung ∆t ∼ O(µ), Sprunge ∆t ∼ O(µ−1).Wir schatzen die Periode fur µ≫ 1. Wir vernachlassigen die Zeit der Sprung.
T ≈ 2
∫ tB
tA
dt
Fur langsame Bewegung y ≈ F (x) und
dy
dt≈ F ′(x)
dx
dt= (x2 − 1)
dx
dt
Aus der Gl: y = −x/µ, alsodx
dt= − x
µ(x2 − 1)
dt ≈ −µ(x2 − 1)
xdx
Man kann aus der Nullkline-Gl finden, dass xA = 2, xB = 1.
T ≈ 2
∫ 1
2
−µx
(x2 − 1)dx = 2µ
[
x2
2− lnx
]2
1
= µ[3− 2 ln 2]
77
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Kapitel 7
Schwache Nichtlinearitat.Mittelungsmethode
Unseres Ziel ist die Gl in der Form
x+ ω20x = f(x, x) + F (t) = G(x, x, t)
annahernd zu losen, fur kleine Kraft und Nichtlinearitat.
7.1 Variablensubstitution
Allgemeine Gl.:x+ ω2
0x = G(x, x, t)
Substitution:
x(t) = Re[A(t)eiω0t] =A
2eiω0t +
A∗
2e−iω0t
Es ist noch nicht eindeutig, weil Im(A(t)) beliebig ist. Wir berechnen:
x =A
2eiω0t +
iω0A
2eiω0t +
A∗
2e−iω0t − iω0A
∗
2e−iω0t
und setzenA
2eiω0t +
A∗
2e−iω0t = 0
Dann
x =iω0A
2eiω0t − iω0A
∗
2e−iω0t
78
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Jetzt haben wir eine eindeutige Substitution (x, x) ↔ (A,A∗)Wir berechnen
x =iω0A
2eiω0t − ω2
0A
2eiω0t − iω0A
∗
2e−iω0t − ω2
0A∗
2e−iω0t
Wir bekommen 2 Gl
x+ ω20x =
iω0A
2eiω0t − iω0A
∗
2e−iω0t = G(x, x, t)
A
2eiω0t +
A∗
2e−iω0t = 0
Auflosen nach A:
A =G(x, x, t)e−iω0t
iω0
7.2 Resonanz
Linearer Osz mit ausserer Kraft:
x+ ω20x = F (t)
A =F (t)e−iω0t
iω0=⇒ A =
∫ t
0
F (τ)e−iω0τ
iω0dτ
Mit x(t) = Re[A(t)eiω0t]
x(t) =
∫ t
0
F (τ)
ω0sin(ω0(t− τ))dτ
7.3 Resonanz im System mit Reibung
x+ 2γx+ ω20x = ε cosωt
Hier ω0 ≈ ω, γ ≪ ω0, ε klein. Wir suchen die Lsg., die Frequenz der Kraft hat,deswegen schreiben wir die Gl um:
x+ ω2x = (ω2 − ω20)x− 2γx+ ε cosωt
79
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Substitution x(t) = Re[A(t)eiωt]:
x(t) =A
2eiωt +
A∗
2e−iωt x =
iωA
2eiωt − iωA∗
2e−iωt
Die Lsg.:
A =e−iωt
iω[(ω2 − ω2
0)x− 2γx+ ε cos ωt]
A =e−iωt
iω
[
(ω2 − ω20)(
A
2eiωt +
A∗
2e−iωt)− 2γ(
iωA
2eiωt − iωA∗
2e−iωt) +
ε
2(eiωt + e−iωt)
]
Bis jetzt ist alles exakt. Jetzt machen wir eine Annaherung. Die Glieder auf derrechten Seite sind alle klein (s. Bedingungen oben)⇒ A ist langsam. Es gibt Glieder
∼ e−2iωt ,
die beschreiben kleine Schw mit der Frequenz 2ω. Es gibt auch langsame Glider
∼ e0
Wir lassen nur langsame Glieder., d.h. wir mitteln die Gl. Dann fur alle Glieder wirrechnen
〈f(t)〉 = 1
T
∫ T
0f(t)dt
A ist langsam, wird bei Integration als Konstante betrachtet. Wir bekommen:
A =ω2 − ω2
0
iω
A
2− γA+
ε
2iω
Mit ω2 − ω20 = (ω − ω0)(ω + ω0) ≈ 2ω∆ω
A = −i∆ωA− γA+ε
2iω
Wir betrachten die Terme separat.
1. −γA gibt Dampfung, A = A0e−γt. Langsame Anderung: A0 −A0e
−γT ≪ A0,1− e−γT ≪ 1, γ ≪ ω
2. i∆ωA gibt die Eigenlsg., A = A0e−i∆ωt. Unsere Lsg ist
x = Re(Aeiωt) = Re(A0e−i∆ωteiωt) = Re(A0e
iω0t)
80
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3. ε2iω gibt lin. Wachstum
A = A0 +ε
2iωt
Soll langsam sein: |∆A|Periode ≪ |A0|, εω2 ≪ |A0|
Stationare Lsg der Gl. A = −i∆ωA− γA+ ε2iω (wir setzen A = 0):
A =ε
2iω(γ + i∆ω)|A| = ε
2ω√
γ2 +∆ω2
Resonanzkurve: Maximum ε2ωγ bei ∆ω = 0. Breite 2γ: Maximum/
√2.
Hauptidee: immer die Gl in der Form
A =e−iωt
iωG(t)
zu schreiben, wo G(t) klein ist, und dann mitteln.
