0,25 3,5 4,5 0,2 - unisalento.it

Guida al Laboratorio di Fisica I

Luigi Renna

DIPARTIMENTO DI FISICA E INFN UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI LECCE

a.a. 2013/2014

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0 2 4 6 8 10 12

x

f

A A

B B C

D

a

b c

cursore F

mg

m

θ

l

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2

Laboratorio I - Corso di Laurea in Fisica Facoltà di Scienze M.F.N. – Università del Salento

© L. Renna

1

Informazioni legali: Copyright © 2013 Luigi Renna

Questo documento è tutelato ai sensi delle leggi sul diritto d’autore e delle norme a

protezione della proprietà intellettuale. Riproduzioni o suo impiego sono consentiti

con indicazione della fonte.

This work is licensed under the Creative Commons Attribuzione - Non commerciale

- Non opere derivate 3.0 Italia License. To view a copy of this license, visit

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/it/.

Indirizzo dell’autore:

Università del Salento

Dipartimento di Matematica e Fisica “E. De Giorgi”

via per Arnesano, 73100 Lecce

email: [email protected]

web: http://www.unisalento.it/people/luigi.renna

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/it/


© L. Renna

2

Sommario

Premessa ...................................................................................................................... 5 Parte I ........................................................................................................................... 6 1 Fisica e misura ..................................................................................................... 6

1.1 Grandezze fondamentali e derivate. Sistemi di unità di misura .................. 6

1.2 Il Sistema Internazionale ............................................................................. 7 1.2.1 Lunghezza ................................................................................................ 7 1.2.2 Massa ....................................................................................................... 8

1.2.3 Tempo ...................................................................................................... 8 1.3 Dimensioni delle grandezze ......................................................................... 9 1.4 Analisi dimensionale .................................................................................. 10 1.5 Cambiamento di sistema di unità di misura ............................................... 11

1.5.1 Esempi. .................................................................................................. 11 1.6 Stima di ordine di grandezza ..................................................................... 12

2 Strumenti di misura ............................................................................................ 13 2.1 Misure dirette e indirette ............................................................................ 13 2.2 Componenti fondamentali degli strumenti di misura ................................ 13

2.3 Caratteristiche degli strumenti di misura ................................................... 14

2.3.1 Intervallo di funzionamento ................................................................... 14 2.3.2 Prontezza ................................................................................................ 15 2.3.3 Curva di risposta e scale ........................................................................ 15

2.3.4 Sensibilità ............................................................................................... 16 2.3.5 Precisione ............................................................................................... 17

2.4 Accuratezza ................................................................................................ 18 2.5 Offset ......................................................................................................... 18

3 Errori nelle misure ............................................................................................. 19

3.1 Rappresentare le misure ............................................................................. 19 3.2 Classificazione degli errori ........................................................................ 20

3.2.1 Errori sistematici .................................................................................... 20 3.2.2 Errori casuali .......................................................................................... 21 3.2.3 Accuratezza e precisione ....................................................................... 22

3.2.4 Incertezza frazionaria ............................................................................. 22 3.2.5 Cifre significative e arrotondamenti ...................................................... 23

4 Incertezza di sensibilità - incertezza massima ................................................... 24 4.1 Propagazione degli errori massimi ............................................................ 25

4.1.1 Funzioni algebriche ................................................................................ 25

4.1.2 Funzioni arbitrarie. Caso generale ......................................................... 27 4.1.3 Propagazione dell’incertezza relativa .................................................... 29

4.1.4 Esempi ................................................................................................... 30 5 Rappresentazione grafica dei risultati sperimentali ........................................... 32

5.1 Esempi di linearizzazione .......................................................................... 32 5.2 Costruzione di scale non lineari ................................................................. 34


© L. Renna

3

5.3 La migliore curva che si adatta ai dati sperimentali .................................. 35

5.3.1 Fit lineare ............................................................................................... 35 5.3.2 Metodo della massima e minima pendenza ........................................... 36

6 Incertezze nelle misure ripetute ......................................................................... 38 6.1 Errori casuali .............................................................................................. 38

6.1.1 Valor medio ........................................................................................... 38

6.2 Stima delle incertezze ................................................................................ 39 6.2.1 Incertezza massima ................................................................................ 39 6.2.2 Deviazione Standard .............................................................................. 39

6.3 Propagazione delle incertezze .................................................................... 41 6.3.1 Somma ................................................................................................... 41

6.3.2 Funzione non lineare .............................................................................. 42 6.3.3 Funzione di più variabili ........................................................................ 42

6.4 Deviazione standard della media ............................................................... 44

6.5 Osservazioni sulla propagazione delle incertezze nelle misure indirette .. 45 6.5.1 Esempi ................................................................................................... 46

7 Distribuzioni ...................................................................................................... 47 7.1 Distribuzioni di frequenze ......................................................................... 47

7.1.1 Istogrammi ............................................................................................. 48 7.2 La distribuzione limite ............................................................................... 49

7.3 Distribuzioni continue ................................................................................ 50 7.3.1 Distribuzione normale ............................................................................ 50 7.3.2 Distribuzione uniforme .......................................................................... 51

7.4 Legge dei grandi numeri e significato probabilistico della distribuzione

normale .................................................................................................................. 53 7.5 Teorema del limite centrale ....................................................................... 55 7.6 Media pesata .............................................................................................. 56

7.7 Stima di confidenza per la media ............................................................... 57 7.7.1 Compatibilità con un valore assegnato .................................................. 58 7.7.2 Compatibilità di due valori misurati ...................................................... 59

7.8 Il principio di massima verosimiglianza .................................................... 59

7.9 La distribuzione t di Student ...................................................................... 60 Parte II ........................................................................................................................ 62 8 Strumenti di misura. Misura di lunghezze ......................................................... 62

8.1 Calibro a cursore ........................................................................................ 62 8.1.1 Esempi di letture .................................................................................... 64

8.2 Calibro Palmer ........................................................................................... 65 8.2.1 Esempi di letture .................................................................................... 65

8.3 Sferometro ................................................................................................. 66 9 Strumenti di misura. Misura di massa ............................................................... 68

9.1 La bilancia: principio di funzionamento .................................................... 68 9.2 La bilancia analitica ................................................................................... 68

9.2.1 Lettura della posizione di equilibrio ...................................................... 70

9.2.2 Sensibilità ............................................................................................... 70 9.2.3 Misura diretta ......................................................................................... 71 9.2.4 Differenze nelle posizioni di equilibrio ................................................. 72

9.2.5 Errori sistematici .................................................................................... 73 9.2.6 Misura della massa col metodo della tara .............................................. 73


© L. Renna

4

10 Misura del periodo di un pendolo e dell’accelerazione di gravità ..................... 75

10.1 Periodo del pendolo semplice .................................................................... 75 10.2 Misura di g ................................................................................................. 76

Parte III ...................................................................................................................... 78 11 Appendice – Tabelle delle distribuzioni ............................................................ 78 Bibliografia ................................................................................................................ 81

Ringraziamenti ........................................................................................................... 82


© L. Renna

5

Premessa

Questo manuale costituisce una guida allo studio del corso di Laboratorio I, redatta sulla traccia delle lezioni tenute dal sottoscritto nell’anno accademico 2005/2006. In esso sono sviluppati anche gli argomenti la cui conoscenza è necessaria per lo svolgimento delle esercitazioni pratiche di laboratorio. In nessun caso esso va utilizzato in sostituzione della frequenza alle lezioni, ma come utile riferimento per la preparazione dell’esame. In bibliografia sono riportati i testi attraverso i quali si possono effettuare utili approfondimenti o ampliamenti. Completa il materiale didattico a disposizione del corso la “Guida alle esercitazioni di Laboratorio I” – anno accademico 2013/2014.1

L.R.

Ottobre, 2013

1 È disponibile una guida introduttiva di base per la matematica:

“Nozioni elementari di calcolo differenziale e integrale” – a. a. 2013/2014.

Per l’introduzione al calcolo numerico e l’analisi dei dati in ambiente MATLAB è disponibile il

seguente materiale:

“Breve introduzione a MATLAB” – a. a. 2013/2014.

“Analisi di dati con MATLAB” – a. a. 2013/2014.


© L. Renna

6

Parte I

1 Fisica e misura La fisica è una scienza fondamentale che ha per oggetto la comprensione dei

fenomeni naturali di base che accadono nell’universo. Essa è basata su osservazioni

sperimentali e misure quantitative, realizzate allo scopo di sviluppare teorie costruite

su leggi fondamentali, comprovate dall’esperienza. Le leggi fondamentali sono

espresse nel linguaggio della matematica, lo strumento che realizza un legame tra

teoria ed esperimento. Una teoria fisica è un insieme coerente di leggi mediante le

quali è possibile enunciare affermazioni empiricamente verificabili.

L’esigenza di esprimere sia le predizioni che le osservazioni sperimentali in termini

quantitativi pone delle condizioni ben precise sulle caratteristiche delle grandezze

fisiche oggetto della costruzione teorica e delle osservazioni: esse debbono riferirsi,

direttamente od indirettamente, a quantità misurabili, delle quali cioè sia possibile

dare una definizione operativa.

Una grandezza è definita operativamente quando è indicata esplicitamente una

precisa procedura, eseguendo la quale si ottiene come risultato un numero (od un

insieme di numeri), che rappresenta il valore della grandezza in questione. Una

grandezza è quindi definita dal procedimento che porta alla sua misura. Il processo di

misura è sempre soggetto ad errori, detti errori sperimentali.

Non esiste a priori un insieme predefinito di grandezze fisiche. Esse sono introdotte

man mano che nuovi fenomeni sono scoperti.

1.1 Grandezze fondamentali e derivate. Sistemi di unità di misura

La descrizione di qualsiasi fenomeno fisico è effettuata attraverso le grandezze

fisiche che lo caratterizzano, e che sono definite tramite la loro operazione di misura

(o misurazione, cioè l’insieme delle operazioni aventi lo scopo di determinare una

stima del valore di una grandezza). Si definisce misura di una grandezza fisica il

numero che rappresenta il rapporto tra la grandezza da misurare, o misurando, ed

un’altra grandezza ad essa omogenea2, assunta come unità di misura.

Indicata con {G} l’unità di misura della grandezza fisica G e con g la sua misura, si

ha

G = g {G}. (1)

La misura deve essere oggettiva, cioè indipendente da osservatore, momento e luogo.

Alcune grandezze fisiche, opportunamente scelte, dette fondamentali, sono usate per

la definizione operativa di tutte le altre grandezze, dette derivate.

Le grandezze fondamentali sono fra loro indipendenti. Può essere scelta come

fondamentale ogni grandezza misurabile. Le unità di misura devono essere scelte

secondo una convenzione universalmente valida. La loro definizione è un’operazione

complessa, soggetta a raffinamenti successivi.

Un gruppo arbitrario di grandezze fondamentali insieme alle relative unità di misura

costituisce un Sistema di unità di misura.

2 Sono omogenee le grandezze per le quali è possibile effettuare operazioni di confronto e addizione.


© L. Renna

7

Tutte le altre grandezze sono esprimibili mediante relazioni algebriche con le

grandezze fondamentali (Sistema completo). Le grandezze derivate sono dunque

definite tramite relazioni funzionali che le collegano a quelle fondamentali.

Sia Fi la grandezza fondamentale i dell’insieme di n grandezze fondamentali e G una

grandezza derivata. Deve essere

in

i

n

in FkFFFkG

121 ...21

, (2)

dove k è una costante di proporzionalità che dipende dalla scelta delle unità di

misura di G e delle Fi; αi sono numeri razionali positivi o negativi.

Esprimendo le grandezze attraverso le rispettive unità di misura, la relazione (2) si

scrive:

nn

nn FfFfFfkGg

...2211

2211 (3)

Una definizione coerente di {G} implica k = 1, ossia:

n

nfffg

...21

21 (4)

n

nFFFG

...21

21 . (5)

1.2 Il Sistema Internazionale In meccanica le tre grandezze fondamentali sono la lunghezza (L), la massa (M) e il

tempo (T). Tutte le altre quantità fisiche della meccanica possono essere espresse in

termini di queste. Per comunicare e riprodurre i risultati di una misura è necessario

definire uno standard comune e avere a disposizione unità di misura materiali, cioè

campioni. Alcune grandezze non hanno un campione materiale, e sono stabilite

attraverso la definizione operativa dei rispettivi campioni. Dai campioni primari sono

ricavati campioni secondari. I campioni sono utilizzati per tarare gli strumenti3.

Nel 1960, una commissione internazionale definì un insieme di campioni per le

quantità fondamentali. Il sistema che fu adottato è un adattamento del sistema

metrico decimale ed è chiamato Sistema Internazionale (SI). In questo sistema, le

unità di lunghezza, massa e tempo sono rispettivamente il metro, il chilogrammo e il

secondo. Altre unità SI stabilite dalla commissione sono il kelvin per la temperatura,

l’ampere per la corrente elettrica, la candela per l’intensità luminosa e la mole per la

quantità di materia (Tabelle 1 e 2).

1.2.1 Lunghezza

Il metro era definito, fino al 1960, come la distanza fra due tacche su una particolare

barra di platino-iridio conservata sotto condizioni controllate (la sua lunghezza era

stata scelta circa uguale ad 1/40000000 della circonferenza della Terra). Dal 1960 al

1983 era definito come 1650763.73 volte la lunghezza d’onda della luce gialla

dell’isotopo 86 del kripton (86

Kr). Dal 1983 ad oggi esso è definito nel modo

seguente:

“Il metro (m) è la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un tempo uguale a

1/299792458 secondi”.4

3 Si veda il Capitolo 2.

4 Questa definizione stabilisce che la velocità della luce nel vuoto è esattamente 299792458 metri per

secondo. In aggiunta, essa richiede che sia definito prima il secondo.


© L. Renna

8

1.2.2 Massa

L’unità di misura della massa è il chilogrammo (kg) definito come la massa di un

particolare cilindro di platino-iridio conservato all’International Bureau di Pesi e

Misure di Sèvres, Francia.

Tabella 1

Grandezze e unità fondamentali del sistema SI

Grandezza Unità di misura Simbolo

Lunghezza metro m

Massa chilogrammo kg

Tempo secondo s

Temperatura kelvin K

Intensità di corrente elettrica ampere A

Intensità luminosa candela cd

Quantità di materia mole mol

1.2.3 Tempo

Prima del 1967 il campione di tempo era definito in termini del giorno solare medio

registrato nell’anno 1900 (uguale a 1/601/601/24 della sua durata). È stato quindi

ridefinito mediante la frequenza caratteristica di un particolare tipo di atomo: “il

secondo (s) è 9192631770 volte il periodo delle vibrazioni di un atomo di cesio 133

Ce”.

Tabella 2

Definizioni delle unità di base

1 m 1/299792458 c 1 s (c ≡ velocità della luce nel vuoto)

1 kg massa di un apposito campione di Pt-Ir conservato presso il BIPM

(Bureau International des Poids et Mesures)

1 s 9192631770 periodi della radiazione prodotta dal 133

Cs (riga opportuna)

1 A corrente che produce la forza di 210-7

Newton per m fra due conduttori

infiniti posti alla distanza di 1 m

1 K 1/273.16 della temperatura del punto triplo dell’acqua

1 cd intensità luminosa di 1/683 di watt per steradiante di una radiazione

monocromatica di 540×1012

Hz

1 mol quantità di sostanza che contiene tante molecole quante ve ne sono in

0.012 kg di 12

C

Il sistema SI (o MKS) non è l’unico sistema adottato, spesso si usa anche il sistema

cgs o Gaussiano, in cui le unità di lunghezza, massa e tempo sono rispettivamente il

centimetro (cm), il grammo (g) ed il secondo.5

5 In alcuni settori della fisica si utilizzano unità differenti, più adatte alla specificità dei sistemi sotto

osservazione o studio. Nel sistema di unità naturali si pone ħ = c = 1, dove ħ = 1.054589 ·10-34

kg m2

s-1

è la costante di Plank (divisa per 2π) e c la velocità della luce nel vuoto. Come conseguenza di


© L. Renna

9

In aggiunta alle unità SI di base, si usano altre unità costituite da loro opportune

potenze di dieci, identificate da appropriati prefissi (Tabella 3).

1.3 Dimensioni delle grandezze La dimensione denota la natura fisica di una grandezza. Ad esempio, la dimensione

di una distanza, in qualunque unità sia misurata, è la lunghezza. Lunghezza, massa e

tempo sono indicate rispettivamente con le lettere L, M e T. La dimensione di una

grandezza fisica è indicata da lettere racchiuse nel simbolo [ ]. In generale

n

nFFFG

]...[][][][ 21

21 . (6)

Ad esempio, le dimensioni della velocità si scrivono [v] = [L]/[T], quelle dell’area

[A] = [L]2. Le dimensioni della forza sono [F] = [M][ L][T]

-2, quelle del lavoro o

dell’energia cinetica sono date da [L] = [M] [L] 2

[T] -2

.

Da osservare che se due grandezze sono uguali 21 GG allora hanno la stessa

dimensione ][][ 21 GG . La condizione è solo necessaria: le dimensioni non

definiscono in maniera univoca le grandezze fisiche. Due grandezze possono essere

sommate algebricamente 21 GGG solo se hanno la stessa dimensione

][][ 21 GG .

È evidente che per una grandezza derivata è possibile solo la combinazione

i

i

n

iFG

][][

1 .

Ne segue che l’argomento di ogni funzione trascendente deve essere adimensionale.

Ciò si deduce facilmente osservando che nello sviluppo in serie delle funzioni

derivabili, quali, ad esempio:

...!5!3

sen53

xx

xx , ...!3!2

1e32

xx

xx ,

l’argomento compare elevato a potenze differenti.

Fig.1

Per quanto riguarda gli angoli, l’angolo piano è misurato in radianti e quello solido in

steradianti. Come si vede dalla figura 1, essendo il rapporto di grandezze omogenee,

la misura di α (o di Ω) non ha dimensione.

questa scelta si riduce il numero delle grandezze fondamentali mentre aumenta (rispetto al sistema SI)

il numero di grandezze fisiche differenti che hanno la stessa unità di misura.

O A

B

OB

AB α

Angolo piano

22

R

πR

α

S Ω

Angolo solido

44

2

2

R

πR

2R

S


© L. Renna

10

Tabella 3

Multipli e sottomultipli delle unità di misura

Fattore moltiplicativo Prefisso Simbolo

1.000.000.000.000.000.000 1018

exa E

1.000.000.000.000.000 1015

peta P

1.000.000.000.000 1012

tera T

1.000.000.000 109 giga G

1.000.000 106 mega M

1.000 103 kilo k

100 102 hecto h

10 101 deca da

0,1 10-1

deci d

0,01 10-2

centi c

0,001 10-3

milli m

0,000 001 10-6

micro μ

0,000 000 001 10-9

nano n

0,000 000 000 001 10-12

pico p

0,000 000 000 000 001 10-15

femto f

0,000 000 000 000 000 001 10-18

atto a

1.4 Analisi dimensionale Le grandezze possono essere trattate come quantità algebriche, e quindi essere

sommate o sottratte fra loro, solo se hanno le stesse dimensioni. Perciò i due membri

di una equazione devono avere la stessa dimensione. L’analisi dimensionale consiste

nel controllare la correttezza di una relazione attraverso la verifica della sua

consistenza dimensionale6. La validità della relazione x = 1/2at

2 (del moto rettilineo

uniformemente accelerato) comporta che essa soddisfi la verifica dimensionale:

[L] = [L][T]-2

[T]2.

Un tipico procedimento dell’analisi dimensionale consente di trovare una relazione

tra grandezze. Si costruisce un’espressione del tipo

21 tax ,

in cui α1 ed α2 sono degli esponenti da determinare; la relazione è corretta soltanto se

le dimensioni di entrambi i membri sono le stesse. Perciò

]L[]T[][ 21

a ,

e poiché [a] = [L] [T]-2

, si ha

]L[]T[]L[ 121 2

,

da cui si deduce che α1 = 1 e α2 = 2.

Come secondo esempio ci si propone di determinare la dipendenza funzionale (a

meno di un fattore moltiplicativo) del periodo di un pendolo semplice dalla massa m,

dalla lunghezza l e dall’accelerazione di gravità g. Posto

321 glmkT ,

ed eguagliando le dimensioni

6 Come già osservato, questo criterio non costituisce una condizione sufficiente.


© L. Renna

11

3321

321

2

2

][][][

)][]([][][][

TLM

TLLMT

si determinano gli esponenti

2

1 ,

2

1 ,0

12 ,0 ,0

3231

3321

e quindi il periodo

g

lkT ,

dove, come si sa, k = 2 π.

