01417268:2nd 2014 chapterII:08022015

1

บทท 2 การแกระบบสมการเชงเสน พจารณาระบบสมการเชงเสน

11212111 bxaxaxa nn

22222121 bxaxaxa nn

mnmnmm bxaxaxa 2211

เราสามารถเขยนไดในรปเมทรกซ BXA เมอ

3

2

1

21

22221

11211

,

x

x

x

X

aaa

aaa

aaa

A

mnmm

n

n

และ

3

2

1

b

b

b

B

เรยกเมทรกซ A วาเมทรกซของสมประสทธ ในกรณท 0B จะเรยกระบบสมการขางตนวาระบบสมการเอกพนธ

(Homogeneous system) ในกรณท 0B จะเรยกระบบสมการขางตนวาระบบสมการไมเอกพนธ

(Non homogeneous system)

------------(1)

01417268:2nd 2014 chapterII:08022015

2

เทคนคพนฐานในการแกระบบสมการแบงไดเปน 2 แบบคอ o ทางตรง (Direct Method) เชน การใชกฎเครเมอร การหาอนเวอรสของ

เมตรกซ การก าจดแบบเกาส เปนตน o ประมาณคาผลเฉลยโดยการท าซ า (Iteration Method) เชน ระเบยบวธ

ของ Jacobi หรอ ระเบยบวธของ Gauss-Seidel บางครงระบบสมการเชงเสน (1) อาจเขยนแทนดวยเมทรกซแตงเตม

mn

n

n

mnmm

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

BA

2

1

21

22221

11211

]|[

ในบทนเราจะพจารณาการหาผลเฉลยของสมการ (1) เมอ nm หรอระบบสมการ n สมการ n ตวแปร นนคอเราจะไดเมทรกซแตงเตมมขนาด

1 nn การด าเนนการตามแถว (Elementary Row Operations) บนเมทรกซคอการ

ด าเนนการอยางใดอยางหนงตอไปน 1. สลบทระหวางแถวท i กบแถวท j เมอ ji เขยนแทนดวย ji RR 2. คณแถวท i ดวยจ านวนจรง 0k เขยนแทนดวย ii kRR หรอ ikR 3. แทนทแถวท j ดวยผลบวกของแถวท j กบ k เทาของแถวท i โดยท

0k เขยนแทนดวย ijj kRRR หรอ ij kRR

01417268:2nd 2014 chapterII:08022015

3

Gauss - Jordan

ระเบยบวธ Gauss-Jordan

คอการด าเนนการตามแถวกบเมทรกซแตงเตม ][ IA ใหอยในรป ][ 1AI ][ IA ][ 1AI

แลวหาผลเฉลยของ BXA โดยใชเมทรกซผกผน (Inverse) ของเมทรกซ A นนคอ BAX 1

ขอควรระวงคอเมตรกซ A จะหาเมตรกซผกผนไดกตอเมอ A เปนเมทรกซเอกฐาน นนคอ det (A) 0

ตวอยาง จงหาผลเฉลยของระบบสมการ

52

723

1032

zyx

zyx

zyx

วธท า ในขนแรกตรวจสอบวาเมทรกซของสมประสทธเปนเมทรกซเอกฐาน

030

112

231

321

)det(

112

231

321

AA

เปนเมตรกซเอกฐาน

100112

010231

001321

]|[ IA

01417268:2nd 2014 chapterII:08022015

4

102550

011510

001321

2 13

12

RR

RR

1573000

011510

0231301

5

2

23

21

RR

RR

30/130/530/7100

011510

0231301

30

13R

30/130/530/7100

30/530/530/5010

30/1330/530/1001

5

13

32

31

RR

RR

ดงนนจะไดวา

1

2

3

30

60

90

30

1

5

7

10

157

555

1351

30

1X

นนคอ 2,3 yx และ 1z เปนผลเฉลยของระบบสมการ

01417268:2nd 2014 chapterII:08022015

5

การก าจดแบบเกาส (Gauss Elimination)

ลดรปเมทรกซ A ใหอยในรปเมทรกซขนบนได(หรอขนบนไดลดรป) โดยวธด าเนนการตามแถว เชน

000

110

021

,

10000

01000

00521

BA

ในทน A เปนเมทรกซขนบนไดลดรป แต B เปนเมทรกซขนบนได จากนนเปลยนเมทรกซขนบนไดกลบไปเปนระบบสมการเชงเสนใช “วธการแทนคายอนกลบ” เพอหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนทก าหนดให