7.4 Bsp: Pendel, nichtlineare Schwingung
x+ ω20 sinx = 0
Kleine Schwingung. Mit sinx ≈ x− x3/6
x+ ω20x =
ω20
6x3
Komplexe Gl:
A =e−iω0t
iω0
ω20
6x3 = −ie−iω0t · ω0
6x3
Wir setzen ein:
x3 =
[
A
2eiω0t +
A∗
2e−iω0t
]3
x3 =1
8
[
A3ei3ω0t + 3A2A∗eiω0t + 3AA∗2e−iω0t +A∗3e−i3ω0t]
Nur langsame Terme:
A = −iω0
6
3
8A2A∗ = −iω0
16|A|2A
81
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Sei A = Reiφ, A = Reiφ + iφReiφ, dann
Reiφ + iφReiφ = −iω0
16R3eiφ
Stationare Lsg.: R = 0 =⇒ R = R0.
φ = −ω0
16R2
0 =⇒ φ = φ0 −ω0
16R2
0t
x = Re(Aeiω0t) = Re(R0eiφeiω0t) = R0 cos(ω0(1−R2
0/16)t + φ0)
Neue Frequenz ω = ω0(1−R20/16).
7.5 Resonanz im Duffing-Oszillator
x+ 2γx+ ω20x− αx3 = ε cosωt
x+ ω2x = (ω2 − ω20)x− 2γx+ αx3 + ε cos ωt
Wir haben schon alle Terme. Bei x3:
αx3 =α
8
[
A3ei3ωt + 3A2A∗eiωt + 3AA∗2e−iωt +A∗3e−i3ωt]
〈e−iωt
iωα(·)〉 = 3α
8iω|A|2A = −i3α
8ω|A|2A
Also,
A = −i∆ωA− γA− i3α
8ω|A|2A− i
ε
2ω
Mit neuer NotationA = −i∆ωA− γA− ia|A|2A− ie
Mit A = Reiφ
R+ iφR = −i∆ωR− γR− iaR3 − e sinφ− ie cosφ
R = −γR− e sinφ
Rφ = −∆ωR− aR3 − e cosφ
Stat. Lsg:e2 = γ2R2 + (∆ω + aR2)2R2
82
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Verknupfung zwischen ∆ω und R:
e2
R2− γ2 = (∆ω + aR2)2
∆ω = −aR2 ±√
e2
R2− γ2
Also, R2 ≤ e2/γ2. Skelettkurve (Maximum der Res. Kurve):
R2 = −∆ω/a
Hohe des Maximums e2/γ2. Hysterese, Katastrophen.
AllgemeinR = −γnl(R)R − e sinφ
Rφ = ∆ωnl(R)R− e cosφ
Resonanzkurve:e2
R2= γ2nl(R) + ∆ω2
nl(R)
R2 =e2
γ2nl(R) + ∆ω2nl(R)
=ε2
4ω2[γ2nl(R) + ∆ω2nl(R))]
Entspricht genau den linearen Fall.
83
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Multistabilitat fur e > ec.
d(∆ω)
d(R2)= 0
d2(∆ω)
d(R2)2= 0
Stabilitat der Resonanzkurve. Wir setzen R→ R+ δR, φ→ φ+ δφ in
R = −γR− e sinφ
φ = −∆ω − aR2 − e cos φ/R
und ueberprufen Stabilitat des Punktes δR = 0, δφ = 0. Charakt. Gl.:
∣
∣
∣
∣
∣
−γ − λ −e cosφ−2aR + e cosφ
R2
e sinφR − λ
∣
∣
∣
∣
∣
= 0
λ2 + λ(γ − e sin φ
R)− γ
e sin φ
R− 2aRe cosφ+
e2 cos2 φ
R2= 0
Stationare Lsg:−e sinφ = γR − e cos φ = ∆ωR+ aR3
λ2 + 2λγ + γ2 + 2aR(∆ωR+ aR3) + (∆ω + aR2)2 = 0
Aber, wir haben obene2 = γ2R2 + (∆ω + aR2)2R2
λ2 + 2λγ +e2
R2+ 2aR2(∆ω + aR2) = 0
λ1,2 = −γ ±√
γ2 − e2
R2− 2aR2(∆ω + aR2)
λ1,2 = −γ ±√
−(∆ω + aR2)2 − 2aR2(∆ω + aR2)
λ1,2 = −γ ±√
−(∆ω + aR2)(∆ω + 3aR2)
∆ω > −aR2 oder ∆ω < −3aR2: komplexe λ, stabiler Fokus.−3aR2 < ∆ω < −aR2: λ2 < 0 =⇒ entweder stabiler Knoten, oder Sattel.Anderung der Stabilitat wenn λ1 = 0 =⇒
(∆ω + aR2)(∆ω + 3aR2) = −γ2
84
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Das ist genau die Bedingungd(∆ω)
d(R2)= 0
Zeigen wir das. Sei R2 = X. Dann
∆ω = −aX ±√
e2
X− γ2
d(∆ω)
dX= −a± −e2/X2
2√
e2/X − γ2= 0
e2
2X2√
e2/X − γ2= a =⇒ 2aR2
√
e2/R2 − γ2 =e2
R2
2aR2(∆ω + aR2) =e2
R2
Einsetzen in
λ = −γ ±√
γ2 − e2
R2− 2aR2(∆ω + aR2)
dann haben wir λ1 = 0
7.6 Van der Pol - Oszillator
x+ ω2x = µ(1− x2)x = µx− µx2x
Substitution:
x(t) =A
2eiωt +
A∗
2e−iωt x =
iωA
2eiωt − iωA∗
2e−iωt
A =e−iωt
iωµ(1− x2)x = µ
e−iωt
iωx− µ
e−iωt
iωx2x
Wir berechnen die Terme separat. Term µx: wir vergleichen mit 2γx. Dann bekom-men wir µ
2A. Weiter:
x2x =1
8[A2e2iωt + 2AA∗ +A∗2e−2iωt](iωAeiωt − iωA∗e−iωt)
85
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Uns interessieren nur die Terme ∼ eiωt. Das sind
iω
4A2A∗eiωt
und
− iω8A2A∗eiωt
Dann bleibt nur:
A =µ
2A+ µ
e−iωt
iω(− iω
4A2A∗eiωt +
iω
8A2A∗eiωt)
A =µ
2A− µ|A|2A
8
R =µ
2R− µ
8R3
φ = 0
St. Lsg: R = 2, φ = φ0. Radiale Richtung Stabil, andere neutral Stabil.