I coefficienti che compaiono in molte leggi fisiche hanno dimensioni ben

determinate. Ad esempio, la costante G che compare nella legge di gravitazione

universale 2

'

r

mmGF

ha dimensioni [G] = [L]

3 [M]

-1 [T]

-2.

1.5 Cambiamento di sistema di unità di misura Per convertire le unità di misura da un sistema di unità di misura A ad un sistema B

basta conoscere il cosiddetto fattore di ragguaglio r, ossia il rapporto tra le due unità

di misura nei due sistemi, riferite a uno di due questi.

Consideriamo il caso particolare in cui i sistemi di misura hanno le stesse grandezze

fondamentali ma diverse unità di misura. La grandezza è la stessa nei due sistemi:

BBAA GgGgG . (7)

Ne segue che

ABA

B

AAB rg

G

Ggg , (8)

dove

i

iAB

i Bi

Ai

BnBB

AnAA

B

AAB

i

i

n

n

rF

F

FFF

FFF

G

Gr

,

21

21

...

...

21

21

(9)

è il fattore di conversione, o di ragguaglio, A→B. Da osservare che

AB

BAr

r1

. (10)

1.5.1 Esempi.

Nel caso di unità di misura di grandezze fondamentali, il valore di r è fornito

direttamente dalla loro definizione.

Ad esempio, supponendo di voler esprimere una massa di 4.2 Kg in unità cgs basta

ricavare

310g 1

Kg 1r ,

ottenere dalla (8)


© L. Renna

12

3

Kgg 102.4 rgg

e quindi

4.2 Kg = 4.2 · r g = 4.2 · 103 g.

Analogamente, supponendo di voler esprimere in secondi la misura di un intervallo

di tempo di 2 min, si ha

60s 1

min 1r , 2 min = 2 · r s = 120 s.

Nel caso di grandezze derivate è utile determinare prima il fattore di ragguaglio. Si

voglia esprimere in m/s la velocità v = 20 miglia/ora.

s 1 m, 1

ora 1 miglio, 1

21

21

BB

AA

FF

FF

447.03600

1609

s) (1 m 1

ora) (1miglio 11-

-1

ABr

Perciò si ha

v = 20 · rAB m/s = 8.9 m/s.

Per la conversione della densità ρ ([ρ] = [M] [L]-3

[T]0) dal sistema SI al cgs, il

fattore di ragguaglio è

3323

3

10)10(10cm 1

m 1

g 1

Kg1

ABr

e dalla (9) si ottiene

cgs 3-33-3

SI 10cm g 10m Kg 1 .

Infine eseguiamo la conversione dell’energia SI→cgs:

Lavoro [L] = [M] [L]2[T]

-2.

72223

3,2,1,

3

3

2

2

1

1

10)1()10()10(

)()()( 321

321

ABABAB

B

A

B

A

B

A

B

AAB

rrr

F

F

F

F

F

F

G

Gr

Perciò 1 J = 107 erg.

1.6 Stima di ordine di grandezza Spesso risulta utile conoscere solo approssimativamente un dato risultato relativo a

una certa grandezza. Questa valutazione, basata su ipotesi semplificatrici, permette di

stabilire se sia necessaria una determinazione più accurata. In una stima di ordine di

grandezza i risultati sono accettabili entro un fattore 10. Dire che una grandezza

aumenta di due ordini di grandezza significa che il suo valore è aumentato di un

fattore 102 = 100.


© L. Renna 13

2 Strumenti di misura Si è detto che in una misura si determina il rapporto g tra la grandezza da misurare G

(misurando), e l’unità di misura{G}:

G = g {G}. (1)

Si osservi che tale definizione è idealizzata in quanto il valore “vero” della grandezza

non è perfettamente determinato. Mediante le misurazioni, tuttavia, è possibile

fornire delle stime del valore vero, ossia un valore a cui è associabile un intervallo,

all’interno del quale è contenuto il valore vero con probabilità nota. La semiampiezza

di questo intervallo, qualora esso sia centrato rispetto alla stima, costituisce

l’incertezza attribuita al risultato della misurazione.

2.1 Misure dirette e indirette Per misura si intende quindi l’operazione volta a determinare una stima del valore

vero di una grandezza (valore della grandezza), il cui risultato è espresso come

rapporto tra tale stima e l’unità di misura scelta.

Si possono distinguere due tipi di misure: dirette e indirette.

In una misurazione diretta si esegue direttamente il confronto, secondo un

procedimento operativo che fa parte della definizione stessa della grandezza, tra la

grandezza da misurare ed il campione, ovvero un’altra grandezza omogenea di

misura nota. Sono esempi di misure dirette: la misurazione di una lunghezza

mediante un regolo graduato (la misura è la differenza tra le graduazioni

corrispondenti alle estremità dell’oggetto); di una massa mediante la bilancia; di una

temperatura mediante un termometro a liquido, ecc..

Una misurazione si dice indiretta quando è eseguita misurando direttamente altre

grandezze ad essa legate da una relazione determinata. Ad esempio, la velocità media

di un corpo può essere calcolata come quoziente tra lo spazio percorso (misurato

direttamente con un metro campione) ed il tempo impiegato a percorrerlo (misurato

direttamente con un orologio). L’unità di misura in cui viene espressa una grandezza

misurata indirettamente dipende da quelle grandezze di cui essa è funzione.

2.2 Componenti fondamentali degli strumenti di misura Uno strumento di misura è un dispositivo mediante il quale si stabilisce una

corrispondenza tra una grandezza e la sua misura. Ciò si ottiene traducendo la

sollecitazione apportata dalla grandezza da misurare nella variazione (risposta) di

un’altra grandezza più facilmente utilizzabile.

Uno strumento si dice di tipo analogico se la risposta è letta su una scala graduata

sulla quale si muove un indice; si dice di tipo digitale quando la risposta analogica è

digitalizzata, ossia viene rappresentata in cifre su un supporto visivo. Alcuni

strumenti sono dotati d’interfacce per la comunicazione con un computer sul quale

trasferire e immagazzinare i dati.

Uno strumento si dice tarato quando è stata determinata la sua risposta in

corrispondenza di un certo numero di sollecitazioni note apportate da una grandezza

omogenea a quella da misurare. L’operazione di taratura consente di leggere

direttamente il valore della grandezza sollecitante.

Uno strumento può essere schematizzato come composto di tre elementi: 1)

rivelatore; 2) trasduttore; 3) visualizzatore. (Fig. 1)


© L. Renna 14

Fig.1

L’elemento rivelatore dello strumento è costituito da un apparato sensibile alla

grandezza da misurare. Esso, interagendo con la grandezza, modifica la sua forma o

un’altra sua caratteristica.7

Il trasduttore è quella parte dello strumento che agisce sulla grandezza di partenza

trasformandola in una di un’altra specie, più facile da utilizzare.

Il visualizzatore o lettore ha la scopo di fornire visivamente o graficamente il

risultato della misura, sintetizzando così le operazioni svolte dal rivelatore.

Possiamo riassumere la funzione dei componenti di uno strumento nel modo

seguente.

Il rivelatore interagisce con la grandezze fisica G della quale si vuole conoscere il

valore V(G).

Il trasduttore trasforma l’informazione ottenuta dal rivelatore in una grandezza G’

più facile da utilizzare.

Il visualizzatore associa a G’ il valore R(G’) (dove R è la risposta dello strumento).

Da osservare che R(G’)= R(G’(G))= R(G). Da operazioni di taratura, attraverso R(G)

si risale a V(G).

La taratura dello strumento si esegue rilevando le risposte dello strumento in

corrispondenza di valori di G già noti in qualche altro modo, sicché ad ogni valore

della risposta dello strumento sia possibile far corrispondere il valore della grandezza

che ha prodotto la sollecitazione riferito all’unità di misura.8

2.3 Caratteristiche degli strumenti di misura Le caratteristiche principali degli strumenti sono: l’intervallo di funzionamento, la

prontezza, la sensibilità, la precisione.

2.3.1 Intervallo di funzionamento

L’intervallo di funzionamento è dato dal valore massimo (portata) e minimo (soglia

o sensibilità) della grandezza in esame che lo strumento è in grado di misurare.

Eseguendo misure di valori maggiori della portata vi è la possibilità di danneggiare

lo strumento, e l’eventuale misura ottenuta non è più legata all’effettivo valore della

grandezza V(G) in modo noto o riproducibile. La maggior parte degli strumenti ha

una portata limitata e soglia nulla.

7 Ad esempio, in un termometro l’elemento sensibile è rappresentato dal mercurio.

8 Per tarare un termometro, ad esempio, occorre rilevare, in corrispondenza di alcune temperature note

di una sostanza, le altezze della colonnina di mercurio. Le temperature di riferimento possono essere

quelle che caratterizzano opportuni cambiamenti di stato della sostanza.

trasduttore rivelatore visualizzatore


© L. Renna 15

2.3.2 Prontezza

La prontezza è una caratteristica dello strumento legata al tempo necessario (tempo

caratteristico) affinché esso risponda ad una variazione della grandezza in esame.

Quanto minore è il tempo caratteristico, tanto maggiore è la prontezza.

In generale la prontezza rappresenta la rapidità con cui lo strumento è in grado di

fornire il risultato di una misura.

Fig.2

Un termometro a mercurio, inizialmente alla temperatura ambiente di 22oC viene immerso in un

bagno di liquido alla temperatura di 100oC. Si osserverà che il mercurio comincia a salire lungo la

scala prima velocemente poi più lentamente, fino ad arrivare al valore di temperatura corrispondente,

in un tempo approssimativamente dell’ordine di qualche decina di secondi. Questo intervallo di tempo

dà un’indicazione sulla prontezza dello strumento.

Sia Rt(G) la risposta dello strumento alla sollecitazione G al tempo t. Se τ è

l’intervallo di tempo necessario perché lo strumento reagisca a G, allora la prontezza

è legata alla quantità 1/τ.

La prontezza è tanto maggiore quanto più piccolo è τ. Tipicamente la risposta in

funzione di t assume la forma t/

0 e])([)()( RGRGRGRt (Fig. 2).

La misura delle variazioni di G va presa in considerazione solo dopo un intervallo di

tempo ΔT » τ.

2.3.3 Curva di risposta e scale

Al variare della sollecitazione la risposta di uno strumento varia secondo le leggi che

ne regolano il funzionamento. Perciò ogni strumento è caratterizzato da una funzione

R(G) che lega la risposta R alla sollecitazione G.

Affinché lo strumento sia utilizzabile senza ambiguità, è necessario che a ogni valore

di G corrisponda uno ed un sol valore di R e viceversa9. L’intervallo di definizione

della funzione R(G) prende il nome di campo di misura.

Nel caso di uno strumento analogico, la funzione R(G) definisce la scala dello

strumento, cioè la successione delle posizioni dell’indice corrispondenti a variazioni

costanti della sollecitazione. Sia ΔG = u = cost, R(0) = 0, G = n u.

9 La corrispondenza può non essere biunivoca ovunque, purché lo strumento sia utilizzato nelle

regioni in cui lo è.

τ = 12 s

=1/2.72 * intervallo di

variazione


© L. Renna 16

Fig.3

La risposta dello strumento sarà una funzione di u. Se la scala è lineare si ha R(u) =

nku (Fig.3), se la scala è quadratica R(u) = k(nu)2 = n

2ku

2 (Fig.4).

Fig.4

2.3.4 Sensibilità

Genericamente, si dice che uno strumento è tanto più sensibile quanto più piccole

sono le variazioni della grandezza da misurare che esso è in grado di indicare. Negli

strumenti tarati a lettura diretta, ciò corrisponde all’intervallo minimo leggibile sulla

graduazione (risoluzione) attraverso i dispositivi di lettura dei quali lo strumento è

fornito. Più in generale la sensibilità è definita nel modo seguente.

Data una variazione ΔV(G) del valore della grandezza G, a questa è associata una

variazione della risposta ΔR(G) dello strumento. La sensibilità è definita come il

limite per ΔV(G) → 0 del rapporto )(/)( GVGR :

)(

)(

GdV

GdRs (2)

La sensibilità rappresenta dunque la pendenza della curva di risposta che negli

strumenti a scala non lineare assume valori differenti nei diversi punti della curva. La

sensibilità, infatti, è in generale una funzione arbitraria di G, ed R(G) può non

dipendere linearmente da G (strumenti a scala non lineare).

Gli strumenti non sono in grado di rivelare variazioni infinitamente piccole della

sollecitazione. È opportuno pertanto esprimere la sensibilità in termini delle

variazioni finite )(GR e )(GV :

)(

)(

GV

GRs

. (3)

La sensibilità ha dimensioni [G]-1

.

Sollecitazione G(u) 0 1u 2u 3u 4u

Risposta R(u) (div) 0 1ku 2ku 3ku 4ku

R

G O G*

G* = portata

Scala lineare: R(G) = kG

R

G O G*

G* = portata

Sollecitazione G(u) 0 1u 2u 3u

Risposta R(u) (div) 0 1ku2 4ku

2 9ku

2

Scala quadratica: R(G) = kG2


© L. Renna 17

La sensibilità s di uno strumento limita la conoscenza del valore V(G). Infatti, se a

causa delle caratteristiche costruttive dello strumento le misure non permettono di

distinguere tra i valori di R che cadono all’interno del medesimo intervallo ΔR(G), la

conoscenza di V(G) è affetta da un’indeterminazione di valore ΔV(G) = ΔR(G)/s, che

si chiama incertezza di sensibilità. Indicato con M(G) il risultato di una data

operazione di misura effettuata su G, il risultato della misura si scrive:

M(G) ± ΔV(G). (4)

Perciò lo strumento non è in grado di distinguere i valori che cadono all’interno di un

intervallo pari a 2ΔV(G) intorno al valore misurato, non è cioè sensibile

nell’intervallo suddetto. Si osservi che si può ottenere M(G) = V(G) solo nel caso

ideale di una misura esente da errori.

In uno strumento analogico la risposta si esprime in “divisioni” e la sensibilità si

misura in div/{G}, dove {G} è l’unità di misura della sollecitazione. Negli strumenti

analogici in cui R(G) può assumere valori continui la suddivisione della scala si fa

corrispondere proprio a 2ΔV(G): in tal modo, assieme al valore della misura si legge

anche l’incertezza associata alla sensibilità.10

Per strumenti digitali, la sensibilità corrisponde ad una unità sull’ultima cifra esibita

dallo strumento, anche se non ha molto senso parlare di sensibilità ma solo di

incertezza di sensibilità11

(non è identificabile invece direttamente la grandezza che

funge da risposta).

Indicata con ΔR la minima variazione di risposta che si è in grado di apprezzare,

dalla definizione di sensibilità si ha

ΔV(G) = ΔR/s. (5)

2.3.5 Precisione

La precisione indica la capacità di uno strumento di fornire sempre lo stesso valore

della risposta R(G) ogni volta che questo sia sollecitato dallo stesso valore della

grandezza V(G). In effetti, in qualsiasi dispositivo R(G) non dipende solo da V(G).

Fig.5

10

Si pone 2ΔV = 2ΔR/ s= 1div/s. Ad esempio, in un termometro a liquido avente sensibilità 5 div/oC

una divisione corrisponde a 0.2 oC. L’incertezza della misura è dunque di 0.1

oC.

11 Come nel caso degli strumenti a risposta discreta, l’incertezza della misura può essere assunta pari a

mezza unità sulla cifra meno significativa.

N N

G 2ΔG

G

precisione < della

incertezza di sensibilità

precisione > della

incertezza di sensibilità

s = 1/ΔG


© L. Renna 18

Nella misurazione di una grandezza fisica, anche eseguita in condizioni di

ripetibilità12

, sono sempre presenti perturbazioni le quali possono produrre

fluttuazioni nella risposta dello strumento. La presenza delle fluttuazioni è dovuta a

cause inerenti sia le variazioni della grandezza sotto misura che le caratteristiche

costruttive degli strumenti.

Nel caso di uno strumento tarato ciò si evidenzia quando l’entità di tali fluttuazioni è

maggiore della minima variazione di risposta apprezzabile ΔR. In questo caso la

risposta a una data sollecitazione può assumere valori differenti, per cui i risultati

M(G) di operazioni di misura dello stesso valore di V(G), eseguite sotto le stesse

condizioni, non sono identici: si ottiene invece una distribuzione di valori di M(G)

(Fig. 5). Quanto minore è la larghezza della distribuzione (quando essa dipenda dalle

caratteristiche dello strumento13

) tanto più ripetibile è il suo funzionamento, migliore

la qualità delle misure e tanto maggiore può essere definita la precisione dello

strumento.

2.4 Accuratezza Le considerazioni precedenti relative al concetto di precisione prescindono

dall’esistenza o meno di errori sistematici14

, per cui anche un risultato di precisione

infinitamente grande può differire sensibilmente dal valore vero. Il risultato di una

misurazione è tanto più accurato quanto più esso è vicino al valore vero, cioè quanto

più piccolo è il corrispondente errore sistematico. Poiché il valore vero non è noto,

non si può attribuire un valore determinato all’accuratezza. Se però è possibile

stimare l’errore sistematico, si può esprimere l’accuratezza dandole il significato di

limite superiore per l’errore sistematico (assoluto o relativo).15

2.5 Offset È indicato come offset l’eventuale valore non nullo indicato erroneamente dallo

strumento nel caso in cui la grandezza da misurare è posta uguale a 0.

12

A proposito delle condizioni di ripetibilità si veda il Capitolo 3. 13

Se le fluttuazioni dipendono anche dalla grandezza, si deve parlare di precisione del risultato. 14

Gli errori sistematici sono discussi nel Capitolo 3. 15

Se una lunghezza deve essere misurata con l’accuratezza di 1 cm, l’errore sistematico assoluto non

deve essere superiore ad 1 cm. Un’accuratezza di ordine 10 comporta che l’errore sistematico relativo

sia non superiore a 10.


© L. Renna 19

3 Errori nelle misure

3.1 Rappresentare le misure Nessuna grandezza fisica può essere determinata con precisione assoluta ma è

sempre affetta da un’indeterminazione o errore. Ogni misura, infatti, implica un

giudizio sull’eguaglianza tra la grandezza incognita e la grandezza campione (o un

suo multiplo o sottomultiplo). È chiaro che tale giudizio non può essere assoluto, ma

dipende dalle condizioni in cui la misura viene effettuata.

Affinché i risultati di una misura abbiano significato è necessario determinarne

l’errore o incertezza. Il risultato di una misura ha perciò due componenti essenziali:

(1) un valore numerico (in un dato sistema di unità) che dà la migliore stima

possibile della grandezza misurata, e (2) una incertezza associata con il valore

stimato.

Nella misura di lunghezza effettuata con una riga millimetrata, sarà possibile

effettuare il confronto con un’incertezza di mezzo millimetro.

Fig.1

Se ad esempio si osserva che, posto uno dei bordi della lunghezza da misurare in

corrispondenza dello zero, l’altro si trova tra le graduazioni 463 e 464 (figura 1), si

potrà scrivere:

m 464.0m 463.0 l

o anche, più comunemente:

m )0005.04635.0( l

Si dice in questo caso che la misura di lunghezza è stata eseguita con un’incertezza di

sensibilità di 0.5 mm. Se la misura si esegue con una riga graduata in centimetri,

l’incertezza di sensibilità è di 0.5 cm.

Non ha senso riportare il risultato di una misura indicando un numero di cifre

decimali maggiore di quello necessario per indicare l’incertezza di sensibilità della

misura.

In generale quindi il risultato di una misura sarà espresso nella maniera seguente

Valore misurato = stima ± incertezza

e, in formula,

G = M(G) ± ΔG. (1)

Una misura richiede perciò due tipi di operazioni:

- migliore stima del valore vero della grandezza;

- valutazione dell’incertezza su tale stima (stima dell’errore).

45 46 47

graduazioni 463 464

div: mm cm


© L. Renna 20

Si chiama “errore” la differenza tra la stima, risultato della misurazione M(G), e il

valore vero V(G) della quantità misurata (misurando). Non essendo conoscibile il

valore vero, non lo è neanche l’errore. L’incertezza di misura rappresenta una stima

dell’errore.

