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3.3. El Modelo de Stackelberg
Matilde Machado
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3.3. El Modelo de Stackelberg los mismos supuestos que el modelo de
Cournot con la diferencia que las decisiones de las empresas no son simultaneas sino secuenciales.
Es un modelo que tiene 2 periodos En primer periodo, la empresa líder elige la
cantidad. Esta decisión es irreversible, no se puede cambiar en el segundo periodo
En el segundo periodo, la empresa seguidora observa la cantidad elegida por la empresa líder y decide su cantidad (esta se situará por tanto al largo de su curva de reacción).
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3.3. El Modelo de Stackelberg
Algunas preguntas interesantes:
1. Hay alguna ventaja en ser el primer a moverse?
2. Como se compara el equilibrio con el equilibrio de Cournot?
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3.3. El Modelo de Stackelberg
Supongamos una demanda lineal P(Q)=a-bQ
Cmg1=Cmg2=c
En este tipo de juegos secuenciales se resuelve primero el problema del 2º periodo y después el del 1er periodo.
En el 2º periodo (le toca a la empresa 2, dada la cantidad elegida por la empresa 1):
2
21 2 2 1 2 2( ) ( )
qMax P q q c q a b q q c q
fijo
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2
21 2 2 1 2 2
2
2 12
* 12 2 1
( ) ( )
CPO: 0 2 0
( ) función de reacción de Cournot2
qMax P q q c q a b q q c q
a bq bq cq
a bq cq R q
b
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En el 1er periodo (la empresa 1 elige q1 sabiendo que la empresa 2 va a responder, en el segundo periodo, de acuerdo a su función de reacción q2=R2(q1)):
1
11 2 1 1 2 1 1
1
1 2 1 1 2 11
11 1
1 1 1
( ) ( ( ))
CPO: 0 2 ( ) ( ) 0
1 2 0
2 2
1 1 2 0
2 2 2
qMax P q q c q a b q R q c q
a bq bR q bq R q cq
a bq ca bq b bq c
b
a cbq bq bq
*1 1 1 1
3 0
2 2 2 3N Na c a c a c
bq q q qb b
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3.3. El Modelo de Stackelberg
Dado
* *2 1 2 2
* *1 2
* *1 2
* *
*
1 1 3
2 2 2 2 2 4 4
Por tanto
3 2
2 4 4 33 3
4 42
pero 3
N N
N
N
a c a c a c a cq q q q
b b b b
q q
a c a ca c a cq q Q
b b b ba c a c
p a bQ a b cb
a cp p
*1q
a>c
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3.3. El Modelo de Stackelberg
Los beneficios de las 2 empresas
2 2
1* * *1 1
2 2
2* * *2 2
3
4 2 4 2 8 9
3
4 4 4 4 16 9
N
N
a c a ca c a c a c a cp c q c
b b b b
a c a ca c a c a c a cp c q c
b b b b
Nota: es natural pensar que el beneficio de la empresa 1 es mayor que en el equilibrio de Cournot porque la empresa 1 podría siempre haber elegido q1
N (la cantidad de Cournot) lo que implicaría que la empresa 2 hubiese reaccionado también con la cantidad de Cournot
q2N=R2(q1
N) ya que la curva de reacción de la empresa 2 es la misma que en Cournot.
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3.3. El Modelo de Stackelberg
Conclusión:* *1 2
*
1* 2*
* *
) (el líder produce más)
) (la solución es ineficiente)
c) (el líder tiene mayores beneficios, hay ventaja en ser el primero)
d) N N
a q q
b p c
Q Q p p
A pesar de que el bien es el mismo y las funciones de beneficio también, el líder tiene más beneficio. La razón reside en el hecho que la cantidad
una vez elegida no es reversible (sino estaríamos de nuevo en Cournot) y además el líder sabe que al aumentar q1 la reacción de la empresa 2 es
disminuir q2 (sustitutos estratégicos)
El juego secuencial lleva a un equilibrio más competitivo que en Cournot.
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Análisis Gráfico: las curvas de isobeneficio para la empresa 1 son las curvas de nivel de la función:
11 2 1 2 1
21 2 1 1 1 1 2 1
21 2 1 1
2 11
22 2
2 2 31 1 1 1
( , ) ( )
por tanto:
( )
21 ; 0
q q a b q q c q
a b q q c q aq bq bq q cq
bq q a c q bq
a cq q
b q
q q
q q q q
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Análisis Gráfico (cont):
R1(q2)
q2
q1qMq’ q’’
Curva de nivel para beneficio = M =1
único punto
Intuitivamente: Dado q2, la empresa 1 busca la mejor respuesta, la curva de isobeneficio que corresponde al nivel de beneficio máximo dado q2
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Análisis Gráfico (cont): el óptimo de la empresa líder (empresa 1) está en un punto de tangencia (S) de la curva de isobeneficio con la curva de reacción de la empresa seguidora (empresa 2). (C) sería el equilibrio de Cournot, donde las curvas de reacción se cruzan y dq2/dq1=0
R1 (q
2 )
q2
q1qM
R2(q
1)
CS
q1S>q1
N
q2S<q2
N
qM
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3.3. El Modelo de StackelbergDiferencias entre Cournot y Stackelberg: En Cournot la empresa 1 elige la cantidad óptima dada la cantidad
elegida por la empresa 2 En Stackelberg la empresa 1 elige la cantidad óptima dada la curva de
reacción de la empresa 2Nota: El supuesto de compromiso con la cantidad de la empresa líder q1
elegida en el primer periodo es fundamental en la derivación del equilibrio de Stackelberg. La razón es que al final del periodo 2 cuando la empresa 2 ha elegido q2 (y q2 ya no se puede cambiar), la empresa 1 le gustaría producir una menor cantidad de q1 de acuerdo con su función de reacción R1(q2). Esta flexibilidad, sin embargo, perjudicaría a la empresa 1 porque la empresa 2 anticiparía la reacción de la empresa 1, el resultado sería Cournot. Es la paradoja del compromiso, la empresa 1 está mejor si reduce su conjunto de alternativas.
¿Es realista pensar que q1 no se puede alterar? Parece más aplicable al caso de capacidades que de cantidades.
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Nota: En el caso en que las empresas tienen el mismo nivel de costes, la solución de Stackelberg es más eficiente que la de Cournot, ya que la producción total es más elevada y el precio más bajo. Sí, sin embargo, el líder es más ineficiente (tiene costes más altos) entonces no podemos garantizar que el equilibrio de Stackelberg sea el más eficiente porque hay un desplazamiento de producción hacia el más ineficiente.