|A| = 2 x = 2cos(ωt+ φ0)
7.6.1 Getriebener van der Pol Oszillator
x+ ω2x = µ(1− x2)x+ ε cos νt
x+ ν2x = (ν2 − ω2)x+ µx− µx2x+ ε cos νt
Sei ∆ω = ν − ω. Wir haben alle Terme schon:
A = −i∆ωA+µ
2A− µ|A|2A
8− i
ε
2ω
Mit e = ε2ω , A = Reiφ:
Reiφ + iφReiφ = −i∆ωReiφ +µ
2Reiφ − µR3
8eiφ − ie
R =µ
2R(1− R2
4)− e sinφ
Rφ = −∆ωR− e cos φ
86
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Sei ε≪ 1, dann R ≈ 2 und wir bekommen
φ = −∆ω − e
2cosφ
Falls | e2 | > |∆ω|, FP: φ = const. Dann
x = Re(Aeiνt) = Re(Rei(νt+const))
Schwingung mit der Frequenz der Kraft, Synchronisation. Diskussion: Resonanz vs.Synchronization.
7.7 Parametrische Resonanz
Externe Kraft ∼ x, z.B.:x+ ω2
0x = ε cosωt · xDas ist periodische Variation der Frequenz. Mathieu Gl.
Mittelungsmethode: x = Re(Aeiω0t)
A =e−iω0t
iω0
ε
4(eiωt + e−iωt)(Aeiω0t +A∗e−iω0t)
A =ε
4iω0(eiωt + e−iωt)(A+A∗e−2iω0t)
A =ε
4iω0(Aeiωt +Ae−iωt +A∗ei(ω−2ω0)t +A∗e−i(2ω0+ω)t)
Bei Mittelung ist nur ein Term nichttrivial. Sei ω = 2ω0, dann
A =ε
4iω0A∗
Sei A = X + iY , dann A = ε4iω0
(X − iY ), oder
X = − ε
4ω0Y Y = − ε
4ω0X
Gl. fur die Eigenwerte:∣
∣
∣
∣
∣
−λ − ε4ω0
− ε4ω0
−λ
∣
∣
∣
∣
∣
=⇒ λ = ± ε
4ω0
Sattel: A ∼ eλ+t. x = Re(Aeiω0t) ∼ eλ+t cosω0t, Fokus. Parametrische Instabilitat.
87
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7.7.1 Quantitative Beschreibung
Harmonischer Osz:x+ ω2x = 0 =⇒ xmax = ωxmax
Mit x multiplizieren, integrieren, Phasenportrait:
x2
2+ ω2x
2
2= const
Ellipse, Halbachsen:a
b=xmax
xmax=
1
ω
Parametrische Anregung (ω = 1)
x+ x = f(t)x
Statt Sinus-Fkt nehmen wir Rechteck-Fkt f(t)
x+ (1 + f(t))x = 0
Frequenz: 1±∆, umschaltung 4 mal pro Periode.Frequenz 1 +∆ =⇒ a < b und umgekehr.
Vergleich mit Resonanz. Sei es keine reibung, erzwungene Schwingung: Amplitu-de wird unendlich gross nur wenn genau ν = ω. Hier: gibt es eine “Zunge”, lineareReibung macht die Amplitude nicht begrenzt. Erzw. Schw.: lineares Wachstum, hierexplonenziell.
88
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7.7.2 Parametrische Resonanz im Duffing-Oszillator
x+ 2γx+ ω20x− αx3 = ε cos 2ωt · x
mit ω ≈ ω0
x+ ω2x = (ω2 − ω20)x− 2γx+ αx3 + ε cos 2ωt · x
A =e−iωt
iω[ε cos 2ωt · x+ . . .]
Also, mit ∆ω = ω − ω0:
A =ε
4iωA∗ − i∆ωA− γA− i
3α
8ω|A|2A
A = −ieA∗ − i∆ωA− γA− ia|A|2AMit A = X + iY , X2 + Y 2 = R2:
X = [−e+∆ω + aR2]Y − γX
Y = [−e−∆ω − aR2]X − γY
Gleichgewicht:
γX = [−e+∆ω + aR2]Y
γY = [−e−∆ω − aR2]X
γ2 = [−e+∆ω + aR2][−e− (∆ω + aR2)]
γ2 = e2 − (∆ω + aR2)2
∆ω + aR2 = ±√
e2 − γ2
aR2 = −∆ω ±√
e2 − γ2
Schwelle: Anregung soll starker als Dampfung sein.Gleichgewicht (0, 0), Stabilitat:
X = [−e+∆ω]Y − γX
Y = [−e−∆ω]X − γY
A =
∣
∣
∣
∣
∣
λ+ γ e−∆ωe+∆ω λ+ γ
∣
∣
∣
∣
∣
= 0
89
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(λ+ γ)2 = e2 −∆ω2 =⇒ λ = −γ ±√
e2 −∆ω2
Falls |∆ω| > e: Fokus, stabilSonst, falls e2 −∆ω2 < γ2: Knoten, stabil., sonst Sattel. Stab. Grenze: e2 −∆ω2 =γ2 =⇒ λ+ = 0. γ = 0 =⇒ e = ±∆ωBif: 2 Pitchfork-Bifs.
90
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Kapitel 8
Bifurkationen in 2D
8.1 Sattel-Knoten-Bif.
Ahnlich 1D + eine Dimension mit Attraktion.
x = µ− x2 y = −y
Fur µ > 0: zwei FP (Knoten√µ, 0, Sattel −√
µ, 0). Bif fur µ = 0. Bottleneck,
t ∼ 1/√µ− µc.