Risultato e incertezza sperimentale devono essere scritti in modo coerente, nel senso

che, nell’esprimere il risultato di una misura, vanno indicate solo le cifre

significative, ossia tutte e sole le cifre ottenibili dall’operazione di misura.

Le incertezze sono normalmente arrotondate ad una cifra significativa (al più due

quando la prima cifra significativa è 1 – o 2 16

, o eventualmente nel caso di incertezze

statistiche17

).

L’ultima cifra significativa di ogni risultato deve essere dello stesso ordine di

grandezza (cioè nella stessa posizione decimale) dell’incertezza.

3.2 Classificazione degli errori In generale, le misure ripetute della stessa grandezza con lo stesso strumento, nelle

stesse condizioni non danno lo stesso risultato. I motivi sono da attribuire alla

precisione finita dello strumento o all’impossibilità di controllare tutte le condizioni

di misura. Se però l’incertezza di sensibilità è maggiore dell’errore dovuto alla

precisione finita dello strumento o alle incertezze intrinseche della misura, si ottiene

sempre lo stesso risultato e si può stimare l’errore con l’incertezza di sensibilità.

Per dare un significato quantitativo preciso al risultato di una misurazione è utile

distinguere due diversi tipi di errori, i quali possono coesistere: gli errori

“sistematici” e gli errori “casuali”.

3.2.1 Errori sistematici

Gli errori sistematici falsano la misura sempre nello stesso senso. Essi possono essere

dovuti all’uso di uno strumento non perfettamente tarato o usato in condizioni

diverse da quelle di taratura o in modo improprio18

. Altre sorgenti di errore

sistematico sono effetti esterni che possono cambiare il risultato dell’esperimento,

ma per i quali le correzioni non sono ben note.

Eseguendo più volte la misurazione in condizioni di ripetibilità,19

i risultati

fluttueranno casualmente attorno a un valore “sistematicamente” diverso dal valore

16

Se ΔG = 0.14 l’arrotondamento a ΔG = 0.1 comporta la riduzione del 40%: è meglio allora tenere

due cifre e valutare ΔG = 0.14. 17

Cioè nella stima di errori casuali (paragrafo 3.2.2). 18

Ad esempio, la posizione sbagliata rispetto alla scala di lettura, l’avvio sistematicamente in anticipo

o in ritardo di un contasecondi, l’uso di un “metro” campione lungo 999 mm (che fornirà sempre delle

misure errate per eccesso). 19

Per condizioni di ripetibilità si intende il permanere delle seguenti circostanze:

– procedimento di misurazione,

– osservatore,

– strumento (usato nelle stesse condizioni),

– luogo,

e che le ripetizioni siano eseguite entro un “breve” intervallo di tempo.

La ripetibilità dei risultati, cioè l’accordo tra i risultati di misurazioni successive della stessa

grandezza effettuate nelle stesse condizioni, può essere espressa quantitativamente in termini delle

caratteristiche di dispersione dei risultati, per esempio mediante la cosiddetta “dispersione massima”,

ossia la differenza tra il massimo e minimo valore ottenuto (si veda il Capitolo 4).


© L. Renna 21

vero del misurando. A causa dell’errore sistematico il valore misurato M(G) è

differente dal valore vero V(G) per una quantità che rimane la stessa al ripetere della

misura. L’errore sistematico è definito come la differenza tra tale valore e il valore

vero del misurando.

Gli errori sistematici possono essere rivelati cambiando strumento o metodo di

misura. Una volta individuato l’errore sistematico, si può apportare alla misura una

correzione sotto la forma di un termine addizionabile algebricamente o di un fattore

moltiplicativo. Dagli errori sistematici ci si può dunque liberare calibrando

attentamente gli strumenti, o introducendo una oppropriata correzione ai risultati

ottenuti. Gli errori sistematici grandi possono e debbono essere eliminati in un

esperimento. I piccoli errori sistematici sono invece sempre presenti. Ad esempio

nessuno strumento può essere calibrato perfettamente.

Il motivo per cui normalmente sono richieste numerose conferme indipendenti dei

risultati sperimentali (specialmente usando tecniche differenti) è dovuto al fatto che

differenti apparati di misura posti in luoghi diversi possono essere affetti da errori

sistematici differenti.

3.2.2 Errori casuali

Gli errori casuali (o accidentali) sono errori che fluttuano passando da una misura

alla successiva. Essi danno risultati che sono distribuiti attorno a un valore medio. Si

supponga di eseguire più volte la misurazione di una stessa grandezza fisica in

condizioni di ripetibilità. I risultati possono fluttuare per l’influenza di cause

sconosciute all’osservatore, oppure note ma che producono effetti i quali sfuggono

singolarmente al suo controllo. L’errore casuale è definito come la differenza tra il

risultato di ciascuna di tali misurazioni ed il valore vero del misurando. Il valore

misurato M(G) è differente dal valore vero V(G) per una quantità che varia

“casualmente” al ripetere della misura. La natura casuale di questo tipo di errore fa sì

che esso possa assumere di volta in volta valori sia positivi che negativi, di modulo

variabile. Per un numero infinitamente grande di misurazioni la media aritmetica

degli errori casuali sarebbe quindi nulla. Poiché però è impossibile eseguire infinite

misurazioni, dai datisperimentali è possibile ottenere soltanto una stima dell’errore

casuale.

Gli errori casuali dispongono le misure in direzioni arbitrarie mentre quelli

sistematici le dispongono verso una singola direzione. Alcuni errori sistematici

possono essere eliminati, o se ne può tenere conto. Gli errori casuali sono invece

inevitabili essendo dovuti a svariati effetti, quali attriti, imprecisioni meccaniche,

influenze esterne (piccole variazioni di temperatura, di pressione, presenza di

vibrazioni, e così via), singolarmente piccoli, ma di numero elevato e con risultato

apprezzabile a valori di sensibilità strumentale sufficientemente grandi. Gli errori

Per riproducibilità dei risultati si intende invece l’accordo tra i risultati di misurazioni della stessa

quantità effettuate in condizioni diverse. Il cambiamento delle condizioni può riguardare:

– il principio su cui è basata la misurazione;

– il metodo di misurazione;

– l’osservatore;

– lo strumento;

– il luogo in cui si svolge la misurazione;

– le condizioni in cui si svolge la misurazione;

– il tempo in cui è effettuata la misurazione.


© L. Renna 22

accidentali non possono essere eliminati, ma il loro contributo può essere

quantificato attraverso l’analisi statistica dei risultati.

3.2.3 Accuratezza e precisione

Nel caratterizzare una misura in relazione agli errori in tal modo classificati, si suole

distinguere tra accuratezza e precisione della misura: la prima è in relazione

all’entità degli errori sistematici, la seconda è legata alla presenza di errori casuali.

Fig.2

Si definisce, infatti, accurata una misura per la quale sia stato ridotto al minimo il

contributo degli errori sistematici, si dice precisa una misura per la quale sia

sufficientemente piccola l’ampiezza dei valori misurati attorno alla media (Fig. 2).

Normalmente in una misura ci sono sia incertezze casuali che sistematiche. In una

buona misura l’errore sistematico deve essere molto più piccolo dell’errore casuale.

3.2.4 Incertezza frazionaria

L’incertezza ΔG indica la precisione della misura. Essa da sola può tuttavia non

essere sufficiente a determinare la bontà della misura, la quale dipende anche dal

valore della grandezza misurata.

Siano

x1 = 110.2 ± 0.1 cm

x2 = 1.1 ± 0.1 cm

due misure di lunghezza effettuate con incertezza di sensibilità Δx = 1mm.

Si definisce incertezza frazionaria, o relativa, la quantità

x

xr (2)

nel caso delle misure precedenti si ha

)%1.0( 001.02.110

1.0

1

1

x

x

)%10( 1.01.1

1.0

2

2

x

x

Per ottenere nella seconda misura la stessa precisione relativa che si ha nella prima,

occorre utilizzare uno strumento 100 volte più preciso.

L’incertezza relativa consente di confrontare la qualità di misure di grandezze non

omogenee; essa è strettamente collegata alla nozione di cifre significative (4 per x1 e

2 per x2).

(stima di) V(G)

grande accuratezza

grande precisione

scarsa accuratezza

grande precisione

grande accuratezza

scarsa precisione

scarsa accuratezza

scarsa precisione


© L. Renna 23

3.2.5 Cifre significative e arrotondamenti

Per numero di cifre significative si intende il numero di tutte le cifre scritte,

compreso lo zero, a partire da destra, cioè da quelle di rango meno elevato, fino

all’ultima diversa da zero a sinistra. L’ultima cifra a destra con cui si scrive il

numero è quella che indica il grado di precisione con cui si ritiene di conoscere la

grandezza che esso rappresenta.

Scrivere x = 5.32 m significa che 5.31 m < x < 5.33 m. Perciò x = 2.8 è diverso da y =

2.80 perché nel primo si ritiene che 2.7 < x < 2.9, nel secondo che 2.79 < y < 2.81.

La tabella 1 seguente illustra le regole usate convenzionalmente per determinare

quante sono le cifre significative in un numero.

Tabella 1

Nell’eliminare le cifre eccedenti occorre lasciare come ultima quella che tiene più

adeguatamente conto di quelle eliminate, secondo la seguente regola20

:

“L’arrotondamento alla n-sima cifra decimale si effettua sopprimendo le rimanenti

cifre decimali se la n + 1-esima è 0, 1, 2. 3, 4, aumentando di una unità l’n-esima

cifra se la n + 1-esima è 5, 6, 7, 8, 9.”

Gli esempi che seguono mostrano arrotondamenti a tre cifre significative effettuati

applicando le regole indicate:

numeri arrotondamenti

3.472 → 3.47

5.798 → 5.80

5.7953 → 5.80

6.6350 → 6.64

6.6250 → 6.62

20

Nei calcoli numerici che coinvolgono grandezze fisiche è conveniente effettuare gli arrotondamenti

a livello del risultato finale ed eseguire i calcoli intermedi conservando una o due cifre in più di

quanto può sembrare necessario.

Numero

872

2711

1093

0.45

4.5×10-4

Cifre

significative

3

4

4

2

2

Numero

2.00

0.50

600.

600

6×102

Cifre

significative

3

2

3

1

1


© L. Renna 24

4 Incertezza di sensibilità - incertezza massima Sia X una grandezza fisica, e x un suo valore misurato. Eseguita una serie di N

misure ripetute, si possono presentare due differenti situazioni.

(A) Le misure danno lo stesso valore.

Il fatto si presenta quando le incertezze di misura sono solo quelle di sensibilità degli

strumenti impiegati. In questo caso l’incertezza di sensibilità è maggiore della

fluttuazione intrinseca delle misure. Ricordiamo che l’incertezza di sensibilità di uno

strumento rappresenta l’ampiezza dell’intervallo entro il quale può variare la

sollecitazione producendo la stessa risposta. È inteso convenzionalmente che se

l’incertezza di sensibilità è Δx e x il valore centrale dell’intervallo di ampiezza Δx, la

sollecitazione possa trovarsi con uguale probabilità in ogni punto all’interno

dell’intervallo di ampiezza x – ½ Δx, x + ½ Δx. In uno strumento digitale l’incertezza

di sensibilità è la variazione della sollecitazione che corrisponde alla variazione di

un’unità della cifra di minor valore visibile sul display.

Per gli strumenti analogici i tratti della scala sono segnati convenzionalmente in

modo tale che l’intervallo tra due tratti successivi della divisione corrisponda alla

incertezza di sensibilità dello strumento.

Fig. 1

Supponiamo di eseguire la misura di una lunghezza con un righello. Sia 2Δ V(G) = 1

div/s l’incertezza di sensibilità. Allora, con riferimento alla figura 1, a V(G) a +

2ΔV(G) e la migliore stima di G sarà:

M(G) = a + Δ V(G).

Ad esempio, se s = 1div mm-1

, l’incertezza di sensibilità vale 2ΔV(G) = 1 mm, e se a

= 32 mm, M(G) = 32.5 mm, l’incertezza di lettura = ΔV(G) = 0.5 mm, V(G) = 32.5

0.5 mm.

(B) Le N misure ripetute della stessa grandezza danno valori differenti: x1, x2,…

xi,… xN.

Ciò si presenta quando l’incertezza di sensibilità è

minore della fluttuazione intrinseca delle misure. In

questo caso è conveniente disporre le misure in

raggruppamenti che corrispondono a intervalli di

ampiezza almeno pari all’incertezza di sensibilità, e

rappresentare i dati così raggruppati in un diagramma

simile a quello mostrato in figura 2, in cui è

visualizzata la distribuzione dei valori ottenuti.

Come migliore stima della grandezza si può

assumere21

la media aritmetica delle misure:

21

Le giustificazioni dell’assunzione sono riportate nel Capitolo 6.

0 a

G

N

x 1/s

Fig.2


© L. Renna 25

N

i

ixN

x1

1. (1)

Si attribuisce alle misure un’incertezza proporzionale alla larghezza della

distribuzione dei risultati della misura

2

minmax xxx

. (2)

In questo caso si presume che, ripetendo ulteriormente la misura, il risultato cada

nell’intervallo di estremi xx e xx .

In entrambi i casi (A e B) si dice che è stato assegnato alla grandezza una errore

massimo, che si stima o con l’incertezza di sensibilità o con la semidispersione

massima delle misure. L’incertezza massima rappresenta un limite superiore

dell’incertezza e in taluni casi essa costituisce solo una grossolana stima dell’errore

di misura.

Gli strumenti che hanno la caratteristica (A) sono strumenti a bassa sensibilità.

Misure ripetute, salvo operazioni errate dello sperimentatore, forniscono sempre lo

stesso risultato. Se l’incertezza dovuta agli errori casuali è invece maggiore di quella

dovuta alla sensibilità, si hanno strumenti di buona (o alta) sensibilità (B). Ripetendo

le misure si ottengono, in questo caso, risultati diversi. In questo caso si dice che

l’incertezza è di tipo statistico: per mezzo dei risultati della misura si può allora dare

una stima della probabilità che il valore della grandezza misurata sia compreso in un

dato intervallo. Questi tipi di errori possono essere stimati giacché hanno regolarità

statistiche. Si può valutare l’errore presumibilmente commesso nella misura

attraverso un’analisi dei dati sperimentali provenienti dalle misure effettuate.22

4.1 Propagazione degli errori massimi

4.1.1 Funzioni algebriche

Quando una grandezza fisica G è determinata indirettamente, cioè attraverso le

misure di altre grandezze Gi, combinate per mezzo di una qualche operazione

matematica, occorre stabilire come gli errori di misura sulle grandezze di partenza si

influiscono sull’errore della grandezza G.

Nel caso più semplice gli errori delle grandezze misurate direttamente sono stimati

tramite le incertezze di sensibilità degli strumenti impiegati, di valore molto più

piccolo di quello delle grandezze stesse, e l’incertezza cercata su G è l’incertezza

massima, quella cioè che definisce l’intervallo entro il quale si ritiene debba cadere il

valore vero di G.

Consideriamo dapprima il caso in cui una grandezza z sia determinata dalla somma

di due altre grandezze. Sia z = x + y; dette Δx e Δy le incertezze di x e y si ha

zmax = (x + Δx) + (y + Δy) = (x + y) + (Δx + Δy)

22

Nella teoria degli errori, come incertezza di una delle misure ripetute ottenute si prende la

deviazione standard campionaria (si veda il Cap. 6). La teoria degli errori è una teoria probabilistica la

cui applicazione si fonda sulla legge empirica dei grandi numeri (Cap. 7), secondo la quale se il

numero di prove è grande alla probabilità (teorica) si può sostituire la frequenza (sperimentale)

relativa. Quando il numero delle misurazioni è piccolo (ad esempio tre o quattro) è preferibile

utilizzare come incertezza la semidispersione massima. Si può tuttavia determinare il grado di fiducia

dell’incertezza statistica anche nel caso di poche misurazioni utilizzando un’opportuna distribuzione

(detta t di Student), come è descritto nel Cap. 7.


© L. Renna 26

zmin = (x – Δx) + (y – Δy) = (x + y) – (Δx + Δy)

e quindi

Δz = Δx + Δy. (3)

Se z = x – y, si ha

zmax = (x + Δx) – (y – Δy) = (x – y) + (Δx + Δy)

zmin = (x – Δx) – (y + Δy) = (x – y) – (Δx + Δy)

e quindi ancora

Δz = Δx + Δy.

Nel caso in cui z = xy, assumendo per il momento x, y > 0, si ha

zmax = (x + Δx)(y + Δy) = xy + yΔx + xΔy + ΔxΔy

zmin = (x – Δx)(y – Δy) = xy – yΔx – xΔy + ΔxΔy

Se assumiamo che x » Δx, y » Δy, l’ultimo termine nelle eguaglianze può essere

trascurato e si ottiene:

yxxyz , (4)

e, passando all’errore relativo,

y

y

x

x

xy

yxxy

z

z

, (5)

ossia l’incertezza relativa sul prodotto è uguale alla somma delle incertezze relative

di ciascuno dei fattori.

Una semplice interpretazione geometrica si ha se z è l’area di un rettangolo di lati x e

y (Fig. 3).

Fig.3

Se x, y < 0, poiché l’incertezza è sempre positiva, si dovranno prendere i valori

assoluti:

yxxyz (6)

y

y

x

x

z

z

. (7)

Nel caso della divisione z= x/y si ha

yy

xxz

MinMax,

e quindi

yyy

yxxy

yyy

yxxyxyxy

y

x

yy

xxz

2)(.

Trascurando yΔy rispetto a y2 e introducendo i valori assoluti si ottiene:

x

y

Δx

Δy

ΔxΔy


© L. Renna 27

2y

yxxyz

, (8)

e per l’incertezza relativa:

y

y

x

x

x

y

y

yxxy

z

z

2

. (9)

I risultati ottenuti suggeriscono le seguenti considerazioni. L’incertezza assoluta sul

risultato di una somma o differenza è dominato dalla più grande delle incertezze dei

singoli termini23

. L’incertezza sul risultato di un prodotto o divisione è determinata

prevalentemente dalla grandezza con l’incertezza relativa maggiore24

. In generale è

di scarsa utilità migliorare la misura che ha l’incertezza (relativa) più piccola.

4.1.2 Funzioni arbitrarie. Caso generale

Le relazioni precedenti possono essere generalizzate al caso in cui la grandezza z sia

una funzione arbitraria di più grandezze. Iniziamo con l’osservare che nel caso del

prodotto di due grandezze yxz , la relazione Δz = yΔx + xΔy non è altro che il

risultato dell’approssimazione al primo ordine della formula di Taylor per le funzioni

di due variabili:

yy

zx

x

zz

(10)

dove

yx

z

è la derivata parziale di z rispetto a x (y è lasciato costante)

xy

z

è la derivata parziale di z rispetto a x (y è lasciato costante)

Analogamente, per la somma o la differenza, basta osservare che

1

y

z

x

z,

e la relazione (10) fornisce

Δz = Δx + Δy.

Per la divisione si ottiene

2

;1

y

x

y

z

yx

z

e quindi

2y

yxxyz

. (11)

Il significato dell’approssimazione al primo ordine può essere chiarito attraverso una

rappresentazione grafica, nel caso in cui z sia una funzione arbitraria della sola

variabile x: z = f(x).

23

Se la lunghezza l1 è nota al mm e la lunghezza l2 è nota a 1/20 di mm l’incertezza su l = l1 + l2 è

determinato da Δl1 e non ha senso cercare di migliorare l2. 24

Potrebbe non aver senso confrontare le incertezze assolute, in quanto le grandezze possono anche

non essere omogenee, e quindi non confrontabili.


© L. Renna 28

Un’approssimazione del primo ordine equivale ad usare al posto di f(x) la funzione

lineare y(x) di equazione (Fig. 4)

)()()( 00

0

xxdx

dfxfxy

xx

. (12)

Di conseguenza si può porre

)()()()( 0000 xfxxyxfxxff , (13)

da cui, utilizzando la (12), si ha

xdx

xdfxfxxf

xx

0

)()()( 00 ,

ossia

xdx

dff . (14)

x0 x0 + Δx

f(x0 + Δx)

f(x0)

y(x)

f(x)y

xO

Δf(x) Δy(x)

Fig. 4

Possiamo ora generalizzare i risultati precedenti nel seguente modo. Riferendoci alle

incertezze massime, sia G funzione di n grandezze G1, G2,… Gn,

),...,,( 21 nGGGfG . (15)

Ogni grandezza Gi sia stata ottenuta con incertezza di sensibilità ΔG1, mediante

misura diretta; i valori misurati siano quindi:

nn GGGGGG ,..., , 2211 . (16)

Il valore di G misurato sarà dato dalla (15). Resta da valutare ΔG.