วธทงายทสดในการลดทอนรปทสดคอถา 0iia เราจะหา ii

kiki a

am

แลวด าเนนการตามแถวโดย ikikk RmRR ดวยวธนเราจะสามารถก าจดแถวทอยใต iia ใหเปนศนยทงหมดท าใหไดเมตรกซแตงเตมเปน

nnn

n

n

ba

baa

baaa

00

0 2222

111211

ซงจะเปนเมตรกซแบบขนบนได

แทนคายอนกลบ จะได nn

nn a

bx

เมอไดคา nx กแทนคายอนกลบไปเพอหา 1nx ซงเราจะได

01417268:2nd 2014 chapterII:08022015

6

nnnn

nnn xab

ax

1111

11

เมอแทนคาไปเรอยๆจะได ix ในรป

1111 ...1

iiinnininiii

i xaxaxaba

x

หรอ

n

ijjiji

iii xaba

x1

1

ตวอยาง จงหาผลเฉลยของระบบสมการ โดยวธ Gauss Elimination

322

22

42

zyx

zyx

zyx

วธท า

3

2

4

122

211

112

]|[ BA

1

0

4

210

2/32/30

112

1

1

3

2 2

1

RR

RR

1

0

4

210

110

11223

2R

1

0

4

100

110

11223 RR

เขยนในรประบบสมการไดเปน

01417268:2nd 2014 chapterII:08022015

7

1 z 0 zy

42 zyx แทนคากลบจะได 14

2

1,10,1

1

1

yzxzyz

สงเกตวาถาในขนตอนท i พบวา 0iia กจะท าให ii

kiki a

am ไมนยาม

หรออาจจะท าใหแทนคายอนกลบไมไดเมอ 0nna แตกไมไดหมายความวาระบบสมการไมมผลเฉลย ดงนนเราจงจ าเปนจะตองปรบปรงเทคนคในการหาคาผลเฉลยน

ตวอยาง พจารณาระบบสมการเชงเสน

434

2

203322

82

wzyx

zyx

wzyx

wzyx

ไดเมตรกซแตงเตม

43411

20111

203322

81211

BA :

เมอเราด าเนนการตามแถว 122 2RRR , 133 RRR และ

144 RRR ตามล าดบเราจะได

01417268:2nd 2014 chapterII:08022015

8

124200

61120

41100

81211

BA :

จะเหนวา 022 a ท าใหการด าเนนการตามแถวแบบตรงไปตรงมาท าตอไมได เราจงจ าเปนตองสลบแถว โดย 32 RR ซงเกดจากการทเราพยายามมองหาหลกน าทไมใชศนยทอยใตแถวท 22a แถวใดททม 2ia ไมเทากบศนยแถวแรก เรากจะสลบแถวนนกบแถวทสอง

ในทนเราได

124200

41100

61120

81211

BA :

ก าจดแถวท 3 และ 4 ไดโดยวธตรง ซงเราได

42000

41100

61120

81211

BA :

แทนคายอนกลบ นนคอเราได 22

44 x ,

21

14 43

xx ,

32

16 242

xxx ,

7

1

1218 2341

xxxx

01417268:2nd 2014 chapterII:08022015

9

ตารางตอไปนสรปจ านวนครงในการค านวณ โดยการก าจดแบบเกาสกบเมทรกซขนาด n

n คณ/หาร บวก/ลบ 3 17 11 10 430 375 50 44150 42875

100 343300 338250

01417268:2nd 2014 chapterII:08022015

10

กลยทธการก าหนดหลก

ถาเมทรกซทตองน ามาท าการก าจดแบบเกาสมขนาดใหญกจะท าใหจ านวนของการค านวณมากขนไปดวยอยางมาก

เมอการค านวณแตละครงมการปดเศษ กจะท าใหเกดการแพรกระจายของความคลาดเคลอนมากตามไปดวย

จากตวอยางกอนหนา ถา 0iia จะหา p ทนอยทสดแตมากกวา i ซง 0pia

แลวท าการสลบแถว i กบแถว p แลวจงด าเนนการตามแถวตอ เพอลดความผดพลาดจากการปดเศษ อาจจ าเปนตองสลบแถวแมวาสมาชกหลก

0iia เพราะเมอ iia มคานอยๆ จะมผลท าใหขนาดของตวคณแถว ii

kiki a

am

จะมากกวา 1 มาก ท าใหเกดคาผดพลาดเมอค านวณ kia ซง ija จะถกคณดวย

kim เมอพจารณาสตรการแทนคายอนกลบ

n

ijjiji

iii xaba

x1

1

พบวาในขนตอนการแทนคายอนกลบ เราจะตองน า iia มาหาร ซงท าใหความผดพลาดจากการปดเศษเพมมากขนมาก

01417268:2nd 2014 chapterII:08022015

11

ตวอยาง จงหาผลเฉลยของระบบสมการ

17.5914.59003.0 yx

78.4613.6291.5 yx โดยใช Gauss elimination โดยทระบบสมการถกก าหนดความแมนย าแบบเลขคณต 4 ต าแหนง (4 S.D.) พรอมดวยการปดเศษ วธท า เนองจาก 003.011 a ซงมคานอยมาก