Allgemein: zwei Nullklinen, tangential um µ = µc
Beispiel 8.1 Genetisches Steuerungs-System.x und y sind Konzentrationen von ein Protein und mRNA. Genaktivitat ist induziertbei two Kopien des Proteins, dass der Gen kodiert. D.h. es gibt Ruckkopplung.
x = −ax+ y y =x2
1 + x2− by
91
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a, b positiv, a 6= b. Nullklinen:
y = ax y =x2
b(1 + x2)
Nullklinen kreuzen sich in 3 Punkten wenn a klein ist. FP:
ax =x2
b(1 + x2)
FP: (0, 0). Noch zwei erfullen
ab(1 + x2) = x =⇒ x∗ =1±
√1− 4a2b2
2ab
falls 1− 4a2b2 > 0 ist. Bif. Wert: 2ab = 1, ac = 1/2b. Dann x∗ = 1.
92
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Jacobian:
A =
(
−a 12x
(1+x2)2 −b
)
Spur τ = −(a+ b) < 0.FP: (0, 0): ∆ = ab > 0 und τ2 − 4∆ = (a− b)2 > 0, also Knoten, stabil. Andere FP:
∆ = ab− 2x∗
(1 + x2∗)2
Mit
ax =x2
b(1 + x2)
∆ = ab
[
1− 2
1 + x2∗
]
= ab
[
x2∗ − 1
1 + x2∗
]
FP 0 < x∗ < 1: ∆ < 0, Sattel.FP x∗ > 1: ∆ < ab, τ2 − 4∆ > (a − b)2 > 0, Knoten, stabil. Biologisch: falls
ab < 1/2, wir haben eine biochem Schaltung: Gen ist entweder aktiv oder nicht.
8.2 Transkr und Pitchfork Bif.
Prototypische Beispiele. Transk:
x = µx− x2 y = −y
93
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Pitchfork, superkr:x = µx− x3 y = −y
Pitchfork, subkr:x = µx+ x3 y = −y
Phasenportr fur superkr Pitchfork: Fur µ = 0, Abfall von x ist langsam (alge-
braisch).Allgemein: centre manifold theory.
Beispiel 8.2 x = µx+ y + sinx y = x− ySymmetrie (x, y) → (−x,−y), dann Phasenport symmetrisch bez. Ursprung.Ursprung ist immer FP, Jacobian:
A =
(
µ+ 1 11 −1
)
mit τ = µ und ∆ = −(µ + 2). Dann Ursprung ist ein Sattelpunkt fur −2 < µ < 0und bekommt stabil fur µ < −2. Wir vermuten Pitchfork mit µc = −2. Wir suchennach symmetrische FP:
y = x (µ+ 1)x+ sinx = 0
Kleine x:
(µ+ 1)x+ x− x3
3!+O(x5) = 0 =⇒ µ+ 2− x2/6 ≈ 0
Also, fur µ = −2+ ε wir haben x∗ ≈ ±√
6(µ + 2), also superkrit. Bif. Um Bif Punkt
A =
(
−1 11 −1)
)
94
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Eigenvektoren (1, 1) und (1,−1), mit λ = 0 und λ = −2. Nach Bif λ = 0 bekommtpositive. Dann
Alle Bsp: Null-Eigenwert Bifurkationen, die treten ein, wenn ∆ = 0, also einEigenwert ist Null. Immer Kollision von 2 oder mehr FP.
8.2.1 Hopf-Bifurkation
Wir haben diskutiert, was passiert, wenn reeller Eigenwert positiv wird. Jetzt be-trachten wir komplexe Eigenwerte.
Hopf-Bif: stabile Spirale → instabile Spirale. Bsp:
r = µr − r3 θ = ω + br2
95
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Hier µ bestimmt Stab des Ursprungs, ω bestimmt Frequenz der kleinen Schw., bbestimmt Abh der Frequenz von der Amplitude.
µ < 0: Fokus stabil; µ = 0: Fokus stabil, aber nur algebraisch; µ > 0: Fokusinstabil. Grenzzyklus mit r =
√µ, θ = ω + bµ. Jacobian, in Kart Koordinaten:
x = r cos θ y = r sin θ
Dannx = r cos θ − rθ sin θ = (µr − r3) cos θ − r(ω + br2) sin θ
x = (µ− [x2 + y2])x− (ω + b[x2 + y2])y = µx− ωy + kubische Terme
Genausoy = ωx+ µy + kubische Terme
Jacobian am Ursprung
A =
(
µ −ωω µ
)
Eigenwerte λ = µ± iω.Es ist auch allgemein ungefahr so: Grenzzyklus ∼ √
µ− µc, Frequenz ω = Im(λ).Das stimmt fur µ nah zu µc.
8.2.2 Subkritische Hopf-Bifurkation
r = µr + r3 − r5 θ = ω + br2
µ < 0: stabile Fokus und GZ, instab GZ. Mit µ → 0 instab GZ wird kleiner undletzendlich bekommt instab Fokus.
Hysterese. Grose Amplitude bleibt bis µ = −1/4, wenn zwei GZ kollidieren(andere Bif., wird spater behandelt).
96
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8.2.3 Entartete Hopf-Bifurkation
Z.B.x+ µx+ sinx = 0
Wenn µ bekommt negativ, stabiler Fokus wird instabil, aber um µ = 0 gibt es keinZyklus, weil das System konservativ wird (es gibt Zentrum).
Beispiel 8.3 Hopf-Bifurkation
x = µx− y + xy2 y = x+ µy + y3
Wir zeigen, dass Hopf-Bif bei Ursprung auftritt, mit Variation von µ. Jacobian amUrsprung
A =
(
µ −11 µ
)
τ = 2µ, ∆ = µ2 + 1 > 0, Eigenwerte λ = µ± i. Hopf-Bif um µ = 0. Welche genau?In Polarkoordinaten
r = µr + ry2
Also, r ≥ µr, dann fur µ > 0 r(t) wachst schneller als eµt. Also, r → ∞, kein GZ,keine superkrit. Bif.
