Fundamentos MatemticosNmeros ComplejosLas ecuaciones sin soluciones reales, tales como o , fueron observadas en la historia y condujeron a la introduccin de nmeros complejos. Por definicin, un nmero complejo z es un par ordenado (x,y) de nmeros reales x e y, escritoz=(x, y)donde x es llamado parte real e y es la parte imaginaria de z, escrito comox=Re z y=Im z.Un nmero complejo se representa en forma rectangular comoz= x + jy(1)donde, y (x, y) son los coeficientes real e imaginario de z respectivamente. Podemos tratar (x, y) como un punto en coordenadas Cartesianas como muestra la figura siguiente:

Un punto en el marco de coordenadas rectangulares tambin puede ser definido por un vector R y un ngulo . De la figura anterior es fcil ver que:

(2)donde: R= magnitud de z =fase de z y es medido desde el eje x contrario al sentido de los punteros del relojAs entonces:

(3)Introduciendo ecuacin. 2 en ecuacin. 1 se obtiene: (4)Por otra parte, la identidad de Euler dado por: (5)Como resultado de esto la ecuacin. 1 puede ser representada tambin como: (6)Se define conjugado de un nmero complejo z en la ec. (1) como: (7)O alternativamente, (8)Ntese que (9)La siguiente tabla muestra propiedades matemticas bsicas de los nmeros complejos.

Variables ComplejasUna variable compleja s tiene dos componentes: una componente real y una componente imaginaria . Grficamente, la componente real de s est representada por un eje en la direccin horizontal, y la componente imaginaria es medida a lo largo del eje vertical , en el plano complejo s. La figura 2 muestra el plano complejo s, en el que cualquier punto arbitrario s=s1 est definido por las coordenadas , y , o simplemente .

Funciones de una Variable ComplejaLa funcin G(s) se dice que es una funcin de una variable compleja s si, para cada valor de s, hay una o ms valores correspondientes de G(s). Como s se define con una parte real y una parte imaginaria, la funcin G(s) tambin es representada por su parte real y su parte imaginaria; esto es, (11)Donde: denota la parte real de G(s), e representa la parte imaginaria e G(s). La funcin G(s) tambin se representa por el plano complejo G(s), con como el eje real e como el eje imaginario. Si por cada valor de s hay slo un valor correspondiente de G(s) en el plano G(s), se dice que es una funcin de un solo valor, y el mapeo desde puntos en el plano s sobre puntos en el plano G(s) se describe como de un solo valor (fig.3). Si el mapeo desde el plano G(s) al plano s tambin es de un solo valor, el mapeo es llamado uno a uno. Sin embargo, hay muchas funciones para el cual el mapeo desde G(s) al plano s no es de un solo valor.

Por ejemplo, dada la funcin (12)se puede ver que, para cada valor de s, slo hay un nico valor en G(s). Sin embargo, el mapeo inverso no es cierto, por ejemplo, el punto es mapeado en dos puntos, s=0 y s=-1.Funcin AnalticaUna funcin G(s) de la variable compleja s es llamada una funcin analtica en una regin del plano s si la funcin y todas sus derivadas existen en la regin. Por ejemplo, la funcin dada en la ecuacin (12) es analtica en cada punto en el plano s excepto en los puntos s=0 y s=-1. En los puntos, el valor de la funcin es infinito. Como otro ejemplo, la funcin G(s)=s+2 es analtica en todos los puntos en el plano finito s.Singularidades y Polos de una FuncinLas singularidades de una funcin son los puntos en el plano s en el que la funcin o sus derivadas no existen. Un polo es el tipo ms comn de singularidad y juega un papel muy importante en el estudio de la teora clsica de control.La definicin de un polo puede ser: Si una funcin G(s) es analtica y funcin de un solo valor en la vecindad del punto pi, se dice que tiene un polo de orden r en s=pi si el lmite tiene un valor finito distinto de cero. En otras palabras, el denominador de G(s) debe incluir el factor , as cuando s=pi, la funcin llega a ser infinita. Si r=1, el polo en s=pi es llamado un polo simple. Como un ejemplo, la funcin (13)tiene un polo de orden 2 en s=-3 y un polo simple en s=0 y otro polo simple en s=-1. Tambin se puede decir que la funcin G(s) es analtica en el plano s excepto en estos polos. La fig. (4) muestra la representacin grfica de los polos finitos del sistema.