Si considera il differenziale totale di G, che è la somma dei prodotti delle derivate

parziali della funzione per i corrispondenti differenziali delle variabili indipendenti

n

n

dGG

GdG

G

GdG

G

GdG

...2

2

1

1

. (17)

Passando dalle quantità infinitesime a quantità piccole ma finite, si ha, a meno di

termini di ordine superiore,

n

n

GG

GG

G

GG

G

GG

...2

2

1

1

, (18)

e poiché siamo interessati alla massima variazione di G:


© L. Renna 29

n

i

i

i

n

n

GG

GG

G

GG

G

GG

G

GG

1

2

2

1

1

... . (19)

La relazione (19) è rigorosamente valida solo se G dipende linearmente dalle Gi. È

valida approssimativamente se i ΔGi sono piccoli rispetto a G. ΔG è l’incertezza

massima.

Tabella 1

Relazione tra z e (x,y)

Relazione tra Δz e (Δx,Δy)

1 z = x + y

yxz

2 z = x – y

yxz

3 z = xy

y

y

x

x

z

z

4 z= x/y

y

y

x

x

z

z

5 z = xn

x

xn

z

z

6 z = lnx

x

xz

7 z = ex

x

z

z

Questa formula è usata per valutare la propagazione degli errori a priori, nel caso di

diverse sensibilità degli strumenti utilizzati nelle misure dirette.

4.1.3 Propagazione dell’incertezza relativa

Una formula particolarmente semplice per valutare la propagazione delle incertezze

relativa nelle misure indirette si ha nel caso seguente.

Si sa che il rapporto tra il differenziale di una funzione e la funzione stessa non è

altro che il differenziale del logaritmo della funzione, ossia dg/g = d(lng); quindi si

può scrivere per l’incertezza relativa

)ln(r gg

g

, (20)

relazione particolarmente utile quando g è espresso come prodotto di funzioni

)()()( zlykxhg , (21)

nel qual caso

)]([ln)]([ln)]([ln))]()()([ln(][ln zldykdxhdzlykxhdgd

g

dg

l

dl

k

dk

h

dh .


© L. Renna 30

Introducendo le incertezze, si ottiene la semplice formula

zdz

dl

zly

dy

dk

ykx

dx

dh

xhg

g

zzyyxx

000)(

1

)(

1

)(

1

000

(22)

per la propagazione dell’incertezza relativa, avendo ancora utilizzato i valori assoluti

dei singoli termini.

4.1.4 Esempi

1) Si vuole determinare la somma di due masse, le cui misure sono state eseguite

ponendole in due recipienti (di massa differente) di una bilancia e misurando a parte

la massa dei recipienti. I risultati delle misure siano:

M1 (massa 1 + recipiente 1) = 640±10 g

m1 (massa recipiente 1) = 84 ± 1 g

M2 (massa 2 + recipiente 2) = 860 ± 20 g

m2 (massa recipente 2) = 92 ± 1 g

La massa totale è

M = M1 – m1 + M2 – m2 = 1324 g

e l’incertezza

ΔM = Δ M1 + Δm1 + ΔM2 + Δm2 = 32 g.

La misura è dunque:

M = 1320 ± 30 g

2) Nel misurare lo spessore s di lamierini di rame sottili, si può ridurre l’incertezza

della misura se, anziché misurare lo spessore di ciascun singolo lamierino, si misura

dello spessore di n lamierini sovrapposti. Dalla relazione

snnsssSSn

i

n

i 11

n

Ss ,

n

Ss

.

Sia, per n = 10,

S (10) = 5.7 ± 0.1 cm.

Allora ciascun lamierino avrà spessore

s = S/10 = 0.57 ± 0.01 cm.

3) L’accelerazione di gravità può essere determinata misurando l’altezza da cui è

lasciato cadere un oggetto, e il tempo impiegato a percorrerla. Si supponga che le

misure abbiano fornito i seguenti risultati:

t = 1.6 ± 0.1 s; h = 13.8 ± 0.1 m.

L’accelerazione si ottiene dalla relazione:

g = 2h/t2 = 10.8 m/s

2.

Valutate le incertezze Δt/t = 6.3%,

Δh/h = 0.7%,

si ha:

Δg/g = 2Δt/t + Δh/h = 13.3%

Δg = 10.8 m/s2 0.133 = 1.4 m/s

2

Si ottiene quindi:

g = 10.8 ± 1.4 m/s2.


© L. Renna 31

Per diminuire l’incertezza va dunque migliorata la misura di t!

4) Misurare il volume di un cilindro. Si supponga di misurare il diametro d e

l’altezza h di un cilindro utilizzando un calibro ventesimale la cui incertezza di

sensibilità è Δℓ = 0.05 mm.

Le misurazioni abbiano fornito h = 42.45 mm e d = 24.10 mm.

Il volume è espresso dalla relazione

3

2

cm 36.192

h

dV .

Le incertezze relative sulle misure delle lunghezze sono

0012.0

h

h, 002.0

d

d.

Fig.5

L’incertezza relativa del volume è

005.02

h

h

d

d

V

V.

La misura del volume è dunque

Volume = V ± ΔV = (19.4 ± 0.1) cm3.

5) Per migliorare la misura del periodo di oscillazione di un pendolo τ ~ 0.5 s

supponendo che l’incertezza sia di 0.1 s, è conveniente misurare il tempo impiegato

dal pendolo per compiere un opportuno numero di oscillazioni. In questo modo

l’incertezza diminuisce. Si hanno infatti i seguenti risultati:

1 oscillazione Δt/t ~ 20%.

5 oscillazioni t = 2.4 ± 0.1 s; τ = 0.48 ± 0.02 s, Δτ/τ = 4%.

20 oscillazioni t = 9.4 ± 0.1 s; τ = 0.470 ± 0.005, Δτ/τ =1%.

6) Si voglia calcolare il seno di un angolo la cui misura è θ = 125 ± 2 gradi.

Per calcolare sin(θ), si trasforma l’angolo in radianti,

θ = 2.18±0.03 rad,

si calcola

|cos(θ)|Δθ = 0.02 rad,

ed infine:

sin(θ) = 0.82 ± 0.02

7) Se a =3.0±0.1 determinare ea e la sua incertezza.

d

h


© L. Renna 32

5 Rappresentazione grafica dei risultati sperimentali

Nella pratica sperimentale è conveniente rappresentare i dati mediante grafici. Le

ragioni sono molteplici. I grafici, infatti, costituiscono una forma concisa di

rappresentazione, consentono il controllo dell’andamento delle misure effettuate,

illustrano visivamente una legge o una relazione tra grandezze, consentono di

ricavare il valore numerico di grandezze o parametri.

Nel realizzare la costruzione dei grafici conviene seguire alcune utili regole. Si

fissano inizialmente due assi (ortogonali) e su questi si stabiliscono due sistemi di

ascisse, cioè si fanno corrispondere alle unità di misura {x}, {y} delle grandezze x, y,

da rappresentare graficamente, due segmenti di lunghezze ℓx, ℓy, arbitrarie ma scelte

con opportuni criteri25

. Sugli assi devono essere indicati i nomi delle variabili e le

rispondenti unità di misura; e i punti sperimentali vanno riportati con le barre di

incertezza. È buona norma inoltre inserire un’intestazione o una didascalia e indicare

eventuali condizioni di misura (temperatura, pressione, ecc.).

In molti casi è opportuno trasformare la funzione di partenza y = f(x) in una funzione

lineare di due nuove grandezze, legate alle precedenti da relazioni determinate

(linearizzazione) o, in alternativa, utilizzare scale non lineari.

In una scala lineare i punti dell’asse sono in corrispondenza lineare coi numeri reali,

cioè definiscono segmenti le cui lunghezze, fissato un segmento unitario, sono

proporzionali ai numeri reali. In una scala non lineare la lunghezza del segmento dal

generico punto P all’origine dell’asse x (y) è proporzionale al valore di una funzione

g(x) [h(y)], essendo x (y) il numero reale associato a P. Si introduce una nuova

coppia di assi cartesiani X = g(x), Y = h(y)26

. La funzione originaria y = f(x), nel

nuovo piano (X, Y) dà origine alla curva che rappresenta la funzione h-1

(Y) = f [g-

1(X)], ossia Y = h{f [g

-1(X)]} = F(X). Le funzioni h(y) e g(x) sono scelte in modo tale

che F(X) sia una funzione lineare di X.

5.1 Esempi di linearizzazione Mostriamo, attraverso alcuni esempi, i casi di linearizzazione più comuni.

(a) Funzione radice. Sia xcy .

Posto xX e Y = y, si ha Y = cX. Le due differenti rappresentazioni grafiche della

funzione xy 5 sono mostrate in figura 1.

(b) Funzione esponenziale. Sia axcy e . Si pone

aXccyYxX aX )ln()eln()ln( , .

Un esempio numerico (c = 1.2, a = 1) è riportato in figura 2.

25

La scelta va fatta in base all’intervallo in cui sono distribuiti i valori delle grandezze misurate e in

base alla forma della relazione funzionale tra le grandezze in modo che la rappresentazione grafica sia

chiara e di facile interpretazione. Ad esempio per rappresentare graficamente la retta y = mx + q, ℓx e

ℓy vanno scelti in modo che essa formi angoli con gli assi che siano circa uguali. 26

Se g(x) = ax, h(y) = by si ha il caso normale con a/b rapporto tra le unità di misura.


© L. Renna 33

xy 5XY 5

Fig.1

(c) Potenza. Sia nm cxy .

Posto yYxX aa log ,log , si ha nXcmY loga (in Fig.3 è rappresentato il caso

con a = 10, m = 2, c = 10 e n = 3).

1823.0 XYxy e2.1

Fig.2

La scala non lineare più usata è quella logaritmica o semilogaritmica (Tabella 1).

32 10xy 132 XY

Fig.3


© L. Renna 34

Tabella 1

Scale Funzione

Lineare y = mx + q

Semilogaritmica (semi-log) y = ceax o y = c log(bx)

Logaritmica (log-log) y = cxa

Si osservi che se X o Y, o entrambe, sono trascendenti, il loro argomento deve essere

adimensionale, mentre x e y, in generale, non lo sono. In quest’ultimo caso,

l’argomento della funzione trascendente si intende allora diviso per la propria unità

di misura. Il valore della grandezza letto sulla scala si ottiene perciò moltiplicando il

valore letto, adimensionale, per l’unità di misura.

5.2 Costruzione di scale non lineari In alternativa al metodo illustrato precedentemente, si possono usare grafici costruiti

utilizzando scale non lineari su cui è possibile riportare direttamente i valori x, y (Fig.

4).

logaritmovalore

110

0,9542439

0,903098

0,8450987

0,7781516

0,698975

0,602064

0,4771213

0,301032

01

logaritmovalore

110

0,9542439

0,903098

0,8450987

0,7781516

0,698975

0,602064

0,4771213

0,301032

01

01

logaritmovalore

31000

2100

110

-10,1

-20,01

-30,001

01

logaritmovalore

31000

2100

110

-10,1

-20,01

-30,001

103

102

101

100

10-1

10-2

10-3

103

102

101

100

10-1

10-2

10-3

103

102

101

100

10-1

10-2

10-3

Fig.4

Una scala è una corrispondenza biunivoca tra i punti P di una retta e i numeri reali,

che si stabilisce orientando la retta, scegliendo l’origine O e fissando la funzione f(x)

a un sol valore che lega la distanza di ciascun punto P da O al numero ad esso

associato.


© L. Renna 35

Fig.5

Il fattore di scala Sx è una costante metrica arbitraria che esprime, nelle stesse unità

con cui si misura OP , la lunghezza corrispondente al valore unitario di f(x):

)(xfSOP x . Le sue dimensioni sono [Sx] = [L][f(x)]-1

.

Nella scala lineare xSOP x , nella quadratica 2xSOP x e nella logaritmica

xSOP x alog , 1,0 aa . Nella scala logaritmica Sx rappresenta nelle unità di

OP la lunghezza del segmento x = a. Il segmento relativo a x = an vale nSx. La

scelta della base è arbitraria perché corrisponde a cambiare Sx, come si deduce dalla

relazione xba

xx ba

b

ba loglog

log

loglog . Una scala logaritmica è una scala con la

quale sono riportati su un asse segmenti proporzionali ai logaritmi dei numeri reali in

una data base. Per esempio, se si sceglie la base 10, al numero 1 corrisponde un

segmento di lunghezza nulla (in quanto log101 = 0), al numero 2 un segmento

proporzionale a log102 = 0.30103, al numero 10 un segmento proporzionale a log1010

= 1, al numero 100 un segmento proporzionale a log10100 = 2 e via di seguito

(Fig.4). Per rappresentare i dati si possono utilizzare i fogli di carta logaritmica (o

semi-logaritmica) che si trovano in commercio oppure si può costruire la scala degli

assi coordinati calcolando i singoli valori.

5.3 La migliore curva che si adatta ai dati sperimentali Attraverso l’analisi grafica dei dati sperimentali si può verificare una legge supposta

valida, o determinare la forma di una legge cercata.

Data una serie di punti sperimentali, per essi passano infinite curve. Si assume

tuttavia, come ipotesi di lavoro, la curva che passa per i punti sperimentali e che ha la

forma funzionale più semplice.

Una volta assunta una certa ipotesi sulla forma della funzione, occorrerà determinare

i valori dei parametri che individuano la miglior curva che spiega i dati sperimentali

entro gli errori misurati. Il procedimento prende il nome di fit.

5.3.1 Fit lineare

Si consideri il problema di determinare sperimentalmente la costante elastica di una

molla. Si sa che gli allungamenti di una molla dipendono dal modulo F della forza

applicata secondo la legge di Hooke:

)( 0llkF (1)

La forza F può essere ottenuta attaccando una massa M all’estremo libero di una

massa sospesa verticalmente. Nella figura 6 sono rappresentati nella tabella un

esempio di risultati sperimentali e il fit lineare corrispondente. Determinati i

parametri a e b della retta interpolante y = ax + b, si ottiene, per il caso rappresentato

in figura, k/g = a-1

= 1/0.0098 g mm-1

e quindi k = 9.8/0.0098 N/m = 1.0 103 N/m,

avendo assunto g = 9.8 m/s2 (non affetta da errore).

)(xfSOP x

O P


© L. Renna 36

Fig.6

5.3.2 Metodo della massima e minima pendenza

La migliore retta che riproduce i dati sperimentali deve passare per i rettangoli

individuati dalle barre di errore; rimane tuttavia ancora molta arbitrarietà. Un metodo

grafico assai semplice per individuarla è il seguente.

Fig.7

Con riferimento ai dati della tabella precedente, la retta 2) passa per i punti (0, 14.97)

e (50, 15.50), la 1) per (0, 15.01) e (50, 15.46). Perciò a = 0.0098 ± 0.0008 e b =

14.99 ± 0.02.

Si tracciano sul grafico le rette con la minore e con la maggiore pendenza possibile

passanti entro le barre di errore:

2211 2) 1) bxaybxay . (2)

Possiamo assumere come miglior retta

baxy (3)

quella i cui parametri a e b sono dati da

M(g) l(mm)

0 ± 1 15.00 ± 0.02

10 ± 1 15.10 ± 0.02

20 ± 1 15.18 ± 0.02

30 ± 1 15.30 ± 0.02

40 ± 1 15.40 ± 0.02

50 ± 1 15.48 ± 0.02

14,9

15

15,1

15,2

15,3

15,4

15,5

15,6

-10 0 10 20 30 40 50 60

F (g p )

l(m

m)

1) y = 0.009x + 15.012

2) y = 0.0106x + 14.972

0

1lF

kl


© L. Renna 37

22

22

12121212 bbbbb

aaaaa

. (4)

Essa costituisce un ragionevole compromesso, sicuramente migliore di ciascuna delle

rette 1) e 2) mostrate in (2).

Utilizzando questo metodo possiamo rappresentare col coefficiente angolare a della

retta (3) la miglior stima della costante elastica della molla.


© L. Renna 38

6 Incertezze nelle misure ripetute

6.1 Errori casuali

6.1.1 Valor medio

Sia X una grandezza fisica, e x un suo valore misurato. Se si ripetono varie volte le

misure, in presenza di errori casuali, si otterranno dei valori x1, x2, x3 … che in

genere differiranno tra loro.

Supponiamo di ripetere N volte una misura e di trovare

Ni xxxx ,...,,...,, 21 . (1)

Si presenta il problema di quale sia il valore da assegnare alla grandezza in

questione. Il principio adottato è di assumere come ragionevole stima del valor vero

della grandezza (che rimane peraltro sconosciuto) la media aritmetica o valore medio

(empirico) delle misure:

N

i

iNi x

NN

xxxxx

1

21 1...... (2)

Ci sono varie giustificazioni a favore di questa scelta:

− Tutti i valori sono trattati alla stessa maniera, e il risultato è indipendente

dall’ordine in cui sono fatte le misure.

− Se gli errori sono casuali, allora essi devono differire dal valore medio sia in

valore assoluto che per il segno. Se si separano le N misure in due gruppi, uno

formato da tutti i valori minori della media, l’altro con quelli maggiori, le

misure si dispongono all’incirca in eguale numero nei due gruppi; e al

crescere di N i due gruppi tendono a essere egualmente popolati.

− Quando si calcola la media aritmetica, gli scarti dal valore vero si sommano

algebricamente: si ha quindi una parziale cancellazione degli errori, cosicché

la media aritmetica dà un valore più vicino al vero di quanto mediamente non

siano le singole misure.

Sia *x il valore vero (incognito) della grandezza in questione. Si chiama errore della

i-esima misura la differenza fra il valore della singola misura i e il valore vero:

*xxii . (3)

La differenza fra il valore della singola misura i e il valore medio delle N misure

xxx ii (4)

si chiama deviazione o scarto dalla media della i-esima misura.

L’errore δ da attribuire a x è

N

i

i

N

i

i

N

i

iN

xxN

xxN

xx11

**

1

* 1)(

11 . (5)

La media aritmetica ha proprietà che la somma dei quadrati degli scarti è minima:

minimo)()(1

2

N

i

i xxxs . (6)

Infatti, eguagliando a zero la derivata della (6)


© L. Renna 39

N

i

i

N

i

i xNxxxdx

xds

11

022)(2)(

si ha

xxN

xN

i

i 1

1.

Inoltre, poiché 02)(

2

2

Ndx

xsd, si tratta effettivamente di un minimo.

Per stimare l’attendibilità media delle misure si potrebbe pensare di fare la media

delle deviazioni Δxi. Tuttavia tale media non è di alcun interesse in quanto sempre

nulla:

0)(111

xNxxxxN

i

ii

N

i

N

i

i . (7)

6.2 Stima delle incertezze Ci sono diversi modi in cui si può specificare l’incertezza sui valori misurati di un

esperimento ripetuto. La distinzione principale che qui ci interessa è quella tra

incertezze massime e incertezze statistiche.

6.2.1 Incertezza massima

Si determinano il massimo e minimo valore dell’insieme di dati, xmax e xmin, la cui

differenza rappresenta la dispersione massima. Si assume come incertezza la

semidispersione

2

minmax xxx

, (8)

la quale costituisce un’incertezza massima.

Virtualmente nessuna misura dovrebbe mai cadere al di fuori dell’intervallo di

estremi xx .27

Il valore trovato è dunque

xxx . (9)

Avendo assunto l’incertezza x come incertezza assoluta, l’incertezza relativa è data

dal rapporto

Incertezza relativa di x = x

x (10)

Quando le misure a disposizione sono poche (3 o 4, comunque meno di 10) è

consuetudine assumere come incertezza di misura la semidispersione massima (8).

6.2.2 Deviazione Standard

Poiché è stata scelta la media aritmetica come valore più attendibile e poiché essa

soddisfa alla (6) (mentre la media delle deviazioni è nulla) conviene caratterizzare

l’imprecisione dei risultati con la media dei quadrati degli scarti. Un parametro utile

27

Trattandosi di errori massimi, valutati nel caso in cui sia piccolo il numero di misure, come stima

del valore vero della variabile X si può prendere anziché il valor medio delle misure x la quantità

(xmax + xmin)/2, dove xmax e xmin sono rispettivamente il massimo e minimo valore delle misure

effettuate. Tutte le considerazioni che seguono rimamgono egualmente valide.


