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3.4. Competencia en precios modelo de Bertrand

Matilde Machado

para bajar las transparencias:

http://www.eco.uc3m.es/~mmachado/

Economía Industrial - Matilde Machado Modelo de Bertrand 2


En el modelo de Cournot, las empresas deciden cuanto producir y el precio de mercado se ajusta para equilibrar la oferta y la demanda. Pero la frase “el precio se ajusta” es muy imprecisa, en la práctica como funciona este ajustamiento?

Es quizás más natural pensar en las empresas fijando precios y dejando que los consumidores decidan cuanto quieren comprar a esos precios. En este contexto surge el modelo de Bertrand (1883).



Los supuestos son los mismos que los del modelo de Cournot pero las empresas eligen precios y no cantidades:

2 Empresas Las empresas eligen precios simultáneamente (es decir

antes de observar el precio de su rival) El producto de las empresas es homogéneo (sustitutos

perfectos) el consumidor compra del productor que le ofrezca un precio más barato

Coste marginal constante = c para ambas empresas Las empresas satisfacen toda la demanda (es decir no

hay restricciones de capacidad)



Ejemplos de competencia a la Bertrand pueden ser entre gasolineras en la misma ruta/calle. La gasolina es un bien homogéneo y el conductor (en EEUU) por lo menos puede mirar el precio sin parar a la ida y en el regreso de su trabajo.



La demanda que enfrenta la empresa i es dada por:( ) si capta toda la demanda del mercado

1( , ) ( ) si (o cualquier otra cantidad)

20 si pierde toda la demanda

i i j

i i j i i j

i j

D p p p

D p p D p p p

p p

pj

Di(pi,pj)

D(pi)

0.5D(pi)0



El objetivo es de nuevo encontrar las funciones de reacción (ahora en precios) y luego el equilibrio de Nash

El equilibrio de Nash se caracteriza por un vector de precios (p*i,p*j) tal que cada empresa maximiza su beneficio dado el precio de la otra empresa.

La paradoja de Bertrand dice que el único equilibrio es aquél en que p*i=p*j=c y por tanto los beneficios de equilibrio son nulos ij*0.

* * *

* * *

( , ) ( , )

( , ) ( , )

i ii j i j i

j ji j i j j

p p p p p

p p p p p



Vamos a demostrar que este es el único equilibrio en el modelo de Bertrand. La prueba se construye por contradicción.

Prueba:

1) Supongamos que (sin pérdida de generalidad) p*1>p*2>c es un equilibrio y vamos a probar que esto no sería posible.

La empresa 1 no tendría demanda D1=0 1=0

La empresa 2 tendría toda la demanda del mercado D2=D(p*2) y 2=(p*2-c)D(p*2)>0

Esto no es un equilibrio porque la mejor respuesta de la empresa 1 a p*2 no es p*1 sino p’1= p*2-. ( es pequeño) lo que llevaría a .

Demostramos que la situación p*1>p*2>c no constituye un equilibrio del modelo de Bertrand



2) Supongamos que p*1=p*2>c es un equilibrio y vamos a probar que esto no sería posible.en este caso las empresas se reparten el mercado. Vamos a suponer que en partes iguales:

1= (p*1-c)(½D(p*1))>0

= (p*2-c)(½D(p*2))= 1> 0Esto no es un equilibrio porque la mejor respuesta de, por ejemplo, la empresa 1 a p*2 no es p*1 sino p’1= p*2-. ( es muy pequeño) en cuyo caso se ganaría toda la demanda del mercado y 1’= (p’1-c)D(p’1)≈ (p*1-c)D(p*1) > 1= (p*1-c)(½D(p*1))>0

Demostramos que la situación p*1=p*2>c no constituye un equilibrio del modelo de Bertrand



Gráficamente la situación 2)

c

p*2

1 2

p*2-

q

’



3) Supongamos que p*1>p*2=c es un equilibrio y vamos a probar que esto no sería posible.

en este caso la empresa 1 no tiene demanda

1= 0

= (p*2-c)D(p*2)=0 (toda la demanda)

Esto no es un equilibrio porque la mejor respuesta de, por ejemplo, la empresa 2 a p*1 no es p*2 sino p’2= p*1-. ( es pequeño) en cuyo caso mantendría toda la demanda del mercado y 2’= (p’2-c)D(p’2)>0

Demostramos que la situación p*1>p*2=c no constituye un equilibrio del modelo de Bertrand



4) El único equilibrio posible es p*1=p*2=c. Pero hay que probar que es de hecho un equilibrio

en este caso las empresas se reparten el mercado pero no tienen beneficios.