Ceros de una FuncinLa definicin de un cero de una funcin puede ser: Si la funcin G(s) es analtica en s=zi, se dice que tiene un cero de orden r en s=zi si el lmite tiene un valor finito distinto de cero. O simplemente, G(s) tiene un cero de orden r en s=zi si tiene un polo de orden r en s=zi. Por ejemplo, la funcin de la ecuacin (13) tiene un cero simple en s=-2.Si la funcin bajo consideracin es una funcin racional de s, esto es, un cuociente de dos polinomios de s, el nmero total de polos es igual al nmero total de ceros, contando los polos y ceros de orden mltiple y teniendo en cuenta los polos y ceros en el infinito. La funcin en la ecuacin (13) tiene cuatro polos finitos en s=0, s=-1, s=-3 y s=-3; hay un cero finito en s=-2, pero hay tres ceros en el infinito, porque (14)Por lo tanto, la funcin tiene un total de cuatro polos y cuatro ceros en el plano s, incluyendo el infinito. La figura 4 es una representacin grfica de los ceros finitos del sistema.

MATLAB%Ejemplo de funciones de transferenciaclcclear all%Uso de zpk para crear modelos de ceros-polos-gananciaG=zpk([-2],[0 -1 -3 -3],10)%conversin de la funcin de transferencia a forma polinomialGp=tf(G) %Forma alternativas=tf('s');Gp=10*(s+2)/(s*(s+1)*(s+3)^2)%Conversin de funcin de transferencia Gp a forma de ceros-polos-gananciaGzpk= zpk(Gp) %Obtencin de polos y cerospole(Gp)zero(Gp) pzmap(Gp)Solucin:Zero/pole/gain: 10 (s+2)---------------s (s+1) (s+3)^2 Transfer function:

10 s + 20--------------------------s^4 + 7 s^3 + 15 s^2 + 9 s Transfer function: 10 s + 20--------------------------s^4 + 7 s^3 + 15 s^2 + 9 s Zero/pole/gain:

10 (s+2)---------------s (s+3)^2 (s+1)

ans =

0 -3.0000 -3.0000 -1.0000

ans =

-2

_____________________________________________________________________

Representacin PolarPara encontrar la representacin polar de G(s) en la ecuacin (12) cuando s=2j, reemplazamos todos los s por 2j en la ecuacin (12) =donde

Ejemplo:Encontrar la representacin polar de G(s) dado abajo para s=j, donde es una constante que vara desde 0 a infinito. (18) Para evaluar la ecuacin (18) en s=j, reemplazamos todas las s por j. As, donde:

y La tabla siguiente muestra algunos valores para diferentes (rad/seg)|G(s)| ()

0,10,999-3,58

10,888-33,69

100,123-130,03

1000,0016-174.28

Transformada de LaplaceLa Transformada de Laplace nos permite representar seales f(t), como una suma continua de exponenciales de la forma ejt, cuyas frecuencias estn restringidas al eje imaginario en el plano complejo (s=j). Esto es valioso en el anlisis y procesamiento de seales.En el rea del anlisis de sistemas, la Transformada de Fourier deja mucho que desear.La Transformada de Laplace Para una seal eatu(t) (a>0) la Transformada de Fourier no existe porque no se puede sintetizar con sinusoides o exponenciales ejt. El problema se resuelve si se usaran seales bases de la forma est (en vez de ejt), donde la frecuencia compleja s no se restringe slo al eje imaginario.Se define la Transformada de Laplace unilateral para seales causales como:(6.18)Se elije 0- (en vez de 0+) como lmite inferior de integracin. Esto asegura: inclusin de una funcin impulso en t=0 permite usar la condicin en 0- (en vez de en 0+) en la solucin de ecuaciones diferenciales va Transformada de Laplace.Existe tambin una antitransformada o Transformada Inversa de Laplace dada por:(6.8a)Encontrar la Transformada Inversa de Laplace (L-1) Encontrar L-1 usando la definicin, requiere integrar en el plano complejo. Complicado!Podemos encontrar L-1 usando la tabla 6.1. Todo lo que necesitamos es expresar F(s) como una suma de funciones ms simples de la forma listadas en la tabla 6.1.Muchas de las transformadas F(s) de inters prctico son funciones racionales, esto es, razn de polinomios en s.Tales funciones se pueden expresar como una suma de funciones ms simples usando expansin de fracciones parciales.Los valores de s para el cual F(s)=0 son llamados ceros de F(s).Los valores de s para el cual F(s)= son llamados polos de F(s).Si F(s) es una funcin racional de la forma , las races de P(s) son los ceros y las races de Q(s) son los polos de F(s).Tabla 6.1Transformada de Laplace (unilateral)f(t)F(s)

1(t)1

2u(t)

3tu(t)

4tnu(t)

5

6

7

8acos(bt) u(t)

8bsen(bt) u(t)

9ae-at cos(bt) u(t)

9be-at sen(bt) u(t)