© L. Renna 40

per caratterizzare la precisione della serie di misure sarebbe quindi l’errore

quadratico medio:

N

xx

N

N

i

i

N

i

i

1

2*

1

2 )(

e

. (11)

Il valore vero *x non essendo noto, si considera lo scarto quadratico medio e si

definisce la deviazione standard:

N

xx

N

xN

i

i

N

i

i

x

1

2

1

2)(

. (12)

Essa costituisce una stima attendibile (per difetto) dell’errore quadratico medio, tanto

migliore quanto maggiore è il numero di misure e ha un importante significato

probabilistico, come si mostrerà nel capitolo 7.

La deviazione standard (12) dipende dal numero N di misure, ossia dal campione che

si ha a disposizione. Occorre dunque distinguere tra la deviazione standard di un

campione e la deviazione standard della popolazione delle infinite (N → ) possibili

misure della grandezza X.

La quantità σ2, quadrato della deviazione standard, è detta varianza. Da osservare che

222222 2)( xNxxNxxxxxNi

i

i

i

i

i

i

ix ,

per cui la varianza gode della seguente importante proprietà:

22222 1xxxx

N i

ix . (13)

La migliore stima della deviazione standard della popolazione, ottenibile sulla base

del campione di N misure a disposizione, è la deviazione standard campionaria o

empirica

1

)(1

2

N

xx

s

N

i

i

x . (14)

Il motivo per si divide per N per ottenere la migliore stima della media e per N – 1

per ottenere la migliore stima della deviazione standard è il seguente. Per calcolare la

varianza non si usa il valore vero di x ma solo la media delle misure, come sua

migliore stima. Perciò, così com’è calcolata, Σ2)( xxi è sempre un po’ più piccola

di Σ 2* )( xxi , la quantità effettivamente cercata. Infatti, considerata come una

funzione di *x , la (11) è minima per xx * , per cui la (12) sottostima sicuramente

la larghezza della distribuzione σ. Inoltre, in generale, date N misure, la media non è

un’informazione indipendente, perché esiste una correlazione tra i valori xi e x :

quindi l’insieme formato dagli xi e x ha solo N – 1 termini indipendenti. Si introduce

pertanto la varianza empirica o campionaria

22

1xx

N

Ns

, (15)

osservando che, per N grande, la differenza tra le due quantità diventa irrilevante.

Come già osservato, la quantità


© L. Renna 41

2

xx ss

è detta deviazione standard campionaria o adattata.

6.3 Propagazione delle incertezze

6.3.1 Somma

Sia g = x + y. Eseguite N misure indipendenti delle grandezze x e y, siano σx, σy le

deviazioni standard delle rispettive distribuzioni sperimentali, e x , y i loro valori

medi.

In corrispondenza di ogni singolo valore misurato xi e yi delle grandezze x e y, la

grandezza g assume i valori:

iii yxg (16)

il cui valore medio è:

yxyN

xN

yxN

gN

gi

i

i i

iii

i

i 11

)(11

. (17)

Indichiamo, come al solito, con

xxx ii , yyy ii , ggg ii

gli scarti dalla media. Si ha

iiiiii ggyyxxyxg

dove

iii yxg (18)

rappresenta lo scarto di gi dal valor medio g .

La varianza della grandezza g è quindi:

i

ii

i

i

i

i

i

ig yxN

yN

xN

gN

)(2

)(1

)(1

)(1 2222 .

Poiché le misure di x ed y sono indipendenti, per ogni valore di xi nell’ultimo

termine dell’equazione precedente si avrà con eguale probabilità un fattore yi di

segno uguale o di segno opposto a xi; di conseguenza la sommatoria tenderà ad

avere un valore piccolo, al limite nullo, per un numero molto grande di misure.

Pertanto:

22222 )(1

)(1

yx

i

i

i

ig yN

xN

. (19)

Analogo risultato si ottiene per la differenza g = x – y.

Quindi, quando le grandezze x e y sono misurate con incertezze statistiche sx e sy e g

= x + y, la formula

sg = sx + sy

costituisce una sovrastima dell’incertezza casuale; c’è infatti un 50% di probabilità

che una sovrastima di x sia accompagnata da una sottostima di y e viceversa. Perciò,

se le misure sono indipendenti, le due incertezze si sommano in quadratura:

yxyxg sssss 22 )()( .


© L. Renna 42

È immediato verificare che se g = ax, allora 222

xg a . Il risultato (19) si può

pertanto facilmente generalizzare a una funzione lineare di un arbitrario numero di

grandezze x, y, z, …:

g = ax + by + cz + … . (20)

ottenendo

...2222222 zyxg cba . (21)

Da osservare che xga / , ygb / , zgc / , e così di seguito.

6.3.2 Funzione non lineare

La relazione di propagazione delle incertezze statistiche può essere generalizzata nel

caso in cui la funzione g = f(x) non sia lineare, mediante un procedimento di

linearizzazione analogo a quello effettuato per gli errori massimi, e applicabile

quando le incertezze casuali sono piccole rispetto ai valori misurati.

Siano x1, x2, …, xN, N misure dirette e indipendenti della grandezza X, con valor

medio x . In corrispondenza dei valori xi si avranno N valori gi = f(xi) per cui

N

i

i

N

i

i xfN

gN

g11

)(11

. (22)

Nell’ipotesi che gli scarti xxi siano piccoli possiamo approssimare la funzione

f(x) nelle vicinanze di x con l’equazione di una retta

)()()( xxdx

dfxfxfg i

xx

ii

, (23)

che introdotta nella (22) fornisce

)()()(1

1

xfxxdx

dfxNf

Ng

N

i

i

xx

. (24)

Analogamente, sostituendo la (23) nell’espressione dell varianza

N

i

i

xx

N

i

ig xfxxdx

dfxf

Nxfxf

N 1

2

1

22 )()()(1

)()(1

si ottiene

2

2

1

2

2

2 )(1

x

xx

N

i

i

xx

gdx

dfxx

dx

df

N

, (25)

che rappresenta la varianza delle misure indirette di g.

6.3.3 Funzione di più variabili

Esaminiamo ora il caso generale della misura indiretta di una grandezza

g = f(x, y, z,…) (26)

determinata dalle misure dirette delle grandezze x, y, z, … .

Effettuate N misure, in corrispondenza degli xi, yi, zi,… si avranno N valori gi = f(xi,

yi, zi,…). Assumiamo come migliore stima della grandezza g la media aritmetica dei

valori ),,( iiii zyxfg :


© L. Renna 43

N

i

iii

N

i

i zyxfN

gN

g11

,...),,(11

. (27)

Sviluppiamo in serie la funzione f(x) nell’intorno dei valori medi x , y , z , …,

mantenendo i termini lineari e trascurando i termini di ordine superiore. Cominciamo

con il considerare variazioni infinitesime delle variabili x, y, z, … rispetto al valore

medio. Partiamo, come in precedenza, dal differenziale totale

...

dz

z

fdy

y

fdx

x

fdg . (28)

Se gli scarti xxx ii , yyy ii , zzz ii , … sono sufficientemente piccoli

da poter essere considerati infinitesimi, gli scarti dalla media ig ),,( iii zyxf

),,( zyxf dei valori ig sono dati da28

...

iiii z

z

fy

y

fx

x

fg , (29)

da cui si ottiene

,...),,( iiii zyxfg

,...),,( zyxf ...)()()(

zz

z

fyy

y

fxx

x

fiii

, (30)

Sostituendo quest’ultima nella (27) si ottiene (analogamente a quanto succede nella

(24)):

,...),,( zyxfg . (31)

Sostituendo la (30) nella varianza di g

N

i

ig gN 1

22 )(1

(32)

si ottiene un’espressione in cui figurano due tipi di termini, quadrati e prodotti misti.

Questi ultimi contengono quantità la cui probabilità di essere positive o negative è la

stessa e pertanto hanno per somma un numero molto prossimo a zero, o al più molto

più piccolo della somma dei quadrati, e per questa ragione possono essere trascurati.

Quindi, in analogia al caso lineare (equazioni (20) e (21)) e al modo con cui si giunge

alla (25), dalla (32) deduciamo la seguente formula di propagazione delle incertezze

casuali:

...2

2

2

2

2

2

zyxg

z

f

y

f

x

f . (33)

Essa è rigorosamente valida se g è una funzione lineare dalle variabili indipendenti.

È valida invece approssimativamente se le σi sono piccole rispetto a g.

Ricordiamo che nelle formule (29), (30) e (33) le derivate parziali xf / , xf / ,

xf / , … si intendono calcolate a ),,,( zyx .

La formula (33) è usata per valutare la propagazione degli errori a posteriori, ossia

per stimare gli errori statistici dovuti a combinazioni di misure indipendenti. Per

l’errore relativo si procede come per gli errori massimi, dividendo la (33) per g.

28

Da osservare che, applicata alla funzione lineare (20) la relazione (29) fornisce Δgi =a Δxi + b Δyi +

c Δzi … .


© L. Renna 44

Tabella 1 Propagazione delle incertezze per funzioni di due variabili.

g = f(x,y)

Relazione tra

σg e (σx, σy )

1 g = x + y

22

xxg

2 g = x – y

22

xxg

3 g = xy

22

yxg

yxg

4 g = x/y

22

yxg

yxg

5 g = xn

xn

g

xg

6 g = lnx

x

xg

7 g = ex

x

g

g

Si osservi che la somma in quadratura si applica solo quando le due quantità misurate

sono indipendenti. Infatti, se g = x2

xxxx

gg

2

il risultato corretto è

x

xxxxxxx 212 222

e non

x

xx 212 .

6.4 Deviazione standard della media

Come applicazione della formula di propagazione dell’errore (33) ricaviamo la

deviazione standard della media campionaria.

Supponiamo che g sia la media aritmetica di N variabili casuali indipendenti xi le

quali hanno tutte la stessa varianza che indichiamo con s2:

N

i

ixN

xg1

1. (34)

Dalla relazione

N

ss

Ns

x

gs

N

i

N

i i

g

2

1

2

21

2

2

2 1

(35)


© L. Renna 45

discende che

N

ssg

ossia

N

ssx . (36)

La deviazione standard della media è dunque inferiore a quella delle singole misure e

diminuisce con la radice quadrata delle misure. Ciò è conseguenza del fatto che essa

rappresenta la stima più attendibile del valore vero delle N misure. La deviazione

standard della media è chiamata errore standard e indica l’accuratezza con cui la

media di N misure è vicina al “valore vero”.

Il risultato di un generico esperimento nel corso del quale siano state eseguite N

misure di una grandezza x può essere formulato nel modo seguente:

N

sxsxxV x

x)( . (37)

Si osservi che:

– All’aumentare di N la precisione aumenta come N1 . Il miglioramento,

all’inizio rapido diventa via via più lento (per migliorare di un fattore 10 il

numero di misure va aumentato di un fattore 100).

– L’errore statistico di norma non può essere inferiore all’errore di sensibilità

dell’apparato usato per compiere le misure. Infatti, non c’è modo di distinguere

obiettivamente due risultati che differiscano per meno dell’incertezza di

sensibilità dello strumento.

– Il contributo di errori sistematici può essere molto piccolo ma non eliminato

del tutto.

Aumentare il numero di misure oltre un certo limite è perciò del tutto inutile poiché il

guadagno di precisione diventa puramente illusorio!

6.5 Osservazioni sulla propagazione delle incertezze nelle misure indirette

Da osservare che l’espressione (33) è la deviazione standard di un generico valore gi

= f(xi, yi, zi,…). Per ottenere la deviazione standard di g , bisogna introdurre nella

(42) le deviazioni standard delle medie delle grandezze x, y, z,…:

...2

2

2

2

2

2

zyxg

z

f

y

f

x

f , (38)

dove le derivate parziali xf / , yf / , zf / , … sono calcolate a ),,,( zyx .

La stessa relazione può essere usata nel caso in cui le misure delle grandezze x, y,

z,… siano indipendenti anche in presenza di errori massimi Δx, Δy, Δz,…: basta

sostituire le deviazioni standard con le incertezze massime. Si parla in questo caso di

propagazione dell’errore massimo in quadratura. L’errore che si ottiene è una

valutazione meno pessimistica dell’incertezza rispetto a quella ottenuta con la

formula usuale della propagazione delle incertezze massime.


© L. Renna 46

6.5.1 Esempi

6.5.1.1 Misura della velocità

Si supponga di volere eseguire la misura indiretta della velocità nel moto uniforme, v

= x/t. Gli spazi percorsi xi siano misurati con deviazione standard xs , e i rispettivi

tempi impiegati ti con deviazione standard ts . Le derivate parziali sono

2

,1

t

x

t

v

tx

v

perciò la deviazione standard del valor medio v delle misure della velocità è

2

2

2

2

21

txv st

xs

ts

.

dove xs e t

s sono le incertezze dei rispettivi valori medi.

Elevando al quadrato e dividendo per v2 = (x/t)

2 si ottiene

222

t

s

x

s

v

s txv ,

cioè gli scarti ridotti (le quantità dimensionali del tipo sr/r) si sommano al quadrato.

Ciò comporta una considerazione di carattere pratico riguardo alla progettazione di

una misura: è inutile tentare di diminuire l’errore su una delle due misure quando

l’incertezza relativa sulla velocità è dominata dall’incertezza dell’altra misura.

6.5.1.2 Volume di un cilindro

Come secondo esempio, supponiamo di misurare il volume di un cilindro avendo a

disposizione un calibro centesimale (ad esempio un Palmer con incertezza di

sensibilità Δℓ = 0.01 mm).

Misurando N = 30 volte il diametro d e l’altezza h si abbia

cm 04.0 cm 54.0 h sh , cm 06.0 cm 14.1 d sd .

Il volume calcolato è

3

2

cm 0.55122

π

h

dV ,

e le varianze relative sono

%7 ,%5 h

s

d

s hd .

Dalla formula di propagazione si ricava

%4.21

21

22

Nd

s

Nh

s

V

sdhV .

3cm 013.0V

s .

La misura del volume è pertanto

V = (0.551 ± 0.013) cm3.


© L. Renna 47

7 Distribuzioni

7.1 Distribuzioni di frequenze L’analisi statistica degli errori casuali richiede l’esecuzione di misure ripetute della

stessa grandezza. Siano

,,...,,...,, 21 Ni xxxx (1)

i dati relativi a misure della grandezza fisica continua X. È conveniente organizzare i

risultati in tabelle e rappresentarli graficamente mediante istogrammi.

Per costruire un istogramma si dividono i dati in classi di valori, cioè si raggruppano

in insiemi i cui valori cadono in assegnati intervalli di ampiezza non inferiore a 2Δx

(o uguale a un multiplo di 2Δx), dove Δx è l’incertezza di sensibilità dello strumento

di misura. Gli intervalli sono disgiunti e ricoprono l’intero insieme di misure. Si

attribuiscono ad ogni classe i dati il cui valore è compreso nell’intervallo k di

ampiezza Δxk centrato attorno al valore xk. Quindi ogni classe è caratterizzata da xk

ed eventualmente Δxk.

Solitamente gli intervalli sono presi tutti con ampiezza uguale a un dato valore Δx.

L’ampiezza Δx di ciascun intervallo è scelta in modo tale che il numero di misure

che vi cadono non sia né troppo piccolo né troppo grande, ma sia cioè adeguato ad

ottenere una rappresentazione della distribuzione dei dati come quella riportata in

figura 1.29

Fig. 1 Diagramma della distribuzione di misure.

Indichiamo con nk il numero di dati appartenenti alla classe k. Si ha

29

La scelta dell’ampiezza più conveniente per gli intervalli è connessa con l’esigenza di ottenere un

istogramma facilmente interpretabile, e cioè con intervalli abbastanza popolati e in numero sufficiente

a fornire una rappresentazione indicativa del tipo di distribuzione. Se Δx è troppo piccolo, produrrà

intervalli scarsamente popolati, o vuoti, e se è troppo grande, sarà troppo basso il numero di intervalli

e scarsa la loro variabilità. Ad esempio, se si hanno a disposizione 100 misure, si può prendere Δx =

σ/2 e poiché entro 3σ attorno alla media cade circa il 99% dei dati, gli intervalli centrali saranno

popolati con più di 10 misure.


© L. Renna 48

NnK

k

k 1

(2)

essendo K il numero di classi.

La distribuzione dei risultati è rappresentata dalla frequenza relativa della classe k

N

nF k

k , (3)

che rappresenta la frazione delle N misure che cadono nell’intervallo k. L’insieme

delle frequenze relative è normalizzato

11

K

k

kF . (4)

Il valor medio si può esprimere attraverso le frequenze relative

K

k

kk

N

i

iN FxxN

x11

1 (5)

dove xk è il valore centrale dell’intervallo k ed Fk la frequenza relativa

corrispondente, e rappresenta una media delle misure pesata attraverso le frequenze.

7.1.1 Istogrammi

Per costruire un istogramma, si rappresentano graficamente le classi di dati con

rettangoli le cui altezze sono proporzionali alle frequenze. Le altezze dei singoli

rettangoli fk sono tali che

N

nfxfxx k

kkkkk )( 1 (6)

e rappresentano la densità di frequenza dei dati. L’area totale dei rettangoli vale

allora 1:

1...2211 k

k

k

k

k

kkKK FN

nfxfxfxfx (7)

e l’istogramma si dice normalizzato.

Fig.2 Un esempio di istogramma.

fk

xk

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2


© L. Renna 49

Un esempio di istogramma normalizzato è mostrato in figura 2. Gli istogrammi

normalizzati possono essere facilmente confrontati.

7.2 La distribuzione limite Si consideri un dato istogramma rappresentativo di una serie di N misure

indipendenti della grandezza X. Aumentando progressivamente il numero N di

misure, aumenta anche il numero di quelle che cadono in ciascun intervallo. Si può

allora in corrispondenza rendere sempre più piccola l’ampiezza x delle classi di

frequenza. L’altezza dei rettangoli rimane un numero finito poiché x diventa

piccolo ma N cresce e l’istogramma si discosta quindi sempre meno da una forma

limite. Se la grandezza misurata è continua, per N→∞ e Δx→0 i valori delle singole

ordinate tendono ad un valore limite finito e l’inviluppo dei rettangoli

dell’istogramma tende a divenire una curva continua y = f(x).

f(x)

Fig. 3 Da sinistra verso destra aumenta il numero degli intervalli e delle misure.

La curva f(x) è tale che f(x)dx rappresenta (o è proporzionale a) la frequenza relativa

delle misure aventi valore compreso nell’intervallo infinitesimo (x; x + dx). Se

l’istogramma d’origine era normalizzato, ne segue che anche l’area racchiusa fra la

curva e l’asse delle ascisse è normalizzata, ossia:

1)(

dxxf . (8)

La quantità f(x) è detta densità continua di frequenza o funzione di distribuzione. La

funzione di distribuzione fornisce la descrizione teorica del comportamento atteso di

una data serie di misure.

La scelta dei limiti infiniti nella (8) non costituisce alcuna limitazione: se non ci sono

valori che cadono nell’intervallo (–, x0) la frequenza corrispondente vale zero.

Per un esperimento infinito (N) f(x) costituisce la distribuzione limite delle

frequenze. Il valore medio di x è

dxxxfx )( . (9)

Poiché non possiamo osservare la distribuzione limite, siamo portati a definire quale

valore approssimato della grandezza in questione il valor medio (5) delle misure

effettuate. All’aumentare del numero di misure N l’approssimazione migliora e

xxNN

lim . (10)

La media empirica Nx rappresenta dunque la migliore approssimazione del valore

vero della grandezza X.


© L. Renna 50

In analogia alle considerazioni riguardanti il valore medio, il valore approssimato

della varianza della misura

k

N

i

K

k

kiN FxxxxN

2

1 1

22 )()(1

, (11)

che fornisce l’incertezza da associare al singolo valore misurato30

, tende per N→∞

alla varianza della distribuzione limite

dxxfxxx )()( 22 . (12)

7.3 Distribuzioni continue

7.3.1 Distribuzione normale

È possibile prevedere teoricamente la forma della distribuzione nel caso limite in cui

il numero delle misure sia molto grande (N), nell’ipotesi che le N misure siano

indipendenti, ossia nel caso in cui il risultato di una misura non sia condizionato da

quello delle misure precedenti e sia soggetto a molte piccole sorgenti di errori casuali

(e trascurabili errori sistematici). In questo caso i valori misurati saranno distribuiti

su una curva simmetrica centrata attorno al valore “vero” X. La funzione che

descrive una tale distribuzione è chiamata distribuzione normale o funzione di Gauss:

2

2

2

)(

, e2

1)(

Xx

X xf

. (13)

Fig.4 Dipendenza della funzione di Gauss da σ.