Ist die entartet? Nein, fur µ = 0, r > 0, kein Zentrum. Also, dann ist die Bifsubkritisch. Das Bild fur µ = −0.2:
8.2.4 Belousov-Zhabotinsky-Reaktion
Einfachstes Model:
x = a− x− 4xy
1 + x2y = bx
(
1− y
1 + x2
)
97
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a, b > 0, x, y > 0 (Konzentrationen). Wir benutzen Poncare-Bendixson-Theorem umExistenz eines GZ zu zeigen, dann zeigen wir, dass Hopf-Bif superkr ist.
Nullklinen:
x = 0 =⇒ y =(a− x)(1 + x2)
4x
y = 0 =⇒ y = 1 + x2 , x = 0
FP:
98
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(a− x)(1 + x2)
4x= 1 + x2 =⇒ x∗ = a/5 , y∗ = 1 + (a/5)2
Wann ist FP ein Repeller? Wir berechnen Jacobian um FP:
A =
−1− 4y(1 + x2)− x · 2x
(1 + x2)2− 4x
1 + x2
b
(
1− y1− x2
(1 + x2)2
)
−b x
1 + x2
Mit y∗ = 1 + (x∗)2
A =
−1− 41− x∗2
1 + x∗2− 4x∗
1 + x∗2
b
(
1− 1− x∗2
1 + x∗2
)
−b x∗
1 + x∗2
A =1
1 + (x∗)2
3x∗2 − 5 −4x∗
2bx∗2 −bx∗
τ =3x∗2 − 5− bx∗
1 + (x∗)2∆ =
−3bx∗3 + 5bx∗ + 8bx∗3
[1 + (x∗)2]2=
5bx∗
1 + (x∗)2> 0
Dann, Repeller wenn τ > 0, d.h.
3a2
25− 5− ab
5> 0 b < bc = 3a/5− 25/a
99
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Dann gibt es GZ.Numerische Ergebnisse: superkritische Bif
Finden wir Frequenz nah zur Bifurkation, d.h. ω = Im(λ).
λ2 − τλ+∆ = 0
Bif. Punkt: τ = 0, ∆ > 0, also λ = ±i√∆, T = 2π√
∆.
∆ =5bx∗
1 + (x∗)2=
5(3a5 − 25a )(
a5 )
1 + (a/5)2=
15a2 − 625
a2 + 25
100
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lima→∞
∆ = 15 , lima→∞
T = 2π/√15 ≈ 1.63
101
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8.3 Globale Bifurkationen von Zyklen
Fur die Analyse sollen wir grosse Bereiche des Phasenraums betrachten, nicht nurdie Umgebung des FPs, deswegen nennt man diese Bif globale.
8.3.1 Sattel-Knoten-Bifurcation von Zyklen (fold bifurcation)
Beispiel 8.4 Die Gleichungen sind
r = µr + r3 − r5 θ = ω + br2
Wir haben schon gezeigt, dass um µ = 0 hier eine subkrit Hopf-Bif gibt. Jetzt be-trachten wir µ < 0. Erste Gl. Es gibt FP 0, 0. Stelle des Maximums: wenn die Gl
r4 − r2 − µ = 0
nur eine Lsg hat:
r21,2 =−1±√
1 + 4µ
2=⇒ µc = −1/4
FP in der Gl fur r =⇒ kreisformige Zyklen. Bemerkung: bei Hopf-Bif Radius
ist (µ − µc)1/2, hier ist Radius gleich O(1).
102
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8.3.2 Infinite-Period-Bifurkation
r = r(1− r2) θ = µ− sin θ µ ≥ 0
Zyklus fur µ > 1. Bottleneck, limµ→1+ T = ∞
Amplitude bleibt O(1), Periode (µ − µc)−1/2
8.3.3 Homoklinische Bif.
Auch saddle-loop. Hier auch T → ∞
x = y y = µy + x− x2 + xy
Numerische Lsg, nur wesentliche Trajektorien. (a,b) ist fur µ < µc ≈ −0.8645
103
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8.3.4 Skalierungsgesetze
Sei µ≪ 1 Abstand zum Bif-Punkt.
Beispiel 8.5 Van der Pol Gleichung
x+ µx(x2 − 1) + x = 0
entspricht nicht die Tabelle. Bei µ = 0 die Eigenwerte des Ursprungs sind imaginar,λ = ±i, was die Hopf-Bif hindeutet. Wir wissen aber, dass fur µ≪ 1 Amplitude derSchwingung ist ≈ 2, nicht O(µ1/2).
Erklarung: Bif ist entartet. Um µ = 0 wird das System konservativ.Wir schreibendie Gl um:
x+ x+ µx2x− µx = 0
Sei u =õx.
u+ u+ u2u− µu = 0
Jetzt ist die Bif nicht entartet. Fur 0 < µ ≪ 1 ist x(t, µ) ≈ 2 cos t. Dann u =2√µ cos t, also Skalierung ∼ √
µ.
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8.4 Josephson-Kontakte, Hysterese
Wir haben 1D-Grenzfall besprochen, jetzt betrachten wir das 2D-Problem.
hC
2eφ+
h
2eRφ+ Ic sinφ = IB
IB ist dc bias current, φ(t) ist Phase uber Kontakt. Entdimensionalisierung (andersals before):
τ =
(
2eIchC
)1/2
t I =IBIc
α =
(
h
2eIcR2C
)1/2
t
φ′′ + αφ′ + sinφ = I
Hier α > 0, wir wahlen auch I ≥ 0. (Sonst kann man auch I < 0, φ→ −φ).Mit y = φ′.