10are-at cos(bt+) u(t)

10bre-at cos(bt+) u(t)

10cre-at cos(bt+) u(t)

10d

11

121-

Propiedades de la Transformada de Laplace 1.- Desplazamiento en el tiempo Si f(t) F(s) entonces para t0 > 0 f(t-t0) F(s)e-sto (6.29a)2.- Desplazamiento en FrecuenciaSi f(t) F(s) entonces f(t) esot F(s-s0) (6.33)3.- Diferenciacin en el tiempoSi f(t) F(s) entonces sF(s)-f(0-)(6.34a)Repitiendo esta aplicacin: (6.34b)Generalizando: (6.34c)4.- Integracin en el tiempoSi f(t) F(s) entonces (6.35)y (6.36)5.- EscalamientoSi f(t) F(s) entonces para a > 0 (6.37)

6.- Convolucin en el tiempo y Convolucin en la frecuenciaSi f1(t) F1(s) y f2(t) F2(s) entonces:f1(t)* f2(t) F1(s) F2(s) (6.38)yf1(t)f2(t) (6.39)Tabla 6.2Propiedades de la Transformada de LaplaceOperacinf(t)F(s)

Sumaf1(t)+ f2(t)F1(s)+ F2(s)

Multiplicacin escalarkf(t)kF(s)

Diferenciacin en el tiempo

Integracin

Desplazamiento en el tiempof(t-t0)u(t-t0)F(s)e-sto para t00

Desplazamiento en la frecuenciaf(t) esotF(s-s0)

Diferenciacin en la frecuencia-tf(t)

Integracin en la frecuencia

Escalamientof(at), a 0

Convolucin en el tiempof1(t)* f2(t)F1(s) F2(s)

Convolucin en la frecuenciaf1(t)f2(t)

Teorema del valor final

Teorema del valor inicial

Solucin de Ecuaciones Integro-DiferencialesLa Transformada de Laplace es una buena herramienta para resolver ecuaciones ntegro-diferenciales. La Transformada de Laplace transforma una ecuacin ntegro-diferencial en una ecuacin algebraica que puede ser resuelta fcilmente.Obtenida la respuesta en "s" se determina la L-1 para obtener el resultado en el dominio t. El siguiente ejemplo muestra la forma de resolver una ecuacin ntegro-diferencial usando Transformada de Laplace.Ejemplo 6-9Resolver la ecuacin (D2+5D+6)y(t)=(D+1)f(t)(6.42a) si las condiciones iniciales son y(0-)=2, y la entrada es f(t)=e-4tu(t).SolucinLa ecuacin es: (6.42b)Sea y(t) Y(s), de la ecuacin 6.34 se tiene que: sY(s)-y(0-)=sY(s) -2y

Adems, para f(t)=e-4tu(t) y en consecuencia: sF(s)-f(0-)= Tomando la Transformada de Laplace de la ecuacin 6.42b obtenemos: (6.43a) (6.43b)

Expandiendo en fracciones parciales: Calculando la L-1 de esta expresin, se obtiene:y(t)= L-1{Y(s)}= Transformadas Inversa de LaplaceEn sistemas de control es habitual tener una funcin de transferencia en el dominio s al cual se le aplica una entrada y se desea saber el comportamiento de la respuesta en funcin del tiempo.Tambin en la resolucin de ecuaciones diferenciales lineales ordinarias de primer y segundo orden, es habitual aplicar la Transformada de Laplace para resolverlas.El procedimiento normal NO es aplicar la definicin de Transformada Inversa de Laplace directamente a una funcin en s. Aplicar directamente la definicin resulta engorroso y muy difcil.En cambio hay un procedimiento equivalente que consiste en expresar F(s) en forma de fracciones parciales. Enseguida, a cada trmino resultante, se le aplica la Transformada Inversa de Laplace, pero haciendo uso de una tabla, obteniendo de esta forma la funcin en el tiempo f(t).Procedimientos para obtener expandir una expresin en forma polinomial en forma de fracciones parciales.Sea

donde P(s) y Q(s) son polinomios en s.Se supone que el orden de P(s) es mayor que el de Q(s). El polinomio P(s) puede ser escrito como:

Donde a0, a1,an-1, son coeficientes reales.Caso1: G(s) tiene polos simplesTodos los polos de G(s) son simples y reales.(1)Donde s1 s2 s3 . snAplicando la expansin en fracciones parciales se puede escribir como: (2)Por lo tanto se tiene: (3)Cada coeficiente Ki es determinado multiplicando ambos lados de la ecuacin 3 por el factor (s+si) y luego evaluando en s=-si. Por ejemplo, para calcular K1: (4)Ejemplo:Sea Por lo tanto, la expansin en fracciones parciales ser:

Ejecucin de este problema usando MATLAB:%Transformadas Inversas de Laplaceclcclear allb=[5 3] %numeradora=[1 6 11 6] %denominador sys=tf(b,a)%Fracciones parciales[r,p,k]=residue(b,a)%Conversin de las fracciones parciales a coeficientes de polinomios[b,a]=residue(r,p,k)

Solucin:

b = 5 3a = 1 6 11 6

Transfer function: 5 s + 3----------------------s^3 + 6 s^2 + 11 s + 6

z = -6.0000 7.0000 -1.0000

p = -3.0000 -2.0000 -1.0000

k = []

b = 0.0000 5.0000 3.0000

a =

1.0000 6.0000 11.0000 6.0000

>>

______________________________________________________

Caso 2: G(s) tiene polos de mltiple ordenSi r de los n polos de G(s) son idnticos, G(s) se escribe:(5)Con i 1, 3,.(n-r). Entonces G(s) se puede expandir como: (6)

r polos repetidos(n-r) polos simples

Los n-r polos simples se calculan del mismo modo del caso 1.La determinacin de los coeficientes correspondientes a los polos repetidos se describe a continuacin.(7)(8)(9)....(10)Ejemplo:Expandir en fracciones parciales:

Entonces:

Por lo tanto, la expansin en fracciones parciales es:

Solucin usando MATLAB%Transformadas Inversas de Laplaceclcclear allb=[1]; %numeradora=[1 5 9 7 2 0]; %denominador sys=tf(b,a)%Fracciones parciales[r,p,k]=residue(b,a)%Conversin de las fracciones parciales a coeficientes de polinomios[b,a]=residue(r,p,k)

Solucin:

Transfer function: 1---------------------------------s^5 + 5 s^4 + 9 s^3 + 7 s^2 + 2 s r = 0.5000 -1.0000 -0.0000 -1.0000 0.5000p = -2.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 0k =

[]

b =

Columns 1 through 4 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000

Column 5 1.0000

a =

Columns 1 through 4 1.0000 5.0000 9.0000 7.0000

Columns 5 through 6 2.0000 0

_________________________________________________________________

Caso 3: G(s) tiene polos Simples Complejos ConjugadosG(s) contiene un par de polos complejos conjugados: y

Estos Ki se calculan con el mismo procedimiento del caso 1.Ejemplo:Considere la funcin prototipo de 2 orden (11)Supongamos que , esto implica que los polos de G(s) son complejos conjugados, entonces: (12)donde: y (13)

A continuacin se calculan las constantes:(14) (15)

Por lo tanto; la expansin en fracciones parciales es: (16)Aqu vale la pena ver cmo es g(t).Tomando la Transformada Inversa de Laplace en ambos lados de la ecuacin (15) se tiene:L--1{G(s)} (17)Como se tiene

Usando las expresiones de la ecuacin (13), se obtiene:

Diagramas en Bloques Los grandes sistemas consisten de gran nmero de componentes o elementos. Analizar estos sistemas como un todo, puede llegar a ser muy complicado, casi imposible. Por este motivo es conveniente representar un sistema usando sub-sistemas interconectados los cuales pueden ser cada uno analizados ms fcilmente.Cada sub-sistema puede ser caracterizado en trminos de la relacin entrada-salida.Un sub-sistema lineal se caracteriza por su funcin de transferencia H(s).Los sub-sistemas pueden ser interconectados usando tres tipos elementales de interconexiones (fig. 6.18) Cascada Paralelo Realimentado

Figura 6.18 Tipos de conexiones (a) Cascada (b) Paralelo (c) RealimentadoCascada (figura 6.18b) Este resultado puede ser extendido a cualquier nmero de funciones de transferencia en cascada.Paralelo (figura 6.18c) Por lo tanto: Realimentado (figura 6.18d)

pero

Por lo tanto:

entonces la funcin de transferencia es: (6.69)Por lo tanto, la realimentacin se puede reemplazar por un solo bloque con funcin de transferencia dado por la ecuacin 6.69.Adems de lo anterior, es posible deducir algunas reglas que permiten reducir diagramas de bloques complejos.

Diagrama OriginalDiagrama EquivalenteNotas

1Combinacin de dos bloques en cascadaFG1G2=F(G1G2)

2Desplazamiento de un punto de suma detrs del bloque(FX)G=FGXG

3Desplazamiento de un punto de suma delante de un bloque

4Desplazamiento de una bifurcacin detrs de un bloque

5Desplazamiento de una bifurcacin delante de un bloque

6Eliminacin de un lazo de realimentacin

7Caso especial de la regla 6

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