Il suo significato è il seguente: la frazione di misure dn/N il cui valore è compreso

nell’intervallo infinitesimo tra x e x + dx è

dxdxxfN

dnXx

X

2

2

2

)(

, e2

1)(

. (14)

Essa ha un massimo per x = X, è simmetrica rispetto a X e tende a zero per x . In

pratica la distribuzione dei valori rilevati sperimentalmente, in una serie anche

abbastanza numerosa di misure, segue solo approssimativamente una legge di tipo

fX,σ(x); quanto più grande è il numero di misure, tanto migliore è l’approssimazione,

30

La varianza campionaria ha nel denominatore N – 1 al posto di N (si veda il Capitolo 6). La

differenza è trascurabile se N è grande. Si veda inoltre alla fine del presente capitolo come si

analizzano i casi in cui il numero di misure è piccolo.

)(, xfX

X

σ2 > σ1


© L. Renna 51

ossia tanto minori sono le fluttuazioni dei valori sperimentalmente trovati di dn/N

rispetto alla previsione teorica fX,σ(x)dx.

La conoscenza della distribuzione limite consente di determinare il valore medio

atteso da una serie molto grande di misure. Per la distribuzione di Gauss, dalla (9) si

ha

dxxex

Xx2

2

2

)(

2

1

. (15)

Eseguendo il cambio di variabile y = (x – X)/, si ha x = y + X, dx = dy e

l’integrale diventa la somma di due termini31

202

1

2

122

22

XdyeXdyyex

yy

.

Perciò

Xx , (16)

ossia, dopo infinite prove, il valore medio x è il valore vero X su cui è centrata la

funzione di Gauss.

Un’altra grandezza da calcolare è la deviazione standard σx dopo un grande numero

di prove. Dalla (12) si ottiene

dxxx

Xx

x

2

2

2

)(

22 e)(2

1

. (17)

Sostituendo x con X, ponendo (x – X )/σ = z, e integrando per parti, si ha

)20(2

)(2

22

1

2

22

2

2

2

2232

22

22

dzeze

zdedzez

zz

zz

x

ossia, dopo infinite prove,

22 x . (18)

Quindi il parametro σ della funzione di Gauss è proprio la deviazione standard che si

dovrebbe ottenere dopo aver eseguito molte misure.

7.3.2 Distribuzione uniforme

La deviazione standard e l’errore standard vanno interpretati ed utilizzati in un modo

diverso quando si considerano gli errori massimi o di sensibilità. Per gli errori

massimi, infatti, non si fa alcuna distinzione tra i differenti valori della grandezza che

cadono entro l’intervallo di incertezza. Si può perciò ipotizzare che essi si

distribuiscano uniformemente in tale intervallo.

Supponiamo di avere un insieme di misure distribuite uniformemente tutte

nell’intervallo (x0 – Δx, x0 + Δx).

31 Utilizzare l’integrale notevole

dxe x2

.


© L. Renna 52

Fig.5 Distribuzione uniforme.

La distribuzione limite corrispondente è f(x) = h = costante per valori di x entro

l’intervallo e f(x) = 0 al di fuori.

Dalla condizione di normalizzazione (8)

12)(0

0

xhdxhdxxf

xx

xx

si ottiene

x

h

2

1.

Perciò

]x xx,[per 0

]x xx,[per 2

1

)(

00

00

xx

xxxxf . (19)

Ovviamente, 0xx , come si calcola anche dalla (9)

0022

1

2

1)(

0

0

xxxx

xdxx

dxxxfx

xx

xx

. (20)

Dalla (12) si ottiene la varianza (si ponga y = x – x0):

3

)(])()[(

3

1

2

1)(

2

1 23322

0

20

0

xxx

xdxydxxx

x

x

x

xx

xx

. (21)

La deviazione standard sarà pertanto

xx

577.03

. (22)

Il numero di misure che cadono nell’intervallo (x0 – σ, x0 + σ) è dato da

577.03

12

2

1)(

0

0

x

dxxf

x

x

. (23)

Quindi il valore misurato disterà da quello vero per meno di σ in circa il 58% dei

casi.

x0 – Δx x0 x0 + Δx

f(x)

x

h


© L. Renna 53

7.4 Legge dei grandi numeri e significato probabilistico della distribuzione normale

Si è detto che la quantità f(x)dx rappresenta un indicatore della frazione di misure che

cadono tra x e x + dx in un dato esperimento quando la variabile X segue la

distribuzione f(x). Più in generale, l’indicazione del numero di misure che cadono tra

due valori a e b può essere valutato dall’integrale definito di f(x):

b

a

dxxf )( frazione di misure che cadono tra x = a e x = b.

L’integrale rappresenta dunque la frazione di misure che ci si aspetta di trovare

nell’intervallo dato, dopo aver effettuato un numero N molto elevato di misure. In

altre parole, possiamo anche dire che f(x)dx è la probabilità che una singola misura

di x dia un risultato compreso fra x e x + dx e che b

a

dxxf )( è la probabilità che una

misura cada tra x = a e x = b.

Al concetto fisico di frequenza corrisponde quindi il concetto matematico di

probabilità. Questo fatto è conseguenza del seguente postulato di natura

sperimentale, chiamato legge empirica del caso, o legge dei grandi numeri:

“Al crescere del numero delle prove32

, la frequenza di un evento tende a diventare

uguale alla sua probabilità.”

In base al postulato, se il numero delle prove va crescendo indefinitamente, la

frequenza dell’evento si avvicina alla sua probabilità e ne differisce di una quantità

che può essere resa piccola a piacere.

Quando le misure di una grandezza fisica seguono una distribuzione normale (e ciò

avviene se gli errori sono accidentali), l’integrale di Gauss permette di valutare la

probabilità che un particolare valore della misura cada in un intervallo (a, b)

b

a

Xx

dxebxap2

2

2

)(

2

1)(

, (24)

quantità che è uguale all’area sotto la curva che rappresenta la funzione di

distribuzione.

Fig. 6 Significato geometrico della funzione cumulativa della distribuzione normale.

32

Le prove vanno ripetute in identiche condizioni.

0

z

f (z )

Area=F(z)


© L. Renna 54

È utile esprimere la funzione di Gauss e l’integrale tramite la variabile standardizzata

adimensionale

z = (x – X)/σ, (25)

che esprime la distanza della variabile x dal valore atteso in unità di σ.

La funzione normale standard

2

z-

2

eπ2

1)( zf (26)

ha dunque deviazione standard σ = 1 e valore atteso X = 0. Con questa sostituzione,

la probabilità

b

a

z

z

dzzfbxap )()( (27)

è espressa attraverso il calcolo di un integrale il cui argomento non dipende dai

parametri X e σ.

Si definisce Funzione di ripartizione (o funzione di distribuzione cumulativa) della

distribuzione f(x) l’integrale (figure 6 e 7)

z

dttfzF )()( = probabilità che la variabile abbia un valore fino a z. (28)

La probabilità che z cada in un dato intervallo si può esprimere tramite differenze di

valori di F(z):

)()()()()()( ab

zzz

z

ba zFzFdzzfdzzfdzzfzzzpabb

a

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

z

F (z )

Fig 7. Funzione di ripartizione della distribuzione normale.

Valori tabulati di f(z) e della corrispondente funzione cumulativa F(z) sono riportati

nelle tabelle 1 e 2 in Appendice. Da osservare che F(z) gode della proprietà

)(1)( zFzF (29)

dovuta alla simmetria della funzione di distribuzione normale.

La probabilità che x cada in un dato intervallo può essere determinata in termini di

F(z). Ad esempio, dalle tabelle si ricava:

68268.0184134.021)1(2)1()1()( FFFXxXp .

È possibile determinare un valore zα tale che la probabilità che la variabile z sia

contenuta entro l’intervallo [–zα, zα] sia uguale a un determinato valore (1 – α), con 0

≤ α ≤ 1. Tale condizione si traduce in una relazione,


© L. Renna 55

1)( zzp , (30)

che consente di determinare gli estremi dell’intervallo entro cui cade, con probabilità

(1 – α), il valore “vero” del parametro z. La probabilità che il valore vero cada entro

un certo intervallo si chiama livello di confidenza e il corrispondente intervallo

intervallo di fiducia (o di confidenza). L’intervallo [–zα, zα] rappresenta dunque

l’intervallo di confidenza per il parametro z, la probabilità (1 – α) è il coefficiente di

confidenza, α è chiamato livello di significatività. Il limite superiore dell’intervallo di

fiducia in unità standardizzate zα è detto valore critico.

Fig.8 Intervallo di confidenza

Esempio.

Si supponga che le misure dell’altezza di un cilindretto sottile siano distribuite

normalmente, con valore centrale X = 10.0 mm e deviazione standard σ = 0.2 mm. Si

vuole determinare la probabilità che x sia compreso tra 9.7 mm e 10.3 mm.

Posto z = (x – X)/σ la condizione equivale a determinare la probabilità p(|z| ≤ a), con

a = 1.5. Dalla tabella 2 dell’Appendice si ha: F(1.5) = 0.93319, e quindi p = 2

F(1.5) – 1 = 0.87 (87%).

Viceversa, al livello di significatività del 5%, sempre dalla detta tabella si ricava che

l’intervallo di fiducia è dato da [X – 1.96 σ, X – 1.96 σ], ossia 9.6 mm ≤ x ≤ 10.4 mm.

7.5 Teorema del limite centrale

Affermare che x è la migliore valutazione del “valore vero” significa che la sua

indeterminazione è minore di quella attribuibile a ogni singola misura. Ma qual è

l’errore statistico (errore standard) da cui è affetto x ? Intanto possiamo osservare

che sia il valor medio che la varianza dipendono da N. Se la varianza è piccola, i

valori misurati sono tutti più vicini al valore vero e così la loro media. Inoltre, tanto

più grande è N tanto più x è vicino al valore vero, indipendentemente dal valore

assunto da s2. Per ricavare un risultato quantitativo cominciamo con l’enunciare il

seguente

Teorema del limite centrale. Una combinazione lineare

w = a x1 + b x2 + c x3 +… + xn (31)

di n variabili aleatorie indipendenti x1, x2, x3, …, xn, ciascuna avente distribuzione

qualsiasi, ma con valori aspettati X1, X2, X3, …, Xn comparabili e varianze finite

0

f (z )

-zα zα

1-α α/2 α/2


© L. Renna 56

dello stesso ordine di grandezza, all’aumentare del numero n delle variabili aleatorie

tende alla distribuzione normale con valore aspettato

...321 cXbXaXX (32)

e varianza

...2222222

321 XXX cba . (33)

Il teorema permette di trattare il caso particolarmente interessante di applicazione: la

determinazione dello scarto quadratico medio della media di una grandezza fisica,

già ottenuto per altra via nel capitolo precedente.

Supponiamo che X sia la media aritmetica di N variabili misure indipendenti xi le

quali hanno tutte la stessa varianza σ2. In base al teorema, all’aumentare del numero

di misure la variabile valore medio ha una distribuzione normale con varianza

N

i NN1

22

2

2 1 . (34)

7.6 Media pesata Abbiamo finora supposto che le N misure di una data grandezza fisica siano state

eseguite tutte con la stessa precisione. Si consideri il caso di una grandezza X,

misurata N volte, i cui valori x1, x2, …, xN, abbiano differenti deviazioni standard 1,

2, 3, … N .

Non si può usare la media aritmetica delle N misure, perché si darebbe lo stesso peso

a misure con precisione diversa. Si ammette quindi che la migliore stima del valore

vero sia una media pesata

N

i

ii xpx1

, (35)

i cui pesi pi andranno determinati in funzione delle incertezze i.33

Per ricavare tale

funzione, consideriamo il caso in cui ciascun valore misurato sia la media xi = iy di

Ki misure tutte con la stessa incertezza δ. Poiché assumiamo che le xi siano diverse,

differenti saranno in generale anche le corrispondenti deviazioni standard i. D’altra

parte sappiamo anche che i

iK

.

La media aritmetica effettuata su tutte le

N

i

iKK1

misure totali è:

N

i

N

i

iiN

i

i

K

j

jN

i

i

K

k

k yK

K

y

K

yK

xi

1 1

1

1

1

1

111,

dove si è usato il fatto che, per ogni serie di Ki misure, si ha: ii

K

j

j yKyi

1

.

Utilizzando 22 / iiK si ottiene:

33

In alternativa al metodo mostrato, si può usare il principio di massima verosimiglianza del par.7.8.


© L. Renna 57

N

i

iiN

i

i

N

i

iiN

i

i

N

i

iiN

i

i

xxyK

K

x1

2

1

21

22

1

221

1

)/1(

/1

1)/(

/

11

, (36)

che coincide con la combinazione lineare (35) con pesi

N

i

i

i

ip

1

2

2

/1

/1

. (37)

Applicando la formula di propagazione degli errori è facile dimostrare che la

deviazione standard della media pesata è data da:

N

i

i

x

1

2/1

1

. (38)

7.7 Stima di confidenza per la media

Volendo definire un intervallo di confidenza per il valore aspettato X di un campione

(x1, x2,…, xN) proveniente da una popolazione con distribuzione normale e varianza

σ2 nota, si usa come variabile casuale la media aritmetica x che sappiamo avere

anch’essa distribuzione normale con valore aspettato X e varianza σ2/N. Definita la

variabile normale

N

Xxz

/

, (39)

che ha valore aspettato nullo e varianza unitaria e stabilito un livello di significatività

α, si determinano due valori z1 = -zα/2 e z2 = zα/2 tali che

1)( 2/2/ zzzp .

Dalla relazione

2/2//

zN

Xxz

(40)

si ottiene l’intervallo di confidenza e una stima del valore atteso

N

zxX

2/ . (41)

Per esempio, per un livello di confidenza 1 – α = 0.95 (α = 0.05), si ha

2/1)( 2/ zF = 0.975 e, dalla tabella 2 in Appendice, zα/2 = 1.96. Perciò, a un

livello di confidenza del 95%,

N

xX

96.1 .

Analogamente ci si comporta nel caso in cui il campione (x1, x2,…, xN) proviene da

una popolazione della cui distribuzione non si conosce né il valore aspettato né la

varianza σ2, purché N sia abbastanza grande (> 30). In questo caso la varianza è

stimata dalla quantità

22 )(1

1xx

Ns i , (42)

e la variabile


© L. Renna 58

Ns

Xx

/

(43)

è ancora approssimativamente normale con valore aspettato nullo e varianza uno.

Ribadiamo che il livello di confidenza rappresenta una misura della bontà della stima

del valore di una variabile. Esso stabilisce un intervallo attorno al valore osservato

tale che se il valore vero cade in questo intervallo, il dato osservato non dovrebbe

essere considerato particolarmente insolito. Un intervallo di confidenza molto ampio

suggerisce che non siamo molto sicuri del punto in cui si trova il «vero» valore.

Viceversa, un intervallo ristretto indica che siamo abbastanza sicuri che il valore

trovato sia piuttosto vicino al valore vero della popolazione; in questo caso la stima

sarà, quindi, più precisa.

Il livello di confidenza è quindi una misura della sicurezza della stima: ad esempio,

con un livello di confidenza 95% intendiamo affermare che dalle osservazioni ci

attendiamo che al 95% che il valore vero cade nell'intervallo di semiampiezza

N/96.1 attorno al valore medio. Ossia, se ripetessimo la stessa indagine per 100

volte con gli stessi metodi (ma su 100 campioni diversi), probabilmente otterremmo

ogni volta una stima diversa; tuttavia, il vero valore della popolazione sarebbe

all’interno dell’intervallo di confidenza 95 volte su 100. In altre parole, l’intervallo di

confidenza è stato ottenuto con un metodo che fornisce un risultato corretto nel 95%

dei casi.

7.7.1 Compatibilità con un valore assegnato

Supponiamo che la misura di una grandezza X abbia dato il valore

x = N

x

.

Vogliamo confrontare il risultato della misura con il valore atteso X, il cui valore

supponiamo di conoscere. Supponiamo inoltre che la distribuzione sia centrata sul

risultato atteso X e che la larghezza della distribuzione sia uguale alla stima ricavata

dalle misure. Il risultato è accettabile se la discrepanza tra valore misurato e valore

noto è al di sotto di un valore di significatività stabilito (ad esempio una o due

deviazioni standard o solitamente al 5% di significatività). Infatti, se la probabilità di

ottenere un risultato (che differisce dal valore atteso) è grande, allora la discrepanza è

ragionevole e il risultato accettabile; se la probabilità risulta irragionevolmente

piccola, allora la discrepanza deve essere giudicata significativa e il risultato

inaccettabile.

Ad esempio, se X = 20.00 mm, x = 20.04 mm, σ = 0.13 mm, N = 100, si ha

1.3100/13.0

00.2004.20)(

xz .

La discrepanza tra i due valori è uguale a 3.1 x ossia la stima di X differisce per più

di tre deviazioni standard. Poiché F(3.1) = 0.99903, p(|z| ≤ 3.1) = 2F(3.1) – 1 =

0.9981, p( |z| ≥ 3.1) = 1 – p(|z| ≤ 3.1) = 2[F(3.1) – 1] = 0.0019. La probabilità che x

differisca per 3.1 o più deviazioni standard è dunque dello 0.2%, cioè

irragionevolmente piccola, la discrepanza è significativa e la misura ottenuta

inaccettabile, essendo livello di significatività estremamente basso.


© L. Renna 59

7.7.2 Compatibilità di due valori misurati

Un altro caso d’interesse riguarda il confronto tra due campioni di misure della stessa

grandezza fisica che hanno prodotto differenti stime a causa di errori e che si

suppone seguano la distribuzione normale. Un primo campione sia costituito da N

misure xi con valore medio x e deviazione standard σx; il secondo da M misure yi

con valore medio y e deviazione standard σy.

Introdotta la variabile

yxw , (44)

poiché x e y sono combinazioni di variabili normali, anche la variabile w ha

distribuzione normale, per cui la verifica che i campioni derivino da popolazioni

aventi la stessa media si traduce nel verificare che w abbia valore nullo. Poiché

MN

yxw

22

2

(45)

e w è distribuita normalmente, la compatibilità tra le due differenti misure

corrisponde a determinare a un fissato livello di confidenza la compatibilità di

MN

yxw

yxw

22

(46)

con il valore zero.

7.8 Il principio di massima verosimiglianza

La distribuzione limite f(x) si ottiene effettuando un numero infinito di misure della

grandezza x. Se f(x) fosse nota si potrebbe calcolare la media x e la deviazione

standard σ e (almeno per la distribuzione normale) si conoscerebbe anche il valore

vero X. Tuttavia in generale non si conosce la distribuzione limite, ma si ha a

disposizione solo un numero finito di valori x1, x2, …, xN, sulla base dei quali occorre

determinare la migliore stima di X e di σ. Vogliamo qui solo accennare al fatto che

l’utilizzo della media come migliore stima del valore vero e della deviazione

standard campionaria come migliore stima di σ trovano la loro giustificazione nel

cosiddetto principio di massima verosimiglianza, che può essere enunciato nel modo

seguente:

“Date N misure osservate x1, x2,…, xN soggette soltanto ad errori casuali, le migliori

stime per X e σ (dove X è il valore “vero” e σ la varianza della popolazione, ossia la

larghezza della distribuzione limite) sono quei valori per i quali gli osservati x1,

x2,…, xN sono più probabili.”

Come conseguenza, ad esempio, se si suppone che le misure seguano una

distribuzione normale, si trova34

che la migliore stima di X è

Migliore stima di N

xX

i , (47)

cioè la media delle N misure, mentre la varianza della distribuzione è stimata da

34 Basta massimizzare la probabilità

22 2/)(

1,

1),,(

Xx

NNX

iexxP rispetto a X e a σ.