φ′ = y y′ = I − sinφ− αy
Zylindrischer Phasenraum. Analogie mit dem Pendel:
mL2θ + bθ +mgL sin θ = Γ
8.4.1 FP
FP: y∗ = 0, sin φ∗ = I. Zwei FP, falls I < 1, und keine FP, falls I > 1. Jacobian:
A =
0 1
− cosφ∗ −α
τ = −α < 0 und ∆ = cosφ∗ = ±√1− I2. Wenn ∆ > 0, dann: wenn τ2 − 4∆ =
α2 − 4√1− I2 > 0, dann stabiler Knoten, sonst stab. Fokus. Um I = 1 gibt es
Sattel-Knoten-Bif.
8.4.2 GZ. Poincare-Abbildung
Was passiert fur I > 1?Nullkline y = (I − sinφ)/α > 0. Uber Nullkline Fluss ist runter gerichtet. Dann,Fluss kommt immer in Bereich y1 < y < y2, mit
0 < y1 < (I − 1)/α y2 > (I + 1)/α
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Fluss ist nach rechts (y > 0). Rechteck (0, 2π, φ1, φ2) weil 0 und 2π equivalent sind.Abbildung y → P (y), oder first-return map. Wir konnen die Abbildung explizitnicht berechnen, aber wir zeigen gleich, das die ein FP hat, P (y∗) = y∗. Das warebedeuten, dass es eine geschlossene Trajektorie gibt.
Wir starten bei y = y1, φ = 0. Dann P (y1) > y1, weil Fluss um y1 ist immer nachoben. Genauso, P (y2) < y2. Weiter, P (y) ist stetig (Lsg der DfGl ist eine stetigeFkt der Anfangsbediengung, falls Vektorfluss glatt ist.). Weiter, P (y) ist monoton,sonst kreuzen die Trajektorien. Dann, gibt es FP.
Wir sollen noch zeigen, dass es nur ein FP gibt. Wir sollen ausschliessen, dasses ein Intervall gibt, wo P (y) = y. Also, wir wollen zeigen, das es nur ein GZ gibt.Erstens, es gibt Librationen und Rotationen, aber Libration verlangt ein FP, unddie gibt es fur I > 1 nicht.
Wir nehmen an, es gibt 2 Rotationen. Energie
E = y2/2 − cosφ
Fur jede Rotation
0 = ∆E =
∫ 2π
0
dE
dφdφ
dE
dφ= y
dy
dφ+ sinφ
dy
dφ=y′
φ′=I − sinφ− αy
y
Dann
0 =
∫ 2π
0(I − αy)dφ
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Oder∫ 2π
0y(φ)dφ =
2πI
α
Aber yU(φ) > yL(φ), dann
∫ 2π
0yU (φ)dφ >
∫ 2π
0yL(φ)dφ
Also, Widerspruch =⇒ es gibt nur ein GZ.
8.4.3 Homoklinische Bif
Wir nehmen I > 1 und machen es kleiner. Um I = Ic homoklinische Bif. FurIc < I < 1 zwei Lsg: Bistabilitat. Wir wissen auch, dass wenn α sehr gross ist, dannSattel und Knoten erscheinen, das ist Inf-Per-Bif fur GZ. Numerische Untersuchungzeigt, dass fur finite α es auch so ist.
8.4.4 Hysterese
Sei α klein und das System ist unter der Homokl. Bif-Kurve. Das entspricht FP,Spannung Null. Wir machen I groesser.Um 1 Sattel-Kn Bif, das System springt zumGZ. Jetzt wird I kleiner: GZ existiert auch fur Ic < I < 1. Frequenz ∼ [ln(I−Ic)]−1.dc-Strom ist zur Frequenz proportional, also Spannung geht zu Null stetig, aber sehrschnell, kann vom Sprung nicht unterscheiden.
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8.5 Gekoppelte Oszillatoren
Zwei Variablen auf dem Kreis: Torus.
θ1 = f1(θ1, θ2) θ2 = f2(θ1, θ2)
Hier f1,2 sind periodisch. Zwei gekoppelten Osz:
θ1 = ω1 +K1 sin(θ2 − θ1) θ2 = ω2 +K2 sin(θ1 − θ2)
Torus oder Rechteck mit periodischen Randbedingungen.
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113
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8.5.1 Ungekoppelte Systeme
ω1/ω2 entweder rational, ω1/ω2 = p/q, dann geschl. Trajekt auf dem Torus, sonstquasiperiodosche Bew. Trajekt sind dicht, kommen unendlich nah zu jedem Punkt.Bsp: p = 3, q = 2.
8.5.2 Gekoppelte Systeme
K1,2 > 0. Phasendifferenz φ = θ1 − θ2
φ = ω1 − ω2 − (K1 +K2) sinφ
Synchronisation, falls |ω1 − ω2| < K1 +K2
sinφ∗ =ω1 − ω2
K1 +K2
Gemeinsame Frequenz ω∗ = θ1,2 = ω1 −K1 sinφ∗ = ω2 +K2 sinφ
∗.
ω∗ = ω1 −K1ω1 − ω2
K1 +K2=K1ω2 +K2ω1
K1 +K2
∣
∣
∣
∣
ω1 − ω∗
ω2 − ω∗
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
K1
K2
∣
∣
∣
∣
8.5.3 n : m Synchronisation
Allgemeinθ1 = ω1 +KQ1(θ1, θ2) θ2 = ω2 +KQ2(θ2, θ1)
114
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Beide Fkt sind 2π periodisch. Wir stellen sie durch Fourier-Series dar:
Q1(θ1, θ2) =∑
k,l
a(k,l)1 ei(kθ1+lθ2)
Q2(θ2, θ1) =∑
k,l
a(l,k)2 ei(kθ1+lθ2)
Langsame Termekω1 + lω2 ≈ 0
Nehmen wir an:ω1
ω2≈ m
n
Dann alle Terme mit k = nj, l = −mj sind langsam. Gemittelte Gl:
θ1 = ω1 +K∑
j
a(nj,−mj)1 eij(nθ1−mθ2) = ω1 +Kq1(nθ1 −mθ2)
θ2 = ω2 +Kq2(mθ2 − nθ1)
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Mit ν = mω2 − nω1, ψ = nθ1 −mθ2, und q(ψ) = nq1(ψ)−mq2(−ψ)
ψ = −ν +Kq(ψ)
FP: nθ1 −mθ2 = const,
Ω1,2 = 〈θ1,2〉 = ω1,2 +Kq(±ψ∗)
Ω1
Ω2=m
n
8.6 Poincare-Abbildung
Wir definieren die Abbildung gleich fur n-dimensionales System. Sei S eine n−1-dimOberflache, transversal zum Fluss.