1= 0

= 0

Si la empresa 1 ↓ p1 1= (p*1--c)D(p*1-)=-D(p*1-)<0

luego no tiene incentivos a ↓ p1

Si la empresa 1 ↑ p1 1= (p*1+-c)×0=0

luego tampoco tiene incentivo a ↑p1

La empresa 1 no tiene incentivos a desviarse luego p*1 es la mejor respuesta a p*2. Lo mismo se puede decir para la empresa 2.



Conclusión: Probamos la paradoja de Bertrand i.e. que apenas con 2 empresas el único equilibrio posible es que las dos empresas tienen el mismo precio y este es igual al coste marginal, por lo que tienen beneficios nulos y no hay pérdida de eficiencia.

Estamos en el mismo equilibrio que en competencia perfecta pero con apenas 2 empresas. Esto es difícil de creer porque con apenas 2 empresas es difícil de creer que no se pueda tener situaciones con precios por encima del coste marginal y beneficios positivos.



La función de reacción de las empresas es

si

( ) si

si

M Mj

Mi j j j

j

p p p

R p p c p p

c p c


3.4. Competencia en precios modelo de BertrandGráficamente la función de reacción de las empresas es:

c

c

45º

p1

p2

pM

pM

2

1 2 2 2

2

si

( ) si

si

M M

M

p p p

R p p c p p

c p c

R1(p2)

R2(p1)

El equilibro de Nash es único y se da donde se cruzan las funciones de

reacción (p*2=c,p*1=c) y la demanda se reparte entre

los dos D*1=D*2=D/2



El caso Asimétrico: Costes marginales diferentes c1>c2 . En este caso el resultado anterior ya no se verifica. El equilibrio de Bertrand implica:

p*=c1 (en realidad c1-pequeño) y la empresa 2 capta todo el

mercado y obtiene beneficios>0

2

1

2 1 2 1 1 2 1

0

( ) ( ) ( ) ( ) 0p

c c D c c c D c

Nota: Si c1>pM(c2) entonces el equilibrio sería p2=pM(c2)=argmax{p}(p-c2)D(p)



La paradoja del modelo de Bertrand se puede solucionar si se cambian cada uno de los 3 supuestos básicos del modelo.

1. Solución de Edgeworth: introducción de restricciones de capacidad, que impiden la empresa vender más cantidad de las que físicamente puede producir. La idea es que al precio de competencia perfecta c, cada empresa por si sola no puede abastecer toda la demanda. El (p*1,p*2)=(c,c) ya no es un equilibrio del mercado. ¿Porqué? Se prueba por contradicción.

Imaginemos que es un equilibrio. Entonces 1=0, 2=0, si la empresa 1 sube el precio entonces la empresa 2 enfrenta toda la demanda pero no la puede absorber.

2=(c-c)K=0 donde K<D(c)

1=(p1-c)D1(p1)>0 y D1(p1)=D(p1)-K por tanto la empresa 1 tiene incentivos en desviarse el punto inicial no es un equilibrio.



2. Dimensión Temporal (juegos repetidos): Si consideramos que los competidores no se “encuentran” en el mercado una sola vez sino que probablemente tiene una relación de largo plazo entonces pueden darse cuenta que una guerra de precios (p1=p2-) solo conduce a =0.

3. Diferenciación del producto. Si los productos no son homogéneos (ej: distintas marcas, distinta localización) entonces una reducción de precios no implica que el rival se quede sin demanda, es decir no implica ganarse todo el mercado por lo que p=c ya no será un equilibrio.

Conclusión: El análisis de Bertrand es un caso extremo, al introducir supuestos más realistas se suaviza la competencia y

el precio de equilibrio será mayor que coste marginal

Los modelos de oligopolio no tienen que ser el mismo para todas las industrias sino que uno u otro se adapta mejor a una

u otra industria

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