ดงนน 17646.1763003.0

291.521 m

ด าเนนการตามแถว 12122 RmRR และปดเศษได

17.5914.59003.0 yx 104400104300 y

แทนคายอนกลบจะได 001.1y และ

10003.0

001.114.5917.59

x

แตถาไมปดเศษจะไดระบบสมการคอ

17.5914.59003.0 yx ** 376.104309376.104309 y

จะเหนไดวาการแทนคายอนกลบเพอหา x จงเกดความผดพลาดอยางชดเจน

01417268:2nd 2014 chapterII:08022015

12

ตวอยางขางตนแสดงใหเหนถงความเสยหายเมอสมาชกหลกมคานอยเมอเทยบกบ njinkiakj , เพอหลกเลยงปญหานเราจะใชกลยทธการก าหนดหลก

โดยเลอก pqa ทมคามากเปนสมาชกหลกและสลบสลบแถว i กบแถว p ตามดวยการสลบแนวตง i กบแนวตง q (ถาจ าเปน)

กลยทธงายสด คอ เลอก ณ ขนตอนท i สมาชกในแนวตงเดยวกนทอยใตเสนทแยงมมและมคาสมบรณมากสด กลาวคอหาคานอยทสดของ ip ท kinkipi aa

max

ตวอยาง พจารณาระบบสมการ 17.5914.59003.0 yx

78.4613.6291.5 yx เราจะใชกรรมวธการหาหลกทกลาวมาแลว ซงหลกทเราตองการหาไดจาก

212111 291.5},max{ aaaapi

จะไดวา 2p และ 1i ดงนนจะสลบแถวท 1 กบ 2 นนคอ 21 RR จะไดระบบสมการ 78.4613.6291.5 yx

17.5914.59003.0 yx

หาตวคณเพอก าจดแถวทสอง 000567.011

2121 a

am

01417268:2nd 2014 chapterII:08022015

13

ด าเนนการ 12122 RmRR แลวระบบสมการเปลยนเปน

78.4613.6291.5 yx

14.5914.59 y

ผลเฉลยเมอแทนคายอนกลบทความแมนย า 4 S.D. คอ 10x และ 1y ซงเปนคาทถกตอง

เทคนคทกลาวไปขางตนน เรยกวา “การหาหลกแนวตงสงสด หรอการหาหลกยอย”

สามารถใชการหาหลกแนวตงในการด าเนนการกบระบบสมการเชงเสนสวนใหญ ซงจะใหผลเปนทนาพอใจ

แตในบางสถานการณกอาจจะยงไมเพยงพอ และเกดปญหาขนได เชน

59170059140030 yx

78.4613.6291.5 yx

สงเกตวาสมการแรกคอสมการในตวอยางกอนหนาคณดวย 410 โดยกลยทธการหาหลกแนวตงสงสด คาสมประสทธทมากของสมการแรก ไม

ท าใหเกดการสลบแถว ซงในกรณนจ าเปนจะตองใชเทคนค “การหาหลกแบบแนวตงเปนสวน (scale-column pivoting)”

01417268:2nd 2014 chapterII:08022015

14

การหาหลกแบบแนวตงเปนสวน (scale-column pivoting)

ขนแรกจะตองนยามตวประกอบเปนสวนของแตละแถว

kjnjk aS

,...,2,1max

พจารณาการสลบแถวทเหมาะสม เพอวาง 0 ในแนวตงแรกโดยการเลอกจ านวนเตม p ตวแรกทวา

k

k

nkp

p

S

a

S

a1

,...,2,1

1max

ด าเนนการสลบแถว pRR 1 ผลของการก าหนดสวนเพอรบประกนวาสมาชกสงสดในแตละแถวมขนาดสมพทธเปนหนงกอนการสลบแถวซงจะถกใชเปรยบเทยบในการเลอกแถวสลบตอไป

ในกรณทวไป เมอท าถงขนตอนท i เรากจะเลอกแถวสลบโดยพจารณา

k

ki

niikp

pi

S

a

S

a

,...,1,max

ในเมทรกซจตรสยอยทไดจากการใช Gauss elimination

01417268:2nd 2014 chapterII:08022015

15

ตวอยาง (Sheet) ใชการหาหลกแบบแนวตงเปนสวนกบระบบสมการ

59170059140030 yx

78.4613.6291.5 yx

จะไดวา 591400591400,30max1 S

13.613.6,291.2max2 S

ดงนนเมอพจารณาแถวท 1 ตามการหาหลกแบบแนวตงเปนสวน จะได

4

1

11 105073.0591400

30 S

a ส าหรบแถวท 1

8631.013.6

291.5

2

21 S

a ส าหรบแถวท 2

จะเหนวาคาทค านวณไดส าหรบแถวทสองมากกวาคาในแถวทหนง ดงนนจงจ าเปนตองมการสลบแถว โดยให 21 RR

ใช Gauss elimination จะไดคาผลเฉลยทถกตอง 10x และ 1y