Poincare-Abbildung ist eine Abbildung S → S, xk+1 = P (xk). Sei x∗ ein FP,
dann P (x∗) = x∗ und es gibt geschlossene Trajektorie in x = f(x).
Beispiel 8.6
r = r(1− r2) θ = 1
Als S wir nehmen x-Achse fur x > 0. Anfangsbed r0. Ruckkehr nach t = 2π, dannr1 = P (r0), mit
∫ r1
r0
dr
r(1− r2)=
∫ 2π
0dt = 2π
Gl ist losbar,
r1 =[
1 + e−4π(r−20 − 1)
]−1/2
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Dann
P (r) =[
1 + e−4π(r−2 − 1)]−1/2
FP P (r) = r, Stabilitat.
Beispiel 8.7 RC-Schaltkreis, harmonische Spannung
x+ x = A sinωt
Wir zeigen, dass es eine geschl stabile Trajektorie gibt.Zylindrischer Phasenraum. Als S nehmen wir Linie θ mod 2π = 0. Also, wir
nehmen die Punkte um tk = k 2πω . Lsg der Gl:
x(t) = c1e−t + c2 sinωt+ c3 cosωt
Konstanten c2, c3 sind von A, ω abh, c1 ist von x0 abh. Um t = 0
x(0) = x0 = c1 + c3
Dannx(t) = (x0 − c3)e
−t + c2 sinωt+ c3 cosωt
x1 = P (x0) = x(t =2π
ω) = (x0 − c3)e
−2π/ω + c3 = x0e−2π/ω + c4
Abbildung ist eine Gerade mit der Steigung < 1 =⇒ FP ist stabil.
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8.6.1 Lineare Stabilitat von Zyklen
Angenommen, x = f(x) hat ein Zyklus, dann gibt es FP x∗. Stabilitat? Sei v0 infi-nitesimal kleine Storung. Also, x∗ + v0. Dann, nach einer Revolution
x∗ + v1 = P (x∗ + v0) = P (x∗) + [DP (x∗)]v0 +O(|v0|2)
Hier DP (x∗) ist eine (n−1)×(n−1) Matrix, Linearisierung der Poincare-Abbildungum x∗. Mit x∗ = P (x∗)
v1 = [DP (x∗)]v0
(Wir vernachlassigen nichtlineare Glieder.)Stabilitatskriterium: sei λj die Eigenwerte von DP (x∗). Falls |λj | < 1 fur alle
j = 1, . . . , n−1, dann GZ ist stabil. Erklarung: sei alle λj unterschiedlich. Dann gibtes Basis von Eigenvektoren ej. Dann
v0 =n−1∑
j=1
vjej
v1 = [DP (x∗)]n−1∑
j=1
vjej =n−1∑
j=1
vjλjej
vk =n−1∑
j=1
vjλkj ej
Falls |λj | < 1, dann |vk| → 0, und x∗ ist linear stabil. λj sind Floquet-Multiplikatoren.Normalerweise, findet man die nur numerisch. Es gibt noch ein Multiplikator, derder Storung langs die Trajektorie entspricht.
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Beispiel 8.8
r = r(1− r2) θ = 1
Wir finden Multiplikator des Zyklus. FP r∗ = 1. Sei r = 1 + η. Dann
r = η = (1 + η)(1− (1 + η)2)
η = −2η =⇒ η(t) = η0e−2t
Zeit der Revolution 2π, dann ist die neue Storung η1 = e−4πη0.Also, λ1 = e−4π < 1 =⇒ stabil.
Beispiel 8.9 Josephson-KontakteN -dim System. N -Kontakten mit Widerstand. Modell:
φi = ω + a sinφi +1
N
N∑
j=1
sinφj
Wir betrachten die Lsg φj(t) = φ∗(t) (synchrone Lsg, nicht FP). Wann ist diese Lsgperiodisch? Ist die stabil?
dφ∗
dt= ω + (a+ 1) sin φ∗
Periodisch Lsg (Rotation) falls |ω| > |a+ 1|. Kleine Storung φi(t) = φ∗(t) + ηi(t).
dφ∗
dt+ ηi = ω + a sin(φ∗ + ηi) +
1
N
N∑
j=1
sin(φ∗ + ηj)
dφ∗
dt+ ηi = ω + a(sinφ∗ + cosφ∗ · ηi) +
1
N
N∑
j=1
sinφ∗ +1
N
N∑
j=1
cosφ∗ · ηj
ηi = (a cos φ∗)ηi + cosφ∗1
N
N∑
j=1
ηj
Wir wissen φ∗ nicht, aber das Problem ist trotzdem losbar. Neue Variablen:
µ =1
N
N∑
j=1
ηj , ξi = ηi+1 − ηi , i = 1, . . . , N − 1 .
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Dannξi = (a cosφ∗)ξi
dξiξi
= (a cosφ∗)dt =(a cosφ∗)dφ∗
ω + (a+ 1) sin φ∗
∫ T
0
dξiξi
=
∫ 2π
0
(a cosφ∗)dφ∗
ω + (a+ 1) sin φ∗
lnξi(T )
ξi(0)=
a
a+ 1ln(ω + (a+ 1) sinφ∗)|2π0 = 0 =⇒ ξi(T ) = ξi(0)
Also, alle Multiplikatoren sind 1. Wir summieren alle Gl fur ηi =⇒
µ = (a cos φ∗)µ + (cosφ∗)µ
Genauso, Multiplikator ist auch 1. Neutrale Stab.