© L. Renna 60

N

XxN

i

i

1

2)(

. (48)

In pratica, tuttavia, poiché X non è noto la varianza è stimata con

N

xxN

i

i

1

2)(

, (49)

avendo utilizzato il fatto che la migliore stima di X è x . Tuttavia la (49) è sempre

minore della (48). Infatti, considerate come funzione di X la (48) è minima per

xX . Avendo sottostimato la (48) con la (49), si può correggere la (49)

moltiplicandola per )1/( NN . Perciò la migliore stima della larghezza della

distribuzione è la deviazione standard “corretta”

1

)(1

2

N

xx

s

N

i

i

. (50)

7.9 La distribuzione t di Student Rimane da stabilire, nel caso in cui il valore aspettato X e la varianza σ

2 non siano

note e la dimensione del campione non sia sufficientemente grande (in pratica il

numero di valori misurati può essere piccolo, 5 o 10), quando sia legittimo sostituire

alla varianza della popolazione quella campionaria nell’incertezza della media. Esiste

a tale proposito un criterio rigoroso dal punto di vista statistico che è noto come

criterio di Student35

.

L’intervallo di confidenza per il valore aspettato X può essere, infatti, dedotto dalla

variabile casuale

Ns

Xxt

/

, (51)

che ha una distribuzione, detta di t di Student, con N – 1 gradi di libertà:

2/)1(2

1)(

tCtf (52)

dove C è una costante di normalizzazione e ν = N – 1.

Tale distribuzione è simmetrica e tende alla normale per N → ∞. I valori della t

corrispondenti a un dato livello di confidenza 1 – α, per differenti gradi di libertà,

della funzione di distribuzione t di Student sono riportati in Appendice, tabella 3.

Quando le misure sono poche, stabilito un livello di significatività α, si calcola

1)( 11 tttp (53)

e l’intervallo di confidenza diventa

N

stxx 1 . (54)

ossia la probabilità che sia

NtsxXNtsx xx /

35

Pseudonimo di W. S. Gosset, 1908.


© L. Renna 61

è determinata dalla funzione di Student.

Il risultato

Ntsxx x /

ha il significato statistico di asserire che la differenza tra il valore vero X e il valore

trovato x ha una certa probabilità, dipendente dall’ammontare di tale differenza,

determinata dalla f(t).

Per esempio, per un livello di confidenza 1 – α = 0.95 (α =0.05), n = 5, si ha t0.95, 4 =

2.78. Si ha allora, con un livello di confidenza del 95%,

N

sxX 78.2 .


© L. Renna 62

Parte II

8 Strumenti di misura. Misura di lunghezze

8.1 Calibro a cursore Il calibro a cursore è uno strumento realizzato in acciaio inossidabile, ben lavorato

meccanicamente, costituto da un regolo su cui può scorrere un cursore (Fig. 1).

Fig.1

Esso consente di misurare:

– Le dimensioni esterne a di un oggetto posto tra le ganasce A.

– Le dimensioni interne b per mezzo delle ganasce B.

– La distanza c tra due livelli di un oggetto, individuata dalla parte estrema C del

regolo e dall’estremo di una assicella D solidale al cursore.

Le misure sono lette su una scala millimetrata incisa sulla parte fissa del calibro in

coincidenza con una incisione del cursore (Δl = 1 mm). Tuttavia l’accurata

lavorazione meccanica consente di ottenere una sensibilità estremamente maggiore

mediante l’uso del nonio (Fig.2).

Fig. 2

Il nonio è costituito da una serie di n incisioni equidistanti poste sul cursore. La

distanza d tra due suddivisioni del nonio è tale che, detta D la distanza tra due

suddivisioni sulla scala fissa del regolo, le n divisioni d del nonio corrispondano a kn

– 1 divisioni D

Dn

kDdndDkn1

cui da ,)1( (1)

A A

B B C

D

a

b c

cursore

Nonio

Scala millimetrata


© L. Renna 63

Nel caso in cui k = 1, una divisione del nonio vale 1 – 1/n della divisione della scala

principale. Se n = 10 e D = 1 mm, si ha un nonio diviso in 10 parti e lungo 9 mm. Se

n = 20 il nonio è lungo 19 mm ed è diviso in 20 parti; in questo caso la distanza tra

due suddivisioni del nonio è più corta, rispetto a quelle della scala principale, di 1/20

mm = 0.05 mm (figura 3).

Fig. 3

In generale, se lo zero del nonio coincide con la divisione i della scala, la prima

divisione del nonio si troverà Dn

1 prima del tratto (i + k) della scala, il secondo D

n

2

prima del tratto i + 2k, e così via (figura 4, dove k = 1).

Fig. 4

La lettura si effettua individuando, sulla scala del nonio, la r-ma divisione che meglio

coincide con una qualsiasi della scala fissa. Il valore di una misura è dato dalla

divisione della scala che precede immediatamente lo zero del nonio più Dn

r.

Fig. 5

Se, ad esempio, è la terza divisione del nonio a coincidere con una della scala

principale, ad esempio la 18a (Fig. 5), la seconda è, per definizione, spostata verso

destra di 0.05 mm dalla 17a divisione, la prima di 0.10 mm dalla 16

a e lo zero del

nonio di 0.15 mm dalla 15a divisione della scala sicché la misura è ℓ = (15 + 0.15)

mm = 15.15 mm.

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

i

D/20 2D/20 D

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 k = 1

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

15

0.05mm 0.10mm 1 mm

18

0.15mm


© L. Renna 64

Fig. 6

Nella figura 6 è rappresentato un nonio con k = 2, in cui a una suddivisione del nonio

corrispondono due divisioni della scala principale. In questo caso la distanza tra due

suddivisioni del nonio è di 1.95 mm.

8.1.1 Esempi di letture

Le figure 7 e 8 seguenti chiariscono con esempi come si effettua una misura col

calibro.

Fig. 7

Lettura:

Scala principale 13 mm

Scala del nonio 7/10 mm = 0.70 mm

x = 13.70 ± 0.05 mm

Fig. 8

Lettura:

Scala principale 7 mm

Scala del nonio 4/10 + 1/20 mm = 0.45 mm

x = 7.45 ± 0.05 mm

Il calibro utilizzato in laboratorio ha una portata di 15.5 cm ed ha n = 20.

Possibili sorgenti di errori sistematici sono:

- Eventuale presenza tra l’oggetto in misura e le ganasce di piccoli corpi, che dà

misure sistematicamente maggiori per misure esterne e minori per quelle interne.

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

k = 2

i

D/20

2D/20 D

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

13 mm

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

0.70 mm

x

7 mm

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

0.45 mm

x


© L. Renna 65

- Una pressione eccessiva delle ganasce contro l’oggetto, che dà, a seconda delle sue

proprietà meccaniche, errori sistematici in senso opposto.

8.2 Calibro Palmer Il calibro Palmer è uno strumento che ha una portata di pochi cm e può essere

impiegato solo per misure esterne.36

È costituito da un pezzo massiccio di acciaio

foggiato a ferro di cavallo (Fig. 9). A una estremità vi è un appoggio fisso A mentre

l’altra reca una madrevite M entro cui può scorrere una vite la cui estremità interna B

è l’altro riferimento per la misura.

L’estremità esterna T è foggiata a tamburo e reca incise 50 divisioni ugualmente

spaziate. Sul cilindro esterno della madrevite vi è una scala graduata in divisioni

spaziate di 0.5 mm, pari al passo della vite. Poiché la rotazione del tamburo può

essere letta con una incertezza di 1/50 di giro, si ha una incertezza di sensibilità

mm 10mm 50.050

1 2l . (2)

Fig. 9

Data l’elevata precisione dello strumento occorre sempre eseguire anzitutto la lettura

di zero, cioè la risposta dello strumento a sollecitazione nulla (quando tra A e B non

viene interposto alcun oggetto), sia il controllo della pressione della vite in

condizioni di misura (a cui si provvede tramite il nottolino N).

La determinazione dello zero effettivo si ottiene portando più volte in contatto tra

loro le ganasce dello strumento ed eseguendo le letture in corrispondenza. Al

controllo della pressione esercitata dalla punta provvede un meccanismo “a frizione”

per cui, se la rotazione del tamburo viene comandata manualmente mediante il

bottone terminale, una volta raggiunta una data pressione il bottone gira a vuoto.

8.2.1 Esempi di letture

Per misurare lo spessore di un oggetto, lo si pone tra le estremità A e B e si gira la

vite fino a esercitare una leggera pressione sulle facce. Il valore in mm e ½ mm è

dato dall’ultima divisione di M che rimane scoperta; la frazione da aggiungere viene

data in 0.01 mm dalla divisione della testa graduata del tamburo che viene a trovarsi

sulla generatrice di riferimento di M (figura 10).

36

Il calibro utilizzato in laboratorio è un Palmer centesimale con una portata di 25 mm.

A B

M T N


© L. Renna 66

Fig. 10

8.3 Sferometro Lo sferometro è costituito da una vite micrometrica dotata di una testa piatta

circolare abbastanza grande da consentire di apprezzare, mediante lo spostamento del

suo bordo estremo, piccole rotazioni.

Una vite micrometrica VA (Fig. 11) scorre entro una madrevite M dotata di un

sostegno con tre piedini disposti ai vertici di un triangolo equilatero il cui piano è

perpendicolare all’asse della vite e il cui centro è l’intersezione di tale piano con

l’asse. La testa C è costituta da un disco il cui bordo è diviso in 500 parti uguali e

passa a breve distanza dallo spigolo di un’asta R fissata parallelamente all’asse della

vite e portante una graduazione in mm.

Lo strumento consente di misurare spessori mediante la misurazione della quota della

punta della vite micrometrica rispetto al piano individuato dalle punte dei tre piedini

di sostegno.

Fig. 11

Lettura:

8.00 mm

+ 0.00 mm

+ 0.47

= 8.47 mm

millimetri

0.5 millimetri

0.01 millimetri

Lettura:

3.00 mm

+ 0.50 mm

+ 0.05 mm

= 3.55 mm

3.00 mm

… + 0.50 mm

… + 0.05 mm

V

A

M

C

R


© L. Renna 67

La misurazione implica la determinazione dello zero effettivo dello strumento, cioè

la lettura corrispondente alla quota zero, ossia alla posizione in cui la punta della vite

micrometrica è complanare con le punte dei piedini di appoggio.

Ogni giro della vite fa alzare o abbassare la punta A di 1 mm. Poiché sulla testa

graduata si possono apprezzare rotazioni pari a 1/500 giro, si potranno misurare

spostamenti di A pari a 1/500 mm = 0.002 mm. Se invece il passo = 1 mm e il

numero di div = 100 si leggerà 1/100 mm.37

Fig. 12

Data l’elevata sensibilità, lo strumento è dotato di un delicato meccanismo mediante

il quale è possibile controllare la pressione della punta della vite sulla superficie

sottostante. Si tratta di una leggera leva con il fulcro ad una estremità, la quale viene

fatta spostare utilizzando la forza con cui la punta preme. La lettura si esegue quando

l’estremità libera di tale leva si trova in corrispondenza di un fissato riferimento

(linea di fede).

Il nome dello strumento è dovuto al fatto che esso viene prevalentemente impiegato

per la misura del raggio di curvatura di superfici sferiche (Fig. 12).

37

Lo sferometro utilizzato in laboratorio ha una portata di 15 mm e un’incertezza di sensibilità di

0.002 mm.

A

B

C h r

R

2R-h h

hrR

hRhr

2

)2(

22

2


© L. Renna 68

9 Strumenti di misura. Misura di massa

9.1 La bilancia: principio di funzionamento La bilancia serve a stabilire l’eguaglianza di due masse attraverso il confronto dei

loro pesi, ossia consente il confronto diretto della massa incognita di un corpo con

masse campione.

Il confronto tra le masse può essere realizzato sospendendo il corpo in misura, di

massa Mx all’estremità A di una sbarra rigida, detta giogo, libera di ruotare intorno a

un asse orizzontale F, detto fulcro, ed all’altra estremità B le masse campione Mc. Se

la massa del giogo è trascurabile e non sono presenti forze di attrito apprezzabili, le

forze agenti sono solo le forze peso sulle masse e la reazione vincolare nel fulcro

(Fig. 1). La condizione di equilibrio fornisce la massa incognita. Infatti, all’equilibrio

0BFAF cx gMgM , (1)

da cui

cxAF

BFMM . (2)

Fig. 1

Sotto queste condizioni il sistema è però instabile. Le caratteristiche costruttive della

bilancia devono perciò essere tali da renderla stabile.

9.2 La bilancia analitica La bilancia analitica è costituita da un giogo rigido, mobile attorno a un asse

orizzontale F, spigolo di un prisma triangolare di acciaio, detto coltello, solidale con

il giogo. Il giogo, di baricentro G, porta a ciascuna estremità un coltello a cui è

sospeso un piatto. Solidale con il giogo vi è un indice I (Fig. 2).

Sbloccato il giogo, esso ruota intorno a F ed assume, in assenza di attrito, una

posizione di equilibrio corrispondente all’annullarsi della somma dei momenti delle

forze esterne rispetto a F.38

Il punto O di mezzo tra A e B (spigoli dei coltelli laterali) si trova sulla retta FG. Se i

due piatti hanno eguale massa, la risultante delle forze applicate in A e B equivale a

una forza applicata in O, il giogo assume una posizione pressoché orizzontale e

l’indice segna la posizione zero (che può essere una qualunque della scala S). Se si

38

Le caratteristiche costruttive sono indirizzate a rendere i bracci uguali.

A F B

gM

xgM

c


© L. Renna 69

pongono sui piatti masse diseguali la risultante delle forze non è più applicata in O e

il giogo si inclina.

Fig. 2

L’equilibrio è stabile e si verifica quando (Fig. 3)

BB'GG'AA' BGA gMgMgM , (3)

da cui segue

FGFO)(

BOAOtan

GBA

BA

MMM

MM

. (4)

Il giogo è realizzato con un materiale e con una forma tale da consentire la massima

rigidità, senza apprezzabili variazioni nelle distanze.

Fig. 3

α

α

α A

B

F

G

G’ O

O’

A’

B’

gM

A

gM

G

gM

B

sinFGGG'

sinFOcosBO

cos)tanFOBO(cosBO'BB'

sinFOcosAO

cos)tanFOAO(cosAO'AA'

F

A

B

G

I

S

C

O


© L. Renna 70

Il sistema con i tre coltelli poggia su supporti molto duri per consentire movimenti

col minimo di attrito; ciò impone che α sia piccolo, per cui tan α ~ α.

Un dispositivo mantiene sollevati i coltelli dai loro appoggi e sorregge i piatti tranne

che nel momento della misura.

La bilancia ha in dotazione:

Un insieme (pesiera) di masse campione i cui valori vanno da 10 mg a 100 g.

Una massa campione (cavalierino di Berzelius: un pezzo di filo metallico piegato a

forcella) di 10 mg che si può porre a cavallo del giogo in posizioni diverse. Posto a

una distanza da F pari a BF10

7 produce l’effetto di una massa di mg 7 mg 1010

7

posta in B.

9.2.1 Lettura della posizione di equilibrio

La posizione di equilibrio, e quindi la sua determinazione in sede di misura, è

influenzata dagli attriti. Quando la forza di richiamo è piccola gli attriti statici

possono bloccare la bilancia in posizione diversa da quella che si avrebbe se essi

fossero zero.

Fig. 4

Per ridurre questo effetto casuale si usa leggere la posizione dell’indice quando la

bilancia è in moto, in corrispondenza a tre (o cinque) elongazioni massime

consecutive (Fig. 4) e assumere come valutazione della posizione di equilibrio la

quantità

2

22

31

. (5)

9.2.2 Sensibilità

A piatti scarichi l’indice sia fermo in una posizione di equilibrio α0 (non

necessariamente α = 0). Posta la massa incognita Mx in A, la misura si effettua

determinando le masse campione Mc che poste in B riportano l’indice in α0, Mx = Mc.

La ricerca di questa condizione può richiedere molti tentativi, ma non è tuttavia

necessaria. Infatti, l’aggiunta di un sovraccarico ΔM in A o B determina una nuova

posizione dell’indice, la cui dipendenza da ΔM è valutabile tramite la sensibilità

α

t

α1

α2

α3

2

31


© L. Renna 71

MdM

ds

. (6)

Se α è piccolo, MA ~ MB (= M) e dalla (4)

FG FO2

AO

GMMs

. (7)

La sensibilità dipende dunque dal carico M (a meno che FO = 0, ossia i tre coltelli

sono complanari).

Nota s, il sovraccarico m da aggiungere in A o B per riportare l’indice da α a α0 è

s

m|| 0

. (8)

In pratica si definisce la sensibilità come il numero di divisioni corrispondenti ad un

dato sovraccarico (ad esempio 1 mg). Per misurare s (o il suo reciproco e = 1/s =

ΔM/Δα) si procede quindi nel modo seguente. La bilancia sia in equilibrio con

l’indice sulla posizione α0. Si sovraccarica la bilancia per mezzo del cavalierino

ponendolo su un tratto corrispondente a ΔM. L’indice indicherà una nuova posizione

α1. Posto Δα = α1 – α0 la sensibilità si ricava dalla relazione

M

s

|| . (9)

Trascurando eventuali incertezze sulle masse campione Mc l’incertezza su Mx in una

singola determinazione di equilibrio è un errore massimo dato da

s

M x

div , (10)

dove Δ div è l’incertezza di lettura.

Ad esempio, se ΔM = 2.0 mg e Δα = 5.0 div si ha

div

mg 4.0

div 5

mg 21

se .

Se si aumenta ΔM aumenta anche Δα e se gli spostamenti sono piccoli i rapporti

rimangono costanti. Una volta che si è determinata la sensibilità, per riportare, ad

esempio, l’indice in una posizione α0 distante Δα = 3.5 div, la massa da aggiungere

(o togliere) è

mg 4.1div 5.3div

mg 4.0 m

Assumendo Δ div = 0.5 div, l’incertezza su m in una singola lettura può essere

assunta uguale a Δ div /s = 0.2 mg, per cui

mg )2.04.1( m .

9.2.3 Misura diretta

Una misura diretta consiste nel confronto tra una massa incognita e le masse

campione. Si determina la posizione α0 di equilibrio a piatti scarichi. Si determina la

sensibilità s o l’incertezza di sensibilità es (eventualmente in funzione di M). Si pone

il corpo di massa incognita Mx (ad esempio) in A e le masse campione Mc in B. Si

determina una nuova condizione di equilibrio α (Fig. 5).

Utilizzando la sensibilità si determina la massa m da aggiungere o togliere a Mc per

riportare la bilancia nella posizione iniziale di equilibrio.


© L. Renna 72

Fig. 5

Esempio:

Mc = 12.150 g

s = 0.5 div/mg

es = 2 mg/div

α - α0 = 5.0 div

m = 2 mg/div 5 div = 10 mg

ΔM = 0.5 div / s = 1 mg

Mx = Mc + 10 mg = 12.160 ± 0.001 g.

Fig. 6

9.2.4 Differenze nelle posizioni di equilibrio

La bilancia sia in una posizione di equilibrio α0 (Fig. 6). Si aggiunga un sovraccarico

μ su un piatto della bilancia. Sia α la nuova posizione di equilibrio. La sensibilità sia

ss , (11)

dove

0 s . (12)

Fig. 7

Nella valutazione della massa m da aggiungere o sottrarre a uno dei due piatti per far

coincidere due posizioni di equilibrio si utilizza la relazione

s

m

, (13)

dove

α0 α

A B


© L. Renna 73

12 (14)

rappresenta il numero di divisioni tra le posizioni di equilibrio dell’indice sulla scala

(Fig. 7).

Ciascuna posizione di equilibrio è valutata col metodo delle oscillazioni.

9.2.5 Errori sistematici

Nella bilancia gli errori sistematici sono essenzialmente dovuti a

– Diversa lunghezza dei bracci.

– Spinta di Archimede.

Per una bilancia con portata 100 g e ΔM = 1 mg la differenza di lunghezza dei bracci

Δl deve essere tale che

510

M

M

l

l.

Se l = 10 cm deve essere Δl < 10-4

cm, difficile da garantire in fase di costruzione.

La spinta di Archimede si applica sia alle masse campione che al corpo da pesare.

Indicata con ρf la densità dell’aria, la correzione è

x

f

c

f

cx

1

1

MM , (15)

ed è trascurabile se la densità ρx della massa incognita e delle masse campione ρc

sono circa uguali.

Per ricavare la (15) basta ricordare che su ogni corpo di massa M immerso in un

fluido agisce, oltre alla forza peso gM

, una forza diretta in verso opposto a pari al

peso della porzione di fluido che è stata da esso occupata. Perciò sul corpo agisce

una forza risultante gM = gMM f

)( , uguale a quella che agirebbe su un corpo

posto nel vuoto di massa equivalente )( fMMM = )( fVM = )/1( fM .