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Kapitel 9
Lorenz-Gleichungen
9.1 Modell und die einfachen Eigenschaften
Edward Lorenz, 1963. Modell der Konvektion. Variablen:
x ∼ T3 − T1 y ∼ V z ∼ T4 − T2
Lorenz-Gleichungen:
x = σ(y − x) y = rx− y − xz z = xy − bz
Zwei nichtlin Terme, drei Parameter > 0.Symmetrie: (x, y) → (−x,−y), d.h. wenn x(t), y(t), z(t) ist eine Losung, dann
−x(t),−y(t), z(t) ist es auch.
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3
VT1
T2
T
T4
−20 0 20x
−20
0
20
y
0
20
40
z
0 10 20 30 40 50time
−15
0
15
x
−20
0
20
y
0
20
40
z
(a) (b)
122
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9.1.1 Volumenkontraktion
Das System ist dissipativ. Allg: x = f(x); wir nehmen ein Volumen V von Anfangs-bedingungen, eingeschlossen bei der Oberflache S.
V (t+ dt) = V (t) +
∫
S(f · ndt)dA
V =
∫
S(f · n)dA =
∫
V∇fdV
Fur das Lorenz-System
∇f =∂
∂x[σ(y − x)] +
∂
∂y[rx− y − xz] +
∂
∂z[xy − bz] = −σ − 1− b = const < 0
V (t) = V (0)e−(σ+1+b)t)
9.1.2 Mogliche Losungen
Quasiperiodische Lsg? Das wahre ein Torus, Volumen konstant. Widerspruch.Repelling FP oder Zyklen. Widerspricht Volumenkontraktion.FP.
y = x
rx− y = xz
xy = bz
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Erstens, FP (0, 0, 0). Weiter:
(r − 1)x = xz =⇒ (r − 1) = x2/b =⇒ x∗ = y∗ = ±√
b(r − 1)
mit r > 1.z∗ = r − 1
Nach Lorenz: C+ und C−. FP entsprechen Links- bzw Rechtsrotation. Pitchfork umr = 1
9.1.3 Lineare Stabiltat des Urprungs
Linearizierung:x = σ(y − x) y = rx− y z = −bz
z-Richtung ist entkoppelt, z(t) → 0. Fur x, y:
A =
−σ σ
r −1
mit τ = −σ − 1 und ∆ = σ(1 − r).Fur r > 1 wir haben ∆ < 0 =⇒ Sattel. (In 3D: zwei stabile und eine instabileRichtung.)Fur r < 1 ist Ursprung stabil. τ2 − 4∆ = (σ + 1)2 − 4σ(1 − r) = (σ − 1)2 + 4σr >0 =⇒ Knoten.
9.1.4 Globale Stabiltat des Urprungs (r < 1)
Lyapunov-Funktion:
V (x, y, z) =1
σx2 + y2 + z2
Wir zeigen, dass V < 0 fur (x, y, z) 6= (0, 0, 0).
V /2 =1
σxx+ yy + zz = (yx− x2) + (ryx− y2 − xyz) + (zxy − bz2)
V /2 = (r + 1)xy − x2 − y2 − bz2 = −[x− r + 1
2y]2 − [1− (
r + 1
2)2]y2 − bz2
Positiv kann nicht sein, weil r < 1. V = 0 =⇒ (x, y, z) = (0, 0, 0).
124
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9.1.5 Trapping region (r > 1)
Kugeloberflachex2 + y2 + (z − r − σ)2 = C
mit C gross genug.
1/2C = xx+ yy + (z − r− σ)z = σx(y − x) + y(rx− y − xz) + (z − r− σ)(xy − bz)
1/2C = −σx2 − y2 − bz2 + brz + σbz = −[σx2 + y2 + b(z − r + σ
2)2 − b(r + σ)2/4]
Man kann so ein Ellipsoid wahlen, dass C < 0 ist. Dann kann man auch C so wahlen,dass die Kugeloberflache das Ellipsoid enthalt. Dann bestimmt diese Kugeloberflachetrapping region.
9.1.6 FP: Stabilitat
Sei jetzt r > 1. C+ und C− sind stabil fur
1 < r < rH =σ(σ + b+ 3)
σ − b− 1
und σ > b+ 1. Subkritische Hopf-Bif um rH .Also, fur r > rH gibt es keine FP, aber Trajektorien gehen nicht unendlich weit.
Wir zeigen bald (aber nicht strikt), dass alle GZ instabil sind.
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9.2 Chaos
Chaotische Bewegung.Exponenzielle Divergenz von Trajektorien. Keine Vorhersagbarkeit.
|δ(t)| ∼ |δ0|eλt
Attractor A:
1. Invariante Menge: wenn x(t) startet im A, dann bleibt auch im A.
2. Zieht eine offene Menge von Anfangsbedingungen an: ∃ U sodass wenn x(0) ∈U , dann x → A mit t→ ∞. Maximales U heisst Einzugsbereich.
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3. A ist minimal.
Fraktale Struktur.
9.3 Lorenz-Abbildung
1D Approximation: zn+1 = f(zn) mit |f ′(z)| > 1. Angenommen, gibt es ein GZ, dasentspricht f(z∗) = z∗. Storung ηn.
zn+1 = f(z∗ + ηn) = z∗ + f ′(z∗)ηn = z∗ + ηn+1 =⇒ |ηn+1| > |ηn|
Zyklus instabil. Allgemein, Zyklus Periode p: zn+p = zn. Dann
ηn+p =
p−1∏
k=0
f ′(zn+k)
ηn
Aber |f ′(z)| > 1 fur alle z, deswegen p-Zyklus ist auch instabil.
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