All’equilibrio bisogna allora eguagliare le massi equivalenti xM ed cM .

9.2.6 Misura della massa col metodo della tara

Il metodo della tara viene utilizzato per eliminare l’effetto dovuto alla differenza dei

bracci. Nella pratica esso si traduce nell’utilizzare un solo braccio. Il metodo consiste

nel fare due pesate:

Si pone su un piatto (per esempio A) un corpo qualsiasi detto tara, la cui massa MT

sia Mx e in B il corpo da pesare. Aggiungendo in B una opportuna massa campione

1cM si ottiene una posizione di equilibrio (Fig. 8a).

Si sostituisce in B al corpo in misura e a 1cM un’altra massa campione

2cM che

riporti la bilancia nella stessa posizione di equilibrio (Fig. 8b).

Si ha

MM

MMM cc

2x

x 12 (16)

dove ΔM è dato dalla (10).


© L. Renna 74

MT

A B

2

2cMMT MX

A B

1cM1

a) b)

Fig. 8

Non è necessario far coincidere le posizioni di equilibrio. La massa corrispondente a

differenze (δ) nella posizione dell’indice nelle due differenti condizioni di equilibrio

può essere valutata tramite la sensibilità (determinata a quei valori delle masse),

come mostrato dalla relazione (13).

Se la differenza nella configurazione tra prima e seconda pesata fosse come quella

rappresentata in figura 7, si avrebbe allora

.2x

12

MM

MmMM ccX

(17)


© L. Renna 75

10 Misura del periodo di un pendolo e dell’accelerazione di gravità

10.1 Periodo del pendolo semplice Il pendolo semplice è un sistema meccanico ideale che si muove di moto oscillatorio

periodico. È costituito da una particella, considerata puntiforme, sospesa ad un filo

sottile, inestensibile, di lunghezza l e massa trascurabile, sospeso a un punto fisso39

.

Si trascurano tutti i possibili attriti.

Fig.1 Il pendolo semplice.

Se spostato dalla sua posizione di equilibrio il pendolo oscilla in un piano verticale

sotto l’azione della forza peso. Le forze agenti sulla particella sono la forza peso mg

e la tensione del filo T. Il moto avviene lungo una arco di cerchio di raggio l. Le

componenti radiali delle forze forniscono l’accelerazione centripeta necessaria a far

muovere la massa m su un arco di cerchio, mentre la componente tangenziale della

forza peso agisce come forza di richiamo che tende a riportare la particella verso la

posizione di equilibrio:

sin2

2

l

g

dt

d . (1)

Se l’angolo θ è piccolo sin θ è praticamente uguale a θ (espresso in radianti),

sin , e dalla (1) si ottiene

l

g

dt

d

2

2

, (2)

ossia, per piccoli spostamenti la forza di richiamo è proporzionale e opposta allo

39

Nella pratica del laboratorio il pendolo è costituito da una sfera metallica appesa tramite un filo ad

un telaio.

T

mg

m

θ

l


© L. Renna 76

spostamento. Questa è la condizione per il moto armonico semplice40

e il periodo è

dato dalla relazione

g

lT 2 . (3)

Si osservi che il periodo è indipendente dalla massa della particella e dall’ampiezza

del moto.

Se l’ampiezza delle oscillazioni non è piccola, il periodo è dato da

....

2sin

4

11 02

0

TT , (4)

dove T0 è il periodo per piccole oscillazioni, dato alla (3). Tale relazione stabilisce

quanto piccolo deve essere l’ampiezza massima delle oscillazioni θ0 affinché il moto

sia armonico. Infatti, l’approssimazione introduce un errore sistematico sul periodo

dato da

...16

2

0

0

T

T. (5)

Supponendo di misurare il periodo con un’incertezza relativa

3105.0

T

T,

ottenibile mediando su un opportuno numero n di oscillazioni, si ha la condizione

o5 rad 0873.0 , (6)

angolo da non superare e mantenere costante nelle misure. A questo valore si ha sinθ

= 0.0872, che differisce da θ soltanto di circa 0.1%.

Altre sorgenti di errore sistematico sono costituite dalle dimensioni finite della sfera,

dall’attrito viscoso dell’aria, dalla spinta di Archimede, ecc.

10.2 Misura di g Dalla misura del periodo T del pendolo e della lunghezza del filo l, si determina

l’accelerazione di gravità locale dalla relazione

2

2π4T

lg . (7)

Tabella 1

l±0.1(cm) T±0.001(s) g(cm/s2)

Δl/l

(%)

ΔT/T

(%)

Δg/g

(%)

risultato

g±Δg(cm/s2)

93.8 1.944 980 0.1 0.05 0.2 980±2

70.3 1.681 982 0.14 0.06 0.3 982±3

45.7 1.358 978 0.22 0.07 0.4 978±4

21.2 0.922 985 0.47 0.1 0.7 985±7

Trattandosi di misura indiretta occorre valutare la propagazione delle incertezze. Se

le incertezze massime relative sul periodo e la lunghezza sono, ad esempio,

40

Nel moto armonico la distanza dalla posizione di equilibrio varia nel tempo come

)cos( tA . Il periodo è dunque T = 2π/ω.


© L. Renna 77

3105.0

T

T e 310

l

l,

l’incertezza relativa su g è

%2.02

T

T

l

l

g

g.

Si supponga ora di compiere una serie di misure variando la lunghezza del pendolo l,

e di ottenere i valori rappresentati in tabella 1.

Come si vede, diminuendo la lunghezza del pendolo, l’incertezza su g aumenta, a

causa dell’aumento nelle incertezze relative delle misure di l e T.

Rappresentando in un grafico i valori di T2 in funzione di l, dalla pendenza della retta

lg

T2

2 π4

si determina g e si verifica la relazione (3).


© L. Renna 78

Parte III

11 Appendice – Tabelle delle distribuzioni Se la misura di una variabile continua x è soggetta a piccoli errori casuali la

distribuzione attesa dei risultati è data dalla distribuzione normale

2

2

2

)(

, e2

1)(

Xx

X xf

dove X è il valore “vero” di x e σ è la deviazione standard.

1 - Variabile gaussiana standardizzata - valori di f (z)

z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0 0.39894 0.39892 0.39886 0.39876 0.39862 0.39844 0.39822 0.39797 0.39767 0.39733

0.1 0.39695 0.39654 0.39608 0.39559 0.39505 0.39448 0.39387 0.39322 0.39253 0.39181

0.2 0.39104 0.39024 0.38940 0.38853 0.38762 0.38667 0.38568 0.38466 0.38361 0.38251

0.3 0.38139 0.38023 0.37903 0.37780 0.37654 0.37524 0.37391 0.37255 0.37115 0.36973

0.4 0.36827 0.36678 0.36526 0.36371 0.36213 0.36053 0.35889 0.35723 0.35553 0.35381

0.5 0.35207 0.35029 0.34849 0.34667 0.34482 0.34294 0.34105 0.33912 0.33718 0.33521

0.6 0.33322 0.33121 0.32918 0.32713 0.32506 0.32297 0.32086 0.31874 0.31659 0.31443

0.7 0.31225 0.31006 0.30785 0.30563 0.30339 0.30114 0.29887 0.29659 0.29431 0.29200

0.8 0.28969 0.28737 0.28504 0.28269 0.28034 0.27798 0.27562 0.27324 0.27086 0.26848

0.9 0.26609 0.26369 0.26129 0.25888 0.25647 0.25406 0.25164 0.24923 0.24681 0.24439

1 0.24197 0.23955 0.23713 0.23471 0.23230 0.22988 0.22747 0.22506 0.22265 0.22025

1.1 0.21785 0.21546 0.21307 0.21069 0.20831 0.20594 0.20357 0.20121 0.19886 0.19652

1.2 0.19419 0.19186 0.18954 0.18724 0.18494 0.18265 0.18037 0.17810 0.17585 0.17360

1.3 0.17137 0.16915 0.16694 0.16474 0.16256 0.16038 0.15822 0.15608 0.15395 0.15183

1.4 0.14973 0.14764 0.14556 0.14350 0.14146 0.13943 0.13742 0.13542 0.13344 0.13147

1.5 0.12952 0.12758 0.12566 0.12376 0.12188 0.12001 0.11816 0.11632 0.11450 0.11270

1.6 0.11092 0.10915 0.10741 0.10567 0.10396 0.10226 0.10059 0.09893 0.09728 0.09566

1.7 0.09405 0.09246 0.09089 0.08933 0.08780 0.08628 0.08478 0.08329 0.08183 0.08038

1.8 0.07895 0.07754 0.07614 0.07477 0.07341 0.07206 0.07074 0.06943 0.06814 0.06687

1.9 0.06562 0.06438 0.06316 0.06195 0.06077 0.05959 0.05844 0.05730 0.05618 0.05508

2 0.05399 0.05292 0.05186 0.05082 0.04980 0.04879 0.04780 0.04682 0.04586 0.04491

2.1 0.04398 0.04307 0.04217 0.04128 0.04041 0.03955 0.03871 0.03788 0.03706 0.03626

2.2 0.03547 0.03470 0.03394 0.03319 0.03246 0.03174 0.03103 0.03034 0.02965 0.02898

2.3 0.02833 0.02768 0.02705 0.02643 0.02582 0.02522 0.02463 0.02406 0.02349 0.02294

2.4 0.02239 0.02186 0.02134 0.02083 0.02033 0.01984 0.01936 0.01888 0.01842 0.01797

2.5 0.01753 0.01709 0.01667 0.01625 0.01585 0.01545 0.01506 0.01468 0.01431 0.01394

2.6 0.01358 0.01323 0.01289 0.01256 0.01223 0.01191 0.01160 0.01130 0.01100 0.01071

2.7 0.01042 0.01014 0.00987 0.00961 0.00935 0.00909 0.00885 0.00861 0.00837 0.00814

2.8 0.00792 0.00770 0.00748 0.00727 0.00707 0.00687 0.00668 0.00649 0.00631 0.00613

2.9 0.00595 0.00578 0.00562 0.00545 0.00530 0.00514 0.00499 0.00485 0.00470 0.00457

3 0.00443 0.00430 0.00417 0.00405 0.00393 0.00381 0.00370 0.00358 0.00348 0.00337

3.1 0.00327 0.00317 0.00307 0.00298 0.00288 0.00279 0.00271 0.00262 0.00254 0.00246

3.2 0.00238 0.00231 0.00224 0.00216 0.00210 0.00203 0.00196 0.00190 0.00184 0.00178

3.3 0.00172 0.00167 0.00161 0.00156 0.00151 0.00146 0.00141 0.00136 0.00132 0.00127

3.4 0.00123 0.00119 0.00115 0.00111 0.00107 0.00104 0.00100 0.00097 0.00094 0.00090

Ponendo

z = (x – X)/σ (variabile standardizzata)

si ottiene la funzione di distribuzione normale standard


© L. Renna 79

2

z-

2

eπ2

1)( zf

che ha valore atteso uguale a zero e deviazione standard uguale a uno. Nella tabella 1

sono tabulati i valori di f(z).

2 - Variabile gaussiana standardizzata - valori di F (z)

z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0 0.50000 0.50399 0.50798 0.51197 0.51595 0.51994 0.52392 0.52790 0.53188 0.53586

0.1 0.53983 0.54380 0.54776 0.55172 0.55567 0.55962 0.56356 0.56749 0.57142 0.57535

0.2 0.57926 0.58317 0.58706 0.59095 0.59483 0.59871 0.60257 0.60642 0.61026 0.61409

0.3 0.61791 0.62172 0.62552 0.62930 0.63307 0.63683 0.64058 0.64431 0.64803 0.65173

0.4 0.65542 0.65910 0.66276 0.66640 0.67003 0.67364 0.67724 0.68082 0.68439 0.68793

0.5 0.69146 0.69497 0.69847 0.70194 0.70540 0.70884 0.71226 0.71566 0.71904 0.72240

0.6 0.72575 0.72907 0.73237 0.73565 0.73891 0.74215 0.74537 0.74857 0.75175 0.75490

0.7 0.75804 0.76115 0.76424 0.76730 0.77035 0.77337 0.77637 0.77935 0.78230 0.78524

0.8 0.78814 0.79103 0.79389 0.79673 0.79955 0.80234 0.80511 0.80785 0.81057 0.81327

0.9 0.81594 0.81859 0.82121 0.82381 0.82639 0.82894 0.83147 0.83398 0.83646 0.83891

1 0.84134 0.84375 0.84614 0.84849 0.85083 0.85314 0.85543 0.85769 0.85993 0.86214

1.1 0.86433 0.86650 0.86864 0.87076 0.87286 0.87493 0.87698 0.87900 0.88100 0.88298

1.2 0.88493 0.88686 0.88877 0.89065 0.89251 0.89435 0.89617 0.89796 0.89973 0.90147

1.3 0.90320 0.90490 0.90658 0.90824 0.90988 0.91149 0.91309 0.91466 0.91621 0.91774

1.4 0.91924 0.92073 0.92220 0.92364 0.92507 0.92647 0.92785 0.92922 0.93056 0.93189

1.5 0.93319 0.93448 0.93574 0.93699 0.93822 0.93943 0.94062 0.94179 0.94295 0.94408

1.6 0.94520 0.94630 0.94738 0.94845 0.94950 0.95053 0.95154 0.95254 0.95352 0.95449

1.7 0.95543 0.95637 0.95728 0.95818 0.95907 0.95994 0.96080 0.96164 0.96246 0.96327

1.8 0.96407 0.96485 0.96562 0.96638 0.96712 0.96784 0.96856 0.96926 0.96995 0.97062

1.9 0.97128 0.97193 0.97257 0.97320 0.97381 0.97441 0.97500 0.97558 0.97615 0.97670

2 0.97725 0.97778 0.97831 0.97882 0.97932 0.97982 0.98030 0.98077 0.98124 0.98169

2.1 0.98214 0.98257 0.98300 0.98341 0.98382 0.98422 0.98461 0.98500 0.98537 0.98574

2.2 0.98610 0.98645 0.98679 0.98713 0.98745 0.98778 0.98809 0.98840 0.98870 0.98899

2.3 0.98928 0.98956 0.98983 0.99010 0.99036 0.99061 0.99086 0.99111 0.99134 0.99158

2.4 0.99180 0.99202 0.99224 0.99245 0.99266 0.99286 0.99305 0.99324 0.99343 0.99361

2.5 0.99379 0.99396 0.99413 0.99430 0.99446 0.99461 0.99477 0.99492 0.99506 0.99520

2.6 0.99534 0.99547 0.99560 0.99573 0.99585 0.99598 0.99609 0.99621 0.99632 0.99643

2.7 0.99653 0.99664 0.99674 0.99683 0.99693 0.99702 0.99711 0.99720 0.99728 0.99736

2.8 0.99744 0.99752 0.99760 0.99767 0.99774 0.99781 0.99788 0.99795 0.99801 0.99807

2.9 0.99813 0.99819 0.99825 0.99831 0.99836 0.99841 0.99846 0.99851 0.99856 0.99861

3 0.99865 0.99869 0.99874 0.99878 0.99882 0.99886 0.99889 0.99893 0.99896 0.99900

3.1 0.99903 0.99906 0.99910 0.99913 0.99916 0.99918 0.99921 0.99924 0.99926 0.99929

3.2 0.99931 0.99934 0.99936 0.99938 0.99940 0.99942 0.99944 0.99946 0.99948 0.99950

3.3 0.99952 0.99953 0.99955 0.99957 0.99958 0.99960 0.99961 0.99962 0.99964 0.99965

3.4 0.99966 0.99968 0.99969 0.99970 0.99971 0.99972 0.99973 0.99974 0.99975 0.99976

L’integrale della funzione di distribuzione normale si chiama integrale normale degli

errori e dà la probabilità che la misura cada in un dato intervallo

b

a

dzzfbzap )()(

Tali probabilità si possono calcolare utilizzando i valori, tabulati in tabella 2, della

funzione di ripartizione di f(z)

z

dttfzF )()( ,

ossia


© L. Renna 80

)()()()()()( aFbFdzzfdzzfdzzfbzap

abb

a

Nel caso in cui il numero N di misure sia piccolo le stime del valore aspettato e della

varianza sono molto incerte e la distribuzione di Gauss non è più adeguata. In questo

caso è corretto adottare la distribuzione t di Student, che tende alla distribuzione

normale standardizzata all’aumentare di N (o dei gradi di libertà ν = N – 1).

Nella tabella 3 sono riportati i valori di

Ns

Xxt

/

tali che la probabilità che sia

NtsxXNtsx xx /

abbia un valore dato P.

Ad esempio, se P = 0.7 e N = 5, allora t = 1.189957

3 - Distribuzione di Student - valori di t

ν=N -1

1-α 0.2 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.95 0.98

1 0.32492 1 1.37638 1.96261 3.07768 6.31375 12.7062 31.8205

2 0.28868 0.8165 1.06066 1.38621 1.88562 2.91999 4.30265 6.96456

3 0.27667 0.76489 0.97847 1.24978 1.63774 2.35336 3.18245 4.5407

4 0.27072 0.7407 0.94096 1.18957 1.53321 2.13185 2.77645 3.74695

5 0.26718 0.72669 0.91954 1.15577 1.47588 2.01505 2.57058 3.36493

6 0.26483 0.71756 0.9057 1.13416 1.43976 1.94318 2.44691 3.14267

7 0.26317 0.71114 0.89603 1.11916 1.41492 1.89458 2.36462 2.99795

8 0.26192 0.70639 0.88889 1.10815 1.39682 1.85955 2.306 2.89646

9 0.26096 0.70272 0.8834 1.09972 1.38303 1.83311 2.26216 2.82144

10 0.26018 0.69981 0.87906 1.09306 1.37218 1.81246 2.22814 2.76377

11 0.25956 0.69745 0.87553 1.08767 1.36343 1.79588 2.20099 2.71808

12 0.25903 0.69548 0.87261 1.08321 1.35622 1.78229 2.17881 2.681

13 0.25859 0.69383 0.87015 1.07947 1.35017 1.77093 2.16037 2.65031

14 0.25821 0.69242 0.86805 1.07628 1.34503 1.76131 2.14479 2.62449

15 0.25789 0.6912 0.86624 1.07353 1.34061 1.75305 2.13145 2.60248

16 0.2576 0.69013 0.86467 1.07114 1.33676 1.74588 2.11991 2.58349

17 0.25735 0.6892 0.86328 1.06903 1.33338 1.73961 2.10982 2.56693

18 0.25712 0.68836 0.86205 1.06717 1.33039 1.73406 2.10092 2.55238

19 0.25692 0.68762 0.86095 1.06551 1.32773 1.72913 2.09302 2.53948

20 0.25674 0.68695 0.85996 1.06402 1.32534 1.72472 2.08596 2.52798

21 0.25658 0.68635 0.85907 1.06267 1.32319 1.72074 2.07961 2.51765

22 0.25643 0.68581 0.85827 1.06145 1.32124 1.71714 2.07387 2.50832

23 0.2563 0.68531 0.85753 1.06034 1.31946 1.71387 2.06866 2.49987

24 0.25617 0.68485 0.85686 1.05932 1.31784 1.71088 2.0639 2.49216

25 0.25606 0.68443 0.85624 1.05838 1.31635 1.70814 2.05954 2.48511

26 0.25595 0.68404 0.85567 1.05752 1.31497 1.70562 2.05553 2.47863

27 0.25586 0.68368 0.85514 1.05673 1.3137 1.70329 2.05183 2.47266

28 0.25577 0.68335 0.85465 1.05599 1.31253 1.70113 2.04841 2.46714

29 0.25568 0.68304 0.85419 1.0553 1.31143 1.69913 2.04523 2.46202

30 0.25561 0.68276 0.85377 1.05466 1.31042 1.69726 2.04227 2.45726


© L. Renna 81

Bibliografia

[1] M. Severi “Introduzione alla esperimentazione fisica” (Zanichelli, 1982)

[2] J.R. Taylor “Introduzione all’analisi degli errori” (Zanichelli, 2000)


© L. Renna 82

Ringraziamenti

Desidero ringraziare il Dott. F. Paladini, del Dipartimento di Fisica, per la

collaborazione e la riproduzione fotografica della strumentazione.

0,25 3,5 4,5 0,2 - unisalento.it

Documents